16 2 1-8bj.xdf.cn/uploads/soft/181112/2019bjdccsymsxzhuti.pdf · 如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1=80°，则∠2的度数是 a．50° b．60° c．70° d．80° 【答案】a

北京新东方优能中学&优能 1 对 1 联合出品

1

2019 北京市东城区初三一模数学考试逐题解析

2019.5

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只

有一个.

1．下列立体图形中，主视图是圆的为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】球体的主视图、左视图、俯视图均为圆．

2．2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日在北京延庆举行，会期共 162 天．预

计参观人数不少于 16 000 000 人次．将 16 000 000 用科学记数法表示应为

A．616 10´ B． 71.6 10´ C． 80.16 10´ D． 81.6 10´

【答案】B

【解析】 716000000 1.6 10= ´ ．

3. 已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

A．a b＞ B． a b＜ C． 0ab＞ D． a b- ＞

【答案】D

【解析】数轴从左往右，对应实数逐渐增大；距离原点越远，对应绝对值越大；互为相

反数的两数到原点的距离相等．

-2 10 2-1a b


2

4. 如图，将一张矩形纸片折叠，若 1=80°∠ ，则 2∠ 的度数是

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

【答案】A

【解析】折叠问题，折痕两侧对应角相等；两直线平行，同位角相等．

5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

【答案】C

【解析】多边形内角与外角互为邻补角得出外角度数，利用多边形外角和 360°求出边

数．

6．如果 2 3 2 0a a+ - = ，那么代数式 2 2

3 1 39 3

aa a a

-æ ö+ç ÷- +è ø! 的值为

A．1 B． 12

C． 13

D．14

【答案】B

【解析】原式=( )( ) ( )2 2 2 2

3 1 3 3 1 1 19 3 3 3 3 3 2

a a aa a a a a a a a a a

- -æ ö+ = = = =ç ÷- + + - + +è ø! ! ．

2

1


3

7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系如下表

所示：

弹簧总长 L（cm） 16 17 18 19 20

重物质量 x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 L（cm）是

A．22.5 B．25 C．27.5 D．30

【答案】B

【解析】找到总长和重物质量的函数关系．

8．改革开放 40 年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费

支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第

四大消费支出.下图为北京市统计局发布的 2017 年和 2018 年我市居民人均教育、文化

和娱乐消费支出的折线图．

一二三四一二三四季度0

2018年

200

400

600

800

1000

1200

2017年

教育、文化和娱乐消费支出折线图(元)

859

1113948 997

8391014

11341012

说明：在统计学中，同比．．是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2018

年第二季度与 2017年第二季度相比较；环比．．是指本期统计数据与上期统计数据相比较，

例如 2018年第二季度与 2018年第一季度相比较．

L = 2x +15


4

根据上述信息，下列结论中错误．．的是

A．2017 年第二季度环比有所提高 B．2017 年第三季度环比有所提高

C．2018 年第一季度同比有所提高 D．2018 年第四季度同比有所提高

【答案】C

【解析】理解同比、环比的定义．

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

9．若 2x - 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 .

【答案】 2x ³

【解析】此题考察了二次根式是否有意义

10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1~ 6这六个整数，投掷这个正方体

一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为 .

【答案】12

【解析】此题考查了实际问题与概率

11．能说明命题“若a b> ，则ac bc> ”是假命题的一个c的值是 .

【答案】-1（答案不唯一，满足 c≤0 即可）

【解析】此题考查命题的概念以及不等式的性质，不等式性质 3：当不等式两边同时乘

或除一个负数，不等号方向改变；若为 c=0，此不等式依旧不合题意


5

12．如图， AD为 ABC△ 的外接圆 O! 的直径，若 50BADÐ = °，则 ACBÐ = °.

【答案】40

【解析】此题考查圆周角定理以及定理推论

连接 BD

∵AD 为圆的直径

∴∠ABD=90°

∴∠D=40°

∴∠ACB=∠D=40°

13．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大小

器各容几何？”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，

小容器 5 个，总容量为 2 斛.问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器容量为 x斛，小容器容量为 y 斛，根据题意，可列方程组为 . （斛：古量器名，容量单位）

【答案】5 35 2

x yx y+ =ì

í + =î

【解析】此题考查实际问题与二元一次方程组

D

O

A

B C

D

O

A

B C


6

14．如图，在 ABCD! 中，点E在DA的延长线上，且13

AE AD= ，连接CE交BD于点F，

则EFFC

的值是 .

【答案】43

【解析】此题考查平行四边形性质及相似三角形判定及性质

∵四边形 ABCD 为平行四边形

∴AD=BC 且 AD∥BC

∴ EDF CBF!△ △

∵13

AE AD=

∴43

ED EDAD BC

= =

∴43

EFFC

=

15．为方便市民出行，2019 年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期

限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定

期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：

种类一日票二日票三日票五日票七日票

单价（元/张） 20 30 40 70 90

某人需要连续 6 天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为

元.

F

E

B

A

C

D


7

【答案】80

【解析】此题考查实际问题与排列组合问题；当买两张三日票时，总费用最少

16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1，A、B、C、D 均落在格点上．

（1） :BDC BACS S! ! = ；

（2）点 P 为 BD 中点，过点 P 作直线 l//BC．分别过点 B 作 BM⊥l 于点 M，过点 C 作

CN⊥l 于点 N，则矩形 BCNM 的面积为．

【答案】（1）5:1；（2）152

【解析】（1）∵39,2

ABD BACS S= =! !

∴

1552

3 12

BDC

BAC

SS

= =!

!

（2）矩形 BCNM 的面积可转化为△BCD 的面积


8

三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第

27-28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图，直线 BC 及直线 BC 外一点 P.

求作：直线 PE，使得 PE//BC．

作法：如图，

①在直线 BC 上取一点 A，连接 PA；

②作∠PAC 的平分线 AD；

③以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E；

④作直线 PE. 所以直线 PE 就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：∵AD 平分∠PAC，

∴∠PAD=∠CAD．

∵PA=PE，

∴∠PAD= .

∴∠PEA= .

∴PE//BC.（）（填推理的依据）


9

【答案】

（1）

（2） PDAÐ ； CADÐ ；内错角相等，两直线平行.

【解析】

考察平行平分三等角的应用.

18．计算： 012 2sin60 2 2019- ° + - - ．

【答案】 3 1+

【解析】

解：原式3=2 3 2 2 12

- + -

= 3 1+

19．解不等式组：

2(1 2 ) 41 3 .2

x xx x

+ - ³ -ìïí +

>ïî

，

【答案】 1 2x- < £

【解析】

解：由①得： 2x £

由②得： 1x > -

∴不等式组的解集为 1 2x- < £


10

20．已知关于 x 的一元二次方程有实数根．

（1）求 a 的取值范围；

（2）当 a 为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．

【答案】（1） 174

x £ （2） 1 21 2x x= =，

【解析】

（1） ( ) ( )2= 3 4 2 4 17a a- - - = - +△

0³∵△

∴ 174

a £

（2） 24 3 2 0a x x= - + =，原方程为

1 21 2x x= =解得: ，

21．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC，DC，BC 于点

E，F，G，连接 DE，DG．

（1）求证：四边形 DGCE 是菱形；

（2）若∠ACB=30°，∠B=45°，ED=6，求 BG 的长．

【答案】

（1）证明：∵EG 垂直平分 CD

∴∠EDF=∠ECF，DF=CF

∵CD 平分∠ACB

∴∠ECF=∠GCF

∴∠EDF=∠GCF

0232 =-+- axx


11

在△EDF 与△GCF 中

EDF GCFDF CFEFD GFC

Ð =Ðìï =íïÐ =Ðî

∴ ( )EDF GCF ASA@△ △

∴EF=GF

∴四边形 DGCE 是平行四边形

∵EG⊥CD

∴平行四边形 DGCE 是菱形

（2）作 DP⊥BG 于 P

∵菱形 DGCE，∠ACB=30°

∴∠DGB=30°，DG=DE=6

∴DP=3，PG=3 3

∵∠B=45°

∴BP=DP=3

∴BG=BP+PG=3 3 3+

【解析】

（1）利用垂直平分线的性质证明 EDF GCF@△ △ ，利用对角线互相垂直的平行四边形

证明菱形

（2）利用特殊角度构造直角三角形，根据勾股定理求 BG


12

O x

y

AB1

B2

B3

22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 0y kx k= ¹（）与双曲线8 0y xx

= >（）交于点

A(2，n)．

（1）求 n 及 k 的值；

点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有．．符合条件的点

B 的坐标.

【答案】

（1）将 ( )2A n，代入8yx

=

∴n=4

∴k=2

（2） ( ) ( )1 2 350 0 2 5 0 82

B B Bæ öç ÷è ø，或，或，

【解析】

（1）将 A 坐标代入解析式，求 n，k

（2）根据等腰三角形两腰相等，分类讨论即可


13

23．如图，AB 与 O! 相切于点 A，P 为 OB 上一点，且 BP=BA，连接 AP 并延长交

O! 于点 C，连接 OC.

（1）求证：OC OB⊥ ；

（2）若 O! 的半径为 4，AB=3，求 AP 的长.

【解析】

（1）证明：

∵AB 与⊙O 相切

∴∠BAP+∠CAO=90°

∵BA=BP

∴∠BAP=∠BPA

∵AO=OC

∴∠OAP=∠C

∴∠BAP=∠CPO

∴∠CPO+∠C=90°

∴OC⊥OB

（2）解：过 B 做 BM⊥AC 于 M

∵AB=3，AO=4

∴在 Rt△ABO 中，利用勾股定理，BO=5

∵AB=BP=3

∴PO=BO-BP=2

∵OC⊥OB

∴在 Rt△POC 中，利用勾股定理，PC=2 5

∵∠BPA=∠CPO


14

∴△BPM∽△POC

∴ ,BP PMPC PO

= 即3 3 5,

2 52 5PM PM= =

∴AP=2PM= 6 55

24．某年级共有 400 名学生.为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取 100 名

学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.不同交通方式学生人数分布统计图如下：

b.采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：

10 20x≤ ＜，20 30x≤ ＜，30 40x≤ ＜，40 50x≤ ＜，50 60x≤ ＜，60 70x≤ ≤ ）：

c.采用公共交通方式单程所花费时间在30 40x≤ ＜这一组的是：

30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39


15

根据以上信息，完成下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为分；

（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学的一共有人，其中单程不少于 60

分钟的有人.

【解析】

（1）如图所示

（2）31

（3）200，8


16

25．如图，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA，

CB. 已知AB=4 cm，设B，C两点间的距离为x cm，点C到弦AB所在直线的距离为y1

cm，A，C两点间的距离为y2 cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2 随自变量x的变化而变化的规律进行了探

究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对

应值；

x/cm 0 1 2 3 4 5 6

y1/cm 0 0.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47

y2/cm 4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，

y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图像；

E

BA

C

D


17

（3）结合函数图像，解决问题

①连接 BE，则 BE 的长约为 cm.

②当以 A，B，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm.

【解析】（1）5.69

（2）如图所示

（3）①6.0

②6.0 或 4.47


18

26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=4，求 m

的值；

（3）已知四个点 C（2，2），D（2，0），E（5，-2），F（5，6），若抛物线与线段 CD

和线段 EF 都没有公共点，请直接写出 m 的取值范围.

【答案】

（1） ( )3, 1 ；（2） 14

- ；（3） 54

m > 或 1m< -

【解析】

（1）将抛物线 2 6 9 1y mx mx m= - + + 化为顶点式得 ( )23 1y m x= - +

则抛物线顶点坐标为 ( )3, 1

（2）!抛物线的对称轴为 3x = ，且 4AB = ，点 A 在点 B 的左侧

( )1 0A\ ，， ( )5 0B ，

将 ( )1 0A ，代入抛物线，得4 1 0m+ =

14

m = -

（3）当 0m > 时，代入 ( )2 2C ，， ( )5 6F ，得， 1 2

4 1 6mm+ >ì

í + >î

54

m\ >

当 0m< 时，代入 ( )2 0D ，， ( )5 -2E ，得1 0

4 1 2mm+ <ì

í + < -î

1m\ < -

综上，54

m > 或 1m< -

2 6 9 1( 0)y mx mx m m= - + + ¹


19

27．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），连接 DE，

点 C 关于直线 DE 的对称点为 C’，连接 AC’并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC’的中

点，连接 DF.

（1）求∠FDP 的度数；

（2）连接 BP，请用等式表示 AP，BP，DP 三条线段之间的数量关系，并证明。

（3）连接 AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC’的面积最大值.

【答案】

（1）∠FDP=45°

（2）BP+DP= 2AP

（3）面积最大值为 2 1-

【解析】

（1）证明：!四边形 ABCD 为正方形，DC 与 DC '关于 DE 对称

\∠CDP=∠C 'DP

!F 为 AC '中点

!AD=DC '

\△ADF≌△DFC '

\∠ADF=∠FDC '

\∠FDP=∠FDC '+∠PDC '=45°

E

DA

B C

P

C'

F

2


20

（2）作 AM⊥PA 交 PD 延长线于点 M

!AB=AD

∠BAP=∠DAM

又!DF⊥AP

∠FDP=45°

\∠FPD=45°

\AP=AM

\△ABP≌△ADM

\BP=DM

\BP+DP= 2AP

（3）边长为 2，AC=2 为定长，C '在对角线 BD 时，高有最大值，最大面积为 2 1-


21

28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x、y 轴的距

离中的最大值等于点 Q 到 x、y 轴的距离中的最大值，则称 P，Q 两点为“等距点”．下

图中的 P，Q 两点即为“等距点”．

（1）已知点 A 的坐标为（-3，1），

①在点 E（0，3），F（3，-3），G（2，-5）中，为点 A 的“等距点”的是______；

②点 B 在直线 y=x+6 上，且 A，B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为______；

（2）直线 l：y=kx-3(k>0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，

①若，是直线 l 上的两点，且与为“等距点”，求 k 的值；

②当 k=1 时，半径为 r 的上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M，

N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．

【答案】

(1) ①E、F

② ( )3 3- ，

(2) ① 1 2k k= =或

② 3 3 22r£ £

【解析】

x

y

o

P

Q

x

y

o

1 1( 1, )T t- 2 2(4, )T t 1T 2T

O!


22

（1）② ( )31A - ，

或 3By =

∴ ( )3 9B ，（舍）或 ( )3 3B - ，或 ( )9 3B - -，（舍）

∴ ( )3 3B - ，

（2）① 1 23 4 3t k t k= - - = -，

情况一：当 1 4t = 时

0k >

∴ 1 4t = -

∴ 1k =

情况二：当 1 2t t= 时

0k >

∴ 1 2t t= -

∴ 2k =

∴综上所述， 1k = 或 2k =

② N 在 CD 上

∴ 3 32 Nd£ £

情况一：当 132

OM = 时

∴ 32

r =

情况二：当 ( )2 3 3M - ，

∴ 2 3 2r OM= =

∴综上所述，3 3 22r£ £

∵

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