Intervalne ocene parametara raspodele

• Realizovana vrednost tačkaste ocene parametra može d d t d t d ti tda odstupa od stvarne vrednosti parametra, pa se određuje interval koji, sa unapred zadatom verovatnoćom, sadrži nepoznati parametar.p p

• Neka je X1, X2, ..., Xn prost slučajan uzorak obima n za obeležje X i θ je nepoznati parametar u raspodeli tog obeležja Na osnovu posmatranog uzorka definišu seobeležja. Na osnovu posmatranog uzorka definišu se statistike f (X1, ..., Xn ) i g(X1, ..., Xn ) tako da važe uslovi:

P[f ≤ g]=1[f g]P[f ≤ θ ≤ g]=β, β∈[0, 1]

• Tada kažemo da je [f , g] interval poverenja za nepoznati parametar θ sa nivoom poveranja β.

• Za β=0,9 kaže se da je to 90%-tni interval poverenja. 1

Intervali poverenja za t tičk č ki jmatematičko očekivanje

Interval poverenja za matematičko očekivanje m obeležja p j j jX, sa normalnom raspodelom i poznatom disperzijom

• Kako je gustina normalne raspodele simetrična u odnosu t ti tik f i bi i t ič dna pravu x=m, statistike f i g biramo simetrično u odnosu

na nXε−= nXf ε+= nXgnf ng

Treba odrediti ε iz uslova

β=ε+≤≤ε− ][ XmXP β=ε+≤≤ε ][ nn XmXP

β=ε≤− ][ mXP n

2

Intervali poverenja nastavakIntervali poverenja, nastavak

• Ako je σ2 poznato, statistika ),(:2

mNX nσj p , ),(nn

)1,0(: NnmX n

σ−

σ• zβ se može odrediti iz:

β=

≤− znmXP n nz ε

=β=

≤σ βznP nz

σ=β

• Koristeći tablice za dato β nalazi se zβ, pa se dobija βinterval poverenja za matematičko očekivanje obeležja X

σ+σ− ββ zX

zX ,

σ+σn

Xn

X nn ,

3

Intervali poverenja nastavakIntervali poverenja, nastavak

• Na osnovu vrednosti n i realizovane vrednosti nxuzoračke sredine dobija se realizovani interval poverenja

n

nX

zz

σ+σ− ββ

nz

xn

zx nn ,

• Ako bismo za dato obeležje

sredina trećeg uzorka

• Ako bismo za dato obeležje veliki broj puta uzeli uzorak obima n i izračunali intervale 3x sredina drugog

uzorkapoverenja, tada bi približno 100·β% intervala sadržalo nepoznato matematičko x

2x

sredina prvog k

u o a

nepoznato matematičko očekivanje E(X)=m.

m

1x uzorka

4

PrimerPrimer• Odrediti 90%-ni i 95%-ni interval poverenja za matematičko

očekivanje obeležja X čija je raspodela N(m,22) na osnovu uzorka bi 20obima 20:

1,2 1,3 2,0 1,4 2,3 1,1 2,5 1,8 1,5 1,82,2 2,3 2,2 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,5 1,4

1• Realizovana vrednost uzoračke sredine je 75,1)4,1...2,1(

201

20 =++=x

• Neka je 202

20 mXnmXZ n −=

σ−

=2σ

• Iz tablica za normalnu raspodelu se određuje zβ na osnovu [ ] 9,0=≤ βzZP

• Dobija se zβ =1,64, pa je 90%-ni interval poverenja za mat. očekivanjej β , , p j p j j

]48,2;02,1[22064,175,1;2

2064,175,1; =

+−=

σ+σ− ββ

nz

xn

zx nn

Z β 0 95 d bij 1 96 j 95% i i t l j t• Za β=0,95, dobija se zβ =1,96, pa je 95%-ni interval poverenja za mat. očekivanje [0,87; 2,63].

5

Interval poverenja za MO m obeležja sa i t di ijnorm. rasp. i nepoznatom disperzijom

• Slično kao u slučaju sa poznatom disp., ali se koristi sp

1−− n

SmX

n

n

koja ima Studentovu raspodelu sa n 1 stepeni slobodekoja ima Studentovu raspodelu sa n-1 stepeni slobode. Iz tablica za Studentovu raspodelu nalazi se tn-1;β tako da za dato β važi

β=

≤−

−β− ;11 n

n

n tnS

mXP

dobija se interval poverenja za m na osnovu vrednosti iz uzorka za n, ,nX nS

tt

−

+−

− β−β−n

nnn

nn S

nt

XSn

tX

1,

1;1;1

6

Intervali poverenja za disperzijuIntervali poverenja za disperzijuInterval poverenja za disperziju obeležja X sa normalnom raspodelom i poznatim matematičkim očekivanjemraspodelom i poznatim matematičkim očekivanjem

• Kako je disperzija nenegativna veličina, može se odrediti jednostrani interval poverenja, tako što se za levi kraj IP

i 0 d i k j t b d diti i l P[0 2 b] βuzima 0, a desni kraj treba odrediti iz uslova P[0≤σ2≤ b]=β.

[ ] [ ] β=

≥=≤σ=≤σ≤bSnSnPbPbP nn

2

2

222

~~0[ ] [ ] β

σ b2

X1, X2, ..., Xn je prost slučajan uzorak obima n za posmatrano obeležje Statistika kada je MO poznatoobeležje. Statistika, kada je MO poznato

.)(1~1

22 ∑=

−=n

jjn mX

nS

j

7

IP za disperziju, poznato mp j , p• Statistika ima raspodelu, iz tablica za χ2 raspodelu2

2~

σnSn 2

nχ

nalazi se 2;βχn

β=

χ> β2

;2

2~n

nSnP β

χσ β;2 n

Na osnovu dobijene vrednosti iz tablica i vrednosti iz k i d bij2~Suzorka za n i dobija se 2

nS

2

2~

χ= nSnb

;βχn

Za n>30, koristi se aproksimacija hi-kvadrat raspodele, normalnom N(n,2n). ( , )

8

Dvostrani interval poznato mDvostrani interval, poznato m• Dvostrani interval poverenja [b1, b2], gde je 0 < b1< b2, za

nepoznatu disperziju obeležja X nalazimo iz:p p j jP[b1 ≤σ2≤ b2]=β.

• Kako je:[ ] β=

≤

σ≤=≤σ≤

1

2

2

2

2

2

22

1

~~~

bSnSn

bSnPbbP nnn

treba da važitreba da važi

β=

ε≤≤ε 22

2

1

~nSnP

2

1

~Sn n=ε2

2

~Sn n=εβ

ε≤σ

≤ε 221P2

1 bε

12 b

ε

ima hi-kvadrat raspodelu sa nstepeni slobodestepeni slobode

9

Hi-kvadrat raspodelaHi kvadrat raspodela

x

β 1−β2

1−β2

x

2ε1ε

Postavljaju se uslovi, jer se ε1 i ε2 ne mogu jednoznačno odrediti

[ ]2

11

2 β−=ε<χnP [ ]

21

22 β−

=ε>χnP

Interval poverenja za nepoznatu disperziju će biti:

22 ~~

nn SnSn

εε 12

, nn

10

IP za disperziju nepoznato mIP za disperziju, nepoznato m

Interval poverenja za disperziju obeležja X sa normalnom

• Jednostrani interval poverenja [0, b] za nepoznatu disperziju 2 dobijamo koristeći statistiku 2S

p j p j jraspodelom i nepoznatim matematičkim očekivanjem

disperziju σ2, dobijamo koristeći statistiku čija je raspodela

2

2

σnSn

21−χn

Iz tablica za χ2 raspodelu se nalazi vrednost ε za koju je:

[ ] β=ε>χ −2

1nP

Iz tablica za χ2 raspodelu se nalazi vrednost ε za koju je:

∑n1

ε=

2nSnb

∑=

−=j

njn XXn

S1

22 )(1

11

Dvostrani interval nepoznato mDvostrani interval, nepoznato m• Dvostrani interval poverenja [b1, b2], gde je 0 < b1< b2 za

nepoznatu disperziju σ2 se dobija iznepoznatu disperziju σ se dobija iz

[ ] β=≤σ≤ 22

1 bbP

[ ] β=

≤

σ≤=≤σ≤

2

2

2

2

1

2

22

1 bSnSn

bSnPbbP nnn

1−β

ima hi-kvadrat raspodelu sa n-1stepeni slobode

x

β 1−β2

1−β2

1ε 2ε

12

Interval poverenja za t di ijnepoznatu disperziju

2S2S

2

2

1 bSn n=ε

1

2

2 bSn n=ε

[ ]2

12

21

β−=ε≥χ −nP [ ]

21

12

1β−

=ε≤χ −nP

Interval poverenja za nepoznatu disperziju će biti:

22 SnSn

εε 12

, nn SnSn

13

PrimerPrimer

• Odrediti 90%-tni interval poverenja za disperziju obeležja p j p j jX ako se smatra da je E(X)=2

1,2 1,3 2,0 1,4 2,3 1,1 2,5 1,8 1,5 1,82 2 2 3 2 2 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 5 1 42,2 2,3 2,2 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,5 1,4

• Realizovana vrednost statistike

270))241()231()221((1~ 2222 =+++=s 27,0))24,1(...)23,1()22,1((2020 =−++−+−=s

Iz tablica nalazimo 443,1229,0;20 =χ

4347,0=bInterval poverenja za disperziju obeležja je [0; 0,4347].

14

Intervali poverenja za količnik disperzijaIntervali poverenja za količnik disperzija

• Interval poverenja za količnik disperzija dva nezavisna p j p jobeležja sa normalnim raspodelama čija su MO poznata

• Neka su X1, ..., Xn1 i Y1, ..., Yn2 prosti nezavisni slučajni uzorci

),(: 211 σmNX ),(: 2

22 σmNY

• Neka su m1 i m2 poznate vrednosti. Statistika 2

21

21

~

~

σ=

n

S

S

Z1 2 p

22

2

σnS

ima Fišerovu raspodelu Fn1,n2. Iz uslova P[ε1 ≤ θ ≤ ε2]=βt lj d lpostavljamo dva nova uslova

21)( 1

β−=ε<ZP

21)( 2

β−=ε>ZP

2 2

15

Intervali poverenja za količnik di ij t kdisperzija, nastavak

• Iz tablica za Fišerovu raspodelu odrede se ε1 i ε2, iz p 1 2,uzorka se izračunaju uzoračke disperzije, pa se dobija interval poverenja

2

2

221

22

2

2

11

2

1

2~

~

~

~

n

n

n

n

s

s

s

sε≤

σσ

≤ε

16

Interval poverenja za količnik disperzijaInterval poverenja za količnik disperzija

• Interval poverenja za količnik disperzija dva nezavisna p j p jobeležja sa normalnim raspodelama čija MO nisu poznata

• Neka su X1, ..., Xn1 i Y1, ..., Yn2 prosti nezavisni slučajni uzorci

),(: 211 σmNX ),(: 2

22 σmNY

• Neka m1 i m2 nisu poznate vrednosti. Statistika 2

21

21

ˆ

ˆ

σ=

n

S

S

Z1 2 p

ima Fišerovu raspodelu Fn1-1,n2-1. Iz uslova P[ε1 ≤ θ ≤ ε2]=βt lj d l

22

2

σnS

postavljamo dva nova uslova

21)( 1

β−=ε<ZP 2

1)( 2β−

=ε>ZP222 ˆˆ

• Interval poverenja je: 2

2

221

22

2

2

11

2

1

2

ˆˆ n

n

n

n

s

s

s

sε≤

σσ

≤ε17