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11/09/2014
1
DIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDAD
FUNCIN REAL DE VARIAS FUNCIN REAL DE VARIAS
VARIABLESVARIABLES
CAPTULO IICLCULO VECTORIAL
SESIN 14
Rosa ique Alvarez 2
Incremento y diferencial de una funcin y = f (x)
INTRODUCCIN
Rosa ique Alvarez 3
Incremento de una funcin y = f (x)
INTRODUCCIN
( ) ( ) ( )xfxxfxf -D+=D
Diferencial de una funcin y = f (x)
( ) ( ) dxdx
xdfxfd =
( ) )(xfdxf D
INCREMENTO DE f (x,y) en (x0,y0)
Rosa ique Alvarez 4
( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxxfyxf -D+D+=D
DEFINICION
x: incremento en la variable independiente x
y: incremento en la variable independiente y
Rosa ique Alvarez 5 Rosa ique Alvarez 6
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2
EJEMPLO 1
yxyxf 3),( 2 +=
Rosa ique Alvarez 7
Calcule el incremento de f (x, y) en (x,y)
Solucin
Rosa ique Alvarez 8
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) yxxxyxf
yxyyxxyxf
yxfyyxxfyxf
D+D+D=D
+-D++D+=D
-D+D+=D
32,
3)(3,
,,,
2
22
yxyxf 3),( 2 +=
DIFERENCIAL TOTAL PARA z = f (x, y)
Rosa ique Alvarez 9
yyxfDxyxfDyxyxdf D+D=DD ),(),(),,,( 21
yyxfxyxfzd yx D+D= ),(),(
EJEMPLO 2
Rosa ique Alvarez 10
Calcule el diferencial total de la siguiente funcin
2232),( yxsenyxyxf -=
Solucin
Rosa ique Alvarez 11
yyxfDxyxfDfd D+D= ),(),( 21
( ) yyxyxxxysenyfd D-+D-= 22 6cos2)62(
2232),( yxsenyxyxf -= Definicin: una funcin z = f (x,y) es
diferenciable en (x0,y0) si f puede expresarse en la forma
Se dice que la funcin f diferenciable en (x0, y0)
Rosa ique Alvarez 12
( ) ( ) ( )
0lim0lim
,,,
2)0,0(),(1)0,0(),(
2100200100
==
D+D+D+D=D
DDDD yxyx
yxyyxfDxyxfDyxf
y
DIFERENCIABILIDAD DE f en (x0, y0)
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3
Incremento y diferenciabilidad
Rosa ique Alvarez 13
( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxxfyxf -D+D+=D
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf D+D+D+D=D 2100200100 ,,,
yyxfDxyxfDyxyxdf D+D=DD ),(),(),,,( 21
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa ique Alvarez 14
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf D+D+D+D=D 2100200100 ,,,
( ) yxyxyxfdyxf D+D+DD=D 2100 ),,,(,
0limy0lim 2)0,0(),(1)0,0(),( == DDDD yxyx
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa ique Alvarez 15
( ) yxyxyxfdyxf D+D+DD=D 2100 ),,,(,
Si f (x, y) es diferenciable en (x0, y0)
( ) )0,0(,cuando0,0 21
DD
yx
Incremento y Diferenciabilidad
Rosa ique Alvarez 16
( ) ),,,(, 0000 yxyxfdyxf DDD
Si f (x, y) es diferenciable en (x0, y0)
EJEMPLO 3
yxyxf 3),( 2 +=
Rosa ique Alvarez 17
Demuestre que la funcin es diferenciable para todo (x, y)
Solucin
Rosa ique Alvarez 18
yxyxf 3),( 2 +=
( ) yxxxyxf D+D+D=D 32, 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )yxyyxxyxf
yxfyyxxfyxf
3)(3,
,,,
22 +-D++D+=D
-D+D+=D
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4
Solucin
Rosa ique Alvarez 19
yxyxf 3),( 2 +=
( ) ( ) ( ) ( )yxxyxxyxf D+DD+D+D=D 032,
( ) ( ) ( ) yxyyxfDxyxfDyxf D+D+D+D=D 2121 ,,,
0, 21 =D= x
( ) yxxxyxf D+D+D=D 32, 2
Solucin
Rosa ique Alvarez 20
0, 21 =D= x
( ) )0,0(,cuando0,0 21DD
yx
Solucin: usando la definicin dediferenciabilidad
Rosa ique Alvarez 21
yxyxf 3),( 2 +=
Es diferenciable para todo (x, y)
Superficie Superficie noDiferenciable Diferenciableo SUAVE
Rosa ique Alvarez 22
EJEMPLO 4
Rosa ique Alvarez 23
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Demuestre que la funcin f es diferenciable en (0,0)
GRAFICA
Rosa ique Alvarez 24superficie
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
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5
Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 25
( ) ( ) ( )
0limy0lim
0,00,00,0
2)0,0(),(1)0,0(),(
2121
==
D+D+D+D=D
DDDD yxyx
yxyfDxfDf
Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 26
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 00,0
0,0,0,0
0,00,00,0
22
22
-D+D
DD=D
-DD=D
-D+D+=D
yxyxf
fyxff
fyxff
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Solucin:
Rosa ique Alvarez 27
( )
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfD
( )
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2
),( 2224
2
yx
yxyxyx
yxfD
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 28
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf D+D+D+D=D 2121 0,00,00,0
yxyxyx
yx D+D+D+D=D+D
DD2122
22
00
Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 29
yxyxyx
yxD+D+D+D=
D+DDD
2122
22
00
yxyyxyxx D+D=D
D+DDD+D 2122
2
0
Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 30
yxyyxyxx D+D=D
D+DDD
+D 21222
0
222
2
1 ,0 =D+DDD
=yx
yx
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6
Solucin: usando la definicin
Rosa ique Alvarez 31
222
2
1 ,0 =D+DDD
=yx
yx
( ) ( )0lim,0lim 2)0,0(,1)0,0(, == DDDD yxyx
Ahora se demuestra que:
Solucin: usando la definicin de lmite
Rosa ique Alvarez 32
( )0lim 1)0,0(, =DD yx
Rosa ique Alvarez 33
( ) ( )0limlim 22
2
)0,0(,2)0,0(,=
D+DDD=
DDDD yxyx
yxyx
talque0existe0todopara >> d
d
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7
Solucin
Rosa ique Alvarez 37
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
La funcin f (x, y) es diferenciable en (0,0)
TEOREMA 1
Si f es diferenciable en un punto P0 entonces f escontinua en
P0.
Rosa ique Alvarez 38
EJEMPLO 5
Rosa ique Alvarez 39
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
La funcin f (x, y) es diferenciable en (0,0)
La funcin f (x, y) es continua en (0,0)
Observacin 1:
Si f no es continua en el punto P0 entonces f no es
diferenciable en P0.
Rosa ique Alvarez 40
EJEMPLO 6
==-+
=
1y1si,2
11si,2),(
yx
yxyxyxf
Rosa ique Alvarez 41
Demuestre que f (x, y) no es diferenciable en (1,1).
Solucin
Rosa ique Alvarez 42
==-+=
1y1si,2
11si,2),(
yxyxyx
yxf
x=1
y=1
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8
Solucin
==-+=
1y1si,2
11si,2),(
yxyxyx
yxf
Rosa ique Alvarez 43
)1,1(02),(lim.3
22lim),(lim.2
0)1,1(.1
)1,1(),(
)1,1(),()1,1(),(
fyxf
yxf
f
yx
yxyx
==
==
=
Veamos que pasa con la continuidad de f (x, y) en (1,1)
falla
Solucin
==-+=
1y1si211si2
),(yxyxyx
yxf
Rosa ique Alvarez 44
f no es continua en (1,1) entonces f no es diferenciable en
(1,1).
EJEMPLO 7
Rosa ique Alvarez 45
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
La funcin f (x, y) es diferenciable en (0,0)?
Solucin
Rosa ique Alvarez 46
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
f no es continua en (0,0) f no esdiferenciable en (0,0).
continuidad
Observacin 2:
Rosa ique Alvarez 47
La existencia de las derivadas parcialesD1f (x0 , y0) y D2f (x0
, y0) de una funcin dedos variables no garantiza que la funcin
seadiferenciable en (x0 , y0) .
EJEMPLO 8
Rosa ique Alvarez 48
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
continuidad
a) Calcule: D1 f (0,0) , D2 f (0,0)
b)La funcin f (x, y) es diferenciable en (0,0)?
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9
a) Derivadas parciales de f (x, y) en (0,0)
0)0,0()0,0(
lim)0,0(01
=D
-D+=
D xfxf
fDx
Rosa ique Alvarez 49
0)0,0()0,0(
lim)0,0(02
=D
-D+=
D yfyf
fDy
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Solucin b)
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa ique Alvarez 50
La funcin f no es diferenciable en (0,0)(ver Ejemplo 7)
Conclusiones
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa ique Alvarez 51
La funcin f no es diferenciable en (0,0) pero susderivadas
parciales D1 f (0, 0) = 0 y D2 f (0, 0) = 0existen.
f no es diferenciable en (0,0)Rosa ique Alvarez 52
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
yx
yxyx
yxyxf
TEOREMA 2
Si las funciones D1 f y D2 f son continuas en P0, entonces f es
diferenciable en P0.
Rosa ique Alvarez 53
EJEMPLO 9
Rosa ique Alvarez 54
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Use el Teorema 2 y demuestre que la funcin f es diferenciable en
(0,0).
Sea
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10
GRAFICA DE f(x,y)
Rosa ique Alvarez 55
Solucin
Rosa ique Alvarez 56
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
( )
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
1
yx
yxyx
yxyxfD
( )
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyx
yxyxfD
Demostraremos que D1 f (x, y) y D2 f (x, y) son continuas en
(0,0).
Solucin
( )
=
+==
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2),(),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfDyxg
Rosa ique Alvarez 57
Demostraremos que D1 f (x, y) es continua en (0,0), es
decir:
0)0,0(),(lim 1)0,0(),(
1 ==
fDyxfDyx
Solucin
Rosa ique Alvarez 58
talque0existe0todopara >> d
0),(lim)0,0(),(
1 =
yxfDyx
d
-
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11
Solucin
Rosa ique Alvarez 61
( )
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyx
yxyxfD
Usando el procedimiento anterior se puededemostrar que D2 f ( x,
y) es continua en (0,0).
0)0,0(),(lim 2)0,0(),(
2 ==
fDyxfDyx
Conclusiones
( )
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 2224
1
yx
yxyxyx
yxfD
Rosa ique Alvarez 62
( )
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,2
),( 2224
2
yx
yxyxyx
yxfD
D1 f (x, y) y D2 f (x, y) son continuas en (0,0)
=
+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Conclusiones
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa ique Alvarez 63
Usando el Teorema 2
La funcin f es diferenciable en (0,0)
La funcin f es continua en (0,0)
Observacin 3:
Es posible que un funcin f sea diferenciable enP0 aunque sus
derivadas parciales D1 f y D2 f nosean continuas en P0.
Rosa ique Alvarez 64
EJEMPLO 10
Rosa ique Alvarez 65
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Demuestre que f (x, y) es diferenciable y continua en (0,0)
Grafica
Rosa ique Alvarez 66
MB148E19
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
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12
INCREMENTO DE f EN (0,0)
Rosa ique Alvarez 67
( )
D+DD+D=D
-D+D+=D
2222 1)0,0(
)0,0()0,0()0,0(
yxsenyxf
fyxff
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
=
++-
+
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
Rosa ique Alvarez 68
Solucin: Definicin de diferenciabilidad
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf D+D+D+D=D 2121 0,00,00,0
=
++-
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
2
yx
yxyxyx
yyx
seny
yxfD
Rosa ique Alvarez 69
Solucin: Definicin de Diferenciabilidad
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf D+D+D+D=D 2121 0,00,00,0
Solucin
Rosa ique Alvarez 70
( ) ( ) ( ) yxyfDxfDf D+D+D+D=D 2121 0,00,00,0
( ) yxyxyx
senyx D+D+D+D=
D+DD+D 2122
22 001
Solucin
Rosa ique Alvarez 71
yx
yyx
senyxyx
senx
D+D
=D
D+DD+D
D+DD
21
2222
11
( ) yxyxyx
senyx D+D+D+D=
D+DD+D 2122
22 001
Solucin
Rosa ique Alvarez 72
D+DD=
D+DD=
222
221
1
1
yxseny
yxsenx
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13
Solucin: demostrar que
Rosa ique Alvarez 73
( ) ( )
( ) ( )01limlim
01limlim
22)0.0(,2)0,0(,
22)0.0(,1)0,0(,
=
D+DD=
=
D+DD=
DDDD
DDDD
yxseny
yxsenx
yxyx
yxyx
Solucin: Demostrar que:
Rosa ique Alvarez 74
( ) ( )01limlim
22)0.0(,1)0.0(,=
D+DD=
DDDD yxsenx
yxyx
talque0existe0todopara >> d
d
-
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14
EJEMPLO 11
Rosa ique Alvarez 79
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Demuestre que D1 f (x, y) y D2 f (x, y) no soncontinuas en
(0,0).
Solucin
Rosa ique Alvarez 80
=
++-
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
Solucin: si D1 f no es continua en (0,0)alguna de las siguientes
condiciones nose cumple
Rosa ique Alvarez 81
0)0,0(),(lim.3
existe?),(lim.2
0)0,0(.1
1
?
1)0,0(),(
1)0,0(),(
1
==
=
fDyxfD
yxfD
fD
yx
yx
Solucin
Rosa ique Alvarez 82
),(lim 1)0,0(),( yxfDyx
( )
++-
+ 222222)0,0(,1cos12lim
yxyxx
yxxsen
yx
{ }0,),(: = xxyyxS
Solucin
Rosa ique Alvarez 83
( )
++-
+ 222222)0,0(,1cos12lim
yxyxx
yxxsen
yx
-
+ xx
xx
xsenx 2
1cos22
12lim0
{ }0,),(: = xxyyxS Solucin
Rosa ique Alvarez 84
-
+ xx
xx
xsenx 2
1cos22
12lim0
{ }0,),(: = xxyyxS
-
++ xx
xsenxx 2
1cos2
1lim212lim
00
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15
Solucin
Rosa ique Alvarez 85
{ }0,),(: = xxyyxS
-
++ xx
xsenxx 2
1cos2
1lim212lim
00
-
+ xx 21cos
21lim0
0
Solucin: supongamos que
Rosa ique Alvarez 86
021cos
21lim
0=
+ xx
talque0existe0todopara >> d
)1(0021cos
21 quesiempre d
-
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16
Solucin
Rosa ique Alvarez 91
( )
++-
+ 222222)0,0(,1cos12lim
yxyxx
yxxsen
yx
Este lmite no existe
),(lim 1)0,0(),( yxfDyx Solucin:
Rosa ique Alvarez 92
cumpleseno),0,0(),(lim.3
existeno),(lim.2
0)0,0(.1
11)0,0(),(
1)0,0(),(
1
fDyxfD
yxfD
fD
yx
yx
=
=
Solucin
Rosa ique Alvarez 93
),(1 yxfD No es continua en (0,0)
=
++-
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
1
yx
yxyxyx
xyx
xsen
yxfD
Solucin: siguiendo el procedimientoanterior se puede demostrar
que
Rosa ique Alvarez 94
),(2 yxfD No es continua en (0,0)
=
++-
+
=)0,0(),(;0
)0,0(),(;1cos12
),(
222222
2
yx
yxyxyx
yyx
seny
yxfD
CONCLUSIN
Rosa ique Alvarez 95
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
),(y),( 21 yxfDyxfD No son continuas en (0,0)
Conclusiones: ver Ejemplos 10 y 11
Rosa ique Alvarez 96
( )
=
++
=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;1),( 22
22
yx
yxyx
senyxyxf
f (x, y) es diferenciable en (0,0)
f (x, y) es continua en (0,0)
),(y),( 21 yxfDyxfD No son continuas en (0,0)
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