UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE CIENCIAS
ECONMICASESCUELA DE AUDITORASEMINARIO DE INTEGRACIN
PROFESIONALTITULAR: LIC. DLFIDO MORALESAUXILIAR: ALEX MRIDA
PROBABILIDADES
GRUPO NO. 2
Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Ciencias
EconmicasEscuela de AuditoriaSeminario de Integracin
ProfesionalGrupo no. 2
GUATEMALA, JULIO 2015
INTEGRANTESGRUPO NO. 2 No.CarnNombreCalificacin
1200213242David Orlando Molina Salazar08
2200812257Edwin Estuardo Lpez Medrano10
3201011352Sandra Paola Cardona Lpez10
4201011569Jennifer Virginia Hernndez Gmez10
5201012457Jos David Veliz Aguilar10
6201012538Eduardo Josu Xitimul Garca10
7201022363Lourdes Gabriela Lpez Mazariegos10
F.Jennifer HernndezFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASSEMINARIO DE
INTEGRACIN PROFESIONALPROBABILIDADESGRUPO No. 02
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASSEMINARIO DE INTEGRACIN
PROFESIONALSERIES CRONOLGICASGRUPO No. 02
Coordinadora
iii
INTEGRANTESGRUPO NO. 2 No.CarnNombreFirma
1200213242David Orlando Molina Salazar
2200812257Edwin Estuardo Lpez Medrano
3201011352Sandra Paola Cardona Lpez
4201011569Jennifer Virginia Hernndez Gmez
5201012457Jos David Veliz Aguilar
6201012538Eduardo Josu Xitimul Garca
7201022363Lourdes Gabriela Lpez Mazariegos
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASSEMINARIO DE INTEGRACIN
PROFESIONALPROBABILIDADESGRUPO No. 02
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASSEMINARIO DE INTEGRACIN
PROFESIONALPROBABILIDADESGRUPO No. 02
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CONTENIDOIntroduccinviCAPTULO I1.ANTECEDENTES Y SURGIMIENTO DE
TEORA DE PROBABILIDAD MATEMTICA11.1. Definiciones1CAPTULO
II2.PROBABILIDADES DEFINICIN DE PROBABILIDAD132.1.Valor de la
probabilidad:142.2.Otras definiciones:142.3.Eventos mutuamente
excluyentes y eventos no excluyentes162.4.Eventos
dependientes172.5.Eventos Independientes172.6.Reglas de la
Adicin172.7.Reglas de multiplicacin182.8.Distribuciones de
probabilidad182.9.Distribuciones de probabilidad de las variables
aleatorias192.10.Propiedad21CAPTULO III3.Casos prcticos:233.1.CASO
I233.2.CASO II253.3.CASO III273.4.CASO IV293.5.CASO
V35Conclusiones37Recomendaciones38Referencias
bibliogrficas39Cuestionario40Anexos42INTRODUCCIN
La probabilidad constituye un importante parmetro en la
determinacin de las diversas casualidades obtenidas tras una serie
de eventos esperados dentro de un rango estadstico.
En el Captulo I se encuentran las Generalidades, donde se
presenta informacin del origen de las probabilidades y conceptos
que proveen una base terica del tema.
En el Captulo II Probabilidades, se abarca definiciones desde
varios puntos de vista, clase de eventos que pueden existir, reglas
establecidas para las probabilidades y como estas pueden ser
distribuidas.
Seguidamente, el Captulo III Casos Prcticos, se resuelven varios
problemas de probabilidades y distribuciones de probabilidades,
para una mejor comprensin del tema.CAPTULO I
ANTECEDENTES Y SURGIMIENTO DE TEORA DE PROBABILIDAD
MATEMTICA
Cerca del ltimo cuarto del siglo XVII, ya exista una gran
cantidad de conocimientos sobre sucesos aleatorios, acompaados por
nmero de problemas correctamente planteados y resueltos. Pero estos
conocimientos se enfocaban a problemas concretos limitados a los
juegos de azar, y nadie haba sido capaz de dar una definicin
general de la probabilidad.
La primera persona que estudio la probabilidad, fue el
comerciante ingls John Graunt (16201675), quien en 1662 abord
problemas sobre demografa. Graunt se propuso encontrar un mtodo
preciso para estimar la edad media de los habitantes de Londres
mediante la edad de defuncin; haciendo esto introdujo el concepto
de frecuencia de un suceso, remarcando el cierto grado de
aleatoriedad presente en las proporciones obtenidas.
Definiciones
1.1.1. Evento: Es un subconjunto de un espacio muestral; son
resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados posibles
de realizar un experimento.
1.1.2. Espacio muestral: el espacio muestral del que se toma una
muestra concreta est formado por el conjunto de todas las posibles
muestras que se pueden extraer de una poblacin mediante una
determinada tcnica de muestreo.
1.1.3. Estimacin: una estimacin es cualquier tcnica para conocer
un valor aproximado de un parmetro referido a la poblacin, a partir
de los estadsticos muestrales calculados a partir de los elementos
de la muestra.
1.1.4. Nivel de confianza: el nivel de confianza de una
aseveracin basada en la inferencia estadstica es una medida de la
bondad de la estimacin realizada a partir de estadsticos
muestrales.
1.1.5. Parmetro o Estadstico muestral: un parmetro estadstico o
simplemente un estadstico muestral es cualquier valor calculado a
partir de la muestra, como por ejemplo la media, varianza o una
proporcin, que describe a una poblacin y puede ser estimado a
partir de una muestra.
1.1.6. Eventos Estadsticos: un evento o suceso es un subconjunto
de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles
resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.
1.1.7. Evento Simple: es el resultado posible de un experimento,
cuya caracterstica es el de no descomponerse en otros casos.1.1.8.
Evento Compuesto: existe cuando se puede descomponer en varios
eventos simples.
1.1.9. Evento Complementario: es aquel evento que est compuesto
por los eventos que no estn en este evento.
1.1.10. Evento Nulo: es un evento que no puede ocurrir, su
probabilidad es cero, si un evento A es imposible.1.1.11. Evento
Verdadero: es un evento que ocurre siempre, siendo igual al espacio
muestral.
1.1.12. Lmites o valores extremos de una Probabilidad: se
concluye que los lmites de la probabilidad son 0 y 1, o 0% y 100%.
Y la probabilidad de un evento vara en ese intervalo.
1.1.13. Sistema completo de eventos: la suma de todos los
eventos posibles de un experimento es igual a 1 o 100%.
CAPTULO II
PROBABILIDADES DEFINICIN DE PROBABILIDAD
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que
estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por
el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no
es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del
experimento.
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un
resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un
experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados
posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teora de la
probabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la
fsica, la matemtica, la ciencia y la filosofa para sacar
conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la
mecnica subyacente de sistemas complejos.
Por definicin, entonces, la probabilidad se mide por un nmero
entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad
asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad
sera igual a uno. As, las probabilidades suelen venir expresadas
como decimales, fracciones o porcentajes. Se presentan como
alternativa a la estadstica tradicional centrada en el contraste de
hiptesis.
Valor de la probabilidad:
El valor ms pequeo que puede tener la probabilidad de ocurrencia
de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es
imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento
ciertamente ocurrir.
Otras definiciones:
1.1.14. Definicin Clsica de la Probabilidad: tambin se le conoce
con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es
necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el
espacio muestral y el nmero de resultados o sucesos elementales que
entran a formar parte del suceso.
La aplicacin de la definicin clsica de probabilidad puede
presentar dificultades de aplicacin cuando el espacio muestral es
infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son
probables.
Para resolver estos casos, se hace una extensin de la definicin
de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos
restricciones, llegando as a la definicin frecuentista de
probabilidad.
1.1.15. Definicin Frecuentista de la Probabilidad: la definicin
frecuentista consiste en definir la probabilidad como el lmite
cuando n tiende a infinito de la proporcin o frecuencia relativa
del suceso.
Es imposible llegar a este lmite, ya que no podemos repetir el
experimento un nmero infinito de veces, pero si podemos repetirlo
muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a
estabilizarse.
Esta definicin frecuentista de la probabilidad se llama tambin
probabilidad a posteriori ya que slo podemos dar la probabilidad de
un suceso despus de repetir y observar un gran nmero de veces el
experimento aleatorio correspondiente.
1.1.16. Definicin Subjetiva de la Probabilidad: tanto la
definicin clsica como la frecuentista se basan en las repeticiones
del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no
se pueden repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede
aplicarse la interpretacin objetiva de la probabilidad.
En esos casos es necesario acudir a un punto de vista
alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere
la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de
creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el
suceso ocurra.
Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es
posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos
grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente
vlidos.
1.1.17. Definicin Axiomtica de la Probabilidad: la definicin
axiomtica de la probabilidad es quizs la ms simple de todas las
definiciones y la menos controvertida ya que est basada en un
conjunto de axiomas que establecen los requisitos mnimos para dar
una definicin de probabilidad.
La ventaja de esta definicin es que permite un desarrollo
riguroso y matemtico de la probabilidad. Fue introducida por A. N.
Kolmogorov y aceptada por estadsticos y matemticos en general.
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
1.1.18. Eventos mutuamente excluyentes: dos o ms eventos son
mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir
simultneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide
automticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).1.1.19.
Eventos no excluyentes: dos o ms eventos son no excluyentes, o
conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que
necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultnea.
Eventos dependientes
Dos o ms eventos sern dependientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del
otro (u otros). Cuando se presenta este caso, se emplea el concepto
de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del
evento relacionado.
Eventos Independientes
Dos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de
ocurrencia del otro evento (o eventos).
Reglas de la Adicin
La Regla de la Adicin expresa que: la probabilidad de ocurrencia
de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P (B) = P(A) + P (B) si A y B son mutuamente
excluyentesP(A o B) = P(A) + P (B) P(A y B) si A y B son no
excluyentesSiendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP
(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) =
probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y BReglas de
multiplicacin
Se relacionan con la determinacin de la ocurrencia de conjunta
de dos o ms eventos. Es decir la interseccin entre los conjuntos de
los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que
la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B
es:P(A y B) = P(A B) = P(A) P (B) si A y Bson independientesP(A y
B) = P(A B) = P(A) P (B|A) si A y Bson dependientesP(A y B) = P(A
B) = P (B) P (A|B) si A y Bson dependientes
Distribuciones de probabilidad
Una distribucin de probabilidad indica toda la gama de valores
que pueden representarse como resultado de un experimento si ste se
llevase a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice
en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la
prospectiva, puesto que se puede disear un escenario de
acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenmenos naturales.Toda distribucin de probabilidad es
generada por una variable aleatoria, y puede ser de dos tipos:
Variable aleatoria discreta. Porque solo puede tomar valores
enteros y un nmero finito de ellos. Variable aleatoria contina.
Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un
nmero infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.
Distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias
Distribucin Binomial Distribucin de Poisson Distribucin
Normal
1.1.20. Distribucin binomial: la distribucin Binomial es un caso
particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por
sus aplicaciones, es posiblemente la ms importante. Esta
distribucin corresponde a la realizacin de un experimento aleatorio
que cumple con las siguientes condiciones:
Al realizar el experimento slo son posible dos resultados: el
suceso A, llamado xito, o su contrario A, llamado fracaso. Al
repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de
los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso
A es constante, es decir, no vara de una prueba del experimento a
otra. En cada experimento se realizan n pruebas idnticas.Todo
experimento que tenga estas caractersticas se dice que sigue el
modelo de la distribucin Binomial o distribucin de Bernoulli.En
general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de xito
(p) y de fracaso (q), entonces la distribucin de probabilidad que
la modela es la distribucin de probabilidad binomial.
1.1.21. Distribucin de poisson: la distribucin de Poisson es
tambin un caso particular de probabilidad de variable aleatoria
discreta, el cual debe su nombre a Simon Denis Poisson (1781-1840),
un francs que la desarroll a partir de los estudios que realiz
durante la ltima etapa de su vida. Esta distribucin se utiliza para
describir ciertos procesos.
Hay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos
que ocurren por unidad de tiempo, rea o producto es totalmente al
azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro
intervalo dado, as como cada rea es independiente de otra rea dada
y cada producto es independiente de otro producto dado.
1.1.22. Distribucin normal: la distribucin normal es tambin un
caso particular de probabilidad de variable aleatoria continua, fue
reconocida por primera vez por el francs Abraham de Moivre
(1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
elabor desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la curva; de
ah que tambin se le conozca, ms comnmente, como la "campana de
Gauss". La distribucin de una variable normal est completamente
determinada por dos parmetros, su media () y su desviacin estndar
(). Con esta notacin, la densidad de la normal viene dada por la
ecuacin: que determina la curva en forma de campana que tan bien
conocemos.Existen dos razones bsicas por las cuales la distribucin
normal ocupa un lugar tan prominente en la estadstica:
Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran nmero
de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la
toma de muestras. La distribucin normal casi se ajusta a las
distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenmenos,
incluyendo caractersticas humanas, resultados de procesos fsicos y
muchas otras medidas de inters.
Propiedad
No importa cules sean los valores de la media () y la desviacin
estndar () para una distribucin de probabilidad normal, el rea
total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en
reas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemticamente es
verdad que:
Aproximadamente el 68% de todos los valores de una poblacin
normalmente distribuida se encuentra dentro de 1 desviacin estndar
de la media. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una
poblacin normalmente distribuida se encuentra dentro de 2
desviaciones estndar de la media. Aproximadamente el 99.7% de todos
los valores de una poblacin normalmente distribuida se encuentra
dentro de 3 desviaciones estndar de la media.
Estas grficas muestran tres formas diferentes de medir el rea
bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de
la distribucin normal de probabilidad implican intervalos de ms o
menos 1, 2 o 3 desviaciones estndar a partir de la media. Para
estos casos existen tablas estadsticas que indican porciones del
rea bajo la curva normal que estn contenidas dentro de cualquier
nmero de desviaciones estndar ms o menos a partir de la media.
Afortunadamente tambin se puede utilizar una distribucin de
probabilidad normal estndar para encontrar reas bajo cualquier
curva normal. Con esta tabla se determina el rea o la probabilidad
de que la variable aleatoria distribuida normalmente est dentro de
ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias estn
definidas en trminos de desviaciones estndar.
Para cualquier distribucin normal de probabilidad, todos los
intervalos que contienen el mismo nmero de desviaciones estndar a
partir de la media contendrn la misma fraccin del rea total bajo la
curva para cualquier distribucin de probabilidad normal. Esto hace
que sea posible usar solamente una tabla de la distribucin de
probabilidad normal estndar.CAPTULO III
Casos prcticos:
CASO I
Probabilidades
Se tiene la siguiente informacin:
ClienteDocumentos
A5
B7
C4
Total16
Hallar las siguientes probabilidades, sacando documentos sin
reemplazo (dependientes):
a) La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente Ab)
La probabilidad conjunta de sacar 3 documentos que sean del cliente
Bc) La probabilidad de sacar 3 documentos en el orden siguiente:
cliente A, B y Cd) Se sacan 3 documentos. La probabilidad de que el
tercer documento sea del cliente B, si los dos primeros tambin lo
fueron
Resolucin
a) La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente
A
P(A) = 5/16 = 0.3125
b) La probabilidad conjunta de sacar 3 documentos que sean del
cliente B
A: documento de cliente B en 1. ExtraccinB: documento de cliente
B en 2. ExtraccinC: documento de cliente B en 3. Extraccin
P (A y B y C) = P (A) x P (B/A) x P(C/AB)P (A y B y C) = 7/16 x
6/15 x 5/14 = 210/ 3360P(A y B y C) = 0.0625
c) La probabilidad de sacar 3 documentos en el orden siguiente:
cliente A, B y C
A: documento de cliente A en 1. ExtraccinB: documento de cliente
B en 2. ExtraccinC: documento de cliente C en 3. Extraccin
P(A y B y C) = P(A) * P (B/A) * P(C/AB)P(A y B y C) = 5/16 *
7/15 * 4/14 = 140/ 3360P(A y B y C) = 0.04167
d) Se sacan 3 documentos. La probabilidad de que el tercer
documento sea del cliente B, si los dos primeros tambin lo
fueron
A: documento de cliente B en 1. ExtraccinB: documento de cliente
B en 2. ExtraccinC: documento de cliente B en 3. Extraccin (A y B
ya se dieron, queda de incgnita el tercer evento)
P(C/AB) = 5/14 = 0.3571
CASO II
Probabilidades
Una empresa tiene inversiones en ttulos privados, estos estn
clasificados de acuerdo al plazo de vencimiento y casa de bolsa de
valores, la informacin es la siguiente:
Plazos (meses)GlobalCorporacin BurstilCapital e Inversiones
1 a 314277
4 a 635155
7 a 12301022
13 a 1520812
Total996046
Se pide calcular las siguientes probabilidades:
a) Seleccionar un ttulo de Capital e Inversionesb) Seleccionar
un ttulo con vencimiento de 4 a 6 meses c) Seleccionar un ttulo con
vencimiento de 1 a 3, o de 7 a 12 mesesd) Seleccionar un ttulo con
vencimiento de 16 mesese) Seleccionar un ttulo de Corporacin
Burstil con vencimiento de 4 a 6 meses.
Resolucin
a) Seleccionar un ttulo de Capital e Inversiones
46 = 0.224390243 x 100 = R // 22.44 %205
b) Seleccionar un ttulo con vencimiento de 4 a 6 meses
55 = 0.268292682 x 100 = R // 26.83 % 205
c) Seleccionar un ttulo con vencimiento de 1 a 3, o de 7 a 12
meses 110 = 0.536585365 x 100 = R // 53.66 %205
d) Seleccionar un ttulo con vencimiento de 16 meses
No hay ttulos de16 meses por lo tanto valor nulo R// P(a) =
e) Seleccionar un ttulo de Corporacin Burstil con vencimiento de
4 a 6 meses.
15 = 0.073170731 x 100 = R // 7.32 %205
CASO III
Distribucin de probabilidades (Binomial)
El 40% de artculos que produce una mquina tienen error, si se
selecciona una muestra de 6 artculos. Encontrar las siguientes
probabilidades:
a) Que haya exactamente 3 artculos con errorb) De sacar menos de
2 artculos con errorc) Al menos 5 artculos con errord) De sacar ms
de uno pero no ms de cuatro artculos con error
Datos:
p = 0.4n = 6q =1-0.4 = 0.6
Resolucin
(p + q)6 =p6+ 6p5 q+ 15p4 q2+ 20p3 q3+ 15p2 q4+ 6p q5+ q6
No. TrminoxTrminoValor
16p60.004096
256p5 q0.036864
3415p4 q20.13824
4320p3 q30.27648
5215p2 q40.31104
616p q50.186624
70 q60.046656
1
a) Que haya exactamente 3 artculos con error
P(x = 3) = 0.27648
b) De sacar menos de 2 artculos con error
P(x < 2) = P (0) + P (1)P(x < 2) = 0.046656 + 0.186624 =
0.23328
c) Al menos 5 artculos con error
P(x 5) = P (5) + P (6)P(x 5) = 0.036864 + 0.004096 = 0.04096
d) De sacar ms de uno pero no ms de cuatro artculos con
error
P (1
