Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICA1 iNMEROS COMPLEXOS1. IntroduoQuandovamosresolver umaequaodo tipo 0 12 + x, vamos encontrar1 t x. Observem que encontramos uma impossibilidade: "A raiz quadrada de um nmero negativo".Maistardeosmbolo1 passouaser indicado pela letrai. A partir da surge formalmente o que se chamou denmeros complexos ou imaginrios.Assim: i unidade imaginriae12 i.Exerccios de Aula1) Resolva a equao 0 92 + x.2) Resolva a equao 0 13 62 + x x.2. Forma AlgbricaChamamosdenmerocomplexonaFORMA ALGBRICA, todo nmero na formabi a + , onde aebso, nmeros reais ei a unidade imaginria(12 i)Usamos a letra Zquando nos referimos a um NMERO COMPLEXO.Assim:( )( )' + Z de imaginria parte Im Z de real parte ReZ bZ abi a ZEm particular:1) Se0 bento Z um nmero real.2) Se 0 a e0 b , ento Z um imaginrio puro. Ex:i i 2 0 2 + OBSERVAONotequenobasta 0 a paraqueo nmero seja imaginrio puro, pois, se 0 btambm0 0 0 + i Zque um nmero real.Exerccios de Aula3) Considerando o nmero complexo ( ) ( ) i n m Z 25 32 + , determinar m e nde modo que Z seja:a) um nmero real;b) um nmero imaginrio;c) um nmero imaginrio puro.4) Determineapara que ( ) ( ) i a a a Z 1 22 + + seja um imaginrio puro.3. Igualdade de Nmeros ComplexosDois nmeros complexos, na forma algbrica so iguais quando suas partes reais e imaginrias forem respectivamente iguais.Assim: bi a Z + edi c W + ' d bc aW ZExerccios de Aula5) Calcularxeyde modo que ( ) ( ) i y x i y x 4 5 6 2 + + + +4. Operaes na Forma AlgbricaAdio / Subtrao / MultiplicaoNaadio/ subtraode dois nmeros complexos devemossomar / subtrairsuas partes reais e tambm as suas partes imaginrias.Na multiplicao lembre-se que 12 i.Exerccios de Aula6) Dados i z + 41, i z 2 12+ e i z 3 53 , calcule:a)3 2 1z z z +b)3 2 14 2 z z z + c)3 2 1. z z z +d)1 3 2.z z z e) ( )3 221.z z z 7) Calculeae b para que ( ) ( ) i bi a i 3 1 5 4 + + + .43MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexos8) Determine k real, paraque ( ) ( ) i k i 3 2 5 + seja imaginrio puro.Conjugado de um Nmero Complexo Zbi a Z bi a Z + Troca-se o sinal da parte imaginria.Exemplos:i Z 3 2 i Z 3 2 + i W 3 i W 3 i U + 1i U 1Exerccios de Aula9) Determineonmerocomplexo z demodo quei z z 16 12 5 + +DivisoAntes de efetuar a diviso de dois nmeros complexos devemos multiplicar tanto o numerador como o denominador pelo conjugado do denominador. S aps isso efetuamos a diviso.Exerccios de Aula10) Efetue as seguintes operaes:a)ii3 52+b)ii+1111) Determinemdemodoqueii m+3sejaum nmero real.Potncias de iCalculemos algumas potncias de i:i i i ii i ii i i iii ii .1 ..114 53 42 3210Notamos que, a partir de 4i, as potncias de ivo repetindo os quatro primeiros resultados.Assim:r ni i onder o resto da diviso denpor 4.OBS: ( ) i i 2 12 +( ) i i 2 12 Exerccios de Aula12) Calcule o valor de:a)92ib)45ic)1081 311i i +d)1 4 + nie)2 13 +i i13) Calcule a soma 106 105 23 22 21... i i i i i + + + + +.14) Efetue as operaes:a) ( )24 3 i +b) ( )32 i +c) ( )121 i +d) ( )211 i 5. Representao Geomtrica de um Nmero ComplexoRepresentaremos cada nmero complexo bi a Z + pelopontodecoordenadas ( ) b a; e ser chamado deAFIXOouIMAGEM DO NMERO COMPLEXO.Dessa forma, o nmero complexoi Z 3 2 + , por exemplo, ser representado pelo ponto( ) 3 ; 2 P .Im (Z) 3 P (2, 3)

2 Re (Z)O plano onde representamos os nmeros complexos conhecido como PLANO DE ARGAND-GAUSS ou PLANO COMPLEXO, o eixo Ox serchamadodeEIXOREALeoeixoOyser chamado de EIXO IMAGINRIO6. Mdulo de um Nmero Complexo44Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICADado o nmero complexo bi a Z + , chamamos de mdulo de Z e indicamos porZoudistnciaentreaorigemdoplanode Gauss e o afixo de Z.2 2b a Z + Propriedades1)Z Z2)W Z W Z . . 3) WZWZ4) nnZ Z 5)W Z W Z + +Exerccios de Aula15) Calcule o mdulo dos nmeros complexos:a) i Z 2 3 b) i W + 4c) i V 3 5+ d) i U 5 e) 3 T16) Calculek de modo que o nmero complexo ( ) ( ) i k k Z 2 2 2 1 + tenha mdulo igual a 5.17) Representegeometricamenteoconjuntode afixos que satisfazem a condio5 2 + z .7. Argumento de um Nmero ComplexoSendo bi a Z + umnmerocomplexo no nulo e P o afixo de Z no plano de Gauss de origem O, chamamos de ARGUMENTO do nmero complexo Z, a medida do arco com centro em O tomado a partir do semi-eixo real positivo at a semi-reta OP no sentido ANTI-HORRIO.Assim:Im (z)P (a, b) Z = a + bi 0 Re (z) Im (z)P 0 Re (z)Im (z) Re (z) P (a, b)8. Forma Trigonomtrica de um Nmero ComplexoSendoZe ( ) 2 0 respectivamente o mdulo e o argumento do nmerobi a Z + , a forma trigonomtrica de Z :( ) sen . cos i Z Z + Da trigonometria conclumos que:45MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexos 2 2b a Z + Za cos Zb sen Exerccios de Aula18) Passe para a forma trigonomtrica os nmeros complexos abaixo:a)i Z .21231+ b)i Z . 3 12+ c) i Z 2 23 d) i Z 24 e) 35 Z19) Passe para a forma algbrica os nmeros complexos abaixo:a) ( ) 120 sen. 120 cos 61i Z + b) ( ) 60 sen. 60 cos 22i Z + c) ( ) 225 sen. 225 cos 33i Z + d) 90 sen. 90 cos4i Z + e) ( ) 0 sen. 0 cos 55i Z + 9. Produto e Diviso(Forma trigonomtrica)Sendo: ( )1 1 1 1sen. cos i Z Z + e( )2 2 2 2sen. cos i Z Z + ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1sen . cos . . + + + i Z Z Z Z e( ) ( ) ( )2 1 2 12121sen. cos + iZZZZ10. Potenciao (1 frmula de Moivre)Sendo:( ) sen. cos i Z Z + , tem se:( ) ( ) ( ) . sen . . cos n i n Z Znn+ ,N nExerccios de Aula20) Sendo os nmeros complexos:( ) 120 sen. 120 cos 61i Z + ( ) 60 sen. 60 cos 22i Z + ( ) 225 sen. 225 cos 33i Z + Efetue as operaes:a)2 1.Z Zb)21ZZc)32ZZd) ( )203Z46Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICA21) (UFPE)Sejai Z + 3, onde1 i. Para quais valores denteremos que nZ real? E para quais valores nZ imaginrio puro?11. Radiciao (2 frmula de Moivre)Seja ( ) sen. cos i Z Z + , um nmero complexoqualquer, nonulo. Nosso objetivo calcular um nmero Wque seja uma raiz n-sima desse nmero complexo Z.nZ W Seguiremos os seguintes passos:a) OmdulodeW seraraizn-simado mdulo de Z;b) Existiram n nmeros complexos W ;c) O argumento do primeiro possvel valor de Wser obtido pela frmula n 1;d) Os argumentos dos outros possveis valores paraW sero obtidos somando a1sucessivamenteumarazofixanr 2 ou nr 360 .Exerccios de Aula22) Calcule as razes quartas do nmero complexo 1 Z.23) Determine as razes cbicas de8 Z .24) Calcule as razes quartas do complexo i Z 3 8 8 .25) (UFPE) As solues complexas da equao 16 Z so vrtices de um polgono regular no planocomplexo. Calculeopermetrodesse polgono.Conseqncias:a) Os argumentos dos possveis valores de Wformam uma P.A. de razo n 2 ou n 360.b) Todos os possveis valores de W estaro sobre uma circunferncia centrada na origem e de raio n Z .c) Colocando-se no plano complexo os afixos detodos os possveis valores deW , eles formaro umpolgonoregular de n lados ( ) 3 n , com centro na origem do plano. 12. Apndice: Uma breve histria e aplicaesOs nmeros complexos apareceram no sculo XVI aolongodasdescobertasdeprocedimentos gerais para resoluodeequaesalgbricas de terceiro e quarto grau. No sculo XVII os complexos sousados demaneiratmidaparafacilitar os clculos. No sculo XVIII so mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexo de vrios resultados dispersos da Matemtica no conjunto dos nmeros reais. No entanto, nada feito para esclarecer o significado desses novos nmeros. No sculo XIX, aparece a representao geomtrica dos nmeros complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Fsica, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os nmeros complexos passam a ser aplicados em vrias reas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemtica.Os nmeros complexos emergiram em pleno momento histrico chamado de Renascena (1400-1600), onde tivemos, estimulados pelo desenvolvimento comercial e pelo crescimento das cidades europias, o desenvolvimento da Matemtica atravs dos trabalhos de Paccioli (1494), Tartaglia e Cardano (1545). Os complexos noforamaceitosnaturalmentecomonmeros. No havia sentido (significado geomtrico) em uma raiz quadrada de um nmero negativo.O smbolo 1 , para a raiz quadrada de 1, introduzido por Girard (1629), passou a ser representado pela letra ia partir de Euler (1777). Foi Descartes(1637)quemintroduziuostermos real e imaginrio. A expresso nmeros complexos foi usada pela primeira vez por Gauss (1831).Girard (1628), Wallis (1685), Argand (1790) e Wessel (1797), independentemente motivados pela Geometria e pela Topografia, representaram geometricamente, demaneiraintuitivaeprtica, oscomplexoscomopontos(vetores) numplano cartesiano. Gauss (1831) e Hamilton (1833) redescobriram a representao geomtricae 47MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexosdefiniramoscomplexos. Gaussosdefiniucomo nmeros da forma a + bi, onde a e b so nmeros reais e i2 = 1.A representao geomtrica permitiu que os complexosfossemvisualizados, por conseguinte, aceitos como nmeros. A possibilidade de extrair a raiz ensimadeumcomplexodadapor Cotes (1714),Moivre(1730), D'Alembert (1746), Euler (1748) e Picard(1871), sinalizando que o sistema dos nmeros complexos algebricamente fechado, tambm contribuiu para isso.Osnmeroscomplexossomuitoteisna Aerodinmica. Joukowski (1906), utilizando transformaes geomtricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avio (aeroflio de Joukowski) e, usando o princpio de Bernoulli (1738) e a teoria das funes complexas, deduziu a frmula F = x + yi = -iei(VkL ), que permite calcular a fora de levantamento responsvel pela sustentaodovodeumavio. Os nmeros complexos permitiram uma explicao matemtica para o vo. Da em diante o progresso aeronutico foi rpido.Na eletrnica e na eletricidade, a anlise de circuitos de corrente alternada feita com a ajuda de nmeros complexos. Grandezas como a impedncia (em ohms) e a potncia aparente (em volt-ampre) so exemplos de quantidades complexas.Os nmeros complexos abriram caminho para que os matemticos pudessem criar (experimentar) novas lgebras. Gauss (1801) estendeu os inteiros (nmeros da forma a + bi em que a e b so inteiros e i2= 1) na sua lgebra das congruncias.Hamilton (1843) introduziu uma multiplicao de vetores no espao de quatro dimenses, construindo a lgebra, no comutativa, dos Quatrnions(a,b,c,d) =a+bi +cj +dkonde a,b,c,d so nmeros reais e i2 = j2 = k2 = ijk = -1. O grupo dos quatrnions alm de ser um conceito importante da lgebra abstrata muito importante na Fsica quntica.EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM1. Resolva as equaes:a)0 42 + xb)0 13 62 + x xc)0 12 + + x xd)0 5 4 42 + x x2. Determine m e n paraqueonmero complexo( ) ( ) i n n m z 4 3 1 22 + seja:a) Real;b) Imaginrio;c) Imaginrio puro.3. Determine x eyparaqueosnmeros 1ze 2zsejam iguais em cada caso:a) i x z 4 31 e( ) i y x y z + + 2b) i z 21 e( ) i y x x z + 224. (U. E. LONDRINA) Sejam os nmeros complexos ( ) i x W 2 1 + e ( ) i y x V 3 2 + , ondeR , y x . SeV W , calculexe y.5. Sendoi z 3 11+ , i z + 22ei z 23 . Calcule:a)3 2 12 z z z +b)3 2 1. z z z +c) ( ) i z z +2 .3 2d)3 2 13 2 z z z e)32zzf)2221z z +g)( )22 1z z+6. Calcule k demodoqueii kZ+2seja real.7. Calcule o valor das expresses:a)35ib)22ic)96id)100 3 2... i i i i + + + +8. Calcule o valor das expresses:48Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICAa) ( )33 2 i b) ( )42 1 i c) ( )121 i +d) ( )311 i 9. Calcule o mdulo dos complexos abaixo:a) i Z + 2b) i W 2 3+ c) i V 3 5 d) i U 6 e) 8 T10. (STA.CASA) Seja o nmero complexo xi z 2 1+ , ondeR x . Se o mdulo dez igual a7 , ento qual o valor dex ?11. (UFAL) dado um nmero complexo ( ) ( )i x x z 3 2 + + ,onde x umnmero real positivo. Se5 z , ento qual o valor de x ?12. Encontre a forma trigonomtrica dos nmeros complexos:a) i z + 11b)3 12i z c) i z 8 83 d) i z 44 e) 25 z13. Encontre a forma algbrica dos complexos:a) ( ) 45 sen. 45 cos 21i z + b) ( ) 210 sen. 210 cos 32i z + c) ( ) 300 sen. 300 cos323i z + d) ( ) 270 sen. 270 cos214i z + e) ( ) 180 sen. 180 cos 45i z + 14. Dados os nmeros complexos

,_

+ 65sen.65cos 6 i z e

,_

+ 4sen.4cos 3 i w , calcule:a) w z.b)2wc)wzd)zw15. Determine o nmero complexo1z , sabendo ,_

+ 9sen.9cos 102 i z e

,_

+ 1817sen.1817cos 3 20 .2 1 i z z .16. Calcule o valor das potncias 3z,5z,10z e 25z, sabendo que,_

+ 3sen.3cos 2 i z .17. Determine o menor valor naturalpositivo de n , para o qual( ) ni 3 2 2 + real e positivo?18. Julgue os itens abaixo.0 0 Ocomplexo i w 3 2 + umadas razes quadradas dei z 12 5 + .1 1 O complexo i w . 3 1 uma dasrazes cbicas de8 z .2 2 O complexo ( ) + 25 sen. 25 cos 2 i w uma das razes sextas de i z 32 3 32 + .3 3 Os argumentos das razes quartas deum complexo 0 z formamuma progresso geomtrica de razo 4.4 4 Todas as razes oitavas deumcomplexo 0 z possuemomesmomduloeseus argumentos formam uma progresso aritmtica de razo 4.EXERCCIOS DUPLA COLUNA1. Com relao ao nmero 1 i. Exiba a resposta como a soma dos nmeros relacionados s alternativas verdadeiras:01) O seu oposto i .02) O seu inverso 1 .04)1984i um nmero real.08) raiz da equao 0 12 + x.16) um nmero positivo.32)116i.49MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexos2. Sendo1 i. Analise as afirmativas abaixo.0 01 220 10 + i i.1 1 Asrazesdaequao0 2 22 + x xso i + 1 ei 1 .2 2 Se o produto( ) ( ) i mi + + 3 2 um imaginrio puro, ento5 m .3 3( )10 202 1 i.4 42 4 1 4 4 + ++ +n n ni i i, comN n igual a 1 .3. (UNICAP) Considere os nmeros complexos i Z 7 9 + , i Z 2 31 e seus respectivosconjugadosZe1Zeconsidere queZrepresenta o mdulo do complexo Z. Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.0 0 13 3 .1+ i Z Z .1 1 iZZ3 11 .2 2 10 13 .1 Z Z .3 332 . Z Z.4 4 101ZZ.4. (UNICAP) Seja bi a z + , onde R , b a , 0 , b a , i a unidade imaginria e z o conjugado de z . Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.0 02 2. b a z z + .1 1zz1 , qualquer que seja a e b.2 2 ai b z + .3 32 2b a z + , quaisquer que sejam a e b. 4 4 ( ) z z z Im 2 + .5. Sobre o nmero complexo i z2321 , correto afirmar que:0 0 2 . z z .1 1 1 z .2 235sen .35cos i z .3 3 z raiz da equao 0 13 + x.4 4 Oconjugado do conjugado de z um nmero real.6. (UPE) Assinale as afirmativas verdadeiras e as falsas.0 0 Se ( ) 05 1 sen . 105 cos 8 i Z + e ( ) 5 1 sen . 15 cos 2 i W + , entoiWZ4 .1 1 Se 1 i, ento ( ) 16 18 +i.2 2 Se 1 i, ento i i 127.3 3 SejaZumnmerocomplexoeZseu conjugado. Se24 . Z Z, entoomdulo de Z 6 2.4 4 O argumento do nmero complexo i + 3 45 .7. (UNICAP) Considerando o nmero complexo i Z + 1 . Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.0 0 omenorinteiropositivon, paraoqual se tem R nZ, 4 n .1 1 6 n omenor inteiropositivotal que R nZ e positivo.2 2R nZpara todo n positivo e mltiplo de 4.3 3 2 n omenorinteiropositivo, tal que, ( ) 0 Re nZ .4 4 para n mpar e positivo,nZser um nmero complexo da formabi a + , comaebreais e diferentes de zero.8. (UNICAP) Sejam xe yreais ei y x Z . + com mdulo Z . Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.0 0 1 + Z i Z representa, no plano cartesiano, a equao de uma parbola.1 1 SendoZo conjugado deZ, ento 1 . Z Zrepresenta, no plano cartesiano, a equaodeumacircunfernciadecentro na origem e raio 1.2 2 Z i Z representa, no plano, a equao de uma reta.3 3 SeZeW sodoisnmeroscomplexos, entoW Z W Z + > + .4 4 W Z W Z . . .50Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICA9. (UNB) Considerezum nmero complexo, z seu conjugado,1 ie ( ) sen . cos i r z + suaformapolar. Julgue os itens abaixo:0 0 A parte real dez z zero.1 1( ) ( ) ( )ii i i 213 2 15 .2 2( )iii i6558433 225 .3 3 para n inteiro positivo, R nzse, e somente se,Z ,2 knk .10. (UFS 2002) Na figura abaixo, os pontos P1, P2eP3soasrespectivasimagensdos nmeroscomplexosz1, z2ez3noplanode Argand-Gauss.Useosdadosapresentadosparaanalisaras proposies seguintes.0 0 O mdulo de z2 18.1 1 O conjugado de z3 i + 3.2 2 Calculando-se 422371.z zobtm-sei 324 .3 3 Se x e y so nmeros reais tais que 6 . .2 1 + y z x z , ento8 + y x .4 4 z3 uma das razes quartas de i 3 8 8 .11. (UFS2003) Verifiqueaveracidadedas afirmaesseguintes, emquei aunidade imaginria.0 0 Se o nmero complexo z tal que ( ) i z i 4 3 . 2 1 + , ento5 z .1 1 O argumento principal do nmero complexo ( ) ( ) i i z 2 2 . 1 + tal que 232< < .2 2 Se,_

+ 43sen .43cos 2 i z , ento 10z um imaginrio puro.3 3 Se x e y so nmeros reais tais que ( ) ( )i x y yi x 1 2 2 + + + , ento2 + y x .4 4 Os argumentos principais das razes quartasde1constituemumaprogresso aritmtica cuja razo 2.12. (UFS 2004) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D, pertencentes a uma circunferncia de centro na origem do plano de Gauss, so as imagens dos nmeros complexos z1, z2, z3 e z4, respectivamente.Considere os dados da figura para analisar as proposies que seguem.0 0 O complexo z1 uma das razes quartas de 16.1 1 A forma algbrica de 12zz 22.22i .2 2 O produto 3 1.z z igual a 3 2 2 i .3 3 Calculando-se( )224 2z z obtm-se um imaginrio puro.4 4 Se x e y so nmeros reais tais que yi x z + 63, ento64 + y x .13. (UFS2005) Nafiguraabaixotem-seo tringuloeqiltero ABC , inscritoemuma circunferncia de raio 1 e centro na origem do plano de Argand-Gauss. Os pontos A, B eCso as respectivas imagens dos nmeros complexos 1z , 2ze 3z .51MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros ComplexosUse os dados da figura para analisar as afirmaes seguintes.0 0i z21231+ .1 1 Onmerocomplexo2z umadasrazes cbicas dei .2 2 Existem exatamente trs valores reais dekpara os quais( )43z k + um nmero real.3 3 Omduloeoargumentode3 2z z + so, respectivamente, 21 e 34 .4 4 A forma trigonomtrica de3 1.z z 35sen .35cos i + .14. (UFS2006)NoplanodeArgand-Gauss abaixo, os pontos PeQso as respectivas imagens dos nmeros complexosuev .Se 2 v u , use as informaes do grfico para analisar as afirmaes seguintes.0 0 O argumento principal de vu igual a 180 .1 1 O conjugado de u uma das razes quadradas dei 2 .2 2 O mdulo dei u v + igual a 2 2.3 3 As imagens dos nmeros complexos z tais que 1 u z pertencem a uma circunferncia de raio unitrio e centrada na origem do plano.4 4 O menor nmero naturaln , para o qualnv um imaginrio puro de parte imaginria positiva, 6.15. (UFS 2007) Considere os nmeros complexos i u e i v + 1 , paraanalisar a veracidade das afirmaes seguintes.0 0 Sem e n so nmeros naturais distintos entre si e tais que n mu u , enton m mltiplo de 4.1 1 O argumento principal do nmero complexo vu igual ao argumento principal dev .2 2 Se z umnmero complexo tal que 2 3 + v z , ento o menor valor dez igual a 2 2.3 3 Noplanode Argand-Gauss,as imagensdos nmeros complexos z , tais que v z u z + pertencemaumaretaque contm a origem.4 4 Adiferenaentreoconjugadode u eo conjugado dev um nmero real positivo.16. (UFPE 2005) Considerando ( ) 2 . 3 1 i z + , analise as afirmaes a seguir: 0 0 A forma trigonomtrica de z

,_

+

,_

3sen .3cos i.1 116 z.2 2 Os afixos dez , 3z, 5z so vrtices de um tringulo eqiltero.3 3 Os afixos dez , 2z, 4z e 5z so vrtices de um quadrado.4 413 z. 17. (Ufal 2005) Considere os nmeros complexos i z 11,3 2 22i z + e ( ) ( )i y x z 1 23+ + , emque x eyso nmeros reais, e utilize essas informaes para analisar as afirmaes seguintes.0 0 Calculando-se1041z , obtm-seumnmero imaginrio puro.1 1 Se 123zzz , ento3 + y x .2 2 O argumento principal de 2 1.z z 15 .3 3 O nmero 2z uma das razes cbicas de 64 .4 4 Se o ponto imagem de 1z vrtice de um hexgono regular inscrito numa circunferncia de centro na origemdo planode Argand-Gauss, ento umoutro vrtice desse hexgono o ponto imagem do complexo ( ) 165 sen . 165 cos 2 i z + .52Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICAEXERCCIOS MLTIPLA ESCOLHA1. (STA.CASA-SP) Seja a igualdade ( ) ( ) i x y i y x 4 2 . 1 + + , onde i a unidade imaginria. Os nmeros reaisxe y, que satisfazem essa igualdade, so tais que:a)x y 3 b)y x 3 c)3 . y xd)2 y xe)2 + y x2. Determinar o valor dek de modo que o complexo ( ) i k z 2 6 2 + seja imaginrio puro.a)2 kb)3 kc)1 kd)3 ke) 31 k3. Qual o valor dem para que o complexo ( ) i m m z 2 3 5 + seja um nmero real?a)3 mb)2 mc) 32 md) 23 me) 32 m4. (UFPA) Qual ovalor de m , real para que o produto( ) ( ) i mi + + 3 2 seja imaginrio puro?a) 5b) 6c) 7d) 8e) 95. (MACK-SP) Determinando os valores reais de m e n de modo que se tenha ( ) ( ) 0 . 2 + + i ni m ni m , podemos afirmar que a soma demen igual a:a) 1b) 0c) 1d) 2e) 36. (MACK-SP) Sejam os nmeros complexos 1Z e2Z , onde i Z 32 e i Z Z 6 9 .2 1+ . Ento 2 1Z Z+vale:a)i 6 2 +b)i 6 2 c)i 3 3+ d)i 3 3 e)i 97. (UCMG) O nmero complexoz , tal que i z z 16 12 5 + + , igual a:a)i 2 2 + b)i 3 2 c)i 2 1+d)i 4 2 +e)i + 38. (MACK-SP) Se Z um nmero complexo eZseu conjugado, ento o nmero de solues da equao 2Z Z :a) 0b) 1c) 2d) 3e) 49. (UFSM-RS) A soma dos nmeros complexos ii++15 5 e i 120 :a) 2 5 25 i +b)i 10 10 +c)i 10 10 d)i 10 15 +e)i 20 30 +10. (FEI-SP) Sabendo que um nmero real e que a parte imaginria do nmero complexo ii22++ zero, ento :a) 4b) 2c) 1d) 2e) 411. (FUVEST) O nmero complexo0 Z e o seu inversoZ1tm o mesmo mdulo. Conclui-se que:53MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexosa) Z e Z1 so conjugadosb)iZZ + 1c) Este mdulo 2d) Z e Z1 so reaise) 12 Z12. (Vunesp-SP) Considere o nmero complexo i Z , onde i a unidade imaginria. O valor de ZZ Z Z Z12 3 4+ + + +:a) 1 b)0c) 1d)ie)i 13. (UFBA) ( ) [ ] [ ]15 157 31 . 1+ + i i i igual a:a) 23 ib) 2ic) 2id) 21 i +e) 21 i 14. (PUC-RJ) Se1 iento a soma 20 2 1 0... i i i i + + + + igual a:a)ib) 1c) ii11200d) 20301ie)i 15. (UNICAMP) O valor de ( )101 i +, ondei a unidade imaginria, :a)i 64b)i 128c)i 32d)i 32 e) nenhuma das anteriores16. (FGV-SP) Sendoia unidade imaginria, o valor de 411

,_

+ii :a)ib) 1c) 1 d)i e)i 217. (STA.CASA) Seja o nmero complexo xi z 2 1+ , ondeR x . Se o mdulo dez igual a7 , entoxpertence ao intervalo:a)] [ 1 ; b)[ ] 3 ; 1c)] [ 5 ; 3d)[ ] 8 ; 5e)] [ + ; 818. (UFAL) dado um nmero complexo ( ) ( ) i x x z . 3 2 + + ,onde x umnmero real positivo. Se5 z , ento:a)z um imaginrio purob)z um nmero real positivoc) O ponto imagem dez( ) 2 ; 1 d) O conjugado dezi 2 1+ e) O argumento principal dez 18019. (FUVEST) O produto de todos os nmeros complexos com representao geomtrica na reta x y e mdulo 8 igual a:a)8b) 8c)i 8 d) i 8e) i 8 8 +20. (UFV-MG) Dadososnmeroscomplexos i z 2 1+ ei w 3 4 , o valor da expresso w z +2 igual a:a)i 7 1+b)i 4 6 c)i 4 10 +d)i 4 2 +e)i 4 2 54Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICA21. (UNIRIO) O afixo do nmero complexo Z o ponto P, pertencente ao 3 quadrante e reta1 y x . Se5 Z , Z igual a:a)i 4 3 b)i 4 3+ c)i 3 4 d)i 3 4 + e)i 3 4 22. (UNIFOR) Sejaonmerocomplexopor ( ) ( ) ( ) ai i i z + 2 . 4 3 . 2 1 , no qualR a . Se o argumento dez 180 , entoa igual a:a) 4b) 2c) 1d) 1e) 423. (JUNDIAI) Seja o nmero complexo i z2123 . O argumento principal do conjugado dez:a) 30b) 45c) 60d) 120e) 15024. (UFPE) Seja z o produto dos nmeros complexosi + 3e ( ) i 3 123+ . Ento o mdulo e o argumento de z so, respectivamente:a) 4 e 30b) 12 e 80c) 6 e 90d)6e 90e) 6 e 27025. (Cesgranrio) Se1z e2z so nmeros complexosrepresentados pelosseusafixosno plano de Argand Gauss abaixo, ento 2 1 3.z z z escrito na forma trigonomtrica :yzz21x0- 212a) ( ) 225 sen . 225 cos 2 i +b) ( ) 15 3 sen . 315 cos 2 i +c) ( ) 45 sen . 45 cos 2 2 i +d) ( ) 5 3 1 sen . 135 cos 2 2 i +e) ( ) 225 sen . 225 cos 2 2 i +26. (UFPE) O nmero complexo

,_

+611sen .611cos 2 i escrito na forma algbricabi a +:a) i + 3 2b) i + 3c) i 3d) i 3e) i 3 227. (UNIFOR) Escreva o nmero complexo iiz+34 8 na forma trigonomtrica:a),_

+4sen .4cos 2 ib),_

+4sen .4cos ic),_

+4sen .4cos 2 id),_

+3sen .3cos 2 2 ie),_

+4sen .4cos 2 2 i28. (UFPI) Dados ( ) 0 3 sen . 30 cos 2 i z + e ( ) 0 6 sen . 60 cos 3 i w + entow z. igual a:a)( ) 80 1 sen . 180 cos 3 i +b)( ) 0 9 sen . 90 cos 6 i +c)( ) 0 9 sen . 90 cos 9 i +55MATEMTICA MATEMTICA Nmeros Complexos Nmeros Complexosd)( ) 0 9 sen . 90 cos 3 i +e)( ) 0 9 sen . 90 cos 4 i +29. (UFPE) Sejai Z + 3, onde1 i. Um dos valores dental que nZ real :a) 2b) 6c) 10d) 3e) 1130. (SANTACASA-SP)Resolvendo aequao 0 9 6 22 + +x x obtm-se:a){ } i i 3 ; 3 b) ;'3;3i ic) ;'+i i2323;2323d) ;'+i i3232;3232e){ } i i; EXERCCIOS DE APROFUNDAMENTO 01. (UFBA) Existeumnmeroreal x tal queo quocienteii x3 1 um nmero imaginrio puro. Determine o simtrico dex .02. (PUC-SP) Qual deve ser o valor deR k , de modoqueonmerocomplexokiiZ++ 43 1 seja real?03. (FUVEST-SP) Acheosvaloresreaisdexde modo que a parte realdo nmero complexo i xi xZ+ seja negativa ( i a unidade imaginria).04. (FATEC-SP) Determine o argumento do nmero complexoiiZn+14 3, emque n natural ei a unidade imaginria.05. (FATEC-SP) Represente, geometricamente, no planodeArgand-Gaussoconjuntodosafixos dos nmeros complexos Z tais que ( ) 3 12 + i Z .08. (PUC-SP) Dado o nmero complexo Z=11++iiii, qual o menor valor de *N n, de modo que Znseja um nmero real?09. (UNESP) Sendo 10 sen. 10 cos i Z + ,qual o menor natural ntal que 1 . ... . . .3 2nZ Z Z Z?10. (FUVEST-SP) Determine os nmeros complexos 1Ze 2Z , tais que11 Z ,12 Ze12 1 + Z Z .11. (ESPM-SP) Qual, na forma algbrica, a raiz sexta do nmero complexoi Z 64 , sendo que essa raiz tem afixo no terceiro quadrante?12. (UFMG) DetodososnmeroscomplexosZ de mdulo 2, determine aqueles que satisfazem a igualdade Z i i 2 1 . .13. (MAU-SP) Dado o nmero complexo 48 . 4 i Z + , determine as razes quadradas do nmero ZZW. 4.14. (UFBA) Determineasomadas solues de Z i48 8 3 +.56Nmeros Complexos Nmeros Complexos MATEMTICA MATEMTICANmeros ComplexosV / F Objetivos01 32+8+4+101 B 26 D02 VVFVF 02 D 27 E03 FVVFV 03 C 28 B04 VFFFF 04 B 29 B05 FVFVF 05 B 30 C06 VVVVV 06 A07 VFVVV 07 D08 FVVFV 08 E09 VVVF 09 D10 FVVFV 10 E11 VFVFV 11 A12 VFVFV 12 E13 VFVFV 13 A14 FVVFV 14 B15 VVVFF 15 C16 VVVFF 16 B17 FVVVF 17 C18 A19 C20 D21 A22 A23 E24 D25 E57