1.3 Granične vrednosti funkcijeimft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/5_granicna... · 1.3 Granične vrednosti funkcije Iealnu funlcciju realne promenljive smo definisali kao funkciju

7/21/2019 Ma ema ika I - N. Ad ic

h p:// lidepdf.com/ eade /f ll/ma ema ika-i-n-ad ic 16/89

14 1 REAL NE N IJE REALN E PRO ENLJIVE

monotono nerastući niz ograničen s donje strane (bn > ai), pa i on konvergira.Nelca je lim bn = B . Iz

n—*-oo

B —A = lim bn — lim an lim (bn —an) n—*-oo n —co n—*cc

sledi da je B A, tj. oba niza konvergiraju lca istom broju koji predstavljasuprcmum niza an i infinum niza Ovaj broj pripada svim posmatranimintervalima. Kako dužina posmatranih intervala teži nuli to ne mogu postojatidva broja koja bi pripadala svim posmatranim intervalima.

Ovim je pokazano da niz sužavajućih intervala ima jednu i samo jednu za-jedničku tačku.

1.3 Granične vrednosti funkcijeealnu funlcciju realne promenljive smo definisali kao funkciju čiji domen

i kodomen su podskupovi skupa realnih brojeva. Ponašanje realne funkcije unelcoj taćki, kao i za proizvoljno velike ili male vrednosti nezavisno promenljive,

određuje se na osnovu graničnih. vrednosti posmatrane funkcije.

1.3.1 Granična vređ nost kada x — ±oo

Slično kao kod nizova i za realnu funkcije f (x ) možemo definisati graničnuvrednost kada nezavisno promenljiva teži beskonačnosti, tj. kad nezavisno

promenljiva postaje veća od bilo kog filcsnog pozitivnog realnog broja.Broj A je granična vredn ost funkcije kad x —* +oc ako

e , 3A(e) , a A(.s) , f(x) - A < e ,

tj. ako a x q , gde je xo dovoljno velilco, vrednosti funkcije f ( x ) se nalazeunutar proizvoljne e-okoline tačke A. (Podrazumeva se da je funkcija f ( x )definisana za dovoljno velike vrednosti x.) Kao i kod nizova, i ovde se za graničnuvrednost upotrebljava oznaka lim f ( x ) = A .

— -ec

Ako broj A predstavlja graničnu vređnost funkcije f ( x ) lcad x — +oo,

kažemo da prava y A predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x )kad x — +oo.

Na isti način, za broj B ćemo reći da pređstavlja graničnu vrednost

funkcije kad x — —oo ako

e , A(e) > ,. a -A (e ) , f(x) - B < s .

Pisaćemo lim f ( x ) = B .oo

Ako broj B predstavlja graničnu vrednost funlccije f ( x ) kad x — — oo,

kažemo da prava y = B predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x ) kad

x — — oo.



1. Granične vrednosti funkcije 15

Ako Vx > xo gde je xo đovoljno veliko, vrednosti funkcije postaju. proizvoljnovelike, tj. ako

V > , A ( ) , V x > A ( ) , f ( x ) > ,

onda je lim f ( x ) +oo . Ako umesto uslova f ( x ) > važi f ( x ) < - ,

onda je lim f ( x ) = —oc- .x—H-oo

Na sličan način se može definisati anaiogno ponašanje funlccije lcad x —* —co.ako je videti da je

lim xm = +oo za m x—H-oo

jer V > S xm > x > m , pa je A ( ) .Na isti način se pokazuje da je

lim za m >X-—+30 Xm

jer Vs > , r — < s ( 7) ” pa je A(e) = (A) .Ovaj primer ilustrtije tvrđenje Kad jedna veličina teži beslconačnosti, onda

njena recipročna vrednost teži nuli.

Može se pokazati da za računanje sa graničnim vrednostima funkcija važe

ista pravila kao i za računanje sa graničnim vrednostima nizova

Neka su f ( x ) i g(x) dve realne funkcije definisane za sve x > o gde je aodovoljno veliko, i nelca postoje granične vređnosti ovih fimkcija lcad x —>+cc.Tada je

1. lim ( f ( x ) g ( x ) ) = lim f ( x ) lim g (x ),x—*H-oe x—̂ +oo x—++00

2. lim ( f ( x ) -g(x) ) = lim f ( x ) - lim g(x),X — 4 CO X —* + O G T — *-+OG

f3 . lim ) . = x~! 00—— , uz uslo l im g( x) ^ 0 .

+00 g[x) lim g(x) x^+ x q , gde je xq dovoljno veliko, važi f ( x ) < g(x) onda jeIim f ( x ) < lim g(x).- -oo J — x —i-+oo .

5. Ako je lim f ( x ) = lim g(x) = A, a. funkcija (x) je takvada za svakox —*-+oo x— +00

xo, gde je o dovoljno veliko, važi f ( x ) < (x) < g( x) , onda je i

lim (x) = A.x—H-00

Ista pravila važe i za računanje sa graničnim vrednostima realnih funkcija kad



16 1 REALNE N IJE REALNE PRO ENLJIVE

Ako dve funkcije f ( x ) i g(x) obe teže ili + ili — kad x —* +cc a

lim 7—r 1 i lim ( ( ) - ff( )) ,i —+oc g(x) 1—+oo '

kažemo da je funkcija g(x) aisimptota funkcije f ( x ) kad x — + .U specijalnom slučaju, da bi ftmkcija g(x) kx n (koja predstavlja

jednačinu prave) bila asimptota funkcije f ( x ) , iz lim l n delenjem

brojioca i imenioca sa x dobijamo

M lim 1- X X — * + O Q * -

k 5 k

odakie je k Iim Iz lim ( f ( x ) —(A z + n)) sledi da je n lim ( ( ) —kx) .

—*+CC OO sPrava y = kx n sa ovako ođređenim koeficijentom pravca k i odsečkom na

y-osi n predstavlja kosu asimptotu funkcije f ( x ) kad x — + .Na isti način se dolazi i do jednačine kose asimptote kađ x - * — .Primetimo da i u slučaju kad prava y .4 predstavlja horizontalnu asimp-

totu funkcije f ( x ) važi da je lim 1 i lim ( f ( x ) —A) .—cc +oo

1.3.2 Gran ična vredn ost u tački

Kod funkcija je moguće definisati i graničnu vrednost .funkcije u tačla. Po-sebno se mogu definisati leva i desna granična vreduost.

Za broj A ćemo reći da predstavlja levu graničnu vrednost funlccije f ( x )u tački Xq ako se vrednosti funkcije nalaze u -okolini tačlce A za sve vrednostia koje se nalaze ulevo od tačke ao na dovoljno malom rastojanju, tj. ako

e , 3t5(e) , z e ( o — , xo) , f (x )—A



1. Granične vrednosti funkcije 17

Dalde. f ( x ) — A kad x - * alco

e , 35(e) , i e ( o - S, x + ) A x , ( ) — A < e .

Primetimo da je u prethodnim defmicijama bilo potrebno da funkcija f ( x ) budedefinisana u nekoj okolini tačke o, dok u samoj tački ne mora biti definisana.

Moguće je da funkcija u nekoj tački teži ka +oo ili —oo.

eći ćemo da je lim f ( x ) — +oo ako—*-*

j > , ( ) , e ( o —S, xq + 5) A xq , f ( x ) > .

Na isti način se može definisati i lim f ( x ) —oo, kao i odgovarajuće jed-—

nostrane granične vrednosti.

Na osnovu definicije vidinio da je

1lim — +oo

1— +

jer je / > , j x < , pa je ( )

Ovaj primer ilustruje tvrdenje Kad jedna vehčina teži nuli, onda njena

recipročna vrednost teži beskonačnosti.Za računajije sa gianičnim vrednostima funkcija u tački važe ista pravila kao

i za računanje sa graničnim vrednostima kad — +oo.

Ako je ba jedna od jednostranih graničnih vrednosti funkcije f ( x ) u tačld xqbeslconačna, onda za pravu x kažemo da predstavlja vertikalnu asimp-to tu funkcije f ( x ) .

Primer 1.15 unkcija y e* u tački x nerna graničnu vrednost jer leva idesna granična vrednost u tački x nisu iste. Naime.

lim e i lim e* +oo .r— —* -1-

Prava x je vertikalna asimptota ove funkcije. unkcija se pozitivnom deluy-ose asimptotski približava samo sa desne strane.

1.3.3 Granične vrednosti funkcija i (1 + ) i kad. —

Koristeći pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija izračuna-

ćemo dve granične vrednosti koje se često upotrebljavaju u praksi

a) Posmatrajmo jediničnu kružnicu i uočimo centralni ugao , f .

Dužina luka koji odgovara uočenom uglu je jednaka pa je

sin tg .



18 1 REA LNE N IJE REALN E PRO E NLJIVE

Za recipročne vrednosti važi -je sins za x < j , dobijamo

cos x < 1 .

Kako je granična vrednost funkcija f ( x ) cosx i g(x) 1, kad x — ,ista i iznosi 1, to je i

lim 1 .—*

b) Posmatrajmo proizvoljno veliki realan broj t. Funkcija (t) ( l + ,kad t —* +oo, predstavlja neodređen izraz oblika ” l c” .

Jasno je da za svaki dovoljno veliki realan broj t

3n N, n < t < n + 1 .

Tada je j Nakon đođavanja broja 1 svakom izrazu u prethod-noj nejednakosti, a s obzirom n a n t n + l, imaćemo da je

( + S + l ) ( + t ) * ( + n )

Kada t — +oo tada i n — +cc. Kako je

n-f*l

( i 1 1 V,• , 1 n V V >»+1 elim 1 + —7T lim ----y--------- - e.

n — oc n T l n — co 1 + - . 1n + l

1 n+lim (1 + i ) + lini (1 + i ) n (1 + 1 ) e 1 e,

to Je i t“?loc(1-+..T)t = e-

Smenom t = - se direktno dobija da je liiri (l + x ) i e.

Može se pokazati da je i odgovarajuća leva granična vrednost ista pa je

lim(l +a )* e.-*

1.4 Neprekidnost funkcije1.4.1 Neprekidnost u tački

Ako je funkcija f ( x ) definisana u nekoj okolini tačke x q kao i u samoj tački

o i ako jelim f ( x ) = f (xo) ,—ajo

onda kažemo da je funkcija f ( x ) neprekidna u tački x q .Dakle, za neprekidnost funkcije u taćki potrebno je da



1. Neprekidnost fankcije 19

1. postoji granična vrednost funkcije u posmatranoj tačld i

2. da ta granična vrednost bude baš jednaka vrednosti funkcije u posmatra-noj tački.

Prema definiciji granične vrednosti funkcije u tački to znači da

o , 3J(ff) , -a o (s) , f(x) - f ( x ) < s.

Izraz Ax = x — x se naziva priraštaj nezavisno promenljive.idimo da je vrednost promenljive x u okolini tačke x moguće prikazati

preko priraštaja nezavisno promenljive kao x — + A . Tada je odgovarajućavređnost funkcije f ( ) f ( + A ).

Izraz Ay f ( x A x ) —f ( x ) se na.ziva prirašta j funkcije. Priraštaj fimkcijeu tački x je Ay = f ( x + A ) - f ( x ).

idimo da je funkcija neprekidna u nekoj tački ako dovoljno malom priraštaju

nezavisno promenljive odgovara proizvoljno mali priraštaj funkcije, tj. ako je

lim Ay .

Drugim rečima malim promenama nezavisno promenljive odgovaraju male pro-

inene funkcije.

Na osnovu pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija lako se

može pokazati sledeće Ako su f ( x ) i g(x) dve neprekidne funkcije u nekoj tački. o, onda je i

1. (x) f ( x ) ± g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački,

2. (x) f ( x ) g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački,

3. (x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački, pod uslovom da je

5( ) ž .



20 1 REA LNE N IJE REALNE PRO ENLJIVE

Iz definicije neprekidnosti funkcije u tački vidimo da funlccija nije neprekidnau nekoj tački, tj. da u nekoj tački postoji prekid funkcije ako bilo koji od dvauslova lcoji su potrebni za neprekidnost nije ispunjen

a) Ako postoji granična vrednost funkcije u tački, ali ona nije jednaka vred-nosti funkcije, što značii da funkcija može biti i nedefinisana u posmatranojtački, radi se o priv idnom prek idu funkcije.

b) Ako u posmatranoj tački ne postoji granična vrednost. što se dešava ako

su leva i desna granična vrednost konačni ali različiti brojevi ili ako jebar jedna od. jednostranih graničnih vrednosti beskonačna ili uopšte nepostoji, radi se o stvarnom prekidu funkcije.

Primer 1.16 unkcija f(x ) ima u tackix prividan prekid je r u ovojtaiki nije definisana, ali postoji granićna vrednost funkcije u ovoj tačkA. Naime,pokazali smo da je lini 1 . Ovaj prividan prekid je moguće otkloniti tako

što se umesto funkcije f ( x ) posrnatra funkcija

I

Jasno je da g(x) predstavlja neprekidnu funkciju u tački x .

Primer 1.17 unkcija f ( x ) e* ima stvami prekid u tački x . Primeru1.1 smo videli daje leva granična vrednost u ovoj tački lim f ( x ) , a desna

x — —

lim f ( x ) + , tako da ne postoji granična vrednost posmatrane funkcije ux — s- -i-tački x .

Posmatrajmo složenu funkciju f ( g ( x ) ) đefinisanu u nekoj okolini tačke x .

Ako funkcija u g(x) ima graničnu vrednost u tački x , tj. ako je

lim g(x)—*- o

i ako je funlccija f ( u ) neprekidna u tački ff, tj. lim f (u ) f( i ), s obzirom dau-+ 5

u — kad i - n o , a f ( u ) = f (g (x ) ) , vidimo da je

lim f ( g (x ) ) f( j ) = f ( lim p( ) .x —*xq \ x —*xq J

Ovim smo pokazali da je dozvoljeno s limesom ući pod neprekidnu funkciju.

Primer 1.1 Posmatrajmo funkciju (x) ln(l + ). ako je f(x) Inaneprekidna funkcija u b-ilo kojoj tački iz skupa + , to je

lim ln (l + ) ln Ii a(1 + )j ln l .

Ako je funkcija u g(x) neprekidna u tački xo, a funkcija f (u ) neprekidnau tački ( g(xo), jasno je da je složena funkcija f ( g ( x ) ) neprekidna u tački



1. Neprekidnost funkcije 21

1.4.2 Neprekidnost na intervalu

Funkcija je neprekidna na intervalu (otvorenom ili zatvorenom) ako jeneprekidna u svakoj tacki posmatranog intervala.

Posmatrajmo funkciju f ( x ) , koja je neprekidna na zatvorenom intervalu a, 6i koja na krajevima tog intervala uzima vrednosti različitog znaka, tj. za kojuje f (a ) f (b ) < . Podelimo interval a, 6j na dva dela tačkom c Mogućasu dva slučaja

a) f ( c ) i

b) f ( c ) j* . U ovom slučaju jedan od dobijenih podintervala a, c ili c, b je

takav da funkcija f ( x ) na njegovim krajevima uzima vrednosti različitogznaka. Označimo taj interval sa ai, i i ponovimo opisan postupakpolovljenja.

Ako, stalno ponavljajući opisan postupalc, ni u jednoj deobenoj tački vrednostfunkcije f ( x ) ne bude jednaka nuli, onda smo dobili niz sužavajućih intervalajer je

a,6 D ai,6i D a2, 2 D ... D a ,6n D ...,

lim (bn —a ) lim .n— oo n— oo

Poznato je da postoji samo jedna tačka koja pripaćla svim ovim intervalima iza nju važi

f lim an lim bn.n —*oo n —co

Ivako je f ( a n) f (bn) za svako n 6 N, to je lim f ( a n) f(bn) . Pošton—'CC

je f ( x ) neprekidna funkcija na intervalu a, 6, tj. u svakoj tački ovog intervala,onda je

lim f an) - f (bn) lim f ( a n)- lim ( ) ( lim an) - f ( lim 6n) f 2( ).n — oo n—*-oo n —*•00 n—*oc n— co

Dakle, 2( ) . Medutim, kako kvadrat bilo kog broja ne može biti negativan,zaključujemo da je 2( f ) . tj. ( ) .

Broj za koji je ( ) zove se nula funkcije ( ).Dakle, pokazali smo da svaka funkcija koja je neprekidna na nekom zatvore-

nom intervalu i na njegovim krajevima uzima vrednosti različitog znaka, imutartog intervala ima bar jednu nulu.

Takođe se može pokazati da fimkcija f ( x ) neprekidna na zatvorenom in-tervalu a. bar jednom, na tom intervalu dostiže svoju najveću i najmanju

vrednost. Samim tim, ova funkcija je i ograničena, tj. postoje realni brojevi mi , takvi da a, 6 , m f ( x ) < .

Iz neprekidnosti funkcije f ( x ) na intervalu a, sledi da

pt, m jj.< , 3 6 a, 6 , ( ) fj,.

Documents

1.3 Granične vrednosti funkcijeimft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/5_granicna... · 1.3 Granične vrednosti funkcije Iealnu funlcciju realne promenljive smo definisali kao funkciju