13.- Aplicaciones de La Transformada de La Place

Ecuaciones Diferenciales II Parcial

Roberto Cabrera V.

- 8 -

Transformada de Laplace Halle:

( ) ( ){ }ttsenteL t 2cos24364 35 ++ Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }

{ } { } ( ){ } ( ){ }

42

161236

54

42

164

3!3

65

14

2cos24364

2cos243642cos24364

2cos24364

224

224

35

3535

35

++

++

=

++

++

=

++=

+++=++

++

ss

sss

ss

sss

tLtsenLtLeL

tLtsenLtLeLttsenteL

ttsenteL

t

tt

t

Halle

( ) ( ){ }teetL tt 2cosh2 42 ++ Por la propiedad de linealidad tenemos que: ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }teLeLteLetL

teLeLteLetL

teLettL

teLetLteetL

teetL

tttt

tttt

tt

tttt

tt

2cosh44

2cosh44

2cosh44

2cosh22cosh2

2cosh2

42

42

42

4242

42

+++=

+++=

+++=

++=++

++

Aplicando el primer teorema de la traslacin: { } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )62120219295

44

41

14

1

14

1

!22cosh44

2cosh44

3

234

22342

42

++

+++=

+

++

+

+

=+++

+++

sss

ssss

s

ssss

teLeLteLetL

teLeLteLetL

tttt

tttt


Roberto Cabrera V.

- 9 -

Demuestre: Demuestre el primer teorema de la traslacin

( ){ } ( ) ( ){ } ( )( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )asFsFdttfe

ass sidttfe

dttfeetfeL :Entonces

sFdttfetfLTenemos

asFtfeL entoncessFtfL Si

ts

tas

atstat

st

at

===

==

=

==

==

0

0

0

0

:

,

Halle:

( ) ( ){ }ttsenhL cos23 Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]teLteLteLteL

teLteLteLteL

teeeeL

tee

LttsenhL

ttsenhL

tttt

tttt

tttt

tt

coscos3cos3cos81

coscos3cos3cos81

cos3381

cos2

cos2

cos2

6226

6226

6226

3223

3

+=

+++=

+=

=

Aplicando el primer teorema de la traslacin:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )3712545437121854648

16

6

12

23

12

23

16

681

coscos3cos3cos81

2222

24

2222

6226

+++++++

=

++

+

++

++

+

+

=

+

ssssssssss

s

s

s

s

s

s

s

s

teLteLteLteL tttt


Roberto Cabrera V.

- 10 -

Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f(0)-sF(s)

lexponencia orden de es tf que asumiendo Pfe pero

Pfefdttfes

dttfesfPfe

dttfesetfdttfe

tfvdttfdv

dte-sdu eu :partes por Integrando

dttfedttfetf'LTenemos

fssFtf'L entoncessFtfL Si

sP

P

sP

P

st

PstsP

P

PstPst

P

Pst

P

st-st

Pst

P

st

=

=

+=

+=

+=

==

==

==

==

0lim

lim0

0lim

lim'lim

'

'lim':

0,

0

0

00

0

00

Encuentre la transformada de la funcin tf(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ]

( ){ } ( )sFdsd

ttfL

dtttfe

dttfte

dttfes

dttfedsd

sFdsd

:tenemos igualdad la de lados ambos Derivando

sFdttfetfLTenemos

sFdsd

ttfL entoncessFtfL Si

st

st

st

st

st

=

=

=

=

=

==

==

0

0

0

0

0

:

,


Roberto Cabrera V.

- 11 -

( ){ }attL cos2 Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:

( ){ }( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )322

22

222

2222222

222

22

222

2

2

222

2

32

222

)(1cos

cos

as

ass

as

sasasass

as

sadsd

ass

dsd

sFdsd

attL

attL

+

=

+

++=

+

=

+

=

=


Roberto Cabrera V.

- 12 -

Halle:

( )

t

tL

cos

Usando la propiedad de la transformada de la derivada

( )

( ) ( ) ( )

{ } ( )( ) ( ){ }

( ) ( ){ }( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) s21

s

23

s

23

23

n

nn

es

e2s

st

tL

e2s

sss2s

sssstsenL

tttt

tttttsen

nt

t senque sabemospotencias de seriePor

t sende datransforma la Encuentro

tsenLst

tL

tsensLt

tL

fssFtfL

0f(0) adems t

t(t)f' entonces ,tsentf Si

t

tL

41

41

41

3

2

2

2

2

29

27

25

23

27

25

23

21753

0

212

2cos

...!3

21

!22

1

21

1

....!7

29

!5

27

!3

25

23

....!7!5!3

....!7!5!3

!121

2cos

2

cos

)0()('

,2

cos

cos

+

=

+

==

=

++

=

+

+

=

++=++=

+

=

=

=

=

===


Roberto Cabrera V.

- 13 -

Encuentre la transformada de la integral de f(t)

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( )ssF

stfL

duufL

:que tenemos Despejando

duufLstfL

gtgLstgL

:que sabemosEntonces

0g(0)y f(t)(t)g' entonces ,duuftg Si

ssF

duufL entoncessFtfL Si

t

t

t

t

==

=

=

===

=

=

0

0

0

0

)0('

,

Encuentre la transformada f(t)/t

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ } { }

{ } { }

{ } ( ) ( )

( ) ( )

=

==

=

=

==

=

=

s

s

s

s

duufttf

L

duufduuf (t)gL

:que tenemos lados ambos Integrando

(t)gLdsd

(t)fL

g(t)tL(t)fL

:que sabemosEntonces

g(t)t(t)f entonces ,ttf

tg Si

duuFttf

L entoncessFtfL Si ,


Roberto Cabrera V.

- 14 -

Halle:

( )

dseneteL

tt

0

44 31

( )

( ){ } ( )

( )

( ){ }

( ) ( )

( ){ }( ){ }

( )

( ){ } ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2220

44

222

2

224

4

4

0

4

0

4

4

0

44

43

arctan

254844

3

4243

1

34

arctan

2583

234

arctan2

1)(

34

arctan2

1)(

34

arctan23

4arctan

2583

)(

2583

94

33)(

3)(

)(

31

)(,)(

31

)(

,31

4

31

++

+

==

+

++

+=

+==

+==

+=

+=++

==

=

++=

++==

=

=

=

==

=

=

=

s

s

sssssGdseneteL

s

s

sssss

sdsd

thtLsG

sss

sMH(s)

sudu

uuduuX

)x(LM(s)

uuuseneLuX

:es traslacin de teorema primer el por que seneLuX

duuX)x(

L M(s)hallamos donde De

seneLsM sissM

dseneLH(s) Encuentro

sHdsd

thtL

:que sabemosdatransforma la de derivada la de teorema el por

dsenetL es que G(s) encontrar Debo

sGtgeL

:que tenemos traslacin la de teorema primer el Por

dseneteL

tt

sss

s

t

t

t

tt


Roberto Cabrera V.

- 15 -

Demuestre el segundo teorema de la traslacin

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

sFeduufeeatfa-tL

duufeatfa-tL

uty 0uat Cuando

dudty a-tuaut Si

dtatfeatfa-tL :Entonces

dtatfa-teatfa-tLTenemos

sFeatfa-tL entoncessFtfL Si

assuas

aus

a

st

st

as

+

==

=

====

==+=

=

=

==

0

0

0

:

,

Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0

122;2 =

+


Roberto Cabrera V.

- 16 -

( ) ( ) ( )

+ tttsen

ttsenL 3

)(4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 31

1223

)(

3)3(13

lim3

11

22

11

122

)(4

)(4

cos22

)(44

cos22

44cos

22

4cos

444cos

44

)()(4

3)(

3)(

3)(

24

4

0

0

24

224

444

4

4

44

4

+

++

=

+

===

++

=

+

++

=

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

+

ss

etttsen

ttsenL

ttsen

etttsen

L

:impulso funcin la utilizo datransforma segundala araPss

ess

se

ttsenLttLttsentL

tsenttsensenttsen

: escaln al multiplica que funcin la desplazar debo Pero

sFettfL

:traslacin la de teorema segundoel utilizo datransforma primera la araP

tttsen

LttsenLtttsen

ttsenL

tttsen

ttsenL

s

t

s

ss

s


Roberto Cabrera V.

- 17 -

Encuentre la transformada de la siguiente grfica

Tenemos que encontrar la transformada de una funcin peridica:

( )

( ){ }

( ){ }

( )( ) ( )

( )

( ){ } ( )

( ){ } ( )( )111

11

11

1)cos()(

11

:Re1

)cos()()(

)cos()()(1

)()()cos()(

)()cos(

)cos()cos()(

)cos()(

)(1

1

)(1

1

20

0)(

222

0

22

2

2

02

2

02

+=

++

=

+

=

+

=

=+

+=

==

==

=

==

==

=

=


Roberto Cabrera V.

- 19 -

Halle:

( )

+

222

1

as

sL

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )aatsent

aatsen

ataa

atatsentatsen

a

aat

ataa

atsentatsen

a

duausen

ata

duau

atsena

duauausenata

duauatsena

duausenatauatsenaua

dua

utasenau

asass

L

atsena

atasas

sL

:que tenemos nconvoluci de integral el Usando

as

sL

tt

tt

t

t

2

2cos

12

cos2

1

42cos1

cos1

42

21

22

cos1

22cos11

coscos1

cos1

coscoscos1

cos1

1*cos

1

2

00

00

2

0

02222

1

22221

222

1

=

+=

+=

+=

=

=

=

++

=

++

+


Roberto Cabrera V.

- 20 -

Resolucin de ecuaciones diferenciales mediante las transformada de Laplace

Encuentre la solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ yyytyyyy

{ } { } { } { } ( ){ }

{ }{ }{ }{ }

( ){ }

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ }( )

)(2)cos(22)(

1

2

1

21

22

1)()(

1

2

1

21

22

1)(

2121211113103

1112211

3103)(

1

3103)(21

1103)(254

110)(2)(5)(43)(

Re1

cos

)(

)()0()('

)()0(')0()(''

3)()0('')0(')0()('''

cos102'5''4'''

2

2211

22

222222

2222

2

2

22

223

223

2

22

323

tsentteeety

s

s

sssLsYLty

s

s

ssssY

2E -1,D -2,C 2,B -1,A donde De

32E2C2BA

105E2DC3B2A

34E5D2C3B2A

0E4DC3B2A

0DBA

:ecuaciones de sistema siguienteel Tenemos

2E2C2BAs5E2DC3B2As4E5D2C3B2AsE4DC3B2AsDBA310s3s

ssEDsssCsssBssAss

s

EDs

s

CsB

sA

sss

sssY

s

sssYss

s

ssYsss

s

ssYssYsYssYs

:dastransforma las emplazandos

stL

sYyL

ssYyssYyL

sYsysysYsyL

sYsysyyssYsyL

:necesarias dastransforma las Encuentro

tLyLyLyLyL

Laplace de datransforma la Aplicando

ttt

2342

++=

+

++

+

++

+

==

+

++

+

++

+

=

=====

=+++

=++++

=++++

=++++

=++

+++++++++++++++++++++=++

+++++++++++++=++

+

++

++

++

+=

+++

++=

+

++=++

+=+++

+=+++

+=

=

==

==

==

=+++


Roberto Cabrera V.

- 21 -

Encuentre la solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0

20;84,4

2

2

==

>


Roberto Cabrera V.

- 22 -

Determinar la solucin del siguiente problema de valor inicial:

Primero se expresa en trminos de funciones escalones de la siguiente manera:

Se reemplaza en la ecuacin diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:

Despejando Y(S):

Encontrando la solucin mediante transformada inversa de Laplace:

i)

ii)

iii) Entonces

iv)


Roberto Cabrera V.

- 23 -

Encuentre la solucin de la siguiente ecuacin integro - diferencial:

( )tttyduutyuyt

+= 6)(2)()(3

0

{ } ( ){ }

{ }

{ }

( ){ }

tttys

sY

tttys

sY

sss

ss

sY

ss

sYsY

ssYsY

emplazando

tL

sst

L

sYtyL

sYtytyLduutyuyL


tLt

LtyLduutyuyL


t

t

==

+=+=

+

=

=

=

+

+=

=

==

=

==

+=

)()(1

1)(

)()(1

1)(

2

4442

2

1442

)(

01

)(2)(

11

)(2)(

:Re

1

16

!36

)()(

)()(*)()()(

6)(2)()(

222

121

4

44

4

4

2,1

4

42

42

44

3

2

0

3

0


Roberto Cabrera V.

- 24 -

Encuentre la solucin de la siguiente ecuacin diferencial de coeficientes variables:

( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===+ yyyytty

{ } ( ){ } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } ( ) [ ]( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

t

t

ety

KKey

KetysK

sY

KssYsds

sYsY

sss

sYsY

ssYsYss

ssYsYss

sYsssYss

sYsYsssYssYsYs

emplazando

sYyL

sYsssYssYsYssYytL

yssYdsd

yssYtyLyLytL

ssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


yLytLtyL


2

)0(2

2

2

2

22

)(

11)0(

)(2

)(

)ln(2ln)(ln2)(

)('2)(

)('

)()('2

0)()('2

0)(222)('2

0)(21)(2)('21)(2)('

:Re

)(

1)(2)('2)(')(21)('21

)0()(2)0()('2''21

1)(2)(')0(')0()(''''

02'21''

=

===

=

=

+=

=

=

=

=

=++++

=++++

=

++=++=

+==

+===

=+


Roberto Cabrera V.

- 25 -

Encuentre la solucin de la siguiente ecuacin diferencial de coeficientes variables: ( ) 13'2'' =++ tyytty

{ } ( ){ } { } { } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } [ ] ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

{ } { }

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) { }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) { }

( )( ){ } ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) tkduutuek

tytkttek

ty

ts

Ltg

tek

tfekss

kLttf

sssk

Lssdsd

LttfssLtf

tgtfsGsFLs

ssLsss

L

sk

Lsss

Lsk

sss

Lty

sYLtysk

sss

sY

ksskskssYs

dss

ks

dsss

skssYs

dsss

skssusYsu

seesu

sssks

sYs

sY

ssks

sYssYss

ss

kksYsssYss

ss

sYksYsssYkssYsYs

emplazandoss

ssLtL

sYyL

ksYsssYssYsYkssYytL

yssYyssYdsd

yLtyLytL

kssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


LtLyLytLtyL


t ut

tt

kk

kk

kk

k

k

sdss

2

0

12

1

21

11

11

113131

12

312

31

221

2

31

22

2

31

122

2

3

23

212

1

212

3

21

2ln22

3

21

2

21

2112

2112

22

11

122

13)(*

13)(

1)(

13)(13

1)1(

3)(

)1(113

1ln)(1ln)(

)(*)()()(1

1ln1ln

1ln1ln)(

)()(1ln

)(

1ln1ln3ln)(

11

31

131

)(

131

)(

131

)(2

)('

31)(14)('1

12)(3122)('

1)(32)(12)(')(2)('

:Re

1111

)(

2)(12)(')(')()(2'2

)0()(2)0()('2''2

)(2)(')0(')0()(''''

13'2''

11

11

11

1

1

++

=++

=

=

=

+=+=

+

=

+

=

==

==

=

+

=

+

=

=+

=

+=++=

+=

++

=

++

=

===

++

=+

=

=++++++

=+++

==

=

+=+=+

+=+=+

+===

=++


Roberto Cabrera V.

- 41 -

Aplicaciones de Sistema: Masa Resorte Amortiguador

1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg se suelta del reposo 1 metro debajo de la posicin de equilibrio del sistema masa-resorte, y empieza a vibrar. Despus de 2/ segundos, la masa es golpeada hacia arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.

a) Determine una funcin que defina la posicin y de la masa en cualquier instante

t. b) Halle la posicin de la masa en los tiempos t= 4/ segundos y t= segundos.

Como no hay amortiguador C=0; En t = 2/ segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbacin

=2

t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.

La ecuacin diferencial que representa al sistema es:

;2

t3Ky9dt

yd2

2

=+

Para resolver esta ecuacin diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin:

;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys

;2=t3y9

dtyd

s22

2

2

=+

=

+ LL

La posicin inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y(0)=0:

( )

;2

tu2

t3sent3cos)t(y

;9s

e39s

s9s

e39s

s)t(y

;9s

e39s

s9s

e3s)s(y

;e3s)s(y9s

;e3)s(y9s)s(ys

2

s2

22

s2

2

2

s2

22

2

s22

s2

s2

=

+

+

=

+

+=

+

+=

+

=

=+

=+

1-1-1- LLL

)t(fKydtdy

Cdt

ydm 2

2

=++


Roberto Cabrera V.

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a)

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13.- Aplicaciones de La Transformada de La Place