12745465 Dynamic of Structure

STRUCTURAL ENGINEERING SERIES

http://syaifulsipil96.blogspot.com/

DYNAMIC OF STRUCTURE

`

CIVIL

STRUCTURAL ENGINEERING

DAFTAR ISI1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Spring Constant Single Degree Of Freedom System Free Vibration-SDOF Viscous Damped Free Vibration-SDOF Undamped Harmonic Vibration-SDOF Damped Harmonic Vibration-SDOF Duhamels Integral Constant Force Rectangular Force Triangular Force Increasing Force Interpolation Of Excitation Central Difference Method Newmarks Method Shear Building


[email protected]

STRUCTURAL ENGINEERINGTitle :Dynamic Of Structure

SERIES

Topic :Single Degree Of Freedom System

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur berderajat tunggal SDOF adalah sebuah model struktur dimana massa struktur terkonsentrasi hanya pada satu lokasi saja. SDOF adalah jenis sistem struktur yang sederhana karena struktur dimodelkan sebagai massa terpusat M yang didukung oleh elemen struktur yang tidak bermassa yang mempunyai kekakuan lateral k.

2.

SISTEM STRUKTUR SDOF

Istilah yang harus dipahami adalah derajat kebebasan dinamik (DOF/degree of freedom) yaitu jumlah peralihan independen yang digunakan untuk mendefinisikan perpindahan massa struktur relatif terhadap posisi awalnya. Pada struktur SDF karena hanya ada 1 jumlah peralihan lateral maka struktur tersebut dinamakan single degree of freedom system. Sistem struktur SDF terdiri dari 3 komponen penting yaitu : Komponen massa, dimodelkan sebagai massa terpusat. Komponen kekakuan, yaitu elemen vertikal yang mendukung massa tersebut, diasumsikan tidak mempunyai massa (yang sesunguhnya adalah massanya relatif kecil dibandingkan dengan massa struktur yang terpusat). Komponen redaman. Model struktur SDF dapat dilihat pada gambar :

dimana : M k u = massa struktur yang terpusat = kekakuan lateral elemen vertikal = peralihan lateral struktur

3.

KEKAKUAN LATERAL

Hubungan beban peralihan sistem struktur SDF pada struktur yang linier elastis dan mempunyai deformasi yang kecil (small deformation) adalah :

f = ku dimana : f k = gaya lateral = kekakuan lateral elemen vertikalDYN-01.doc 1

Dynamic Of Structure


[email protected]

u

= peralihan lateral

Kekakuan lateral elemen vertikal dipengaruhi oleh kondisi dari kekakuan lentur balok yang didukungnya. Jika balok mempunyai kekakuan lentur yang sangat kaku dalam atau EI tak hingga maka kekakuan lateral untuk satu elemen vertikal adalah :

k=

12EIc h3

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah :k= 12EIc h3

jika tumpuan adalah sendi maka :k= 3EIc h3

dan jika balok tidak mempunyai kekakuan lentur atau EI=0 maka kekakuan lateral untuk satu elemen vertikal adalah :

k=

3EIc h3

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah :k= 3EIc h3

Kekakuan lateral struktur dengan memperhitungkan kekakuan lentur balok yang sebenarnya dapat dilakukan dengan metode kekakuan dan kemudian dilakukan kondensasi statik untuk mendapatkan kekakuan lateralnya. Dengan menggunakan metode kekakuan langsung maka dapat memodelkan struktur dengan derajat kebebasan yang lebih banyak.


DYN-01.doc

2


[email protected]


SERIES

Topic :Free Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal.

2.

RESPON GETARAN BEBAS

Persamaan dinamik getaran bebas tanpa redaman adalah :m u+ ku = 0..

dimana : m k u = massa struktur = kekakuan lateral = peralihan lateral

Karena struktur adalah bergetar bebas maka dalam persmaaan diatas, pada suku sebelah kanan tidak ada gaya luar yang tergantung waktu yaitu p(t). Solusi umum persamaan getaran bebas adalah :u = A cos t + B sin t

u = A sin t + B cos t.

.

Gangguan awal berupa u(0) pada saat t=0 dan u(0) pada saat t=0. Dari persamaan diatas jika dimasukkan syarat awal tersebut maka didapat koefisien A dan B yaitu :.

A = u(0)

.u(0) B=

sehingga respon getaran bebas adalah :.

u(0) u( t ) = u(0) cos nt + sin nt n d[u( t )] dt. du( t ) .. d2 [u( t )] = u( t ) = dt dt 2

u( t ) =

.

n =

k rad m sec

Waktu yang diperlukan oleh sistem untuk melakukan satu kali getaran disebut periode getar alami Tn (natural period of vibration) dan berhubungan dengan frekuensi getar alami n. Periode getar alami dinyatakan sebagai berikut :Tn = 2 (dt ) n


DYN-02.doc

1


[email protected]

Jumlah getaran yang dilakukan setiap detiknya disebut frekuensi fn (natural cyclic frequency), dinyatakan sebagai berikut :fn = 1 cyc Hz / Tn sec

fn =

n 2

Properti getaran alami hanya tergantung dai massa dan kekakuan struktur. Untuk 2 buah sistem dengan massa yang sama tetapi berbeda kekakuannya, sistem dengan kekakuan yang lebih besar mempunyai fruensi alami yang lebih besar dan periode getar lebih pendek. Dan jika 2 buah struktur dengan kekakuan yang sama tetapi berbeda massanya, sistem dengan massa lebih besar mempunyai frekuensi alami lebih kecil dan periode getar lebih panjang. Amplitudo maksimum u0 dari sebuah sistem dengan getaran bebas adalah :. 2 u(0) u0 = [u(0)] + n 2

Nilai n, fn, Tn dapat ditulis dalam bentuk yang lain yaitu :n = g st fn = 1 2 g st mg k Tn = 2 st g

st =

st adalah peralihan lateral statik dari massa yang berhubungan dengan kekakuan lateralnya, atau

peralihan lateral struktur akibat gaya lateral mg.


DYN-02.doc

2


[email protected]


SERIES

Topic :Viscous Damped Free Vibration-SDOF

1.

PENDAHULUAN

Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal. Jika sistem mempunyai redaman yang lebih kecil dari redaman kritis maka sistem akan bergetar dan setiap waktunya akan mengurangi amplitudo getarnya.

2.

RESPON GETARAN BEBAS DENGAN REDAMAN

Persamaan dinamik getaran bebas dengan redaman adalah :m u+ c u+ ku = 0.. .

dimana : m c k u = massa struktur = redaman = kekakuan lateral = peralihan lateral

jika persamaan tersebut dibagi dengan m maka :u+ 2n u+ n2u = 0.. .

=

c c cr

c cr = 2mn = 2 km =

2k n

dimana : ccr = koefisien redaman kritis

Berdasarkan redaman kritis ada tiga kondisi yang dapat terjadi yaitu : c = ccr atau = 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran, disebut critically damped system. c > ccr atau > 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran, overdamped system. c td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut :.

u( t ) u(t ) = u( t d ) cos n (t t d ) + d sin n (t t d ) n

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel


DYN-09.doc

1


[email protected]


SERIES

Topic :Triangular Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik segitiga adalah beban dinamik dimana beban berkurang sesuai dengan pertambahan waktu sampai beban menjadi nol.

2.

BEBAN DINAMIK PERSEGI

Untuk mendapatkan respon struktur dapat digunakan integral Duhamel dengan memasukkan fungsi beban adalah :

Respon struktur dihitung dalam 2 selang waktu yaitu :0 t td p() = p0 1 t d

u(t ) =

p0 (1 cos nt ) + p0 k kt d

sin nt t

t td

Setelah beban menjadi nol maka sistem bergetar bebas dengan kondisi awal adalah peralihan dan kecepatan pada saat td. Respon pada saat td adalah :u(t d ) = p0 k sin nt d cos nt d t n d u(t d ) =.

p0 k

cos nt d 1 n sin nt d + td td

Pada saat t>td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut :.

u( t ) u(t ) = u( t d ) cos n (t t d ) + d sin n (t t d ) n

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel.


DYN-10.doc

1


[email protected]


SERIES

Topic :Increasing Forces

1.

PENDAHULUAN

Beban dinamik bertambah adalah beban dinamik dimana beban terus bertambah sesuai dengan pertambahan waktu sampai beban menjadi tak hingga.

2.

BEBAN DINAMIK PERSEGI

Untuk mendapatkan respon struktur dapat digunakan integral Duhamel dengan memasukkan fungsi beban adalah :

p() = p0 t d p t sin nt u(t ) = 0 nt d k td


DYN-11.doc

1


[email protected]


SERIES

Topic :Interpolation Of Excitation

1.

PENDAHULUAN

Jika beban dinamik yang bekerja merupakan fungsi yang sembarang maka untuk mendapatkan responnya lebih mudah menggunakan metode numerik dibandingkan dengan metode eksak dengan menurunkan persamaan diferensial. Metode numerik efektif digunakan untuk analisis dengan bantuan komputer.

2.

METODE INTERPOLASI LINIER

Metode numerik yang paling sederhana adalah interpolasi linier, dimana fungsi beban diinterpolasi menurut jalur garis linier sepanjang t. Respon struktur dihitung dalam selang waktu ti

Documents

12745465 Dynamic of Structure