Upload
paul-lojano
View
23
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Tema III:Anlisis de circuitos mediante
la transformada de Fourier
Planteamiento del problema .................................................................................................. 65Determinacin de los coeficientes de Fourier.................................................................... 68
Procedimiento general .......................................................................................................... 68Ejemplo ................................................................................................................................ 69Casos particulares ................................................................................................................ 70
Forma trigonomtrica de la serie de Fourier..................................................................... 72Formulacin ......................................................................................................................... 72Ejemplo de formulacin trigonomtrica................................................................................ 73Ejemplo 1 de aplicacin a un circuito ................................................................................... 74Ejemplo 2 de aplicacin a un circuito ................................................................................... 76Clculos de potencia............................................................................................................. 78
Formulacin exponencial ....................................................................................................... 79Ejemplo de formulacin exponencial.................................................................................... 79Error cuadrtico medio ......................................................................................................... 80Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ 81
La transformada de Fourier .................................................................................................. 82Consideraciones generales ................................................................................................... 82Definicin ............................................................................................................................ 83Condiciones de existencia .................................................................................................... 84
Transformadas de Fourier...................................................................................................... 85Transformadas de Fourier de funciones elementales............................................................ 85Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. 86Utilizacin de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... 87Propiedades de la transformada de Fourier .......................................................................... 89
Aplicacin en circuitos ............................................................................................................ 90Comparacin con la transformada de Laplace ...................................................................... 90Ejemplo 1............................................................................................................................. 91Ejemplo 2............................................................................................................................. 92
Teorema de Parseval ............................................................................................................... 93Ejemplo 1............................................................................................................................. 94Ejemplo 2............................................................................................................................. 96Ejemplo 3............................................................................................................................. 98
64 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Planteamiento del problemax(t) peridica x(t) = x(t + nT0) t; n: nmero entero, T0: periodo fundamental
Ejemplos de funciones peridicas
v(t)Vm
tT0 2T0 4T0 6T0
v(t)Vm
tT0 2T0 3T0
v(t)
Vm
t3T0T0 2T0
v(t)Vm
tT0 2T0 3T0
v(t)Vm
tT0 2T0 3T0
Rectificacinde onda completa
Rectificacin
de media onda
Onda cuadrada
Onda triangular
Pulso rectangular
Obtenidas
por saturacinde transistores
Proporcionadas por
generadores de ondas
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 65
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
En ingeniera de circuitos tienen inters prctico muchas excitaciones peridicas
que no son sinusoidales.
Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras.En la prctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero peridicas.
Las no linealidades en circuitos provocan la aparicin de funciones peridicas lineales.
El anlisis de Fourier permite tratar cualquier funcin peridicacomo una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armnicamente.
Una funcin peridica puede expresarse como serie de Fourier en la forma
f(t) = av + [akcos(k0t)k=1
+ bksen(k0t)]
siendo
k: nmero natural.
av, ak, bk: coeficientes de Fourier.
0 = 2/T0: frecuencia angular fundamental.k0: frecuencia de la componente armnica de orden k.
f(t) se expresa como la suma de una componente continuay diversas componentes sinusoidales.
Si representa la excitacin de un circuito,
la salida de ste puede ser calculada aplicando el principio de superposicin.
66 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Para que una funcin pueda ser expresada como serie de Fourier,ha de cumplir las condiciones de Dirichlet:
f(t) tiene un valor nico para cualquier valor de t.
f(t) tiene un nmero finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo.f(t) tiene un nmero finito de mximos y mnimo en el intervalo de un periodo.
La integral f(t)dtt0
t0+T0
existe.
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias.
No se sabe cules son las condiciones necesarias.
Una funcin puede no cumplir las condiciones de Dirichlet
y ser expresable como serie de Fourier.
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 67
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Determinacin de los coeficientes de Fourier
Procedimiento general
av = 1
T0f(t)dt
t0
t0+T0
ak = 2
T0f(t)cos(k0t)dt
t0
t0+T0
bk = 2
T0f(t)sen(k0t)dt
t0
t0+T0
t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.
Obsrvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo,lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.
68 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo
v(t)
Vm
Vm/3
2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t
Vm = 9 V
Se desea obtener los coeficientes de Fourier
de la expansin en serie de Fourierde la tensin mostrada en la figura adjunta.
Suponiendo que T0 = 125.66 ms,se desea obtener los cinco primeros trminos
de la citada expansin.
La tensin representada en la figura puede ser expresada matemticamente como
v(t) = Vm t t0 t 2T0/3 v(t) = Vm/3 t t0 + 2T0/3 t T0
Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene
av = 1
T0v(t)dt =
0
T0
1T0
Vmdt0
2T0/3
+ 1T0
Vm3
dt2T0/3
T0
= 7 V
ak = 2T0v(t)cos 2kt
T0dt =
0
T0
2T0
Vmcos 2ktT0dt
0
2T0/3
+ 2T0
Vm3
cos 2ktT0
dt
2T0/3
T0
= 6k
sen 4k3
V
bk = 2T0v(t)sen 2kt
T0dt =
0
T0
2T0
Vmsen 2ktT0dt
0
2T0/3
+ 2T0
Vm3
sen 2ktT0
dt
2T0/3
T0
= 6k
1 - cos 4k3
V
Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda
v(t) = 7 - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 69
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Casos particulares
Simetra par
f(t) = f(-t) T0
T0/20 t
-T0/2
-T0
A
-A
f(t) av = 2
T0f(t)dt
0
T0/2
ak = 4
T0f(t)cos(k0t)dt
0
T0/2
bk = 0
Simetra imparf(t) = - f(-t)
T0
0 t-T0/2
-T0
A
-A
f(t)
T0/2
av = 0
ak = 0
bk = 4
T0f(t)sen(k0t)dt
0
T0/2
A una funcin peridica dada se la puede dotar de simetra par o imparcon slo elegir adecuadamente el origen de tiempos.
70 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Simetra
de media ondaf(t) = - f(t - T0/2)
T0
T0/20 t
-T0/2
-T0
A
-A
f(t)av = 0
k par ak = 0 = bk
k impar
ak = 4T0f(t)cos(k0t)dt
0
T0/2
bk = 4T0f(t)sen(k0t)dt
0
T0/2
Simetra
de cuarto de onday funcin par
(simetra en tornoal punto medio
de cadasemiciclo)
av = 0
k par ak = 0
k impar ak = 8T0f(t)cos(k0t)dt
0
T0/4
bk = 0
Simetrade cuarto de onda
y funcin impar(simetra en torno
al punto mediode cada
semiciclo)
av = 0
ak = 0
k par bk = 0
k impar bk = 8T0f(t)sen(k0t)dt
0
T0/4
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 71
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Forma trigonomtrica de la serie de Fourier
Formulacin
Definiendo
zk = ak - jbk Ak = zk = ak2 + bk
2 k = arctgbkak
puede establecerse que
f(t) = av + [akcos(k0t)k=1
+ bksen(k0t)] = av + Akcos(k0t - k)
k=1
Es decir, los trminos en seno y coseno de cada armnico de la seriese combinan en un nico trmino de tipo sinusoidal,
lo cual permite tratar la funcin como una superposicinde una componente continua y una suma se seales sinusoidales de distintas frecuencias.
Obsrvese que
f(t) par Ak = ak, k = 0
f(t) impar Ak = bk, k = 90
72 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo de formulacin trigonomtrica
v(t)
Vm
Vm/3
2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t
Vm = 9 V
Se desea expresar en forma trigonomtrica(slo tres trminos significativos)
el desarrollo en serie de Fourierde la tensin representada
en la figura adjunta.
Supngase que T0 = 125.66 ms.
Como se indic en un ejemplo anterior,
v(t) = Vm t t0 t 2T0/3 v(t) = Vm/3 t t0 + 2T0/3 t T0
con lo que
av = 7 V ak = 6ksen 4k
3 V bk =
6k
1 - cos 4k3
V
En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla:
k ak (V) bk (V) Ak (V) k ()
1
2
- 5.22
2.61
9
4.5
10.4
5.2
120
60
con lo que la formulacin pedida queda en la forma
v(t) = 7 + 10.4cos(50t - 120 ) + 5.2cos(100t - 60 ) V, t en s
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 73
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1 de aplicacin a un circuito
R
CvG(t)
+vC(t)
-
vG(t)
t
T0
Vm
-Vm
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitacin indicada,
se desea obtener la expresin temporal de vC(t).
La excitacin tiene simetra imparen media onda
y en cuarto de onda,con lo que
av = 0ak = 0
bk = 0, k par
bk = 8
T0Vmsen(k0t)dt
0
T0/4
= 4Vmk
, k impar
La excitacin puede ser expresada como serie de Fourier con formulacin trigonomtrica.
vG(t) = 4Vm
cos[(2i - 1)0t - 90]2i - 1
i=1
La excitacin es equivalentea un nmero infinito de fuentes sinusoidales
conectadas en serie.
74 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Se aplica el principio de superposicin teniendo en cuenta que para cada excitacin individual y utilizando notacin fasorial se cumple
VC = VG
1 + jRC
Aplicando este resultado a cada componente de la excitacin
los fasores de las distintas respuestas individuales estn dados por
Primer armnico(i = 1)
VC1 = 4Vm
1 + (0RC)2 - 90 - 1, 1 = arctg(0RC)
Tercer armnico(i = 2)
VC3 = 4Vm
1 + (30RC)2 - 90 - 3, 3 = arctg(30RC)
Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es
vC(t) = 4Vm
cos[(2i - 1)0t - 90 - 2i-1](2i - 1) 1 + [(2i - 1)0RC]2
i=1
, 2i-1 = arctg[(2i - 1)0RC]
Obsrvese que
C muy grande (cortocircuito) 2i-1 90 vC(t) - 4Vm
0RCcos[(2i - 1)0t]
(2i - 1)2i=1
Los armnicos de salida decrecen en amplitud en la proporcin 1/i2,
mientras que los de la entrada lo hacen en la proporcin 1/i(hay gran distorsin -distorsin de fase-).
C muy pequeo (circuito abierto) 2i-1 0 vC(t) vG(t)poca distorsin.
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 75
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2 de aplicacin a un circuito
R
CvG(t)
+v0(t)
-
LT0/2 t
vG(t)
Vm
-Vm
T0
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitacin indicada,
se desea obtener la expresin temporal de v0(t).
La expresin matemtica de la excitacin es
vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4 vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4 vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0
La excitacin tiene simetra de cuarto de onda y funcin par, con lo que
av = 0 V bk = 0 V ak = 0 V, k par
k impar ak = 8T0vG(t)sen(k0t)dt
0
T0/4
= 4Vmk
sen k2
= 4Vmk
cos k2
- 90
76 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
En trminos fasoriales, la excitacin se expresa como
VGk = 4Vmk -90
= - j4Vmk
En trminos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es
V0k = jLVGk
R(1 - 2LC) + jL =
8LVm
RT0 1 - 2kT0
2
LC + j2kLT0
= V0k k
con lo que la expresin temporal pedida es
v0(t) = V0kcos 2ktT0 + k
k = 1, impar
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 77
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Clculos de potencia media
Sea un elemento de un circuito lineal,en el que la tensin y la corriente son funciones peridicas
expresadas mediante series de Fourier.
v(t) = VDC + VKcos(k0t - vk)k=1
i(t) = IDC + IKcos(k0t - ik)k=1
Se supone que la corriente entra en el elementopor el terminal marcado como positivo para la tensin.
La potencia media en el elemento est dada por
P = 1T0
v(t)i(t)dtt0
t0+T0
= V DCIDC + V KIKcos(vk - ik)
2k=1
Es decir, en el caso de una interaccin entre una tensin peridica
y la correspondiente corriente peridica,la potencia media total es la suma de las potencias medias
originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia.
Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionanpara dar lugar a potencia media.
78 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Formulacin exponencial
Una funcin peridica tambin puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresin
f(t) = Ckejk0t
-
siendo
Ck = 1
T0f(t)e-jk0tdt
t0
t0+T0
= ak - jbk
2 =
Ak2 -k
, Ak = ak2 + bk
2 , k = arctgbkak
Ejemplo de formulacin exponencial
v(t)Vm
tT0T0-/2-/2 /20
Se desea expresar
la tensin indicada en la figura adjunta como serie de Fourier
con formulacin exponencial.
Ck = 1
T0Vme
-jk0tdt-/2
/2
= VmT
e-jk0t
-jk0 -/2
/2
= Vm
T sen(k0/2)
k0/2
v(t) = Vm
sen(k0/2)k0/2
k = -
ejk0t
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 79
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Error cuadrtico medio
En aplicaciones prcticas, al utilizar una serie de Fourier
para representar una funcin peridica es preciso truncar la serie,
ya que no es posible trabajar con un nmero infinito de trminos.
As, se supone que la funcin ideal f(t) es aproximada por la funcin prctica fN(t).
f(t) fN(t) = Ckej0tk= -N
N
con lo que se comete un error dado por
(t) = f(t) - fN(t)
de modo que el error cuadrtico medio de la aproximacin es
2 = 1T0
2(t)dtt0
t0+T0
f(t) tambin puede ser expresada mediante otras series trigonomtricasen las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier.
Puede demostrarse que el error cuadrtico medio es mnimoprecisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.
80 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Espectros de amplitud y fase
Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una funcin,en teora es posible reconstruir dicha funcin.
Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases
de la formulacin exponencial.
Sin embargo, ello requiere una gran potencia de clculo (series infinitas).
Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representarlas amplitudes y las fases de la formulacin exponencial,
como se muestra en las figuras adjuntas.
k, 0
Ck
Esp
ectr
ode
am
plitu
dE
spec
tro
de f
ase
k, 0
k
fase
= 0
fase
= 0
fase
= 0
fase
= 0
fases no definidaspor ser nulas
las amplitudes
Si se desplaza la funcinun intervalo temporal,
f(t - t0) = Ckejk0(t - t0)
k = -
=
= (Cke-jk0t0)ejk0t
k = -
el espectro de amplitud no cambia,el espectro de fase s cambia.
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 81
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
La transformada de Fourier
Consideraciones generales
La serie de Fourier permite describir una funcin peridica del tiempoen el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.
La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no peridicas.
Esto ya est cubierto por la transformada de Laplace.
La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.
Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretacin fsica ms sencilla.
82 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Definicin
Dada una funcin peridica f(t), de periodo T0, a medida que ste se hace ms grandese verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier)
f(t) va convirtindose en no peridica.
La frecuencia pasa de ser una variable discreta (k0)a ser una variable continua ().
Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de lneaspara convertirse en las envolventes de las lneas que los constituyen.
Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier
de la funcin f(t), no necesariamente peridica, mediante la expresin
F() = F{f(t)} = f(t)e-jtdt -
f(t) = 12
F()ejtdt-
dominiode la frecuencia
dominiodel tiempo
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 83
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Condiciones de existencia
f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define.
f(t) converge si es una funcin bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito.
f(t) est bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t,y define un rea finita en el intervalo de integracin.
Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si
Hay un solo valor de f para cada valor de t.
Tiene un nmero finito de discontinuidades.
La integral f(t)dt-
existe.
Hay funciones de inters prctico que carecen de transformada de Fourier.
En un caso de ese tipo se crea una funcin en el dominio del tiempoque s tenga transformada
y que est tan arbitrariamente prxima a la original como se desee,y se asume que la transformada de Fourier de la funcin original
coincide con la de la funcin creada.
84 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Transformadas de Fourier
Transformadas de Fourier de funciones elementales
Funcin matemtica Transformadade Fourier
Delta de Dirac (impulso unitario)
Escaln unitario
Constante
Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)
Seno
Coseno
Exponencial positiva
Exponencial negativa
Exponencial positiva-negativa
Exponencial compleja
(t)
u(t)
A
sgn(t)
sen(0t)
cos(0t)
e-atu(t), a > 0
eatu(-t), a > 0
e-amod(t), a > 0mod: mdulo
ej0t
1
() + 1j
2A()
2j
j[( + 0) - ( - 0)]
[( + 0) + ( - 0)]
1a + j
1a - j
2aa2 + 2
2( - 0)
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 85
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Transformadas de Fourier operacionales
Operacin matemtica Transformadade Fourier
Multiplicacinpor una constante
Suma
Derivada
Integral
Escalado
Desplazamiento
Convolucin
Kf(t)
f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...
dnf(t)dtn
f()d-
t
f(at), a > 0
f(t - t0)
ej0tf(t)
f(t)cos(0t)
x()h(t - )d-
f1(t)f2(t)
tnf(t)
KF()
F1() + F2() + F3() + ...
(j)nF()
F()j
1aF
a
e-jt0F()
F( - 0)
F(0 - ) + F( + 0)2
X()H()
12
F1(u)F2( - u)du-
jndnF()dn
86 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Utilizacin de transformadas de Laplacepara hallar transformadas de Fourier
Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales
para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan.
La integral que define la transformada de Fourier
converge si todos los polos de F(s) estn en el semiplano izquierdo.Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario
no se cumple la condicin relativa a la integralque figura en las condiciones de existencia.
f(t) es una funcin positiva en el tiempo F{f(t)} = L{f(t)}s=j
Ejemplo
f(t) = 0 t 0-
f(t) = e-atcos(0t) t 0- F{f(t)} = s + a
(s + a)2 + 02 s=j = j + a
(j + a)2 + 02
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 87
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
f(t) es una funcin negativa en el tiempo F{f(t)} = L{f(-t)}s= -j
Ejemplo
f(t) = 0 t 0+
f(t) = eatcos(0t) t 0-
F{f(t)} = L {f(-t)}s = -j =
= s + a(s + a)2 + 02 s=j
= - j + a(- j + a)2 + 02
f(t) es una funcin distinta de cero
f+(t) = f(t) t > 0f-(t) = f(t) t < 0
F{f(t)} = L{f+(t)}s=j + L{f-(-t)}s=-jf(t) par F{f(t)} = L{f(t)}s=j + L{f(t)}s= -j
f(t) impar F{f(t)} = L{f(t)}s=j - L{f(t)}s= -j
Ejemplo
f+(t) = e-at
f-(t) = eat
L{f+(t)} = 1s + a, L{f-(-t)} = 1s + a
F{e-amod(t)} = 1s + a s=j + 1
s + a s= -j = 2a2 + a2
88 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Propiedades de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una funcin es una magnitud compleja y puede expresarse como
F() = f(t)e-jtdt = A() + jB() = F()ej()-
, F(-) = F*()
siendo
A() = f(t)cos(t)dt-
, funcin par de
B() = f(t)sen(t)dt-
, funcin impar de
F() = A2() + B2(), funcin par de
() = arctg B()A()
, funcin impar de
F(-) = F*()
Si f(t) es una funcin par, F() es una funcin par real.
A() = 2 f(t)cos(t)dt0
, B() = 0, f(t) = 22
A()cos(t)d0
Las funciones f(t) y A() son intercambiables, salvo por un factor de escala.
Si f(t) es una funcin impar, F() es una funcin impar imaginaria.
A() = 0, B() = - 2 f(t)sen(t)dt0
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 89
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Aplicacin en circuitos
Comparacin con la transformada de Laplace
Transformada de Laplace (TL) Transformada de Fourier (TF)
Converge para ms funciones de excitacin
que la TF.
Permite la inclusin directa
de condiciones iniciales.
La TL unilateral es adecuadapara tratar problemas con condiciones
iniciales que se desarrollan en t > 0.
Proporciona directamente la respuesta
en rgimen permanentea una excitacin sinusoidal.
Permite considerar funciones negativas
en el tiempo, con lo que es adecuadapara tratar eventos que comiencen
en t = - .
En anlisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier,
los elementos pasivos tienen el mismo tratamientoque cuando se emplean fasores e impedancias.
90 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1
iG(t)
R1 R2
L
i0(t)
+v0(t)
-
Se desea obtener i0(t)utilizando transformadas de Fourier.
iG(t) = Igcos(0t), Ig = 50 A, 0 = 3 rad/s
R1 = 1 , R2 = 3 , L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,
IG(0) = F{iG(t)} = Ig[( - 0) + ( + 0)]
Observando que el circuito es un divisor de corriente
y utilizando notacin fasorial e impedancias,la funcin de transferencia es
H() = I0IG
= R1
R1 + (R2 + jL) = 1
4 + j
I0(0) = IG(0)H(0) = 50( - 0) + ( + 0)
4 + j0 A
i0(t) = F-1
{I0(0)} = 502( - 0) + ( + 0)
4 + j0ejtdt
-
=
= 25 ej0t
4 + j0 + e
-j0t
4 - j0 = 25 e
j0te -j0t
5 + e
-j0te j0t
5 = 10cos(0t - 0) A, 0 = 36.87
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 91
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2
iG(t)
R1 R2
L
i0(t)
+v0(t)
-
Se desea obtener v0(t)utilizando transformadas de Fourier.
iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A
R1 = 4 , R2 = 1 , L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,
IG() = F{iG(t)} = 2Igj
= 20j
A
Observando que el circuito es un divisor de corriente
y utilizando notacin fasorial e impedancias,la funcin de transferencia es
H() = V0IG
= I0jL
IG = R1jL
R1 + (R2 + jL) = j4
5 + j
V0(0) = IG(0)H(0) = 805 + j0 V
v0(t) = F-1
{V0(0)} = 80e-5t V, t en s
92 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Teorema de Parseval
JustificacinLa potencia media de seales de energa finita en el dominio del tiempo es nula.
Por tanto, para comparar seales de este tipo, se recurre a la energa de las seales.
Teorema de Parseval(se cumple si ambas integrales existen)
Las dimensiones de F() son [J/Hz] = [Js]
La energa asociada con una funcin f(t)relacionada con una resistencia de 1 es
f2(t)dt-
= 12
F() 2d-
Si se trata de una resistencia de valor R,se multiplican ambos miembros del teorema por tal valor.
La energa de la seal, referida a 1 , en un intervalo de frecuencias es
1 F()
2d 1
2
Interpretracin grfica
F()2
1 2-1-2
W1 = 1 F()
2d 1
2
=
= 12 F()
2d1
2
+ 12 F()
2d 1
2
El teorema de Parseval permite calcular la energa disponible a la salida de un filtrosin necesidad de determinar la expresin temporal de la tensin en dicha salida.
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 93
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1
Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre 1 y 2y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso).
Se desea obtener una representacin grfica cualitativa de mod2[V()] y mod2[V0()],siendo v(t) y v0(t) las seales de entrada y salida, respectivamente,
y calcular el porcentaje del contenido de energa total referido a una resistencia de 1 de la seal de entrada que est disponible a la salida.
v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, 1 = 24 rad/s, 1 = 48 rad/s
v(t) = Ae-atu(t)
V() = Aa + j
V()2 = A2
a2 + 2
1 2-1-2
V()2
La salida es igual a la entrada
en la banda de pasoy nula para cualquier otra frecuencia
1 2-1-2
V0()2
94 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Energa total disponible a la entrada:
Wi = 1
A2
a2 + 2d
0
= A2
1aarctg
a 0
= 300 J
Energa disponible a la salida:
W0 = 1
A2
a2 + 2d
1
2
= A2
1aarctg
a 1
2 = 61.45 J
Porcentaje de energa disponible a la salida:
W0Wi
= 20.48 %
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 95
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2
R
C
+vi(t)
-
+v0(t)
-
Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje
de la energa asociada a una resistencia de 1 disponible en la seal de entrada
que est disponible a la salida, y el porcentaje de energa de la seal de salida
que est comprendida en el rango 0 < < 0.
vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, 0 = 10 rad/sR = 10 k, C = 10 F
vi(t) = Ae-atu(t) Vi() = Aa + j
Vi() 2 = A2
a2 + 2
Energa total disponible a la entrada: Wi = 1
A2
a2 + 2d
0
= A2
1aarctg
a 0
= 22.5 J
Funcin de transferencia (divisor de tensin): H() = 1/(jC)R + 1/(jC)
Transformada de Fourier
de la seal de salida:V0() = Vi()H() =
1/(RC)[1/(RC) + j]
A2
(a2 + 2)
Energa disponible a la salida W0 = 1 V0()
2d0
= 15 J
Porcentaje de energa disponible a la salida:W0Wi
= 66.67 %
96 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Energa disponible a la salida
en el intervalo 0 - 0:W0-0 =
1 V0()
2d0
0
= 13.64 J
Porcentaje de energa disponible a la salida
en el intervalo 0 - 0:W0-0
W0 = 90.97 %
Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 97
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 3
Sea un pulso rectangular de tensincomo el indicado en la figura
v(t) Vm
t0-/2 /2
Su transformada de Fourier es de la formaindicada en la figura siguiente
0
V() Vm
-4/
-2/ 2/
4/
Cuanto ms estrecho es el pulso,mayor es el intervalo dominantede frecuencias.
Para transmitirlo, el ancho de banda del sistemadebe ser suficiente para incluir al menosla parte dominante del espectro;es decir, la dada por la relacin
0 2
Teniendo en cuentaque la transformada de Fourier del pulsoest dada por
V() = Vmsen(/2)/2
la energa contenida en la parte dominante es
W = 1 V()2d =
0
2/
(utilizando una tabla de integrales)
= 2Vm
2 (1.41815)
La energa total del pulso es
Wt = 1 V()
2d =0
Vm2
En consecuencia, la fraccin de energa total del pulso contenida en la parte dominante es
WWt
= 90.28 %
98 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO