El cálculo de primitivas de una función, esto es, el cálculo de la integral indefinida de una función, así como el cálculo de integrales definidas y su aplicación, son el eje fundamental de la unidad.

Esta unidad comienza con las definiciones de primitiva e integral indefinida y la descripción de algunas propiedades básicas, en particular las referidas a la integral de la suma y el producto por constantes. A continuación se presenta una tabla de las integrales inmediatas así como la variación de la misma que considera la composición de una función cualquiera con las funciones elementales, esto es, las integrales cuasi inmediatas.

La unidad continúa con una aproximación a la integral de Riemann a través de las sumas inferior y superior, orientado al cálculo de áreas para asentar una base intuitiva del concepto de integral definida cómo área bajo la curva. Posteriormente se detallan las propiedades básicas de la integral definida. A continuación, partiendo del teorema del valor medio se llega al teorema fundamental del cálculo integral (lo que permite trabajar con funciones definidas bajo el signo de integral, así como calcular su derivada). Para terminar por obtener la regla de Barrow, resultado que permite el cálculo de integrales definidas con sencillez, siempre que podamos encontrar la función primitiva.

La última parte de la unidad se centra en la aplicación de los resultados e ideas que se han introducido previamente. Co-menzamos por el cálculo de figuras planas definidas por una o dos funciones hasta alcanzar el cálculo de volúmenes de revolución. A través de ejemplos y ejercicios resueltos se pone en uso lo aprendido en esta unidad y la anterior, orientado principalmente al cálculo de áreas y volúmenes.

Se trata de una unidad diseñada para dar un conjunto de herramientas técnicas para el cálculo de primitivas, cuya utilidad práctica se verá a continuación, cuando se trabaja la integral definida y sus aplicaciones.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.

Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del estudio de las integrales y sus propiedades, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones, así como un mayor conocimiento de la naturaleza de las funciones

La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.

A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en

comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.

La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.

Las competencias sociales y cívicas se pueden desarrollar en esta unidad haciendo que los alumnos que antes dominen las técnicas que se detallan, ayuden a sus compañeros con más dificultades en este aspecto, potenciando el compañerismo, la empatía y la paciencia.

Temporalización

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

INTEGRALES8

1278. Integrales

128 Análisis

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave

Función primitiva. Integral de

una función

1. Conocer los conceptos de primitiva e integral

indefinida, así como sus propiedades básicas

y dominar las integrales inmediatas y cuasi

inmediatas.

1.1. Conoce los conceptos de primitiva e integral indefinida. CMCT

CL

CAA

CSCIntegrales inmediatas 1.2. Calcula integrales inmediatas, reconociendo la integración

como un proceso inverso a la derivación.

Integrales cuasi inmediatas 1.3. Reconoce las integrales inmediatas que implican una

aplicación de la regla de la cadena y las calcula.

Área definida bajo una curva 2. Manejar el concepto de integral definida y su

relación con el área bajo una curva.

2.1. Entiende la aproximación al área de una figura plana a

través de la doble aproximación por rectángulos contenidos y

que contienen a la figura.

2.2. Identifica la relación entre área bajo una curva y la

integral definida.

CMCT

CL

CAA

CSC

Integral definida de una

función continua

Teorema fundamental del

cálculo integral. Regla de

Barrow

Teorema del valor medio

Teorema fundamental del cálculo

integral

Regla de Barrow

3. Conocer y aplicar el teorema del valor medio,

el teorema fundamental del cálculo integral y la

regla de Barrow a la resolución de problemas.

3.1. Resuelve problemas de cálculo de valor medio a través de

integrales.

3.2. Reconoce funciones definidas bajo el signo de integral y

sabe calcular sus derivadas.

3.3. Conoce y aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales

definidas.

3.4. Se apoya en programas informáticos específicos para

comprobar cálculos, así como explorar situaciones nuevas en

el cálculo de integrales definidas.

CMCT

CD

CL

CAA

Aplicación de la integral

definida al cálculo de figuras

planas

Área delimitada por la curva,

y � f(x), y el eje de abscisas

Área delimitada por dos curvas,

y � f(x) e y � g(x)

4. Calcular el área de recintos limitados por rectas

y curvas sencillas o por dos curvas.

4.1. Conoce y aplica las propiedades de las integrales definidas

al cálculo de estas.

4.2. Entiende el significado del signo en el cálculo integral y lo

adapta para el cálculo de áreas.

4.3. Realiza investigaciones utilizando programas

informáticos específicos para seleccionar y estudiar

situaciones nuevas del cálculo de áreas.

CMCT

CD

CL

CAA

Objetivos

Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚ Aplicar los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones.

❚ Resolver integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas para el cálculo de primitivas.

❚ Manejar el concepto de integral definida y su relación con el área bajo una curva.

❚ Conocer y aplicar el teorema del valor medio, el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow a la resolu-ción de problemas.

❚ Calcular el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.

❚ Aplicar el cálculo de integrales definidas a la resolución de problemas.

Atención a la diversidad

Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO

Actividades de refuerzoActividades de ampliación

Prueba de evaluación

Presentación de la unidad Repasa lo que sabes

1. Función primitiva. Integral de una función• Propiedades de la integral

2. Integrales inmediatas

3. Integrales cuasi inmediatas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación

EJERCICIOS RESUELTOS

4. Área definida bajo una curva

5. Integrales definida de una función continua

6. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow• Teorema del valor medio• Teorema fundamental del cálculo integral• Regla de Barrow

Vídeo. Teorema del valor medio

7. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas de figuras planas• Área delimitada por una curva, y = f(x), y el

eje de abscisas• Área delimitada por dos curvas, y = f(x) e

y = g(x)

Vídeo. Área delimitada por una curva y el eje de abscisasVídeo. Área delimitada por dos curvas

1298. Integrales

130 Análisis

Repasa lo que sabes (página 195)

1. Factoriza estos polinomios.

a) P(x) � x3 � 4x2 � 5x � 2 c) R(x) � 4x4 � 12x2 � 9 e) T(x) � 2x3 � x2 � x � 1

b) Q(x) � x3 � x2 � 12x d) S(x) � 3x3 � �7

4

9�x2 � �

2

2

1�x � �

1

4

5�

a) P(x) � (x � 1)2(x � 2) d) En este caso nos servimos de una calculadora gráfica para obtener las raíces:

b) Q(x) � x(x � 4)(x � 3) S(x) � (x � 0,242…) (x � 0,865…) (x � 5,961…)

c) R(x) � (2x2 � 3)2 e) T(x) � (2x � 1)2 (x2 � x � 1)

2. Realiza las siguientes divisiones.

a) (x2 � x � 3) : (x � 1) c) (x3 � x2 � x � 1) : (x2 � 4)

b) (2x4 � x2 � x � 5) : (x2 � x � 3) d) (x2 � 5x � 2) : ��2

3

x� � 1�

a) (x2 � x � 3) : (x � 1) � x � [3/(x � 1)]

b) (2x4 � x2 � x � 5) : (x2 � x � 3) � 2x2 � 2x � 7 � [(�14x � 26)/(x2 � x � 3)]

c) (x3 � x2 � x � 1) : (x2 � 4) � x � 1 � [(x � 1)/(x2 � 4)]

d) (x2 � 5x � 2) : ��2

3

x� � 1�� �

3

2

x� � �

2

4

1� ���

�

4

13�/��

2

3

x� � 1��

3. Deriva las siguientes funciones.

a) f(x) � �ex� b) g(x) ��x �

3 �

�2

x

x3��

a) f’(x) � ��ex��’ � ex/2’ � �1

2�ex/2 � �

e

2

x/2

�

b) g’(x) ���x �

3 �

�x

2x3���’

� ��3 � 3�

(3

2

�

x�/

x

2

)

(2

9 � x)�

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

a) f(x) ��x

x

2 �

�

5

3

x� b) g(x) ���

x

x

2

�

�

1

x�

a) Se trata de un cociente de polinomios, será continua siempre que el denominador no se anule. Estudiamos el punto donde seanula:

� limx → 3�

�x

x

2 �

�

5

3

x�� �

2

0

4�� � �∞ � lim

x → 3��x

x

2 �

�

5

3

x�� �

2

0

4�� � �∞

Luego no existe el límite en x � 3, ni f(3), por lo tanto la función es continua en � � {3}.

b) Para empezar estudiamos el dominio analizando el signo del radicando:

Luego el dominio de g(x) es (�1, 0) � (1, �∞) ycómo la continuidad es siempre un subconjuntodel dominio, solo necesitamos excluir los extre-mos, pues en x � 0 y x � 1 no existe uno de loslímites laterales, por lo tanto la función es conti-nua en (�1, 0) � (1, �∞).

5. Representa la función f(x) � La función está definida para todo valor de x y es continua en cada trozo. Tenemosuna rama de parábola, un segmento y una función exponencial. Estudiemos la conti-nuidad en los puntos en que cambia:

limx → 0�

x2 � 2x � 3 � f(0) y limx → 0�

x � 3 � 3 luego la función es continua en x � 0.

limx → 1,15�

x � 3 � 4,15 y limx → 1,15�

ex � 1 � 4,15819, los límites laterales no coinciden, luego

la función no es continua en x � 1,15. Los tres trozos son funciones simples, así quecon esta información es suficiente para representarla.Su dominio es todo valor real, es continua en todo punto salvo en x � 1,15, y es deri-vable en todos los puntos en los que es continua salvo en el 0, donde hay un pico.

6. Calcula la recta tangente a la gráfica f(x) � �x � 1� en el punto de abscisa x � 3.

f’(x) ��2�x

1

� 1��, f(3) � �2�, f’(3) � �

�4

2��, la recta tangente es: y � �2� � �

�4

2��(x � 3) ⇒ 2x �4y � 2 � 0

x2 � 2x � 3 si x � 0

x � 3 si 0 � x � 1,15

ex � 1 si x � 1,15

1 � 3�2x�/2(3 � x) � x � �2x3�(�1)����

(3 � x)2

(�∞, �1)

x(x � 1)

x � 1

�x

x

2

�

�

1

x�

(0, 1) (1, ∞)(�1, 0)

� � �

�

�

� ��

� � ��

O 1

1

X

Y

1318. Integrales

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO

Sugerencias didácticas. Recursos TIC

Teorema del valor medio (página 208)

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto de estapágina. Primero se aplica el teorema del valor medio y despuésse resuelve la ecuación para hallar el punto correspondiente.

Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio deeste tipo, indicando los pasos que deben realizarse, o para quelos alumnos puedan repasar este procedimiento más tarde.

Área delimitada por una curva y el eje de abscisas

(página 210)

En el vídeo se puede ver la resolución del ejercicio resuelto de lapágina. Teniendo en cuenta la expresión de la función, se calculael área resolviendo la integral racional con los límites de integra-ción correspondientes.

Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplocompleto de este tipo de ejercicios o para que los alumnos pue-dan repasarlos más tarde.

Área delimitada por dos curvas (página 213)

En el vídeo se muestra la resolución del segundo ejercicio resuel-to de esta página. Para calcular el área, primero se calculan lospuntos de intersección y se representan gráficamente las funcio-nes para determinar la integral definida correspondiente.

Teniendo en cuenta la simetría de la región limitada por las fun-ciones, se comprueba también que el área puede calcularse conel doble de una de las integrales anteriores.

Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio deeste tipo, indicando los pasos que deben realizarse, o para quelos alumnos puedan repasar este procedimiento más tarde.

Actividades (páginas 198/213)

Comprueba que las integrales de las funciones que

se ofrecen en la tabla son correctas derivando los resulta-

dos para obtener la función que se integra.

1

Derivamos cada uno de los resultados:

INTEGRALES INMEDIATAS

�k dx � kx � C

�xn dx � �n

xn

�

�

1

1

� � C, si n � �1

��1

x� dx � ln �x� � C

�ex dx � ex � C

�ax dx � �ln

ax

a� � C, si a � 0 y a � 1

Calcula las siguientes integrales, descomponiéndo-

las si es necesario.

a) �x10 dx g) ���

5

5x3�� dx

b) ��x

12� dx h) ��2x � �

x

34�� dx

c) ���

1

x3�� dx i) �(3x3 � 2x2 � 4x � 7) dx

d) ���e

e

2x

2x

� 3�� dx j) ��3x � 4x�x� � �

�1

x��� dx

e) ��2x3� dx k) ��4

2

x

x

��

61

x

� dx

f) �4�3x� dx l) ��x�x2��x3��� dx

a) �x10 dx � �x

1

1

1

1

� � C

b) �x�2 dx � ��1

x� � C

c) �x�3/2 dx � ��

�2

x�� � C

d) 3�x�5/2 dx � �x

�

�2

x�� � C

e) �2��x3/2 dx � �2x2�

5

2x��� C

f) 4�3��x1/2 dx � �8x �

3

3x��� C

g) ��

5

5���x�3/2 dx � �

�

�1

5

0

x�� � C

h) �(2x � 3x�4)dx � x2 � �x

13� � C

i) �(3x3 � 2x2 � 4x � 7)dx � �3

4

x4

� � �2

3

x3

� � 2x2 � 7x � C

j) �(3x � 4x3/2 � x�1/2)dx � �3

2

x2

� � �8

5�x2�x� � 2�x� � C

k) 2�(2x � 3x)dx � 2��ln

2x

2� � �

ln

3x

3��� C

l) �x11/8 dx � �1

8

9� x2�

8x3� � C

2

INTEGRALES INMEDIATAS

(kx � C)’ � k

(ln x � C)’ � �1/x si x � 0

1/x si x � 0

(ex � C)’ � e

x

��ln

ax

a� � C�’

� �ln

1

a� ax

ln a � ax

��n �

1

1�x

n � 1 � C�’� �

n �

1

1� (n � 1)x

n � 1 � 1 � xn

132 Análisis

Calcula las siguientes integrales definidas.3 Calcula el área delimitada por la gráfica de la función

f(x) ��1

x

�

3

x�, el eje de abscisas y las rectas de ecuación x � 0

y x � 4.

A ��4

0

�1 �

x3

x�dx ��4

0�x2 � x � 1 � �

x �

1

1��dx �

� ��x

3

3

� � �x

2

2

� � x �ln(x � 1)�4

0� �

6

3

4� � 8 � 4 � ln 5 � �

5

3

2� � ln 5

Calcula el área delimitada por las gráficas de las

funciones f(x) � �x� y g(x) � x2.

Los puntos de intersección de las gráficas es en x � 0 y x � 1.

A � �1

0

��x� � x2�dx � ��2

3� x3/2 � �

1

3� x3�1

0� �

1

3� u2

Determina el área de la región del plano limitada por

las curvas y � x4 � 2x2 e y � x2 � 2.

Por simetría, y dado que los puntos de corte de ambas curvasestán en x � �1 y x � 1, tenemos que:

A � 2 �1

0

(x2 � 2 � x4 � 2 x2)dx � 2 ���

5

1� x5 � �

1

3� x3� 2x�1

0�

� 2 �2

1

2

5� � �

4

1

4

5� u2

Calcula el valor del coeficiente b sabiendo que el

área delimitada por la parábola y � x2 � bx � 2 y la recta

2x � y � 2 � 0, es �4

3� u2.

Igualando ambas ecuaciones: x � 0 y x � �b � 2

�4

3� � ��b�2

0

(�2x � 2 � (x2 � bx � 2))dx �

� ���

3

x3

� � (1 � 0,5b)x2� �b�2

0� ��

(b �

6

2)3

� La igualdad se cumple para b � 0 y b � �4.

Ejercicios y problemas (páginas 217/220)

Cálculo de integrales indefinidas

Calcula las siguientes integrales.

a) ��x � ��

1

x����

3

x� dx

b) ��5

5

�

2x �

52

2

x� dx

c) ��(ln

x

x)2

� dx

d) ��x ln

3

(2x)� dx

a) ��x � ��1

x��� �

3x� dx � �

3

7� x 2 �

3x� � �

6

5� �

6x�5� � C

b) ��5

5

�

2x �

5

2

2x� dx � �2

2

ln

5

5� ln (5 � 52x) � C

c) ��(ln

x

x)2

� dx � �(ln

3

x)3

� � C

d) ��x ln

3

2x� dx � 3 ln ln⏐2x⏐ � C

1

11

10

9

8

a) �2

�1

(x2 � x � 2)dx d) �8

2

�x (l

d

n

x

x)2�

b) �e

1

�1

x� dx e) �3

2

�(1

x

�

dx

x)2�

c) �3

�2

�x� dx

a) Como la integral indefinida es �1

3� x3 � �

1

2� x2 � 2x � C:

�2

�1

(x2 � x � 2) dx � ��1

3� x3 � �

1

2� x2 � 2x�

2

�1

� ��

2

9�

b) Dado que la integral indefinida es ln x � C, tenemos que:

�e

1

�1

x� dx � [ln x]e

1 � 1

c) Como la integral indefinida es :

�3

�2

�x� dx � ���x

2

2

��0

�2

� ��x

2

2

��3

0

� �1

2

3�

d) Dado que la integral indefinida es ��ln

1

x� � C, tenemos que:

�8

2

�x (l

d

n

x

x)2� � ��l

�

n

1

x��

8

2� �

ln

1

2� � �

ln

1

8�

e) Dado que la integral indefinida es ln�x � 1� � �x �

1

1� � C,

tenemos que:

�3

2

�(1

x

�

dx

x)2� � �ln�x � 1� � �x �

1

1��3

2� ln 2 � �

1

2�

Averigua el área que determinan la gráfica de la fun-

ción f(x) � �2x � 3�, el eje de ordenadas, el eje de abscisas y

la recta de ecuación x � �2.

Teniendo en cuenta que la función es un valor absoluto:

A ���3/2

�2

(�2x � 3)dx ��0

�3/2

(2x � 3)dx � 2,5 u2

Determina el área de la región delimitada por la curva

y � 2x3 � 7x2 � 2x � 3 y el eje de abscisas.

La curva corta al eje de abscisas en x � �3, x � �1 y x � �1

2�.

A � ��1

�3

(2x3 � 7x2 � 2x � 3)dx � �1/2

�1

(2x3 � 7x2 � 2x � 3)dx �

� 9,7604… u2

Calcula el área de la región del plano encerrada por

la gráfica de la función f(x) � ex � 1, el eje de abscisas y la

recta de ecuación x � 2.

La curva corta al eje de abscisas en x � 0.

A � �2

0

(ex � 1)dx � [ex � x]20 � e2 � 3 � 4,39

Calcula el área que determinan la curva y � �(x �

1

1)2�,

los ejes de coordenadas y la recta de ecuación x � 2.

La curva corta al eje vertical en (0, 1).

A � �2

0

�(x �

1

1)2�dx � ��x�

�

1

1��2

0� �

2

3� u2

7

6

5

4

�x2/2 � C si x � 0x2/2 � C si x 0

1338. Integrales

Calcula las siguientes integrales.

a) ��2

2

�

e�

e

x

�x� dx

b) ���x2

x

� 1�� dx

c) �x�x2 � 1� dx

d) ��4x2 �

d

4

x

x � 1�

a) ��(2

2

�

e�

e

x

�x)� dx � �2 ln(2 � e�x) � C

b) ���x�2

x

�� 1�� dx � �x�2 �� 1� � C

c) �x �x�2 �� 1� dx � �1

3� �(x�2 �� 1�)3� � C

d) ��4x 2 �

dx�4x � 1���

4x

�

�

1

2�� C

Calcula las siguientes integrales.

a) ��ln (

x

2x2)� dx

b) ��1

5

�

x �

2x

2

2

� dx

c) ��e

�

�

x�

2�x�� dx

a) ��ln (

x

2x 2)� dx � �

1

4� ��

4

x� ln (2x2) dx � �

1

4� ln2 (2x2) � C

b) ��1

5

�

x �

2x

2

2

� dx � ��2

5�xdx ���

2

4

5� dx ���

5

3

x

3

�

/25

2�dx �

� �x

5

2

� � �4

5

x� � �

1

3

2

3

5� ln(5x � 2) � C

c) ��e

�

�

x�

2�x�� dx � �2� ��

�e�

2�

2�

x�

x�� dx � �2� e�2�x� � C

Cálculo de primitivas

Calcula la primitiva de la función que se anula en el

punto de abscisa x � 2:

f(x) � x�x2 � 1�

�x�x2 � 1�dx � �1

3�(x2 � 1)�x2 � 1�� C

0 � �3� � C ⇒ C � ��3�

F(x) � �1

3�(x2 � 1)�x2 � 1�� �3�

Calcula la primitiva de la función f(x) � �(ln

x

x)2

� que se

anula en x � e.

F (x) ���(ln

x

x)2

� dx ��(ln x)2[ln x]’ dx � �(ln

3

x)3

� � C

Como F(e) � 0, se tiene C � �1/3, y por lo tanto:

F (x) ��(ln x)

3

3 � 1�

5

4

3

2 Halla la función f(x) tal que f’(x) � �x2 �

x

1�, sabiendo

que f(0) � 2.

f(x) ���x 2 �

x

1� dx � �

1

2� ln (x 2 � 1) � C

Como f (0) � 2, sustituyendo, obtenemos: C � 2

Por tanto: f (x) � �1

2� ln (x2 � 1) � 2

Encuentra la primitiva de f(x) ��(x

�

�

1

2)2� sabiendo que

su gráfica tiene como asíntota horizontal y � 2.

F(x) ���(x

�

�

1

2)2� dx � �x �

1

2� � C ��

1 �

x

C

�

x �

2

2C�

Si limx→∞

F(x) � 2 ⇒ C � 2

Luego:

F(x) � �x �

1

2� � 2

Encuentra la primitiva de la función f(x) � �x l

1

n x� cuya

recta tangente en x � e pasa por (0, 0).

F (x) ���x

d

ln

x

x� � ln ln x � C

F (e) � C

F ’ (e) � f (e) � �1

e�

Luego la ecuación de la recta tangente a F en x � e, es:

y � C � �1

e� (x � e)

Como debe pasar por (0, 0), tenemos:

�C � �1 ⇒ C � 1

Es decir: F (x) � ln ln x � 1

Integral definida

Calcula el valor de las siguientes integrales definidas.9

8

7

6

a) �3

�1

�x � 1�dx d) �e

1

�(ln

x

x)3

� dx

b) �1

�1

�x2

2

�

x

1� dx e) �1

�1

x�2 � 2x�2� dx

c) �0

�1

x2 (x3 � 2)2 dx

a) �3

�1�x��� 1� dx � ��

2

3� (x � 1)3/2�

�1

3

� �1

3

6�

b) �1

�1

�x2

2

�

x

1� dx � �ln (x 2 � 1)�

�1

1

� 0

c) �0

�1

x 2(x 3 � 2)2 dx � �1

3� �0

�1

3x 2(x 3 � 2)2 dx �

� �1

3� ��(x3 �

3

2)3

���1

0

� �7

9�

d) �e

1

�(ln

x

x)3

� dx � ��(ln4

x)4

��1

e

� �1

4�

e) �1

�1

x�2 � 2x�2� dx � �1

4� ��

2

3� (2 � 2x 2)3/2�

�1

1

� 0

134 Análisis

Calcula el valor de las siguientes integrales definidas.10 De modo que: � 4� 1 � 2 � C ⇒ C � �3

Luego f(x) � x2 � 2x � 3

b) Puntos de corte con el eje de abscisas: x � 3 y x � �1

A � �3

�1

(x2 � 2x � 3)dx � ��x

3

3

� � x2 � 3x� 3

�1� �

3

3

2� u2

Se sabe que cierta función derivable F(x) veri-

fica las condiciones F’(x) � ��

4

1

x�� y F(1) � 3.

a) Calcula F(x).

b) Calcula el área delimitada por F(x) y el eje X desde x � 0

hasta x � 1.

a) F(x) ����

4

1

x��dx ��x�1/4dx � �

3

x

/

3/

4

4

� � C � �4

3��

4x3� � C

Imponiendo que F(1) � 3, se obtiene: �4

3� � C � 3 ⇒ C � �

5

3�

La función pedida es:

F(x) � �4

3��

4x3� � �

5

3�

b) Teniendo en cuenta que la función es siempre positiva, elárea se obtiene al calcular:

A ��1

0

F(x)dx ��1

0��

4

3��

4x3� � �

5

3��dx � ��

4

3� �

7

x7

/

/

4

4

� � �5

3�x�1

0� �

1

7

7�

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de

la función f(x) � xex2

en x 0, el eje de abscisas y la recta

vertical x � 1.

La función es positiva en x � 0 de modo que el área de la región dada en el enunciado es:

A � �1

0

xex2

dx � ��e

2

x2

�� 1

0� �

e �

2

1� u2

La gráfica de f(x) � �2x

1

� 1� para x � 0, es:

a) Halla una primitiva de f.

b) Calcula el área de la región sombreada.

a) Una primitiva de la función dada es:

F(x) � �ln(2x

2

� 1)�

b) El área sombreada es:

A ��4

3

�2x

1

� 1� dx � ��ln(2x

2

� 1)�� 4

3� ln�

3�7

7�� u2

Buscando sus extremos relativos y sus puntos de

corte con los ejes, realiza una representación aproxi-

mada de la curva de ecuación y � x4 � x2. A continuación,

calcula el área encerrada por esta curva y el eje de abscisas.

Para calcular los extremos relativos hacemos:

18

X

Y

O 1

0,1

0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0,20,30,40,50,60,70,80,9

17

16

15

a) �2

0

�2

2

x

x

�

�

3

1� dx

b) �1

�3

�1 � x2� dx

c) �2

0

�x �

x2

1� dx

a) �2

0

�2

2

x

x

�

�1

3� dx � �x � ln (2x � 1)�

0

2

� 2 � ln 5

b) �1

�3

�1 � x 2� dx ���1

�3

(�1 � x 2) dx ��1

�1

(1 � x 2) dx � 8

c) �2

0

�x �

x 2

1� dx � ��

x

2

2

� � x � ln x � 1 �0

2

� ln 3

Teorema fundamental del cálculo integral

Halla el valor medio de la función f(x) � xex2

en el in-

tervalo [0, 2] y calcula en qué punto del intervalo se alcanza.

El valor medio de f(x) � xex2

en [0, 2] es:

�1

2��2

0

xex2

dx � �1

4��2

0

ex2

(2x)dx � �1

4��ex2�

2

0 � �e4 �

4

1� � 13,40

Apoyándonos en una calculadora gráfica obtenemos x � 1,4835

Halla la derivada de las siguientes funciones.12

11

a) G(x) ��x

3

�t �

dt

5� c) G(x) ��x 2

x

e2t � 1 dt

b) G(x) ��x 2

3

�t �

dt

5� d) G(x) ��2x

0

et2

dt

Usando el teorema fundamental del cálculo integral y la reglade la cadena, obtenemos:

a) G’(x) � �x �

1

5�

b) G’(x) ��x 2

2

�

x

5�

c) G’(x) � 2x e2x2 � 1 � e2x � 1

d) G’(x) � 2 e4x2

Áreas

Dada la función f(x) � x � 4 � �x

1

�

6

4�, calcula el área

limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas ver-

ticales x � 0 y x � 2.

Dom f � � � {�4}

En x � �4 hay una asíntota vertical.

La función se anula en x � 0, y es positiva en el intervalo (0, 2).

A ��2

0�x � 4 ��

x

1

�

6

4��dx ���

x

2

2

� � 4x � 16 ln x � 4 � 2

0� 0,487 u2

Sabiendo que la gráfica de la función f(x) pasa

por el punto (1, �4) y que su función derivada es f’(x)�2x�2:

a) Determina la expresión de f(x).

b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f(x)

y el eje de abscisas X.

a) f(x) ��(2x � 2)dx � x2 � 2x � C y f(1) � �4

14

13

1358. Integrales

f’(x) � 0 ⇒ 4x3 � 2x � 0 ⇒ x � 0, x � ��

1

2��, x � ��

�1

2��

f’’(x) � 12x2 � 2

f’’(0) � 0, en (0, 0) tenemos un máximo relativo.

f’’���

1

2��� � 0, en ��

�1

2��, ��

1

4�� tenemos un mínimo relativo.

f’’����

1

2��� � 0, en ���

�1

2��, ��

1

4�� tenemos un mínimo relativo.

Los puntos de corte:

x4 � x2 � 0 ⇒ (0, 0), (1, 0) y (�1, 0)

La gráfica aproximada es:

X

Y

O

0,2

0,4�0,4 0,8

�0,2

1,2

0,4

�0,8�1,2

0,1

0,3

0,5

�0,3�0,4

y � x4 � x2

b) A ��1

�1

dx � 2�1

�1

e�x � 2���2�x

1

� 2��� dx �

e�x � 2��

�x � 2�

�((x � 2)7/2 � x4 � 11x3 � (x � 2)3/2(2x2 � 8x � 8) � 42x2 � 68x � 40)e�x � 2���������

4(x � 2)11/2

� 2�1

�1

e�x � 2���x � 2��’dx � 2�e�x � 2��1

�1 � 2�e�3� � e�2�

� 5,868 u2

Dada la función f(x) � �x

x

2 �

�

1

4

2� calcula el área de la

región acotada encerrada por su gráfica y el eje X.

Calculamos los puntos de corte con el eje X:

x2 � 12 � 0 ⇒ x � �2�3�

A � 2 � �x

x

2 �

�

1

4

2�dx � � �x � 4 � �

x �

4

4��dx �

2�3�

�2�3�

2�3�

�2�3�

20

A ��1

�1

(x4 � x2)dx � �1

4

5� u2

Dada la función f(x) � , se pide:

a) Dibuja su gráfica indicando su dominio, asíntotas, inter-

valos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos

relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos

de inflexión.

b) Calcula el área comprendida entre el eje X y la gráfica de

f(x) entre �1 � x � 1.

a) Dominio: (�2, �∞)

Asíntota vertical x � �2 ya que:

limx → �2�

� �∞ f’(x) �

f(x) decrece en (�2, �1) y crece en (�1, �∞).

Mínimo relativo (y absoluto) en (�1, e).

La segunda derivada es:

Es siempre positiva.

Es siempre cóncava, y por lo tanto no tiene puntos de in-flexión.

Se recomienda el uso de software especializado para re-solver esta actividad.

O 1

1

X

Y

f (x) = ——e√x+2

√x+2

e�x � 2���x � 2�� 1����

2�(x � 2)�3�

e�x � 2��

�x � 2�

e�x � 2��

�x � 2�19

� ��x

2

2

� � 4x �4 ln x � 4 ��2

x��� � �17,177… � 17,18

Calcula el área del recinto que está limitado por las

curvas y � x2 � 2x � 1 e y � �x2 � 3.

Calculamos los puntos de intersección de ambas curvas:

x 2 � 2x � 1 � �x 2 � 3 ⇒ x 2 � x � 2 � 0 ⇒ x � 1; x � �2

Entonces, el área pedida es:

A � �1

�2

[x 2 � 2x � 1 � (�x 2 � 3)]dx � 2 �1

�2

(x 2 � x � 2)dx �

� 2 ��x

3

3

� � �x

2

2

� � 2x ��2

1 � ⏐�9⏐ � 9 u2

Calcula el área comprendida entre las gráficas de

f(x) � �x2 � 1� y g(x) � x � 5 en el primer cuadrante.

x 2 � 1 si x � (�∞, �1) � (1, �∞)f (x) � �x 2 � 1 si x � [�1, 1]

A continuación se calculan las abscisas de los puntos de intersección de la recta y de la parábola:

x 2 � 1 � x � 5 ⇒ x 2 � x � 6 � 0 ⇒ x � 3; x � �2

XO

y � �x 2 � 1�1

1�5

Y

�1

5

3

8

y � x �

5

22

1

1 2�3

�1

�1 O

Y

X

2

�2

3y � x 2 � 2x � 1

�2y � �x 2 � 3

21

2�3�

�2�3�

136 Análisis

En el primer cuadrante, el área es:

A � �1

0

[x � 5 � (�x 2 � 1)]dx � �3

1

[x � 5 � (x 2 � 1)]dx �

� �1

0

(x 2 � x � 4)dx � �3

1

(�x 2 � x � 6)dx �

� ��x

3

3

� � �x

2

2

� � 4x� 1

0 � ��

�

3

x 3

� � �x

2

2

� � 6x� 3

1 � �

7

6

3� � 12,17 u2

Determina el área encerrada por las curvas

y � x3 e y � �3

x� en el primer cuadrante.

Las abscisas de los puntos de intersección de ambas curvasson x � �1, x � 0 y x � 1.

El área encerrada por las curvas x 3 y �3

x� en el primer cuadrantees:

A � �0

1 ��3x� � x 3�dx � ��3x

4

4/3

� � �x

4

4

��0

1 � �1

2� u2

Calcula el área del recinto de �2 limitado por las grá-

ficas de las funciones f (x) � x3 � 2x y g(x) � x2 cuando se

consideran valores de x � 0.

Averiguamos los puntos de intersección de las gráficas:

x 3 � 2x � x 2 ⇒ x (x 2 � x � 2) � 0

Las soluciones son x � �1, x � 0 y x � 2.

El área buscada es:

A � �0

�1

(x 3 � 2x � x 2)dx � ���x44

� � �x

3

3

� � x 2�0

�1� �

1

5

2� u2

1

1 2�3

�1

�1 O

Y

X

2

�2

3

y � x 2

�2

y � x 3 � 2x

4

24

1O

Y

X

1

�1

�1

y � x 3

23

En la figura aparece una curva que representa una

función polinómica de grado dos. Los puntos de intersec-

ción de la curva con el eje X son el (1, 0) y el (3, 0). Además,

el área limitada por la curva y los dos ejes de coordenadas

vale 4/3 u2. Halla la expresión de la función polinómica.

La función polinómica de grado dos debe ser de la forma:

f(x) � �a(x � 1)(x � 3) � �a(x 2 � 4x � 3)

El valor del área corresponde, con signo negativo, al valor dela integral definida de f(x) entre 0 y 1:

��4

3� ��

0

1

�a (x 2 � 4x � 3)dx ⇒ �4

3� � a ��

x

3

3

� � 2x 2 � 3x�0

1

⇒ �4

3� � a �

4

3� ⇒ a � 1

La expresión buscada es:

f(x) � �x 2 � 4x � 3

Calcula el área de la región limitada por las curvas

y � �x

2

2

� e y � �x �

1

1�.

Las curvas se cortan en: x � 1, y � 1/2

Como entre x � 0 y x � 1 la hipérbola está por encima de laparábola calculamos:

A ��0

1��x �

1

1� � �

x

2

2

��dx �

� �ln(x � 1) � �x

6

3

�� 0

1

� ln 2 � �1

6� � 0 � 0 � 0,526 u2

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas

de las funciones f (x) � x, g(x) � �x � 2� y el eje de abscisas.

La abscisa del punto de intersección de la parábola y la recta es:

�x � 2�� x ⇒ x � 2 � x 2 ⇒ x 2 � x � 2 � 0 ⇒ x � �1; x � 2

La primera solución no es correcta.

En consecuencia, el área que hay que determinar es:

A � �0

�2

�x � 2�dx � �2

0

��x � 2�� x�dx �

� ��2

3� (x � 2)3/2�

0

�2� ��

2

3� (x � 2)3/2 � �

x

2

2

��0

2

� �1

3

0� u 2

O

Y

X

2

3y � x

31

�1

2

1

�2�3 �1

27

26

(1, 0) (3, 0)

O X

Y

25

1378. Integrales

A ��1

�1��e �

2

e�1

� x � �e �

2

e�1

� � ex�dx �

� ��e �

4

e�1

� x2 � �e �

2

e�1

� x � ex�1

�1� �

2

e�

La curva y � x2 � 2x � 1 y la recta que pasa por los

puntos A(1, 0) y B(3, 4) limitan un recinto finito del plano.

Traza un esquema gráfico de dicho recinto y calcula su área.

La recta tiene por ecuación: y � 2x � 2

Puntos de corte: x � 1 y x � 3

A ��3

1

(2x � 2 � (x2 � 2x � 1))dx � ���x

3

3

� � 2x2 � 3x�3

1� �

4

3� u2

a) Estudia y representa gráficamente la función

f(x) � �(x �

1

2)2�.

b) Halla el área de la región acotada comprendida entre la

gráfica de la función anterior y las rectas y � 1, x � �5

2�.

a) Dom f � � � {2}

Asíntota vertical: x � 2 Asíntota horizontal: y � 0

En (� , 2) la función es creciente, en (2, � ) la función esdecreciente. No hay extremos.

b)

Cuando y � 1, la curva y la recta se cortan en x � 3

A ��3

5/2��(x �

1

2)2�� 1�dx � ��x�

�

1

2� � x�

3

5/2� 0,5 u2

La curva y � 2x2 divide al cuadrado de vértices

A(0, 0), B(1,0), C(1, 1) y D(0, 1) en dos recintos.

a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno.

a)

X

Y

O

1

1

34

X

Y

O 1�1

1

�2 2 3 4 5

2

3

4

f(x) � �������1

(x � 2)2

y � 1

x �

5/2

33

X

Y

O 3

321

21

45

y �

x2 �

2x

� 1

y �

2x

� 2

�2�3

32

X

Y

O 3

�3

�3

3

�2

21

�2 21

y � x3 � 3x

y � 2

Representa gráficamente el recinto plano limitado,

en la región donde la abscisa x es positiva, por la

curva y � x3 � x y por la recta y � 2x. Calcula su área.

Los puntos de corte son x � 0 y x � 1.

�1

0

(2x � x3 � x)dx ��1

0

(x � x3)dx � ��x

2

2

� � �x

4

4

��1

0� 0,25 u2

Dadas las funciones:

� f(x) � �x2 � 5x � g(x) � x � 3

a) Dibuja el recinto plano limitado por las funciones.

b) Halla su área.

a)

b) Puntos de corte en x � 1 y x � 3.

�3

1

(�x2 � 5x � x � 3)dx � ���3

x3

� � �4

2

x2

� � 3x�3

1� �

4

3� u2

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de

ecuación y � x3 � 3x en el punto de abscisa x � �1. Calcula

el área del recinto limitado por la tangente y la curva dada.

La recta tangente es y � 2.

Corta a la curva en x � �1 y x � 2.

A ��2

�1

(2 � x3 � 3x)dx �

� ���4

x4

� � �3

2

x2

� � 2x�2

�1� 6,75 u2

Calcula el área encerrada entre la gráfica de la fun-

ción exponencial f(x) � ex y el segmento que une los pun-

tos de abscisas x � 1 y x � �1.

En primer lugar calcularemos la ecuación de la recta que une

los puntos (1, e) y ��1, �1

e��, la pendiente de esta recta es

m � �e �

2

e�1

�, imponiendo que pasa por (1, e), tenemos:

y � �e �

2

e�1

� x � �e �

2

e�1

�

1 X

Y

O

1

�1�2�3

2

y � ex

3

�4�5

31

30

X

Y

O 3

321

21

45

4 5

6

y � �x2 � 5x

y �

x �

3

29

X

Y

O 2

�2

�2

2

y � x3 � x

y � 2x

28

138 Análisis

b) Veamos cuál es el área comprendida entre la recta y � 1 yla curva y � 2x2, si x � 0:

Punto de intersección para x � 0: x � �2�/2

A1 ���2�/2

0

(1 � 2x2)dx � �x � �2

3

x3

���2�/2

0

� ��

3

2�� u2

El área del resto del cuadrado es:

A2 � 1 � ��

3

2�� ��

3 �

3

�2�� u2

Haz un dibujo del recinto limitado por las curvas

y � x100 y y � x101. Calcula el área de este recinto.

Las curvas se cortan en x � 0 y x � 1. Para realizar el dibujohay que «exagerar»: y � x100 se asemeja a una «parábola»cóncava con mínimo en x � 0 e y � x101 se asemeja a una cú-bica siempre creciente con punto de inflexión en (0, 0).

X

Y

O

1

1�1

�1

y � x100

y � x101

35

El área de la región sombreada se puede calcular restando alárea del rectángulo de base 3 y altura ln 3, el área que delimitala curva y � ln x con el eje de abscisas entre x � 1 y x � 3:

A � 3 ln 3 ��3

1

ln x dx

Buscamos una primitiva de la función f (x) � ln x :

�ln x dx � � � x ln x � x � C

Aplicando la regla de Barrow:

A � 3 ln 3 ��3

1

ln x dx � 3 ln 3 � �x ln x � x�1

3

�

� 3 ln 3 � (3 ln 3 � 3 � 1) � 2 u2

Dibuja el recinto limitado por y � �x2 � 4x � 3, su

recta tangente en el punto P(0, �3) y la recta y � �x � 3.

Calcula su área.

Vértice de la parábola: V (2, 1)

Ceros de la parábola: x � 1 y x � 3

m � f’(0) es la pendiente de la tangente que hay que encon-trar; como f’(x) � �2x � 4 ⇒ m � 4.

La tangente es: y � 3 � 4(x � 0) ⇒ y � 4x � 3

El punto de inter-sección de ambas

rectas es ��6

5�, �

9

5��.

El recinto que deter-minan las dos rectasy la parábola es: 1

1 2

�1

�1 O

Y

X

2

3

y � �x 2�4x� 3

�2y

� 4

x � 3

�3

3 y � �

x � 3

38

u � ln x ⇒ du � �1

x� dx

dv � dx ⇒ v � x

A ��1

0

�x100 � x101�dx � ��1x

0

10

1

1

� � �1

x

0

10

2

2

��1

0��

10

1

302� u2

Calcula el área que, en el primer cuadrante, delimi-

tan las curvas y � x2, y � 4x2 e y � 16.

Puntos de cortes de las parábolas con la recta son x � 2 y x � 4:

A ��4

0

(16 � x2)dx ��2

0

(16 � 4x2)dx �

� �16x � �x

3

3

��4

0� �16x � �

4

3

x3

��2

0� �

6

3

4� u2

Calcula el área de la región limitada por la curva

y � ln x y las rectas y � 0, y � ln 3 y x � 0.

XO

Y

21 3

1

y � 0

(3, ln 3)y � ln 3y � ln x

x �

0

37

18

X

Y

O 3

642

21

810

�2�3 54�4�5

1412

y �

x2

y �

4x2

y � 16

36

A � �6/5

0

[4x � 3 � (�x 2 � 4x � 3)] dx �

� �2

6/5

[�x � 3 � (�x 2 � 4x � 3)] dx � �6/5

0

x2 dx �

� �2

6/5

(x 2 �5x �6) dx � ��x

3

3

��0

6/5

���x

3

3

� � �5

2

x 2

� �6x�6/5

2

� �1

1

6

5� u2

Calcula el área de la región plana limitada por la pa-

rábola y � 4x � x2, su recta tangente en el origen de coor-

denadas y la recta x � 2. Dibuja también esta región.

La pendiente de la tangen-te a la parábola en el ori-gen es m � y’(0).

Como y’ � 4 � 2x ⇒ m � 4

Luego la ecuación de larecta tangente es y � 4x.

El recinto del que se debeaveriguar el área es el quemuestra la figura de la de-recha:

X

Y

O 3

321

21

45

�2 54

76

8

6

�2

9

y � 4x � x2

y �

4x

x �

2

39

1398. Integrales

A � �2

0

[4x � (4x � x 2)] dx � ��x

3

3

��0

2

� �8

3� u2

Halla el área limitada por y � x 3 � 3x 2 � 1 y la recta

tangente a la misma en el punto en que alcanza su máximo

relativo. Dibuja el recinto.

y’ � 3x 2 � 6x Posibles extremos: x � 0 y x � 2

y’’ � 6x � 6. Como y’’ (0) � �6 � 0, en x � 0 la función tiene unmáximo relativo. La ordenada que corresponde a x � 0 esy � 1.

Por tanto, la recta tangente en (0, 1) es horizontal y tiene porecuación y � 1.

Los puntos de intersección de y � x 3 � 3x 2 � 1 e y � 1 son:

x 3 � 3x 2 � 1 � 1 ⇒ x 3 � 3x 2 � 0 ⇒ x � 0; x � 3

El recinto del cual se debe calcular el área es:

1

1 2

�1

�1 O

Y

X

2

�2

y � 1

�3y � x 3 � 3x 2 � 1

�2

3

40

El área buscada es:

A � �2

1���x

2

� 3� � �

1

x�� dx � ���4

x 2

� � �3

2

x� � ln x�

1

2

�

� 2 � ln 2 � �5

4� � ��

3

4� � ln 2� u2

Volúmenes

Calcula el volumen del cuerpo de revolución que

genera el recinto limitado por la curva y � x (x � 1) y el eje de

abscisas, al girar alrededor de dicho eje.

Los puntos de intersección de la curva y el eje de abscisas sonx � 0 y x � 1.

Por tanto, el volumen será:

V � ��1

0

x 2 (x � 1)2 dx � ��1

0

(x 4 � 2x 3 � x 2) dx �

� � ��x

5

5

� � �x

2

4

� � �x

3

3

��0

1

� �3

�

0� u 3

Calcula el volumen del casquete parabólico gene-

rado por la parábola y � 3x2, entre x � 0 y x � 2, al girar alre-

dedor del eje X.

V � ��2

0

9x 4 dx � 9 � ��x

5

5

��0

2

� �28

5

8 �� u3

Calcula el volumen del cuerpo de revolución obte-

nido al girar la elipse x2 � 2y2 � 1 alrededor del eje X.

x2 � 2y2 � 1 ⇒ y � ��1 �

2

x2

�Los puntos de corte con el eje X son: x � �1 y x � 1

V � ��1

�1

�1 �

2

x 2

� dx � ��

2��1

�1

(1 � x 2)dx � ��

2� �x � �

x

3

3

��1

�1�

� ��

2� ��

2

3� � ���

2

3��� � �

2

3

�� � 2,10 u3

Calcula el volumen que engendra la figura del plano

delimitada por la hipérbola xy � 1 y la circunferencia cen-

trada en el origen de radio ��

2

17�� en el primer cuadrante.

La ecuación de la circunferencia es x2 � y2 � ���

2

17���

2

⇒ y � ��1

4

7� � x2

La circunferencia y la hipérbola se cortan en �1

x� ���

1

4

7� � x2

⇒ x � 0,5 y x � 2

V � ��02

0,5��

1

4

7� � x 2 � �

x

12��dx � ���

1

4

7�x � �

x

3

3

� � �1

x��

2

0,5� 9/4�

X

Y

O 2�2

2

�4 4 6

4

1 3 5�3�5

1

3

�6

�2�3�4

xy � 1

x2 � y2 � 17/4

45

44

43

42

A � �3

0

[1 � (x 3 � 3x 2 � 1)] dx � ���4

x 4

�� x 3�0

3

� �2

4

7� u2

Calcula el área del recinto plano limitado por la cur-

va xy � 1 y la recta perpendicular a la recta y � 2x � 1 que

pase por el punto de coordenadas (1, 1).

La pendiente de la perpendicular a y � 2x �1 es � �1

2�:

y � 1 � � �1

2� (x � 1) ⇒ y ��

�x

2

� 3�

Buscamos las abscisas de los puntos de intersección de estarecta y la hipérbola:

y � �1

x�

⇒ x � 1; x � 2y ��

�x

2

� 3�

El recinto del cual se debe calcular el área es:

1O

Y

X

1

�1

�1

2 3

2

41

140 Análisis

Actividades de aplicación

Determina:

a) Los máximos y mínimos relativos y los puntos de in-

flexión de la función f(x) ��3x2

x

�2 �

x

1

� 3�.

b) Una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y F(0) � 4.

La función es continua en �.

a) f’(x) ��(1

1

�

�

x

x2

2

)2�

f’(x) � 0 si x � 1 y x � �1

f’’(x) ��2

(

x

x

(2

x

�

2 �

1)

33

)�

f’’(1) � 0 y f’’(�1) � 0

Por lo que en x � 1 hay un máximo relativo y en x � �1 unmínimo relativo.

f’’(x) � 0 si x � 0 y x � ��3�Estudiando el signo de la derivada segunda alrededor de estos punto se determina que los tres son puntos deinflexión.

b) F (x) ���3x2

x

�2 �

x

1

� 3� dx � 3x � �

1

2� ln(x2 � 1) � C

4 � C

Luego la función es F(x) � 3x � �1

2� ln(x2 � 1) � 4.

Se sabe que la gráfica de una función pasa por el

punto (1, 1) y que f ’(1) � 2. Se conoce también que su deri-

vada segunda es la función g(x) � 2. Calcula la función f.

f ’(x) ��2 dx � 2x � C

Como f ’(1) � 2 ⇒ 2 � 2 � C ⇒ C � 0

f(x) ��2x dx � x 2 � C ’

Como la gráfica pasa por (1, 1), f (1) �1, es decir:

1 � 1 � C’ ⇒ C’ � 0

Por tanto, la función es f (x) � x2.

Halla f(x) sabiendo que f(0) � 1, f ’(0) � 2 y f ’’(x) � 3x.

f ’ (x) ��3x dx � �3

2

x 2

� � C

Como f ’ (0) � 2 ⇒ C � 2

f (x) ����3

2

x2

� � 2� dx � �x

2

3

� � 2x � C ’

Como f (0) � 1 ⇒ C ’ � 1

La función pedida es f (x) � �x

2

3

� � 2x � 1.

Determina la función F(x) que:

� F’(x) � 2x � 6

� La gráfica de la función F(x) presenta un mínimo en el

punto de ordenada �1.

F(x) � x2 � 6x � C

xV � 3

1 � 9 � 18 � C ⇒ C � 10

F(x) � x2 � 6x � 10

49

48

47

46

Halla la ecuación de una curva y � f(x) sabiendo que

pasa por el punto (1, 1) y que la pendiente de la recta tan-

gente en el punto de abscisa x es m � 3x � 1.

f (x) ��(3x � 1) dx � �3

2

x 2

� � x � C

Como: f (1) � 1 ⇒ 1 � �3

2� � 1 � C ⇒ C � �

�

2

3�

Luego:

f (x) � �3

2

x 2

� � x � �3

2�

Halla la ecuación de la curva y � f(x) que cumple que

f’’(x) � 4, y la recta tangente en el punto de abscisa x � 3

tiene por ecuación y � 9x � 13.

f ’ (x) � 4x � C

Puesto que f ’ (3) � 9 ⇒ 9 � 4 3 � C ⇒ C � �3

Luego:

f ’ (x) � 4x � 3

De donde, integrando, f (x) � 2x 2 � 3x � C ’ .

Puesto que la recta es tangente en el punto (3, 14):

14 � 2 9 � 3 3 � C ’ ⇒ C ’ � 5

Luego la curva buscada es:

y � 2x 2 � 3x � 5

De una función y � f(x) sabemos:

� Su dominio de definición es todo �.

� Su función derivada es: f’(x) � � f(x) es continua en todo punto y f(�1) � 2.

Determina el valor de f(1) y dibuja la gráfica de la función

f(x).

La función f (x) deberá ser de la forma:

f(x) � siendo f continua en �, y con f (�1) � 2.

Con la última condición determinamos C:

2 � 2 · (�1) � C ⇒ C � 4

Ahora, imponemos que sea continua en x � 1:

2 · 1 � 4 � �1 � C ’ ⇒ C ’ � 7

Por lo que la función buscada es:

f(x) �

X5�5 O

Y

�5

5

10 15

f(x) �2x � 4 si x � 1

�x � 7 si x 1

2x � 4 si x � 1�x � 7 si x 1

2x � C si x � 1�x � C’ si x 1

2 si x � 1

�1 si x � 1

52

51

50

1418. Integrales

Ejercicios de aplicación

Considera la función f(x) � x 2 � �x�.a) Calcula los puntos en que la gráfica corta a los ejes.

b) Calcula los extremos relativos (máximos y mínimos), así

como los intervalos de crecimiento y decrecimiento f.

c) Dibuja la gráfica de f.

d) Calcula �2

�1

f(x)dx.

a) f(x) � . El dominio es �, es continua, y

corta a los ejes en el origen de coordenadas (0, 0).

b) f’(x) � ∃�f’(x) � 0, puesto que En x � 0 hay un punto anguloso.

f’(x) � 0 si x � 0 ⇒ f(x) decrecen en x � 0

f’(x) � 0 si x �� 0 ⇒ f(x) crecen en x � 0

En x � 0, y � 0, es un mínimo absoluto: m(0, 0)

c)

9

X

Y

O 3

321

21

45

�2�3 54�4�5

76

8y � x2 � �x�

�6 76

10

f’�(0) � �1f’�(0) � 1

2x � 1 si x � 02x � 1 si x � 0

x 2 � x si x � 0x 2 � x si x 0

53

La función derivada f ’(x) de una cierta función conti-

nua f: � → � es una función a trozos formada por las semi-

rrectas del dibujo.

a) Determina si es derivable en todos los puntos de � y por

qué.

b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) Averigua si f(x) tiene algún extremo relativo y, si es así,

para qué valor de x y de que tipo.

d) Sabiendo que f(0) � 1, calcula f(1).

a) La función es derivable en � � {1}.

b) La función crece para los valores con derivada positiva, esdecir x � (� , 2) y decrece x � (2, � ).

c) Para x � 2 la derivada vale 0 y pasa de positiva a negativa,por tanto en este punto tenemos un máximo relativo.

d) El área de la función derivada desde x � 0 hasta x � 1 vale 1:

�1

0

f’(x)dx � f(1) � f(0) � 1 ⇒ f(1) � 2

Los beneficios de una empresa, en miles de euros

por año, se ajustan a la siguiente función:

B(x) � �x 2

5

�

x

4�

¿A cuánto ascienden los beneficios acumulados en los cin-

co primeros años de vida de la empresa?

B(acumulados) ��5

0

�x2

5

�

x

4� dx � �

5

2� �ln (x 2 � 4)�

5

0�

� �5

2� (ln 29 � ln 4) � 4,95250

Por consiguiente, los beneficios acumulados ascienden a4 952,50 €.

Actividades tipo test

Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso.

Si F’(x) � �1

2�x � 2 y la gráfica de F(x) presenta un

mínimo en el punto de ordenada �4, entonces:

a) F(x) � �x

4

2

� � 2x � 4 c) F(x) � �x

4

2

� � 8x � 2

b) F(x) � �x

2

2

� � 2x � 4 d) F(x) � �x

4

2

� � 2x � 8

La respuesta correcta es la d). Veámoslo:

Al integrar F’(x) obtenemos F(x) � F(x) � �x

4

2

� � 2x � C.

Para hallar el valor de C, veamos cuáles son los extremos rela-tivos de F.

F’(x) � 0 ⇒ x � �4

El extremo está en el punto de abscisa x � �4, por otro ladosegún el enunciado la ordenada en ese extremo es 4.

De modo que hacemos que la función pase por el punto (�4, 4).

4 � �(�

4

4)2

� � 2 (�4) � C ⇒ C � 8

58

56

X

Y

O 2

1

1 3 4�1�2�3�4

55

d) �2

�1

f(x)dx ��0

�1

(x2 � x)dx ��2

0

(x2 � x)dx �

���x

3

3

� � �x

2

2

�� 0

�1���

x

3

3

� � �x

2

2

�� 2

0� �

1

2

1�

Dadas f(x) � x2 � ax � 4 y g(x) � �x

2

2

� � b.

a) Calcula a y b de manera que las gráficas de f(x) y g(x)

sean tangentes en el punto de abscisa x � 3, es decir,

que tengan la misma tangente en este punto.

b) Halla la ecuación de la recta tangente del apartado a).

c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcu-

la el valor del área de la región limitada por el eje de

abscisas y la función f(x).

a) Las gráficas de las dos funciones serán tangentes en x � 3si f(3) � g(3) y f ’(3) � g’(3).

f(x) � ⇒ a � 3, b � ��1

2

7�

b) La recta tangente pasa por (3, �4) y tiene de pendiente 3:

y � 3x � 13

c) Para calcular el área se deben calcular los puntos de cortecon el eje:

x2 � 3x � 4 � 0 ⇒ x � �1 y x � 4

A � �4

�1

(x2 � 3x � 4)dx � �12

6

5� u2

9 � 3a � 4 � �9

2� � b

6 � a � 3

54

142 Análisis

En un plano el trazado de una carretera discurre según

la ecuación y � �x

4

2

� � x, siendo un río el eje X. En el terre-

no entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos las

distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectá-

rea se paga a 60 euros?

a) 15 600 €

b) 16 000 €

c) 23 300 €

La respuesta correcta es la b). Veámoslo:

�4

0�0 � ��

x

4

2

� � x��dx � ��x

2

2

� � �1

x

2

3

�� 4

0� �

8

3� km2 � �

80

3

0� Ha

�80

3

0� Ha 60 €/Ha � 16 000 €

X

Y

O

1

1

2

2 3 4

�1

�2

y � ��� x4x2

59

1438. Integrales

Evaluación (página 221)

1. Calcula una primitiva de la función: f(x) � �x�1 �

1

ln�x2��

F(x) ���x�1 �

1

ln� x2��dx � �

x��

1

2

�

x/

l

x

n�

2

x2��dx � ��1 � ln� x2� � C

2. Resuelve las siguientes integrales.

a) � dx b) ��x

x

(

�

x �

1/

1

2

)� dx c) ��

3x

x2

�

�

1

6x� dx

a) 2� dx � 2e�x� � Ce�x��

�x�

e�x��

�x�

b) ��x

x

(

�

x �

1/

1

2

)� dx � �

1

2���

2

x

x2 �

�

x

1� dx � �

1

2���

(x

x

2

2

�

�

1

x

)’�dx � �

1

2�ln(x2 � x) � C

c) ��3x

x2

�

�

1

6x� dx � �

1

3� �

1

2���

x

22

x

�

�

2

2

x� dx � �

1

6���

(x

x

2

2

�

�

2

2

x

x

)’�dx � �

1

6� ln(x2 � 2x) � C

3. Dada la función f(x) � x2 � 1, en el intervalo [�3, 2] y la partición P del mismo formada por los puntos P � {�3, �2, �1, 1, 2}, ha-

lla la suma superior y la suma inferior correspondientes a dicha partición y dicho intervalo.

Suma superior:

(�2 � (�3)) 8 � (�1 � (�2)) 3 � (0 � (�1)) 0 � (1 � 0) 0 � (2 � 1) 3 � 14

Suma inferior:

(�2 � (�3)) 3 � (�1 � (�2)) 0 � (0 � (�1)) (�1) � (1 � 0) (�1) � (2 � 1) 0 � 1

4. Halla el valor medio de la función f(x) � (x � 1)�x� en el intervalo [0, 2].

�1

2��2

0

x3/2 � x1/2 dx � �1

2���

2x

5

5/2

� � �2x

3

3/2

��2

0� �

4�5

2�� � �

2�3

2�� � �

22

1

�5

2�� � 2,07

5. Encuentra el punto en el que se alcanza el valor medio de la función f(x) � x2 � x � 1 en el intervalo [�2, 1].

El valor medio es: �1

3��1

�2

(x2 � x � 1)dx � �1

3���

x

3

3

� � �x

2

2

� � x�1

�2� �

3

2�

El punto en que se alcanza es el que satisface la ecuación f(x) � �3

2�, esto es x2 � x � �

1

2� � 0 que tiene dos soluciones: x � �

�1 �

2

�3��

Ambos valores pertenecen al intervalo y en los dos se alcanza el valor medio.

6. Determina la derivada de la función G(x) ��x�3

4

�t �

1

3� en x � 2.

G’(x) ��(x � 3

1

) � 3�� �

1

x� ⇒ G’(2) � �

1

2�

7. Calcula el área limitada por la curva y � �3

x� en el intervalo [�1, 1].

Por simetría el área se puede calcular como: A � 2�1

0

�3

x�dx � 2��3x

4

4/3

��1

0� �

3

2� u2

O 2

2

X

Y

144 Análisis

8. Halla el área de la región del plano delimitada por la curva y � x3 � x2 � 2x y las rectas y � x � 1 y x � 3.

Hallamos la intersección de la curva con la primera recta: x3 � x2 � 2x � x � 1 ⇒ x3 � x2 � 3x � 1 � 0 ⇒ (x � 1)(x2 � 2x � 1) � 0

Luego se cortan en x � �1 y x � 1 � �2�. Ambas funciones son continuas, luego para calcular el área debemos calcularla por sepa-

rado en cada intervalo: ��1, 1 � �2��, �1 � �2�,1 � �2��, �1 � �2�, 3�; observando qué función está por encima en cada uno. Final-

mente se calcula:

A ���1

1��2�

x3 � x2 � 2x � (x � 1)dx �� x � 1 � (x3 � x2 � 2x)dx �� x3 � x2 � 2x � (x � 1)dx �

� ��x

4

4

� � �x

3

3

� � 3�x

2

2

� � x� � ��x

4

4

� � �x

3

3

� � 3�x

2

2

� � x� � ��x

4

4

� � �x

3

3

� � 3�x

2

2

� � x� � 9,751611… u2

Llamando F(x) � �x

4

4

� � �x

3

3

� � 3�x

2

2

� � x, hemos calculado:

F�1 � �2��� F(�1) � ��F�1 � �2��� ��F�1 � �2����� F(3) � F�1 � �2��� F(3) � F(�1) � 2�F�1 � �2��� F�1 � �2���9. Determina la función cuya derivada segunda es 6 sabiendo que su gráfica pasa por el punto (�1, 0) y en dicho punto la pen-

diente de su recta tangente es �4.

� f’’(x) � 6

� f(�1) � 0

� f’(�1) � �4

�f’’(x)dx � 6x � C � f’(x), usamos el valor conocido que toma la derivada en �1 para calcular la constante de integración:

f’(�1) � �6 � C � �4 ⇒ C � 2 ⇒ f’(x) � 6x � 2

Procedemos de la misma manera para obtener la función: �f’(x)dx � 3x2 � 2x � C2 � f(x), basta usar que la gráfica pasa por (�1, 0)para obtener la constante:

f(�1) � 3 � 2 � C2 � 0 ⇒ C2 � �1 ⇒ f(x) � 3x2 � 2x � 1

10. Averigua la ecuación de la parábola f(x) � ax2 � bx � c que en el punto de abscisa x � �1 tiene por tangente la recta y � �x �3, y f’’(x) � 3.

f(x) � ax3 � bx � c ⇒ f’(x) � 2ax � b ⇒ f’’(x) � 2a � 3 ⇒ a � 3/2

Además, por ser la gráfica tangente a la recta indicada en x � �1 se tiene: f’(�1) � �1 y f(�1) � 4

Así pues: �1 � �3 � b ⇒ b � 2 y 4 � 3/2 (�1)2 � 2 (�1) � c ⇒ c � 9/2

Por lo tanto: f(x) � �3

2�x2 � 2x � �

9

2�

11. Determina una constante positiva, a, sabiendo que la figura plana delimitada por la parábola y � 3ax2 � 2x, la recta y � 0 y la

recta x � a, tiene área A � (a2 � 1)2.

La parábola pasa por el origen independientemente de a, luego tenemos que:

A ��a

0

3ax2 � 2x dx � �ax3 � x2�a

0� a4 � a2 y A � (a2 � 1)2, igualando obtenemos a4 � a2 � a4 � 2a2 � 1

Resolviendo llegamos a la solución a � �3�/3, pues solo nos interesa la solución positiva de la ecuación.

12. La evolución de la demanda de un producto, en miles de artículos, en los cinco años transcurridos desde su aparición en el

mercado, viene dada por la expresión d(t) � 16e�0,1t, donde t expresa el tiempo, contado por semestres. Encuentra:

a) El número de artículos demandados durante los tres primeros años.

b) La demanda media de artículos durante los dos últimos años.

a) �6

0

16e�0,1t dt � ���1

0

6

,1�e�0,1t�

6

0� 160(1 � e�0,6) � 72,190…

Luego unos 72 190 artículos.

b) La demanda media anual de los últimos dos años viene dada por:

� �1

2����

1

0

6

,1�e�0,1t�

10

6� �160( e�1 � e�0,6) � 28,949

Una media anual de 28 949 artículos.

�10

6

16e�0,1t dt

��2

3

1��2�

1��2�

1��2�

1��2�

�1

3

1��2�

1��2�

1��2�