12 CÁCH TÍNH THANH CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG

12.1. KHÁI NIỆM

12.1.1. Tải trọng động

Trong các chương trên ta đã nghiên cứu các bài toán thanh chịu lực tác dụng tĩnh tức là tải trọng gia tăng một cách từ từ, không phát sinh hoặc gây ra không đáng kể các lực quán tính trong hệ.

Trường hợp tải trọng đặt vào hệ biến đổi nhanh theo thời gian sẽ gây ra gia tốc chuyển dịch của các phần tử, từ đó phát sinh lực quán tính tác dụng trên hệ. Đó là tác dụng động của tải trọng, hay còn gọi là tải trọng động. Xe chạy trên cầu gây ra sự dao động, dây cáp nâng hạ các vật nặng, búa đóng cọc...là các ví dụ về tải trọng động.

Dưới tác dụng của tải trọng động, ứng suất, biến dạng, chuyển vị trong hệ biến đổi theo thời gian. Trong qua trình biến đổi, các đại lượng nêu trên có những giá trị khác nhau. Trong kỹ thuật người ta ít quan tâm đến quá trình biến đổi mà thường chú ý thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng chịu tải trọng động cần tìm SjVỚi đại lượng tương ứng chịu tải trọng tác dụng tĩnh đã biết cách xác định 5, theo biểu thức sau:

S ,= K ,S , . (12.1)

trong đó được gọi là hệ sô' động, đặc trưng cho hệ thanh và cách tác dụng của tải trọng động.

Khi tính hệ chịu tải trọng động ta chấp nhận các giả thiết sau:

♦ Các tính chất về vật liệu của hệ như các hằng số đàn hồi, định luật Hooke... khi chịu tải trọng tĩnh và khi chịu tải trọng động như nhau.

* Khi tính hệ chịu tải trọng động ta cũng chấp nhận các giả thiết về biến dạng của hệ như giả thiết tiết diện phẳng... đã chấp nhận khi tính hệ chịu tải trọng tĩnh.

12.1.2. Bậc tự do

Bậc tự do của hệ khỉ dao động là sô' thông s ố hình học độc lập đ ể xác đinh vi trí của hê.

334

Ví dụ: hộ trên hình 12.la có một bậc tự do vì chỉ cần một thông số là đủ để xác định vị trí của khối lượng M; hệ trên hình 12.1b tuy chỉ mang một khối lượng nhưng có hai bậc tự do vì cần hai thông số X, >> mới xác định được vị trí của M. Đối với dầm có khối lượng phân bố thì bậc tự do bằng vô cùng.

Khi giải các bài toán cần chú ý đến quan hệ tỷ lệ Mgiữa khối lượng phân bố với khối lượng tập trung. Với /7 ' 'yiM ' ' ' hệ trên hình 12.la ta có thể xem là có môt bâc tư do M

1' z . \ _____r à) • U', •

/TTtnr

nếu khối lượng tập trung M rất lớn so với khối lượng phân bố của dầm. Ngược lại, nếu khối lượng tập trung M không lớn so với khối lượng phân bố của dầm thì phải xem là hệ có vô số bậc tự do. Hình 12.1

Trong khuôn khổ tài liệu này chỉ giới thiệu những khái niệm ban đầu về bài toán hệ chịu tải trọng động và cách giải một vài bài toán phổ biến trong thực tế là bài toán dao động và va chạm của hệ một bậc tự do, làm việc trong giới hạn đàn hồi, tuân theo định luật Hooke. Lời giải chính xác bài toán hệ có bậc tự do hữu hạn hoặc bằng vô cùng thựờng khá phức tạp (xem [11]) nên trong giáo trình này chỉ đề cập đẽn cách giải gần đúng, quy đổi vể bài toán hệ một bậc tự do.

12.2. DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC T ự DO

12.2.1. Phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do

Xét hệ một bậc tự do như trên hình 12.2, chịu lực kích thích P(t) thay đổi theo thời gian. Sau khi chịu lực P(t), tại thời điểm 1, khối lượng M có chuyển vị y(t) tính từ trạng thái cân bằng ban đầu (đưòrng liền nét trên hình 12.2) và gia tốc có độ lớn là d^ỵ/df.

Trong quá trình dao động, tại khối lượng M phát sinh các lực:

♦ Lực quán tính Z(t) ngược chiều với chiều- * - A. ^ ^ I v . l _ l t \ J t 1 A a/"

m P(t) ,

y ( t ĩ ^ R ¥ '

gia tốc, bằng khối lượng M nhân với gia tốc;

Z (t)= - Mdt^

Hình 12.2

( 12.2)

♦ Lực cản nhớt do ảnh hưởng của môi trường xung quanh, do liên kết. Lực cản được ký hiệu là R(í) có chiều ngược vói chiều chuyển động, tỷ lệ với vận tốc dy/dt qua hệ số tỷ lệ yổ;

335

R (t)= Ị 3 ^ . (12.3)dt

Gọi:

Sn - chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M dolực đặt tại điểm đó gây ra;

ỏiP - chuyển vị theo phưcfng chuyển động tại điểm đặt khối lượng M dolực p = ỉ đặt tại vị trí lực kích thích gây ra.

Như vậy, nếu chú ý đến (12.2) và (12.3) ta có thể xác định chuyển vị tại thời điểm t của khối lượng M như sau:

y(t) = ỏ,pP(t) +ổiiZ(t) - ổjjR(t) = ổipP(t) - S i ,M ỷ (t) - s , , ( ỉ ỳ .

Chia cả hai v ế cho tích M . ổỊỊ, sau khi biến đổi ta được:

ỷ(t) + 2aỳ(t) + ũỉy(t) - ũ/ỗjpP(t). (12 .4)

trong đó: Cử = — ỉ— ; 2 a = — . (12.5)1 M

Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động đối với hệ có m ột bậctự do. Tùy theo sự tồn tại hay không tồn tại của vế phải ta có bài toán daođộng cưỡng bức hay dao động tự do.

12.2.1. Dao động tự do không lực cản của hệ một bậc tự do

Dao động tự do là dao động phát sinh do chuyển vị và tốc độ ban đầu của hệ. Điều kiện ban đầu được tạo ra do các xung lực tức thời làm cho hệ táchkhỏi vị trí cân bằng. Như vậy, dao động tự do là dao động không có tải trọngđộng duy trì trên hệ.

Từ (12.4), phưcíng trình vi phân của dao động tự do không cản có dạng:

ỷ ( t ) + a^y(t) = 0. (12.6)

Nghiệm của phương trình có dạng:

y(t) = A coscữt + B sincot; (12.7)

A và B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện ban đầu. Hay được viết dưới dạng:

yịt) - a sin(cửt+ọ); (12.8)trong đó: a - biên độ;

ọ - góc pha ban đầu; íy - tần số góc của hệ.

336

Các đại lượng này được xác định theo cấc đ!iề:u kiện ban đầu. Gọi y„ và V,, là chuyển vị và vận tốc chuyển đống tại thrM điiểmi t-O , ta có:

ỉ ) y m ) = y„; 2 ):.w ớ „ '= v ,,

Sau khi vận dụng các điều kiện ban đầu ta: tì m được:

1 ^2

/\ i /V co

và ẹ - a r c tg —^ .

a sin ọ ỈI\ ; / \ : / ỉ ’ '

' , . - I .

Đồ thị y(r) có dạng hình sin như trên hình 12.25.

Qua phương trình (12.8) và đổ thị trên hình (12.3) ta thấy:

* Chuyển động là một dao động điều hòa t uầin hoàn có biên độ a và chu kỳ (thời gian thực hiện một dao động):

T = (12.9)

® Tần số góc ũ) còn gọi là tần số dao đỏng riê:ng là số dao động thực hiện trong 2nâơn vị thời gian, có đơn vị là Herìĩz ’(l/s) :

Cứ -Pỗ 'II

gyt

( 12.10)

* Tần số dao động hay tần số \ òng là sò' dao đỘTig thực hiện trong một đơn vị thời g i a n (s), ký hiệu là/:

/ = ~ = : f = (12.11)T 2 /t 2 n \ y ,

12.2.3. Dao động tự do có lực cán cùa hè Itnộit bậc tự do

Từ (12.4), phương trình vi phâii của d.ao động Itự do có lực cản có dạng:

ỷ ( t ) + 2 a ỷ (t) +- ữ / y ( ỉ ì =- 0. ( 1 2 . 1 2 )

Trường hợp lực cản nhỏ a < ũ), nghiệm có dạnig;

y(t) = A e sin( (ơỊt^p i); (12.13)

trong đó: A, (O ị, ẹ , là các thông số biên độ, tần S iô ' gó€, góc pha ban đầu của dao động tự do có lực cản.

Biểu thức tần số góc của dao động tự cdo có 1 ực cản có dạng:

c o ,= \c ủ ^ -a ^ (12.14)

337

Khi lực cản không lớn, hệ dao động với tần số co Ị thấp hofn so với tần số dao động tự do co. Đối với các kết cấu thông dụng không có thiết bị chống rung, a thường rất bé so với <y nên ta có thể lấy (Oị ^ cử.

Các thông số biên độ A và góc pha ban đầu (Ọị của dao động, được xác định theo các điểu kiện ban đầu:

\ ) y { 0 ) ^ y o ; l ) ỳ { 0 ) = v„.

Sau khi vận dụng các điều kiện ban đầu ta tìm được:

A = ,.2 I (v„+c?v„)-yo + -------- ị

«1cpi=arctg yo^\ (12.15)

Vo +ạvo

Chu kỳ của dao động có lực cản: 2n 2n

^ 4 0 ) ^ ^

Tần số dao động có lực cản:

,(s). (12.16)

yla> - aI n

,( l /s ) . (12.17)

Đồ thị của dao động như trên hình 12.4. Ta thấy dao động tắt dần theo thời gian; lực cản càng lớn thì mức độ tắt dẩn càng nhanh.

Để đánh giá mức độ tắt dần ta xét tỷ số giữa hai biên độ ở hai thời điểm cách nhau một chu kỳ T ị . v ì sin{CÚỊt+ẹi) = sin[cũi(t+Ti)+(p,] nên ta có;

.y(0 _

y{ t + T,)

Tỷ số này là một hằng số nên từ đó ta suy ra:

X OaTy = Iny{t + T,)

X - hệ số biểu thị tốc độ tắt dần, gọi là d ộ g i ả m lo g a của dao động. Thông qua giá trị tìm được bằng thực nghiệm của hệ số này [đo y(t) và y (í+Tị)] ta có thể xác định được các đại lượng a và p.

12.2.4. Dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do

Ta xét một trường hợp đặc trưng cho dao động cưỡng bức: khi hệ chịu lực kích thích là hàm tuần hoàn theo thời gian với biên độ p tần số góc r được mô tả bằng P(t) - Psinrt. Với các lực cưỡng bức bất kỳ ta có thể khai triển

338

theo chuỗi Pourier của các hàm lưcmg giác nên viộc nghiên cứu với lực nêu trên vẫn mang tính chất đặc trưng chung.

Trong trường hợp này, từ (12.4) ta có phư(j(ng 1 rình vi phân;

ỹ ( t ) + 2 a ỷ (t) + ũfy( t) = (C ổ Ị pPsinrt. (12.18)Nghiệm của phưoíng trình: y*(t) (12.19)

trong đó;

ỹ (í) - nghiệm của phương trình không có vế phải tìm được theo (12.13):

ỹ{t) = A e sin(ũ)/t+(j)i ); (12.20)

y*(t) - nghiệm riêng của phương trình có vế phải, có dạng:

y * ( t ) = C ị sinrt + C 2 Cữsrt ( 1 2 .2 1 )

trong đó Cị, C2 là các hằng số tích phân tìm đươc bằng cách thay (12.21) vằo(12.18), sau khi đồng nhất hai vế ta được:

(0 ^õ ^p P {ũ ? -r^) ^ a)^ỔịpP.2ar(12.22)

Nếu biểu thị y*(t) dưới dạng tương tự như (12.8):y*(t) = Bsm(rt+ụ/); (12.23)

thì sau khi biến đổi, ta tìm được:

' * = T ! T 4 ? n X j ’- ^ = 02-24)Ặ co - r ) +Ar a ứ> - r

Như vậy, nghiệm toàn phần có dạng:y(t) = A e~“ ' sin(cOit+(pi) + B Sin(rt+ụ/); (12.25)

Ta thấy nghiệm bao gồm hai dạng dao độne: số hạng thứ nhất thể hiện dao động tự do tắt dần; sô' hạng thứ hai thổ hiện dao động cưỡng bức do lực kích thích gây ra. Sau một thời gian, dao động r:ự do sẽ mất đi, hệ sẽ dao động bình ổn theo tần số r của lực kích thích với biên độ:

- ị - - (12.26)

trong đó: ầ^p là chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối

lượng M do lực p tác dụng tĩnh tại vị trí lực kích thích gây ra.

Nếu gọi Kj là hệ s ố động thì hệ số này sẽ đạt giá trị lớn nhất khi dao động đã bình ổn:

B =

339

_ ^ maxd

ị W ____________ ỉ_____________

^ \p ^ \p(12.27)

Hệ số động phụ thuộc các tỷ số r/ũ}ya a/ũ). Trên hình 12.5 mô tả quan hệ giữa KjVỚì rlco và thông số 2aJũ).

Khi rlco = 1 tức là khi tần số của lực kích thích trùng với tần số dao động tự do của hệ và nếu không có lực cản thì K j = co còn nếu có lực cản thì Kj có giá trị cực đại hữu hạn. Hiện tượng tăng biên độ m ột cách rõ rệt như trên gọi là hiện tượng cộng hưởng.

Ảnh hưcmg của hiên tưomg công hưcmg thể hiện rõ rệt khi tỷ số rlco nằm trong miền sau:

0,75 < - < 1 , 2 5 . co

Trong kỹ thuật, khi tính với lực kích thích thay đổi tuần hoàn theo thời gian cần quan tâm đến hiện tưcmg cộng hưẻmg. Thưòíng nên tăng tỷ số ìiũ) vì tỷ số này càng lớn thì hệ số động càng nhỏ. Để thực hiện điều này cần giảm độ cứng của hệ hoặc tăng tần số của lực kích thích.

Khi tỷ số rị (ù nằm ngoài miến từ 0,5 đến 2, các đường cong gần trùng với nhau nên có thể xem như không có lực cản tức là or = ỡ, hệ số động có dạng:

X

H ^ 2a -nx\v coÍ

?fi

W /L

Củl

p f/lo .

^ 'ỉ i

* co

0,5 ơ '/ 0 Víy

Hinh 12.6

1

1 -

ũ)'

(12.28)

12.2.5. Trường hợp có xét đến khối lượng của hệ đàn hồi

Khi có xét đến khối lượng của hệ, bài toán sẽ khá phức tạp do đó trong kỹ thuật thường sử dụng các phương pháp gần đúng. Hiện có khá nhiều cách tính gần đúng (xem [11]). Dưới đây sẽ trình bày m ột cách tính đơn giản thực hiện bằng cách quy đổi các khối lượng phân bố về m ột khối lượng tập trung trên cơ sở tương đưomg về động năng.

340

Để minh họa ta xét một dầm đơn giản có chiều dài /, mang khối lượng phân bố m, như trên hình 12.7a. Ta cần quy đổi các khối lượng phân bố về khối lượng tập trung tại tiết diện có tọa độ a (hình 12.7b).

Giả thiết đường đàn hồi của hệ khi dao động có dạng:yiz,t) = y(z).T(t).

Suy ra vận tốc của chuyển động tại tiết diện bất kỳ có tọa độ z:

v{z ,t) = ỷ ( z , t ) = y { z ) f { t )

Động năng của hệ mang khối lượng phân bố:

a)—m v^dz= —m [ y { z ) . t { t )Ỷ d z .

z ^ ^Động năng của hệ mang khối lượng tập

! z trung quy đổi tương đương M*:— - V

m

b)

c)

p=f .tẰ t- - M * v ỉ = - M * [ y i a ) . t { t ) Ý -

Hình 12.7trong đó: y(a) chuyển vị tại vị trí mang khối lượng quy đổi.

Cân bằng (12.29) và (12.30) theo điều kiện tương đương và biến đổi, ta được;1

M* = i2' 2 m [>"(z)] clz. (12.31)

Như vậy, để tìm được khối lượng quy đổi M* ta cần:

• Chọn vị trí của khối lượng tập trung quy đổi, thường nên chọn tại tiết diện có chuyển vị lớn nhất trong hệ có khối lượng phân bố.

• Chọn hàm y(z); thường nên chọn theo dạng đường đàn hồi của hệ chịu tải trọng P=1 đật tại tiết diện mang khối lượng tập trung quy đổi.

Trường hợp dầm đơn giản có chiều dài I, mang khối lượng phân bố m, (hình 12.7a), ta chọn vị trí của khối lượng M* tại giữa nhịp, chọn hàm y(z) là đường đàn hồi của dầm khi chịu lực P=1 đặt tại giữa nhịp;

= /3/^z-4z-^

/3với / =

!./■4SEI

Do đó: y(a) = / . Sau khi thay vào (12.31), ta được:

M*-.1

Í - 'm - ^ Y i l ^ z - A z ^ Ỷ dz =

í

/ / ‘dz = — ml

35

341

Như vậy, khối lượng tập trung quy đổi cần tìm là M* = 17m l/35=0,486m l.

3)

I M*=0,486m l^ ^ M*=0A50ml ■

^ 1/2 X \ U2 T //2 / Ặ t

e) M*=mì/3 -•

b)m d)

m

ì

M'=0,236ml

M*=0,370ml4

ì/2 1/2

Hinh 12.8Trên hình 12.8 cung cấp các kết quả xác định khối lượng tập trung quy

đổi M* của một số thanh có liên kết khác nhau khi chuyển động có phương thẳng đứng.

V í dụ 12.1. Một môtơ có trọng lượng 12 kN đặt trên dầm đơn giản có tiết diện hình IN°30a, dài 2,8 m (Hình 12.9). Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản, có xét đến trọng lượng phân bố của dầm. Yêu cầu xác định;

• Tần số dao động tự do.

• úhg suất lớn nhất khi môtơ quay Q =í2kN â lN°30a1000 vòng/min và có lực ly tâm

tạo ra bởi một khối lượng 0,2 kN đặt lệch tâm p = 0,3 cm.

Theo Phụ lục, tiết diện hình IN °30a có các số liệu như sau:

= 7780 cm^; = 518 cm^; trong lượng trên ] m ảai q = 0,392 kN/m.

Quy đổi khối lượng phân bố về khối lượng tập trung Q * ở giữa nhịp:Q* = 0,486 ml = 0,486.0,392.2,8 ^0,533 kN.

Độ võng tĩnh do các trọng lượng Q và Q* gây ra tại giữa nhịp:

48£/^ 48 .2 .10l7780.10“^

Theo (12.10), tấn số góc: Củ =

Tần số góc của môtơ: r =

g 9,8

]lyi V 3,684.10

2;r.l000

-4 = 163,106 1/s.

60= 105 1/s.

342

Hệ số động, theo (12.28): K j =

Cưòmg độ lực ly tâm: 3= m r p = ^ - 1 05’.0,003 = Ố75 N.9,8

1

1 - 4Ũ)

105

1 (-33.106^

úhg suất pháp cực đại do lực p„ tác dụng tlnhi g;â>' ra:

= 1.708.

úhg suất pháp cực đại do lực p„ tác dụng độmg gây ra:

= Kjơ, =1,708.91,216= 155,:8 N/cm-.

úhg suất pháp do trọng lượng môtơ và trọRg lưiợng dầm:,2

ơ =1

81

51812000.280 3,92..280“

4 ,'S= 1468,92 N /cm l

ứng suất pháp tổng cộng cực đại:

ỡ;,,, = 155,8 + 1468,9 = 162:5 N /cm l

12.3. VA CHẠM CỦA HỆ MỘT BẬC Tự DO

Trong giáo trình này chỉ đề cập đến bài toán \'ẵ chạm của hệ một bậc tự do. Khi cần xét đến ảnh hưcmg của khối lưrag phân bố ta có thể áp dụng cách giải gần đúng như đã trình bày trong mục li2..2.5.

12.3.1. Va chạm theo phương thảng đứng

Xét dầm mang trọng lư(ỊTig p, chịu Vi>. chạm bỏị vật nặng Q rơi theo phương thẳng đứng tìr độ C310

/ / , tại vỊ trí trọng lượng p với vận tốc khi va chạim là như trên hình 12.10.

y fHình 12.10

Gọi là chuyển vị tại tiết diện mang Irọng liượng p khi chưa va chạm. Sau khi va chạm, ta giả thiết cả hai vật nặng p vầ Q cùng chuyển động xuống dưới, đạt đến giá trị lớn nhất là y\i, tiếp đó hệ dao động tự do tắt dần quanh vị trí cân bằng ban đầu. Gọi trạng thái 1 là trạng thái xảy ra khi vật Q chạm vào vật p và cả hai cùng chuyển động xuốn;.g dưới với vận tốc Vị', trạng thái 2 là trạng thái xảy ra khi chuyển vị của hai vật nặng đạt giá trị lớn nhất

343

Để giải bài toán này ta sẽ vận dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng: Khi hệ chuyển từ trạng thái 1 đến trạng thái 2, nếu bỏ qua nhiệt năng và các năng lượng không hồi phục thì tổng biến thiên động năng AK và biến thiên thế năng AU của hệ đàn hồi bằng biến thiên của công ẨT của ngoại lực phát sinh

trong quá trình chuyển trạng thái:

A K + A U ^ A T . (12.32)

* Độ biến thiên động năng giữa hai trạng thái được xác định như sau:

AK = K , - K , = ^ - Ĩ ^ .^ ' 2 2

Trạng thái 2 xảy ra khi chuyển vị của hai vật nặng đạt giá trị lớn nhất tức là ngừng chuyển động xuống phía dưới để chuyển động lên phía trên nên vận tốc v,= 0.

Gọi v„ là vận tốc của vật Q ngay trước khi va chạm. Theo định lý bảo toàn động lượng ta có; động lượng trước khi va chạm là Q v jg bằng động lượng sau khi va chạm là (Q+P)Vi/g:

Q .. iQ + P)g

=g

Vj; suy ra: V| ổQ + P

Do đó: AK =Q + P Q

Q + PQ

2 g ( Q + P)(12.33)

Khi Q rơi tự do từ độ cao H, vận tốc v„ đươc xác định bằng: Vq = ■\j2gH

* Độ biến thiên th ế năng giữa hai trạng thái:

Thế năng biến dạng đàn hồi được xác định như sau (xem [6]):

• ở trạng thái 1; dưới tác dụng của lực tĩnh p, dầm có chuyển vị thếnăng BDĐH tưomg ứng bằng u Ị = P.y„/2. Nếu gọi (ỹlà chuyển vị do lực đơn vị đặt ở vật p theo phương của va chạm gây ra trong hệ thì y „ = ổ P . Do đó\

u, =-2Ổ

ở trạng thái 2; dầm có chuyển vị (y^,+ y^), tương tự như ở trạng thái 1, thế năng BDĐH tưofng ứng bằng:

_ (yo + y d ìl ỗ

344

Do đó; AU = u 2 - n , = — - - - •‘ S

(12.34)

* Độ biến thiên về cóng giữa hai trạng thái: điiĩợc xằc định bằng công của trọng lượng P-\-Q không đổi trên chuyển dời V’j;

= (P+Q). yj .

Thay (12.33), (12.34) (12.35) vào (12.32) ta được:

(12.35)

2g{Q + P) 2â

Suy ra: + 2y^y^ - 2Ố{P + Q)y,t = ■

Gọi >>, là chuyển vị tĩnh do trọng lượng Q gât ra, ta có: y, = ÔQ. Sau khi biến đổi ta được phưcmg trình bậc hai đối với y/.

}d '^yoyd>’tVÕ

g ( l + p / 0= 1.1 (12.36)

Nghiệm của phương trình:

Yd = .V, ±1

y ĩ +>V''Õ

gH + P/ Q)(12.37)

Thay Vg = 2gH và lấy nghiệm dương đối vớn y Ị ta được:

1 +Xd = y’i2H1 + ^ -------= K y

(1 + /V 0 V , J(12.38)

trong đó Kj là hệ sô' động khi va chạm theo phưrơrig thẳng đứng:

K , = ]+ +{ \ + P / Ợ) y ,

Trữờng hợp H=(), tức là khi vật nặng Q đứỢc đặt đột ngột vào hệ với toàn bộ trọng lượng cứa nó thì = 2.

V í dụ 12.2. Xét hệ chịu va chạm dọc trục: như trên hình 12.11.

Cho biết: trọng lượng vật rơi Q ~ 80 N; trc,)n;g lượng riêng của thanh Y = 8.10'" N /cm \ l - 2 m\ A = A crr?; úmg suất động cho phép: [ơj\ = 7,70'^ N/cm"; E =2.10' N/cm".

(12.39)

am/

/•

ì l

Hình 12.11

345

Xác định chiều cao H tương ứng với hai trường hợp: có xét và không xét khối lượng của thanh.

Khi vật nặng Q tác dụng tĩnh, ứng suất pháp trong thanh bằng ơ = Q/A - 8014 = 20 N/cm^. Như vậy, hệ số động sẽ bằng - [ơ^] / a = 1 .lơ* /2 0 = 500.

• Khi có xét khối lượng thanh:

Quy đổi khối lượng thanh về khối lượng tập trung đặt tại đầu tự do: Từ số liệu cho trên hình 12.8, khối lượng quy đổi có trọng lượng

p*= 1 y,l/ = 1 8 .1 0 ^ 2 .4 .2 0 0 = 27,3 3

u „ _ ổ / _ 80.200 _ ^ ^_4Chuyén vị tinh y • y, = —- = — —:r~ = 2.10 cm ' ‘ EA 2 . \ữ \A

Thay các số liệu vào công thức (12.39) với chú ý là được thay bằng ta được điều kiện:

1+ Ỉ1 +2H

(1 + 21.33/80)2.10 -4 = 1 + V l+ 0,7895.10^// = 500

Suy ra: H = - l i - -— = 31,5 cm.0,7895.10^

• Khi không xét khối lượng thanh:

Trong trường hợp này P * -0 nên theo (12.39), điều kiện của bài toán trở

1 + 1 +2 H

yi= 1 + + = 5 0 0 .

2 . 10“ ^

H = (499^-1).10 ^ = 24,9 cm.Suy ra;

12.3.1. Va chạm theo phương nằm ngang

Xét hệ mang trọhg lượng p, chịu va chạm bởi vật nặng Q ^ chuyển động theo phương nằm ngang tại vị trí trọng lượng p với vận tốc khi va chạm là v„ như trên hình 12.12.

Khi chưa va chạm tiết diện mang trọng lượng p không có chuyển vị theo phưong ngang. Sau khi va chạm, ta giả thiết cả hai vật nặng p và Q cùng chuyển động sang bên phải, đạt đến giá trị lớn nhất là yj, tiếp đó hệ dao động tự do tắt dần quanh 12.12vị trí cân bằng ban đầu.

346

Gọi trạng thái 1 là trạng thái xảy ra khi vật Q cham vào vật p và cả hai cùng chuyển động sang bên phải với vận tốc V',; trạng thái 2 là trạng thái xảy ra khi chuyển vị của hai vật nặng đạt giá trị lớn nhất là yj,

Để tìm yj ta cũng thực hiện các bước tưríng t.ự như trong bài toán va chạm theo phương thẳng đứng. Trong trường hợp náy., t;a có:

Công thức liên hệ giữa vận tốc sau khi v.a ch:ạm và vận tốc trước khi vau „ . ổ 'chạm: V| = —— -v_

‘ Q + P °

* QĐộ biến thiên đông năng: AK = -------------- ------------- V ,2 o ■2g{Q + P)

* Độ biến thiên thế năng giữa hai trạng thái:

• ở trạng thái 1: hệ chưa có chuyển vị ngang theo phương va chạm nên:u, = 0 .

• ở trạng thái 2: dầm chỉ có chuyển vị ) jnêni: U-,= ý \ l l ỗ .

y \Do đó: AU = U j - U , = ^ .

' l ỗ

* Độ hiến thiên về công của ngoại ìực giữa hai trạng thái: vì chuyển vịcủa hệ vuông góc với phương của lực p và Q nê;n: AT = 0.

Áp dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng cho trường hợp này, ta có:

2 g ( Q * P ) ° 20

Gọi y, là chuyển vị tĩnh do trọng ỊuọỊỊg 0 2ịAỵ rạ, ta có; y, = ổ Q. Sau khi

biến đổi ta được phương trình xác định y^\

v ỉ ______g y ,ạ + PIQ}

Nghiệm dưcmg của phương trình:

^gyti^ + P/Q)

Như vậy, hệ số động của bài toán va chạm ửieo phưong ngang có dạng:

K ,=W ỹ + P Ĩ Q )

(12.40)

347

Nhận xét: Qua các công thức xác định hệ số động khi va chạm theo phương thẳng đứng và theo phương nằm ngang ta thấy: để giảm hệ số động ta có thể:

• tăng khối lượng đặt sẵn p, biện pháp này làm tăng trị số nội lực ban đầu

• giảm độ cứng của hệ để gia tăng chuyển vị ỵ ; cũng có thể đặt các tấm đệm hoặc lò xo tại tiết diện chịu va chạm hoặc tại gối tựa.

BÀI TẬP CHƯƠNG XII

X II.1. Tim chu kỳ dao động tự do của hệ trên hình 12.1 khi không xét và khi có xét đến khối lượng của dầm. Cho biết: E = 2,1.10'* kN /cm l

XIL2.[12]. Tìm chu kỳ dao động tự do của hệ trên hình 12.2 theo các số

I N “ 10 2kN

í m

H ìn h X IU

E1,A 1 r

1/2

Q

1/2

H ìn h X IU

liệu cho biết: Q; ỵ; A; /; E; ỉ khi có xét đến khối lượng của dầm.

XII.3. [4]. Tim tần số góc và chu kỳ dao động tự do của hệ bao gồm hai lò xo ghép nối tiếp có độ cứng c , và C 2 mang khối lượng Q như trên hình 12.3.Cho biết các số liệu: Q; ỵ; A; /; E; /.

XII.4 - XII.6. Tim tần số góc của hệ trên các hình XII.4 - XII.6 khi dao động tự do và ứng suất pháp lớn nhất khi môtơ có trọng lượng J0 kN quay ỈOOO vòng/min và có lực ly tâm tạo ra bởi một khối lượng 0,2 kN đặt lệch tâm với p - 0,3 cm . Có xét đến trọng lượng phân bố của dầm.

Q=íOkN I I Q=fOkN^ 2 N » 1 6

1 m 1 m

Q=10kN

IN|°201m

H ìn h 12.4 H ìn h 12.5 H ìn h 12.6

XII.7. [2]. Một trọng lượng Q = 200 N rơi từ độ cao H = 4 cm xuống đầu tự do của dầm thép IN°22a như trên hình XII.7. Bỏ qua ảnh hưỏfng của trọng lượng dầm. Tim ứng suất lớn nhất tương ứng với;

• Khi trên dầm không đặt lò xo.• Khi trên dầm có đặt lò xo có độ cứng bằng 0,1 mm/N. Cho biết trọng lượng

của lò xo cùng các liên kết giữ là F = 200 N.

348

X II.8. [12]. Một trọng lượng Q rơi từ đệ c ac' / / = 5 cm xuống đầu tự do của dầm thép như trên hình XII.8. Ĩ3ầm thép có; chiều dài / = 7 m; trọng

ơ đJlượng (2* = 250 kN; 4 = 2000 cxn\ = 200 CĨXV', E = 2.10’’ N/cm^-1 2 kN /cm ' . Tim giá trị cho phép của trong 1 ưcmg Q cho hai trưòng họfp: có xét và không xét trọng lượng dầm.

£=2, to '' / (A /W

" 3 /^ 5 m /Ặ t7 3 m

Q*Q

Is

Hinh XU.7 Hình XIỈ.S

Q

1/2 1/2Hình 12.9

XI1.9. Ị 12j. Một trọng lượng Q rơi từ đố c:ac) H xuống tiết diện giữa của dầm thép như trên hình XII.9. Cho biếr các sồ' liệu của dầm: chiều dài /; I^:

ơ j . Tim giá trị cho phép của đó cao H khi bỏ qua ảnh hưởng củaE-,trọng lượng dầm và hệ số động được xác định gần đúng theo công thức sau:

là vận tốc của vụt Q ng:a\' trước khi va chạm; s là độ

võng tĩnh do lực Q gây ra tại giữa nhịp.

XII.IO. [31. Xác định hệ sô' động của dầm thép IN°14 (hình X II.10) chịu va chạm theo phương ngang bởi khối lưọTig; có trọng lượng Q - 100 N chuyển động với vận tốc v„ = 20 km/h khi không xét và khi có xét ảnh hưởng của trọng lượng dầm.

X I I . l l . [12 ? í

Q s -

Ií''l°3iQ Q- —

HmihXỈI.ỈO

Q S --

Một trọng lưẹmg Q chuyển dich theo phương ngang vứi vận tốc trước khi va chạin vào đầu lự do A của hệ trôn lììiìh X ll.l 1. Cliu biếí các số liệu: Q; a; \\,: E\ g. Timchuyển vị động theo phưcíng ngang tại tiết diện A khi bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng hệ.

Hệ số động được xác định gần đúng ữieo c ông thức; K j - !{gô) với

5 là chuyển vị tĩnh theo phương ngang do lực Q gây ra tại A.

H ìn h X I I . l l

349