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频率. 则称 为事件 A 发生的 频率. §1.2 概率的定义及计算. 设在 n 次试验中,事件 A 发生了 m 次,. 非负性. 归一性. 可加性. 稳定性. 某一 定数. 频率的性质. 事件 A , B 互斥,则. 可推广到有限个两两互斥事件的和事件. 频率稳定性的实例. 可见 , 在大量重复的试验中 , 随机事件出现的 频率具有稳定性 . 即通常所说的 统计规律性. 例 Dewey G. 统计了约 438023 个英语单词 中各字母出现的频率 , 发现各字母出现 的频率不同:. - PowerPoint PPT Presentation
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§1.2 概率的定义及计算
设在 n 次试验中,事件 A 发生了 m 次, 频率
n
mfn 则称 为事件 A 发生
的 频率
频率的性质 1)(0 Afn
1)( nf
事件 A, B 互斥,则)()()( BfAfBAf nnn
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
非负性归一性
可加性
稳定性某一定数
)()(lim APAfnn
试验者 抛币次数 n “ 正面向上”次数m
频率
De Morgan 2084 1061 0.518
Bufen 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
( )nf A
抛掷钱币试验记录频率稳定性的实例
Afn , 的频率正面向上出现从上表中可以看出
, 次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n
. 5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在
可见 , 在大量重复的试验中 , 随机事件出
现的频率具有稳定性 . 即通常所说的统计规律
性 .
例 Dewey G. 统计了约 438023 个英语单词 中各字母出现的频率 , 发现各字母出现 的频率不同:
A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006
概率的统计定义
概率的定义
在相同条件下重复进行的 n 次试验中 , 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动 , 且随 n 越大摆动幅度越小 , 则称 p 为事件 A 的概率 , 记作 P(A).
注意到不论是对概率的直观理解,还是频率定义方式,作为事件的概率,都应具有前述三条基本性质,在数学上,我们就可以从这些性质出发,给出概率的公理化定义。
设 是随机试验 E 的样本空间,若能找到一个法则,使得对于 E 的每一事件 A 赋于一个实数,记为 P ( A ), 称之为事件 A 的概率,这种赋值满足下面的三条公理:
非负性: 0)(, APA 归一性: 1)( P
11
)(i
ii
i APAP 可列可加性:,, 21 AA其中 为两两互斥事件
概率的公理化定义
概率的性质 0)( P
)(1)( APAP 1)( AP
有限可加性 : 设 nAAA ,, 21 两两互斥
n
ii
n
ii APAP
11
)(
若 BA )()()( APBPABP )()( BPAP
对任意两个事件 A, B, 有
)()()( ABPBPABP
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
加法公式:对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP 推广:
)(
)()()(
)()()()(
ABCP
BCPACPABP
CPBPAPCBAP
)()1()(
)()()(
211
1
111
nn
n
nkjikji
njiji
n
ii
n
ii
AAAPAAAP
AAPAPAP
一般:
右端共有 项 .12 n
1 , ,
4A B P A 例1 设 、 为两个随机事件 且已知
. , 21
ABPBP 就下列三种情况求概率
. 91
3 ; 2 ; 1 ABPBABA 互斥与
解 , 1 所以互斥、由于 BA
互斥、 BA
A B
AB
BPABP . 21
BAB 于是
所以
B A
BA
, 2 所以因为 BA
ABPABP APBP
. 41
41
21
ABP 3 B
A AB
BA
ABBP
ABPBP
. 187
91
21
, 41
, 2 CPBPAPCBA 且是三事件、、设例
至少有、、求 . 81
,0 CBAACPBCPABP
. 一个发生的概率
解 CBAP
1 13 0
4 8 .
85
ACPABPCPBPAP
ABCPBCP
例 3:在 110 这 10 个自然数中任取一数,求( 1)取到的数能被 2或 3整除的概率,( 2)取到的数即不能被 2也不能被 3整除的概率,( 3)取到的数能被 2整除而不能被 3整除的概率。解 :设 A—取到的数能被 2整除 ;B-- 取到的数能被 3整除 1
( ) ,2
P A 3( ) ,
10P B
故 (1) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB
1( )
10P AB
7
10
(2) ( ) 1 ( )P A B P A B 3
10
(3) ( ) ( ) ( )P A B P A P AB 2
5
加法原理 完成一件事情有 n 类方法,第 i 类方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情共有
n
iim
1
种不同的方法 .
乘法原理 完成一件事情有 n 个步骤,第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情共有
n
iim
1
种不同的方法 .
组合记数 ( 复习 )
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有( 1)( 2) ( 1)m
nA n n n n m
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排 , 不同的排法有
mn种 .
全排列 !nnA n
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地)组成一组, 不同的分法共有
!
!( )!
n n
m m n m
1n r
r
重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个,放回后再取下一个,如此连续取 r 次所得的组合称为重复组合,此种重复组合数共有
0! 1 10
n
和
例 4: 两批产品各 50件 ,其中次品各 5件 ,从这两批产品中各抽取 1件 ,
(1) 两件都不是次品的选法有多少种 ?
(2) 只有一件次品的选法有多少种 ?
解 (1) 用乘法原理 ,结果为21
45145 45. CC
(2) 结合加法原理和乘法原理得选法为 :
4504552C.CC.C 15
145
145
15
设 随机试验 E 具有下列特点: 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
则称 E 为 古典 ( 等可能 ) 概型古典概型中概率的计算:
记 中包含的基本事件总数n
的基本事件个数组成 Ak
nkAP /)( 则
古典(等可能)概型
概率的古典定义
例 5: 设盒中有 3 个白球, 2 个红球,现从盒中任抽 2 个球,求取到一红一白的概率。
25n C 1 1
3 2k C C1 13 2
25
3( )
5
C CP A
C
答 : 取到一红一白的概率为 3/5
解 : 设 A----- 取到一红一白
1 、抽球问题
一般地,设盒中有 N 个球,其中有 M 个白球,现从中任抽 n 个球,则这 n 个球中恰有 k
个白球的概率是 k n kM N M
nN
C Cp
C
在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出,而不必过多的交代实际背景。
bam 例 6 袋中有 a 只白球, b 只红球,从袋中按不放回与放回两种方式取 m 个球( ),求其中恰有 k 个 ( )白球的概率mkak ,
bam
)1()1)(()( mbababaAn mba
解 ( 1 )不放回情形E: 球编号,任取一球,记下颜色,放在一边, 重复 m 次:
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球,则
)!(!
)!(!
)!(!!
kmbb
kaa
kmkm
AACn kmb
ka
kmA
又解 E1: 球编号 , 一次取 m 个球 , 记下颜色m
baCn 11:
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球,则km
bkaA CCn
不放回地逐次取 m 个球 , 与一次任取 m 个球算得的结果相同 .
则m
ba
kmb
ka
km
A
AACAP
)( mkak ,
因此m
ba
kmb
ka
CCC
AP
)( mkak , 称超几何分布
( 2 )放回情形E2: 球编号 , 任取一球 , 记下颜色 , 放回去 , 重复 m 次
mban )(2
2:
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球 , 则
m
kmkkm
babaC
BP)(
)(
kmk
km ba
bba
aC
ba
ap
记
),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm
称二项分布
例 7 设有 k 个不同的球 , 每个球等可能地落入 N 个盒子中( ) , 设每个盒子容球数无限 , 求下列事件的概率 :
Nk
( 1 )某指定的 k 个盒子中各有一球;
( 4 )恰有 k 个盒子中各有一球;( 3 )某指定的一个盒子没有球;
km( 2 )某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )
( 5 )至少有两个球在同一盒子中;( 6 )每个盒子至多有一个球 .
2. 分房模型
解 kNn设 (1) ~ (6) 的各事件分别为 61 AA
则 !1
kmA k
A
N
k
n
mAP
!)( 1
1
k
kN
N
kCAP
!)( 4
k
k
NN
AP)1(
)( 3
k
mkmk
N
NCAP
)1()( 2
k
kN
k
N
kCNAP
!)( 5
)(1 4AP
kA Nm )1(
3
mkmkA NCm )1(
2
!4
kCm kNA
!5
kCNm kN
kA
!6
kCm kNA )()( 46 APAP
例 7 的“分房模型”可应用于很多类似场合
“球”可视为
人
“盒子”相应视为
房子
信封信钥匙 门锁
生日人
例 8 “ 分房模型”的应用生物系二年级有 n 个人,求至少有两
人生日相同(设为事件 A ) 的概率 .
解
为 n 个人的生日均不相同 , 这相当于A
本问题中的人可被视为“球”, 365 天为365 只“盒子”
若 n = 64 ,
每个盒子至多有一个球 . 由例 7( 6 )
n
n nCAP
365
!)( 365 .
365
!1)(1)( 365
n
n nCAPAP
.997.0)( AP
3. 分组问题例 9 : 30 名学生中有 3 名运动员,将这 30 名学生平均分到 3 个班中去,求:( 1 )每班有一名运动员的概率;( 2 ) 3 名运动员集中在一个班的概率。
30!
10! 10! 10!n C C C 10 10 10
30 20 10
3 9 9 93 27 18 9 50
( )203
A C C CP A
n
7 10 1027 20 103
( )C C C
P Bn
解 : 设 A: 每班有一名运动员 ;B: 3 名运动员集中在一班
4 随机取数问题
例 10: 从 1到 200 这 200 个自然数中任取一个 ,(1) 求取到的数能被 6整除的概率; (2) 求取到的数能被 8整除的概率; (3) 求取到的数既能被 6整除也能被 8整除的概率。
解 :n =200,k(3)=[200/24]
=8
k(1)=[200/6]=33,
k(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3) 的概率分别为 33/200,1/8,1/25
若 P(A) 0.01 , 则称 A 为小概率事件 .
小概率事件
一次试验中小概率事件一般是不会发生的 . 若在一次试验中居然发生了 ,
则可怀疑该事件并非小概率事件 .
小概率原理
——
——( 即实际推断原理 )
例 11 区长办公室某一周内曾接待过 9 次来 访 , 这些来访都是周三或周日进行的 , 是否 可以断定接待时间是有规定的?
解 假定办公室每天都接待,则P( 9 次来访都在周三、日 ) = = 0.00001279
9
72
这是小概率事件 , 一般在一次试验中不会发 发生 . 现居然发生了 , 故可认为假定不成立 ,
从而推断接待时间是有规定的 .
(1)几何概型 设Ω为试验 E的样本空间,若①试验Ω的样本空间是直线上某个区间,或
者面、空间上的某个区域,从而含有无限多个样本点 ;
②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称 E为几何概型。(2)几何概型概率的定义
设试验的每个样本点是等可能落入区域 Ω上的随机点 M,且 D含在Ω内 , 则 M点落入子域 D(事件 A) 上的概率为 :
几何概型 ( 等可能概型的推广 )
( )P(A)
( )
m D
m
例 12 某人的表停了,他打开收音机听电台报时,已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于十分钟的概率 .
9 点 10 点
10 分钟
61
6010
)( AP
( )m m D
及 在 是区间时,表示相应的长度;
在 是平面或空间区域时,表示相应的
注:
面积或体积。
几何概率的性质:
0)( P
可列可加性 : 设 nAAA ,, 21 …
11
)(i
ii
i APAP
非负性
规范性 1P
0 1P
两两互不相容.
例 13 两船欲停靠同一个码头 , 设两船到达码头的时间各不相干,而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的 .如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小时 , 试求在一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率 .
解 : 设船 1 到达码头的瞬时为 x , 0 x < 24 船 2 到达码头的瞬时为 y , 0 y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要
等待空出码头.
x
y
24
24
y = x
y = x
+ 1
y = x
- 2
224S
22 222321
AS
1207.01)( S
SAP A
}240,240),{( yxyx
{( , ) ( , ) ,
0 1, 0 2}
A x y x y
y x x y
小结
频率的定义概率的公理化定义及概率的性质
事件在一次试验中是否发生具有随机性,它发生的可能性大小是其本身所固有的性质,概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标 .它介于 0 与 1 之间 .
古典概型的定义 古典概率的求法
作业 P 34 习题一
7 8 10 12
15 19 21 22