Muestreo

Area de Comunicaciones Electricas Escuela de Ingeniera ElectronicaFacultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura

Universidad Nacional de Rosario

Resumen

Se comienza por la determinacion del espectro de las senales periodicas a partir de lo cual se analizala Funcion Ideal de Muestreo (un tren de Impulsos Unitarios). Se comentan luego las ideas basicas delmuestreo en el esquema ideal: la Tasa de Nyquist, el Aliasing y algunas diferencias con respecto a lossistemas reales. Por ultimo se presentan dos esquemas (Muestreo Natural y Muestreo de Techo Plano)que corresponden a muestreo mediante pulsos rectangulares.

Palabras Clave Transformada de Fourier, Frecuencia, Espectro, Muestreo, Pulso.

1 Introduccion

1.1 Espectro de una Senal Periodica

Sean g(t) una senal de energa y G(f) su Transformada de Fourier.

G(f) = F [g(t)] = +

g(t) e(j2ft) dt (1)

Sea gTo(t) una funcion que toma valores nulos t salvo dentro de un intervalo de perodo To, en el cualtoma los mismos valores que g(t). Por ejemplo:

gTo(t) ={

g(t) |t| < To/20 |t| To/2 (2)

Claramente gTo(t) tambien es una senal de energa, y su Transformada de Fourier es:

GTo(f) = F [gTo(t)] = +To/2To/2

g(t) e(j2ft) dt (3)

A partir de gTo(t) es posible componer una senal periodica gpTo

(t), de perodo To, mediante una adecuadasuperposicion como la siguiente:

gpTo(t) =+

n=gTo(t nTo) (4)

gpTo(t) es entonces una senal periodica, que en cada perodo exhibe la forma de la senal gTo(t). Por sergpTo(t) una senal periodica es posible su descomposicion en Serie de Fourier, es decir:

1

gpTo(t) =+

n=Cn e

(j2nfot) (5)

Donde:

fo = 1/To y Cn = 1/To +To/2To/2

g(t) e(j2nfot) dt = fo GTo(nfo) (6)

Con lo que (5) se transforma en:

gpTo(t) = fo+

n=GTo(nfo) e

(j2nfot) (7)

Apelando a la propiedad del Corrimiento en Frecuencia de la Transformada de Fourier, esto es:

si h(t) H(f) entonces e(j2fkt)h(t) H(f fk) (8)que para el caso h(t) = 1, dado que 1 (f), se transforma en:

e(j2fkt) (f fk) (9)la Transformada de Fourier de (7) se transforma en:

GpTo(f) = fo+

n=GTo(nfo) (f nfo) (10)

f

GpTo(f)

GTo(f)

foGTo(f)

3fo 2fo fo 0 fo 2fo 3fo

Figura 1: Espectro de la Senal Periodica gpTo(t)

La expresion (10) describe el espectro de una senal periodica, de perodo To, y muestra que el mismoesta compuesto por una cantidad innita de impulsos, en las frecuencias multiplo de la frecuencia de lasenal periodica (fo). Cada uno de estos impulsos esta ponderado por el producto entre fo y el valor de laTransformada de Fourier de la senal gTo(t) en la frecuencia correspondiente, tal como se ve en Figura 1.

Si ahora g(t) = (t) y To = Ts (s : sampling=muestreo), gpTs

(t) se convierte en pTs(t), funcion que semuestra en la Figura 2 y que es conocida como Funcion Ideal de Muestreo.

2

pTs(t) =+

n=Ts(t nTs) =

+n=

(t nTs) pTs(f) = fs+

n=(f nfs) (11)

En resumen, si pTs(t) es un tren de Impulsos Unitarios equiespaciados intervalos de duracion Ts, suespectro es un tren de impulsos ponderados por el valor fs = 1/Ts y separados por intervalos de duracionfs.

t

pTs(t)

1

3Ts 2Ts Ts 0 Ts 2Ts 3Ts f

pTs(f)

fs

3fs 2fs fs 0 fs 2fs 3fs

Figura 2: Funcion Ideal de Muestreo

1.2 Muestreo

La funcion Delta de Dirac o Impulso Unitario es la que, al menos desde el punto de vista analtico, presentapropiedades que permiten introducir la idea del muestreo de una senal x(t) continua en el tiempo. LaPropiedad de Tamizado (sifting), que constituye parte de la denicion misma del Impulso Unitario, diceque: +

x(t) (t ti) dt = x(ti) (12)

Esto indica que el producto entre x(t) y el Impulso Unitario colocado en un punto ti del dominio de x(t),adecuadamente integrado, permite conocer el valor de x(t) en el punto ti. Cabe preguntarse que sentidotiene determinar los valores de x(t) a partir de una expresion, una de cuyas partes es precisamente x(t)?. Dehecho ninguna. Pero, y he aqu una de las ideas basicas del muestreo, si no se conoce x(t) pero en cambios se conoce el producto x(t) (t ti) entonces el metodo cobra sentido.

Dado que el Impulso Unitario es una funcion par, dentro de la integral da lo mismo (t ti) que (ti t).Aprovechando esta propiedad es posible reescribir (12) como una integral de convolucion. +

x() (t ) d = x(t) (13)

La determinacion de la integral de (13) se realiza recorriendo los innitos puntos del dominio deintegracion y sumando los productos entre el valor de la funcion en cada uno de esos puntos, x() y unImpulso Unitario colocado en el mismo punto, (t ). El termino d le da al caracter de area a lossumandos, pero es identico para cada uno de ellos. Una forma intuitiva de trasladar las ideas de la expresion(13) a un dominio discretizado, en el que solo se reconozcan los instantes nTs, consiste en multiplicar elvalor de la senal en cada punto del nuevo dominio, x(nTs) por un Impulso Unitario en ese punto, (tnTs),y sumar nalmente todos los productos. La expresion resultante es la siguiente:

3

+n=

x(nTs) (t nTs) = x(t) (14)

Logicamente el valor obtenido en (14) ya no es x(t) pero cabe esperar, y esto quedara demostradoseguidamente, que x(t) constituye una suerte de aproximacion a los valores de x(t), tanto mas exactacuanto mas proximos sean los impulsos. x(t) se conoce como la version muestreada de la senal x(t). Encierto sentido x(t) contiene informacion que bajo determinadas condiciones y a traves de un procesamientoadecuado permite recuperar los valores de x(t). Como hacer esa recuperacion?, el primer paso para entenderel proceso es estudiar el espectro de x(t).

Dado que la componente (tnTs) de los sumandos de (14) es no nula unicamente en los puntos t = nTsdel dominio, es posible reescribir el valor de x(t) como:

x(t) = x(t)+

n=(t nTs) = x(t) pTs(t) (15)

Luego:

X(f) = X(f) pTs(f) (16)

X(f) = X(f) fs+

n=(f nfs) (17)

X(f) = fs+

n=X(f) (f nfs) (18)

X(f) = fs+

n=X(f nfs) (19)

f

X(f) X(f)

fs M fs fs + M

fs/2fs/2

MM 00 MM fs M fs fs + M

Figura 3: Espectros de x(t) y x(t)

La Figura 3 muestra los espectros de x(t) y de x(t). Notese que:

1. Si la senal x(t) no tiene componentes de frecuencia mas alla de un cierto valor maximo (M), esto es,si X(f) = 0 |t| M .

2. Si la frecuencia de muestreo (fs) es como mnimo dos veces M , esto es, si fs 2M

4

Entonces mediante un adecuado ltrado es posible recuperar la senal x(t) completa. Completa signicatodas sus componentes de frecuencia sin que ninguna de ellas sufra alteracion. Para ello es necesario ltrarx(t) mediante un ltro pasabajos. Si el ltrado se realiza con un ltro ideal, su banda de paso deberacorresponder a las frecuencias f tales que |f | fs/2.

La mnima frecuencia fs que permite la recuperacion de x(t) a partir de x(t), en tanto x(t) no tengacomponentes de frecuencia mas alla de un cierto lmite M , y que como se menciono es 2M , se conoce comoFrecuencia o Tasa de Nyquist.

Si una o ambas de las condiciones 1 o 2 comentadas mas arriba no son satisfechas, un efecto de su-perposicion tiene lugar en el espectro de x(t), tornando imposible la recuperacion completa de x(t), auncontando con un ltro pasabajos ideal. Este fenomeno conocido como Aliasing hace que la senal recuperadasea xr(t) = x(t). xr(t) resulta de un incremento en el valor de las componentes de frecuencia elevada dex(t) , tal como se muestra en la Figura 4.

f

X(f)

f

X(f)

xr(f)

fs MM 00 MM fs

Figura 4: Aliasing

Las pautas presentadas hasta el momento para realizar el muestreo de una senal y la posterior recu-peracion de la misma a partir de su version muestreada tienen caracter de procedimiento ideal. En lossistemas reales es preciso adecuar el proceso en varios aspectos. Por ejemplo:

1. No son fsicamente realizables senales con un ancho de banda estrictamente limitado. Lo que sehace es trabajar con senales x(t) cuyas componentes de frecuencia resulten despreciables por sobredeterminado valor. Ademas se acostumbra elegir la frecuencia de muestreo considerando un ciertomargen por sobre la maxima frecuencia apreciable de la senal, o sea fs = 2(M + ). Esta precaucionda origen a una separacion del orden de 2 entre las colas de las sucesivas repeticiones de espectro dex(t) y contribuye a evitar el contacto entre los mismos. Tambien es practica habitual ltrar la senala muestrear para asegurar la no existencia de componentes de frecuencia mas alla del lmite M .

2. No es fsicamente realizable un ltro pasabajos ideal como el necesario para recuperar la senal x(t) apartir de x(t). Sin embargo es posible la recuperacion mediante ltros reales, en tanto se ajusten adeterminadas restricciones. En primer lugar corresponde una restriccion en el dominio frecuencial (lamas evidente) segun la cual el ltro debe tener un respuesta razonablemente plana en la zona depaso y nula a partir del comienzo de la primer repeticion de espectro de la senal muestreada. En laFigura 5 (a) se muestra la funcion transferencia, H(f), de una posible implementacion de ltro (noideal) y se ve que para recuperar la senal a partir de la version muestreada, sin que intervenga la zonade caracterstica no ideal del ltro, bastara en principio con satisfacer la condicion fs > 2M +. Perocorresponde tambien establecer una restriccion en el dominio temporal. En tal sentido, es necesarioque la respuesta impulsiva del ltro tenga cruces por cero en los multiplos de la inversa de la frecuenciade muestreo, o sea en los instantes nTs = n/fs. La Figura 5 (b) muestra la respuesta temporal, x(t),de un ltro ideal cuya banda de paso se extiende exactamente hasta fs/2, cuando es excitado en su

5

entrada por la senal x(t). Esa excitacion no es otra cosa que una sucesion de impulsos en los instantesnTs, ponderado cada uno de ellos por el valor de la senal en esos instantes, x(nTs). A la salida delltro la respuesta a cada uno de los impulsos presentara el valor x(nTs) en el pico mas alto de la sinccorrespondiente (la funcion sinc es la respuesta impulsiva de un ltro pasabajos ideal). Dado que laexpectativa es encontrar a la salida del ltro los valores de x(t), en lo posible en todos los instantesde tiempo, resulta necesario que cada vez que alguna de las sinc alcance su maximo, todas las demasesten cruzando el cero. Y esta restriccion vale, independientemente de que se trate de un ltro ideal ono. Si el ltro es ideal y su banda de paso llega exactamente hasta la frecuencia fs/2 la restriccion sesatisface. Si el ltro no es ideal sera necesario analizarlo para asegurarse de que, ademas de tener unabanda de paso adecuada, su respuesta impulsiva tenga cruces por cero en los instantes multiplo de lainversa de la frecuencia de muestreo.

3. No es fsicamente realizable el Impulso Unitario. Esta senal constituye una idealizacion que en lapractica no existe. Por lo tanto las muestras deberan tomarse mediante senales que, entre otrasdiferencias respecto al Impulso Unitario, no tendran duracion nula. El trabajo con pulsos reales daorigen a distintas formas de muestreo, dos de las cuales (Muestreo Natural y Muestreo de Techo Plano)se comentan en los puntos siguientes.

f

H(f)

0

0 M fs M t

x(t)

Ts

x(Ts)

2Ts

x(2Ts)

3Ts

(a) (b)

Figura 5: (a) Caracterstica de un Filtro Real y (b) Respuesta Temporal de un Filtro Ideal

2 Muestreo Natural

Si en lugar de realizar el muestreo como el producto entre una senal x(t) y un tren de Impulsos Unitarios,se lo hace a traves del producto entre la senal y un tren de pulsos rectangulares de frecuencia fs = 1/Ts,ciclo de trabajo d = T/Ts, y amplitud unitaria (por simplicidad) esto es:

rpTs(t) =+

n=rect

(t nTs

T

)(20)

donde:

rect

(t

T

)={

1 |t| T/20 |t| > T/2 (21)

Entonces ya no se captura una serie de valores puntuales de x(t), sino una serie de intervalos de sudominio. La senal x(t) se convierte en una version entrecortada de x(t), tal como si se la hiciese pasar

6

por una llave ON OFF , comandada por los pulsos rectangulares (de ah el nombre de gating que tambienrecibe este metodo de muestreo). La expresion de x(t) es ahora:

x(t) = x(t) rpTs(t) (22)

El tren de pulsos puede reemplazarse por su Serie de Fourier:

x(t) = x(t)+

k=Ck e

(j2kfst) donde Ck = d sinc(kd) (23)

X(f) = F[x(t)

+k=

Ck e(j2kfst)

](24)

X(f) =+

k=Ck F

[x(t) e(j2kfst)

](25)

X(f) =+

k=Ck X(f kfs) (26)

X(f) =+

k=d sinc(kd) X(f kfs) (27)

En la Figura 6(a) se muestran una senal x(t) y su correspondiente espectro X(f), el la Figura 6(b) seve la misma senal x(t) muestreada en forma ideal mediante un tren de Impulsos Unitarios, en tanto en laFigura 6(c) se muestra el proceso de Muestreo Natural sobre x(t).

3 Muestreo de Techo Plano

Supongase ahora que el muestreo se realiza, al igual que en Muestreo Natural, mediante un tren de pulsosrectangulares, pero no a traves del producto entre el mismo y la senal x(t), sino asignando a cada pulso unaaltura igual (o proporcional) al valor de la senal en el instante correspondiente al anco inicial del pulso,manteniendo luego el valor o altura del mismo hasta su cada a cero. Se captura as un valor de la senal en elcomienzo de cada pulso y se lo retiene hasta la extincion del mismo. De este modo la senal muestreada x(t)solo coincide con x(t) en un punto por pulso. x(t) puede obtenerse como la convolucion entre una versionde x(t) muestreada con una Funcion ideal de Muestreo y un pulso rectangular p(t) de la forma:

p

(t

T

)=

1 0 < t < T12 t = 0; t = T0 t < 0; t > T

(28)

Esto es:

x(t) =

[x(t)

+n=

(t nTs)]

p(t) (29)

X(f) =

[fs

+n=

X(f nfs)]

P (f) (30)

7

X(f) = fs+

n=X(f nfs) P (f) (31)

Donde:

P (f) = T sinc(fT ) ejfT (32)

Finalmente:

X(f) = fsT+

n=X(f nfs) sinc(fT ) ejfT (33)

Lo cual indica que la version muestreada, x(t), se vera afectada tanto por una distorsion de amplitud comopor un retardo de T/2 unidades de tiempo respecto a x(t). La distorsion puede visualizarse claramente enla Figura 6(d), resultando evidente que no basta con un ltro pasabajos (ni siquiera con un ltro ideal) parala recuperacion de x(t) sino que es necesario tambien un ecualizador capaz de contrarrestar la atenuacionde las frecuencias altas de x(t).

4 Observaciones Finales

El Muestreo permite la multiplexacion en tiempo de un canal, o sea el mecanismo a traves del cual un unicocanal de transmision puede ser compartido por distintos usuarios, asignandolo a cada uno de ellos duranteel intervalo entre muestras de los demas.

Si bien tanto el Muestreo Natural como el Muestreo de Techo Plano tienen caracter analogico (reejadoen el caracter analogico de la version muestreada x(t), en ambos casos) el Muestreo de Techo Plano puedetransformarse en un proceso de digitalizacion si es seguido de la cuantizacion de cada una de las muestras,y si ademas la cuantizacion es seguida de la codificacion de los valores cuantizados es posible generar untren de pulsos binarios conteniendo informacion para recuperar, al menos parcialmente, la senal originalx(t). Este mecanismo constituye un nexo entre los dominios analogico y digital para cualquier sistema decomunicacion.

8

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t t

t t

t t

t

f

f

f

f

x(t)

x(t)

x(t)

x(t)

X(f)

X(f)

X(f)

X(f)pTs(t)

rpTs(t)

rpTs(t)

sinc

sinc

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6: (a) Senal a Muestrear, (b) Muestreo Ideal(c) Muestreo Natural y (d) Muestreo de Techo Plano

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