Embed Size (px)
Citation preview
ĐỀ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 10
Thời gian: 150 phút
Bài 1 (6 điểm).
a) Giải phương trình sau trên: .
b) Giải bất phương trình sau: .
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho hai số và đều là lập
phương của hai số nguyên dương nào đó.
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử.
Bài 5 (4điểm)
Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
TaiLieu.VN Page 1
ĐÁP ÁN
Bài Lời giải Điểm
Bài 1 a) Giải phương trình sau trên : .
b) Giải bất phương trình sau: .
Lời giải: a) Điều kiên: .
Phương trình đa cho tương đương với
Ta có
Ta có
Kết luận: ; là nghiêm của phương trình đa cho.
b) Điều kiên: .
TH1 : Xét ta có :
Vậy là nghiêm.
TH2 : Xét ta có :
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
TaiLieu.VN Page 2
( Bpt vô nghiêm)
TH3 : Xét ta có :
Kết hợp với miền đang xét ta có là nghiêm của Bpt.
Vậy tập nghiêm của Bpt là :
2 đ
0,5 đ
Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho hai số và đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho và với là hai số nguyên dương .
1 đ
TaiLieu.VN Page 3
Khi đó ta được .
Ta thấy , nên ta có .
Thay từ (1) vào (2) ta được , từ đó có và
.
Vậy là giá trị cần tìm.
1,5đ
0,5 đ
Bài 3 Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng
. Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Lời giải:
K
C
A
L
FB
Đặt AB=c, AC=b, BC=a, . Khi đó: .
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:
Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có:
Lại có:
0,5đ
TaiLieu.VN Page 4
Thay (*) vào (**), ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL.
( Chuyển qua vectơ ta cũng có )
2 đ
0,5 đ
Bài 4 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử.
Lời giải:
Ký hiêu là số phần tử của tập hữu hạn X.
Gọi B1, B2,…, Bn là các tập con của A thỏa man:
Giả sử tồn tại phần tử a A mà a thuộc vào 4 tập trong số các tập B1, B2,…, Bn (chẳng hạn a B1, B2, B3, B4), khi đó: .Mà Bi Bj nếu i j, tức là . Do đó (i, j = 1, 2, 3,
1 đ
TaiLieu.VN Page 5
4).
Từ đây 1 +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn.
Như vậy, mỗi phần tử của A chỉ thuộc về nhiều lắm là ba trong số các tập B1, B2,…, Bn . Khi đó 3n 8.3 n 8.
Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét các tập con của A là:
B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4};
B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7}.
Tám tập hợp trên là các tập con gồm ba phần tử của A thỏa man . Vì vậy số n cần tìm là n = 8.
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
Lời giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức là S
Do . Nên:
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 đ
3 đ
TaiLieu.VN Page 6
