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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br, quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.
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Módulo X
Querido aluno(a)!!!
É o que deseja a equipe
www.somaticaeducar.com.br
Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br, quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.
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Exercícios
1) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:
Um elemento é escolhido as acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de menor e mulher?
d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade
de ser homem?
e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?
2) Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São
retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a
probabilidade de ambas serem boas.
3) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) a soma ser menor que 4
b) a soma ser 9
c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo
4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2,
3,..., 50. Qual a probabilidade de:
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a) o número ser divisível por 5
b) terminar em 3
c) ser primo
d) ser divisível por 6 ou por 8
5) Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma
bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja:
a) par
b) ímpar
c) par e maior que 10
d) primo e maior que 3
e) múltiplo de 3 e 5
6) Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extraindo-se duas
bolas, calcule a probabilidade de serem:
a) uma de cada cor
b) ambas da mesma cor
7) Resolver o exercício anterior admitindo que as duas bolas são
extraídas uma a uma com reposição.
8) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas,
das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:
a) nenhuma seja defeituosa;
b) exatamente uma defeituosa
c) pelo menos uma seja defeituosa.
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9) Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas
peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma
ser parafuso e a outra ser porca.
10) Num lote de 12 peças, 4 são peças defeituosas. Três peças são
retiradas ao acaso, uma após a outra. Encontre a probabilidade de
todas as três peças serem não-defeituosas.
11) Uma classe tem 12 meninos e 4 meninas. Se três estudantes são
selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de serem todos
meninos?
12) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos
graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade
de que:
a) ela não tenha defeitos graves
b) ela não tenha defeitos
c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.
13) São dadas três caixas, como segue:
A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas
A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa
A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada,
também aleatoriamente. Qual a probabilidade dela ser defeituosa?
14) Três máquinas A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção
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defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é
selecionada ao acaso, ache a probabilidade dela ser defeituosa.
15) Três departamentos A, B e C de uma escola têm, respectivamente, a
seguinte composição: 2 doutores, 3 mestres e 4 especialistas; 3
doutores, 2 mestres e 2 especialistas; 4 doutores, 1 mestre e 1
especialista. Escolhe-se um departamento ao acaso e sorteiam-se dois
professores. Se os professores são um especialista e um doutor, qual
a probabilidade que tenham vindo o departamento A?
16) Uma urna contem 12 bolas; 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra
contém 18 bolas; 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é
retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas
sejam de mesma cor?
17) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram
extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido
duas bolas pretas e uma vermelha?
18) Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa
B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada
aleatoriamente de cada caixa:
I) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam
defeituosas?
II) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra
não?
III) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p
de que a peça defeituosa venha da caixa A?
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19) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que
1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se
um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de
altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
20) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10%
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças
defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é
sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade
de que a peça tenha vindo da máquina B?
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Probabilidades
Solução de Exercícios
1.
a) ( ) 10 /15 0,67P A = = ou 67% . A probabilidade de ser homem é de 67%
b) ( ) 7 /15 0, 47P A = = ou 47% . A probabilidade de ser adulto é de 47%
c) P ( m e M )=3/15 0, 20= ou 20% . A probabilidade de ser menor e mulher
é de 20%.
d) ( ) ( )( )
5515/ 0,71
7 715
P H AP H A
P A
∩= = = = ou 71% . A probabilidade de ser
homem, sabendo que é adulto é de 71%.
e) ( ) ( )( )
3315/ 0,60
5 515
P m MP m M
P M
∩= = = = ou 60% . A probabilidade de ser
menor, dado que é mulher é de 60%.
2.
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3.
a) 3/ 36 0,08P = = ou 8% .
b) 4 / 36 0,11P = = ou 11% .
c) 15 / 36 0,42P = = ou 42% .
A probabilidade da soma ser menor do que 4 é de 8%. Da soma ser 9 é
de 11% e do primeiro resultado ser maior do que o segundo é de 42%.
4.
a) { }5,10,15, 20, 25,30,35, 40, 45,50A =
10 / 50 1/ 5 0,20p = = = ou 20% . A probabilidade do número ser divisível
por 5 é de 20%.
b) { }3,13, 23,33, 43B =
5 / 50 1/10 0,10p = = = ou 10% . A probabilidade de terminar em 3 é de
10%.
c) { }2,3,5,7,11,13,17,19, 23, 29,31,37,41,43,47C =
15 / 50 0,30p = = ou 30% . A probabilidade do número ser primo é de 30%.
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d) { }6,8,12,16,18,24,30,32,36, 40, 42, 48D =
12 / 50 0,24p = = ou 24% . A probabilidade do número ser divisível por 6 ou
por 8 é de 24%.
5.
a) { }2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24A =
12 / 25 0,48p = = ou 48% . A probabilidade do número ser par é de 48%.
b) { }1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25B =
13/ 25 0,52p = = ou 52% . A probabilidade do número ser ímpar é de 52%.
c) { }12,14,16,18, 20, 22, 24C =
7 / 25 0, 28p = = ou 28% . A probabilidade do número ser par e maior do
que 10 é 28%.
d) { }5,7,11,13,17,19,23D =
7 / 25 / 0,28p = ou 28% . A probabilidade do número ser primo e maior do
que 3 é 28%.
e) { }15E =
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1/ 25 0,04p = = ou 4% . A probabilidade do número ser múltiplo de 3 e 5 é
4%.
6.
a) BP ou 3 2 3
2 0,605 7 5
PB = ⋅ ⋅ = = ou 60%
b) BB ou ( ) ( ) 3 2 2 1 40, 40
5 4 5 4 10PP P BB P PP= + = ⋅ + ⋅ = = ou 40%
A probabilidade de ser uma de cada cor é de 60%. A probabilidade de
serem ambas da mesma cor é de 40%.
7.
a) 3 2 12
2 0, 485 5 25
p = ⋅ ⋅ = = ou 48%
b) 3 3 2 2 9 4 13
0,525 5 5 5 25 25
p+= ⋅ + ⋅ = = = ou 52%
A probabilidade de ser uma de cada cor é de 48%. A probabilidade de
serem ambas da mesma cor é de 52%.
8.
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a) p (nenhuma defeituosa) = ( ) 10 9 8 240, 26
15 14 13 91p ppp= = ⋅ ⋅ = = ou 26%
b) p (uma defeituosa) = ( ) ( ) ( )P dpp P pdp P ppd+ +
5 10 9 453 0, 49
15 14 13 91p = ⋅ ⋅ ⋅ = = ou 49%
c) P (pelo menos uma defeituosa) = P (1 defeituosa) + P (2 defeituosas)
P+ (3 defeituosas) = 1 P− (nenhuma defeituosa) = 1 P− (ppp)
24 67
1 0,73691 91
= − = = ou 74%
A probabilidade de que nenhuma seja defeituosa é de 26%. A
probabilidade de exatamente uma ser defeituosa é de 49%. A
probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa é de 74%.
9.
P (1 parafuso e 1 porca) = P ( Pa Po ) = P (1˚ parafuso e 2ª porca)
P+ (1ª porca 2˚ parafuso) = 2 P⋅ (1˚ parafuso 2 ª porca) = 3 3 18
26 5 30
⋅ ⋅ = =
0,60= ou 60% . A probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca é de
60%.
10.
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P (3 não defeituosas) = P (3 perfeitas) = ( )P ppp = 8 7 6 140, 25
12 11 10 55⋅ ⋅ = =
ou 25% .
A probabilidade de todas as três peças serem defeituosas é de 25%.
11.
P ( Mo Mo Mo ) 12 11 10 11
0,39 39%16 15 14 28
= ⋅ ⋅ = = =
A probabilidade de serem todos meninos é de 39%.
12.
a) P (não ter defeitos graves) = P (Ser boa ou apenas defeituosa) =
( ) ( ) ( ) 10 4 14 7
16 16 16 8P B D P B P D∪ = + = + = = = 0,88 ou 88%
b) P (não ter defeitos) = P (ser boa) = 10 5
0,6216 8
= = ou 62%
c) P (ou seja boa ou tenha defeitos graves) = ( ) ( )P B Dg P B∪ = +
( ) 10 2 12 30,75
16 16 16 4P Dg = + = = = ou 75%
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13
A probabilidade de que a peça não tenha defeitos graves é de 88%. A
probabilidade de que a peça não tenha nenhum defeito é de 62%. A
probabilidade de que ou ela seja boa ou tenha defeitos graves é de 75%.
13.
P (defeituosa) = ( ) 1 4 1 1 1 5
3 10 3 6 3 8P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
1 4 1 3 1 1130,314
3 10 6 8 3 120 = + + = ⋅ =
ou 31, 4 ou 31%
A probabilidade de que a lâmpada seja defeituosa é de 31%.
14.
( ) 0,50 0,03 0,30 0,04 0,20 0,05 0,037P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ou 4%
A probabilidade da peça ser defeituosa é de 4%.
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15.
( ) ( )( )/
P A EDP A ED
P ED
∩= ; ( ) 2
1 2 1 1 80,01097
3 9 3 4 27P A ED∩ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ;
( ) 2 2 2
1 2 1 4 1 3 1 2 1 4 1 1 8 6 4
3 9 3 9 3 7 3 7 3 6 3 6 27 21 18P ED = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + + =
( ) 0,01097 0,0136 0,01234 0,0369249P ED = + + =
( ) 0,01097/ 0,2971
0,03692P A ED = = ou 30%
A probabilidade de que os dois professores tenham vindo do
departamento A é de 30%.
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16.
P (duas da mesma cor) = P ( BB ou VV ou PP ) = ( ) ( )P BB P VV+
( ) 5 5 4 6 3 7 25 24 21 70
12 18 12 18 12 18 12 18 216P PP
+ ++ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =⋅
0,324 ou 32%
A probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é de 32%.
17.
P (duas pretas e uma vermelha) = P ( PPV ou PVP ou VPP ) =
( ) 5 5 3 93 3 0,225
10 10 10 10P PPV= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ou 22%
A probabilidade de terem sido extraídas duas bolas pretas e uma
vermelha é de 22%.
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18.
Ι . P (não defeituosas) = ( ) 5 30,375
8 5P PP = ⋅ = ou 38% . A probabilidade de
que ambas as peças sejam não defeituosas é de 38%.
ΙΙ . P (uma defeituosa e outra perfeita) = P ( DP ou PD ) = 3 3 5 2
8 5 8 5⋅ + ⋅ =
9 10 19
0, 47540 40
+ = = ou 48% . A probabilidade de que uma peça seja
defeituosa e a outra não é de 48%.
ΙΙΙ .
P (uma peça ser defeituosa e vir da caixa A sabendo que a outra é
perfeita) = ( )/P DA DP
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17
( ) ( )( )
3 39 40 98 5 0, 474
19 40 19 1940
P DA DPP DA DP
P DP
⋅∩∩ = = = ⋅ = = ou 47%
A probabilidade de que, se uma peça é defeituosa e a outra não, a peça
defeituosa tenha vindo da caixa A é de 47%.
19.
P (ser mulher sabendo que tem + de 1,80m) = ( )/ 1,80P M + =
( )( )
1,80
1,80
P M
P
∩ ++
( ) 0,04 0,02 0,0008/ 1,80 0,21
0,60 0,05 0, 40 0,02 0,038P M
⋅+ = = =⋅ + ⋅
ou 21% . A
probabilidade de que o estudante seja mulher, com mais de 1,80m de
altura, é de 21%.
20.
P (Ter vindo da máquina B sabendo que é defeituosa) = ( )/P B D =
( )( )
P B D
P D
∩
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18
( ) ( )( )
0,05 0,05 0,025 25/
0, 40 0,03 0,50 0,050 0,10 0,02 0,039 39
P B DP B D
P D
∩ ⋅= = = = =⋅ + ⋅ + ⋅
0,641 ou 64% .
A probabilidade de que a peça, sendo defeituosa, tenha vindo da máquina
B é de 64%.
- os exercícios n 0 01 ao n 0 20, tem como Fonte Bibliográfica:Gonçalves, Cristi na
F. Fidelis. Estatística – Londrina: Ed. UEL, 2002.