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111.3. LA IDEALIZACIÓN

Las nociones geométricas son abstractas en el sentido de que las formas son conceptos; los objetos físicos sólo son aproximaciones de éstos. Los lados de un campo rectangular tal vez no sean rectos de manera exacta y acaso cada uno de sus ángulos no mida justamente 9()o. Por lo tanto, al adoptar tales conceptos abstractos, lo que los matemáticos hacen es idea~ lizar. Pero al estudiar el mundo físico las matemáticas idealizan también en otro sentido de la misma importancia. Muy a menudo los matemáticos se ponen a estudiar un objeto que no es una esfera, pese a lo cual deciden tratarlo como si lo fuera. Por ejemplo, la Tierra no es una esfera sino un esferoide, es decir, una esfera achatada en los polos. Aun así, en muchos problemas que son tratados matemáticamente se representa a la Tierra como esfera perfecta. En problemas de astronomía, masas tan grandes como las de la Tierra y el Sol suelen considerarse concentradas en un punto.

A! efectuar tales idealizaciones, el matemático deliberadamente distor­siona o aproxima cuando menos algunos elementos de la situación concreta. ¿Por qué lo hace? Porque casi siempre simplifica el problema, procurando no introducir errores graves. Si, por ejemplo, se va a investigar el movi­miento de un proyectil que recorre 10 kilómetros, no importará la diferen­cia que haya entre la supuesta forma esférica de la Tierra y la verdadera, que es esferoidal. Al estudiar cualquier movimiento que ocurra en una región limitada, digamos, de un kilómetro, no importará que se considere plana la superficie de nuestro planeta. Pero si se trata de trazar un mapa muy preciso de la Tierra, entonces sí habrá que tomar en cuenta su forma esferoidal. Para calcular la distancia a la Luna, bastará con suponer que ésta es un punto en el espacio. Para encontrar su tamaño, en cambio, será erróneo considerarla de esa manera.

Ahora bien, ¿cómo sabe el matemático cuándo se justifica la idealización? No hay respuesta sencilla. Si se encuentra frente a una serie de problemas semejantes, podrá resolver uno de ellos valiéndose de la figura correcta y otro, de la figura simplificada, para luego comparar los resultados. Si para el objeto que persigue la diferencia carece de importancia, entonces podrá trabajar en los problemas restantes con la figura simplificada. A ve­ces, podrá estimar el eITor introducido recurriendo a la figura más sen­cilla y encontrando, quizá, qué error es demasiado pequeño y, por lo tanto, despreciable. O puede que el matemático haga la idealización y utilice el resultado que obtenga porque no le quede otra. Luego, se guiará por la ex· periencia para decidir si el resultado tiene validez suficiente según la fina­lidad propuesta.

Idealizar introduciendo deliberadamente una simplificación es mentir un poco, pero es una mentira piadosa. Al acudir a idealizaciones para estudiar el mundo físico se limita el poder de las matemáticas, pero el conocimiento así obtenido siempre será de gran valor.

EJERCICIOS

1. Distingue entre abstracción e idealización. 2. ¿Es correcto suponer que son paralelas las líneas visuales dirigidas al Sol

desde dos lugares de la Tierra A y B?

LA LóGICA y LAS MATEMATICAS

3. Supón que deseas medir la altura de un asta de bandera. ¿Será conveniente que consideres el asta como segmento de línea?

III.4. MIlTODOS DE RAZONAMIENTO

Hay muchas maneras, más o menos dignas de confianza, de obtener conoci­mientos. Se puede recurrir a las autoridades en la materia, como a menudo se hace al tratar de conseguir datos históricos. Se puede aceptar la reve­lación, como hacen los devotos de muchas religiones. También se puede confiar en la experiencia. Los alimentos que comemos se escogen con base en la experiencia. No hubo nadie que, mediante análisis químicos riguro­sos, hubiera determinado por anticipado que el pan sena alimento sano.

No hace falta decir más sobre fuentes de conocimiento como la autori­dad y la revelación, pues éstas no sirven ni para construir las matemáticas ni para develar incógnitas del mundo físico. Cierto es que en el periodo medieval de la Europa occidental bubo hombres que aseveraron que todo cuanto se quisiera saber de la naturaleza ya estaba revelado en la Biblia. Sin embargo, en ningún momento decisivo del desarrollo del pensamiento científico ha desempeñado papel útil este punto de vista. La experiencia, por otro lado, sí es fuente aprovechable de conocimientos. Pero presenta ciertas dificultades. No deseamos tener que construir un edificio de SO pi· sos sólo para estar seguros que una viga de acero de dimensiones especifi· cadas será lo bastante fuerte para utilizarla en la cimentación. Además, aunque pudieran elegirse dimensiones manejables, tal vez el resultado fue-. se de todas maneras oneroso. La experiencia no sirve, por supuesto, para determinar el tamaño de la Tierra ni la distancia a la Luna.

lntimamente ligado a la experiencia está el método experimental, que equivale a preparar y pasar por una serie de experiencias sistemáticas y útiles. Es verdad que la experimentación es esencialmente experiencia, pero por lo regular va acompañada de cuidadosa planeación que elimina los factores extraños, y la experiencia tiene que repetirse el número de veces que sea necesario para obtener infonnación confiable. Sin embargo, la ex­perimentación está sujeta a muchas de las mismas limitaciones que la expe· riencia.

¿ Son la autoridad, la revelación, la experiencia y la experimentación los únicos métodos para adquirir conocimientos? La respuesta es que no. El método principal es el razonamiento, del cual existen varias modalidades. Se puede razonar por analogía. El adolescente que está planeando estudiar cierta carrera puede observar que uno de sus amigos fue a la universidad y logró graduarse. Nuestro muchacho argumenta que, siendo muy parecido a su amigo en cuanto a cualidades físicas y mentales, él también deberá obtener buenos resultados en sus estudios universitarios. El razonamiento por analogía consiste, pues, en encontrar una situación o circunstancia se· mejantes entre sí y discurrir que lo que fue cierto en el caso semejante también lo será en el caso de interés. Naturalmente, debe uno ser capaz de encontrar una situación semejante y arriesgarse a suponer que no tendrán importancia las diferencias que haya entre ésta y la que queramos entender.

Otro método común de razonamiento es la inducción. La gente lo sigue todos los días. Si alguien pasa por una sucesión de experiencias adversas al tratar con tiendas por departamentos, sacará la conclusión de que siem·

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pre que tenga tratos con tiendas de esta clase saldrá perjudicado. O bien. por ejemplo. la experimentación muestra que el hierro, el cobre, el bronce, el aceite y otras sustancias aumentan de tamaño al ser calentadas; enton­ces se llegará a ]a conclusión de que todas las sustancias se dilatan por efecto del calor. El razonamiento inductivo es, en realidad, el método co­mún de la experimentación. Por lo general, un experimento se ejecuta mu­chas veces, y si en cada ocasión se obtiene el mismo resultado, el experi­mentador extraerá la conclusión de que éste será siempre el mismo. La esencia de la inducción re~ide en que uno observa casos repetidos del mismo fenóm eno y saca en conclusión que el fenómeno ocurrirá siempre. Las conclusiones obtenidas por inducción parecen estar garantizadas por la evidencia, o por pruebas documentales, especialmente cuando el número de casos es muy grande. Con tanta frecuencia se observa que el Sol sale por ]a mañana, que aun cuando esté nublado de todos modos se tendrá la certeza de que ese astro salió como de costumbre.

Hay un método más de razonamiento, la deducción. Consideremos algu­nos ejemplos. Si aceptamos como hechos básicos que la gente honrada re 4

gresa el dinero que se encuentra y que José López es honrado, Lntonces indudablemente sacaremos la conclusión de que José López regresará el dinero que encuentre. De la misma forma, si partimos de los datos de que ningún matemático es tonto y de que Pancho es matemático, entonces podremos concluir con certeza que Pancho no es tonto. En el razonamien­to deductivo partimos de ciertas proposiciones, llamadas premisas, y ase­veramos una conclusión que es consecuencia necesaria o ineludible de las premisas.

Los tres métodos de razonamiento: por analogía, inducción y deducción, así como otros que podríamos describir, son de empleo común. La deduc­ción, sin embargo, difiere esencialmente de los demás métodos de razona4

miento. Mientras que la conclusión inferida por analogía o por inducción sólo tiene cierta probabilidad de ser correcta, la sacada por deducción for4

zosamente lo es. Así podria argumentarse que, como los leones se parecen a las vacas y éstas comen yerba, los leones comen yerba también. Este razonamiento por analogía desemboca en una conclusión falsa. De la induc­ción puede decirse lo mismo: aunque el experimento muestre que dos docenas de sustancias diferentes se expanden al ser calentadas, de ello no se infiere forzosamente que todas las sustancias se comportan igual. El agua, por ejemplo, al ser calentada de O a 4°C * no se dilata; se contrae.

Ya que el razonamiento deductivo presenta la insuperable ventaja de dar lugar a conclusiones indisputables, parecería obvio que debiera preferirse este método y relegarse los demás. Pero no es así de sencilla la situación. Por un lado, a menudo son más fáciles de aplicar la analogía y la induc­ción. En el caso de la analogía, tal vez sea fácil encontrar la situación semejante. En el de la inducción, es frecuente que la experiencia suministre los hechos sin que tenga uno que molestarse para nada. El hecho de que el Sol sale cada mañana lo nota casi todo el mundo automáticamente. Al mismo tiempo, el razonamiento deductivo requiere de premisas que acaso sea imposible obtener por mucho esfuerzo que se haga. Por fortuna, pode­mos recurrir al razonamiento deductivo en toda una variedad de situaciones. Es utilizable, por ejemplo, para determinar la distancia a la Luna. En este

* En textos científicos se considera que el grado "celsio" [o centígrado) es el más preciso.

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caso, tanto la analogía como la inducción son impotentes, mientras que, como veremos después, por deducción se obtiene rápidamente la cifra. De igual modo, es evidente que, siempre que la deducción pueda reemplazar a la inducción basada en experimentación cara, será preferible la primera.

Como nos ocuparemos ante todo en el razonamiento deductivo, familiari­cémonos un poco más con éste. Dimos varios ejemplos de razonamiento deductivo y aseguramos que las conclusiones eran consecuencias obligato­rias de las premisas. Consideremos, sin embargo, el siguiente ejemplo. Aceptaremos como premisas que:

Todos los buenos coches son caros y que

Todos los Perezmóviles son caros.

De estas premisas sacaríamos la conclusión de que:

Todos los Perezmóviles son buenos coches.

Este razonamiento es de tipo deductivo. Se supone que la conclusión ex­traída se deriva fatal e ineluctablemente de las premisas. Lo malo es que el razonamiento es incorrecto. ¿Cómo podemo.c:.. saber que no es correcto? La prueba del círculo es procedimiento eficaz para ilustrar inferencias de­ductivas y nos pennite decidir si éstas son correctas o si no lo son.

Notemos que la primera premisa se refiere a coches y objetos caros. Imaginemos que todos los objetos caros de este mundo están representados por los puntos de un círculo, el más grande de la figura I1I.4. La afirma· ción de que todos los coches buenos son caros significa que todos los co­ches buenos forman parte de la colección de los objetos caros. Dibujemos entonces otro círculo dentro del de los objetos caros, y los puntos de este círculo menor representarán todos los coches buenos. La segunda premisa asevera que todos los Perezmóviles son caros. Consecuentemente, si repre­sentamos todos los Perezmóviles con los puntos de un círculo, éste deberá quedar comprendido también en el círculo de los objetos caros. Pero lo que no sabemos, fundándonos en ambas premisas, es en dónde colocar el círculo que representa todos los Perezm6viles. Puede quedar, por lo que sabemos, en la posición mostrada en la figura. Entonces no cabe la con-

Autos buenos

Objetos costosos

FIGURA III.4

Personas instruidas

.~-~'\

Personal inteligente

FIGURA lII.5

LA LOGICA y LAS MATEMATICAS SI

clusión de que todos los Perezmóviles son buenos coches, porque si esta conclusión fuese inevitable el círculo que representa los Perezmóviles de­bería caer dentro del círculo que representa los buenos coches.

Partiendo de las premisas del ejemplo, hay personas que si llegan a la conclusión de que todos los Perezmóviles son buenos coches. La razón de que se equivoquen es que confunden la premisa "Todos los buenos coches son caros" con la de que "Todos los coches caros son buenos". Si ésta fuera nuestra primera premisa, si sería válida la deducción indicada.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que nuestras premisas son:

Todos los profesores son personas instruidas y

Algunos profesores son personas inteligentes.

¿ Sacaríamos forzosamente la conclusión de que

Algunas personas inteligentes son instruidas?

Tal vez sí y tal vez no sea obvio que esta conclusión es correcta. Acudamos a la prueba del círculo. Dibujemos el circulo que representa la clase de las personas instruidas (Figura 111.5). Como la primera premisa nos dice que todos los profesores son personas instruidas, el círculo que represente a la clase de los profesores deberá estar dentro del que represente a las personas instruidas. La segunda premisa presenta la clase de las personas inteligentes. Ahora tenemos que determinar en dónde dibujar su círculo. Esta clase debe incluir a algunos profesores. Por tanto, este circulo deberá cortar [o intersecar, como dicen los doctos 1 el circulo de los profesores. Hallándose éste dentro del circulo de las personas ins truidas, algunas pero sonas inteligentes quedarán dentro de la clase de las personas instruidas.

Con estos ejemplos de razonamiento deductivo se aclarará otro punto. Para detenninar si una argumentación dada es correcta o válida, deberemos basarnos exclusivamente en los hechos contenidos en las premisas. No po­dremos utilizar información que no se encuentre allí en forma explícita. Tal vez creamos, por ejemplo, que las personas instruidas son inteligentes porque para educarse deben poseer inteligencia. Pero esta creencia, o he­cho, si es que lo es, no tiene cabida dentro de la argumentación. Nada de lo que uno sepa o crea sobre las personas instruidas o las inteligentes podrá ser .utilizado a menos que esté declarado, expresamente, en las pre­misas. En lo que concierne a la validez del argumento, bien podriamos haber considerado las premisas

Todas las x son y, Algunas x son Z

y entonces la conclusión habrla sido

Algunas z son y.

Aquí representamos con .% profesor, con y persona instruida, y con z persona inteligente. El empleo de las letras x, y y z hace que el razonamien­to sea más abstracto y dificil de retener en la mente. Pero también recalca

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que s6lo debemos atenernos a ]a información contenida en las premisas. e impide que introduzcamos información extraña sobre los profesores, las personas instruidas y las inteligentes. Cuando escribimos el razonamiento en esta forma abstracta, vemos también con más claridad que lo que de­termina su validez es la forma de las premisas en lugar del significado dex,yyz.

Gran cantidad de razonamientos deductivos se ajusta a los modelos que acabamos de ilustrar. Pero debe hacerse notar que hay otras variantes. Se acostumbra. especialmente en la geometría que aprendemos en la escuela secundaria, enunciar teoremas de la forma llamada "si. . . entonces", Diría­mos así que, si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son iguales. También se podría afirmar que todos los triángulos isósceles tienen iguales los ángulos de sus bases, o que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. En las tres versiones se dice lo mismo.

Conectado con la forma "si. " entonces" de una premisa hay un enuncia­do que a menudo se malinterpreta. El enunciado "si un hombre es pro­fesor, es instruido" no ofrece dificultad. Como se observó en el párrafo anterior, equivale a "Todos los profesores son instruidos". Pero el enuncia­do "Sólo si un hombre es profesor es instruido" tiene significado muy diferente. Quiere decir que, para ser instruido, uno debe ser también pro­fesor. O que, si un hombre es instruido, entonces debe ser profesor. Así, añadir la palabra sólo [o cualquiera otra que equivalga a ésta] tiene por consecuencia el intercambio de las estipulaciones "si" y "entonces".

Encontraremos en nuestros estudios numerosos casos de razonamiento deductivo. Por tradición, el razonamiento deductivo es asunto de la lógica, disciplina que trata más concienzudamente las formas válidas del raciocinio. Nosotros no necesitaremos, sin embargo, atenernos a la educación formal en materia de lógica. En la mayoría de los casos, la experiencia común nos dará los elementos para averiguar la veracidad o la falsedad de los razona­mientos. En caso de duda, recurriremos a la prueba del círculo. Por si fuera poco, las matemáticas son un campo espléndido dentro del cual se aprende a razonar y constituyen el mejor ejercicio de lógica. Por cierto que las leyes de la lógica fueron formuladas por los griegos con base en las experiencias que tuvieron en el razonar matemático.

EJERCICIOS

1. Se arroja al aire una moneda diez veces y en cada ocasión cae con la "cara" hacia arriba. ¿Qué conclusión se justifica razonando inductivamente?

2. Caracteriza el razonamiento deductivo. 3. ¿Qué ventajas posee el razonamiento deductivo comparado con el inductivo

y el analógico? 4. ¿Se puede demostrar deductivamente que George Washington fue el mejor

presidente de Estados Unidos? 5. ¿Se puede aplicar siempre el razonamiento deductivo para demostrar el

enunciado que se desee? 6. ¿Puedes probar deductivamente que la monogamia es la mejor forma de

matrimonio? 7. ¿Son válidos los siguientes rawnamientos, pretendidamente deductivos?,

a) Todos los coches buenos son caros. Un Mictlancáyotl es coche caro. Por consiguiente, un Mictlancáyotl es coche bueno.

LA LOGICA y LAS MATEMATICAS 53

b) Todos los regiomontanos son buenos ciudadanos. Todos los buenos ciu· dadanos dan limosna. Por consiguiente, todos los regiomontanos dan limosna.

e) Todos los estudiantes universitarios son inteligentes. Todos los jóvenes son inteligentes. Por consiguiente, todos los jóvenes son estudiantes ttniversitarios.

d) Las mismas premisas de eJ, pero con la conclusión de que: Todos los estudiantes universitarios son jóvenes.

e) Todos los llliles llueve y hoy está lloviendo. Por tanto, hoy debe de ser lunes.

t) La gente decente no dice leperadas. Los alvaradeños son decentes. Por lo tanto, los alvaradeños no dicen leperadas.

g) La gente decente no dice leperadas. Los norteamericanos dicen lepe­radas. Por lo tanto, algunos norteamericanos no son decentes.

h) La gente decente no dice lepcradas. Algunos norteamericanos no son decentes. Por lo tanto, algunos norteamericanos dicen leperadas.

i) Los no graduados no tienen ninguna licenciatura. Ningún novato tiene licenciatura. Por lo tanto, todos los novatos son no graduados.

8. Si alguien te presenta un razonamiento deductivo válido, pero cuya conclu­sión no es correcta, ¿qué puedes hacer para enmendar el error?

9. Haz la distinción entre la validez de un razonamiento deductivo y la vera­cidad de su conclusión.

III.S. DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

Al estudiar el razonamiento vimos que éste presenta varias fonnas, todas las cuales son útiles. Estas fonnas de razonamiento pueden aplicarse tam­bién a problemas matemáticos. Supongamos que alguien desea determinar la suma de los ángulos de un triángulo. Podría dibujar en un papel muchos triángulos diferentes, o construirlos de madera o metal, y medirles los án~ gulas. En cada caso encontraría que la suma sería muy aproximada a 1800 según su agudeza visual y su destreza manual. Por razonamiento inductivo, llegaría a la conclusión de que la suma de los ángulos de todo triángulo es de 180°. Los babilonios y los egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo matemático. Por medición deben de haber determinado que el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura y, habiendo empleado esta fórmula repetidas veces y obtenido resul­tados correctos, habrán llegado a la conclusión de que la fórmula era intachable.

Para ver cómo se emplea en matemáticas el razonamiento por analogía, notemos primero que los centros del conjunto de las cuerdas paralelas de

(al (b)

FIGURA 111.6. Los puntos medios de las cuerdas paralelas están en linea recta.