11007-6-115872168791

MODUL PERTEMUAN VI

PENAKSIRAN

MATA KULIAH : STATISTIK II

DOSEN : ATIQAH, SE, MS.AK

PROGRAM KELAS KARYAWAN

FAKULTAS EKONOMI

JURUSAN AKUNTANSI

UNIVERSITAS MERCU BUANA

JAKARTA 2009

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Atiqah, SE., MS.AK

STATISTIKA II 1

Pertemuan VI

Penaksiran

Cara penaksiran ada 2 macam :

1. Penaksiran Titik, yaitu : menaksir parameter dengan suatu bilangan tertentu

2. Penaksiran Interval, yaitu : menaksir parameter dengan suatu interval tertentu

yang disertai dengan suatu tingkat keyakinan (confidence level) dan tingkat

kesalahan.

Rumus Umum Penaksiran / Perkiraan Interval :

Statistik – Zα/2 . σstatistik < PARAMETER < Statistik + Zα/2 . σstatistik

Macam-macam Perkiraan Interval :

1. Penaksiran Interval Rata-rata

2. Penaksiran Interval Selisih Rata-rata

3. Penaksiran Interval Proporsi

4. Penaksiran Interval Selisih Proporsi

1. Penaksiran Rata-rata

Sampel Besar ( n ≥ 30 )

a. Populasi terbatas (tanpa pengembalian)

Rumus :

b. Populasi terbatas (dengan pengembalian) atau populasi tidak terbatas

Rumus :


STATISTIKA II 2

X– Zα/2. σ N - n X + Zα/2. σ N - n < μ <

n N – 1 n N - 1

X– Zα/2. σ X + Zα/2. σ < μ <

n n

Sampel kecil ( n < 30 )

a. Populasi terbatas (dengan pengembalian) atau populasi tidak terbatas

Rumus :

Catatan :

Z α/2 : lihat tabel normal (Z)

t α/2 : lihat dari tabel t

Contoh soal :

Nilai rata-rata mahasiswa pada mata kuliah Statistika mencapai 75 dan simpangan

baku 25. Telah diambil sampel sebanyak 36 mahasiswa. Dengan tingkat keyakinan

sebesar 95% , buatlah perkiraan interval nilai rata-rata mahasiswa untuk mata kuliah

statistik ?

Jawab :

Diket : X = 75

σ = 25

n = 36

Confidence interval = 95% 95%/2 = 0,475 1,96


STATISTIKA II 3

X – tα/2. S X + tα/2. S < μ <

n n

1S = Σ (Xi – X)2 Perkiraan σ n - 1

X - Z σ / √n < μ < X + Z σ / √n

75 – 1,96 x 25 / √36 < μ < 75 + 1,96 x 25 / √36

75 – 8,17 < μ < 75 + 8,17

66,83 < μ < 83,17

Interval nilai rata-rata mahasiswa untuk mata kuliah statistic adalah antara 66,83

sampai 83,17.

Contoh soal :

Perusahaan Dian menjual kue sebanyak 500 buah dari berbagai ukuran dan harga.

Rata-rata kue yang terjual per kotaknya sebesar Rp 35.000 dengan simpangan baku

Rp 15.000. Jika diambil sampel sebanyak 60 buah yang dibeli konsumennya, buatlah

perkiraan interval rata-rata harga kue dengan interval keyakinan 96%?

Jawab :

Diket :

x = 35.000

σ = 15.000

n = 60

N = 500

n/N = 60/ 500 = 0,12

Confidence interval = 96% 96%/2 = 0,48 2,05

= 15.000/√60 x √ (500-60)/(500-1)

= 1936,49 x 0,94 = 1820,30

X - Z σx< μ < X + Z σx

35.000 – (2,05 x 1820,30) < μ < 35.000 + (2,05 x 1820,30)

35.000 – 3731,615 < μ < 35.000 + 3731,615

31.268,385 < μ < 38.731,65

Perkiraan interval rata-rata harga kue adalah antara 31.268,385 sampai 38.731,65

Contoh soal :

Pemilik Egg Farm bermaksud memperkirakan rata-rata produksi telur per ayam.

Sampel yang terdiri atas 20 ekor ayam menunjukkan bahwa rata-rata produksinya

adalah 20 butir telur per bulan dengan standar deviasi 2 butir telur per bulan. Buatlah

interval kepercayaan 95% untuk rata-rata telur ?


STATISTIKA II 4

Jawab : Diket : X = 20

σ = 2 n = 20

Confidence interval = 95% gunakan tabel t dengan df = n – 1 = 20 – 1 = 2,093

X - t σ / √n < μ < X + t σ / √n

20 – 2,093 x 2 / √20 < μ < 20 + 2,093 x 2 / √20

20 – 0,936 < μ < 20 + 0,936

19,064 < μ < 20,936

Rata-rata produksi per telur akan berkisar antara 19, 064 (19) dan 20,936 (21).

Contoh soal :

Sampel yang terdiri atas 10 orang pekerja yang menggunakan jasa perawatan anak

menunjukkan biaya yang dikeluarkan selama satu minggu terakhir. Buatlah interval

kepercayaan 90% untuk rata-rata biaya yang dikeluarkan. Jelaskan hasilnya

$107 $92 $97 $95 $105 $101 $91 $99 $95 $104

Jawab :

X/ n = $107 + $92 + $97 + $95 + $105 + $101 + $91 + $99 + $95 + $104

10

= 98,6

xrata-rata x-x (x-x)2

107 98,6 8,4 70,5692 98,6 -6,6 43,5697 98,6 -1,6 2,5695 98,6 -3,6 12,96

105 98,6 6,4 40,96101 98,6 2,4 5,76

91 98,6 -7,6 57,7699 98,6 0,4 0,1695 98,6 -3,6 12,96

104 98,6 5,4 29,16Jumlah 986 Jumlah 276,4Rata-rata 98,6 Varians 30,71111

Standar deviasi 5,54Diket : X = 98,6

σ = 5,54

n = 10

Confidence interval = 90% gunakan tabel t dengan df = n – 1 = 10 – 1 = 1,833

X - t σ / √n < μ < X + t σ / √n

98,6 – 1,833 x 5,54 / √10 < μ < 98,6 + 1,833 x 5,54 / √10

98,6 – 3,21 < μ < 98,6 + 3,21

95,39 < μ < 101,81

Rata-rata biaya yang dikeluarkan akan berkisar antara 95,39 dan 101,81.


STATISTIKA II 5

2. Penaksiran Selisih Rata-rata



Rumus :


Rumus :

Sampel kecil ( n < 30 )

Populasi terbatas (dengan pengembalian) atau populasi tidak terbatas

Rumus :

t α/2 -------------------- df ------------------- n1 + n2 -2 atau ( N – 2)


STATISTIKA II 6

(X1 – X2) – Zα/2. σ (X1 –X2) < (μ1 –μ2) < (X1 – X2) + Zα/2. σ (X1 – X2)

S (x1 – x2) = (n1 – 1). S1

2 + (n1 – 1). S22 1 1

+n1 + n2 – 2 n1 n2

σ (x1 – x2) = σ12 σ2

2 N – n +

n1 n2 N - 2


σ (x1 – x2) = σ12 σ2

2 +

n1 n2

(X1 – X2) – tα/2. S (X1 –X2) < (μ1 –μ2) < (X1 – X2) + tα/2. S (X1 – X2)

Statistik deskriptif adalah penyajian data secara numeric. Statistik deskriptif meliputi

beberapa pembahasan antara lain :

Pengukuran kecenderungan terpusat

Pengukuran disperse

Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk mengamati analisis statistics deskriptif

adalah :

1. Klik menu Analyze, pilih Descriptive Statistics

2. Pilih Descriptives

3. Klik Options jika ingin mengatur analisis yang diinginkan

4. Klik Continue jika ingin melanjutkan untuk menganalisis atau Cancel kalau ingin

membatalkan

5. Klik OK

Contoh : Standart deviation tingkat pengembalian saham digunakan sebagai

pengukur total resiko saham. Mr. John, analisis saham mengumpulkan data harga

penutup dua saham (saham A saham B) selama satu minggu. Hitung mean dan

standard devition tingkat pengembalian jangka waktu yang dipegang pada dua

saham tersebut. Data adalah sebagai berikut :

Saham A 870 1200 540 920 730 800 630

Saham B 1470 1200 1150 1100 1000 730 1050

Gambar 2.7 : Pilihan Descrptives pada Descriptive Statistics


STATISTIKA II 7

Gambar 2.8 : Kotak dialog Descriptives : Option

Descriptives

Descriptive Statistics

N Minimum

Maximu

m Mean

Std.

Deviation Variance

sahamA7 540 1200 812.86 215.848

46590.4

76

sahamB7 730 1470 1100.00 223.159

49800.0

00

Valid N

(listwise)7

ANALISIS OUTPUT

Dari hasil Descriptive Statistics terlihat jelas perbedaan antara saham A dan

saham B. saham A memiliki nilai minimum 540 dan maximum 1200 dengan mean

812,86, standar deviasi 215,848 dan variance 46590,476. Sedangkan saham B

memiliki nilai minimum 730 dan maximum 1470 dengan mean 1100, standar deviasi

223,159 dan variance 49800.

Contoh soal :

Standart deviation tingkat pengembalian saham digunakan sebagai pengukur total

resiko saham. Mr. John, analisis saham mengumpulkan data harga penutup dua

saham (saham A saham B) selama satu minggu. Buatlah interval selisih rata-rata

saham A dan B dengan interval keyakinan 95%.


STATISTIKA II 8

Saham A 870 1200 540 920 730 800 630

Saham B 1470 1200 1150 1100 1000 730 1050

Diketahui :

X A = 812,86 n A = 7 σA = 215,85

X B = 1100 n B = 7 σB = 223,16

t α = 95% df; n1+n2 – 2 = 7 +7 – 2 = 12 - 2,145

t α/2 -------------------- df ------------------- n1 + n2 -2 atau ( N – 2)

S (x1 – x2) = √ ( 7 – 1 ) x 215,85 2 + (7 – 1) x 223,16 2 √ (1/7) + (1/7)

7 + 7 – 2

=√ (279547,335 + 298802,313)/12 x √0,2856

= √ (48195,804/12) x 0,534

= 219,535 x 0,534

= 117,23

(1100 – 812,86) – (2,145 x 117,23) < (μ1 –μ2) < (1100 - 812,86) + (2,145 x 117,23)

287,14 – 251,458 < (μ1 –μ2) < 287,14 + 251,458

35,682 < (μ1 –μ2) < 538,598

Interval selisih rata-rata saham A dan B dengan interval keyakinan 95% berkisar

antara 35,682 dan 535,598

Contoh soal :

Untuk membangun tata kelola perusahaan yang baik (corporate governance)

dibutuhkan sarana IT yang baik, sehingga dapat mencerminkan kinerja keuangan

yang baik. Untuk itu diambil 2 perusahaan yang akan dijadikan sampel yaitu PT ABC

dan PT XYZ. Pengamatan selama 30 hari, perdagangan saham PT ABC

menunjukkan harga saham rata-rata 600 per lembar dengan standar deviasi 85.

Sedangkan pengamatan PT XYZ selama 50 hari, menunjukkan harga saham rata-


STATISTIKA II 9

S (x1 – x2) = (n1 – 1). S1

2 + (n1 – 1). S22 1 1

+n1 + n2 – 2 n1 n2

(X1 – X2) – tα/2. S (X1 –X2) < (μ1 –μ2) < (X1 – X2) + tα/2. S (X1 – X2)

rata 400 per lembar dengan standar deviasi 65. Jika investor ingin mengetahui

interval keyakinan 95% tentang perbedaan saham ABC dan XYZ.

Jawab :

Diket :

x1 = 600 x2 = 400 Confidence interval : 95% 95%/2 = 0,475 = 1,96

σ1 = 85 σ2 = 65

n1 = 30 n2 = 50

= √(852/30) + (652/50)

= 325,33


(600 – 400) – (1,96 x 325,33) < (μ1 –μ2) < (600 – 400) + (1,96 x 325,33)

200 – 637,65 < (μ1 –μ2) < 200 + 637,65

437,65 < (μ1 –μ2) < 837,65

Interval perbedaan rata-rata untuk saham A dan B adalah berkisar antara 437,65 dan

837,65.

3. Penaksiran Proporsi



Rumus :


Rumus :


STATISTIKA II 10

X/n. (1 – X/n) N - n X/n. (1 – X/n) N - n X/n – Zα/2. < P < X + Zα/2

n N – 1 n N - 1

X/n. (1 – X/n) X/n. (1 – X/n) X/n – Zα/2. < P < X + Zα/2

n n

4. Penaksiran Selisih Proporsi



Rumus :


Rumus :

PENENTUAN BESARNYA SAMPEL

Semakin besar sample yang diteliti, maka semakin mendekati nilai sebenarnya. Agar

nilai perkiraan sama dengan nilai sebenarnya, ada ketentuan yang harus

diperhatikan, yaitu sebagai berikut :

1. besarnya kesalahan yang diterima/ditolerir (E = Error)

2. Tingkat variasi dari data

3. Besarnya tingkat keyakinan (confidence level) yang digunakan

Cara Menentukan Besarnya Sampel :

1. Penentuan besarnya sampel untuk memperkirakan rata-rata populasi

Rumus :


STATISTIKA II 11

(p1 – p2) – Zα/2. σ (p1 – p2) < (P1 – P2) < (p1 – p2) + Zα/2. σ (p1 – p2)


σ (p1 – p2) = P1.(1 –P1) P2.( 1 – P2) N – n +

n1 n2 N - 2

σ (p1 – p2) = P1.(1 –P1) P2.( 1 – P2) +

n1 n2

Z α/2 . σ 2

n = E

2. Penentuan besarnya sampel untuk memperkirakan besarnya populasi

Rumus :

Contoh soal :

Contoh soal :

Amir mengadakan penelitian, dari hasil penelitiannya terbukti bahwa 30%

masyarakat menyukai keberadaan radio sebagai media elektronik yang cukup

menghibur. Telah diambil sampel sebanyak 100 orang. Dengan confidence interval

90%, tentukan perkiraan interval yang menyukai keberadaan radio ?

Jawab :

Diketahui :

P = 30% CI = 90% 90%/2 = 0,45 = 1,65

σp = √ (0,3) (1 - 0,30) / 100

= 0,0458

p – Zα/2. σp < (P1 – P2) < p – Zα/2. σp

0,3 – (1,65 x 0,0458) < (P1 – P2) < 0,3 + (1,65 x 0,0458)

0,3 – 0,07557 < (P1 – P2) < 0,3 + 0,07557

0,22443 < (P1 – P2) < 0,37557

Masyarakat yang menyukai keberadaan radio berkisar antara 22,443% dan 37,557%

Contoh soal :

Pengamatan selama 3 bulan terakhir menunjukkan bahwa seorang Investor

memegang saham kelompok perdagangan dengan probabilitas harga saham

meningkat sebesar 76%. Seorang investor pada saat ini juga ada yang memegang

saham kelompok aneka industri yang terdiri atas industri mesin dan alat berat,


STATISTIKA II 12

Z α/2 . σ 2

n = 0,25 E

σp = P ( 1 – P)

n

otomotif, tekstil dan garmen dan 55% probabilitas harga saham kelompok ini

meningkat. Apabila investor memiliki 300 lot untuk saham perdagangan dan 100 lot

untuk saham aneka industri, dengan interval keyakinan 98%, tentukan beda

persentase harga saham kelompok perdagangan dan harga saham kelompok aneka

industri ?

Jawab :

Perdagangan ; n1 = 300 , p1 = 0,76 CI = 98% 98%/2 = 0,49 = 2,33

Aneka industri ; n2 = 100 , p2 = 0,55

Beda proporsi atau selisih proporsi = p1 – p2 = 0,1

Standar deviasi dari selisih proporsi adalah :

= √ (0,76 (1-0,76) / 300) + (0,55 (1-0,55) / 100)

= 0,000608 + 0,002475 = 0,055


(0,76 – 0,55) – (2,33 x 0,055) < (P1 – P2) < (0,76 – 0,55) + (2,33 x 0,055)

0,21 – 0,12815 < (P1 – P2) < 0,21 + 0,12815

0,08185 < (P1 – P2) < 0,33815

Beda persentase harga saham kelompok perdagangan dan harga saham kelompok

aneka industri berkisar antara 0,08185 (8,185%) dan 0,33815 (33,815%)


STATISTIKA II 13

Latihan

1. Peserta KKN Fakultas Ekonomi yang dipimpin oleh Ahmad dan kawan-kawan

telah memberikan penyuluhan kepada para petani di desa Karang Anyar tentang

bagaimana cara bertani yang baik agar dapat meningkatkan hasil produksi. Para

peserta KKN tersebut ingin mengetahui berapa rata-rata hasil produksi petani di

desa Karang Anyar setelah diberikan penyuluhan. Untuk maksud tersebut telah

diambil sampel sebanyak 40 petani dari 100 petani yang mengikuti penyuluhan.

Hasilnya rata-rata produksi setiap kali panen 10 ton dengan standard deviasi 1,5

ton. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95% , buatlah perkiraan interval rata-rata

produksi yang dihasilkan petani di desa Karang Anyar tersebut ?

2. Sebuah perusahaan compact disk ingin meneliti perbedaan rata-rata penjualan

per hari sebelum dan sesudah melakukan kampanye promosi. Untuk itu

dilakukan penelitian selama 40 hari sebelum kampanye promosi dilakukan, dan

ternyata menunjukkan rata-rata penjualan per hari sebesar Rp 2.300.00 dengan

standard deviasi Rp 200.000. setelah dilakukan penelitian sesudah kampanye

selama 60 hari dan menunjukkan rata-rata penjualan per hari Rp 2.450.000

dengan standard deviasi Rp 210.000. Dengan confidence interval 98% buatlah

perkiraan interval mengenai perbedaan rata-rata penjualan per hari sebelum dan

sesudah melakukan kampanye promosi ?

3. Seorang pejabat ingin mengetahui rata-rata proyek yang telah terselesaikan

dalam waktu setahun ini. Berapa sampel yang dia perlukan, jika dengan α = 2%,

rata proyek yang terselesaikan tidak lebih dari 75 dengan standar deviasi 500

proyek ?

4. Biro pendidikan FE ingin mengetahui rata-rata angka hasil ujian Statistika

mahasiswa semester I, suatu sampel random yang terdiri dri 25 angka hasil ujian

mahasiswa semester I telah dipilih dari angka hasil ujian seluruh mahasiswa

semester I sebanyak 80 orang. Rata-rata angka hasil ujiannya ternyata 72,5 dan

deviasi standarnya sebesar 2,35. Buatlah interterval keyakinan sebesar 95%

guna menduga rata-rata angka hasil ujian mahasiswa semester I tersebut ?

5. Sebuah sampel yang terdiri dari 50 mahasiswa uji kemampuan TOEFLnya.

Ternyata dari hasil tes TOEFL terhadap 50 mahasiswa tersebut diketahui rata-

rata TOEFL mereka adala 450 dengan standar deviasi 15. buatlah interval

keyakinan sebesar 95% guna menduga angka rata-rata TOEFL seluruh

mahasiswa tersebut ?

6. Dari suatu sampel sebanyak 500 unit peralatan olah raga yang dihasilkan oleh

suatu pabrik ternyata 450 unit mampu bertahan sampai 100 kali pemakaian.


STATISTIKA II 14

Dengan confidence level 95% buatlah perkiraan interval mengenai proporsi

peralatan olah raga ?

7. Sebuah perusahaan compact disk ingin meneliti perbedaan rata-rata penjualan

per hari sebelum dan sesudah melakukan kampanye promosi. Untuk itu

dilakukan penelitian selama 40 hari sebelum kampanye promosi dilakukan, dan

ternyata menunjukkan rata-rata penjualan per hari sebesar Rp 2.300.00 dengan

standard deviasi Rp 200.000. setelah dilakukan penelitian sesudah kampanye

selama 60 hari dan menunjukkan rata-rata penjualan per hari Rp 2.450.000

dengan standard deviasi Rp 210.000. Dengan confidence interval 98% buatlah

perkiraan interval mengenai perbedaan rata-rata penjualan per hari sebelum dan

sesudah melakukan kampanye promosi ?

8. Sebuah lembaga sosial ingin mengetahui kesadaran masyarakat akan bahaya

rokok terhadap kesehatan. Untuk itu selama 1 bulan diadakan kampanye anti

rokok melalui berbagai media, dan kemudian diadakan penelitian terhadap dua

kelompok masyarakat, yaitu pegawai dan siswa SMU. Dari 300 pegawai ternyata

terdapat 250 orang yang tetap melanjutkan merokok setelah kampanye, dan dari

200 siswa SMU terdapat 160 orang yang tetap melanjutkan merokok. Dengan

tingkat keyakinan 95% buatlah perkiraan interval mengenai perbedaan proporsi

pegawai dan siswa SMU yang tetap melanjutkan merokok setelah diadakan

kampanye anti merokok ?


STATISTIKA II 15

Daftar Pustaka

Sudjana, 2006, Statistika untuk Ekonomi dan Bisnis, Tarsito Bandung

J. Supranto, 2006, Statstika. Teori dan Aplikasi. Erlangga

Anto Dajan, 1964. Jilid 1. Pengantar Metode Statistik

Robert D. Mason, 1996, Teknik Statistika Bisnis dan Ekonomi

Sudjana, 1992, Metode Statistika, Tarsito, Bandung

Suharyadi dan Purwanto, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, 2006


STATISTIKA II 16

Documents

11007-6-115872168791