-
3
1.
1.1. O
() , -
. -,
. , , ,
, .. ,
,
.
.
, ,
, ,
, .
-
, .. ,
.
,
( ) .
: , .
, ,
,
.
, ,
,
,
.
-
:
.
,
,
.
, ,
, .
,
, .
.
, ,
,
. ,
-
4
.
,
, .
, . 1.1. P, A B, . D, , . ,
. ,
, P , .
A BD PP PP
1.1.
.
, , ,
, .,
-
.
. .
.
,
.
.
.
( , 1638 .), , .
, ,
, ,
.
1.2. , ,
( ) , , .
, e .
, ,
.. . , , ,
.. . . 1.2 , .
.
-
5
P
) )2.1.
P
P P
, ,
, ,
-
, .
: ) ; ) ; ) .
: 1. .
2. .
3. , , . ( , ). 4. .
. -
.
.
)
)
)
)
)
3.1.
-
6
, ,
(.1.3): 1. (. 1.3) , , , - .
,
. .
.
, .
.
,
.
, ,
. .
, , .
, .
, , .
, , (. 1.3). , , .
2. , , , - (. 1.3). , , .
. - ..
,
.
, , , , ..
,
(. 1.3). , , , , , ..
3. (. 1.3.) , . ,
.
, - . -
,
. ,
, .
, ,
,
-
,
. .
1.4
.
P
P
2P
2P
) )
4.1.
-
7
, ,
P. , , , P ( . 1.4) . ( ), P P/2, . 1.4. .
,
, ,
.
1.3. .
1.3.1.
. , , 1.1, ,
. .
1. : ( ).
VPg
==== lim 0V , [[[[ ]]]]3/ mN .
)
qq
m
P1M 2M
5.1.
)
, , ,
.
( ) (. 1.5)
APq
==== lim 0A , [[[[ ]]]]2/ mN .
-
8
F, P, , P, [[[[ ]]]]N , [[[[ ]]]]mN . (. 1.5).
2. : ( ); , (
).
3. :
( , .). (. 1.6);
.
(. 1.6), (. 1.6), (. 1.6), , ..
(((( ))))tP (((( ))))tP(((( ))))tP(((( ))))tP
t ttt
constP ====
minP
maxP
0 000maxP max
P
6.1.
)a ) ) )
() ( ), .
.
1.3.2. .
, ,
,
. , ,
.
, -
.
,
,
.
.
,
: , . :
-
9
, , , . ( .)
,
, , .
,
.
, .
, ,
, Rr
r
(. 1.7).
1P
2P
iP
nP
iP
nP
1P
2P
C CC
x
Rr
Rr
Mr
Mr
x
7.1.
, I II, R
r
r
,
, .
,
Rr
r
. ,
x ,
0. II ( ) (. 1.7) , x , x .
IRr
IIRr
IMr
IIMr (.
1.7). :
0====++++ III RRrr
; 0====++++ III MMrr
. (1.1)
I :
0====++++ RRIrr
; 0====++++ MM Irr
. (1.2)
(1.1) (1.2) , :
-
10
========
========
III
III
MMMRRR
rrr
rrr
. (1.3)
-, .
1.3.3.
Rr
r
,
(1.3). - , ,
. ,
, , .
Rr
r
x, y, z (. 1.8), :
++++++++====++++====
++++++++====++++====
zyycoryc
zy
MMMMMM
QQNQNRrrrrrr
rrrrrr
. (1.4)
Rr
Nr
Qr
yQr
zQr
nxr
y
z
x
IRr
IMr
Mr
r
r
yr
zr
C
8.1.
-
11
Rr
r
: .
, :
====
====
====
====
.
;
;
.
;;
zMy
MMM
zQRyQR
NRR
z
y
x
zz
yy
x
r
r
(1.5)
, , C C , R
r
r
, ,
II , I. , , , I II, , . 1.9, .. .
x x
Nr
Nr
Mr
Mr
yQr
yQr
zQr
zQr
yMr
yMr
zMr
zMr
y
y
z
z
9.1.
,
,
.
1.3.3.1. ()
, Rr
r
(1.3) (1.4) , ..:
-
12
========
========
========
IIzIzzz
IIyIyyy
IIyIxx
RRQRRRQR
RRNR
Rr
========
========
========
IIzxzz
IIyIyy
IIxIxycx
MMM
MMMMMMM
Mr
(1.6)
(1.6) , , x
(. 1.10).
x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
zz
x
yz
N
yQ zQ
yM zM
Ir
IRr
Nx
zM
zQyQ
yM
yz
IIRr
IIr
10.1. 11.1.
,
QQN z , MM y , (1.6). - .
1.3.3.2.
,
,
(. 1.11). ( yQ yM ) , , , . 1.11. ,
, .. ( ). , ,
.1. 12. N , . Q , I II C C . M , .
-
.
-
13
xN xN
zQ
zQ
yM yM
12.1.
1.3.3.3.
1.3.3.1 1.3.3.2 , , ..
, , ..
(1.6), . :
I II . , , ;
,
. , I II ,
.
I II C C . , , .
,
.
, - .
,
.
,
.
, .. ,
.
, -
.
,
.
.
, .
, , . . 1.13 ,
.
-
14
F
F F
F
F
F
m
qF
F
F
F
13.1.
1.1. . 1.14 .
: 1. ,
- II (), .
2.
.
: ax 0 (. 1.14):
,
, 1.3.3.3:
(((( )))) .2
.sin0
;.sin.0
;cos.0
++++++++========
++++========
========
xa
aqxaPMM
aqPQzPNx
yiC
zi
xi
..
232.sin;.sin;cos
;2
.sin;.sin;cos0
2
2
aqaPMaqPQPNax
aqaPMaqPQPNx
yzx
yzx
====++++============
====++++============
-
15
sinP
q
P
xN
x
x
x
q
cosP
zQ
yM
cosP
cosP
sinPaqP .sin ++++
2
23
.sin qaaP
2
21
.sin qaaP
.14.1.
a a
A B
A B
1
1
2
2
xxN
zQ
yMsinP
cosP
sinP
cosPxxN
zQ
yM
)
)
)a
: ax 0 (.1 14)
.
2..sin0
;.sin.0
;cos.0
2xqxPMM
xqPQzPNx
yiC
zi
xi
========
++++========
========
..
21
.sin;.sin;cos
;0;sin;cos0
2aqaPMaqPQPNax
MPQPNx
yzx
yzx
====++++============
================
. 1.14, :
N Q , ;
M .
1.2. .1.15 . :
.6;4;3;2;/30;.10;50 mdmcmbmamkNqmkNMkNP
============================
-
16
a b
c
P
M
d
q1
2
3
4
xA
zA zB
zD
K
L
15.1.
:
1.
, , .
.
zx KK , . zD .
.356
2106
4.5010;.0..0
kNDd
cPMD
cPMdDM
zz
ziK
========
++++====
++++====
========
.
:
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.2510
52.304.50108.35
;2
.
1
0.2
...0
2
2
kNB
aqcPMadDba
B
baBaqcPMadDM
z
zz
zziA
====
====
++++++++++++====
++++++++++++++++
++++====
====++++++++++++====
zD
P
M
L d
c
x
z
K
a 15.1.
-
17
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.275
1355
3.35104.504.60
;.2
.
1
0.2
.0
========
++++====
++++
++++
++++====
====++++++++
++++++++====
z
zz
zziB
A
bdDMcPbaaqba
A
bdDMcPbaaqbaAM
.50;
00
kNAPA
PAx
x
x
xi
====
====
====++++====
:
.03522.3027;0.0
====++++
====++++++++==== zzzi DBaqAz
2. .
, :
: ax 0 (, 1.15):
.5000
kNNANANx
x
xxxxi
====
========++++====
.332.30272;270
.3027.0..0
kNQxkNQx
xxqAQxAxqQz
z
z
zz
zzi
============
========
========
====++++====
..64.152.272;.00
.15.272
.
0.2
0
22
2
mkNMxmkNMx
xxxqxAM
xAxqMM
y
y
zy
zyiC
============
========
========
====++++====
.
xA
zA
q
x
xN
zQ
yM
15.1.
-
18
: bx 0 (, 1.15):
..63;00
;2.0.0
;200
;00
mkNMxMx
xxBMxBMM
kNBQBQzNx
y
y
zyzyiC
zzzzi
xi
========
========
================
============++++====
========
: cx 0 (. 1.15):
..2004;00
;.50654.50603.22.27.504.15
...
2
0...2
0
;5000
;352.30227.0.0
2
2
mkNMxMx
xxx
bBaAxAaqM
bBaAxAaqMM
kNAQAQz
kNaqBANaqBANx
y
y
zzxy
zzxyiC
xz
xzi
zxx
zxxi
========
========
====++++++++++++====++++++++++++====
====++++====
====++++++++++++====
========
====++++====
====++++++++====++++====
====++++++++====
xN
zQyM
x zB
15.1.
bq
xN
zQyM
x
xA
zAzB
15.1.
-
19
: dx 0 (. 1.15):
..2106;00
;.35.0;35
00
;00
mkNMxMx
xxDMM
kNDQDQz
Nx
y
y
zyiC
zz
zzi
xi
========
========
============
========
====++++====
========
. 1.15:
50
35
3550
2733
2
6
200210
xN
zQ
yM
e 15.1.
mx 8,1====
zQyM
xN
zDx
15.1.
-
20
1.3. (. 1.16) .
: , ( 1.6).
x
a
b
c
P
x
x
x
y
y
y
z z
z
A B
D
E
xA
AyM
AzM
P
cP .
F
P
zQ
M
bP .
cP .
cP .
oM
N
16.1.
1.
PcMPbM
PA
Az
Ay
x
====
====
====
2.
(((( ))))BA , ax 0 , A0 (((( ))))(((( )))) .
;
;0;0;0
;
constPcMMMconstPbMMM
MMRQRQ
PARN
AzIzz
AyIyy
Ixyc
Izz
Iyy
xIx
================
================
========
========
========
============
-
21
(((( ))))BD , bx 0 , D0 ;0======== IIxRN ;0======== IIyy RQ ;PRQ
IIzz ======== ;
,constPcMM xIIyc ============
;,
xPMM yIIy ======== 0====x ;0====yM bx ==== ;
,PbMM yIIy ========
.0======== IIzz MM
(((( ))))DE , cx 0 , E0 ;0,
======== xIIRN ;0
,======== yIIy RQ
;,
PRQ zIIz ======== ;0
,,================ zIIzxIIyc MMMM
;,
xFMM yIIy ========
0====x ;0====yM cx ==== .PcM y ====
. 1.16. , .
,
.
1.4. .
..
(1821 1891) .
,
.
(R=const), , (((( ))))xq , , (((( ))))xt (. 1.17). Rddx ==== . .
1.17 . :
1) ;0 ====inr
2) ;0 ====itr
3) .0 ====cM
-
22
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))((((
)))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
====++++++++++++
====++++++++++++++++
====++++++++++++
.02
cos1sin)3;0sincos)2;0sincos)1
dxqdxRdNNdRdQQMdMMdsxqddNNQddQQdsxtddQQNddNN
(1.7)
C
N
Q
M
n
t
(((( ))))dNN ++++(((( ))))dQQ ++++
(((( ))))dMM ++++
d
dx
R
(((( ))))xq
(((( ))))xt
17.1.
,
;sin d .1cos d
, :
(((( )))) (((( )))) (((( ))));xtRxQ
dxxdN
====
(((( )))) (((( )))) (((( ))));xqR
xNdx
xdQ====
(((( )))) (((( )))).xQdx
xdM==== (1.8)
, (1.8) Rdxd /==== .
(((( )))) (((( )))); Q
ddN
====
(((( )))) (((( )))) ;qRNd
dQ====
(((( )))) (((( )))) .RQd
dM
==== (1.9)
, , (((( ))))====R , (1.8) :
(((( )))) (((( ))));xtdx
xdN====
(((( )))) (((( ))));xqdx
xdQ====
(((( )))) (((( ))));xQdx
xdM====
(((( )))) (((( )))).22
xqdx
xMd==== (1.10)
-
23
, x , ( x ) , :
(((( )))) (((( )))) (((( ))));xtRxQ
xdxdN
====
(((( )))) (((( )))) (((( ))));xqR
xNxdxdQ
++++==== (((( )))) (((( )))).xQxd
xdM==== (1.11)
(((( )))) (((( )))) (((( ))));
tQd
dN====
(((( )))) (((( )))) (((( )))) ;RqNd
dQ
++++==== (((( )))) (((( )))) .RQ
ddM
==== (1.12)
(((( )))) (((( ))));xtxdxdN
====
(((( )))) (((( ))));xqxdxdQ
====
(((( )))) (((( ))));xQxd
xdM====
(((( )))) (((( )))).22
xqxd
xMd==== (1.13)
1.4.1.
, , 1.3
,
I II . (1.8,9,10) .
(((( ))))xt (((( ))))xq , :
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ((((
)))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
++++++++====++++========
++++========
++++========
.
;
;
212
2
1
0
cxcdxxqcdxxQxMxQdx
xdM
cdxxqxQxqdx
xdQcdxxtxNxt
dxxdN
(1.14)
0c , 1c 2c ,
N , Q M .
1.4. , . 1.18, , - , . .
Aq Bq .
(((( ))))xQ (((( ))))xM .
:
1. (((( ))))xq : (((( ))))xq
(((( )))) CBxAxxq ++++++++==== 2 (1.15)
-
24
0====x (((( )))) Cqq A ========0 0====x (((( )))) ;00 Bq
======== lx ==== : (((( )))) ,2 AB qAlqlq ++++======== .2l
qqA AB ====
, , (), :
(((( )))) (((( )))) AAB qxlqq
xq ++++
====2
2 .
2. (1.9) (1.10):
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) .212
.
;3
.
21
24
22
1
3
21
cxcxqx
lqq
cdxxQxM
cxqxl
qqcdxxqxQ
AAB
AAB
++++++++
====++++====
++++
====++++====
0====x (((( )))) ;00 2 ======== caM lx ==== (((( )))) ((((
)))).5
120 1 AB qq
lclM ++++========
x
AqBq
zQ
yM
maxx
maxM
t
l
18.1.
A
A
B
B
x
-
25
:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
++++====
++++====
,212
512
;3
512
242
32
xq
xlqq
xqqlxM
xqxl
qqqqlxQ
AABAB
AAB
AB
, (1.16)
x Q M . (1.16), 0====x lx ==== , :
0====x : (((( )))) (((( ))));512
0 AB qqlAQ ++++========
lx ==== : (((( )))) (((( ))))BA qqlBlQ ++++======== 4 .
1.5.
,
.
.
. ,
. -
.
(1.8), (1.9) (1.10) . ,
.
.
, ..
. (1.10) :
============ MconstQq 0 ; ======== Qconstq e ==== M ..
, 0>>>>Q , (((( ))))xM . , 0
-
26
. . 1.19) , (((( ))))xq , (((( ))))xQ (((( ))))xM ax ==== bx
==== . Q QF , qF . (1.7) b:
(((( )))) (((( )))) ;qABb
a
b
a
FQQdxxqxQ ======== (((( )))) (((( )))) .QAbb
a
b
a
FMMdxxQxM ======== (1.17)
,
.
.
.
. . 1.19.
. H, P M .
0Ax 0++++Ax
0xN , 0xQ 0xM , 0++++xN , 0++++xQ 0++++xM . ,
, :
==== 0ix ;000 ====++++ ++++ AA NHN
==== 0iz ;000 ==== ++++ AA QPQ (1.18) ==== 0icM .000
====++++++++ ++++ AA MmM
:
( H, P ), , , , ( ) . , ,
ax ====bx ====
A B
(((( ))))xqqF
QF
AQ BQ
AM BM
H
Pm
)a
)A0Ax
0++++Ax
PmH0AM
0AQ
0AN0++++AM
0++++AN
0++++AQ
19.1.
zQ
yM
-
27
( ) .
. .
.
1.5. L 1.2 (.1.20,). .
, :
====++++====++++====
========++++====
====++++====++++====
.020021010,00
;03535,00
;050050,00
3,4,
4,3,
3,4,
yyiL
zxi
zxi
MMMM
QNzQNPx
(((( )))) .0066,00
;035233,00
;050050,00
3,2,1,
3,2,1,
3,2,1,
====
========
++++
====++++====
====
========
yyyiK
xzzi
zxxi
MMMM
NQQz
QNNx
.
,
,
.
, , -
.
4,xN
4,zQ
4,yM
3,xN
3,zQ3,yM
PM
a 20.1.
L
3,yM3,zQ
2,xN
2,zQ
2,yM1,xN
1,zQ
1,yM
20.1.
K
3,xN
-
28
1.7. , ,
1.7.1.
,
( ). . F (((( ))))zyx ,, (. 1.21),
Rr
r
. F nr , n , n , n . , cpP
r
:
FRPcp
====
r
r
, [[[[ ]]]]2/ mN , (1.19)
nPr
, :
FR
FRPF
n
rr
r
====
====
0
lim , [[[[ ]]]]2/ mN . (1.20)
cpPr
Rr
, nPr
Rr
, , 0F , .
r
,
s , ,
, , ..
r
. , nP
r
cpPr
F . :
(((( ))))nnnnn zyxPP ,,,,,rr ==== . (1.21)
nPr
,
, . ,
. ,
, nPr
,
.
, (1.13), . , (1.13) ,
(((( ))))nnnnn PP ,,rr ==== , .. nPr , .
-
29
),,( zyxM (((( ))))nnnn ,,r
Mr
Rr
nPr
Pr
IRr
IMr
F
x
y
z
)
x
y
z
),,( zyxMF
nr
nPr
tr
nr
nr)
21.1.
nPr
,
, nr
, M , tr
( nr )
nnnP rr
r
++++==== (1.22)
22nnnP ++++====
r
, (1.23)
nr
, nr
(. 1.21).
1.7.2.
. .
, .
( , , ,
).
,
.
,
dx , (. 1.22),
dx xd A A
B B
r
x
y
z z
y
x
A
B
C
A
B
C
) )22.1.
-
30
dx xd , . . A ,
r
, . .
x , y , z ur , vr , wr , ..
kwjviu rrrr ++++++++==== ,
ir
, jr , kr x , y , z .
dx ,
r
(. 1.22). . xy , yz zx .
r
.
1.7.3.
( ), ,
. ,
,
, ,
. ,
.
, ,
, ..
, .. , .
dxdx
dxdxxd
====
==== (1.24)
(. 1.22). , , .
x , y ,
z .
,
BAC , CAB (. 1.22).
(((( )))) BACCABBAC ==== lim (1.25) ACAB
.
. BAC zxyzxy ,, .
-
31
,
, .. .
1.8. ,
1. ( ).
, .
,
.
, ,
, .
Robert Hooke (1635 1702 .) De potential restitvtiva , 1678 ., Ut
tensio sic vis ( , ) - . l , . P (. 1.23), :
P 1 ==== , (1.26)
A B B
Bl
P
23.1.
P, 1 , =1. 1 , P . 1 ( ), , , .. 1 . (1.26) .
, 1 , ,
, .
(1.26), , , .
==== . (1.27)
(1.27) , 1 , . 1 (1.26) , () . =(1 2,2).1011N/m2.
-
32
(1.27) , . ,
, , , ..
, (1.27) . (1.27) , -
.
(1.2), , .
.
2. ( ). . : ,
,
.
: (. 1.24) P1. 111 PCCF ==== . P1 P2.
222 PCCF ==== . 1C 2C (. 1.10.1). P2 P1. .
21 21 PP CCC ++++==== . 1C , , P1 P2 .
11 CC , , 1C P1 ( P2),
. ,
, ,
11 CC ====
21 CFCFC ++++==== , (1.28)
.
P1 P2, ,
.
. ,
, ..
(((( ))))constE .
C
1PC
1P
A B
C
2PC
A B
2P
C
CA B
2P1P
24.1.
-
33
3. ,
, .
, . 1.25, , , ll ==== ==== . , ,
.
(,
). . 1.25 , ,,
,
,
P
.
,, , .
.
(), -
.
4. ( ) (Johan Bernoulli, 1654 1705). , , ,
.
, , ,
, , ,
.
( ), ,
,
(G.Kirchhoff) . : , ,
,
,
.
5. - (Barr de Saint Venant, 1797 1886).
h
hh
D
P)a
R
h
D
h
)h
D
Ph
)
26.1.
l
P
A B
P
C
C
)a )25.1.
l
-
34
( ) , , , ,
,
. . 1.24 D ), ) ). P -,
- R=P. . h, .
6. (Navier, 1785 1836). .
1.9.
- ( , , ). , .
1. - .
,
, :
[[[[ ]]]]n
L ====max , (1.29)
[[[[ ]]]] ; L ( ,
, ..); n , , .
. ,
, ( , , .), , , ... ,
.
2. - . , ,
, .
,
.
-
35
3. ( ). .
,
.
:
[[[[ ]]]] max , (1.30)
max , [[[[ ]]]] . (1.30) (1.29), , .
,
, ,
, , ..
-,
-
. ,
.
,
- ( -) .
.
1.9.
.1.15 .
a b
c
P
M
d
q
PM
d
q
a b cP
M
d
c
a
b
q
P
M
d
q
a b c
-
36
q
P
M
a b
c
d
a b
c
P
M
d
q
P
M
d
q
a b
PM
d
c
a
bq
a
M
b
q
c
P
d
P
d
M
q
b
a
c
c
a
M
b
q
c
Pd
q
P
M
a b
c
d
