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MINISTERIO DE AGRICULTURA Y ALIMENTACION DIRECCION GENERAL DE
AGUAS Y SUELOS
Proyecto Ampliación de Frontera Agrícola con utilización de aguas subterráneas
SUB PROYECTO 06 CASMA-INFORME PARCIAL Modelo Matemático
1981
1.0. INTRODUCCION
1.1 Generalidades
1.2 Modelización Matemática del Sistema Hidrogeológico.
2.0. DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO
2.1 Presentación del modelo.
2.2 Organización lógica del cálculo.
APENDICE VI
MODELO MATEMATICO DEL ACUIFERO DEL VALLE DE CASMA
LISTA DE LAMINAS
LAMINA 1 MODELO MATEMATICO BIDIMENSIONAL EN
REGIMEN PERMANENTE.
LAMINA 2 PROGRAMA-CASMA, DESCRIPCION
LAMINA 3 ORGANIZACIÓN LOGICA DE CALCULO
LAMINA 4 DEFINICION DE VARIABLES.
LAMINA 5 GEOMETRIA DEL ACUIFERO
LAMINA 6 CARTA DE PIEZOMETRÍA
LAMINA 7 CARTA DE TRANSMISIVIDADES PUNTUALES
LAMINA 8 CAUDALES EXPLOTADOS
LAMINA 9 RESULTADOS DEL CALCULO
LAMINA 10 ORDINOGRAMA DE OPERACIONES DE SIMULACION
A P E N D I C E V I
MODE LO MA TEMÁ T I CO D E L A CU I F ERO D E L V A L L E D E C A SMA
1.0 INTRODUCCION
1.1 Generalidades
Los modelos o simuladores de escurrimientos constituyen actualmente las
técnicas modernas que han venido a enriquecer los útiles de cálculo de los
hidrólogos, desde que la colectividad humana toma conciencia que el agua no es
una riqueza celestial distribuida a prodigalidad por la naturaleza sino que es una
riqueza agotable, y que conviene en el futuro de evaluarla, preservarla en calidad
y cantidad.
La Hidrogeología tiene por objetivo prever el comportamiento de los
recursos en agua puestos en explotación. Pero en la época que las explotaciones
eran débiles nos cálculos y dispersas, unos cálculos simples bastaban, después de la
exploración del conjunto geológico acuífero, para organizar una explotación.
A pequeña escala, en realidad unas hipótesis simples desembocan sobre
unos cálculos manuales simples; bastando ello, en efecto, para prever el
comportamiento de un elemento de la napa. Pero desde el instante donde se
debe prever a largo término, es necesario prever a larga distancia, no
solamente a la horizontal, sino también a la vertical: este es el conjunto de los
blocks porosos acuíferos heterogéneos interconectados que debe ser tomado en
consideración. Regionalmente, la noción de impermeable se convierte muy débil e
ínfima localmente. Los intercambios entre acuíferos separados por una arcilla
arenosa se convierten importantes sobre 1 millar de m2. Además agua de río y
agua subterránea no son disociables.
Desde luego una nueva repartición de trabajo se impone: el hombre
puede concebir unas estructuras complejas, pero no puede ir más allá
razonablemente y efectuar millares de multiplicaciones, todas diferentes. Un
computador tipo IBM en 360-440 efectúa 50,000 multiplicaciones por minuto en
8 cifras significativas.
El Hidrogeólogo moderno concibe la estructura de los acuíferos reales, define el
mecanismo de circulación del agua. La máquina de simulación hidráulica se encarga de
realizar los cálculos y presentarlos, el hidrogeólogo extrae las conclusiones.
Así extraña paradoja, el hidrogeologo es llevado a prospectar el agua
donde falta y a eliminarla donde se encuentra en exceso. Esta complejidad de
exigencias humanas, necesita de los estudios que resuelven estas dificultades
tan crecientes que han extrañado mutaciones importantes en la hidrogeología,
que ha pasado de su cuadro tradicional naturalista a la investigación de útiles
de cálculo nuevos, susceptibles de responder a las necesidades cuantitativas de
la colectividad.
Y este primer trabajo relacionado con la agricultura deberá permitir en el
futuro su mayor utilización en las definiciones de las disponibilidades de aguas
subterráneas en los distintos acuíferos existentes en nuestra Costa Peruana.
1.2. Modelización Matemática del Sistema Hidrogeológico.
A nivel conceptual, el modelo fundamental de la hidrogeología es
constituída por la ecuación de las derivadas parciales de segundo orden, del tipo
de la difusión, que describe matemáticamente el movimiento de un fluido en una
matriz porosa saturada.
Es decir, que contamos con ecuaciones diferenciales que ligan la carga
hidráulica variable dependiente en un punto dado (x, y, z) del espacio, en un
cierto instante con dichas variables independientes, mediante una serie de
características hidrodinámicas del acuífero (transmisividades, coeficiente de
almacenamientos, compresibiildad, etc.), y del agua (peso específico, viscosidad,
compresibilidad) son las llamadas ecuaciones de la difusividad.
Esta ecuación (ecuación de difusividad), admite unas soluciones
determinadas por el camino del análisis matemático, mediante unas hipótesis
muy restrictivas tales como la homogeneidad y la isotropía de las características
hidrodinámicas del acuífero, la simetría del escurrimiento, unos dominios
definidos admitiendo unas geometrías y unas condiciones iniciales a los
límitesles muy simplificados. Las ecuaciones de DUPUIT (régimen permanente)
y de THIEIS (régimen transitorio), utilizados en hidráulicas de pozos, que
relacionan el caudal extraído en un pozo a la pérdida de carga drenada en el
medio poroso en su cercanía son los más conocidos de estas soluciones
analíticas.
La investigación de soluciones presentando con mayor precisión la
configuración real del medio físico estudiado, claramente cuando se trata de
entidades hidrogeológicas como la estudiada de escala regional, implica el
recurso de unas técnicas de cálculo aproximado, llamando a un modelo o
simulador que se definirá como una herramienta capaz de reproducir el
comportamiento de un acuífero en el que se desea estudiar su mecanismo y
seguir su evolución. Es decir, un modelo matemático es la traducción dentro del
lenguaje matemático de todo eso que se conoce del sistema, tanto en lo que
concierne a su geometría como a las leyes que rigen su comportamiento.
13.2.1. Fundamentos Teóricos
a) Definiciones
Previamente al inicio del estudio del modelo matemático del acuífero
aluvial cuaternario en régimen permanente, analizaremos el principio de este
modelo sobre un ejemplo simple :
Tomando la ecuación de difusividad relativo a los medios porosos (1).
En régimen permanente ella se escribe :
a (T ah + a) + a (T ah) = q (1) ax ax ay ay ay
q = caudal por unidad de superficie.
A cada punto de un plano horizontal es asociado un potencial h que se
considera como la cota de la superficie piezométrica del escurrimiento en
ese punto (z = h).
El análisis matemático muestra que si en todos los puntos de los límites
del dominio se conoce h, ah/ax, la ecuación a las derivadas parciales admite
una solución y una sola.
Sin embargo, en general no es posible de calcular h (x,y) por solución
analítica (directa) de la ecuación de difusividad. Reemplazar la ecuación (1) por
un conjunto de ecuaciones es discretizar el problema, que consiste buscar
unos valores aproximados de h en un cierto número de puntos del dominio
con la ayuda de un conjunto de ecuaciones. Las ecuaciones son las que se
llaman las ecuaciones a las 'diferencias finitas'.
b) Significación hidrogeológica de la Ecuación a las diferencias finitas.
Los desarrollos detallados sobre los modelos numéricos de aguas
subterráneas figuran en mucha bibliografía.
Las expresiones a las diferencias finitas, corresponden a unos esquemas
de discretizaci6n del espacio a cinco puntos (escurrimiento bidimensional), de
la ecuación del escurrimiento son recapitulados en la lámina No. 1. Estas
ecuaciones a las diferencias, establecidas por las simetrías de escurrimiento
significan una traducción discreta de la conservación de flujos transitando,
explotadas o almacenadas sobre una malla del dominio real discretizado.
Ellas son establecidas por el camino puramente físico (se explicita el
balance de los flujos), o matemático para unos desarrollos en serie de Taylor
sobre unas mallas rectangulares que engendren unos errores de troncatura
o(∆x2) + At)
Las ecuaciones, construidas sobre los N = NL x NC o N= NL x NC x NP
(NL= Número de líneas; NC = número de columnas; NP = número de
planos), mallas de campo discretización implícita) en sistema de N
ecuaciones a N incógnitas que se escribe bajo la forma matricial:
(1) A H D
N, N N,1 N,1
de condiciones a los límites:
(2) H (XL, YL, t) = HL (SL, YL, t) ah (SL, YL, t) = QL (XL, YL, t)
an
(3) y inicial H (x, y, o) = HO (x, y)
Y unas condiciones singulares en el campo (1), (2) y (3), constituye el modelo matemático, las formas discretizadas de la ecuación del movimiento, unas condiciones a los límites e iniciales y unas singularidades de campo son accesibles a la resolución numérica.
c) Tratamiento de condiciones a los límites.
Existen dos tipos de condiciones a los límites sobre las fronteras:
- Condición de DIRICHLET : en este caso el potencial de los nudos situados sobre este límite es conocido, es decir que :
H (I , J) = HO (I , J)
2.0 DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO - CASMA
2.1 Presentación del Modelo (Ver Cuadro 6-2)
El Modelo CASMA es el programa de modelo matemático bidimensional
en régimen permanente. Este programa ha sido escrito para
permitir la resolución del programa por el procedimiento de "Surrelaxación
por puntos".
El dominio del estudio es discretizada por un mallaje rectangular uniforme de 500 x 500 m. 0 1734 millas.
El esquema de discretización adoptado es del tipo CRANK-NICOLSON
(implícito)
El cálculo ha sido efectuado sobre Computadora IBM-370 en lenguaje de
programación FORTRAN IV del Centro de Cálculo de la Empresa
PETROPERU.
2.2 Organización Lógica del Cálculo.
La organización lógica del cálculo de este modelo matemático en régimen
permanente es presentado en la lámina No. 3 comprendiendo:
. * Un modulo en entrada: lectura de datos fijos y variables (Geometría,
hidrodinámica, caudales, piezometría y valores de control), necesarios
para el control de resultados.
. * Un modulo de cálculo: transformaciones preliminares, resolución de
sistemas lineales.
. * Un modulo de salida: impresión de datos y de los resultados de los
potenciales calculados.
Para la significación de los diversos argumentos utilizados en el cálculo, se
deberá apreciar los cometarios consignados en la
L A M I N A No. 2
PROGRAMA CASMA
DESCRIPCION
Este programa constituye el modelo matemático de simulación de escurrimiento
del sistema acuífero de Casma al norte del litoral peruano.
El régimen de escurrimietno es:
− Bi-Dimensional horizontal
− Permanente
− Monofásico
− Lineal
Las características del modelo son:
− Mallaje: Rectángulas Uniforme
− Transmisividades: direcciones este y Sur.
− Esquema de discretización: implícito puro.
− Técnica de cálculo: en implícito surrelaxación sucesiva por puntos, con cálculo
del coeficiente S.O.R. por el algoritmo de CARRE modificado.
− Entradas: cartas perforadas, formatos numéricos fijos
convencionales.
− Salidas: impresión en papel.
− Lenguaje de programación: Fortran IV.
− Computador utilizado: I.B.M.
− Sistema de explotación.
L A M I N A Nº 4
PROGRAMA CASMA
DEFINICION DE VARIABLES
I = Indice de Línea
J = Indice de columna
NL = Número de Líneas
NC = Número de Columnas
Dx, Dy = Dimensiones
KFIELD = Indice de Características geométricas
JD (I) = Indice de Inicio de una Línea
JF (I) = Indice del Fin de una Línea
ID (J) = Indice del inicio de una Columna
IF (J) = Indice del Fin de una Columna
IPUITD = Coordenadas de los Pozos
JPUITD = Coordenadas de los Pozos
IRiV,JRiW= Coordenadas de un Punto de un Río
NPRiV = Nuevo Total de Puntos en el Río.
NRiV = Número de Ríos
PZRiV = Permeabilidad de relación río-napa
RIVNOM = Nombre del río
AQNOM = Nombre del Acuífero
HO (I,J) = Valor Inicial de la Piezometría
H (I,J) = Valor Calculado de la Piezometría.
T (I,J) = Valor Puntual de la Transmisividad ( 10-3 m2/ s)
TE (I,J) = Valor Direccional Este de la Transmisividad
TS (I,J) = Valor Direccional Sur de la Transmisividad
Q (I,J) = Caudal Explotado neto sobre una Malla
QPUiTP = Caudal Bombeado en los Pozos
RO—NITER-ERROR = Parámetros de la Surrelaxaci6n
BLANC, ASTER, ZERO, PPUiT, RRiV,CCONT = Símbolos alfa numéricos de representación del dominio.
2.3 Investigación del Estado permanente
Previamente a toda simulación: de hipótesis de explotación futura, el modelo debe ser calibrado sobre un estado permanente observado. Esta fase de identificación consiste en ajustar, aproximadamente, en la medida de las informaciones disponibles los niveles calculados sobre el modelo en aquellos observados en el terreno.
Los datos de base de la simulación, y en nuestro caso, los parámetros que
intervendrán en el cálculo son :
- Geometría del acuífero (lámina 5)
- Carta Piezométrica observada en octubre de 1981 (Lamina 6)
- Carta inicial de Transmisividades Puntuales (Lamina 7)
- Caudales: régimen permanente inicial (Lamina 8)
Unas condiciones a nivel fijo han sido impuestos a todo lo largo de la línea de
costa.
La sensibilidad de la calibración puede ser medida en el documentos de la
lámina No 9.
Conviene señalar que la calibración es relativamente satisfactoria a la fecha
de las piezometrías, teniendo en cuenta que ningún límite se han impuesto
niveles, sino más bien, se ha discretizado los 14 casos existentes.
Al estado actual de las observaciones disponibles, excluye toda calibración
rigurosa del modelo. No es dable hacer un ajuste afinado de la totalidad del
escurrimiento.
La estrategia de utilización del modelo en fase de calibración en régimen
estacionario, es ilustrado en el ordinograma de Organización de Operaciones
de Simulación en la Lámina No. 10.
PROGRAMA MODELO MATEMÁTICO CASMA
1, , ,
REGIMEN PERMANENTE