11. klassi matemaatikatund arvutiklassis · 2013-07-15 · • heade eestikeelsete programmide puudumine või vähesus koolis; • õpetajate suur ülekoormus. Põhiliselt tuntakse

TALLINNA PEDAGOOGIKAÜLIKOOL

INFORMAATIKA OSAKOND

Kersti Metsalo

11. klassi matemaatikatund arvutiklassis Proseminaritöö

Juhendaja: Jaagup Kippar

Tallinn 2005

SISUKORD Sisukord .........................................................................................................................2 Sissejuhatus....................................................................................................................4 1 Arvuti kasutamise vajalikkusest matemaatika tunnis ............................................5 2 Matemaatikatarkvara..............................................................................................7

2.1 Viited veebiaadressidele, kust kohast on võimalik programme alla laadida ning nende lühitutvustus ............................................................................................7

2.1.1 Function .................................................................................................7 2.1.2 GeomeTricks..........................................................................................7 2.1.3 GrafEq....................................................................................................8 2.1.4 StudyWorks............................................................................................8 2.1.5 TableTalk .............................................................................................10

3 Viited veebiaadressidele ja kirjandusele, kust kohast võib leida abimaterjale ja töölehti (11.klassi teemade kaupa)...............................................................................11

3.1 Jadad ............................................................................................................11 3.1.1 Jada mõiste. Tõkestatud ja tõkestamata jada .......................................11 3.1.2 Aritmeetiline ja Geomeetriline jada.....................................................11 3.1.3 Jada piirväärtus ....................................................................................14 3.1.4 Piirväärtuse arvutamine .......................................................................15

3.2 Funkstioonid I ..............................................................................................15 3.2.1 Võrdeline ja pöördvõrdeline seos. Lineaarfunktsioon .........................15 3.2.2 Ruutfunktsioon.....................................................................................15 3.2.3 Funktsiooni nullkohad. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond 16 3.2.4 Funktsiooni uurimine graafiku abil......................................................16 3.2.5 Astmefunktsioonid...............................................................................17 3.2.6 Funktsiooni graafiku teisendused* ......................................................17 3.2.7 Pöördfunktsioon...................................................................................18 3.2.8 Liitfunktsioon*.....................................................................................19

3.3 Funktsioonid II.............................................................................................19 3.3.1 Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine.........................................19 3.3.2 Eksponentfunktsioon............................................................................20 3.3.3 Eksponentvõrrand ................................................................................20 3.3.4 Arvu logaritm.......................................................................................21 3.3.5 Trigonomeetrilised funktsioonid..........................................................21 3.3.6 Kordamine............................................................................................22

3.4 Funktsiooni piirväärtus ja tuletis..................................................................23 3.4.1 Funktsiooni tuletis................................................................................23 3.4.2 Funktsiooni piirväärtus ja tuletis..........................................................23

3.5 Funktsiooni tuletise rakendusi .....................................................................23 3.5.1 Joone puutuja võrrand..........................................................................23 3.5.2 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine ................................................24 3.5.3 Funktsiooni uurimine ...........................................................................25

4 Programmide kasutusjuhendite ja näidisülesannete tutvustus .............................26 4.1 Programmide kasutusjuhendid.....................................................................26 4.2 Näidisülesannete tutvustused .......................................................................27

4.2.1 Aritmeetilise jada esimese n liikme summa.........................................27 4.2.2 Geomeetrilise jada üldliige ..................................................................29 4.2.3 Geomeetrilise jada esimese n liikme summa.......................................31

2

4.2.4 Lineaarfunktsioon 1 .............................................................................33 4.2.5 Lineaarfunktsioon 2 .............................................................................34 4.2.6 Ruutfunktsioon.....................................................................................35 4.2.7 Funktsiooni uurimine graafiku abil 1...................................................36 4.2.8 Funktsiooni uurimine graafiku abil 2...................................................37 4.2.9 Funktsiooni graafiku teisendused* ......................................................39 4.2.10 Pöördfunktsioon...................................................................................40 4.2.11 Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine.........................................41 4.2.12 Logaritmfunktsioon..............................................................................43 4.2.13 Siinusfunktsioon ..................................................................................44 4.2.14 Koosinusfunktsioon .............................................................................45 4.2.15 Tangensfunktsioon...............................................................................47 4.2.16 Funktsioonid y = sin kx ja y= cos kx* .................................................48

5 Valminud materjali analüüs .................................................................................51 Kokkuvõte....................................................................................................................56 Kasutatud kirjandus .....................................................................................................58

3

SISSEJUHATUS Siinse proseminaritöö raames valmis komplekt näidisülesandeid 11. klassi teemade

kohta (võetud valikuliselt), mille lahendamisel kasutati erinevaid programme. Mõnele

neist on koostatud kasutusjuhend. Samuti annab töö ülevaate kasutatud programmide

funktsionaalsusest. Leiate ka viidete kogumiku koos iseloomustustega internetis

leiduvate töölehtede, õppematerjalide ja esitluste kohta. Viited on esitatud teemade

kaupa, et õpetajal oleks lihtne leida konkreetse teema kohta töölehte või

õppematerjali. Aluseks on võetud 11. klassi ainekava.

Loodud õppematerjal on mõeldud 11. klassi matemaatikaõpetajatele ja ka teistele

huvilistele. Antud töö eesmärkiteks on:

• tutvustada 11. klassi matemaatikaõpetajale programme, mida tal on võimalik

oma tunnis kasutada ning mis on Eestis vabatarkvarana kasutatavad;

• anda juhiseid, kust kohast on võimalik leida käsitletavaid programme ja

vajalikke abimaterjale (töölehti, tunnikonspekte, esitlusi jms);

• aidata õpetajal saada arvutialaseid kogemusi ja sellega kaasnevalt

kindlustunnet matemaatikatunnis kasutada arvutit, dataprojektorit;

• matemaatikatunni mitmekesisemaks muutmine (äratada ja säilitada õpilastes

huvi matemaatika vastu, luua positiivne suhtumine matemaatikaga

tegelemisse; arendada loogilist mõtlemist, arutlusoskust ja ruumikujutlust;

õpilane õpiks tundma avastamis- ja loomisrõõmu).

Käesolev töö jaguneb viieks suuremaks osaks. Kõigepealt arutletakse arvuti

kasutamise vajalikkuse üle matemaatikatunnis, seejärel teises osas antakse ülevaade

kasutatavast tarkvarast, koos üldiste lühitutvustuste ja viidetega veebiaadressidele,

kust kohast on tarkvarad kättesaadavad. Kolmandas mahukas osas esitatakse viited

veebiaadressidele, töölehtedele, esitlustele, mis puudutavad 11. klassi

ainekavajärgseid teemasi. Iga viite juurde on lisatud antud materjali iseloomustus.

Neljandas punktis tutvutakse valminud kasutusjuhenditega kasutatud programmide

kohta ning näidisülesannete komplektiga ja selle kasutusvõimalustega, viimases osas

valminud materjali analüüs. Proseminaritöö osad on kättesaadaval leheküljel

http://silverpv.dyndns.org/kersti .

4

1 ARVUTI KASUTAMISE VAJALIKKUSEST

MATEMAATIKA TUNNIS

Arvutitest kirjutatakse ja räägitakse tänapäeval aina rohkem. Eriti populaarseks on

muutunud info hankimine arvuti abil Internetist. Kuidas aga rakendada arvutit oma

aine (matemaatika) õpetamisel tunnis? Selleks peaks leidma koolimatemaatikast

lähtuvaid ülesandeid ja probleeme, mis köidaksid last ja arendaks tema

individuaalsust ning neid demonstreerima arvuti abil. Loomulikult ei asenda ükski

masin inimestevahelist suhtlemist, kuid samas kasvatab töö arvutitega järjekindlust,

eneseusaldust. Siinjuures kasvab noorel inimesel iseseisva töö oskus. Ta saab kohese

teabe lahendatud ülesande õigsusest. Nüüd sõltub kõik programmist, kas taheti

kontrollida õpilaste teadmisi, esitleda uut osa või tegeleda lihtsalt

ettevalmistusülesannetega. Viimased aitavad kinnistada uut osa või lausa õppida

eelnevate näidete abil teatud seaduspärasusi.

Seega võib öelda, et:

• arvuti annab õpilastele iseseisva töö oskuse;

• kohese tagasiside, kas antud ülesande lahendus on õige või vale;

• kompenseerib puuduvad töö- ja õppevahendid.

Õpetajad koolis on enamus läbinud arvuti algkursuse, kuid siiski jätavad vahel

õpetajad arvuti kasutamata, sest nende arvutialased kogemused ei ole väga suured

ning seetõttu ei riski nad õpilaste ees igaks juhuks proovida. Tegelikult saab palju

kasulikku ära teha ka nii, et õpilane õpetajat arvuti taga ei näegi- lihtsalt kontrolltööd

või lüümikud on paremini kujundatud, joonised selgemad, ülesanded mitmekesisemad

jne. Arvutis on alati võimalus tööjuhendit muuta või ümber teha õpilastele

arusaadavamasse vormi [5 lk 143].

Veelkord lühidalt arvutite abist õpetajale, on:

• täpse tööjuhendi koostamise võimalus;

• kontrollitud ülesanded ja koheselt hinnangu andmine;

• tööviljakuse kasv, tunni mitmekesisus;

• suurem aja kokkuhoid vihikute parandamise pealt.

Aga ees on veel rida takistusi, millest õpetajad sõltuvad:

• väikestes koolides on vähe arvuteid;

5

• heade eestikeelsete programmide puudumine või vähesus koolis;

• õpetajate suur ülekoormus.

Põhiliselt tuntakse ikkagi puudust eestikeelsetest tööjuhenditest. Antud

proseminaritöö püüab samuti seda puudust vähendada.

“Ennekõike tuleb aga järele mõelda, kas konkreetse teema ja õpilaste puhul on arvuti

kasutamine mõistlik – vägisi pole mõtet arvutit kasutada. Kui arvuti kasutamine pole

õigustatud, siis on õigustatud kasutamata jätmine” [5 lk 143].

6

2 MATEMAATIKATARKVARA Töös kasutatavate programmide loetelu:

• Function • GeomeTricks • GrafEq • StudyWorks • TableTalk

Eelpool mainitud programmid said valitud kuna on lihtsasti kasutatavad; kolm neist

(Funktion, GeomeTricks ja TableTalk) on ka eestikeelse kasutajaliidesega. Kõige

keerulisem loetletud programmidest on StudyWorks, kuid temaga saab käsitleda väga

palju erinevadi teemasi. 11. klassis vaadeldakse mitmeid erinevaid funktsioone ning

nende omadusi, siinkohas on hea kasutada GrafEq’t, samuti Funkction’t. Kui õpilased

on nõrgemad ning neil ei ole väga palju kogemusi arvutiga, siis oleks soovitav esialgu

kasutada programmi Function, eelkõige sellepärast, et on eestikeelne.

2.1 Viited veebiaadressidele, kust kohast on võimalik programme alla laadida ning nende lühitutvustus

2.1.1 Function Programmi Function abil saab defineerida funktsioone, joonestada nende graafikuid.

Function lubab lisaks kindlate arvuliste kordajatega funktsioonidele vaadelda ka

kordajate väärtuste sujuvat muutmist. Function’i abil saab leida graafikute

lõikepunktide, ektreemumpunktide koordinaate jms.

Programmi saab alla laadida aadressilt http://www.audentes.ee/~anti/matop/varia.html

Programmi kirjeldus: http://www.koolielu.ee/pages.php/03020608?txtid=1528

http://www.ise.ee/telemaatika2000/kogumik/zimmermann.htm

2.1.2 GeomeTricks GemeTricks on geomeetriaprogramm, mille on programmeerinud taanlane Viggo

Sadolin. Et pogrammi saab kasutada eestikeelsena ja tegemist on suhteliselt

intuitiivselt tabatava kasutajaliidesega, siis võib GeomTricks’t soovitada

esmatutvuseks matemaatikatarkvaraga nii õpetajale kui ka õpilasele. GeomeTricks’s

on olemas võimalus mõõta punktide vahelisi kaugusi ning kolmnurkade pindalasid.

GeomeTricks on Eesti jaoks sobiv tänu sellele, et see on Eestis vabavara ning

eestikeelse kasutajaliidesega. GeomeTrisks ise ja ka kümned töölehed on olemas

7

Phare ISE 4. CD-l, mis on kõikides koolides olemas (ka veebis www.ise.ee. Ja

www.koolielu.ee).

Programmi saab alla laadida aadressilt

http://www.ise.ee/cdrom/cd3/geometricks/index.html

Lühijuhendi leiate aadressilt

http://www.ise.ee/cdrom/cd2/geometricks/html/geometricks226.htm

Loetelu klassidest ja teemadest, kus antud programmi saaksite kasutada leiate

veebiaadressilt http://www.ise.ee/pilootkoolid/hinnangud/geometriks.htm#Kaina

2.1.3 GrafEq Programm GrafEq on võimas matemaatiliste seoste skitseerimise vahend, millega

saab skitseerida ka ebatraditsioonilisi seoseid. Programmi saab rakendada ka nn.

matemaatilise kunsti loomiseks.

Programmi saab alla laadida aadressilt: http://www.peda.com/grafeq

GrafEq tutvustuse leiate aadressilt http://www.hot.ee/grafeq

Kus kasutada GrafEq't:

• liitfunktsioon;

• pöördfunktsioon;

• eksponentfunktsioon, eksponentvõrrand;

• arvu algoritm;

• lineaarfunktsioonid;

• trigonomeetrilised funktsioonid.

Abimaterjale ja näidisülesandeid leiate aadressilt http://www.hot.ee/grafeq

2.1.4 StudyWorks Olulisel kohal algebra õppimisel on mitmesuguste võrrandite ja võrratuste

lahendamine. Neid on vaja lahenada nii üksikuna kui ka näiteks tekstülesande

lahendamisel. Kas võrrandite ja võrratuste lahendamisel on olulisem saadav vastus

või lahendamise protsess? Kui võtta ajaliselt, siis ilmselt kulutatakse rohkem aega

võrrandite- võrratuste lahendamisele kui nende koostamisele või lahendite

tõlgendamisele. Ehk võiks lahendamise n-ö musta töö jätta arvutile ja võita aega

loomingulisemale tööle? Kas on üldse olemas võrrandite ja võrratustega toime

8

tulevaid programme? Sellised programmid on tõesti olemas ja isegi paljudes Eesti

koolides. Nimelt osteti Tiigrihüppe poolt sadadele koolidele pakett StudyWorks,

millega palju muu kõrval saab ka võrrandeid ja võrratusi lahendada. StudyWorks’i

abil saab ka avaldisi lihtsustada, tegurdada, funktsioone graafiliselt esitada jms. Kui

õpetaja pole kindel, et ta tahab õpilastel lasta StudyWorksi kasutada, siis ise võib ta

StudyWorksi ilma süümepiinadeta kasutada, nt ülesannete ettevalmistamisel või

lahenduste kontrollimisel. StudyWorksi töölehed on olemas Phare ISE 5. CD-l, aga ka

Koolielu veebilehel. Olemas on ka eraldi StudyWorks’i materjalide leheküljestik

(www.tamme.tartu.ee/studyworks/).

Programm on kasutatav õpilaste iseseisva õppetöövälise tegevuse vahendina ja

mõnedel tundidel õppetöö vaheldusrikkuse tõstmiseks, mitte aga matemaatika

ainekava ammendamiseks. Parema seose loomiseks ainekavaga on vajalik seda tüüpi

programmi eestistamine.

Millal hea kasutada StudyWorks'i:

• geomeetrilise jada üldliikme valemi järgi mingi liikme leidmine;

• geomeetrilise jada esimese n liikme summa leidmine;

• hääbuva geomeetrilise jada summa leidmine;

• astmefunktsioonid ja juurfunktsioonid, eelkõige graafikute joonestamiseks,

järeldused jooniselt tuleb õpilasel endal teha;

• paaris- ja paaritu funktsioon- üks võimalus on StudyWorks’ga graafik

joonestada ja siis hinnata, teine võimalus kontrollida definitsiooni järgi (seda

saab ka StudyWorks’i abiga teha);

• pöördfunktsioon- saab nii definitsiooni järgi kontrollida, kui ka graafikult.

Kõige mõistlikum oleks StudyWorks XI klassis kasutada järgmiste teemade korral:

• funktsiooni uurimine;

• graafikud;

• funktsiooni piirväärtus, tuletis, selle rakendus.

StudyWorks’i abil on võimalik korrektselt teha valemeid ja jooniseid.

Ülevaade StudyWorks’i koduleheküljest http://www.cs.ut.ee/~nurm/sw.html

9

Õpitarkvara paiknemine pilootkoolides

http://www.ise.ee/opitarkvara/tarkvara_nimekiri.htm

Mõtteid StudyWorks'i töölehtede kasutusest

http://www.tamme.tartu.ee/~ain/neti_varav/sw_lehtedest.html

2.1.5 TableTalk TableTalk on tabelarvutusprogramm, mis võimaldab käsitleda protsesse, kus tabeli

rea väärtused arvutatakse eelmise rea abil. Väga hea on kasutada mitmete pangandus-,

füüsika-, bioloogiateemade juures. Saadud tulemusi saab illustreerida graafiliselt.

Programmi saab alla laadida aadressilt http://www.ise.ee/cdrom/cd2/tabletalk/

Kus saab kasutada programmi TableTalk:

1. liitintress;

2. eksponentsiaalne kasvamine ja kahanemine(liitintress, geomeetriline jada).

Näidisülesandeid leiate aadressilt http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/Tablemat.htm

10

3 VIITED VEEBIAADRESSIDELE JA KIRJANDUSELE, KUST KOHAST VÕIB LEIDA ABIMATERJALE JA TÖÖLEHTI (11.KLASSI TEEMADE KAUPA)

3.1 Jadad

3.1.1 Jada mõiste. Tõkestatud ja tõkestamata jada

• http://www.koolielu.ee/pages.php/03020304?txtid=4309 Esitlus.ppt

Aili Hollaki poolt koostatud õppematerjal PowerPoint’s. Kõigepealt selgitatakse sõna

jadaga seotud mõisteid, tuuakse näiteid jada kohta, skemaatiliselt näidatakse jadade

liigitamist, käsitletakse aritmeetilist ja geomeetrilist jada, seletatakse legendi

malelauast. Eelnevalt loetletud teemade kohta leiate ülesandeid ja teste, samuti on

koostatud kontrolltöö nii aritmeetilise kui ka geomeetrilise jada kohta.

Joonis 1. Näide jadade liigituse kohta.

3.1.2 Aritmeetiline ja Geomeetriline jada • http://www.kool.ee/?917

Sellelt aadressilt leiate 16 ülesannet aritmeetilise jada ja 10 ülesannet geomeetrilise

jada kohta. Iga ülesande järgi on lisatud ka konkreetse ülesande vastus.

11

• http://www.hot.ee/ingridringi/ G4jadafunktsi1.rtf

Annab ülevaate, milliste ülesannete (ülesandetüüpide) aritmeetilise ja geomeetlise

jada korral jääb StudyWorks hätta, milliseid lahendab hästi. Aluseks on võetud Lea

Lepmann, Tiit Lepmann ja Kalle Velskeri poolt koostatud XI klassi matemaatikaõpik

(Tallinn “Koolibri” 1996). Materjali autoriteks on Tiina Reino, Raili Veelmaa ja

Anneli Joandi

• http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/Tablemat.htm

Eksponentsiaalne kasvamine ja kahanemine (liitintress, geomeetrilise jada) rtf-fail,

doc-fail Külli Jesmini poolt koostatud. Tunni konspekt on mõeldud geomeetrilise jada

teema käsitlemise juurde minemiseks, seda programmi TableTalk’i abiga. Materjali

kasutada iseseisva töö puhul arvutiklassis. Eelkõige suunatud keskmiste ja nõrgemate

võimetega õpilastele. Eriti positiivne antud materjali puhul on see, et koostaja on

lisanud juhise, kuidas programmi TableTalk’ga lahendada etteantud ülesannet

(Vahvaste küla elanike arv kasvas 10 aasta jooksul 103-224. Teades, et igal aastal

elanike arv kasvas ühe ja sama protsendi võrra, leia see protsent) ning selgitanud

geomeetrilise jada mõiste sisulist poolt.

• http://www.tamme.tartu.ee/~ain/sw/ tööleht

Aritmeetilise jada liikmete arvu n leidmine, kui on teada summa Sn.

Ülesande (Tigu roomab esimese tunni jooksul 40m ja iga järgneva tunni jooksul 4m

rohkem. Mitme tunniga läbib tigu vahemaa 300m?) varal selgitatakse aritmeetilise

jada liikmete arvu n leidmist, kui on teada summa Sn. Lahenduse koostaja on

analüüsinud ülesannet ka graafikul. Antud materjal sisaldab veel kolme ülesannet,

mida võiks kasutada õpitu kinnistamiseks. Kasutatud on programmi StudyWorks

ning autoriks Ain Tõnisson.

• http://www.tamme.tartu.ee/studyworks/matem/jada.html

Käsitletakse aritmeetilise ja geomeetrilise jada üldliikme valemeid, jada esimese n

liikme summat ning rea koondumist.Iga alateema kohta on üks kuni kolm näidet.

Illustreeritud on ka graafiliselt. Eriti hästi on käsitletud materjali koostaja poolt teemat

rea koondumine. Samuti leiate ülesandeid aritmeetilise ja geomeetrilise jada mõiste,

üldliikme valemi, jada esimese n liikme summa ning hääbuva geomeetrilise jada

kohta. Ülesannete lahendused on eraldi failina. Kasutatud on programmi

StudyWorks. On eeldatud, et õpetaja on varem StudyWorksiga kokku puutunud.

Antud materjalid on koostanud Anneli Kalam.

12

Joonis 2. Näide geomeetrilise jada üldliikme valemi kohta.

13

3.1.3 Jada piirväärtus • http://www.tamme.tartu.ee/~ain/sw/piirvaartus.mcd

Mis juhtub, kui võtame jadas järjest suurema järjekorranumbriga liikmeid? Kui

suured need liikmed on? Kas kuskil tuleb mingi piir, millest jada liikmed enam

suuremaks või väiksemaks ei lähe, kui vaadelda järjest suurema järjekorranumbriga

liikmeid? Vastuseid sellistele küsimustele annab matemaatiline analüüs - matemaatika

haru, mis uurib funktsioone (aga ka jadasid sealhulgas) piirprotsesside abil. Seda

teemat käsitletakse StudyWorks’s Ain Tõnissoni poolt. Lisaks leiate seitse kinnistavat

ülesannet (Joonis 3).

Joonis 3.

14

3.1.4 Piirväärtuse arvutamine • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/annea/piirvaartus681ope

taja.mcd

http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/annea/piirvaartus681.mcd

Teema: piirväärtuse arvutamine. Õpik: Matemaatika XI klassile, A.Levin, T.Tõnso,

A.Veelmaa, ülesanne 681. Õpilasele on vajalik tööleht välja trükkida või anda õpikust

ülesanne. Õpetajal on oma tööleht, millelt saab vastuseid kontrollida. Töölehe

koostamisel on kasutatud programmi StudyWorks. Materjali autoriks on Anne

Aasamets.

3.2 Funkstioonid I

3.2.1 Võrdeline ja pöördvõrdeline seos. Lineaarfunktsioon

• http://www.koolielu.ee/pages.php/03020301

Sellelt veebilehelt leiate mõningaid linke järgnevate alateemade kohta:

-lineaarfunktsioon ja tema graafik;

-pöördvõrdeline seos, pöördvõrdelise seose graafik;

-seosed muutujate vahel;

-võrdeline seos.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/velve/vordseos.mcd

Tööleht on koostatud StudyWorks’s, mida saab kasutada võrdelise seose

kordamiseks või antud teema kontrollimiseks. Õpilatele on täitmiseks viis ülesannet.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/pilvi/poordvordseosgraaf.

mcd

Pöördvõrdelise seose graafiku kohta tööleht, mis on koostatud StudyWorks’s.

Õpilastega koos joonestatakse pöördvõrdelise seose graagikuid ning seejärel tehakse

üheskoos järeldus. Materjali koostaja poolt väga nutikalt tehtud, et õpilane õpiks

tundma avastamis- ja loomisrõõmu.

3.2.2 Ruutfunktsioon • http://www.koolielu.ee/pages.php/03020302

Sellelt veebilehelt leiate mõningaid linke järgnevate alateemade kohta:

-ruutfunktsioon;

-ruutfunktsiooni graafik ja selle uurimine;

15

-ruutfunktsiooni kordajate mõju paraboolile;

-ruutfunktsioonide graafikute paiknemine koordinaattasandil.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/matFunction/ruutfunkts.rtf

Antud õppematerjalid on mõeldud tunnikonspektide täiendustena ruutfunktsiooni

käsitlemisel Sadolini õpiprogrammi Function kasutamisega. Käsitletud on kahte

teemat: ruutfunktsiooni y = ax2 graafik ja ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 graafiline

lahendamine.

3.2.3 Funktsiooni nullkohad. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/andres/nullkohadposjane

gpiirk.mcd

StudyWorks’i töölehel käsitletakse teemasid: funktsiooni nullkohad, funktsiooni

positiivsus- ja negatiivsuspiirkond. Antud töölehe tegemisel on tuginetud L.Lepmanni

koostatud XI klassi matemaatika õpikule. Materjal on mõeldud esitamiseks kasutades

"videokahurit", aga võib ka printida leheküljed kilele ja siis saab kasutada

grafoprojektorit jne. Koostaja poolt valminud materjal on üks paremaid, mis selle

teema kohta tehtud on ning sobiks kõige paremini kasutada teooriatunni läbiviimisel.

Iga teema kohta on väike teoreetiline osa ning seejärel üks näiteülesanne, millele

järgneb järeldus. Kõige lõpuks on tehtud ka kokkuvõte. Töölehe juurde oleks võinud

olla lisatud ülesandeid õpilastele iseseisvaks lahendamiseks.

3.2.4 Funktsiooni uurimine graafiku abil • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/andres/uuriminegraaf.m

cd

Antud tööleht on funktsiooni uurimise kohta graafiku abil: X, Y, Xo, X+, X-, Xe, X ,

X . Töölehelt leiate neli ülesannet, neid võiks vaadata läbi ühes tunnis. Iga ülesande

puhul on toodud link lahendusele, mida on võimalik õpilastele demonstreerida. Antud

töö annab võimaluse kiiresti varieerida ülesandeid ning mõne võttega teha muutused

ka lahendustes. Õpetaja peaks eelnevalt tutvuma ülesannete lahendustega. Õpilaste

ettevalmistus ei ole oluline. Kasutatud on tarkvara StudyWorks. Materjali koostas

Andres Talts.

Lahendus 1:

http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/andres/lahendus1.mcd

16

Lahendus 2:


Lahendus 3:


Lahendus 4:


• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/reet/graafikud.mcd

Antud tööleht on mõeldud õpilastele, mis koosneb neljast osast. Igas osas on

skitseeritud koordinaatteljestik, kus on joonestatud ühe kuni kolme funktsiooni

graafik. Õpilase ülesanne on leida määramis- ja muutumispiirkond, nullkohad,

positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud,

ekstreemumkohad ning tuleb otsustada, kas funktsioon on paaris, paaritu või pole

kumbki. Reet Sildoja poolt koostatud töölehte saab edukalt kasutada antud teemade

kinnistamiseks, siiski võiks töölehte kasutav õpetaja lisada algusesse ka kordava

teoreetilise osa. Ei eelda õpilastelt eelnevaid StudyWorks’i kasutamise kogemust.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/annelij/funuur.mcd

Lühijuhend selle kohta, kuidas joonestada StudyWorks’s graafikuid. Tutvustuse on

koostanud Anneli Joandi. On mõeldud õpilastele, mida kommenteerib tunnis ka

õpetaja. Õpetaja on eelneval tunnil andnud mingi ülesande, mida tunnis

illustreeritakse graafiku abil.

3.2.5 Astmefunktsioonid • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/andres/astmefunktsioonid.mcd Astmefunktsiooni f(x)=axn esitlus.

3.2.6 Funktsiooni graafiku teisendused* • http://www.tamme.tartu.ee/kahur/matemaatika/f_teisendus.rtf Käsitlemisel on teema funktsiooni graafiku teisendused, tegemist on esimese seda

teemat käsitleva tunniga. Kasutatud on tarkvara StudyWorks. Materjal on koostatud

Matemaatika 11 klassile , Lepmann, Lepmann, Velsker õpikule toetudes. Tunni

alguses on mõeldud 15 minutit õpetajal töölehe demonstreermiseks projektori abil,

ülejäänud aja jooksul teevad seda õpilased ja lahendavad töölehe lõpus olevad

ülesanded. Koostaja poolt tehtud tööleht on üks parimaid antud teema kohta, kus

17

leiate väga häid illustreerivaid jooniseid. Järgnev joonis toob teieni funktsiooni

y=af(x).

Joonis 4. y=af(x)

3.2.7 Pöördfunktsioon • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/daire/poordfunkts.mcd

Tunni teemaks on pöördfunktsiooni leidmine ja uurimine. Kasutatav tehnika: “Kahur”

ja arvuti. Materjal on koostud programmi Studyworks’ga. Õpilaste ettevalmistuseks

oleks vaja, et õpilased oskaksid leida funktsiooni määramis- ja muutumispiirkonda.

Tunni käik: õpilased tutvuvad õpetaja kaasabil pöördfunktsiooni mõistega, asudes

seejärel lahendama ülesannet 244 õpikust. Lisamaterjalid: L. Lepmann, T. Lepmann,

K. Velsker Matemaatika 11. klassile, ül.244, vihik ning joonestamisvahendid.

Materjali koostajal: Daire Krabil on väga hästi õnnestunud võtta teema, mis on

programmikohane; plussiks on kiire ning lihtne õpetajapoolne andmete muutmine

vajadusel. Siinse töö puhul on positiivne ka see, et ei ole loobutud funktsioonide

graafikute joonestamisest.

18

3.2.8 Liitfunktsioon* • http://www.hot.ee/grafeq/eksp/liitfunktsioon.html

Veebiaadressilt leiate ülesande liitfunktsiooni kohta. Ülesandes käsitakse moodustada

kolmest funktsioonist koosnev liitfunktsioon:

Ülesanne on võetud õpikust M. Miinus. Matemaatika XI klassile, ülesanne 322: 2).

Töö autoriks on Pilve Traks. Kasutatud on programmi GrafEq.

Joonis 5. Liitfunktsioon.

3.3 Funktsioonid II

3.3.1 Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine

• http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/matTable/ekspkasvkaha.doc

http://www.koolielu.ee/pages.php/03020304?txtid=329

Töölehe eesmärgiks on arusaamise kujundamine liitintressi mõistest, esitlus on tehtud

programmiga Microsoft Word. Kasutada tuleb tarkvara TableTalk’i. Töölehel on ka

lühiõpetus TableTalk’i kohta. Materjal on mõeldud iseseisvaks tööks arvutiklassis

keskmiste ja nõrgemate võimetega õpilaste jaoks. Kuna tööleht on mõeldud keskmiste

ja nõremate võimetega õpilaste jaoks, siis võiks töölehe vormistus parem olla,

ruumiga on hoitud liiga kokku. Kui aega jääb väheseks kõigi ülesannete

lahendamiseks, siis lasta lahendada iseseisvalt järgmiseks tunniks. Esitada kas disketil

või korralikult vormistatult lehel. Autoriks Külli Jesmin.

19

• http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/matTable/liitintre.rtf


Liitintressi teemat käsitlev tööleht koosneb neljast ülesandest koos lahendustega,

lahendamiseks tuleb kasutada programmi TableTalk. Tööleht ise on koostatud

Microsoft Wordiga. Autoriks on Anneli Korela.

3.3.2 Eksponentfunktsioon • http://www.hot.ee/grafeq/eksp/index.html

Tuletatakse meelde 10. klassis õpitut, seejärel üldistatakse astme mõistet.

Vaadeldakse seost y=ax ning esitatakse küsimus: milliste a väärtuste korral saame

seda seost nimetada funktsiooniks? Vaadeldakse funktsioone y=3x ja y=(-3)x . Lõpuks

antakse eksponentfunktsiooni mõiste. Kasutatud on programmi GrafEq. Töö autoriks

on Pilve Traks.

Joonis 6. Eksponentfunktsioon.

3.3.3 Eksponentvõrrand • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/kristel/eksponentvorr

and.mcd

StudyWorks’s koostatud töölehel on eksponentvõrrandi (2x 3 2 x x2) graafiline

lahendamine, samuti on koostatud kuus ülesannet õpilastele lahendamiseks. On

eeldatud, et õpilane oskab kasutada StudyWorks’i graafikute joonestamiseks.

• http://www.hot.ee/grafeq/eksp/v6rrandid.html

Veebiaadressilt leiate kaks ülesannet eksponentvõrrandi kohta, mis on lahendatud nii

graafiliselt kui ka analüütiliselt. Kasutatud on programmi GrafEq ning töö autoriks

Pilve Traks. Pilve Traksi poolt koostatud tööleht illustreerib väga ilmekalt

eksponentvõrrandite lahendamist. Ülesanded on võetud õpikust A. Levin, T.Tõnso, A.

Veelmaa. Matemaatika XI klassile, ülesanne 340: 5) ja ülesanne 339 1) ja 5).

20

Joonis 7. Võrrandite 22x-6·2x+8=0, 32x+2·3x-3=0 lahendamine.

3.3.4 Arvu logaritm • http://www.hot.ee/grafeq/eksp/logaritm.html

Siinselt aadressilt leiate kaks ülesannet teema logaritm kohta. Töö esimeses ülesandes

esitatakse küsimus: kas seosest xy = a võib alati järeldada, et logxa = y? Joonestatakse

kaks graafikut, võttes a=10. Teine ülesanne: olgu a>0 ja b>0, tuleb näidata, et kui a ja

b on teineteise pöördarvud, siis log a ja log b on teineteise vastandarvud. Vaadeldakse

kahte funktsiooni y=logx ja y=log1/x. Need funktsioonid esitatakse ka graafiliselt.

Jõutakse järelduseni, et ühe funktsiooni väärtus mistahes kohal x on teise funktsiooni

väärtuse vastandarv sellel kohal. Kasutatud on programmi GrafEq. Töö autoriks on

Pilve Traks.

3.3.5 Trigonomeetrilised funktsioonid • http://www.tamme.tartu.ee/kahur/matemaatika/trigo.mcd

Tööleht tutvustab sinusoidi, kirjeldab trigonomeetriliste funktsioonide graafikute

tekkimist liikuva raadiuse pööramisel ning saadud põhigraafikute teisendamist

21

teisendustega aT(bx+c). Tunnikäigu kirjeldus: tunni esimeses osas jälgitakse

interaktiivse videona graafikute tekkimist ühikringi liikuva raadiuse pööramisel.

Vihikusse fikseeritakse saadud põhigraafikud y=T(x). StudyWorks’i töölehel olevate

graafikute vaatlemise kaudu fikseeritakse vihikusse käsitletud funktsioonide

parameetrid (määramis- ja muutumispiirkonnad, nullkohad, positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad, kasvamine-kahanemine ja ekstreemumid). Tunni lõpul

esitatakse sissejuhatavalt graafikute teisendused.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/ullehelle/trigonomeetrili

sedfunktsioonid.mcd

Töölehte võib kasutada ühes tunnis või iga osa (siinusfunktsioon, koosinusfunktsioon

ja tangensfunktsioon) eraldi tunnis. Kasutatakse tarkvara StudyWorks. Õpetaja peaks

esmalt konstrueerima koos õpilastega ja ilma StudyWorks’i abita funktsiooni y=sin(x)

graafiku. Seejärel kasutama StudyWorks’i abi ja selgitama, mis juhtub funktsiooni

graafikuga, kui funktsiooni korrutada mingi arvuga (positiivse ja negatiivse). Selleks

tuleb muuta seoses a=1 a väärtust ja vajutada reavahetusklahvi. Samal joonisel on ka

funktsiooni y=sin(x) graafik võrdlevalt olemas. Samuti on võimalik näidata graafiku

muutumist kui funktsiooni argumendile liita juurde arve. Siin tuleb muuta seoses b=1

b väärtust ja vajutada reavahetusklahvi. Õpetaja peaks juhtima õpilaste tähelepanu

sellele, kuidas muutub graafik. Õpilaste ettevalmistus StudyWorks’s pole eriti vajalik,

sest muuta tuleb ainult paari numbrit. Materjali koostaja ei ole teinud juhist õpetajale,

kuidas StudyWorks’s luua trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid, mis peaks aga

ilmtingimata töölehel kirjas olema.

3.3.6 Kordamine • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/aaskursus/G5funktsiooni

dii.rtf

Ülevaade L. Lepmann jt Matemaatika XI klassile ülesannete lahenduvusest

StudyWorks’s. Antakse loetelu ülesannetest: mille puhul StudyWorks’s on raskusi

ning mille puhul StudyWorks töötab hästi. Esitatakse tüüp (lühikirjeldus,

näiteülesanne) ning StudyWorks’i võimalused. Samuti leiate StudyWorks’ga saadud

valed või poolikud vastused. Autoriteks on Margit Arro ja Ethel Koit, kes on loonud

kasuliku materjali õpetajatele, kes tahavad matemaatika tundi läbi viia arvuti klassis.

22

3.4 Funktsiooni piirväärtus ja tuletis

3.4.1 Funktsiooni tuletis • http://www.tamme.tartu.ee/studyworks/matem/funktsioon.html

Tuuakse sisse funktsiooni tuletis ja näidatakse tema leidmist. Põhilisi

diferentseerimisreegleid saab ise erinevatel funktsioonidel kontrollida. Esitatud ka

interaktiivne, joonistega illustreeritud näide funktsiooni ekstreemumkohtade

leidmisest tuletise nullkohtade abil. Töölehelt leiate ka näited, kus tuleb leida

funktsioonide k x x2 ja y s .0.04 s4 s2 s tuletised. Töö autoriks on Reimo

Palm. Kasutatud on tarkvara StudyWorks.

3.4.2 Funktsiooni piirväärtus ja tuletis • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/aaskursus/G6funktpiirjat

uletis.rtf

Word’s koostatud töölehelt leiate loetelu ülesannetest, mille puhul StudyWorks jääb

hätta ning mille puhul StudyWorks töötab hästi ning samuti mõtteid selle kohta, mida

võiks muuta arvutialgebra süsteemides ja ainekavas, et arvutialgebra süsteeme

(StudtWorks) saaks selle temaatika õpetamisel paremini kasutada.. Kasutatud on

õpikut L.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika XI klassile. Kirjastus

"Koolibri" 1996. Autorid: Sirje Pihlap, Imbi Koppel ja Mart Oja.

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/aaskursus/G6opikuulesa

nded.mcd

StudyWorks’s on esitatud õpiku L.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika

XI klassile. Kirjastus "Koolibri" 1996 ülesanded koos lahendustega funktsiooni

piirväärtuse ja tuletise kohta. Sirje Pihlap, Imbi Koppel ja Mart Oja poolt koostatud

materjali on väga hea kasutada õpetajal analoogiliste ülesannete lahendamisel.

Kõnealune tööleht eeldab, et õpetaja on eelnevalt programmi StudyWorks’ga kokku

puutunud või kasutab paralleelselt StudyWors’i lühitutvustust.

3.5 Funktsiooni tuletise rakendusi

3.5.1 Joone puutuja võrrand • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/ethel/joonepuutuja.mcd

Tunni teema: joone puutuja võrrand. Vajalik on üks arvuti koos

multimeediaprojektoriga. Materjal on koostatud tarkvara StudyWorks’ga, õpilastele

ei ole antud programmi tundmine vajalik Lisamaterjalid: T.Tõnso jt Matemaatika 11.

23

klassile lk. 309 ül. 820 ja 821. Tunni käik: korratakse üle lahenduskäigu etapid joone

puutuja võrrandi leidmisel. Õpetaja näitab need StudyWorksi abil. Õpilastel tuleb

lahendada õpiku ülesanded 820 ja 821. Kontrollimisel annab õpetaja selgitused ja

joonised kasutades programmi StydyWorks’i.

Joonis 8. Juhend, mille põhjal õpilased lahendavad ülesandeid.

3.5.2 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine • http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/estervivian/kaskahposne

g.mcd


Seos funktsiooni kasvamisvahemike ja kahanemisvahemike ning tuletisfunktsiooni

positiivsuspiirkonna ja negatiivsuspiirkonna vahel. Tunni läbiviimisel on eeldatud, et

õpilastel on vähemalt kahepeale kasutada arvuti. Ei ole vajalik StudyWorks’i oskus,

kuid on eeldatud, et keskkooli õpilastel on mingid arvuti kasutamise oskused.

Koostajaks olid Ester Pärn, Vivian Paaksi.

24

• http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/sirje/funuurabimees.mcd http://www.ise.ee/cdrom/cd5/arvkoolmat/matstudyworks/sirje/funuurabimees2.mcd

Kaks töölehte on õpetajale abiks ülesannete koostamisel. Muutes kordajate väärtusi,

on õpetajal lihtne koostada eraldi töö kasvõi igale õpilasele. Kasutatavaks

programmiks on StudyWorks. Materjali koostajaks Sirje Pihlap.

3.5.3 Funktsiooni uurimine • http://www.ise.ee/cdrom/cd4/akm/matFunction/funuur.doc

Harjutus on kasutatav 11 klassi matemaatika teema funktsiooni uurimise juures.

Sobib enam üld- või humanitaarharu õpilastele. Eelnevalt vajalik programmi

Function kiirtutvustus. Kui materjali kasutatakse koos eeltutvustusega, siis kulub 2

45-minutilist tundi, kui piirdutakse ainult töölehtede täitmisega, siis ajakulu 45

minutit (oleneb ka õpilaste arvutikasutusoskusest). Materjali alguses on teooria osa,

seejärel kolm näiteharjutust ning lõpuks tööleht, mis koosneb samuti kolmest

harjutusest, mis on mõeldud õpilasele täitmiseks. Esitlus on tehtud Microsoft

Word’s.

25

4 PROGRAMMIDE KASUTUSJUHENDITE JA NÄIDISÜLESANNETE TUTVUSTUS

4.1 Programmide kasutusjuhendid

Kasutusjuhendid loodi programmidele: Function, TableTalk ja StudyWorks. Töös

kasutati ka programme: GrafEq ja GeomeTricks, kuid antud programmidele

kasutusjuhendit ei koostatud, kuna internetist on võimalik leida küllaldaselt häid

juhiseid 11. klassi matemaatika ülesannete lahendamiseks.

Kasutusjuhendid on mõeldud kasutamiseks nii õpetajatele kui ka õpilastele. Annab

ülevaate operatsioonidest, mida on võimalik antud programmiga läbi viia. Samuti

sisaldab juhiseid, kuidas kirjeldatud operatsioone teostada.

2006. aastal jõuab Tiigrihüppe tarkvaraproduktina õpilaste ja õpetajate kasutusse

põhikooli algebra ülesannete lahendamise keskkond T- algebra. Programmis on

realiseeritud 51 ülesandetüüpi järmistest valdkondadest [6 lk 64,65]:

1) täisarvuliste avaldiste väärtuste arvutamine;

2) tehted murdudega;

3) üksliikmed ja hulkliikmed;

4) lineaarvõrrandid, -võrratused ja võrrandite süsteemid.

Ülesannet lahendatakse sammude kaupa. Samm koosneb üldiselt kolmest tegevusest:

1) operatsiooni valik (menüüst);

2) operandide märkimine (avaldises, võrrandis või võrrandisüsteemis);

3) operatsiooni tulemuse sisestamine (märgitud osade asemele).

Operatsiooni tulemuse sisestamiseks on programmis realiseeritud kolm

sisestusrešiimi:

1) vaba- operatsiooni tulemuse jaoks on üks sisestuskast;

2) struktuurne- erinevate sisestuskastide abil on tulemuse struktuur ette

antud;

3) osaline- osa tulemusest on juba programmi poolt välja arvutatud.

26

4.2 Näidisülesannete tutvustused

11. klassi ainekavajärgsete teemade (võetud valikuliselt) kohta koostas autor

näidisülesanded, mis on mõeldud kasutada õpitu kinnistamiseks või tutvustamiseks

matemaatiktarkvara abil.

Järgnevalt kirjeldatud ülesanded on võetud L.Lepmann, T.Lepmann, K.Velskeri

õpikust Matemaatika 11. klassile.

Näidisülesanded on esitatud koos lahendamise õpetusega konkreetses programmis.

Antud on ka soovitus, kuidas näidisülesandele tuginedes võiks matemaatika tundi läbi

viia arvutiklassis. Eesmärgiks on, et ka õpetaja, kellel pole varem antud programmiga

kokkupuuteid olnud, saab analoogiliste ülesannete lahendamisega hakkama selles

programmes ning on suuteline matemaatikatundi läbi viima antud teema kohta. Peale

igat näidisülesannet on esitatud mõningaid analoogilisi ülesandeid. Neid võib anda

õpilastele iseseisvaks lahendmiseks.

Mõnikord tuleb ette, et õpetaja on sunnitud koolituse või tervisehäda tõttu koolist

puuduma ning tundi peab asendama mõni teine õpetaja. Siis on hea, kui õpilastel on

iseseisva töö võimalus vana teema kinnistamiseks või uue teema omandamiseks.

Õpilastele antakse iseseisva töö juhend ning näidisülesannete abil lahendavad

vajalikud ülesanded etteantud programmiga, kusjuures õpilastel on kasutada ka

programmi kasutusjuhend.

Lisaks on vaja matemaatikatundi mitmekesisust, et õppetööd õpilaste jaoks

põnevamaks muuta. Mõningatel õpilastel kinnistub õpitu materjal paremini, kui tuua

palju illustreerivaid näiteid, mille lahendamisel on kasutatud jooniseid, kujundeid,

skeeme jne. Erinevate programmide kasutamine matemaatikatunnis toetab ka õpilaste

loogilise mõtlemise, arutlusoskuse ja ruumikujutluse arengut. Samuti pakub õpilastele

avastamis- ja loomisrõõmu.

4.2.1 Aritmeetilise jada esimese n liikme summa

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema aritmeetilise jada juures.

Lahendatud on ülesanne 45.

Kasutatav programm: TABLETALK.

Antud ülesanne ja programm said valitud järgnevatel põhjustel:

27

• programm TableTalk on hea tabelarvutusprogramm, mis võimaldab käsitleda

protsesse, kus tabeli rea väärtused arvutatakse eelmise rea abil (antud ülesande

puhul soovime leida kui palju sai omanik tulu teatud aastatega kokku; samuti

huvitab meid, kui palju tulu saadi konkreetsel aastal- otseselt ülesandes küll

küsitud ei ole, kuid õpetaja saab antud ülesannet laiendada ja huvitavamaks

muuta);

• kulutada vähem aega arvutustele ning tegeleda rohkem ülesande sisulise

lahendamisega;

• saadud tulemusi saab antud programmiga esitada ka graafiliselt (antud

ülesandes kirjeldavad graafikud iga aastase tulu juurdekasvu ning kogu tulu

peale igat aastat);

• arendada arutlusoskust;

• matemaatikat siduda igapäevaeluga;

• kinnistada aritmeetilise jadaga seonduvaid mõisteid ning valemeid.

45. Omanik sai 11 aastat tgasi oma aktsiatelt 7000 krooni tulu aastas. Viimasel aastal

oli see tulu 14 000 krooni, kusjuures tulu aktsiatelt suurenes igal aastal sama summa

võrra. Kui suur oli tulu iga- aastane juurdekasv? Kui palju tulu sai omanik aktsiatelt

11 aastaga?

Lisaküsimus: kui palju tulu sai omanik aktsiatelt viiendal aastal?

Lahendamist alustatakse otsitavate kirjeldamisega: töötatakse välja mudelid (joonis

10) ning seejärel sisestatakse nad programmi TableTalk. Mudelis kasutatavad

parameetrid tuleb kirjeldada eraldi (joonis 9). Seejärel kasutatava programmiga

leitakse tulemused, mis esitatakse tabelkujul. Saadud tulemuste kohta joonestatakse

graafikud (joonis 11).

Joonis 9. Joonis10.

28

Joonis 11. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa.

Esimeses veerus (joonis 11), mille tähiseks on d annab programm juurdekasvu, mis on

igal aastal ühesugune 700 krooni. Teises veerus iga järgneva aasta omaniku tulu, nagu

näeme 11 aastal sai omanik tulu 14 000 krooni, mis vastab ka meie ülesande

tingimustele. Kolmas veerg (sn) kirjeldab, kui palju omanik oli kokku tulu kogunud

peale igat aastat. Seega tabeli abil võime öelda, et omanik sai aktsiatelt tulu 11 aastaga

115 500 krooni.

Lisaküsimusele (Kui palju tulu sai omanik aktsiatelt viiendal aastal?) vastatakse tabeli

abil. Tabelist (joonis 11) on näha, et viiendal aastal sai omanik aktsiatelt tulu 9800

krooni.

4.2.2 Geomeetrilise jada üldliige

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema geomeetrilise jada juures.




29

• programm TableTalk võimaldab käsitleda protsesse, kus tabeli rea väärtused

arvutatakse eelmise rea abil (antud ülesande puhul leiame iga järgneva aasta

linna elanike arvu);


lahendamisega;

• saadud tulemust saab antud programmiga illustreerida graafiliselt;

• arendada arutlusoskust,

• läheneda ühele ja samale probleemile erinevatest vaatenurkadest ning

analüüsida, milline tee on parim;

• tuua eluliste ülesannetega matemaatikat õpilastele lähemale;

• kinnistada geomeetrilise jada üldliikmega seonduvaid mõisteid, valemeid.

85. Linna elanike arv kasvab iga aastaga 20% võrra. Kui suur on linna elanike arvu

aastane kasvutegur? Leidke linna elanike arv 5 aasta pärast, kui see on praegu

100000.

Ülesande lahendamist alustatakse linna elanike arvu aastase kasvuteguri leidmisega,

seda tehakse arutledes: linna elanike arv kasvab iga aastaga 20% võrra, seega kui

esimesel aastal on linna elanike arv a1, siis järgmisel aastal a2 = 1,2a1. Saadakse, et

linna elanike arvu aastane kasvutegur (tähistame q) on 1,2. Seejärel lähenetakse

ülesandele kahel viisil: esimesel juhul leitakse linna elanike arv peale igat aastat (a⋅q),

teisel juhul kasutatakse geomeetrilise jada üldliikme valemit (an = a1⋅q^(n-1). Kaks

varjanti lahendatakse paralleelselt programmi TableTalk’ga ning võrreldakse saadud

tulemusi.

Tulemused tabelina:

Joonis 12.

Peale tulemuste saamist võrreldakse kahe mudeli eeliseid ning puudusi. Seejärel

illustreeritakse tulemusi graafiliselt (joonis 13).

30

Joonis 13. Linna elanike arv.

Näidisülesande lõpus esitatakse kolm lisaülesannet, mida võiksid õpilased lahendada

programmi TableTalk’ga ning täita paralleelselt õpetaja poolt koostatud töölehte.

4.2.3 Geomeetrilise jada esimese n liikme summa

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema geomeetrilise jada juures.




• programm TableTalk on hea tabelarvutusprogramm, mis võimaldab käsitleda

protsesse, kus tabeli rea väärtused arvutatakse eelmise rea abil (antud ülesande

puhul soovime arvutada palli põrkamiskõrgust peale igat põrget, et saaksime

analüüsida ka vahepealseid tulemusi);


lahendamisega;

• saadud tulemust saab antud programmiga illustreerida graafiliselt (antud

ülesandes soovime demonstreerida kummipalli teekonda);

31


• õpilane suudaks matemaatika tunnis õpitut ka reaalses elus rakendada;

• jõuda geomeetrilise jada sisulise tundmiseni.

82. Kummipall langeb mingilt kõrguselt ja põrkab põrandalt tagasi kõrgusele, mis on

üks kolmandik langemiskõrgusest. Kui pika tee on läbinud 3 meetri kõrguselt

kukkunud pall, kui ta puudutab kaheksa korda põrandat?

Ülesanne lahendatakse kõigepealt kirjalikult ning seejärel programmi TableTalk’i

abiga, kusjuures lahendatakse erinevate meetoditega.

Kirjalikul lahendamisel kasuatakse geomeetrilise jada esimese n liikme summa

valemit. Lahendamisele eelneb arutelu, mille käigus jõutakse järelduseni, et mingilt

kõrguselt c kukkunud pall läbib n+1 (n- põrgete arv peale esimest põrget) põrke järel:

c+2⋅[(q^n-1)/q-1] meetrit. Antud ülesandes n=7, c=3, q=1/3. Pannes saadud avaldisse

ülesandes antud andmed saadakse:

3+2⋅((1/3)^n-1)/(1/3-1)=3+2⋅6558/4374≈6 (m). Seega pall läbib ligikaudu kuus

meetrit.

Järgmiseks lahendatakse ülesanne programmi TableTalk’ga, kus tabeli rea väärtused

arvutatakse eelmise rea abil. Iga järgneva põrke kõrgust kirjeldatakse avaldisega:

korgus*(1/q) ning kummipalli läbitud vahemaad järgnevalt: meetrit+2*korgus*(1/q).

1/q kasutatakse sellepärast, et programm ei lase parameetrina 1/3 (jagatist) kasutada.

Programm arvutab iga põrke kõrguse ning annab vahemaa mitu meetrit on kummipall

läbinud (joonis 14). Näeme, et ka programm annab ligikaudu vastuseks kuus meetrit,

mis on sama tulemus, mis saadi kirjalikul lahendamisel.

Joonis 14.

Saadud tulemust illustreeritakse ka graafiliselt (joonis 15).

32

Joonis 15. Palli põrkekõrgus ja läbitud tee.

4.2.4 Lineaarfunktsioon 1

Näidisülesanne on kasutatav 11 klassi matemaatika teema lineaarfunktsioon juures.


Kasutatav programm: GEOMETRICKS.

Antud ülesanne ja programm said valitud, sest:

• ülesandes on vaja joonestada neli lineaarfunktsiooni graafikut, mis erinevad

vaid vabaliikme poolest, programm GeomeTricks saab sellega ideaalselt

hakkama (ei pea kulutama aega kirjalikule joonestamisele);

• programm GeomeTricks abil saab leida sirgete vahelisi kaugusi;

• ülesande abil korratakse parameetri b sisulist tähendust.

178. Joonestage lineaarfunktsioon y = 3x + b graafik, kui

1) b = 2; 2) b = 0; 3) b = -1; 4) b = -2.

Võrrelge neid graafikuid. Milline geomeetriline tähendus on parameetril b?

Lineaarfunktsioonide graafikud joonestatakse kõik samasse koordinaatteljestikku

(joonis 16) ning seejärel võrreldakse graafikui, tehakse järeldus parameetri b kohta.

Leitakse kahe lineaarfunktsiooni y = 3x ja y = 3x+2 graafiku vaheline kaugus. Seda

33

määratakse silma järgi ja kasutatakse kontrollimiseks programmi abi. Programm

väljastab saadud tulemuse (kaugus= 2) parempoolsesse lahtrisse.

Joonis 16. y = 3x+b.

4.2.5 Lineaarfunktsioon 2

Näidisülesanne on kasutatav 11 klassi matemaatika teema lineaarfunktsioon juures.


Kasutatav programm: GEOMETRICKS.


• ülesandes on vaja joonestada lineaarfunktsiooni graafik, millega saab

programm GeomeTricks väga hästi hakkama (ei pea kulutama aega kirjalikule

joonestamisele);

• programm GeomeTricks abil saab leida sirgel asuvate punkti koordinaate;

• programmi GeomeTricks on kerge kasutada;

• ülesande abil korratakse mõisteid argumendi ja funktsiooni väärtus.

177. Joonestage lineaarfunktsiooni y = 2x-1 graafik. Vastake selle abil järgmistele

küsimustele.

34

1. Missuguse x korral y = 13?

2. Millega võrdub y, kui x = -2?

Missuguste x väärtuste korral on y väärtused positiivsed; negatiivsed?

Koordinaatteljestikku joonestatakse funktsiooni y = 2x-1 graafik (joonis 17) ning

seejärel vastatakse ülesandes püstitatud küsimustele. Vaatluse teel saadud tulemused

kontrollitakse programmi GeomeTricks abil üle.

Joonis 17. y = 2x-1.

4.2.6 Ruutfunktsioon Näidisülesanne on kasutatav11 klassi matemaatika teema ruutfunktsioon juures.

Kasutatav programm: STUDYWORKS.


• programmi StudyWorks abil saab väga edukalt joonestada ruutfunktsiooni

graafikut;

• ülesande abil korratakse üle eelnevatel aastatel õpitu ruutfunktsiooni kohta

• korratakse üle ka ruutvõrrand.

35

Ruutfunktsiooni kohta tehakse kokkuvõte (joonis 18).

Joonis 18. Ruutfunktsioon.

4.2.7 Funktsiooni uurimine graafiku abil 1

Näidisülesanne on kasutatav 11 klassi matemaatika teema funktsiooni kasvamine ja

kahanemine, funktsiooni ekstreemumkohad juures.


Kasutatav programm: FUNCTION.


• ülesandes on eeldatud arvutil lahendamist;

• programm Function’ga saab väga edukalt demonstreerida kordajate mõju

funktsioonile;

• ülesanne eeldab küsitud mõistete sisulist tundmist.

36

216. Joonestage arvuti abil erinevaid funktsiooni y= graafikuid, andes vabalt

kordajatele a, b, c ja d erinevaid väärtusi. Muutes kordajate väärtusi (a=0), leidke

valem funktsioonile, mis

1) omab vaid ühte nullkohta; 2) omab kahte erinevat nullkohta; 3) omab kolme erinevat nullkohta; 4) on kogu määramispiirkonnas kasvav; 5) on kogu määramispiirkonnas kahanev; 6) omab kahte kahanemisvahemikku.

Otsitud funktsioonide analüütiline ja graafiline esitus on antud joonisel 19.

Joonis 19. Näidisülesanne 1.

4.2.8 Funktsiooni uurimine graafiku abil 2

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema funktsiooni kasvamine ja

kahanemine, funktsiooni ekstreemumkohad juures.

37

Lahendatud on ülesanne 217 esimene alaülesanne.


Antud ülesanne ja programm said valitud põhjusel, et:

• aega ei kuluks niivõrd graafiku joonestamiseks, kui selle uurimiseks;

• programm Function’ga saab väga edukalt antud funktsiooni esitada graafiliselt

ning samuti ka uurida;

• ülesanne eeldab, et õpilane teaks ja saaks sisuliselt aru, mida tähendab

funktsiooni uurimine.

217. Uurige funktsiooni tema graafiku abil.

1) y = ⏐x²-3x+2⏐

Järgmine joonis (joonis 19) esitab funktsiooni y = ⏐x²-3x+2⏐graafiliselt.

Joonis 20. Funktsioon y = ⏐x²-3x+2⏐.

Ülesande lahendamisel saadud tulemused:

X = R ja Y = [0;∞)

X+ = (-∞;1)∪(1;2)∪(2;∞)

38

X = (1;1,5) X = (2;∞) ↑ ↑

X = (-∞;1) X = (1,5;2) ↓ ↓

Xe = (1;1,5;2)

4.2.9 Funktsiooni graafiku teisendused*

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema funktsiooni graafiku

teisendused juures, mis on tärniga teema.

Lahendatud on ülesanne 233 esimene alaülesanne.



• teema on tärniga ning teda on hea läbida arvuti abil;

• programm Function’ga saab väga edukalt võrratuses esinevaid funktsioone

esitada graafiliselt ning samuti ka võrrelda;

• ülesanne eeldab, et õpilane teab, kuidas funktsioone võrrelda.

233. Kasutades vastavate funktsioonide graafikuid leidke, millal 1) (x+1)²>(x+1)³

y=(x+1)²

g=(x+1)³

Joonis 21. Näi e 3. kI vahemik

Näeme, et I vahemikus tingimus (x+1)^

II vahemikus tingimus (x+1)

disülesannII vahmi

2 > (x+1)^3 on täidet

^2 > (x+1)^3 on täide

III vahmik

ud;

tud;

39

III vahemikus tingimus (x+1)^2 > (x+1)^3 ei ole täidetud.

Seega ülesande vastuseks on, et (x+1)^2 > (x+1)^3 piirkonnas (-∞;-1)∪(-1;0).

4.2.10 Pöördfunktsioon

Näidisülesanne on kasutatav 11 klassi matemaatika teema pöördfunktsiooni juures.




• aega ei kuluks niivõrd graafikute joonestamiseks, kui nendega tegelemiseks;

• programm Function’ga saab väga edukalt joonestada antud funktsiooni kui ka

tema pöördfunktsiooni graafikut;

• ülesande lahendamisel korratakse üle õpitud omadused funktsiooni ja

pöördfunktsiooni kohta (funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on

sümmeetrilised sirge y = x suhtes; pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on

esialgse funktsiooni muutumispiirkond; pöördfunktsiooni

muutumispiirkonnaks on esialgse funktsiooni määramispiirkond).

246. Joonestage funktsiooni y=2/(x-1) graafik. Leidke selle funktsiooni

määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y.

2. Leidke vaadeldava funktsiooni pöördfunktsioon ja joonestage selle graafik.

3.Leidke pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond.

40

Joonis 22. Näidisülesanne 4.

Punase värviga joonestatud graafik: y=2/x+1.

Musta värviga joonestatud graafik: y=2/(x-1).

Funktsiooni y=2/(x-1) määramispiirkond on X = (-∞;1) ∪ (1;∞) ning

muutumispiirkond Y = (-∞;0) ∪ (0;∞). Pöördfunktsiooni y=2/x+1 määramispiirkond

on X = (-∞;0) ∪ (0;∞) ning muutumispiirkond Y = (-∞;1) ∪ (1;∞).

4.2.11 Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine

Näidisülesanded on kasutatavad 11. klassi matemaatika teema liitprotsendiline

kasvamine ja kahanemine juures.

Lahendatud on ülesanded 313 ja 299.

Kasutatav programm: TABLETALK


• programm TableTalk on väga hea programm mudelite koostamiseks: saab

küllaldaselt kasutada parameetreid ning käsitleda mitut protsessi korraga,

saadud tulemused on võimalik esitada ka graafiliselt;

• kulutada vähem aega arvutustele ning tegeleda rohkem ülesannete sisulise

lahendamisega;

41


• õpilane suudaks matemaatika tunnis õpitut ka reaalses elus rakendada;

• aidata kujundada arusaamist intressi mõistest.

313. Kui pank maksab intressi p% aastas ja panka pannakse c krooni, siis 1/n aasta

möödudes on rahasumma suurus c(1+p/100)^(1/n) krooni. Leidke, kui suureks kasvab

summa 1000 krooni 1) aastaga, 2) kuuga, 3) nädalaga, kui aastane intress on 3%.

Ülesande lahendamisel kasutatakse avaldist c(1+p/100)^(1/n), mis sisestatakse

programmi ning seejärel määratakse ära parameetreid: c, p ja n. Antud ülesandes on c

ehk algväärtus 10 000, p% on võrdne kolme protsendiga, n-i ehk ajavahemiku jaoks

on kolm võimalust: üks aasta, kuu ehk 1/12 aastat ning nädal ehk 1/52 aastat.

Tulemuseks saadi, et ühe aastaga kasvas summa 1030 kroonini, ühe nädalaga 1002,47

kroonini ning ühe nädalaga 1000,57 kroonini.

299. (täiendatud) Metsameeste hinnangu järgi on ühel metsatükil 10 000 tihumeetrit

puitu. Kui palju puitu on sellel metsatükil 10 aasta pärast, eeldusel, et puidu keskmine

juurdekasv on 2,5%. Joonesta selle kohta ka graafik ning leia kui palju puitu on sellel

metsatükil 4 aasta pärast.

Kuna me soovime teada, kui palju on puitu peale igat järgnevat aastat, siis saame

järgmise avaldise: puit*(1+juurdekasv/100). Puit tähistab puidu juurdekasvu

tihumeetrites ning juurdekasv on keskmine juurdekasv aastas. Antud ülesandes on

algväärtus (c) = 10 000 (tihumeetrit puitu), juurdekasv = 2,5%, n=10 (ajavahemik 10

aastat).

Programm arvutab puidu koguse peale igat aastat ning saab, et kümne aasta pärast on

metsatükil 12 800 tihumeetrit puitu (joonis 23).

Joonis 23.

Seejärel joonestatakse graafik puidu juurdekasvu kohta.

42

4.2.12 Logaritmfunktsioon

Näidisülesanne on kasutatav 11. klassi matemaatika teema logaritmfunktsioon juures.





• programm Function’ga saab väga edukalt joonestada antud funktsioonide

graafikuid;

• ülesande lahendamisel tuletatakse meelde logaritmfunktsiooni omadusi.

388. Konstrueerige funktsiooni y=logx graafik ning selle järgi funktsioonide y=2⋅logx

ja y=1+logx graafikud. Milline on nende funktsioonide korral määramispiirkond,

nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond, kasvamis- ja kahanemisvahemik ning

millised on ekstreemumkohad?

Joonis 24 esitab funktsioonide y=logx, y=2⋅logx ja y=1+logx graafikud.

y(x)=logx -funktsiooni graafik musta joonega

g(x)=2*logx -funktsiooni graafik sinise joonega

h(x)=1+logx -funktsiooni graafik punase joonega

Tulemused:

y(x)=logx X0 =1 X+ = (1;∞) X- = (0;1) g(x)=2*logx X0 =1 X+ = (1;∞) X- = (0;1) h(x)=1+logx X0 =0,36788 X+ = (0,36788;∞) X- = (0;0,36788)

Teooriast on teada, et antud funktsioonid on kasvavad kogu määramispiirkonnas, s.t.

vahemikus 0 < x < ∞ ning neil ei ole ekstreemumkohti, seega: Xe = ∅.

43

Joonis 24. y=logx, y=2⋅logx ja y=1+logx.

4.2.13 Siinusfunktsioon

Antud materjal koosneb kahest näidisülesandest, kus teine ülesanne on lahendatav

esimese ülesande põhjal. Valminud töö on kasutatav 11. klassi matemaatika teema

siinusfunktsioon juures.

Lahendatud on ülesande 415 ja 414 esimene alaülesanne.


Antud ülesanded ja programm said valitud põhjusel, et:



graafikuid: kui vajadus tekib saab muuta koordinaatteljestikku, suurendada

vajalikke punktide ümbrusi, kerge on leida funktsiooni null-, miinimum ja

maksimumkohti, funktsioonide lõikepunkte;

• ülesannete lahendamisel tuleb kasutada siinusfunktsiooni omadusi.

415. Lahendage võrrand 1) sinx = 1/2.

414. Lahendage võrratus 1) sinx > 1/2.

44

Järgmisel joonisel (joonis 25) on esitatud funktsioonide y = sinx ja y = 1/2 graafikud.

Joonisel on märgitud graafikute lõikepunktid vastavalt tähtedega A, B, C, D.

y=sinx

AC B D y=1/2

-7π/6 13π/6 π/6 5π/6

Joonis 25. y = sinx ja y =1/2.

Teada on, et võrrandi lahendeiks on nende joonte lõikepunktide abstsissid ning et

lõikepunktid korduvad iga 2π järel. Seega on võrrandi sinx=1/2 lahendid:

x1 = 5π/6+n⋅2π ja

x2 = 13π/6+n⋅2π.

Et sinx > 1/2, siis järelikult otsime x-telje piirkonda, kus funktsiooni y = sinx graafik

on ülalpool sirget y = 1/2. Kuna vastavad piirkonnad korduvad iga 2π järel, siis

võrratuse sinx > 1/2 lahend koosneb vahemikest 5π/6+n⋅2π < x < 13π/6+n⋅2π, n∈Ζ.

Teema koosinusfunktsioon korral võiks samuti matemaatika tundi läbi viia

arvutiklassis. Analoogilised ülesanded eelnevalt kirjeldatutele on ülesanne 426 ja

ülesanne 427.

4.2.14 Koosinusfunktsioon



koosinusfunktsioon juures.

Lahendatud on ülesande 427 esimene ja 426 teine alaülesanne.

Kasutatav programm:GRAFEQ.


45


• programm GrafEq abil saab joonestada mitut funktsiooni ühte ja samasse

koordinaatteljestikku;

• lisaks standardsetele jaotistele koordinaatteljestikul, lubab GrafEq kasutajal

defineerida oma märgistuse (mõned sageli kasutatavad jooned, näiteks arvu Pii

kordsed x-telje peal, on programmiga kaasa antud);

• ülesannete lahendamisel tuleb kasutada koosinusfunktsiooni omadusi.

427. Kasutades koosinusfunktsiooni graafikut lahendage võrrand 1) cosx = √2/2.

426. Kasutades koosinusfunktsiooni graafikut lahendage võrratus 2) cosx < √2/2.

Järgmisel joonisel (joonis 26) on esitatud funktsioonide y = cosx ja y = √2/2

graafikud. Joonisel on märgitud graafikute lõikepunktid vastavalt tähtedega A, B.

Joonis 26. y = cosx ja y = √2/2.

Teada on, et võrrandi lahendeiks on nende joonte lõikepunktide abstsissid ning et

lõikepunktid korduvad iga 2π järel, siis seega on võrrandi cosx = √2/2 lahendid:

x1 = -π/4+ n⋅2π ja x2 = π/4+ n⋅2π, kus n ∈ Ζ.

Järgnevalt lahendatakse võrratus cosx < √2/2.

Otsitakse x- telje piirkond, kus funktsiooni y = cosx graafik paikneb allpool sirget

y = √2/2. Üheks selliseks vahemikuks, nagu näha jooniselt 26, on vahemik

π/4 < x < 7π/4. Kuna vastavad piirkonnad korduvad iga 2π järel, siis võrratuse

cosx < √2/2 lahend koosneb vahemikest

..., -7π/4 < x < π/4, π/4 < x < 7π/4, 9π/4 < x < 15π/4, ...

46

ehk

π/4+2nπ < x < 7π/4+2nπ, kus n ∈ Ζ.

4.2.15 Tangensfunktsioon



tangensfunktsioon juures.

Lahendatud on ülesande 433 ja 432 teised alaülesanded.

Kasutatav programm:GRAFEQ.


• graafikute joonestamine on kiirem ja efektiivsem, kui teha seda käsitsi;

• programmis GrafEq on võimalik joonestada mitut funktsiooni graafikut ühte ja

samasse koordinaatteljestikku;




• ülesannete lahendamisel tuleb kasutada tangensfunktsiooni omadusi.

433.Lahendage võrrand tanx = -1.

432.Lahedage võrratus tanx > -1.

Programmis GrafEq joonestatakse funktsioonide y = tanx ja y = -1 graafikud.

Muudetakse koordinaatteljestikku, et oleks lihtsamini leitavad funktsiooni graafikute

lõikepunktid (joonis 27).

47

Joonis 27. y = tanx ja y = -1.

Jooniselt 27 on näha, et võrrandi lahendeiks on argumendi väärtused

-9π/4, -5π/4, -π/4, 3π/4, 7π/4, 11π/4, ... ehk

x=-π/4+nπ, kus n ∈ Ζ.

Võrratuse tanx > -1 lahend koosneb vahemikest (joonis 27)

..., -5π/4 < x < -π/2, -π/4 < x < π/2, 3π/4 < x < 3π/2, ...

ehk

-π/4+nπ < x < π/2+nπ, kus n ∈ Ζ.

4.2.16 Funktsioonid y = sin kx ja y= cos kx*

Näidisülesanne on kasutatav 11 klassi matemaatika teema funktsioonid y = sin kx ja

y= cos kx juures, mis on tärniga teema. Materjal on mõeldudt teema tutvustamiseks.

Uuritakse funktsioone y = a⋅sinx ja y = sin kx.



48



graafikuid: konstantidele saab ette anda muutumise vahemiku ning kerimisriba

abil selles vahemikus liikudes jälgida funktsiooni graafiku vastavat

muutumist;

• antud teema on tärniga teema ning tihtipeale seda teemat ei vaadeldagi, kuigi

annab hea võimaluse viia läbi matemaatika tundi arvutiklassis ning õpilastele

ülevaate funktsioonidest y = a⋅sinx ja y = sin kx.

Kõigepealt vaadeldakse funktsiooni y = a⋅sinx. Muudetakse konstandi a väärtusi ning

tehakse antud funktsiooni kohta üldistus: funktsiooni y = a⋅sinx (a>0) väärtused

võnguvad lõigus [-a;a], selle funktsiooni amplituud on a. Omandatakse mõiste

amplituut tähendus. Jõutakse tulemuseni, et funktsiooni y = a⋅sinx periood, nullkohad,

positiivsus- ja negatiivsuspiirkond, kasvamis- ja kahanemispiirkond on samad mis

funktsioonil y= sinx.

Joonis 28 esitab funktsiooni y=a⋅sinx graafikut, kui a on võrdne ühe, kahe, nelja ja

kuuega.

y=6⋅sinx

y=4⋅sinx

y=2⋅sinx

y=sinx

Joonis 28. y=a⋅sinx.

49

Järgnevalt vaadeldakse funktsiooni y = sin kx. Muudetakse parameetri k väärtusi ning

tehakse antud funktsiooni kohta üldistus: funktsiooni y = sin kx on perioodiline

perioodiga 2π/k, graafikuks on k- kordselt kokkusurutud (k>1 korral) sinusoid;

amplituut on 1.

Joonis 29 esitab funktsiooni y = sin kx graafikut, kui k on võrdne ühe, kahe ja neljaga.

y=sinx y=sin4x

y=sin2x

Joonis 29. y = sin kx.

Iseseisvaks lahendamiseks antakse õpilastele kaks harjutust.

Harjutus. 1. Uurige ja tehke üldistus funktsiooni y= a⋅sinx kohta, kui a<0.

Harjutus. 2. Uurige ja tehke üldistus funktsiooni y = sin kx kohta, kui 0<k<1.

50

5 VALMINUD MATERJALI ANALÜÜS

Miks proseminaritöö sai kirjutatud teemal: 11. klassi matemaatikatund arvutiklassis?

Oletame, et õpetaja soovib vahelduseks matemaatikatundi viia läbi arvutiklassis.

Kõigepealt peab ta välja selgitama, kas soovitud teema korral on see üldse võimalik.

Teema järgi on tal väga raske sobilikku abimaterjali või töölehte leida. Üks võimalus

on vaadata veebiaadressil www.koolielu.ee leiduvaid materjale, kuid sealt ei leia just

väga palju 11. klassi kohta käivaid materjale. Teine võimalus on sisestada

otsingumootorisse otsitava teema nimetus või külastada matemaatikaga seotuid

veebilehti. Kuid, kas õpetajal on nii palju aega, et lugeda kõiki veebilehekülgi ning

otsustada, kas kirjutist on võimalik kasutada- vaevalt. On ka kolmas võimalus: otsida

programmide kaupa, selleks on väga hea kasutada aadressi www.mathema.ee/viited.

Kuid ka see tegevus eeldab palju õpetaja aega.

Antud teema üle juureldes tekkiski mõte teha 11. klassi kohta viidete komplekt

teemade kaupa. See tähendab, et abimaterjalid on esitatud 11. klassi ainekava järgi,

veebiaadressiga kust leida ning iseloomustusega. Proseminaritöö raames koostatud

näidisülesanded on mõeldud viidete komplekti täienduseks. Nüüd näeb õpetaja kohe,

kas leidub vajalikke abimaterjale, millele toetuda matemaatikatunni läbiviimisel

arvutiklassis või ei.

11. klassi ainekavajärgsete teemade (võetud valikuliselt) kohta on koostatud

näidisülesanded, mis on mõeldud kasutada õpitu kinnistamiseks või tutvustamiseks

matemaatikatarkvara abil. Näidisülesanded on esiatud koos lahendamisõpetusega

konkreetses programmis. Eesmärgiks on, et ka õpetajad, kellel pole arvutitega suuri

kogemusi suudaksid näidisülesannete toel lahendada analoogilisi ülesandeid ning läbi

viia matemaatikatundi arvutiklassis. Enne tunni läbiviimist peaks õpetaja arvutiklassis

tehtavad ülesanded läbi lahendama antud programmiga. Õpetaja hooleks on jäetud ka

töölehtede koostamine. Nende koostamisel tuleks lähtuda konkreetse klassi

tugevusest. Näidisülesandeid valides on lähtutud sellest, et nad oleksid õpilastele

atraktiivsed (elulised).

51

Näidisülesandeid lahendades leidsin igas programmis nii puudusi kui ka häid külgi.

Järgnevalt toongi teieni programmiti minu poolt tähendatud head ja vead.

Kõigepealt võtan vaatluse alla programmi Function.

Function’i positiivsed küljed:

• lisaks kindlate arvuliste kordajatega funktsioonidele saab vaadelda ka

kordajate väärtuste sujuvat muutmist;

• kerge vaevaga on võimalik leida graafikute nullkohti, ekstreemum- ja

lõikepunkte;

• ühte aknasse saab sisestada kuni kuus funktsiooni korraga ning kõiki

funktsioone on võimalik vaadelda eraldi, ilma et peaks teisi ära kustutama;

• hea ja lihtne programm funktsiooni graafiku joonestamiseks;

• funktsioone on võimalik esitada tabelkujul;

• eestikeelne kasutajaliides;

• saab lahendada võrratusi (graafiliselt);

• hea kasutada trigonomeetriliste funktsioonide puhul, näiteks: y = a⋅sin (kx+c)

ning y = a⋅sin kx, kus c aitab arvutada võnkumise algfaasi, k muudab

võnkesagedust (minu proseminaritöös leiate funktsioonide y = a sinx ja

y=sinkx teemade käsitluse, kus õpilased peaksid näidisülesande abiga jõudma

amplituudi a ning võnkumise sisulise arusaamiseni).

Function’i negatiivsed küljed:

• programm ei suuda leida kahekordseid lõikepunkte ja nullkohti;

• enne maksimum-, või miinimumpunkti leidmist peab teadma, millise

ekstreemumpunktiga on tegemist (uue osa esitamisel oleks hea, kui õpilane

märgistaks punkti ümbruse ning programm ise annab, kas on tegemist

maksimum- või miinimumpunktiga);

• programm kasutab miinimum- ja maksimumpunkti mõistet, kuid teema

funktsiooni uurimine graafiku abil (tuletist kasutamata) juures selliseid

mõisteid ei leia, seal on vaja õpilastel leida ekstreemumkohad ehk miinimum-,

maksimumkohad- siinkohal võib õpilastel tekkida segadus;

• programm Function salvestab vaid sisestatud funktsioone ja parameetreid,

kuid mitte tööd, mis selle programmiga tehti (õpetajal ei ole mõtet lasta

52

õpilastel salvestada oma töid, vaid peab koostama töölehe, mis on koostatud

paberkandjale või mõnes tekstitöötlusprogrammis);

• programm näitab vaid täisarvulisi koordinaate.

Järgmisena vaatlen programmi TableTalk.

TableTalk’i head küljed:

• programmiga on võimalik kirjeldada väga palju erinevaid mudeleid ning neid

järk-järgult täiendada;

• tabeli rea väärtused arvutatakse eelmise rea abil;

• tulemusi saab esitada graafiliselt, mille põhjal saab kogu protsessi analüüsida;

• saab kasutada parameetreid;

• järgmisel real kirjeldatud mudel saab kasutada eelneva mudeli poolt saadud

tulemusi;

• eestikeelne kasutajaliides.

TableTalk’i negatiivsed küljed:

• parameetrid saavad olla ainult täisarvulised;

• graafikuid on raske eristada kuna joonestamisel on kasutatud ühte ja sama

värvi ning puuduvad graafikute kirjeldused (graafikud võiksid olla erinevate

värvidega);

• keerukamate mudelite korral tuleb kasutusele väga palju sulgi, mis võib nii

mõnegi õpilase ja õpetaja segadusse viia;

• mitme mudeli korral võiks programm anda erineva pikkusega tabelite

koostamise võimaluse.

Mõningaid mõtteid programmi GeomeTricks kohta.

Programmi GeomeTricks positiivsed küljed:

• eestikeelne kasutajaliides;

• lihtne sisestada funktsioone;

• saab leida funktsioonide vahelisi kaugusi;

• programm salvestab ka tehtud töö, mitte ainult sisestatud funktsioonid;

• on võimalik peita objekte;

• annab soovi korral joonestatud sirge võrrandi.

Programmi GeomeTrics negatiivsed küljed:

53

• raske märkida sirgel soovitud punkti;

• koordinaatteljestiku jaotus täisarvuline.

Tähelepanekud programmi GrafEq kohta.

Programmi GrafEq head küljed:

• saab vaadelda mitmeid funktsioone korraga;

• programm annab automaatselt iga funktsiooni graafiku erineva värviga;




• vajalikke punktide ümbrusi saab lihtsasti suurendada.

Programmi GrafEq negatiivsed jooned:

• täpseid lahendeid on raske graafikutelt välja lugeda;

• ei ole eestikeelset kasutajaliidest;

• programm ei anna ise nullpunkte, lõikepunkte ega maksimum-,

miinimupunkte;

Järgmisena vaatlen programmi StudyWorks.

Programmi StudyWorks positiivsed küljed:

• lahendab võrrandid ja võrratused ühe sammuga;

• saab korrektselt koostada valemeid ja jooniseid;

• on võimalik kasutada väga paljude erinevate teemade käsitlemisel.

StudyWorks’ga on koostatud õpetajate poolt küllaltki palju abimaterjale (töölehti,

esitlusi jms).

Programmi StudyWorks negatiivsed küljed:

• puudub eestikeelne kasutajaliides;

• programmi ülesehitus keeruline;

• programm võib olla “liiga” tark, näiteks leida lahendeid sealt, kus

koolimatemaatika jaoks neid polegi.

Töös on iga kasutatud programmi kohta tehtud lühitutvustus, et anda õpetajale üldine

ülevaade, millised on konkreetse programmi kasutusvõimalused, eelkõige 11. klassis

ning kust neid on võimalik endale installeerida.

54

Paarile programmile sai koostatud ka kasutusjuhend, sest ma ei leidnud sobivat

juhendit õpilastele, õpetajatele, mille abil kõik oleksid suutelised näidisülesannetele

analoogilisi ülesandeid lahendama. Kasutusjuhend on mõeldud kasutamiseks nii

õpetajatele kui ka õpilastele.

Soovituslik oleks õpetajal ise linkide komplekti täiendada. Selle all pean silmas, et ta

jagaks enda poolt koostatud huvitavaid töölehti teistega, pannes neid internetti üles,

näiteks aadressil www.koolielu.ee.

55

KOKKUVÕTE

Käesolev kirjutis püüab 11. klassi matemaatikaõpetajal aidata tunde

mitmekülgsemaks muuta. Märgatava osa tööst moodustavad näidisülesanded, mis on

koostatud 11. klassi teemade kohta (võetud valikuliselt) ning, mille lahendamisel

kastutati erinevaid programme.

Erinevate funktsioonide korral, kas neid siis uurides või vaadeldes nende omadusi,

sobivad kõige paremini programmid Function, StudyWorks ning GrafEq. Nimetatuid

programme saab kasutada ka erinevate võrrandite graafilisel lahendamisel. Programm

Function’i eeliseks on eestikeelne kasutajaliides, lihtsus ning võimalus sujuvalt

kordajate väärtusi muuta. Kuid kahjuks ei suuda programm leida kahekordseid

lõikepunkte ja nullkohti. StudyWorks’ga on lisaks funktsioonide graafilisele esitlusele

võimalik teha ka arvutusi, kui see osutub vajalikuks. Programmi kasutamist võib, aga

raskendada tema küllaltki keeruline ülesehitus. Soovitav oleks kasutada paralleelselt

ülesande lahendamisega kasutusjuhendit. GrafEq’t on eriti hea kasutada

trigonomeetriliste funktsioonide korral, kuna lisaks standardsetele jaotistele

koordinaatteljestikul, lubab GrafEq kasutajal defineerida oma märgistuse (mõned

sageli kasutatavad jooned, näiteks arvu Pii kordsed x-telje peal, on programmiga

kaasa antud). Puuduseks antud programmi puhul võib lugeda seda, et täpseid

lahendeid on väga raske jooniselt välja lugeda. Valminud töös on teema

lineaarfunktsioon käsitlemisel kasutatud programmi GeomeTricks, sest tema abil saab

leida sirgete vahelisi kaugusi. Antud programmiga teisi funktsioone käsitleda ei saa.

GeomeTricks on geomeetriaprogramm, mis on soovitatav esmatutvuseks

matemaatikatarkvaraga nii õpetajale kui ka õpilasele, sest programmi saab kasutada

eestikeelsena ja tegemist on suhteliselt intuitiivselt tabatava kasutajaliidesega.

Näidisülesannete lahendamisel aritmeetiline ja geomeetline jada korral on kasutatud

programmi TableTalk. Põhjusel, et on hea tabelarvutusprogramm, mis võimaldab

käsitleda protsesse, kus tabeli rea väärtused arvutatakse eelmise rea abil ning saadud

tulemusi saab antud programmiga esitada ka graafiliselt. Mudelite koostamine

arendab õpilastel arutlusoskust ja iseseisvat mõtlemist.

Töö raames tutvustati ka matemaatikatarkvara, mida 11. klassi matemaatikaõpetajal

on võimalik oma tunnis kasutada ning anti juhiseid, kust kohast on võimalik leida

56

vajalikke programme ja abimaterjale. Programmide Funktion, TableTalk ja

StudyWorks kohta koostati kasutusjuhendid, mille abil kõik õpilased ja õpetajad

oleksid suutelised näidisülesannetele analoogilisi ülesandeid lahendama. Leiate ka

viidete kogumiku koos iseloomustustega internetis leiduvate töölehtede,

õppematerjalide ja esitluste kohta. Viited on esitatud teemade kaupa, et õpetajal oleks

lihtne leida konkreetse teema kohta töölehte või õppematerjali. Aluseks on võetud 11.

klassi ainekava. Lisaks arutleti arvuti kasutamise vajalikkuse üle matemaatikatunnis.

Analüüsi osas toodi välja kasutatud programmide head ja vead.

Valminud materjal on mõeldud 11. klassi matemaatikaõpetajatele ja ka teistele

huvilistele.

57

KASUTATUD KIRJANDUS

1. http://www.mathema.ee/ (1.nov. 2005 seisuga)

2. http://www.koolielu.ee/pages.php/0302 (1.nov. 2005 seisuga)

3. http://www.hot.ee/ingridringi/ (1.nov. 2005 seisuga)

4. http://www.hot.ee/grafeq/ (1.nov. 2005 seisuga)

5. Tõnisson, E. Mõned võimalused arvuti kasutamiseks matemaatikaõppes. –Rmt:

Matemaatika õpetamisest koolis. Lepmann, T. Tallinn: Argo, 2004, lk 143-151.

6. Prank, R., Issakova, M. T- algebra on varsti tulemas.- Rmt: Koolimatemaatika 32/

Tartu Ülikool ja Eesti Matemaatika Selts. Tartu: Tartu Ülikooli kirjastus, 2005, lk

64-65.

7. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika 11. klassile, Tallinn,

Koolibri, 2001.

58

Documents

11. klassi matemaatikatund arvutiklassis · 2013-07-15 · • heade eestikeelsete programmide puudumine või vähesus koolis; • õpetajate suur ülekoormus. Põhiliselt tuntakse