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TEMA 1.- PROBABILIDAD.-CURSO 2016/2017

1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

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1.1. INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS.

El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar de

manera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre, llamados fenómenos aleatorios y que son el objeto de estudio de este tema.

Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado, número de veces que hay que lanzar una moneda para obtener cara o tiempo hasta que se imprime un trabajo La axiomática de Kolmogorov nos permite definir una medida de

la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado a un fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos probabilidad del suceso.

Los fenómenos aleatorios se estudian mediante experimentos, llamados, experimentos aleatorios.

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DEFINICIONES

Definición 1: Llamaremos experimento aleatorio a un experimento que cumple: a) Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del

mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles del experimento. b) El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas

condiciones. Definición 2: Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y lo denotaremos por E, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Cada uno de estos resultados posibles se llama suceso elemental. El espacio muestral puede ser finito, infinito numerable e incluso infinito no numerable.

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Definición 3: Llamaremos suceso compuesto o simplemente suceso, a cualquier subconjunto del espacio muestral E. Los sucesos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,,…Los elementos con minúsculas: a,b,.. Un conjunto o suceso A se caracteriza mediante la propiedad que cumplen todos sus elementos o dando todos sus elementos, entre llaves. Llamaremos suceso seguro al que se verifica siempre (notación: E ). Llamaremos suceso imposible al que no se verifica nunca (). Ejemplo 2: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso A: obtener un 5 o A = {5}. A es un suceso elemental. Suceso B: obtener un número par o B = {2, 4, 6}. B es un suceso compuesto. Suceso C: obtener un número mayor que 6 o C = . C es un suceso imposible. Suceso D: obtener par o impar o D = E. D es un suceso seguro.

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Definición 4: Se llama espacio de sucesos al conjunto S formado por todos los sucesos (elementales y compuestos) incluidos el suceso imposible y el suceso seguro. Este conjunto puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable. Ejemplo 3: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Espacio de sucesos: S = { , E, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2},{1,3},….,{5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},…,{4,5,6},…..,{1,2,3,4,5},…., {2,3,4,5,6}} En este caso, el número de elementos de S es 26.

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OPERACIONES CON SUCESOS

Sean A y B dos sucesos cualesquiera de E asociados a un experimento aleatorio, entonces:

a) Llamamos suceso unión de A y B y lo designamos por A B , al suceso que resulta cuando ocurre A o B o ambos a la vez.

b) Llamamos suceso intersección de A y B y lo designamos por A B , al suceso que resulta cuando ocurren a la vez A y B. Decimos que A y B son disjuntos o incompatibles si A B .

c) Llamamos suceso contrario o complementario de A y lo designamos por A , al que se verifica cuando no lo hace A.

d) Llamamos suceso diferencia de A y B y lo designamos por A-B al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observemos que A B A B .

e) Decimos que A está contenido en B (A implica B) y lo designamos por A B , si siempre que ocurre A ocurre B.

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Conmutativa : A B B A A B B A

;A A A ;A E E A E A

Asociativa: A B C A B C

A B C A B C

;A A A A A A

Distributiva: A B C A B A C

A B C A B A C

para cualquier

A A B A B

B

Leyes de De Morgan: A B A B A B A B

;A A E A A

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A partir de un enunciado será imprescindible escribir en notación conjuntista un cierto suceso. Ejemplo 4:

También es importante conocer los elementos de algunos sucesos sencillos Ejemplo 5: hacer problema 1 a) de la hoja de problemas

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DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Definición Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sea una -álgebra de sucesos de E (subconjunto de S con buenas propiedades). Diremos que la aplicación :P es una PROBABILIDAD si verifica los siguientes axiomas: Axioma 1 , 0A P A 1Axioma 2 P E Axioma 3 Si i i I

A , son sucesos incompatibles dos a dos, es decir,

i jA A i j , entonces

i ii Ii I

P A P A

,

donde I puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable .

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La función probabilidad asigna a cada suceso A un número entre 0 y 1: Si P(A) es cercana a 0, indica posibilidad pequeña de que ocurra el

suceso A. Si P(A) = 0, es imposible que ocurra A. En este caso A . Si P(A) es cercana a 1, indica posibilidad alta de que ocurra el suceso

A. Si P(A) = 1, A ocurre con total seguridad. En este caso, A = E

PROPIEDADES CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS Propiedad 1 Si A , entonces 0 1P A

Propiedad 2 1P A P A ( también se escribe 1P A P A ) Propiedad 3 0P

Propiedad 4 Si A es un suceso cualquiera, siempre se verifica que P A P A B P A B

siendo B cualquier suceso. Propiedad 5 P A B P A B P A P A B

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Propiedad 6 Si ,A B son tales que A B , entonces o P A P B o P B A P B P A .

Propiedad 7 Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces P A B P A P B P A B

Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces

P A B C P A P B P C

P A B P A C P B C P A B C

Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos 1

1 2 1 21

... ... 1 ...n n n

nn i i j i j k n

i i j i j kP A A A P A P A A P A A A P A A A

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Propiedad 8 (Regla de Laplace) Sea E un espacio muestral FINITO 1 2, ,..., nE A A A asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan

probabilidades a cada suceso elemental 1,2,...,iA i n entonces para cualquier subconjunto B de E, la probabilidad de B se calcula como

j

jA B

P B P A

En concreto, si los sucesos 1,2,...,iA i n son IGUALMENTE POSIBLES, (es decir, 1/iP A n ) entonces,

ºde elementos de casos favorables aºde elementos de casos posibles del experimento

k n B BP Bn n E

. Para aplicar la regla de Laplace hay que contar el número de elementos de un conjunto. Necesitaremos utilizar el Análisis Combinatorio.

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ANALISIS COMBINATORIO Si tengo n elementos y quiero contar cuántos grupos de k elementos puedo hacer, debo de responder a tres preguntas:

P1: ¿Importa el orden de los k elementos dentro de un grupo? P2: ¿Se pueden repetir los elementos dentro de un grupo? P3: ¿ k < n o k = n? (Si hay repetición puede pasar que k > n)

Variaciones Variaciones

con repetición

Combinaciones Permutaciones Permutaciones con repetición

P1 SI SI NO SI SI P2 NO SI NO NO SI P3 k < n k < n, k = n

ó k > n k < n k = n k = n

1 1

n kV

n n n k

,

...

kn kVR n,

n k

n nCk k n k

,

!! !

nP n !1 2

1 2

1 2con

r

nk k k

r

r

nPRk k k

k k k n

, ,..,!

! ! ... !...

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EJEMPLOS REGLA DE LAPLACE

Ejemplo 6: Se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de: a) Obtener 2 cruces b) Obtener al menos dos cruces. Ejemplo 7: Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Se sacan dos bolas al azar sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Al menos una sea negra. Observación: comentar los resultados si las dos bolas se hubiesen sacado a la vez. Idem si las dos bolas se hubiesen sacado sin reemplazamiento.

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1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA. Si se dispone de información adicional sobre un experimento, por ejemplo, si sabemos que cierto suceso A se ha verificado, esta información puede modificar (o no) la probabilidad de ocurrencia de un suceso B. Ejemplo 8 Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española y los sucesos A: extraer figura y B : extraer rey.

12 340 10

P A y 4 140 10

P B . Supongamos ahora que se repite el experimento y al extraer la carta alguien nos dice que ha salido una figura. En este caso la probabilidad de obtener un rey, usando la regla de Laplace es:

4 1 1sabiendo que ha ocurrido12 3 10

P B A P B Al conocer que ha ocurrido A, el espacio muestral inicial, E, se ha modificado dando lugar a un nuevo espacio muestral E´: las 12 figuras de la baraja.

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Definición Sean sucesos yA B . Llamaremos probabilidad de B condicionada por A a la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurrido A. Se denota por P B A y si 0P A , se calcula como

P B AP B A

P A

Vamos a calcular P B A del ejemplo 8 con esta regla de cálculo y comprobar que se obtiene el mismo resultado que usando la regla de Laplace con E´. Observaciones: 1. yP A P A B que aparecen en la fórmula se calculan sobre el espacio muestral inicial E. 2. En general, es complicado usar directamente la Regla de Laplace para calcular P B A  porque es difícil conocer el espacio modificado E´. Entonces, en casi todos los casos usaremos la regla de probabilidad anterior para calcular probabilidades condicionadas.

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3. La probabilidad condicionada es una PROBABILIDAD y, por tanto, cumple los axiomas de la probabilidad y TODAS las propiedades que se derivan de los mismos. Por ejemplo, / 1 /P A B P A B .

4. Despejando de la igualdad anterior, también tenemos una regla para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos:

P B A P A P B A

5. Si aplicamos la regla de probabilidad condicionada a P A B tenemos:

P A BP A B

P B

.

Esto permite dos igualdades más:

) / /

/) /

a P A B P A B P B P B A P A

P B P A Bb P B A

P A

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6. En ejercicios es importante detectar si nos preguntan por / óP B A P B .

7. No confundir tampoco / conP B A P A B . En la primera, A ya ha ocurrido y en la segunda los dos sucesos A y B están por ocurrir.

8. La igualdad P B A P A P B A

se puede generalizar al caso de 3 sucesos como: P A B C P A P B A P C A B

Esta regla se llama REGLA DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA. Se puede generalizar al caso de n sucesos: 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1... ... / ...n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A

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INDEPENDENCIA DE SUCESOS Hay ocasiones donde la información que proporciona saber que ha ocurrido un determinado suceso NO INFLUYE sobre la probabilidad de otros sucesos relacionados con el anterior. Ejemplo 9: En el experimento de extraer una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos B: sacar un rey y C : sacar un oro

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P B C P B Se dice entonces que los sucesos B y C son independientes. Definición Sean sucesos yA B . Se dice que A y B son independientes si

P A B P A P B A P B . En caso contrario, se dice que los sucesos son dependientes o que no son independientes. En el ejemplo 8 los sucesos A: extraer figura y B: extraer rey no son independientes.

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Teorema Sean sucesos yA B . Entonces, A y B son independientes P A B P A P B .

Ejemplo 10: En una población, el porcentaje de personas que toman café es del 80%, las que toman té son un 30% y las que no toman ni té ni café son un 10%. Estudiar si los sucesos “tomar café” y “tomar té” son independientes. Observaciones: 1. Suele ser más fácil ver si dos sucesos son independientes o no usando el

teorema que usando la definición. 2. No asumir nunca que dos sucesos son independientes a no ser que el

enunciado lo indique o que lo hayamos demostrado. Normalmente cuando os piden calcular P A B siempre hacéis P A P B y esto solamente es cierto si sabéis que A y B son

independientes

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3. No confundir la propiedad de independencia con el hecho de que dos sucesos sean disjuntos. De hecho, se verifica que: si A y B son disjuntos entonces A y B NO son independientes si A y B son independientes entonces A y B NO son disjuntos.

Ejemplo 11: Al lanzar un dado, sean A: obtener un nº mayor o igual que 5, B: obtener par y C: obtener número menor o igual que 2. Demostrar que:

a) A y C son disjuntos pero no son independientes. b) A y B son independientes pero no son disjuntos.

4. Propiedad: A y B son independientes yA B son independientes yA B son independientes yA B son independientes.

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INDEPENDENCIA PARA TRES O MÁS SUCESOS Definición: Sean 1, , nA A sucesos cualesquiera, se dice que son sucesos independientes si, para todo subconjunto 1

, ,ki iA A de 1, , nA A se verifica que

1 1k ki i i iP A A P A P A . Por ejemplo, para demostrar que tres sucesos A, B y C son independientes hay que verificar las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

4.

P A B P A P B

P A C P A P C

P B C P B P C

P A B C P A P B P C

Por tanto, es difícil demostrar que más de 3 sucesos son independientes ¿qué casos nos pueden aparecer en problemas?

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CÁLCULO DE INTERSECCIONES EN PROBLEMAS CASO 1: Si nos dicen que n sucesos son independientes, usarlo para calcular probabilidades de intersecciones de cualquier subconjunto de ellos y sus complementarios, multiplicando las probabilidades. Ejemplo 12:

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CASO 2: Si los n sucesos NO son independientes (porque no nos lo dicen, o porque no es obvio o no lo sabemos demostrar) para calcular probabilidades de intersecciones hay que usar la Regla de la Probabilidad Compuesta, ya enunciada para tres sucesos:

P A B C P A P B A P C A B  También se enunció para el caso de n sucesos. Ejemplo 13: Se sacan tres bolas al azar sin reemplazamiento de una urna donde hay 4 blancas y 2 negras. Calcular la probabilidad de que las 3 sean blancas.

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1.4. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: Sean 1 2, , nA A A sucesos tales que verifican:

1) 1

n

ii

A E

2) , , 1,2,...,i jA A i j i j n . Sea S un suceso cualquiera. Entonces SIEMPRE se verifica que:

1 1 2 21

...n

i i n ni

P S P A P S A P A P S A P A P S A P A P S A

TEOREMA DE BAYES: En las hipótesis del teorema anterior, para un 1,2,...,j n determinado se tiene que:

1

j jj n

i ii

P A P S AP A S

P A P S A

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Observación: La dificultad fundamental de aplicación de estos teoremas suele ser que los sucesos Ai 1,2,...,i n no están definidos en el enunciado del ejercicio sino que los debe de definir el usuario de forma que:

a) Al definir los sucesos Ai debe de ser más sencillo calcular y / quei iP A P S A P S .

b) Los sucesos Ai deben definirse de manera que cumplan las dos condiciones para poder aplicar los teoremas (recoger todas las posibilidades y ser disjuntos 2 a 2).

Ejemplo 14: Se compra un lote de CD´s de tres marcas diferentes: 500 CD´s de la marca A, 400 de la marca B y 100 de la marca C. Se sabe que el porcentaje de CD´s defectuosos para cada una de las marcas es del 1% para A, el 1.5% para B y el 2% para la marca C. Si se toma un CD al azar del lote,

a) Calcular la probabilidad de que el CD elegido sea defectuoso. b) Si el CD elegido no ha sido defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de la marca A.

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RESUMEN TÉCNICAS PARA TRATAR PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Casos favorables a A1 (Regla de Laplace)

Casos posibles

2. Escribir A en términos de uniones, intersecciones o complementariosde sucesos más sencillos para los que si sabemos calcular la probabilidad

3. Utilizar el teore

CASO 1

m

P A

.

: ( )

a de la Probabilidad Total

1

1

1. Regla de Laplace (DIFÍCIL; sólo si sabemos cómo B modifica )

2

3. T. Bayes si se usa TPT para

4. Considerar u

CAS

s

O 2

n

ki i

j jkj

j jj

EP A B P A P B A

P B P BP A B P A P B A P B P A P B A

P A P B A

A B C

( ) ( ) ( / ).( ) ( )

: ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( ( ) ( ) ( / ))( ) ( / )

/ uceso y aplicar del caso 1 DIFÍCILP C

( )

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TÉCNICAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES DE INTERSECCIONES

1 sirve siempre

2 sirve sólo si y son independientes)

3 Considerar y aplicar cálculo de del caso 1

P A P B A P B P A B

P A B P A P B A B

A B C P C

. ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

( ) . ( ) ( ) (

. ( )

1 2

1 2 1 2

1. Regla deProbabilidad compuesta (sirve siempre)

2 sirve sólo si son independientes) n

n n

P A A AP A P A P A A A A

( ... ). ( ) ( ) ... ( ) ( , , ...,