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8/12/2019 10Deformacaocor

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Vlter Lcio Maio 2006 1

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I fctfct -- UNLUNL

1010ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I

1010ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOPROGRAMAPROGRAMA

1.Introduo ao beto armado

2.Bases de Projecto e Aces3.Propriedades dos materiais: beto e ao4.Durabilidade5.Estados limite ltimos de resistncia traco e compresso6.Estado limite ltimo de resistncia flexo simples

7.Estado limite ltimo de resistncia ao esforo transverso8.Disposies construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhao

10.10.Estados limite de deformaoEstados limite de deformao11.Estados limite ltimos de resistncia flexo composta com esforo normal e flexodesviada12.Estados limite ltimos devido a deformao estrutural13.Disposies construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite ltimo de resistncia toro


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NDICENDICE1. Controlo da deformao2. Deformao elstica3. Efeito da fendilhao do beto

4. Efeito da fluncia do beto5. Efeito da retraco do beto6. Clculo da deformao em vigas de beto armado

a. Clculo por integrao numricab. Clculo aproximado

c. Momentos de Inrcia em secofendilhada e no fendilhada7. Regras prticas para dispensa do clculo

A deformao de um elemento de beto armado sujeito a esforos detraco ou flexo devem ter em considerao, para alm das caractersticasde deformabilidade do beto e a existncia de armaduras longitudinais, afendilhao do beto e o comportamento diferido do beto, em resultado dasua fluncia e retraco.


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1.1. CONTROLO DA DEFORMAOCONTROLO DA DEFORMAOA deformao deve ser controlada para no comprometer o funcionamento e oaspecto da estrutura.

A deformao no deve condicionar o funcionamento de equipamentos ou

mquinas, nem deve proporcionar a acumulao de guas pluviais ou outras.A deformao da estrutura no deve pr em causa a integridade de elementos noestruturais, tais como: paredes divisrias, envidraados, revestimentos ou outrosacabamentos.

LIMITES PARA A DEFORMAOEm edifcios correntes, a flecha de uma viga em relao aos seus apoios,determinadas para a combinao de aces quase permanente,no deve exceder amax= /250.

Para reduzir a flecha pode serutilizada uma contra-flecha, a qualtambm no deve exceder /250.

Para no danificar os elementos no estruturais susceptveis de serem

danificados, a deformao que ocorre depois da construo desses elementosdeve ser limitada a amax= /500, para a combinao de aces quase permanente.

a

Contra-flecha


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2. DEFORMAO ELSTICA2. DEFORMAO ELSTICA

MM

r

1

2

a

r raio de curvatura.1 e 2 extenses na fibra superior e inferiorda viga, respectivamente.

1/r curvatura.

2 - 1

-y1

y2

h

(PTV) PRINCPIO DOSTRABALHOS VIRTUAIS dxM

r

1a

hr

112

= h yyIEM 12 = IEM=E

11

=I

yM

E

1 1=E

22

=I

yM

E

1 2=

1

+M+M


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3.3. EFEITO DA FENDILHAO DO BETOEFEITO DA FENDILHAO DO BETON N

Tirante

cI

sI= f

ctm

sII= N / As

Em seco no fendilhada:

N

Ncr= fctm Act

NcrSEC

ON

OF

ENDILHADA

-I

NR

SEC

OFEN

DILH

ADA-I

I

I= sI x = cI x

Em seco fendilhada: II = sII x

cI= cI/Ec

sII= sII/ EssI= sI/Es

(1-)I

II

I

II

Seja: I= (1-) e

II=

Ento: = II + (1-) IN N

Zonafendilhada

Zona nofendilhada

II

= I= (1-)

I

II


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N N

TiranteN

NcrSECO

N

OF

ENDILHADA

-I

NR

SEC

OFEN

DILHA

DA-

II

(1-)I

II

A variao de comprimento do tirante dada pela soma das variaesde comprimento de cada uma das zonas: =

II+ (1-)

Im = / = sII + (1-) sI

N NZona

fendilhadaZona no

fendilhada

II

= I= (1-)

I

II

A zona no fendilhada (1-) correspondeao comprimento que tem umcomportamento igual ao da secono fendilhada.

A zona fendilhada corresponde aocomprimento que tem um comportamentoigual ao da seco fendilhada.

Como I= sI x e II = sII x ento:

cI= cI/Ec

sII= sII/ EssI= sI/Es


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designa-se por coeficiente de distribuio, corresponde percentagem doelemento de beto armado que tem um comportamento semelhante ao de umaseco fendilhada: 2

s

sr1

= 0 se a zona em anlise no possui seces fendilhadas, isto , se N Ncrnocaso de traco pura, ou se M Mcrno caso de flexo simples.

um coeficiente que tem em conta a influncia da durao, ou da sua repetio,da aco na extenso mdia e toma o valor: = 1.0 para um nico carregamento de curta durao; = 0.5 para cargas repetidas ou de longa durao.s a tenso na armadura traccionada calculada para a seco fendilhada e para acombinao quase permanente de aces;sr a tenso na armadura traccionada calculada para a seco fendilhada e parao efeito das aces que provocam a fendilhao, isto , para Ncrno caso detraco pura, ou Mcrno caso de flexo simples.

2

crM

M1 2

crN

N1 Devido linearidade entre as tenses

s e sre os esforos N ou M, podeser apresentado nas formas:


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EM VIGASPodemos generalizar o modelo de comportamento anterior paraa flexo em vigas, uma vez que a curvatura por flexo tambmpode ser traduzida em termos de deformaes no ao e no beto:

Zona nofendilhada

II

= I= (1-)

Zonafendilhada

MM

x

MM

dr

1 cs =IE

M=

M

1/r

McrSEC

ON

OF

ENDILHADA

-I

MR

SEC

OFEN

DILH

ADA-

II

1/rI 1/rII

1/rm

Ento, na zona no

fendilhada (zona I): II IE

M

r

1

c=e na zona fendilhada(zona II):

Mcr= fctm wc

IIII IE

M

r

1

c

=


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4.4. EFEITO DA FLUNCIA DO BETOEFEITO DA FLUNCIA DO BETOFluncia (creep em ingls) a deformao do beto ao logo do tempo sob cargaconstante.c

tt00

c0cc,t

t

cc

c,t = c0 + cc

cc(t,t0) = (t,t0) x c0

O beto, sujeito a uma tenso no instante t0 sofreuma deformao instantnea c0, a qual aumentacom o tempo, atingindo o valor c,t no instante t.cc a deformao por fluncia entre t0 e t.

A tempo infinito t a deformao toma o valor c .O coeficiente de fluncia (t,t0) a relao entre a deformao por fluncia e adeformao instantnea: (t,t0) = cc/ c0

cc(t,t0) = (t,t0) x c/EcO coeficiente de fluncia funo do mdulo de elasticidade tangente Ec = 1.05 Ecm


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c,t = c0 + (t,t0) x c0 c,t = (1+ (t,t0)) c0c,t = (1+ (t,t0)) c/Ec c,t = c/ [Ec/(1+ (t,t0))]

Ec,eff= Ec/(1+ (,t0))

Das expresses anteriores:

A fluncia depende, principalmente:da idade do beto t0 em que aplicado a tenso,da idade do beto t em que medida a deformao,da geometria da seco (h0),

da humidade relativa RH,da classe de resistncia do cimento

Designa-se por mdulo de elasticidade efectivo o valor do mdulo de elasticidade

que tem em considerao a deformao total por fluncia do beto:

Nas expresses anteriores, usadas para determinao da deformao, deve serusado o mdulo de elasticidade efectivo:

Igualmente, na quantificao do coeficiente de homogeneizao paradeterminao das caractersticas geomtricas das seces de beto armado,deve ser usado o mdulo de elasticidade efectivo: e = Es/ Ec,eff

II IE

M

r

1

eff,c= IIII IEM

r

1

eff,c=e


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01,02,03,04,05,06,07,0

100

50

30

1

2

3

5

10

20

t 0

(, t 0)

S

N R

100 300 500 700 900 1100 1300 1500

C20/25

C25/30

C30/37C35/45C40/50

C45/55C50/60C55/67

C60/75C70/85C90/105

C80/95

h 0(mm)

t 0

01,02,03,04,05,06,0100

50

30

1

2

3

5

10

20

(, t 0)

S

N R

C20/25C25/30C30/37C35/45

C55/67C70/85C90/105

C80/95

C45/55C40/50

C60/75C50/60

100 300 500 700 900 1100 13001500h 0 (mm)

1

2 3

4

5

(,t0) o valor final docoeficiente de fluncia.

t0

a data docarregamento em dias.

h0 a espessuraequivalente da seco

= 2Ac/u, onde Ac a

rea da secotransversal de beto eu o permetro da parteda parte da secoexposta secagem.

N, R e S so diferentesclasses de resistncia docimento (ver EC2 3.1.2(6)).

Ambiente interior RH = 50%

Ambiente exterior RH = 80%

COEFICIENTE DEFLUNCIA


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5.5. EFEITO DA RETRACO DO BETOEFEITO DA RETRACO DO BETOA retraco (shrinkage em ingls) do beto consiste na reduo gradual de volumedo elemento de beto, devido secagem, auto-dessecao e carbonatao damassa de beto endurecida.A deformao por retraco independente do estado de tenso.

A retraco por auto-dessecao, ou retraco autognea, est associada hidratao docimento, desenvolvendo-se principalmente nos primeiros dias da cura do beto.

A retraco por secagem do beto evolui lentamente e resulta da migrao da gua atravsdo beto endurecido. a parcela mais importante na deformao por retraco do beto.

A retraco por carbonatao corresponde reaco entre o dixido de carbono do ar coma pasta de cimento hidratado ao longo do tempo.

A retraco plstica do beto ocorre na fase de beto fresco, no sendo de considerar paraefeito da deformao dos elementos de beto, e pode ser controlada atravs de uma cura,compactao e composio do beto convenientes.

O valor da extenso por retraco cs pode ser dado pela soma das duas principaisparcelas: a retraco por secagem cd e a retraco autognea ca.cs = cd + ca


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cd() = kh cd,0O valor final da retraco por secagem dado por:

cd,0 designa-se por retraco livre por secageme funo da humidade relativa do ambiente.

sd.0 x103

0,000,130,240,380,460,48C40/50

0,000,170,300,490,580,62C20/25

1009080604020

Humidade Relativa (em 0/0)

Beto

kh depende da espessura equivalente h0.

1,0

0,850,75

0,70

100

200300

500

khh0

ca() = 2.5 (fck 10) 10-6O valor final da extenso por retraco autognea :


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DEFORMAO POR RETRACOConsidere-se uma viga de beto sujeitaa uma deformao por retraco cs.Se no houver armadura, a retraco uniforme na altura da viga.

Havendo armadura, esta reagiria comuma fora igual fora de compressoque a retraco do beto lhe impe:

N = - cs Es AsSurgindo no beto, por equilbrio, umafora e um momento:

N = cs Es As ; M = cs Es As (d-x)

cs

N Nd

NNx

MM

+

=

IEM

r1

ccs=

Sendo a curvatura dada por:

IE

xdAEc

sscs =Ou seja:

I

S

r

1ecs

cs

onde e = Es/Ec,eff; S = As (d-x) o momento esttico da armadura em relao linha neutra e I o momento de inrcia da seco fendilhada, ou no fendilhada.


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6.6. CLCULO DA DEFORMAO EM VIGAS DE BETO ARMADOCLCULO DA DEFORMAO EM VIGAS DE BETO ARMADO

dxMr

1a

m

Nas zonas no fendilhadas(M < Mcr) =0.

1/rm = 1/rII + (1-) 1/rI

II IE

M

r

1

eff,c

=IIII IE

M

r

1

eff,c

=

Onde a curvatura mdia dada por:

e

Resumindo, o clculo da flecha numa viga pode serobtida usando o princpio dos trabalhos virtuais:

Com:

I

S

r

1ecs

cs

s curvaturas anteriores pode ser adicionadaa curvatura devido retraco do beto:

Onde Ec,efftem em conta a fluncia do beto

A fluncia do beto deve tambm ser considerada na determinao de II e III,respectivamente os momentos de inrcia da seco no fendilhada e da secofendilhada, onde deve ser usado o coeficiente de homogeneizao efectivoe = Es/Ec,eff

2cr

M

M1 o coef. de distribuio:


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Designa-se por deformao ou flecha instantneaflecha instantnea a que no tem em consideraoos efeitos diferidos do comportamento do beto: fluncia e retraco.Neste caso t=t0, Ec,eff= Ecm e:

II IE

M

r

1

cm

=IIII IE

M

r

1

cm

=dxM

r

1a

0,m0 1/rm,0 = 1/rII + (1-) 1/rI

Designa-se por deformao ou flecha a longo prazoflecha a longo prazo, ou valor mximo, a que temem considerao os valores mximos dos efeitos diferidos.Neste caso t = t, = (, t0), Ec,eff= Ec/(1+), cs = cs() e:

dxMr

1a,m =1/rm, = 1/rII + (1-) 1/rI


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a. Clculo por integrao numricaA integrao anterior pode ser calculada usando um mtodo numrico:

considere-se a viga representada na figura, aqual pode ser dividida num determinado

nmero de seces equidistantes. Quantomaior for o nmero de seces consideradasmenor ser o erro do resultado.

determina-se a carga para a combinaoquase permanente, Mcr, e e cs;

a integrao numrica pode ser efectuadausando, por exemplo, o mtodo de Simpson

1/rm1/rII

54

3

2

1

f1/rISIIIIIMAsSeco M dxfdxM

r

1a

m=

1

+M

+M

1 2 4 53

1 2 4 53

x

f dx = x/3 {f1 ++ 4 (f2+ f4 + f6 + ) +

+ 2 (f3+ f5 + f7 + ) + fn}

para cada seco determinam-se: As, M, M, II,III, para a retraco S, , 1/rI, 1/rII e 1/rm.


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b. Clculo aproximadoEste mtodo aproximado considera apenas as caractersticas de certas secesque se consideram determinantes no clculo da flecha.Essas Seces DeterminantesSeces Determinantes no clculo da flecha correspondem s seces demximos momentos, as quais coincidem, em regra, com as seces de mxima

curvatura de flexo.

+M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

D

MD-

M

VIGA EM CONSOLA

D

MD

+

M

VIGA ENCASTRADA APOIADA

D1

MD,1

D2

MD,2

-

+

M

VIGA BI-ENCASTRADA

D1

MD,1

D2

MD,2

- -MD,2

D2

Nos casos em apenas existeuma Seco DeterminanteSeco Determinanteconsidera-se as caractersticasdessa seco.

Nos casos em que

existem duas ou maisSeces DeterminantesSeces Determinantes,considera-se a mdia dasflechas calculadas combase em cada uma dasSeces determinantes.Seces determinantes.


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FLECHA INSTANTNEA (t=0) a0 = aII0 + (1- ) aI0

aI0 = ac/ (II/Ic) e aII0 = ac/ (III/Ic)

II e III determinados com =0.

aI0 a flecha instantnea, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante no fendilhada.

aII0 a flecha instantnea, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante fendilhada.

Seja ac a deformao elstica(*), determinada com base nas caractersticas

da seco de beto ( Ic= bh3/12 , Ecm), desprezando a presena das armaduras,

a fendilhao e a fluncia do beto., ento, fcil determinar aI0 e aII0 fazendo:

(*)

para uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuda, porexemplo: ac = (5/384) p l4/ Ecm Ic

ser determinado na Seco Determinante, com o respectivomomento flector M determinado para a combinao quasepermanente de aces e o momento de fendilhao Mcr, e = 1.0.

2cr

M

M1


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FLECHA A LONGO PRAZO (t=) a = aII + (1- ) aI

aI = [(1+) ac/1.05] / (II/Ic) e aII = [(1+) ac/1.05] / (III/Ic)II e III determinados com = (,t0)

aI a flecha a longo prazo, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante no fendilhada.

aII a flecha a longo prazo, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante fendilhada.

fcil determinar aI e aII com base em ac, modificado para ter em conta Ec,eff:

Para a flecha a longo prazo, no clculo de dever ser considerado = 0.5.


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CARACTERSTICAS DA SECO NO FENDILHADACARACTERSTICAS DA SECO NO FENDILHADA ((II))SECO RECTANGULAR

A seco homogeneizada com e = Es/ Ec,effonde Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+)e o coeficiente de fluncia.No caso de aces instantneas Ec,eff= Ecm

Posio da linha neutra:

ssss

2

'AAbh

'AaAd2

bh

x +=

Com = As/bd , = As/bd:

Para = 0 :

d

x

h

As

b

L N

As a

=

1d

hd

a

1d

h

2

1

d

xk

2

=

d

h

d

h

2

1

d

x

k

2

e com = As/As = / vem: 'bdbh

'abdbd2

bh

x

22

=

c. Momentos de Inrcia em seco fendilhada e no fendilhada

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I f tf t UNLUNL


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Momento de Inrcia em seco no fendilhada:

SECO RECTANGULAR

d

x

h

As

As

b

a

L N

II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + As (d-x)2 + As (x-a)2II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + bd3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2]II = bh3/12 { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 d/h)3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }

II = Ic { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 d/h)3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }Com Ic = bh3/12

Clculo de tenses:

xI

M

Ic

axIM'I

s xd

I

M

I

s

c

Com = As/bd e = As/ As

s

s

)xh(I

M

Ic +

s

sc-

c+

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1010ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOCARACTERSTICAS DA SECO FENDILHADACARACTERSTICAS DA SECO FENDILHADA ((IIII))

SECO RECTANGULAR A seco homogeneizada com e = Es/ Ec,effonde Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+)e o coeficiente de fluncia.No caso de aces instantneas E

c,eff

= Ecm

Posio da linha neutra: ssss

2

'AAbx

'AaAd2

bx

x +=

d

x

h

As

As

b

aL N

bx2

+ (As + As)x - bx2/2 - (dAs + aAs) = 00.5 x2 + x ( + ) d - ( d + a) d = 0

Com = As/bd e = As/bd ; fazendo = As/As = / vem:0.5 (x/d)2 + x/d (1+) - (1+ a/d) = 0

1da121dxk 2

121dxkPara = 0 :

ou:

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I fctfct UNLUNL


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ss Az

M=

Momento de Inrcia da seco fendilhada:

SECO RECTANGULAR

d

x

h

As

As

b

aL N

III = bx3/3 + As (d-x)2 + As (x-a)2III = bx3/3 + bd3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2]III

= bh3/12 { 4(x/h)3 + 12 d/h)3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }III = Ic { 4(x/h)3 + 12 d/h)3 [(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }

Com Ic = bh3/12Clculo de tenses:

xI

M

IIc

axI

M'

IIs xd

IM

IIs

Ou:

s

scc

s

s

c

Fs

Fc+Fs

z0.9d

Com = As/bd e = As/ As

Com xdA

I

zs

II



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3.374.003.093.602.753.142.332.621.822.000.50

3.063.702.823.342.522.932.172.471.731.930.45

2.753.402.543.082.292.731.992.321.631.860.40

2.443.102.262.822.062.511.812.171.521.780.35

2.122.801.982.561.822.301.622.011.391.690.30

1.802.501.702.301.572.091.421.861.251.600.25

1.482.201.402.041.311.881.211.701.091.500.201.151.901.101.781.041.660.981.530.901.390.15

0.801.600.781.520.751.440.711.360.681.270.10

0.441.300.431.260.421.220.411.180.401.140.05

0.191.120.191.100.191.090.191.070.181.060.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00

III/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/Ic1.000.750.500.250.00

1.00d/h=

1.222.081.161.941.101.771.031.580.931.360.50

1.121.971.081.841.021.700.961.530.881.340.451.021.860.991.750.941.620.891.480.831.310.40

0.921.760.891.660.861.550.821.420.781.280.35

0.821.650.801.560.771.470.751.370.711.250.30

0.711.540.701.470.681.390.661.310.641.220.25

0.601.430.591.380.581.320.571.250.561.180.20

0.481.320.481.280.471.240.471.190.461.140.15

0.351.220.351.190.351.160.351.130.351.100.100.201.110.201.090.201.080.201.070.201.050.05

0.101.040.091.040.091.030.091.030.091.020.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00


0.80d/h=

MOMENTOS DE INRCIAEM SECES RECTANGULARESDE BETO ARMADO

em seco no fendilhada: II = (II/Ic) bh3/12

em seco fendilhada: III

= (III/I

c) bh3/12

dh

As

As

b

a x = As/bd = As/ As = Es/ Ec,effEc,eff= 1.05 Ecm/(1+)a= h-d

= As/bd = As/ As

2.092.921.952.661.782.371.582.031.331.640.50

1.912.731.792.501.652.241.471.941.261.600.45

1.722.541.622.331.502.101.361.851.191.550.40

1.542.341.462.171.361.971.241.751.101.500.35

1.352.151.282.001.211.831.121.651.011.440.30

1.161.961.111.831.051.700.991.550.911.380.25

0.961.770.931.670.891.560.841.450.791.320.20

0.751.580.731.500.711.420.691.340.661.250.15

0.541.380.531.330.521.280.511.230.491.170.10

0.301.190.301.170.301.140.291.120.291.090.05

0.141.080.141.070.141.060.131.050.131.040.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00


0.90d/h=



29/35




FLECHAS ELSTICAS EM VIGASFLECHAS ELSTICAS EM VIGAS

p

a

p

a

p

a

a = 5.0 aA a = 2.5 aA a = 3.2 aA

M

a

a = (1/16) M2/EI

a

P

a = 2.08 aA a = 1.17 aA a = 1.4 aA a = 0.45 aC

p

a

p

a

p

a

p

a

a

P

a = 0.92 aA

a = 0.50 aA a = 0.70 aA a = 0.25 aC

p

a

p

P

a = 0.73 aB

a = 0.46 aB

a = (1/3) P3/EI

p

p

p

p

a = 0.27 aB

p

a a a

a a a a a

P

aA = (1/384) p4/EI

aB

= (1/8) p4/EI

aC = (1/48) P3/EI



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FLECHA A CURTO PRAZO (t=0)

EXEMPLO DE APLICAEXEMPLO DE APLICAOO

+

MD

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADApqp = 30kN/m

= 5.0mD

Viga: bxh = 0.25x0.45m d=0.40m d/h0.9

Armadura: A500NR = 0320 As= 9.42cm2 = 0.94%

Seco determinante a meio vo

Beto: C20/25 Ecm= 30GPa fctm= 2.2MPa

MD= pqp 2/ 8 = 93.8kNm Ic= bh3/12 = 1.9x10-3

Flecha elstica: ac = (5/384) p4/EcmIc = (5/384) 30x5.04/ (30x106x1.9x10-3) = 4.3mm

= Es/ Ecm = 200/30 = 6.7= 6.7x0.94% = 0.063 das tabelas: II/ Ic = 1.12 III/ Ic = 0.35

Momento de fendilhao: Mcr= fctm bh2/6 = 2200 x 0.25x0.452/6 = 18.6kNmMD > Mcr a viga est fendilhada na zona da seco determinante

= 1- (Mcr/MD)2 = 1 1.0 (18.6 / 93.8)2 = 0.96a0 = aII0 + (1- ) aI0 = 0.96 x 12.3 + (1-0.96) x 3.8 = 12.0mm

aI0 = ac/ (II/Ic) = 4.3mm / 1.12 = 3.8mm e aII0 = ac/ (III/Ic) = 4.3mm / 0.35 = 12.3mm

< /250 = 5000/250 = 20mm OK!



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fctfct UNLUNL


Coef. de fluncia =2.5FLECHA A LONGO PRAZO (t=)

= Es/ Ec,eff= 200/9 = 22.2 = 22.2x0.94% = 0.21das tabelas: II/ Ic = 1.33 III/ Ic = 0.81

= 1- (Mcr/MD)2 = 1 0.5 (18.6 / 93.8)2 = 0.98

a0 = aII0 + (1- ) aI0 = 0.98 x 18.6 + (1-0.98) x 11.3 = 18.5mmaI = (1+) ac/ (II/Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 1.33 = 11.3mmaII = (1+) ac/ (III/Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 0.81 = 18.6mm

< /250 = 5000/250 = 20mm OK!

Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+) = 1.05x30 / (1+2.5) = 9.0GPa



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7.7. REGRAS PRTICAS PARA DISPENSA DO CLCULOREGRAS PRTICAS PARA DISPENSA DO CLCULONos casos correntes, podem ser usadas regras simpli ficadasregras simplificadas de limitao darelarelao vo / alturao vo / altura tiltil da viga para evitar flechas elevadas.

O clculo das flechas s ser necessrio quando no forem respeitadas estasregras ou quando a situao em anlise no se enquadrar nos pressupostosdefinidos para as regras simplificadas.

Considere-se que para a combinacombinao quase permanenteo quase permanente de aces Mqp= MEd/1.4

Ento: s = fyd/ 1.4 = 435 / 1.4 = 310MPa para o A500

a = k1 pqp4/ Ec,effImPara uma viga, em geral,Onde Im o valor mdio do momento de inrcia da seco transversal da viga,

tendo em conta o momento de inrcia em seco no fendilhada II, o momento deinrcia em seco fendilhada III e o coeficiente de distribuio .1/Im = 1/III + (1- ) 1/II

Tomando agora s = e Mqp (d-x) / III com Mqp = pqp 2/ k2ou seja

s

= e

pqp

2 (d-x) / (k2

III

) ou pqp

2 = k2

s

III

/ [ e

(d-x)]



33/35



em a = k1 pqp4/ Ec,effIm = k1 k2 2 s,qp (III/Im) / [Ec,effe (d-x)]com Ec,effe = Ec,eff(Es/ Ec,eff) = Es

Para uma viga simplesmente apoiada k1 = 5/384 e k2 = 8

considere-se a/ = 1/250 e, como valor aproximado: Im/III= 1.2

Substituindo na expresso anterior:/d = (1/250) (0.65) (1.2) / [(40/384) (310 MPa / 200 000 MPa)] = 19.3

donde a/ = k1 k2 (/d) (s,qp/ Es) (III/Im) / (1-x/d)ou seja, a relao entre o vo e a altura til deve respeitar:

/d = (a/) (1-x/d) (Im/III) / [ k1 k2 (s,qp/ Es) ]

Como exemplo, tome-se = 0.5% e e

= 20 para determinar (1-x/d) = 0.65

121dx ee

isto , para /d 19.3 a flecha da viga inferior a /250 e verifica a segurana.

Aplicando este princpio a outras situaes obtm-se a tabela seguinte.

Substituindo pqp 2

= k2 s III/ [ e (d-x)]



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2417Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme)(em relao ao maior vo)

2014Viga simplesmente apoiada,laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direces

2618Vo extremo de uma viga contnuaou de uma laje contnua armada numa direco ou de uma laje

armada em duas direces contnua ao longo do lado maior

3020Vo interior de uma vigaou de uma laje armada numa ou em duas direces

Se s 310MPa , ou no caso de ao A400, mult ipl icar os valores anteriores por 500 / (fykAs,req/As,prov) No caso de vigas em T com b 3 bw os valores acima devem ser multip licados por 0.8.

Em geral, os valores indicados so conservativos, podendo frequentemente o clculo revelar que possvel utilizar

elementos mais esbeltos.

Para lajes armadas em duas direces, a verificao dever ser efectuada em relao ao menor vo. Para lajes fungiformes

deverconsiderar-se o maior vo.

Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vo a uma limitao menos exigente do que a devo/250. A experincia demonstrou que estes limites so satisfatrios.

86Consola

Beto levementesolicitado = 0,5%

Beto fortementesolicitado = 1,5%

Sistema estrutural

VALORES MXIMOS DEVALORES MXIMOS DE /d/d EM VIGAS E LAJES QUEEM VIGAS E LAJES QUEGARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAGARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAOO

SEM NECESSIDADE DE CSEM NECESSIDADE DE CLCULO DA FLECHALCULO DA FLECHA


ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I


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1010ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I

PROGRAMAPROGRAMA1. Introduo ao beto armado2. Bases de Projecto e Aces3. Propriedades dos materiais: beto e ao4. Durabilidade5. Estados limite ltimos de resistncia traco e compresso6. Estado limite ltimo de resistncia flexo simples7. Estado limite ltimo de resistncia ao esforo transverso8. Disposies construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhao10.Estados limite de deformao11.Estados limites ltimos de resistncia flexo composta com

esforo normal e flexo desviada12.Estados limite ltimos devido a deformao estrutural13.Disposies construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite ltimo de resistncia toro

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