ANOVA medidas repetidas
En esta revisin vamos a estudiar el test estadstico de la
Anlisis de la Varianza desribiendo sus bases tericas fundamentales
as como la forma de usarla mediante el programa SPSS 8.0.
Supongamos que queremos conocer la relacin entre el salario actual
de los empleados de un banco (variable cuantitativa dependiente) y
diversos factores (variables categricas independientes) como el
sexo, el nivel de estudios y la raza, as como variables
cuantitativas como la edad y el salario inicial cuando el empleado
entr a trabajar en la empresa. Para ello usaremos las tcnicas de
ANOVA (ANalisys Of Variance)En este esquema se indica el test
estadstico a realizar para analizar diversos tipos de estudios,
segn el tipo y nmero de variables dependientes e independientes.El
test ANOVA se aplica cuando tenemos una variable dependiente
cuantitativa, y queremos ver su relacin respecto a varias variables
independientes cualitativas denominadas factores. El anlisis de
varianza tambin permite estudiar su relacin o corregir el efecto de
variables independientes cuantitativas (edad) denominadas
covariables.En el test de ANOVA se forman subgrupos para cada nivel
de cada factor, y se compara la media de la variable de estudio
para cada subgrupo con tcnicas de correccin para comparaciones
mltiples.El resultado final del test ANOVA, en caso de resultar
singnificativo, solo establece que al menos un subgrupo del factor
considerado es distinto de los dems, sin especificar cual es ese
subgrupo concreto.
Se trata de una tcnica paramtrica, que exige igualdad de
varianzas entre los subgrupos as formados, y distribucin
aproximadamente gaussiana.El test de Levene determina si los
subgrupos tienen varianzas significativamente distintas entre s. En
tal caso, hay que tener precaucin al interpretar los resultados ya
que pueden no ser fiables.La suma total de cuadrados (SS total,
siendo SS = Sum of Squares) indica la variabilidad total de la
muestra estudiada. De hecho, la varianza es el cociente entre esta
SS y la N de la muestra estudiada.Esta SS total es la suma
algebrica de la variabilidad (SS) explicada por los factores
considerados en el modelo (efectos principales y sus interacciones)
ms la variabilidad residual, no explicada por el modelo
establecido.
SS = Sum of Squares = Suma de CuadradosMS = Mean Squares = Media
de CuadradosEn este ejemplo se estudia la influencia del nivel
laboral (5 categoras) y de una variable que combina sexo y raza de
los individuos (varon-mujer, blanco-minora = 4 categoras) sobre el
salario de los empleados corrigiendo por el efecto de la edad del
sujeto (age).Como vemos, DF es siempre igual al nmero de categoras
menos una.La media de cuadrados (MS o mean square) es el cociente
entre cada suma de cuadrados (SS) y su DF.El valor de F es el
cociente entre cada MS y el valor de MS de los residuos. Cuanto ms
elevado, ms importancia tiene ese factor en el modelo
considerado.La significacin se calcula a partir del estadstico F
mediante tablas de Sndecor con DF grados de libertad.En este
ejemplo, todos los factores y covariables son significativos,
indicando que todos estos elementos influyen en el modelo final y
por tanto en el salario de los individuos.En SPSS 8.0 se contemplan
tres tipos de ANOVA, englobados bajo el trmino GLM (General Linear
Models):ANOVA factorial general. Es el ms utilizado. Se basa en el
modelo de una variable dependiente simple antes comentado respecto
a varias variables categricas independientes entre s.ANOVA
multivariado. Cuando hay ms de una variable dependiente se usan
tcnicas de MANOVA.ANOVA de medidas repetidas (GLM Repeated
Measures) analiza grupos de variables dependientes relacionadas
entre s que representan diferentes medidas del mismo atributo, lo
que es habitual en el caso de mediciones repetidas en el tiempo.
Este modelo en cierto modo se asimila a un ANOVA para datos
apareados. En el modelo general, las variables son independientes
entre s.Los tests de ANOVA los encontramos en SPSS 8.0 en el men
Statistics > General Linear Model. Elegimos el Modelo Lineal
General Factorial.Normalmente elegimos las variables independientes
(factores) con el modelo de tipo fijo, ya que de este modo se
incluyen todas las categoras o niveles del factor considerado, en
el modelo.Si el nmero de categoras del modelo es muy elevado para
una muestra relativamente pequea, se formaran demasiados subgrupos
con pocos elemntos en cada uno de ellos, por lo que es preferible
realizar un muestreo aleatorio de categoras para establecer nuestro
modelo. Elegimos entonces el sistema de efectos aleatorios.Las
covariables son variables cuantitativas predictivas. Podemos
usarlas para corregir el efecto de esas variables en el modelo, o
bien para definir un modelo de regresin. Lo ms habitual es usar el
modelo factorial completo, en el que se toman en consideracin todas
las variables disponibles, incluyendo sus efectos principales e
interacciones a todos los niveles. Por otro lado, para expertos en
estadstica, SPSS permite definir modelos a medida con un alto grado
de flexibilidad sobre el nmero, tipo y nivel de interaccin de las
variables del modelo.Entre las principales opciones del programa
encontramos:Descriptive: produce medias observadas, desviaciones
standard, y recuento N para todas las variables dependientes en
todas las celdas o subgrupos formados. Estimates of effect size: Da
un valor parcial de eta-cuadrado para cada efecto y cada estimacin
de parmetro. Este estadistico describe la proporcion de la
variabilidad total atribuible al factor, de modo similar a R2 para
la regresin. Observed power da la potencia del test cuando la
hipotesis alternativa se establece en base al valor observado.
Parameter estimates produce the estimaciones de parametros, errores
standard, t tests, intervalos de confianza, y la potencia para cada
test.Homogeneity comprueba la homogeneidad de la varianza mediante
el test de Levene para cada variable dependiente a travs de todas
las combinaciones de factores entre-sujetos, solo para este tipo de
factores.
Los contrastes se usan para medir diferencias entre niveles de
un factor. Puede especificarse un contraste para cada factor del
modelo. Los contrastes representan combinaciones lineales de los
parmetros.Los contrastes disponibles son: desviacin, simple,
diferencia, Helmert, repetidos, y polinmicos. Para los contrastes
simple y desviacin, es posible elegir si la categora de referencia
es la primera o la ltima.Los frecuentemente usados contrastes a
priori estn disponibles para realizar pruebas de hiptesis.
Adicionalmente, despus de que una prieba F global haya mostrado ser
significativa, pueden usarse puebas post hoc para evaluar
diferencias entre medias especficas. Las medias marginales
estimadas da estimaciones de los valores de media predichos para
las celdas en el modelo, y los grficos de perfiles (interaction
plots) de estas medias te permiten visualizar fcilmente algunas de
las relaciones. Las pruebas de comparacin mltiple post hoc se
realizan para cada variable separadamente.
Los grficos de perfiles (interaction plots) son tiles para
comparar las medias marginales (medias de los subgrupos formados)
en el modelo. Un profile plot es una linea en la que cada punto
indica la media marginal estimada para una variable depiendente
(ajustada para cualquier covariable) para un nivel de un factor.
Los niveles de un segundo factor pueden ser usados para hacer
lineas separadas.Un grficos de perfiles de un factor muestra si las
medias marginales estimadas aumentan o disminuyen entre niveles.
Para dos o ms factores, las lineas paralelas indican que no existe
interaccin entre los factores, loo que significa que puedes
investigar los niveles de un solo factor. Las lineas no paralelas
indican que existe interaccin entre los factores.
Los grficos o plots (spread-versus-level y residual) son
opciones tiles para comprobar asunciones sobre los datos. El grfico
de distribucin permite observar el comportamiento de la media y la
desviacin estndard entre distintos niveles del factor. En
distribuciones paramtricas la relacin entre ambas debe ser
lineal.El grfico Residual muestra la relacin entre valores
observados y predichos as como los valores estandarizados para cada
variable dependiente, lo que es til para comprobar que las
varianzas son iguales. Lack-of-fit comprueba si las relaciones
entre la variable dependiente y las independentes pueden ser
adecuadamente descritas por el modelo.
Podemos usar el mtodo clsico de comandos mediante lneas de texto
para establecer el mtodo y designar las variables y las opciones
del anlisis a realizar. Con SPSS para Windows (versin 6 y
posteriores), es ms sencillo usar las ventanas interactivas de
SPSS, pero si deseamos automatizar el proceso para repetirlo
posteriormente deberemos pegar (paste) el comando a ejecutar en la
ventana de sintaxis y luego guardarlo en un fichero de texto
apropiado.Es siempre muy interesante repasar los valores de medias
y nmero de sujetos incluidos en cada subgrupo establecido para el
anlisis. Si la N es muy baja (lo que se da si hay muchos niveles y
variables independientes y/o la muestra es escasa), los grupos
pueden tener pocos sujetos y por tanto potencia insuficiente para
encontrar diferencias significativas.Por defecto, se usa el tipo
III de clculo de suma de cuadrados, que es el ms apropiado si no
hay casillas (subgrupos) vacias.Se muestran como resultados: la
suma de cuadrados para cada factor e interaccin as como los
residuos (error), media de dicha suma en relacin a los grados de
libertad (DF), valor de F de Sndecor para cada elemento e
interaccin, y significacin para cada elemento.La R cuadrada indica
la proporcin de varianza explicada por el modelo, y varia entre
cero y uno.En las versiones anteriores a la 7.0 de SPSS el
procedimiento ANOVA se realiza de modo distinto,permitiendo elegir
entre sistemas simples y generales, dependiendo de que se usen
modelos saturados o no saturados.Los modelos saturados son aquellos
en los que todas las variables se incluyen en el modelo. Los
factores y las covariables as como sus interacciones pueden entrar
en el modelo de forma simultnea (modelo nico) o bien en distinto
orden.Los modelos no-saturados son ms complejos. En ellos se eligen
las variables a incorporar al modelo, bien manualmente o de forma
aleatoria. Requieren conocimientos de estadstica avanzada para
tomar las decisiones ms adecuadas.Cuando solo tenemos una variable
independiente o factor, con varios niveles o categoras, utilizamos
una variante de ANOVA ms simple, denominada Oneway.
Si se especifican varias variables dependientes se realizar un
Oneway separado para cada una de ellas.Esta prueba, que es una
modalidad del Anova general, tambin es paramtrica por lo que
requiere igualdad de varianzas entre los niveles o categoras. Las
comparaciones mltiples post-hoc permiten conocer qu niveles o
categoras del factor difieren entre s, una vez deteminado que
existe al menos un subgrupo o nivel distinto de los dems mediante
la prueba de F para el conjunto de niveles.
Para cada grupo formado por un nivel o categora del factor se
muestran las estadsticas centrales: N, media, desviacin y error
estndard, mximo y mnimo.Esmuy til observar estos parmetros para
detectar valores atpicos (outliers) que pueden haberse introducido
por error en la base de datos.La inspeccin visual de la media
marginal de estos niveles o categoras frecuentemente ya revela si
hay diferencias entre ellos, siempre que stas diferencias tengan
una magnitud suficiente.El resultado del test Oneway es un valor de
F que solo indica si al menos una categora difiere
significativamente de las dems.En ejemplo aqu mostrado el resultado
es significativo, por lo que procederemos a un estudio en mayor
profundidad, mediante comparaciones post-hoc entre las categoras
del factor o variable independiente.En este ejemplo, donde se
estudia si hay diferencias de salario segn el nivel laboral, vemos
que los tres primeros grupos no son significativamente diferentes
entre s, como tampoco difieren los dos ltimos. Por tanto, hay dos
subgrupos estadticamente homogneos, uno de salario bajo formado por
los niveles 1+2+3 (trabajos de bajo nivel) y otro de salario alto
formado por los niveles 4+5 (trabajos de alto nivel).Este es el
mismo ejemplo pero con siete niveles o categoras. Aqu se forman
tres subgrupos segn su respectivo nivel de salario. Los tres
primeros tienen salarios bajos, los dos siguientes son de nivel
medio y el ltimo es de alto nivel.Se comprueba que el nivel
significacin dentro de cada subgrupo de categorias (intragrupo) as
formado no es significativo (P>0.05) mientras s lo es en las
comparaciones inter-grupos.Como en el caso del ANOVA general, es
posible mostrar gficamente la estimacin de media de subgrupo, que
corrobora as los conceptos expuestos anteriormente.En este esquema
se indica el test estadstico a realizar para analizar diversos
tipos de estudios, segn el tipo y nmero de variables dependientes e
independientes.El test ANOVA se aplica cuando tenemos una variable
dependiente cuantitativa, y queremos ver su relacin respecto a
varias variables independientes cualitativas denominadas factores.
El anlisis de varianza tambin permite estudiar su relacin o
corregir el efecto de variables independientes cuantitativas (edad)
denominadas covariables.Las pruebas no paramtricas de anlisis de
varianza son el test de Kruskal-Wallis, de comparacin de k-muestras
independientes, y el de Friedman para comparacin de k-muestras
interrelacionadas o dependientes.El equivalente al test de Oneway
para datos que no cumplen las condiciones requeridas para Anova es
el test de Kruskal-Wallis (K-W).Este procedimiento compara dos o
mas grupos de casos, definidos en la variable de agrupacin,
respecto a una variable dependiente definida en la casilla
contrastar variables.Ejemplo: Difieren tres marcas de bombillas de
100 watios en su tiempo de vida media? Con el test de
Kruskal-Wallis puede detectarse que las tres marcas ciertamente
difieren de su vida media til. Hay tres tests disponibles: H de
Kruskal-Wallis, mediana y Jonckheere-Terpstra.El test H de
Kruskal-Wallis, una extension del test U de Mann-Whitney es el
anlogo no-parametrico del test Oneway y detecta diferencias en la
situacin de la distribucion. El test de la mediana, que es una
prueba ms general pero no tan potente, detecta diferencias en la
situacin y forma de las distribuciones. Ambas pruebas asumen que no
hay un ordenamiento a priori de las k poblaciones de las que se han
extraido las muestras. Cuando hay una ordenacin natural a priori
(ascendente o descendente) de las k poblaciones,es preferible usar
el test de Jonckheere-Terpstra. Estadsticos disponibles: Media,
desviacion estandard, minimo, maximo, numero decasos no-perdidos
ycuartiles.
Como en otros tests no paramtricos, se realiza una ordenacin de
valores o ranking, y se establece el rango medio para cada nivel o
subgrupo respecto de los dems.El test de K-W compara el rango medio
alcanzado en cada subgrupo con los dems y determina si estas
diferencias son suficientemente significativas como para rechazar
la hiptesis nula.En el test de la mediana se ordenan los elementos
de cada nivel o subgrupo y se cuenta el nmero de elementos que estn
por encima y por debajo de la mediana global de la variable
dependiente.Se realiza un test de Chi-cuadrado con la tabla
resultante. Si es significativo se da el test de K-W como
significativo y se acepta que hay diferencias entres los grupos, es
decir, se rechaza la hiptesis nula.El test de Kruskal-Wallis
permite realizar pruebas de contraste segn el mtodo asinttico o el
de Monte-Carlo.Exact Tests provee dos mtodos adicionales para
calcular los niveles de significacin para los estadsticos
disponibles con los procedimientos Crosstabs y Nonparametric Tests
. Estos mtodos, el mtodo exacto y el de Monte Carlo, son un medio
para obtener resultados precisos cuado sus datos no cumplen ninguna
de las asunciones subyacentes necesarias para dar resultados
fiables mediante el mtodo estndard asinttico. Dentro de las pruebas
no paramtricas encontramos varios tests para comparar varios grupos
de muestras relacionadas. Uno de los ms usados es el de Friedman.
Esta prueba compara las distribuciones entre dos o ms
variables.Ejemplo: Asocia el pblico niveles de prestigio distintos
segn la profesin: mdico, abogado, polica, maestro? Se le pidi a 10
personas que ordenasen estas cuatro ocupaciones por orden de
prestigio. La prueba de Friedman indica que la gente realmente
asocia distintos niveles de prestigio con esas profesiones.
Estadsticos disponibles: Media, desviacion estandard, minimo,
maximo, numero decasos no-perdidos ycuartiles.Pruebas: Friedman, W
de Kendall, y Q de Cochran.La prueba de Friedman es el equivalente
no parametrico de un diseo de medidas repetidas de una muestra o un
anlisis de dos vas de la varianza, con una observacin por celda.
Friedman comprueba la hiptesis nula de que k variables relacionadas
vienen de la misma poblacin. Para cada caso, las k variables son
ordenadas en un ranking de 1 a k. El estadstico de la prueba se
basa en estos ranks. La W de Kendall es una normalizacion del
estadstico de Friedman. Kendalls W es interpretable como el
coeficiente de concordancia, que es una medida del acuerdo entre
jueces. Cada caso es un juez o evaluador y cada variable es un
elemento o persona siendo juzgada. Se calcula la suma de los ranks
para cada variable. Kendalls W varia entre 0 (acuerdo nulo) y 1
(acuerdo absoluto). Cochrans Q es identica al test de Friedman pero
se aplica cuando todas las respuestas son binarias. Es una
extension del test de McNemar a la situacin de k-muestras. Cochrans
Q comprueba la hiptesis de que varias ariables dicotmicas
relacionadas tienen la misma media. Las variables se miden sobre el
mismo individuo o sobre individuos emparejados.
El procedimiento Medidas Repetidas GLM (general linear model)
proporciona un anlisis de varianza cuando la misma medida se
realiza varias veces sobre cada sujeto o caso. Si se especifican
factores entre-sujetos, se divide la poblacin en grupos. Usando
este procedimiento de GLM pued comprobarse la hiptesis nula sobre
los efectos de los factores entre-sujetos y intra-sujetos. Pueden
investigarse adems interacciones entre factores as como los efectos
entre factores individuales.El procedimiento MANOVA o GLM
Multivariante proporciona anlisis de regresin y anlisis de varianza
para multiples variables dependientes por uno o ms factores
independientes y/o covariables. Las variables de factor dividen la
poblacin en grupos. Usando este procedimiento puede probarse la
hiptesis nula sobre los efectos de los factores sobre las medias de
varios subagrupamientos de una distribucin conjunta de variables
dependientes.Pueden investigarse interacciones entre factores as
como los efectos de factores individuales. Adems, se puede incluir
en el modelo los efectos de las covariables y las interacciones
entre covariables y factores. Para el anlisis de regresin , las
variables independentes (predictoras) se especifican como
covariables.
Ejemplo. Un manufacturador de plasticos mide tres propiedades de
la pelcula de plstico: resistencia al desgarro, brillo y opacidad.
Se ensayan dos velocidades de extrusion y dos cantidades distintas
de aditivos, y se miden tres propiedades bajo cada combinacion de
velocidad de extrusion y cantidad de aditivo. El manufacturador
encuentra que la velocidad de extrusion y la cantidad de aditivos
individualmente producen resultados significativamente distintos en
las propiedades medidas, pero que la interaccion entre los dos
factores no es significativa.Pueden comprobarse modelos
equilibrados (balanced) y desequilibrados (unbalanced). Un diseo
est equilibrado si cada celda en el modelo contiene el mismo nmero
de casos. En un modelo multivariado, las sumas de cuadrados debidas
a los efectos en el modelo y las sumas de cuadradros de los errores
estn en un formato de matriz ms que en el formato escalar existente
en el anlisis univariado. Estas matrices se denominan matrices SSCP
(sums-of-squares and cross-products). Si se especifica ms de una
variable dependiente se suministra un anlisis de varianza
multivariado usando la traza de Pillai, Wilks lambda, la traza de
Hotelling, y el criterio de la mayor raiz de Roy con tests F
aproximados, as como un anlisis univariado de la varianza para cada
variable dependiente. Adems de comprobar estas hiptesis, MANOVA
produce estimaciones de los parmetros.El procedimiento GLM de
Medidas Repetidas analiza grupos de variables dependientes que
representan diferentes mediciones del mismo atributo; proporciona
pues un Anova cuando ser realiza una misma medicin varias veces
sobre los mismos sujetos. Para usar Medidas Repetidas, los datos
deben estar dispuestos correctamente. Debe definirse al menos un
factor intra-sujetos que indica las variables que contienen las
medidas repetidas. Ntese que el o los factores intra-sujetos no son
variables existentes en sus datos sino ms bien factores que vd.
define aqu.Ntese que el rden en el que se especifican los factores
intra-sujetos es importante. Cada factor constituye un nivel dentro
del factor previo.Si se especifican tambin factores entre-sujetos,
stos dividen la poblacin en grupos. Por ejemplo, anlisis
considerando el sexo de los suejtos. Usando el procedimiento GLM
Medidas Repetidas puede probarse la hiptesis nula sobre los efectos
tanto de factores entre-sujetos como intra-sujetos. Tambin pueden
investigarse interacciones entre factores as como los efectos de
factores individuales. Adems, puede incluirse el efecto de
covariables constantes y de interacciones entre covariables con los
factores intra-sujetos.
Ejemplo. En un estudio sobre pacientes diabticos, medimos el
nivel de hemoglobina glicosilada (HbA1c) semanalmente durante 4
semanas. En el fichero de datos, cada persona es un sujeto o caso.
El valor HbA1c para cada semana se registra en cuatro variables
distintas. El sexo de cada persona se registra en otra variable.
Los valores de HbA1c medidos para cada sujeto repetidamente, pueden
agruparse definiendo un factor intra-sujetos. Ese factor podra
llamarse semana, y se define para tener cinco niveles. En la caja
de dilogo principal, las variables HbA1_s1...s4 se usan para
asignar los cuatro niveles de semana. La variable en el fichero de
datos que agrupa varones y mujeres (sexo) puede ser especificada
como un factor entre-sujetos para estudiar las diferencias entre
varones y mujeres .
De modo similar a MANOVA, el procedimiento de Medidas Repetidas
proporciona anlisis uni y multivariados para los datos medidos. Se
pueden probar modelos equilibrados y desequilibrados, dependindo de
que cada celda del modelo contenga el mismo nmero de casos o no.En
un modelo multivariado, la suma de cuadrados debida a los efectos
en el modelo y la SS de errores estan en forma de matriz mas que en
la forma escalar encontrada en el anlisis multivariado. Estas
matrices se denominan SSCP (sums-of-squares and cross-products). Si
se especifica ms de una variable dependiente se suministra un
anlisis de varianza multivariado usando la traza de Pillai, Wilks
lambda, la traza de Hotelling, y el criterio de la mayor raiz de
Roy con tests F aproximados, as como un anlisis univariado de la
varianza para cada variable dependiente. Adems de comprobar las
hiptesis, el procedimiento Medidas Repetidas produce estimaciones
de los parmetros.
Del mismo modo que vimos ya con GLM Anova, pueden usarse aqui
tambin contrastes a priori para realizar pruebas de hiptesis de
factores entre-sujetos. Adems, si el test F global ha demostrado
ser significativo, pueden usarse pruebas post-hoc para evaluar
diferencias entre medias especficas. Las medias marginales dan
estimaciones de los valores medios predichos para las celdas del
modelo, y los grficos de perfiles (interaction plots) de estas
medias permiten visuallizar fcilmente algunas de estas
relaciones.
En el ejemplo arriba mostrado no se demuestra interaccin del
factor intra-sujetos con ninguno de los factores entre-sujetos o
covariables analizadas.Estructura de los datosLas variables deben
ser cuantitativas. Los factores entre-sujetos dividen la muestra en
subgrupos discretos, como hombre-mujer. Estos factores son
categricos y pueden tener valores numricos o ser cadenas de hasta 8
carcteres. Los factores entre-sujetos se definen en la caja de
dilogo de GLM Repeated Measures Define Factor(s). Las covariables
son variables cuantitativas que estn relacionadas con la variable
dependiente. Para un anlisis de medidas repetidas, stas deben
permanecer constantes para cada nivel de una variable
entre-sujetos. El fichero de datos debe contener un conjunto de
variables para cada grupo de mediciones de los sujetos. El grupo
tiene una variable para cada repeticin de la medicion dentro del
grupo. Un factor intra-sujetos se define para el grupo con un nmero
de niveles igual al numero de repeticiones. Un ejemplo muy adecuado
para practicar con este procedimiento est incluido en SPSS 8.0 en
el fichero anxiety.sav
