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7/31/2019 101 Solution
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第 0 頁 101年指考
共 6 頁 數 學 乙
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101
作答注意事項
考試時間：80分鐘 作答方式：第壹部分請用 2 B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。
修正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選 擇題答案卷」，請在規定之欄位作答，並於題號欄標明題號。
第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。
（一） 選擇題：只用 1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到，，以及 6，7，8，9，0等格子。
例：若第 1 題為單一選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即選項(3) 時，考生要在答案卡第 1列的 劃記（注意不是 7），如：
例：若第 10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3) 時，考生要在答案卡的第 10
列的 與 劃記，如：
（二）選填題的題號是 A， B，C ，……，而答案的格式每題可能不同，考生必頇依各題 的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是 50
7
時，則考生必頇分別在答案卡的第 20列的 與第 21列的 劃記，如：
3
1 3
101 2 3 4 5 6 7 8 9 0
201 2 3 4 5 6 7 8 9 0
211 2 3 4 5 6 7 8 9 0
7
20 21
50
11 2 3 4 5 6 7 8 9 0
解 答 欄
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第 1 頁 101年指考
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說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，
請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6分；答錯、
未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 已知實係數多項式方程式 0823 bxax x 的三根相同，請問b 的值等於下列哪
一個選項？
(1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14
[
解]
：令此三相同的根為 r ，由因式定理可知 )()(8 323
xQr xbxax x ，
其中( )Q x
是 零次多項式，且比較係數後可知 ( ) 1Q x ，於是
3223323 33)(8 r xr rx xr xbxax x ，比較係數得 32 8,3 ,3 r r br a
2r , 2
3 2 12b ，正確選項為(4)。
2. 請問下列哪一個選項中的矩陣乘積等於 2 3
2 3
a b
c d
？
(1) 23
a bc d
(2) 2 3 a bc d
(3) 2 32 3
a bc d
(4)2 0
0 3
a b
c d
(5)2 0
0 3
a b
c d
[ 解]：(1)： 2 2 3
3 2 3
a b a b
c d c d
， 或直接用維度判斷其不正確。
(2)： 2 3 2 3 2 3a b
a c b d c d
， 或直接用維度判斷其不正確。
(3)： 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
a b a c b d
c d a c b d
(4)： 2 0 2 2
0 3 3 3
a b a b
c d c d
(5)： 2 0
0 3
a b
c d
=2 3
2 3
a b
c d
，正確選項為(5)。
3.一乒乓球隊有 6 位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的選手，
而己為左右手皆可持拍的選手，現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手持 拍 的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種可能的搭配？
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第 2 頁 101年指考
共 6 頁 數 學 乙
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(1) 7 (2) 9 (3) 11 (4) 13 (5) 15
[ 解]：1st
method
將所有搭配分成 與 來討論
，另一人可任選，有1 5 5
種
，有3 2 6 ，因此共5 6 11 種
2nd
method
用樹狀圖分析如右
共3 3 1 2 11 種，正確選項為(2)。
32
說明：第 4 題至第 7 題，每題有 4 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8
分；答錯 1 個選項者，得 4分；答錯多於 1 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計 算。
4. 某個城市的普查（全面調查）發現60% 的高中生有打工的經驗，也發現70% 的高中生有 意願就讀大學。如果使用簡單隨機抽樣，由該城市的高中生中抽出一位同學。請選出正確
的選項。 (1) 被抽出同學有意願就讀大學的機率為 0.7
(2) 被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至多為 0.6
(3) 被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至少為 0.35
(4) 被抽出同學有打工的經驗、但是無意願就讀大學的機率為 0.18
[ 解]：令 A 代表抽出的同學有意願就讀大學的事件；
B 代表抽出的同學有打工經驗的事件
(1)： ( ) 0.7P A , ( ) 0.6P B
(2)
(3)
：因為 ( ) ( ) 1P A P A B , ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B 整理可得0.7 ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P B P A B 0.3 ( ) 0.6P A B
(4)：因為 A與 B 不知是否為相關事件， ( ) ( ) ( )P A B P A P B 不一定成立
∴ ( ) ( ) ( ) 0.3 0.6 0.18P A B P A P B 不正確，正確選項為(1)，(2)。
5.將 2 12( ) x y 展開集項後，請選出正確的選項。
(1)24 x 的係數小於 10 7
x y 的係數 (2)
12 6 x y 的係數小於 10 7
x y 的係數 (3) 14 5 x y 的係數小於 10 7 x y 的係數
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第 3 頁 101年指考
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(4)8 8 x y 的係數小於 10 7
x y 的係數
[ 解]：由二項式定理可知 12
2 12 12 2 12
0
( ) ( )k k
k
k
x y C x y
將選項用到的係數列表如下
項 10 7
x y 24 x 12 6
x y 14 5
x y 8 8
x y
k 值 5 12 6 7 4
係數 12
5C 12
12C 12
6C 12
7C 12
4C
∵ 12 12 12 12 12
6 5 7 4 12C C C C C ，正確選項為(1)，(4)。
6.設0 1 x 。請選出正確的選項。
(1)2
x x x
(2) 2
10 10 10
log ( ) log log x x x
(3)2 2
2 10 2log ( ) log ( ) log x x x
(4) 2
10 2 10log ( ) log log x x x
[ 解]：(1)： 可以直接用左下圖的函數圖形來判斷，或利用底數介於 0, 1 之間的指數函數 圖形( 右下圖)來判斷
(2)：可以利用(1) 的結果 2 x x x 與對數函數的單調性
可知 2
10 10 1̀0log ( ) log log x x x ， 或是注意到2
10 10log ( ) 2 log x x , 10 10
1log log
2 x x
∵ 10log 0 x 為一負數，由乘數愈大其值愈小(1
2 12
) 可知 2
10 10 1̀0log ( ) log log x x x
(3)：注意到 2log 0 x 為一負數，一一比較 2log x 的乘數 2
2 2log ( ) 2 log x x
22 2
10 `2 10 2
2 2
log ( ) 2log ( ) log (2 log 2) log
log 10 log 10
x x x x
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第 4 頁 101年指考
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由 102 1 2 log 2 可知 2 2
2 `2 10log ( ) log log ( ) x x x
(4)：注意到 10log 0 x 為一負數，一一比較 10log x 的乘數 2
10 10log ( ) 2 log x x
102 1̀0
10 10
log 1log log
log 2 2 log 2
x x x
由10
12 1
2 log 2
可知 2
10 2 1̀0log ( ) log log x x x ，正確選項為(2)，(4)。
7.
所謂個人稅前所得，是指納稅義務人在納稅前之個人所得，以下簡稱所得。依
照某國 1997年的官方資料，依每人所得高低將人數等分為 5組，最高20% 的 人的總所得占全體總所得的 44.6%，而最低20% 的人的總所得占全體總所得的 3.6%，所有資料如下圖所示。所得差距倍數是指最高20% 的個人平均所得與
最低20% 的個人平均所得的比值。請選出正確的選項。
(1) 此項資料顯示所得差距倍數超過 13 倍
(2) 最高30% 的人的總所得超過全體總所得的 55%
(3) 最少有60% 的人，其個人所得低於全體平均所得
(4) 最低 20% 的人的平均所得為全體平均所得的 3.6%
[ 解]：(1)：假設全體共n人，總所得為 x
則所得差距倍數 0.446 / 0.212.3 13
0.036 / 0.2
x n
x n
(2)：第四組的最高 50% 個人平均所得 第四組的個人平均所得 0.28
0.2
x
n
所以最高 30% 的人的總所得 0.28 0.1 0.446 0.5860.2
x n x xn
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第 5 頁 101年指考
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超過全體總所得的 55%
(3)：反例如下
假設第三組的最低50%
個人平均所得為0.089
0.2
x
n
第二組的個人平均所得，則第三組的最高50% 總所得為 0.089
0.149 0.1 0.10450.2
x x n x
n
平均為 0.1045
0.1
x x
n n 全體平均所得，則第三組的最高 50% 中至少有一人所得大於平均。所
以，全體總所得最低 60% 的人中，至少有一人其所得高於全體平均所得
(4)：因為最低 20% 的人的平均所得為 0.0360.18
0.2
x x
n n 全體平均所得的 18%，正確選項
為(2)。
24
說明：1. 第 A至 C 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號(8-14)。2. 每題完全答對給 8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設 ,a b均為正整數，而方程式 2 15 0 x ax 與 2 3 1 0 x bx b 有一共同根，且此共同根
為質數，則b 。
[ 解]：∵方程式2
15 0 x ax 兩根積為 15，其中一根為質數，所以此兩根只可能是 3 與 5，分別帶入另一個方程式後，可得 12b ( 3a 時b無解)， 1 2
B.一顆特別的骰子，其六個面中有兩面為 2 點、兩面為 4 點、其餘兩面為 5 點。
假設投擲這顆骰子每面出現的機率都相等。擲這顆骰子兩次，所得點數和的數
學期望值為 。（化為最簡分數）
[ 解]：1st
method
點數和 4 8 10 6 7 9
機率 2 2 1
6 6 9
2 2 1
6 6 9
2 2 1
6 6 9
2 2 22!
6 6 9
2 2 22!
6 6 9
2 2 22!
6 6 9
∴期望值為 1 1 1 2 2 2 224 8 10 6 7 9
9 9 9 9 9 9 3 ， 10 2 11 2 12 3
2nd
method
利用期望值加法性質： ( ) ( ) ( ) E X Y E X E Y
擲這顆骰子一次，所得點數的數學期望值為 2 2 2 112 4 5
6 6 6 3 ，
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∴擲這顆骰子兩次，所得點數和的數學期望值為11 11 22
3 3 3 ， 10 2 11 2 123
C. 觀察 2 的次方所形成的等比數列： 2 3 42,2 , 2 ,2 , ，設其中出現的第一個 13 位數
為2n，則n 。（註： 2log 0.301 ）
[ 解]：由 10log 2 12n 可得 10log 2 12n ,10
12 1239.8...
log 2 0.3010n ，故 40n ，13 4 14 0
26
說明：本部分共有二大題，答案必頇寫在「答案卷」上，並於題號欄標名大題號（一、二）
與子題號（(1)、(2)），同時必頇寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必 使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆，每一子題配分標於題末。
一. 設二次實係數多項式函數 2( ) 2 f x ax ax b 在區間 1 1 x 上的最大值為 7、最小值 為 3。試求數對 ( , )a b 的所有可能值。（13分）
[ 解]： 2 2( ) 2 ( 1) f x ax ax b a x a b 。頂點坐標為 ( 1, )a b
因此若 0a ，則 ( 1) f 最小值 3 ， 1 f 最大值 7
可由 32 7
a ba a b
解出 ( , ) (1,4)a b
若 0a ，則 ( 1) f 最大值 7 ， 1 f 最小值 3
可由 7
2 3
a b
a a b
解出 ( , ) ( 1,6)a b
二. 某公司生產兩種商品，均以同型的箱子裝運，其中甲商品每箱重 20公斤，乙商品每箱
重10
公斤。公司出貨時，每趟貨車最多能運送100
箱，最大載重為1600
公斤。設甲商品每箱的利潤為 1200元，乙商品每箱的利潤為 1000元。
(1) 設公司調配運送時，每趟貨車裡的甲商品為 x 箱、乙商品為 y 箱。試列出 , x y必頇滿足 的聯立不等式。（2分）
(2) 當 , x y 的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大？此時利潤為多少元？(11分)
[ 解]：∵總箱數 100 箱 100 x y ，總重 1600 公斤 20 10 1600 x y
(2) 令利潤為m，則 1200 1000m x y
1st
method
用線性規劃
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由圖可知，在 , x y 的可行解區域中，當 60, 40 x y 時，直線 1200 1000m x y 有最大的 y 截距112000 (元)。
2nd
method 觀察到 1200 1000 800( ) 20(20 10 )m x y x y x y
且 100, 20 10 1600 x y x y ，所以 800 100 20 1600 112000m
再由 100
20 10 1600
x y
x y
，解出 60, 40 x y
![結 果 の 概 要（乙調査）[試算値] · 0/21 $$'(,( (($ & & & & & ( +( $(& + * $(* +% $$'&$+ 0324 -'.+$ +., & & & & )% - $, -) & . *& $, -',,. $&0$,2 +'*-$ ,+* & & & & +$](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5ec97e33b216631abf2786a9/c-oe-eieiec-021-.jpg)
