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0

 

101  

 

   作答注意事項   

 考試時間：80分鐘   作答方式：第壹部分請用 2 B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。

 修正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選 擇題答案卷」，請在規定之欄位作答，並於題號欄標明題號。 

  第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。 

（一） 選擇題：只用 1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到，，以及 6，7，8，9，0等格子。 

 例：若第 1  題為單一選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即選項(3)  時，考生要在答案卡第 1列的     劃記（注意不是 7），如： 

 例：若第 10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3)  時，考生要在答案卡的第 10

列的   與    劃記，如： 

（二）選填題的題號是  A， B，C ，……，而答案的格式每題可能不同，考生必頇依各題   的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。 

 例：若第 C   題的答案格式是   ，而答案是 50

7

  時，則考生必頇分別在答案卡的第 20列的   與第 21列的     劃記，如： 

 

3

1 3

101 2 3 4 5 6 7 8 9 0    

201 2 3 4 5 6 7 8 9 0    

211 2 3 4 5 6 7 8 9 0    

7 

20 21

50

11 2 3 4 5 6 7 8 9 0    

  解   答   欄 

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74  

18  

  說明：第 1  題至第 3  題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項， 

  請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6分；答錯、 

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 

1.  已知實係數多項式方程式 0823 bxax x 的三根相同，請問b  的值等於下列哪 

一個選項？ 

(1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14

[

  解]

：令此三相同的根為 r ，由因式定理可知 )()(8 323

 xQr  xbxax x ，

其中( )Q x

是 零次多項式，且比較係數後可知  ( ) 1Q x ，於是 

3223323 33)(8 r  xr rx xr  xbxax x ，比較係數得 32 8,3 ,3 r r br a  

2r  , 2

3 2 12b ，正確選項為(4)。 

2.  請問下列哪一個選項中的矩陣乘積等於 2 3

2 3

a b

c d 

？ 

(1) 23

a bc d 

 

(2) 2 3 a bc d 

(3) 2 32 3

a bc d 

 

(4)2 0

0 3

a b

c d 

(5)2 0

0 3

a b

c d 

 

[  解]：(1)： 2 2 3

3 2 3

a b a b

c d c d  

，  或直接用維度判斷其不正確。 

(2)：  2 3 2 3 2 3a b

a c b d  c d 

，  或直接用維度判斷其不正確。 

(3)： 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3

a b a c b d  

c d a c b d  

 

(4)： 2 0 2 2

0 3 3 3

a b a b

c d c d  

 

(5)： 2 0

0 3

a b

c d 

=2 3

2 3

a b

c d 

，正確選項為(5)。 

3.一乒乓球隊有 6 位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的選手，

而己為左右手皆可持拍的選手，現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手持 拍   的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種可能的搭配？ 

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(1) 7 (2) 9 (3) 11 (4) 13 (5) 15

[  解]：1st

method

將所有搭配分成   與   來討論 

，另一人可任選，有1 5 5

種  

，有3 2 6 ，因此共5 6 11 種  

2nd

method

  用樹狀圖分析如右 

共3 3 1 2 11 種，正確選項為(2)。 

32  

  說明：第 4  題至第 7  題，每題有 4 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項  畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8

分；答錯 1 個選項者，得 4分；答錯多於 1 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計  算。 

4.  某個城市的普查（全面調查）發現60%  的高中生有打工的經驗，也發現70%  的高中生有  意願就讀大學。如果使用簡單隨機抽樣，由該城市的高中生中抽出一位同學。請選出正確

  的選項。 (1)  被抽出同學有意願就讀大學的機率為 0.7

(2)  被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至多為 0.6

(3)  被抽出同學有打工的經驗、且有意願就讀大學的機率至少為 0.35

(4)  被抽出同學有打工的經驗、但是無意願就讀大學的機率為 0.18

[  解]：令  A 代表抽出的同學有意願就讀大學的事件； 

 B 代表抽出的同學有打工經驗的事件 

(1)： ( ) 0.7P A , ( ) 0.6P B  

(2)

(3)

：因為 ( ) ( ) 1P A P A B , ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    整理可得0.7 ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P B P A B 0.3 ( ) 0.6P A B  

(4)：因為  A與 B 不知是否為相關事件， ( ) ( ) ( )P A B P A P B 不一定成立 

∴ ( ) ( ) ( ) 0.3 0.6 0.18P A B P A P B 不正確，正確選項為(1)，(2)。 

5.將  2 12( ) x y 展開集項後，請選出正確的選項。 

(1)24 x 的係數小於 10 7

 x y 的係數  (2)

12 6 x y 的係數小於 10 7

 x y 的係數  (3) 14 5 x y 的係數小於 10 7 x y 的係數  

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  第 3  頁 101年指考 

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(4)8 8 x y 的係數小於 10 7

 x y 的係數  

[  解]：由二項式定理可知 12

2 12 12 2 12

0

( ) ( )k k 

k 

k 

 x y C x y

 

將選項用到的係數列表如下 

 項 10 7

 x y   24 x  12 6

 x y  14 5

 x y  8 8

 x y  

k  值  5 12 6 7 4

 係數   12

5C    12

12C    12

6C    12

7C    12

4C   

∵ 12 12 12 12 12

6 5 7 4 12C C C C C   ，正確選項為(1)，(4)。 

6.設0 1 x 。請選出正確的選項。 

(1)2

 x x x  

(2) 2

10 10 10

log ( ) log log x x x  

(3)2 2

2 10 2log ( ) log ( ) log x x x  

(4) 2

10 2 10log ( ) log log x x x  

[  解]：(1)：  可以直接用左下圖的函數圖形來判斷，或利用底數介於 0, 1 之間的指數函數   圖形( 右下圖)來判斷 

(2)：可以利用(1)  的結果 2 x x x 與對數函數的單調性 

  可知  2

10 10 1̀0log ( ) log log x x x ，  或是注意到2

10 10log ( ) 2 log x x , 10 10

1log log

2 x x

 

∵ 10log 0 x 為一負數，由乘數愈大其值愈小(1

2 12

)  可知  2

10 10 1̀0log ( ) log log x x x  

(3)：注意到 2log 0 x 為一負數，一一比較 2log x  的乘數  2

2 2log ( ) 2 log x x  

22 2

10 `2 10 2

2 2

log ( ) 2log ( ) log (2 log 2) log

log 10 log 10

 x x x x  

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4

  由 102 1 2 log 2 可知  2 2

2 `2 10log ( ) log log ( ) x x x  

(4)：注意到 10log 0 x 為一負數，一一比較 10log x  的乘數  2

10 10log ( ) 2 log x x

 

102 1̀0

10 10

log 1log log

log 2 2 log 2

 x x x  

  由10

12 1

2 log 2

可知  2

10 2 1̀0log ( ) log log x x x ，正確選項為(2)，(4)。 

7.

  所謂個人稅前所得，是指納稅義務人在納稅前之個人所得，以下簡稱所得。依 

  照某國 1997年的官方資料，依每人所得高低將人數等分為 5組，最高20%  的  人的總所得占全體總所得的 44.6%，而最低20%  的人的總所得占全體總所得的  3.6%，所有資料如下圖所示。所得差距倍數是指最高20%  的個人平均所得與 

 最低20%  的個人平均所得的比值。請選出正確的選項。 

(1) 此項資料顯示所得差距倍數超過 13 倍 

(2)  最高30%  的人的總所得超過全體總所得的 55% 

(3)  最少有60%  的人，其個人所得低於全體平均所得 

(4)  最低 20%  的人的平均所得為全體平均所得的 3.6% 

[  解]：(1)：假設全體共n人，總所得為 x  

  則所得差距倍數  0.446 / 0.212.3 13

0.036 / 0.2

 x n

 x n  

(2)：第四組的最高 50% 個人平均所得  第四組的個人平均所得 0.28

0.2

 x

n  

  所以最高 30%  的人的總所得 0.28 0.1 0.446 0.5860.2

 x n x xn

 

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  第 5  頁 101年指考 

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5

 超過全體總所得的 55%

(3)：反例如下 

 假設第三組的最低50%

 個人平均所得為0.089

0.2

 x

n

  第二組的個人平均所得，則第三組的最高50% 總所得為 0.089

0.149 0.1 0.10450.2

 x x n x

n  

平均為 0.1045

0.1

 x x

n n 全體平均所得，則第三組的最高 50%  中至少有一人所得大於平均。所

以，全體總所得最低 60%  的人中，至少有一人其所得高於全體平均所得 

(4)：因為最低 20%  的人的平均所得為 0.0360.18

0.2

 x x

n n 全體平均所得的 18%，正確選項

 為(2)。 

24  

  說明：1.  第 A至 C  題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號(8-14)。2. 每題完全答對給 8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 

A.  設 ,a b均為正整數，而方程式 2 15 0 x ax 與 2 3 1 0 x bx b 有一共同根，且此共同根

 為質數，則b   。 

[  解]：∵方程式2

15 0 x ax 兩根積為 15，其中一根為質數，所以此兩根只可能是  3 與 5，分別帶入另一個方程式後，可得 12b ( 3a 時b無解)， 1 2  

B.一顆特別的骰子，其六個面中有兩面為 2  點、兩面為 4  點、其餘兩面為 5  點。 

 假設投擲這顆骰子每面出現的機率都相等。擲這顆骰子兩次，所得點數和的數  

學期望值為  。（化為最簡分數） 

[  解]：1st

method

  點數和  4 8 10 6 7 9

機率  2 2 1

6 6 9  

2 2 1

6 6 9  

2 2 1

6 6 9  

2 2 22!

6 6 9  

2 2 22!

6 6 9  

2 2 22!

6 6 9  

∴期望值為 1 1 1 2 2 2 224 8 10 6 7 9

9 9 9 9 9 9 3 ， 10 2 11 2 12 3  

2nd

method

 利用期望值加法性質： ( ) ( ) ( ) E X Y E X E Y   

 擲這顆骰子一次，所得點數的數學期望值為 2 2 2 112 4 5

6 6 6 3 ， 

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6

∴擲這顆骰子兩次，所得點數和的數學期望值為11 11 22

3 3 3 ， 10 2 11 2 123  

C.  觀察 2  的次方所形成的等比數列： 2 3 42,2 , 2 ,2 , ，設其中出現的第一個 13 位數  

 為2n，則n   。（註： 2log 0.301 ） 

[  解]：由 10log 2 12n 可得 10log 2 12n ,10

12 1239.8...

log 2 0.3010n ，故 40n ，13 4 14 0  

26  

  說明：本部分共有二大題，答案必頇寫在「答案卷」上，並於題號欄標名大題號（一、二）

與子題號（(1)、(2)），同時必頇寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必 使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆，每一子題配分標於題末。 

一.  設二次實係數多項式函數  2( ) 2 f x ax ax b 在區間 1 1 x 上的最大值為 7、最小值 為 3。試求數對 ( , )a b 的所有可能值。（13分） 

[  解]： 2 2( ) 2 ( 1) f x ax ax b a x a b 。頂點坐標為 ( 1, )a b  

  因此若 0a ，則 ( 1) f   最小值 3 ， 1 f   最大值 7  

  可由 32 7

a ba a b

  解出 ( , ) (1,4)a b  

 若 0a ，則 ( 1) f   最大值 7 ， 1 f   最小值 3  

  可由 7

2 3

a b

a a b

  解出 ( , ) ( 1,6)a b  

二.  某公司生產兩種商品，均以同型的箱子裝運，其中甲商品每箱重 20公斤，乙商品每箱

  重10

公斤。公司出貨時，每趟貨車最多能運送100

 箱，最大載重為1600

公斤。設甲商品每箱的利潤為 1200元，乙商品每箱的利潤為 1000元。 

(1)  設公司調配運送時，每趟貨車裡的甲商品為  x 箱、乙商品為  y 箱。試列出 , x y必頇滿足   的聯立不等式。（2分） 

(2)  當 , x y  的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大？此時利潤為多少元？(11分)

[  解]：∵總箱數  100 箱 100 x y ，總重 1600 公斤 20 10 1600 x y  

(2) 令利潤為m，則 1200 1000m x y  

1st

method

  用線性規劃 

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  由圖可知，在 , x y  的可行解區域中，當 60, 40 x y 時，直線 1200 1000m x y 有最大的  y 截距112000 (元)。 

2nd

method  觀察到  1200 1000 800( ) 20(20 10 )m x y x y x y  

且 100, 20 10 1600 x y x y ，所以  800 100 20 1600 112000m  

 再由 100

20 10 1600

 x y

 x y

 ，解出 60, 40 x y