7/31/2019 101 B

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7/31/2019 101 B

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2

1. 假設 bax x x x 234 24 可以被 2 2 x x 整除，則下列有關a、b 之敘述何者正確？ 

(A) 15a (B) 0b (C) 7a b (D) 2 9a b  

[  解]： f ( x)= bax x x x 234 24 =( 2)Q( x)=( x2)( x+1) Q( x) 

 若 ( ) ( ) x a x b 為多項式 ( ) f x 的因式 ( ) ( ) 0 f a f b  

∴ f (2)=0= ba 222242 234   2a + b =8 …○1  

 f (1)=0= ba 234 )1(2)1(4)1(    a + b = 7 …○2  

○1 ○2  3a=15, a=5 ∴b= 2，a +b=3，a 2b=52(2)=9，正確選項為(D)。 

2.  已知 3 2 x ，則27x  之值為何？ 

(A)1

2(B)

1

4(C)

1

8(D)

1

16 

[

  解]：

27−=

((3

)−

)=

2−=

8

1

，正確選項為(C)

。 

3.求無窮級數  1

1

1( )

2

n

n

之和。 

(A)1

2 (B)

1

3 (C)

1

3(D)

1

6 

[  解]：1

1

1 1 

1 14 4( )1 3

2 61 ( )2 2

n

n

，正確選項為(D)。 

4.  已知  (3 , 4)a x 、 (4, 3)b 、 (3,1 2 )c y ，且 2 3 (3,1)a b c ，則3 2 x y 之值為何？ 

(A) 5 (B) 2 (C) 1 (D) 0

[  解]： 2 3 (3 , 4) 2 (4, 3) 3 (3,1 2 )a b c x y (3 , 4) (8, 6) ( 9, 3 6 ) x y  

(3 8 9,4 6 3 6 ) x y

( 2,6 5) x y

(3,1)

156

32

 y

 x

 

∴ x =1, y =1；3 2 x y =5，正確選項為(A)。 

5.  已知圓的面積為9 ，圓的方程式為 2 22 2 4 4 0 x y x y k  ，則k  之值為何？ 

(A) 7   (B) 14 (C) 21 (D) 28  

[  解]： 0442222 k  y x y x ，  配方法得 4)1(2)1(2

22 k  y x  

∴2

4)1()1( 22

k 

 y x ，2

4 k =9 ∴18= 4 k  , k = 14，正確選項為(B)。 

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3

6.  設有下列樣本資料：1,2,3,4,5,6,7，則此樣本標準差為何？ 

(A)14

3(B)

14

3(C)

42

3(D)

50

3 

[  解]：  設有一群樣本資料 1 2, , , n x x x ，而其算數平均數為 x，則其樣本標準差為2

1( )

1

n

i

i x x

Sn

 

1 2 3 4 5 6 74

7 x

2 2 2 2 2 2 2(1 4) (2 4) (3 4) (4 4) (5 4) (6 4) (7 4)

7 1S

∴  

9 4 1 0 1 4 9

6

28

6

14

3

42

3 ，正確選項為(C)。 

7.將 mhchcm 這些英文字母任意排列，問共有幾種不同的排列方法？ 

(A) 90 (B) 60 (C) 45 (D) 30

[  解]：mhchcm  中有 2 個 m、2 個 h、2 個 c，故其排列數有 6!90

2!2!2! ，正確選項為(A)。 

8. 若直線 : 1 L x y 與圓 2 2: 2 2 1 0C x y x y 交於 A、 B兩點，則線段 AB 之長度為何？ 

(A) 2 (B)2

2(C)

2

3  (D)

2

4 

[  解]： 0122

22

y x y x

1)1()1(

22

y x    圓心(1,1),半徑1

  圓心至直線 : 1 L x y 的距離為|−−(−)−|√ + =  1

√ 2 ∴ AB 之長度為√ 2，正確選項為(A)。 

9.  已知直線 1 L ， 2 L 方程式分別為 1 : 4 ( 1) 15 L x m y ， 2 : (2 3) 6 7 L m x y ，且 1 L 垂直 2 L ，則m

 之值為何？(A)13

7 (B)

7

6 (C)

3

7 (D)

3

8  

[  解]：  設兩條直線 1 L 、 2 L 的斜率分別為 1

m 、 2m 且 1 2

 L L ，則 1 21m m 。 

1

4

1m

m

、

2

(2 3)

6

mm

 ∵ 1 L 與 2

 L 互相垂直 4 (2 3)( ) 1

1 6

m

m

∴  

8 12 6 6m m 3

7m

，正確選項為(C)。 

10.求0.1 9log 1000 log 27 之值。 (A)

9

2  (B)

3

4(C)

3

4 (D)

9

4  

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4

[  解]：

3

20.1

log 1000 (0.1) 1000 10 10m m

m  

3 3,

2 2m m ∴ ，又

3

2 29

log 27 9 27 3 3n n

n 3 3

2 ,2 4

n n ∴  

  故0.1 9

3 3 9log 1000 log 27 ( )

2 4 4 ，正確選項為( D)。 

11.  已知紙箱中有紅球2  顆、黑球3  顆、每顆球被抽出的機會均等。現將一次抽出二球稱為一次抽獎，若抽出的二球中恰有一紅球，則可得10元；若抽出的二球中有二紅球，則可得60元；若抽出的二球中無紅球，則可得20元，則一次抽獎的期望值為何？ 

(A) 30 (B) 19.2 (C) 18 (D) 15 

[  解]：一次抽取二球可能的情況： 

(一紅一黑)  或(二紅)  或(二黑)

  則一次抽獎的期望值為：2 3 2 3

1 1 2 2

5 5 5

2 2 2

( ) 10 ( ) 60 ( ) 20C C C C  

C C C 

 

6 1 310 60 20

10 10 10 18 ，正確選項為(C)。 

12.  已知點Q 為二元一次聯立不等式 2 3 6 0

5 4 20 0

 x y

 x y

  圖形上的一點，則Q 之坐標可能為下列何者？  

(A) ( 5,0)

(B) ( 2,0)

(C) (0,5) (D) (0,6)  [  解]：  點 (0,6) 代入2 3 6 0 x y 及5 4 20 0 x y 都滿足不等式 

  故 (0,6) 落在二元一次聯立不等式的圖形上，正確選項為(D)。 

13.  已知 1 2 3

1 2 3

1 2 3

 x

 x

 x

，則與下列哪一式不恆等？ 

(A)6 2 36 2 3

6 2 3

 x x x

 x x

(B)1 2 31 2 3

1 2 3

 x

 x

 

(C)

1 2 3

(6 ) 0 0

0 0

 x x

 x

(D)2 (6 ) x x  

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5

[  解]：

1 2 3 6 2 3

1 2 3 6 2 3

1 2 3 6 2 3

 x x

 x x x

 x x x

=(6 )1 2 31 2 31 2 3 =(6 )1 2 30 00 0  2(6 ) x x ，正確選項為(B)。 

14.  已知數列 3 4k 

a k  ， 1,2,3, ,100k  ，則下列敘述何者正確？ 

(A) 此數列為等差數列，公差為 4 (B) 95 為此數列的第 34 項 

(C)100 100

1 1

(3 4) 3 4k k 

k k 

(D) 3 5 7 9 11 85a a a a a  

[  解]：(A)：此數列為等差數列，公差為 3

(B)：3 4 95 3 99 33k k k  ，∴第 33 項 

(C)： 100 100 100 100

1 1 1 1

(3 4) (3 ) (4) 3( ) 400k k k k  

k k k 

 

(D)： 3 5 7 9 11a a a a a  

(3 3 4) (3 5 4) (3 7 4) (3 9 4) (3 11 4)  

5 11 17 23 29 85 ，正確選項為(D)。 

15.  已知△ ABC   中 6, 2 3, 30 , 90 AC BC A B ，則△ ABC  之面積為何？ 

(A) 2 3 (B) 3 3 (C) 4 3 (D) 6 3  

[  解]：  由正弦定理可得： 2 3 6 3sin

sin 30 sin 2 B

 B

 

60 B 不合

∴ 或120  

180 180 30 120 30C A B ∴  

  故 ABC   面積 1sin

2ab C 

12 3 6 sin 30 3 3

2 ，正確選項為(B)。 

16. 下列何者正確？ 

(A) sin240 cos30 (B) cos( 330 ) cos30  

(C) sec225 csc45 (D) tan135 cot 45  

[  解]：(A)：sin 240 sin(180 60 ) sin60 cos30  

(B)： cos( 330 ) cos( 330 360 ) cos30  

(C)：sec225 sec(180 +45 ) sec45 csc45 ＝ ＝ ＝  

(D)： tan135 tan(180 45 ) tan45 cot45 ＝ ＝ ＝ ，正確選項為(D)。 

17.  設直角坐標平面上四點 ( 2,1) A ， 1 2( , ) B b b ， 1 2( , )C c c ， (4,3) D 在同一直線上，依序為 A、 B、

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7

(A) y z (B) x z (C) x y (D) 800 x y z  

[  解]：1

8 7 510

2S

， 10 2 3 5 x 300  

2

8 6 610

2S ， 10 2 4 4 y 320  

3

9 7 410

2S

， 1 0 1 3 6 z 180    y x z ∴ ，正確選項為(C)。 

22.  已知  1sin sin

3   ，且0

2 x y

    ，令 1

sin3

a x ， 1sin

3b y ，則下列何者

正確？ (A) 0, 0a b (B) 0, 0a b (C) 0, 0a b (D) 0, 0a b  

[  解]： 02

 x    ∵ sin sin x  ∴ , 1 sin3

 x 1sin 03

a x  

 又2

 y 

    sin sin y ∴ ,1

sin3

 y1

sin 03

b y ，正確選項為(B)。 

23.  已知函數  2( ) ( 1) 2 f x a x 的圖形不會經過第四象限，則a 之值可能為下咧那一數？ 

(A) 1 (B) 0.4 (C) 1.8 (D) 3.2

[  解]：(1) 若 0a ， ( ) 2 f x ＝ 為通過第四象限的水平線 

(2) 若 0a ，2

( ) ( 1) 2 f x a x 的圖形為拋物線，頂點 ( 1, 2) 在第三象限 

先討論 0a ，開口向下，拋物線圖形必過第四象限 

  故(A) 選項絕對不可能 

 再討論 0a ，假設拋物線通過原點 (0,0)  

20 (0 1) 2a 2a ，又圖形不通過第四象限 

∴拋物線開口須更小 2a ，正確選項為(D)。 

24.  已知向量 u  的長度為2，向量 v  的長度為5，且 u 、 v 兩向量夾角為 2

3

 ，則向量3 u v 的長

 度為何？ (A) 11 (B) 31 (C) 30 (D) 21  

[  解]：2 2 2

3 9 6u v u u v v 2

9 4 6 2 5 cos 253

   

36 30 25 31   3 31u v ＝∴ ，正確選項為(B)。 

7/31/2019 101 B

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8

25.  已知 a、b、c、d  為整數，若2

82 3( )3 4 x y

展開式中， 2 12 x y  項的係數為2 3 5 7a b c d  ，則a b c d  

 之值為何？ (A) 11 (B) 5 (C) 1 (D) 10

[

  解]：

8

2

2 3

( )3 4 x y

展開式中的第 r  項為8 8-

2

2 3

( ) ( )3 4

r r 

r C   x y

，其中 0,1,2, ,8r   

8 8 28 2 3( ) ( )3 4

r r 

r 

r r C x y

∴ 6r  ＝ ， 2 12 x y  項的係數為 8 2 6

6

2 3( ) ( )3 4

C  2 6 8 4 12 328 ( ) ( ) 2 3 7

3 4

＝  

( 8) 4 0 1 11a b c d   ∴ ，正確選項為(A)。