10.1.1.51.5266

8/6/2019 10.1.1.51.5266

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C o u n t i n g I s E a s y

y

J o e l I . S e i f e r a s

C o m p u t e r S c i e n c e D e p a r t m e n t

U n i v e r s i t y o f R o c h e s t e r

R o c h e s t e r , N e w Y o r k , U . S . A . 1 4 6 2 7

P a u l M . B . V i t a n y i

C e n t r e f o r M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e

P . O . B o x 4 0 7 9

1 0 0 9 A B A m s t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s

A u g u s t , 1 9 8 5 ; r e v i s e d S e p t e m b e r , 1 9 8 7 , a n d M a y , 1 9 8 8

A b s t r a c t . F o r a n y x e d k , a r e m a r k a b l y s i m p l e s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e

c a n s i m u l a t e k i n d e p e n d e n t c o u n t e r s i n r e a l t i m e .

C a t e g o r i e s a n d S u b j e c t D e s c r i p t o r s : F . 1 . 1 C o m p u t a t i o n b y A b s t r a c t

D e v i c e s ] : M o d e l s o f C o m p u t a t i o n | r e l a t i o n s a m o n g m o d e l s ; b o u n d e d - a c t i o n d e -

v i c e s ; E . 2 D a t a ] : D a t a S t o r a g e R e p r e s e n t a t i o n s | c o n t i g u o u s r e p r e s e n t a t i o n s ; F . 2 . 2

A n a l y s i s o f A l g o r i t h m s a n d P r o b l e m C o m p l e x i t y ] : N o n n u m e r i c a l A l g o r i t h m s a n d

P r o b l e m s | s e q u e n c i n g a n d s c h e d u l i n g ; G . 2 . 1 D i s c r e t e M a t h e m a t i c s ] : C o m b i n a t o r -

i c s | c o m b i n a t o r i a l a l g o r i t h m s ; F . 2 . 2 A n a l y s i s o f A l g o r i t h m s a n d P r o b l e m C o m -

p l e x i t y ] : T r a d e o s a m o n g C o m p l e x i t y M e a s u r e s

G e n e r a l T e r m s : T h e o r y , A l g o r i t h m s , D e s i g n , V e r i c a t i o n

A d d i t i o n a l K e y W o r d s a n d P h r a s e s : C o u n t e r , a b s t r a c t s t o r a g e u n i t ,

c o u n t e r m a c h i n e , m u l t i c o u n t e r m a c h i n e , o n e - t a p e T u r i n g m a c h i n e , s i m u l a t i o n b e -

t w e e n m o d e l s , r e a l - t i m e s i m u l a t i o n , o n - l i n e s i m u l a t i o n , o b l i v i o u s s i m u l a t i o n , r e d u n -

d a n t n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n , s i g n e d - d i g i t n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n , r e c u r s i o n e l i m i -

n a t i o n

1 . I n t r o d u c t i o n

I n t h i s p a p e r w e d e s c r i b e a r e m a r k a b l y s i m p l e r e a l - t i m e s i m u l a t i o n , b a s e d o n j u s t

v e s i m p l e r e w r i t i n g r u l e s , o f a n y x e d n u m b e r k o f i n d e p e n d e n t c o u n t e r s . O n a T u r i n g

m a c h i n e w i t h a s i n g l e , b i n a r y w o r k t a p e , t h e s i m u l a t i o n r u n s i n r e a l t i m e , h a n d l i n g a n

a r b i t r a r y c o u n t e r c o m m a n d a t e a c h s t e p . T h e s p a c e u s e d b y t h e s i m u l a t i o n c a n b e h e l d

t o ( k + ) l o g

2

n b i t s f o r t h e r s t n c o m m a n d s , f o r a n y s p e c i e d > 0 . C o n s e q u e n c e s a n d

a p p l i c a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n 1 0 { 1 1 ] , w h e r e t h e r s t s i n g l e - t a p e , r e a l - t i m e s i m u l a t i o n o f

m u l t i p l e c o u n t e r s w a s r e p o r t e d .

I n f o r m a l l y , a c o u n t e r i s a s t o r a g e u n i t t h a t m a i n t a i n s a s i n g l e i n t e g e r ( i n i t i a l l y 0 ) , i n c r e -

m e n t i n g i t , d e c r e m e n t i n g i t , o r r e p o r t i n g i t s s i g n ( p o s i t i v e , n e g a t i v e , o r z e r o ) o n c o m m a n d .

y

T h e w o r k o f t h e r s t a u t h o r w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n u n d e r

g r a n t M C S - 8 1 1 0 4 3 0 .

1

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A n y a u t o m a t o n t h a t r e s p o n d s t o e a c h s u c c e s s i v e c o m m a n d a s a c o u n t e r w o u l d i s s a i d t o

s i m u l a t e a c o u n t e r . ( O n l y f o r a s i g n i n q u i r y i s t h e r e s p o n s e o f i n t e r e s t , o f c o u r s e . A n d

z e r o n e s s i s t h e o n l y r e a l i s s u e , s i n c e a s i m u l a t o r c a n r e a d i l y u s e z e r o d e t e c t i o n t o k e e p t r a c k

o f p o s i t i v i t y a n d n e g a t i v i t y i n n i t e - s t a t e c o n t r o l . ) T o s i m u l a t e k i n d e p e n d e n t c o u n t e r s ,

a n a u t o m a t o n m u s t r e s p o n d t o 3 k c o m m a n d s : \ i n c r e m e n t c o u n t e r n u m b e r i " , \ d e c r e m e n t

c o u n t e r n u m b e r i " , a n d \ r e p o r t t h e s i g n o f c o u n t e r n u m b e r i " ( 1 i k ) . I f t h e r e i s s o m e

x e d b o u n d o n t h e t i m e n e e d e d b y a s i m u l a t o r t o r e s p o n d t o t h e s u c c e s s i v e c o m m a n d s i t

r e c e i v e s , t h e n i t s i m u l a t e s i n r e a l t i m e .

O u r r e a l - t i m e k - c o u n t e r s i m u l a t o r w i l l b e a s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e . S u c h a n a u -

t o m a t o n c o n s i s t s o f a n i t e - s t a t e c o n t r o l u n i t w i t h r e a d - w r i t e a c c e s s t o a n i n n i t e b u t

i n i t i a l l y b l a n k b i n a r y s t o r a g e t a p e ( 0 i n e v e r y b i t p o s i t i o n ) . E a c h n e x t s t e p i s d e t e r m i n e d

b y t h e c u r r e n t c o n t r o l s t a t e , t h e b i t c u r r e n t l y s c a n n e d b y t h e r e a d - w r i t e h e a d o n t h e s t o r a g e

t a p e , a n d t h e m o s t r e c e n t l y r e c e i v e d i n p u t s y m b o l ( i n o u r c a s e , t h e l a s t c o m m a n d n o t y e t

r e s p o n d e d t o ) . E a c h s t e p c a n i n v o l v e a n y o f t h e f o l l o w i n g a c t i o n s : a c h a n g e t o t h e b i t

s c a n n e d b y t h e h e a d o n t h e s t o r a g e t a p e , a s h i f t l e f t o r r i g h t b y t h a t h e a d t o a n a d j a c e n t

b i t p o s i t i o n , e m i s s i o n o f a n o u t p u t s y m b o l ( i n o u r c a s e , a c o m m a n d r e s p o n s e ) , a n d a s t a t e

t r a n s i t i o n b y t h e n i t e - s t a t e c o n t r o l u n i t .

A n a p p a r e n t l y s t r o n g e r n o t i o n o f r e a l - t i m e s i m u l a t i o n w o u l d r e q u i r e r e s p o n s e t o e a c h

s u c c e s s i v e c o m m a n d j u s t o n e s t e p a f t e r s u b m i s s i o n . I n t h e s p e c i a l c a s e o f c o u n t e r s i m u l a t i o n ,

h o w e v e r , a n y r e a l - t i m e s i m u l a t i o n a c t u a l l y d o e s a l s o y i e l d a r e a l - t i m e s i m u l a t i o n i n w h i c h

t h e c o m m a n d - r e s p o n s e d e l a y i s j u s t 1 . ( I t i s w e l l k n o w n t h a t a l a r g e r d e l a y c a n b e \ s w e p t

u n d e r t h e r u g " b y i n c r e a s i n g t h e s i z e o f t h e a l p h a b e t u s e d o n t h e s t o r a g e t a p e , b u t t h a t i s

n o t n e c e s s a r y i n o u r c a s e . )

P r o p o s i t i o n . I f a s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e c a n s i m u l a t e k c o u n t e r s i n r e a l t i m e w i t h

c o m m a n d - r e s p o n s e d e l a y b o u n d d , t h e n a s i m i l a r s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e ( s t i l l w i t h o n l y

b i n a r y t a p e a l p h a b e t ) c a n d o s o w i t h d e l a y b o u n d 1 .

P r o o f : T h e r o u g h i d e a i s f o r t h e d e l a y - 1 s i m u l a t i o n t o u s e a d e l a y - d s i m u l a t i o n t o s t o r e a n

a p p r o p r i a t e f r a c t i o n o f e a c h o f i t s c o u n t e r s ' c o n t e n t s , a n d t o m a i n t a i n a l l t h e r e m a i n d e r s i n

n i t e - s t a t e c o n t r o l .

M o r e a c c u r a t e l y a n d p r e c i s e l y , t h e d e l a y - 1 s i m u l a t i o n c a n o p e r a t e i n \ p h a s e s " o f 2 k d

s t e p s , m a i n t a i n i n g t h e f o l l o w i n g i n v a r i a n t f r o m p h a s e t o p h a s e , f o r t h e a b s o l u t e v a l u e j c j o f

e a c h c o u n t c :

j c j = c

0

+ c

1

( 2 k d ) ;

w h e r e e i t h e r

c

1

> 0 a n d 2 k d c

0

8 k d ;

o r

c

1

= 0 a n d 0 c

0

8 k d ;

a n d w h e r e c

0

a n d t h e s i g n s o f c a n d c

1

a r e s t o r e d i n n i t e - s t a t e c o n t r o l , a n d c

1

i s s t o r e d

i n t h e c o r r e s p o n d i n g c o u n t e r o f t h e d e l a y - d s i m u l a t i o n . T h e 2 k d c o m m a n d s r e c e i v e d i n

e a c h p h a s e c a n b e h a n d l e d w i t h i n n i t e - s t a t e c o n t r o l , i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g e a c h c

0

b y

a t m o s t 2 k d . M e a n w h i l e , t h e 2 k d s t e p s a r e e n o u g h f o r o n e i n c r e m e n t o r d e c r e m e n t o f a n d

o n e i n t e r r o g a t i o n o f e a c h c

1

. I n e a c h c a s e , t h e s i m u l a t i o n s h o u l d i n c r e m e n t c

1

, a s p a r t o f a

\ c a r r y " f r o m c

0

, i f c

0

> 6 k d h e l d w h e n t h e p h a s e b e g a n ; a n d i t s h o u l d d e c r e m e n t c

1

, a s p a r t

o f a \ b o r r o w " f o r c

0

, i f c

0

< 4 k d h e l d w h e n t h e p h a s e b e g a n , u n l e s s c

1

w a s a l r e a d y z e r o . F o r

e a c h c o u n t , i f c

1

w a s p o s i t i v e w h e n t h e p h a s e b e g a n , t h e n 2 k d c

0

8 k d w i l l h o l d w h e n i t

e n d s . I f c

1

w a s z e r o w h e n t h e p h a s e b e g a n , h o w e v e r , c

0

m i g h t \ u n d e r o w " a l m o s t t o ? 2 k d ;

b u t , i n t h a t c a s e , c

1

w i l l r e m a i n z e r o , s o t h a t a s i g n c h a n g e i n n i t e - s t a t e c o n t r o l w i l l s u c e

t o r e s t o r e t h e i n v a r i a n t . F i n a l l y , n o t e t h a t t h e r e w i l l a l w a y s b e e n o u g h i n f o r m a t i o n i n n i t e -

s t a t e c o n t r o l t o d e t e r m i n e w h e t h e r a c o u n t i s c u r r e n t l y z e r o : E a c h c o u n t w i l l b e z e r o j u s t

w h e n i t s c

0

i s z e r o a n d i t s c

1

w a s z e r o w h e n t h e c u r r e n t p h a s e b e g a n .

2

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P r i o r t o t h e b r e a k t h r o u g h i n 1 0 { 1 1 ] , t h e r e w e r e a t l e a s t t h r e e w e a k e r s i m u l a t i o n s i n

t h e l i t e r a t u r e . M . F i s c h e r a n d R o s e n b e r g 4 ] s h o w e d t h a t t h e s i m u l a t i o n i s p o s s i b l e i n t h e

c a s e t h a t o n l y s i m u l t a n e o u s z e r o n e s s o f t h e k c o u n t e r s h a s t o b e r e p o r t e d . P . F i s c h e r ,

M e y e r , a n d R o s e n b e r g 5 ] s h o w e d t h a t a f u l l s i m u l a t i o n i s p o s s i b l e i n c u m u l a t i v e l i n e a r

t i m e ( i . e . , w i t h a v e r a g e d e l a y b o u n d e d b y a c o n s t a n t , b u t w i t h n o x e d b o u n d o n t h e

d e l a y f o r e a c h i n d i v i d u a l c o m m a n d ) . A w h i l e l a t e r , t h e l a t t e r a u t h o r s s h o w e d t h a t f o u r

T u r i n g - m a c h i n e t a p e s a r e a s e c i e n t a s k c o u n t e r s , f o r s e q u e n c e g e n e r a t i o n 6 ] . F u r e r ' s

f u l l l i n e a r - t i m e s i m u l a t i o n 7 ] r e q u i r e s m o r e t h a n o n e t a p e , b u t t w o s u c e e v e n i f t h e y a r e

o t h e r w i s e o c c u p i e d .

2 . A P e e k a t a n O b l i v i o u s S o l u t i o n

U s i n g a s t r a i g h t f o r w a r d u n a r y , o r \ t a l l y " , n o t a t i o n , a n a u t o m a t o n w i t h j u s t o n e s t o r a g e

t a p e ( i . e . , a s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e ) o b v i o u s l y c a n s i m u l a t e a s i n g l e c o u n t e r i n r e a l t i m e .

A n a p p r o p r i a t e r e d u n d a n t v a r i a n t o f b i n a r y n o t a t i o n a l s o s u c e s a n d r e q u i r e s m u c h l e s s

s p a c e o n t h e s t o r a g e t a p e 4 ] .

T o s i m u l a t e m o r e t h a n o n e c o u n t e r i n r e a l t i m e u s i n g a s i n g l e t a p e i s m u c h h a r d e r . F o r

a n y k , i n f a c t , i t i s h a r d t o i m a g i n e h o w f e w e r t h a n k s e p a r a t e t a p e s c a n s u c e t o s i m u l a t e

k c o u n t e r s i n r e a l t i m e . S i n c e t h e c o n t e n t s o f t h e c o u n t e r s t o b e s i m u l a t e d c a n u c t u a t e

c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t l y , w e s e e m t o b e f o r c e d t o c o n s i d e r s i m u l a t i o n s t h a t a c t u a l l y h a n d l e

t h e s e p a r a t e c o u n t e r s s e p a r a t e l y , s a y o n k s e p a r a t e \ t r a c k s " o f t h e o n e a v a i l a b l e t a p e . T h e

p r o b l e m i s t o a s s u r e t h a t t h e s i m u l a t o r ' s o n e t a p e h e a d i s a l w a y s i n t h e r i g h t p l a c e f o r e v e r y

o n e o f t h e s e s e p a r a t e h a n d l i n g s , s i n c e t h e n e x t c o m m a n d m i g h t b e a d d r e s s e d t o a n y o f t h e

s i m u l a t e d c o u n t e r s .

E a c h \ s e p a r a t e h a n d l i n g " a b o v e i s e s s e n t i a l l y a r e a l - t i m e s i m u l a t i o n o f o n e c o u n t e r .

T h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e t a p e h e a d i s a l w a y s i n t h e r i g h t p l a c e c a n b e f o r m u l a t e d m o s t

c l e a r l y i f o u r c o u n t e r s a r e \ e n h a n c e d " t o h a n d l e o n e a d d i t i o n a l c o m m a n d , a c o m m a n d t o

\ d o n o t h i n g " . ( A n y e c i e n t s i m u l a t i o n o f a n u n e n h a n c e d c o u n t e r t r i v i a l l y y i e l d s a n e c i e n t

s i m u l a t i o n o f a n e n h a n c e d o n e , a n y w a y : S i m p l y h a n d l e e a c h \ d o n o t h i n g " a s i f i t w e r e a n

\ i n c r e m e n t " f o l l o w e d b y a \ d e c r e m e n t " . ) T h e n w e c a n v i e w e a c h c o m m a n d t o a m u l t i p l e -

c o u n t e r s t o r a g e u n i t a s a t u p l e o f c o m m a n d s , o n e t o e a c h s e p a r a t e c o u n t e r . W h a t w e n e e d ,

t h e r e f o r e , i s a r e a l - t i m e s i n g l e - c o u n t e r s i m u l a t i o n t h a t i s \ o b l i v i o u s " i n t h e s e n s e t h a t n e i t h e r

i t s h e a d p o s i t i o n n o r i t s t i m e s o f i n t e r a c t i o n w i t h t h e o u t s i d e w o r l d ( t o r e s p o n d t o c o m m a n d s

a n d t o r e c e i v e n e w o n e s ) d e p e n d a t a l l o n t h e p a r t i c u l a r c o m m a n d s e q u e n c e . O u r r e a l - t i m e

s i m u l a t i o n o f a k - c o u n t e r s t o r a g e u n i t i s i n d e e d b a s e d o n p e r f o r m i n g , o n a s e p a r a t e t r a c k

o f t h e o n e a v a i l a b l e s t o r a g e t a p e , j u s t s u c h a s i m u l a t i o n f o r e a c h o f t h e k s i m u l t a n e o u s

c o m m a n d s t r e a m s .

I n t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n , w i t h o u t f u r t h e r m o t i v a t i o n , w e p r e v i e w t h e e n t i r e o b l i v i o u s

s i m u l a t i o n o f a s i n g l e c o u n t e r . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , o n t h e o t h e r h a n d , w e w i l l r e t u r n

t o a n e v o l u t i o n a r y t o p - d o w n d e v e l o p m e n t o f t h e s i m u l a t i o n , w i t h e a c h s u c c e s s i v e r e n e m e n t

m o t i v a t e d b y s o m e o u t s t a n d i n g i n a d e q u a c y o r l o o s e e n d . H a v i n g p r e v i e w e d t h e n a l c o n c r e t e

r e s u l t , t h e r e a d e r w i l l b e t t e r a p p r e c i a t e t h e d i r e c t i o n a n d p r o g r e s s o f t h a t e v o l u t i o n .

F o r t r a n s p a r e n c y , w e a c t u a l l y i m p l e m e n t o u r o b l i v i o u s o n e - c o u n t e r s i m u l a t i o n o n a

s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e m o d e l t h a t i s a p p a r e n t l y s t r o n g e r t h a n t h e o n e d e n e d a b o v e .

T h e s t r o n g e r m o d e l c a n w r i t e a n d r e a d s y m b o l s f r o m s o m e s l i g h t l y l a r g e r a l p h a b e t o n i t s

s t o r a g e t a p e , a n d e a c h n e x t s t e p c a n d e p e n d o n , c h a n g e , a n d s h i f t a m o n g a l l t h e s y m b o l s i n

s o m e s m a l l n e i g h b o r h o o d o f t h e h e a d p o s i t i o n o n t h e s t o r a g e t a p e . B y c o d i n g i n b i n a r y , a n d

b y c o n c e d i n g a s o m e w h a t l a r g e r ( b u t s t i l l x e d ) b o u n d o n c o m m a n d - r e s p o n s e d e l a y t i m e ,

h o w e v e r , w e c o u l d s t r a i g h t f o r w a r d l y r e p l a c e a n y s u c h o b l i v i o u s r e a l - t i m e s i m u l a t o r b y a n

o b l i v i o u s o n e o f t h e p r o m i s e d v a r i e t y .

3

8/6/2019 10.1.1.51.5266


E a c h n o n b l a n k s t o r a g e t a p e s y m b o l u s e d b y t h e s i m u l a t o r i n c l u d e s a b a s e s y m b o l f r o m

t h e s e t f - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; g a n d a l e f t o r r i g h t o v e r a r r o w . O p t i o n a l l y , i t c a n a l s o i n c l u d e a n

u n d e r l i n e a n d o n e o r t w o p r i m e s . T h e p u r p o s e o f t h e b a s e s y m b o l i s t o m a r k t h e p o s i t i o n

o f t h e r e a d - w r i t e h e a d . T h e i n i t i a l s t o r a g e c o n t e n t s i s t r e a t e d a s i f i t w e r e

?

0

?

0

?

0

0

? !

? !

0

? !

0

? !

0 :

W i t h s u c h a r i c h s t o r a g e t a p e a l p h a b e t , o u r s i m u l a t o r w i l l n o t h a v e t o r e m e m b e r a n y -

t h i n g i n n i t e - s t a t e c o n t r o l | a s i n g l e s t a t e w i l l s u c e . T h e r e f o r e , s i n c e e v e n t h e h e a d

p o s i t i o n w i l l b e i m p l i c i t i n t h e c o n t e n t s o f t h e s t o r a g e t a p e , t h e t r a n s i t i o n r u l e s w i l l b e j u s t

a s e t o f c o n t e x t - s e n s i t i v e r u l e s f o r r e w r i t i n g t h e s t o r a g e t a p e . W e p r o m i s e d v e s u c h r u l e s ,

b u t t h e y a r e a c t u a l l y v e e n t i r e s c h e m e s :

b

?

c

0

)

? !

b c

? !

b

?

c ) c

0

? !

?

b , p r o p a g a t i n g i n t o b , a n d t h e n f r o m b t o c

a

?

b

?

c ) a c

0 0

? !

?

b , p r o p a g a t i n g i n t o b , a n d t h e n f r o m b t o a

b

?

c

0 0

?

d ) b

?

? !

d c

0

, p r o p a g a t i n g f r o m d t o c

b

?

c

0 0

? !

d e ) b

?

? !

d c

0 0

e , p r o p a g a t i n g f r o m d t o e

E a c h o f a , b , c , d , a n d e c a n b e a n y m e m b e r o f f - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 g . E x c e p t o n t h e s y m b o l

w i t h b a s e c , p r i m e s a r e n o t s h o w n a n d a r e u n c h a n g e d b y t h e t r a n s i t i o n s . S i m i l a r l y , a r r o w s

n o t s h o w n a r e u n c h a n g e d b y t h e t r a n s i t i o n s . T h e m i r r o r - i m a g e r e e c t i o n s o f t h e r u l e s

d e s c r i b e t h e t r a n s i t i o n s w h e n l i e s b e n e a t h a r i g h t a r r o w ; t h u s , f o r e x a m p l e , t h e v e r y r s t

t r a n s i t i o n i s a c c o r d i n g t o t h e r s t o f t h e v e s c h e m e s , y i e l d i n g

?

0

?

0

?

0

? !

0

?

? !

0

? !

0 :

N o t e t h a t t h e r u l e f o r e a c h n e x t t r a n s i t i o n w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e n u m b e r o f p r i m e s

o n c a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e a r r o w o v e r b o r d , a n d t h a t t h e s y m b o l s p l a y i n g t h e s e r o l e s

w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e d i r e c t i o n o f t h e a r r o w o v e r . I t r e m a i n s o n l y t o g i v e t h e r u l e s

f o r i n f o r m a t i o n \ p r o p a g a t i o n " , f o r m a i n t e n a n c e o f t h e u n d e r l i n e s ( n o t s h o w n i n t h e r u l e

s c h e m e s ) , a n d f o r g e n e r a t i o n o f r e s p o n s e s t o t h e c o m m a n d s .

\ P r o p a g a t i o n f r o m b t o c " i s e s s e n t i a l l y a \ c a r r y " o r \ b o r r o w " o p e r a t i o n : I f b i s 3 , t h e n

r e d u c e i t b y 4 ( t o - 1 ) a n d a d d 1 t o c . I f b i s - 3 , t h e n i n c r e a s e i t b y 4 ( t o 1 ) a n d s u b t r a c t 1

f r o m c . I f e i t h e r o f t h e s e a c t i o n s c h a n g e s c t o 0 , a n d c w a s n o t u n d e r l i n e d , t h e n r e m o v e t h e

u n d e r l i n e f r o m b ; a n d , i f e i t h e r a c t i o n c h a n g e s c f r o m 0 , a n d b w a s n o t u n d e r l i n e d , t h e n a d d

a n u n d e r l i n e t o b . L e a v e a l l o t h e r u n d e r l i n i n g u n c h a n g e d .

\ P r o p a g a t i o n i n t o b " d e p e n d s o n t h e n e x t i n p u t c o m m a n d . O n a c o m m a n d t o i n c r e m e n t

o r d e c r e m e n t t h e c o u n t e r , b i s i n c r e m e n t e d o r d e c r e m e n t e d a c c o r d i n g l y . T h e r e s u l t i s a c o u n t

o f z e r o i f a n d o n l y i f t h e r e s u l t i n g b i s 0 , w i t h o u t a n u n d e r l i n e .

T h e d e l a y b e t w e e n t h e h a n d l i n g o f s u c c e s s i v e i n p u t c o m m a n d s i s a t m o s t t h r e e s t e p s ,

c o u n t s o f z e r o a r e d e t e c t e d c o r r e c t l y , a n d n o b a s e s y m b o l i s e v e r r e q u i r e d t o o v e r o w p a s t 3

o r t o u n d e r o w p a s t - 3 , a l t h o u g h t h e s e f a c t s a r e n o t a t a l l c l e a r f r o m j u s t t h e r u l e s . I t i s

c l e a r f r o m t h e r u l e s t h a t t h e s i m u l a t i o n i s b o t h d e t e r m i n i s t i c a n d o b l i v i o u s .

A s a n e x a m p l e , s u p p o s e e v e r y c o m m a n d i s t o i n c r e m e n t t h e c o u n t e r . T h e n t h e r e s u l t s

o f t h e r s t s i x t r a n s i t i o n s a r e a s f o l l o w s :

?

0

?

0

? !

0

?

? !

0

? !

0

? !

0

? !

0 ( b y r u l e 1 ) ,

?

0

?

0

? !

0

0

? !

?

1

? !

0

? !

0

? !

0 ( b y r u l e 2 ) ,

?

0

?

0

? !

0

?

1

?

? !

0

? !

0

? !

0 ( b y r u l e 1 ) ,

4

8/6/2019 10.1.1.51.5266


?

0

?

0

? !

0

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0

0 0

? !

?

2

? !

0

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0 ( b y r u l e 3 ) ,

?

0

?

0

? !

0

0

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0

? !

?

2

? !

0

? !

0 ( b y r u l e 4 ) ,

?

0

?

0

? !

0

0

? !

- 1

?

?

1

0

? !

0

? !

0 ( b y r u l e 2 ) .

C o n t i n u i n g i n t h i s w a y , t h e r e s u l t o f t h e r s t 2 , 9 8 0 , 0 0 0 t r a n s i t i o n s , i n c l u d i n g t h e e x e c u t i o n

o f 1 , 1 9 1 , 9 9 3 c o m m a n d s t o i n c r e m e n t t h e c o u n t e r , i s

?

0

?

0

? !

0

0

? !

0

0

? !

0

?!

1

0 0

? !

0

0

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2

? !

- 1

0 0

? !

?

1

? !

1

0

?

0

?

2

0 0

? !

- 1

?

1

?

0

0

?

0

0

? !

0

? !

0 :

( F o r n o w , t h i s s h o u l d s e e m p r e t t y o b s c u r e a s a r e p r e s e n t a t i o n f o r 1 , 1 9 1 , 9 9 3 . I t w i l l t u r n o u t

t h a t t h e b a s e s y m b o l s a r e a s c r a m b l e d r a d i x - 4 r e p r e s e n t a t i o n f o r t h a t n u m b e r :

?

1 0 2 1 ( - 1 ) 0 0 1 ( - 1 ) 2 1

4

=

?

1 1 9 1 9 9 3

1 0

:

T h e u n s c r a m b l e d o r d e r i s i m p l i c i t i n t h e a r r o w s a n d p r i m e s . T h e u n d e r l i n i n g i n d i c a t e s w h i c h

r a d i x - 4 d i g i t s a r e s i g n i c a n t , e x c e p t t h a t t h e l e a d i n g s i g n i c a n t d i g i t i s n o t u n d e r l i n e d . ( I n

a r a d i x n u m b e r , a d i g i t i s s i g n i c a n t a s l o n g a s i t i s n o t a l e a d i n g 0 . ) )

3 . O b l i v i o u s C o u n t i n g

T h e r e i s a r e l a t i v e l y f a m i l i a r t e c h n i q u e t h a t m a k e s i t p o s s i b l e t o m a i n t a i n a c o u n t e r

o b l i v i o u s l y i n r e a l t i m e i f t h e o b l i v i o u s o r d e r o f p o s i t i o n a c c e s s c a n b e n o n s e q u e n t i a l . T h e

o b l i v i o u s v e r s i o n 9 ] o f t h e c l a s s i c a l t w o - t a p e s i m u l a t i o n 8 ] o f m u l t i p l e T u r i n g - m a c h i n e t a p e s

i s b a s e d i m p l i c i t l y o n t h e t e c h n i q u e . T h e t e c h n i q u e i n v o l v e s a l i b e r a l i z a t i o n o f o r d i n a r y x e d -

r a d i x n o t a t i o n , a l l o w i n g a n e x p a n d e d r a n g e o f \ s i g n e d d i g i t s " i n e a c h p o s i t i o n 2 , 1 ] . T h i s ,

i n t u r n , a l l o w s s o m e c h o i c e o n n u m b e r s ' r e p r e s e n t a t i o n s a n d s o m e o p t i o n a l d e l a y i n c a r r y

p r o p a g a t i o n . T o m a i n t a i n s u c h a r e p r e s e n t a t i o n a s t h e r e p r e s e n t e d n u m b e r i s i n c r e m e n t e d

a n d d e c r e m e n t e d , w e n e e d o n l y v i s i t t h e v a r i o u s p o s i t i o n s o f t e n e n o u g h t o a v o i d o v e r o w a n d

u n d e r o w . T h e f o l l o w i n g t w o r e q u i r e m e n t s , w h i c h a r e o b l i v i o u s t o t h e p a r t i c u l a r s e q u e n c e

o f c o m m a n d s , a r e s u c i e n t f o r s u c h a s c h e m e t o b e a b l e t o h a n d l e c o m m a n d s i n r e a l t i m e :

1 . T h e r e i s a c h a n c e ( \ 0 - o p p o r t u n i t y " ) t o p r o p a g a t e i n f o r m a t i o n ( i n c r e m e n t s a n d d e c r e -

m e n t s ) i n t o p o s i t i o n 0 a t l e a s t o n c e e v e r y O ( 1 ) s t e p s .

2 . T h e r e i s a c h a n c e ( \ ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t y " ) t o p r o p a g a t e i n f o r m a t i o n ( c a r r i e s a n d b o r r o w s )

f r o m p o s i t i o n i i n t o p o s i t i o n i + 1 a t l e a s t o n c e e v e r y O ( 1 ) t i m e s t h e r e i s a n i - o p p o r t u n i t y .

T h e s e r e q u i r e m e n t s a r e m e t , f o r e x a m p l e , b y a s c h e d u l e t h a t p r o v i d e s a 0 - o p p o r t u n i t y e v e r y

o t h e r s t e p , a 1 - o p p o r t u n i t y e v e r y o t h e r r e m a i n i n g s t e p , a 2 - o p p o r t u n i t y e v e r y o t h e r s t i l l

r e m a i n i n g s t e p , e t c . :

0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 : : : :

T h i s i s t h e s e q u e n c e o f c a r r y p r o p a g a t i o n d i s t a n c e s w h e n w e c o u n t i n b i n a r y , s o l e t u s c a l l

i t t h e b i n a r y c a r r y s c h e d u l e .

T o s e e t h a t t h e r e q u i r e m e n t s s u c e , c o n s i d e r u s i n g a r a d i x r t h a t i s l a r g e c o m p a r e d t o

t h e c o n s t a n t s ( \ O ( 1 ) " ) w i t h w h i c h t h e r e q u i r e m e n t s a r e s a t i s e d . S y m m e t r i c a l l y a l l o w a s

\ d i g i t s " a l l i n t e g e r s d s a t i s f y i n g ? r < d < + r . ( F o r o u r u l t i m a t e u s e , t h e r a d i x r = 4 w i l l b e

l a r g e e n o u g h ; t h i s e x p l a i n s t h e u s e o f t h e d i g i t s e t f - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 g i n S e c t i o n 2 ' s p r e v i e w

o f t h e s i m u l a t i o n . ) A s s u g g e s t e d i n S e c t i o n 2 , m a i n t a i n a n u n d e r l i n e b e n e a t h e a c h s i g n i c a n t

5

8/6/2019 10.1.1.51.5266


d i g i t e x c e p t f o r t h e l e a d i n g o n e . P r o p a g a t e i n f o r m a t i o n f r o m p o s i t i o n i t o p o s i t i o n i + 1

a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g s i m p l e r u l e s :

\ C a r r y " i f t h e d i g i t i s g r e a t e r t h a n r = 2 .

\ B o r r o w " i f t h e d i g i t i s l e s s t h a n ? r = 2 .

D o n o t h i n g i f t h e d i g i t i s b o u n d e d b y r = 2 i n a b s o l u t e v a l u e .

( T o \ c a r r y " , r e d u c e t h e d i g i t i n p o s i t i o n i b y r , a n d i n c r e m e n t t h e d i g i t i n p o s i t i o n i + 1 b y 1 .

T o \ b o r r o w " , r e d u c e t h e d i g i t i n p o s i t i o n i + 1 b y 1 , a n d i n c r e m e n t t h e d i g i t i n p o s i t i o n i

b y r . ) B y i n d u c t i o n , t h e p r o p e r t i e s o f t h e m a i n t e n a n c e s c h e d u l e a s s u r e t h a t n o d i g i t w i l l

h a v e t o e x c e e d r ? 1 i n a b s o l u t e v a l u e . A s a c o n s e q u e n c e , t h e o n l y d i g i t t h a t m i g h t c h a n g e

f r o m z e r o t o n o n z e r o , o r v i c e v e r s a , i s a t p o s i t i o n i + 1 a b o v e , s o t h a t o n l y t h e u n d e r l i n i n g a t

p o s i t i o n i m i g h t h a v e t o c h a n g e , a n d s o t h a t c o r r e c t u n d e r l i n i n g c a n b e m a i n t a i n e d w i t h o u t

a n y a d d i t i o n a l a c c e s s t o t h e d i g i t s o f t h e c o u n t e r . A s a n o t h e r c o n s e q u e n c e , t h e l e a d i n g

s i g n i c a n t d i g i t ( i f t h e r e i s o n e ) w i l l a l w a y s c o r r e c t l y i n d i c a t e t h e s i g n o f t h e e n t i r e c o u n t ,

s o t h a t t h e c o u n t w i l l b e 0 o n l y w h e n t h e f r e q u e n t l y o b s e r v e d d i g i t a t p o s i t i o n 0 i s a 0 w i t h

n o u n d e r l i n e .

4 . P e r m u t a t i o n f o r S e q u e n t i a l A c c e s s

W i t h o n l y s e q u e n t i a l a c c e s s , i t s e e m s i m p o s s i b l e t o v i s i t t h e p o s i t i o n s o f a r a d i x n u m b e r

a c c o r d i n g t o t h e s c h e d u l i n g r e q u i r e m e n t s a b o v e . T h e r s t r e q u i r e m e n t k e e p s u s c l o s e t o t h e

l o w - o r d e r d i g i t , w h i l e t h e s e c o n d r e q u i r e m e n t d r a w s u s t o a r b i t r a r i l y - h i g h - o r d e r d i g i t s . T h i s

i n t u i t i o n i s w r o n g , h o w e v e r ; e v e n w i t h t h e s t r i c t l y s e q u e n t i a l a c c e s s a v a i l a b l e o n a s i n g l e

T u r i n g m a c h i n e t a p e , w e c a n s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s . T h e t r i c k i s t o m a i n t a i n , o n t h e

m a i n t r a c k o f t h e t a p e , a n a p p r o p r i a t e , d y n a m i c a l l y ( b u t o b l i v i o u s l y ) c h a n g i n g p e r m u t a t i o n

o f t h e r a d i x p o s i t i o n s . W e t u r n n o w t o a t o p - d o w n d e v e l o p m e n t a n d i m p l e m e n t a t i o n o f a

s u i t a b l e p e r m u t a t i o n p r o c e d u r e .

S i n c e t h e p e r m u t a t i o n p r o c e d u r e w i l l b e o b l i v i o u s t o t h e a c t u a l c o n t e n t s o f t h e r a d i x

p o s i t i o n s , a n d s i n c e p o s i t i o n n u m b e r s w i l l g r e a t l y c l a r i f y t h e p e r m u t a t i o n b e i n g p e r f o r m e d ,

w e w i l l s p e a k a s i f w e a r e p e r m u t i n g t h e p o s i t i o n n u m b e r s t h e m s e l v e s . I t i s i m p o r t a n t t o

r e m e m b e r , h o w e v e r , t h a t i t w i l l b e i m p o s s i b l e w i t h a n y n i t e t a p e a l p h a b e t f o r o u r s i m u l a t o r

t o m a i n t a i n t h e s e u n b o u n d e d p o s i t i o n n u m b e r s o n i t s t a p e w i t h o u t u s i n g t o o m u c h s p a c e a n d

t i m e . T o r e c o g n i z e w h a t m a y b e o b v i o u s f r o m t h e p o s i t i o n n u m b e r s , t h e u l t i m a t e s i m u l a t o r

w i l l h a v e t o c l e v e r l y m a i n t a i n a u x i l i a r y m a r k e r s f r o m s o m e n i t e a l p h a b e t ( p r i m e s , d o u b l e

p r i m e s , a n d o v e r a r r o w s i n t h e s i m u l a t i o n w e d e s c r i b e ) o n a n a u x i l i a r y t r a c k o f i t s t a p e .

C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f v i s i t i n g t h e p o s i t i o n s o f a r a d i x n u m b e r a c c o r d i n g t o t h e b i n a r y

c a r r y s c h e d u l e . T h e k e y t o t h e s c h e d u l e i s t h a t i t b r a c k e t s e a c h v i s i t t o p o s i t i o n i + 1 b y

f u l l \ t o u r s " o f p o s i t i o n s 0 , : : : , i , d e n o t e d b y t o u r ( i ) :

t o u r ( i + 1 ) : t o u r ( 0 ) :

t o u r ( i ) v i s i t 0

v i s i t i + 1

t o u r ( i )

N o t i n g t h a t a p p e n d i n g \ v i s i t i + 1 ; t o u r ( i ) " o n t o t h e e n d o f t o u r ( i ) a l w a y s g i v e s t o u r ( i + 1 ) ,

w e s e e t h a t t o u r ( 1 ) m a k e s s e n s e :

t o u r ( 1 ) :

v i s i t 0

v i s i t 1 ; t o u r ( 0 )

v i s i t 2 ; t o u r ( 1 )

v i s i t 3 ; t o u r ( 2 )

.

.

.

6

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I n f a c t t o u r ( 1 ) i s p r e c i s e l y t h e e n t i r e b i n a r y c a r r y s c h e d u l e .

F o r a T u r i n g m a c h i n e i m p l e m e n t a t i o n o f a l l t h i s t o u r i n g , w e m u s t p e r m u t e t o k e e p t h e

h e a d , r e p r e s e n t e d b y a s i n S e c t i o n 2 , a l w a y s n e a r p o s i t i o n n u m b e r 0 . T h u s w e m i g h t t r y

t h e p e r m u t a t i o n a l s i d e e e c t

t o u r ( i ) : 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) ) i : : : 2 1 0 ( i + 1 )

a s p r e p a r a t i o n f o r t h e r s t v i s i t t o i + 1 . B u t t h e n t o u r ( i ) ( o r e v e n i t s s y m m e t r i c m i r r o r

i m a g e ) w o u l d n o l o n g e r c o m p l e t e t h e d e s i r e d a n a l o g o u s p r e p a r a t i o n ( i . e . , t o u r ( i + 1 ) ) f o r

t h e r s t v i s i t t o i + 2 . W i t h t h e l a t t e r g o a l i n m i n d , w e a r e l e d t o p u s h p o s i t i o n i + 1 l e f t

d u r i n g t h e s e c o n d ( m i r r o r - i m a g e ) i t e r a t i o n o f t o u r ( i ) a n d t o i n t r o d u c e i n t o t o u r ( i + 1 ) a

t h i r d i t e r a t i o n o f t o u r ( i ) , t o g e t b a c k t o p o s i t i o n i + 2 . T h i s w a y , t h e p e r m u t a t i o n a l s i d e

e e c t o f t o u r ( i + 1 ) i s f r o m 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) i n i t i a l l y , t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) a f t e r t h e r s t

i t e r a t i o n o f t o u r ( i ) , t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i a f t e r t h e s e c o n d i t e r a t i o n , n a l l y t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0

a f t e r t h e t h i r d i t e r a t i o n , a s d e s i r e d . T h i s l e a d s u s t o r e n e o u r t e r m i n o l o g y , i n o r d e r t o

r e e c t t h e t w o v a r i a n t s o f i - t o u r ( t o u r ( i ) a b o v e ) :

t o u r ( i ; ? ) : 0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0

t o u r ( i ; ? ) : i : : : 2 1 0 ) 0 1 2 : : : i ( m i r r o r i m a g e )

t o u r ( i ; + ) : j 0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0 j

t o u r ( i ; + ) : i : : : 2 1 0 j ) j 0 1 2 : : : i ( m i r r o r i m a g e )

W e w i l l r e f e r t o t h e s e v a r i a n t s a s n e g a t i v e i - t o u r s a n d p o s i t i v e i - t o u r s , r e s p e c t i v e l y , d e p e n d i n g

o n w h e t h e r s o m e p o s i t i o n j i s o r i s n o t b e i n g \ t r a n s p o r t e d " . N o t e t h a t w e d o n o t d i s t i n g u i s h

n o t a t i o n a l l y b e t w e e n a t o u r a n d i t s m i r r o r i m a g e , s i n c e o n l y o n e o f t h e t w o c a n b e a p p l i c a b l e

a t a t i m e , d e p e n d i n g o n t h e c u r r e n t l o c a t i o n o f p o s i t i o n 0 . S i m i l a r l y , w e d o n o t i n c o r p o r a t e

i n t o t h e n o t a t i o n t h e p o s i t i o n j b e i n g t r a n s p o r t e d b y a p o s i t i v e t o u r , s i n c e t h e r e i s n e v e r

a n y c h o i c e .

S u p p r e s s i n g e x p l i c i t v i s i t s n o w ( s i n c e c o n v e n i e n t i - o p p o r t u n i t i e s w i l l a r i s e a t a d i e r e n t

p o i n t i n o u r s c h e m e , a n d s i n c e t h e v i s i t s d o n o t a e c t t h e a c t u a l p e r m u t a t i o n p r o c e s s

a n y w a y ) , w e a r r i v e a t t h e f o l l o w i n g m u t u a l l y r e c u r s i v e i m p l e m e n t a t i o n s f o r o u r e v o l v i n g

t o u r s ( t h e p r o g r a m l o c a t i o n s a r e l a b e l e d ( a ) t h r o u g h ( e ) f o r l a t e r r e f e r e n c e ) :

t o u r ( i + 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )

t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) )

( a ) t o u r ( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i )

( b ) t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 )

t o u r ( i + 1 ; + ) : ( s t a r t w i t h j 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )

t o u r ( i ; + ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 j ( i + 1 ) )

( c ) p u s h b a c k ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) j )

( d ) t o u r ( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i j )

( e ) t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 j )

T h e r e c u r s i v e s t r a t e g y f o r t o u r ( i + 1 ; ? ) i s a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y , b u t t h e s t r a t e g y f o r

t o u r ( i + 1 ; + ) i s n e w . N o t e t h a t t h e l a t t e r r e q u i r e s a n e w p e r m u t a t i o n s t e p , c a l l e d a p u s h b a c k ,

t o p u s h t h e n o n z e r o p o s i t i o n c u r r e n t l y a d j a c e n t t o t h e h e a d b e y o n d t h e n e x t a d j a c e n t

p o s i t i o n . F i n a l l y , s i n c e a p p e n d i n g

( a ) t o u r ( i ; + ) ; ( b ) t o u r ( i ; ? )

o n t o t h e e n d o f t o u r ( i ; ? ) a l w a y s g i v e s t o u r ( i + 1 ; ? ) , w e a g a i n h a v e a w e l l - d e n e d i n n i t e

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l i m i t :

t o u r ( 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h 0 1 2 3 4 5 )

t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 0 1 2 3 4 5 )

( a ) t o u r ( 0 ; + ) ; ( b ) t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 1 0 2 3 4 5 )



.

.

.

.

.

.

I t i s t o u r ( 1 ; ? ) t h a t w e a c t u a l l y i m p l e m e n t .

5 . R e c u r s i o n E l i m i n a t i o n

B y i n d u c t i o n , t h e e n t i r e p e r m u t a t i o n p r o c e s s t o u r ( 1 ; ? ) i n v o l v e s j u s t t h r e e , s y m m e t r i c

p a i r s o f a t o m i c m o v e s :

t o u r ( 0 ; ? ) : 0 ) 0 t o u r ( 0 ; + ) : j 0 ) 0 j p u s h b a c k : 0 j i ) 0 i j

0 ) 0 0 j ) j 0 i j 0 ) j i 0

O u r s i m u l a t o r w i l l h a v e t o d e t e r m i n e w h i c h o f t h e s e l o c a l p e r m u t a t i o n s t o p e r f o r m a t e a c h

s t e p . T h e p r o b l e m i s a n a l o g o u s t o t h e d e r i v a t i o n o f a n o n r e c u r s i v e s o l u t i o n t o t h e \ T o w e r s

o f H a n o i " p r o b l e m f r o m t h e m o r e o b v i o u s r e c u r s i v e s o l u t i o n 3 ] . I n t h i s s e c t i o n w e s o l v e

t h e p r o b l e m b y a d d i n g a s m a l l n u m b e r o f c a r e f u l l y c h o s e n n o t a t i o n s t o t h e s y m b o l s b e i n g

p e r m u t e d .

B e c a u s e p o s i t i o n 0 w i l l a l w a y s b e t o t h e i m m e d i a t e l e f t o r r i g h t o f t h e h e a d , t h e s i m u l a t o r

w i l l b e a b l e t o m a i n t a i n t h e c o r r e c t c u r r e n t d i r e c t i o n t o p o s i t i o n 0 i n n i t e - s t a t e c o n t r o l ,

n a r r o w i n g t h e p o s s i b i l i t i e s t o j u s t o n e a t o m i c m o v e f r o m e a c h p a i r a b o v e . T h e r e m a i n i n g

p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e n e x t s t e p s h o u l d b e a n e g a t i v e 0 - t o u r , a p o s i t i v e 0 - t o u r ,

o r a p u s h b a c k .

O b s e r v a t i o n 1 . F o r e v e r y i , t h e r e s p e c t i v e r s t m o v e s o f t o u r ( i ; ? ) a n d t o u r ( i ; + ) a r e

t o u r ( 0 ; ? ) a n d t o u r ( 0 ; + ) .

E x c e p t f o r t h e i n i t i a l s i t u a t i o n , w h e n t o u r ( 0 ; ? ) i s r e q u i r e d e x p l i c i t l y , p r o g r a m l o c a t i o n s

( a ) t h r o u g h ( e ) a c c o u n t f o r a l l s i t u a t i o n s . B y O b s e r v a t i o n 1 , i t w i l l s u c e a l w a y s t o k n o w

w h e t h e r t h e n e x t m o v e s t a r t s a n e g a t i v e t o u r ( p r o g r a m l o c a t i o n s ( b ) , ( e ) ) , s t a r t s a p o s i t i v e

t o u r ( p r o g r a m l o c a t i o n s ( a ) , ( d ) ) , o r i s a p u s h b a c k ( p r o g r a m l o c a t i o n ( c ) ) . A g o o d c l u e

w o u l d b e t h e l a r g e s t a c t i o n t h a t t h e p r e v i o u s m o v e e n d e d ; t h i s c l u e i s n o t r e a d i l y a v a i l a b l e ,

h o w e v e r , s i n c e n e g a t i v e ( i + 1 ) - t o u r s a n d p o s i t i v e ( i + 1 ) - t o u r s b o t h e n d w i t h t h e s a m e m o v e ,

a n e g a t i v e 0 - t o u r .

O b s e r v a t i o n 2 . A p o s i t i v e t o u r e n d s w i t h t h e h e a d a d j a c e n t t o t h e t r a n s p o r t e d p o s i t i o n j .

O b s e r v a t i o n 3 . B y i n d u c t i o n , a t n o t i m e p r o p e r l y w i t h i n a t o u r i s t h e h e a d a d j a c e n t t o a

p o s i t i o n n o t e x p l i c i t l y i n v o l v e d i n t h e t o u r . ( T h e p o s i t i o n s e x p l i c i t l y i n v o l v e d i n t o u r ( i ; ? )

a r e 0 t h r o u g h i , a n d t h e o n e s e x p l i c i t l y i n v o l v e d i n t o u r ( i ; + ) a r e t h e s e a n d a l s o t h e t r a n s -

p o r t e d p o s i t i o n j . )

C o r o l l a r y . T h e p o s i t i o n j t h a t g e t s p u s h e d b a c k a t t h e o u t e r m o s t l e v e l o f a p o s i t i v e t o u r

w i l l n e x t b e a d j a c e n t t o t h e h e a d a t t h e e n d o f t h a t p o s i t i v e t o u r .

T h i s l a s t c o r o l l a r y p r e s e n t s a n o p p o r t u n i t y t o r e c o g n i z e t h e e n d o f a p o s i t i v e t o u r : T h e

h e a d c a n l e a v e a \ m e s s a g e " a t t a c h e d t o t h e p o s i t i o n t h a t g e t s p u s h e d b a c k , i n d i c a t i n g t h a t a

p o s i t i v e t o u r i s i n p r o g r e s s . ( I n o u r u l t i m a t e i m p l e m e n t a t i o n , t h e m e s s a g e s w i l l b e s i n g l e a n d

d o u b l e p r i m e s o n s y m b o l s . ) C o n s e q u e n t l y , t h e s i m u l a t o r w i l l b e a b l e t o r e c o g n i z e w h e n a

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p o s i t i v e t o u r i s e n d i n g , a t w h i c h t i m e i t c a n d e l e t e t h e m e s s a g e ( r e m o v e t h e s i n g l e o r d o u b l e

p r i m e ) . ( I n t h e s p e c i a l c a s e o f t h e o n e - m o v e p o s i t i v e t o u r t o u r ( 0 ; + ) , t h e r e i s n o p u s h b a c k ; i n

t h i s c a s e , f o r u n i f o r m i t y , t h e s a m e s o r t o f m e s s a g e c a n b e a t t a c h e d t o t h e r e l e v a n t p o s i t i o n j ,

i n t h e o n e m o v e t h a t d o e s t a k e p l a c e . ) T h e a b s e n c e o f s u c h a m e s s a g e , t h e r e f o r e , w i l l s u r e l y

i n d i c a t e p r o g r a m l o c a t i o n ( a ) o r ( d ) a n d h e n c e t h a t t h e n e x t m o v e s h o u l d b e t o u r ( 0 ; + ) . I n

t h e p r e s e n c e o f s u c h a m e s s a g e , h o w e v e r , i t s t i l l r e m a i n s t o d i s t i n g u i s h p r o g r a m l o c a t i o n ( c )

( w h i c h i s f o l l o w e d b y a p u s h b a c k ) f r o m p r o g r a m l o c a t i o n s ( b ) a n d ( e ) ( w h i c h a r e f o l l o w e d b y

t o u r ( 0 ; ? ) ) . F o r t h i s p u r p o s e , w e i n t r o d u c e a n a u x i l i a r y d i s t i n c t i o n b e t w e e n t w o v a r i e t i e s o f

p o s i t i v e t o u r , a d i s t i n c t i o n t h a t w e w i l l t r y t o r e c o r d a s p a r t o f t h e m e s s a g e c o r r e s p o n d i n g

t o t h e p o s i t i v e t o u r . T h e d i s t i n c t i o n i s s i m p l y j = i + 1 v e r s u s j > i + 1 :

t o u r

0

( i ; + ) : ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0 ( i + 1 )

t o u r

0

( i ; + ) : i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) ) ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i

t o u r

0 0

( i ; + ) : j 0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0 j ( j > i + 1 )

t o u r

0 0

( i ; + ) : i : : : 2 1 0 j ) j 0 1 2 : : : i ( j > i + 1 )

I n t h e c o r r e s p o n d i n g l y r e v i s e d r e c u r s i o n , d o u b l y p r i m e d p o s i t i v e t o u r s a r e n e e d e d o n l y f o r

t h e r s t s u b t o u r a t t h e o u t e r m o s t l e v e l o f e a c h p o s i t i v e t o u r . B e c a u s e d i e r e n t m e s s a g e s

h a v e t o b e l e f t , w e b e g i n n o w t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n s i n g l y a n d d o u b l y p r i m e d p u s h b a c k s .

F o r u s e i n o u r a n a l y s i s , w e a d d t h e r e c u r s i o n l e v e l o f a p u s h b a c k t o t h e n o t a t i o n , e v e n t h o u g h

i t i s n o t a l g o r i t h m i c a l l y s i g n i c a n t .

t o u r ( i + 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )


( a ) t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i )

( b ) t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 )

t o u r

0

( i + 1 ; + ) : ( s t a r t w i t h ( i + 2 ) 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )

t o u r

0 0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 2 ) ( i + 1 ) )

( c ) p u s h b a c k

0

( i + 1 ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) ( i + 2 ) )

( d ) t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i ( i + 2 ) )

( e ) t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 ( i + 2 ) )

t o u r

0 0

( i + 1 ; + ) : ( s t a r t w i t h j 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )

t o u r

0 0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 j ( i + 1 ) )

( c ) p u s h b a c k

0 0

( i + 1 ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) j )

( d ) t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i j )

( e ) t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 j )

t o u r ( 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h 0 1 2 3 4 5 )

t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 0 1 2 3 4 5 )

( a ) t o u r

0

( 0 ; + ) ; ( b ) t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 1 0 2 3 4 5 )

( a ) t o u r

0

( 1 ; + ) ; ( b ) t o u r ( 1 ; ? ) ( p e r m u t e t o 2 1 0 3 4 5 )

( a ) t o u r

0

( 2 ; + ) ; ( b ) t o u r ( 2 ; ? ) ( p e r m u t e t o 3 2 1 0 4 5 )

.

.

.

.

.

.

A s d e s i r e d , n o w , t h e e n d o f t h e d o u b l y p r i m e d v a r i e t y o f p o s i t i v e t o u r w i l l i n d i c a t e p r o g r a m

l o c a t i o n ( c ) , a n d t h e e n d o f t h e s i n g l y p r i m e d v a r i e t y w i l l i n d i c a t e p r o g r a m l o c a t i o n ( b ) o r ( e ) .

I t r e m a i n s t o n d a w a y t o r e c o g n i z e w h i c h v a r i e t y o f p o s i t i v e t o u r e a c h p u s h b a c k i s a

t o p - l e v e l p a r t o f , a n d w h i c h i s t h e v a r i e t y o f e a c h p o s i t i v e 0 - t o u r , s o t h a t t h e r i g h t m e s s a g e s

( s i n g l e o r d o u b l e p r i m e , c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i n g l y o r d o u b l y p r i m e d v a r i e t y o f p u s h b a c k o r

p o s i t i v e t o u r ) c a n b e r e c o r d e d . F o r t h e s e p u r p o s e s , w e w i l l m a i n t a i n w i t h e a c h p o s i t i o n t h e

d i r e c t i o n i n t h e c u r r e n t p e r m u t a t i o n t o i t s s u c c e s s o r . ( T h i s i s t h e p u r p o s e o f t h e o v e r a r r o w s . )

W h e n w e s u m m a r i z e i n S e c t i o n 7 , w e w i l l i n d i c a t e h o w t o k e e p t h i s i n f o r m a t i o n u p t o d a t e .

T o s e e t h a t t h i s d i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n w i l l h e l p , w e n e e d o n e m o r e i n d u c t i v e o b s e r v a t i o n :

9

8/6/2019 10.1.1.51.5266


O b s e r v a t i o n 4 . I n e a c h i n v o c a t i o n o f t o u r

0 0

( i ; + ) ( o n l y t w o p o s s i b i l i t i e s a b o v e ) , t h e r s t

u n i n v o l v e d p o s i t i o n i n i t i a l l y b e y o n d p o s i t i o n i i s p o s i t i o n i + 1 . ( I n e i t h e r c a s e , t h e i n i t i a l

p e r m u t a t i o n w i l l i n c l u d e j 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) o r i t s m i r r o r i m a g e . )

I n a l l o u r i n v o c a t i o n s o f t o u r

0 0

( i + 1 ; + ) , t h e r e f o r e , t h e r s t u n i n v o l v e d p o s i t i o n i n i t i a l l y

b e y o n d p o s i t i o n i + 1 w i l l b e p o s i t i o n i + 2 , s o t h a t t h e p r e c o n d i t i o n f o r p u s h b a c k

0 0

( i + 1 ) w i l l

a l w a y s b e 0 j ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( o r i t s m i r r o r i m a g e ) . T h e p r e c o n d i t i o n f o r p u s h b a c k

0

( i + 1 ) , o n

t h e o t h e r h a n d , w i l l a l w a y s b e 0 ( i + 2 ) ( i + 1 ) ( o r i t s m i r r o r i m a g e ) . T h e d i s t i n c t i o n c a n b e

r e c o g n i z e d f r o m t h e d i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n f o r p o s i t i o n i + 1 . S i m i l a r l y , t h e p r e c o n d i t i o n f o r

t o u r

0 0

( 0 ; + ) w i l l a l w a y s b e 1 0 j ( o r i t s m i r r o r i m a g e ) , w h i l e t h e p r e c o n d i t i o n f o r t o u r

0

( 0 ; + )

w i l l a l w a y s b e 0 1 ( o r i t s m i r r o r i m a g e ) , a d i s t i n c t i o n t h a t c a n b e r e c o g n i z e d f r o m t h e

d i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n f o r p o s i t i o n 0 .

I n s u m m a r y , h e r e a r e s u i t a b l e s p e c i c a t i o n s f o r t h e e v o l v e d v e r s i o n s o f a l l t h e t o u r s a n d

p u s h b a c k s ( e x c e p t f o r m i r r o r i m a g e s ) , n o w s h o w i n g s i n g l e - a n d d o u b l e - p r i m e m e s s a g e s ( b u t

n o t s h o w i n g o v e r a r r o w s , s i n c e w e a r e s t i l l s h o w i n g e x p l i c i t p o s i t i o n n u m b e r s ) :

t o u r ( i ; ? ) :

0

0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0

t o u r

0

( i ; + ) : ( i + 1 ) 0 1 2 : : : i ) i : : : 2 1 0 ( i + 1 )

0

t o u r

0 0

( i ; + ) : j 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) ) i : : : 2 1 0 j

0 0

( i + 1 ) ( j > i + 1 )

p u s h b a c k

0

( i ) : 0 ( i + 1 )

0 0

i ) 0 i ( i + 1 )

0

p u s h b a c k

0 0

( i ) : 0 j

0 0

i ( i + 1 ) ) 0 i j

0 0

( i + 1 ) ( j > i + 1 )

I t i s e a s y t o c h e c k i n d u c t i v e l y t h a t t h e r e c u r s i v e i m p l e m e n t a t i o n s d o m a i n t a i n t h e s p e c i -

c a t i o n s :

t o u r ( i + 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h

0

0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )


t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 )

0

0 1 2 : : : i )

t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 )

t o u r

0

( i + 1 ; + ) : ( s t a r t w i t h ( i + 2 ) 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) )

t o u r

0 0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 2 )

0 0

( i + 1 ) )

p u s h b a c k

0

( i + 1 ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) ( i + 2 )

0

)

t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 )

0

0 1 2 : : : i ( i + 2 )

0

)

t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 ( i + 2 )

0

)

t o u r

0 0

( i + 1 ; + ) : ( s t a r t w i t h j 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) ( i + 2 ) )

t o u r

0 0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 j

0 0

( i + 1 ) ( i + 2 ) )

p u s h b a c k

0 0

( i + 1 ) ( p e r m u t e t o i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) j

0 0

( i + 2 ) )

t o u r

0

( i ; + ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 )

0

0 1 2 : : : i j

0 0

( i + 2 ) )

t o u r ( i ; ? ) ( p e r m u t e t o ( i + 1 ) i : : : 2 1 0 j

0 0

( i + 2 ) )

t o u r ( 1 ; ? ) : ( s t a r t w i t h

0

0 1 2 3 4 5 )

t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 0 1 2 3 4 5 )

t o u r

0

( 0 ; + ) ; t o u r ( 0 ; ? ) ( p e r m u t e t o 1 0 2 3 4 5 )

t o u r

0

( 1 ; + ) ; t o u r ( 1 ; ? ) ( p e r m u t e t o 2 1 0 3 4 5 )

t o u r

0

( 2 ; + ) ; t o u r ( 2 ; ? ) ( p e r m u t e t o 3 2 1 0 4 5 )

.

.

.

.

.

.

6 . O p p o r t u n i t i e s T o C a r r y a n d T o B o r r o w

W e s e e f r o m t h e a b o v e p r e c o n d i t i o n s f o r p u s h b a c k

0

( i + 1 ) a n d p u s h b a c k

0 0

( i + 1 ) ( t h e

\ ( i + 1 ) - p u s h b a c k s " ) t h a t t h e s e o p e r a t i o n s c a n s e r v e a s ( i + 2 ) - o p p o r t u n i t i e s . S i m i l a r l y ,

1 0

8/6/2019 10.1.1.51.5266


t o u r

0

( 0 ; + ) a n d t o u r

0 0

( 0 ; + ) ( t h e \ p o s i t i v e 0 - t o u r s " ) c a n s e r v e a s 1 - o p p o r t u n i t i e s . S i n c e t h e

h e a d i s a l w a y s a d j a c e n t t o p o s i t i o n 0 , e v e r y s t e p i s a g o o d t i m e t o p r o p a g a t e i n c r e m e n t s

a n d d e c r e m e n t s i n t o p o s i t i o n 0 ; i f w e d e s i g n a t e o n l y t h e p o s i t i v e 0 - t o u r s a s 0 - o p p o r t u n i t i e s ,

h o w e v e r , w e w i l l u l t i m a t e l y b e a b l e t o c h o o s e a s l i g h t l y s m a l l e r r a d i x f o r o u r n o t a t i o n .

O b s e r v a t i o n 5 . I f w e o m i t j - p u s h b a c k s f o r j > i , t h e n t o u r ( 1 ; ? ) i s a n i n n i t e c o n c a t e -

n a t i o n o f n e g a t i v e a n d p o s i t i v e i - t o u r s , t h e r s t o f w h i c h i s n e g a t i v e , t h e s e c o n d o f w h i c h i s

p o s i t i v e , a n d n o t h r e e c o n s e c u t i v e o f w h i c h a r e a l l n e g a t i v e o r a l l p o s i t i v e . ( T o s e e t h e l a s t

p a r t , m a k e t h e a n a l o g o u s o b s e r v a t i o n b y i n d u c t i o n o n i

0

i f o r e a c h n e g a t i v e a n d p o s i t i v e

i

0

- t o u r , a n d n a l l y n o t e t h a t t o u r ( 1 ; ? ) i s t h e l i m i t o f t h e n e g a t i v e t o u r s . )

C o r o l l a r y . I n t o u r ( 1 ; ? ) , o u r i n f o r m a t i o n p r o p a g a t i o n r e q u i r e m e n t s a r e s a t i s e d w i t h

r e s p e c t i v e c o n s t a n t s 3 a n d 4 :

1 . T h e r e i s a 0 - o p p o r t u n i t y a t l e a s t o n c e e v e r y t h r e e s t e p s .

2 . T h e r e i s a 1 - o p p o r t u n i t y e v e r y t i m e t h e r e i s a 0 - o p p o r t u n i t y .

3 . T h e r e a r e e x a c t l y t w o ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t i e s b e f o r e t h e r s t ( i + 2 ) - o p p o r t u n i t y , a n d a t

m o s t f o u r ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t i e s b e t w e e n ( i + 2 ) - o p p o r t u n i t i e s .

P r o o f o f t h i r d p a r t : T h e ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t i e s a r e d i s t r i b u t e d o n e p e r p o s i t i v e i - t o u r . U s i n g

O b s e r v a t i o n 5 t o f o c u s o n ( i + 1 ) - t o u r s , t h e r e f o r e , w e s e e t h a t e a c h n e g a t i v e t o u r p r e s e n t s

o n e ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t y a n d n o ( i + 2 ) - o p p o r t u n i t y , a n d t h a t e a c h p o s i t i v e t o u r p r e s e n t s

o n e ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t y b e f o r e i t s o n e ( i + 2 ) - o p p o r t u n i t y a n d o n e a f t e r . T h e t w o i n i t i a l

( i + 1 ) - o p p o r t u n i t i e s c o m e f r o m t h e i n i t i a l n e g a t i v e a n d p o s i t i v e t o u r s , a n d t h e m a x i m u m

o f f o u r i n t e r v e n i n g ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t i e s a r i s e w h e n a c o n s e c u t i v e p a i r o f n e g a t i v e t o u r s i s

b r a c k e t e d b y p o s i t i v e t o u r s .

S i n c e 5 + 4 1 0 ? 1 , i t f o l l o w s t h a t r = 1 0 w i l l b e a l a r g e e n o u g h r a d i x . T h e m o r e c a r e f u l

a n a l y s i s i n S e c t i o n 8 r e v e a l s t h a t e v e n r = 4 w i l l b e l a r g e e n o u g h .

7 . F o r m a l S u m m a r y

I n S e c t i o n 5 w e s h o w e d h o w t o a n n o t a t e t h e s y m b o l s b e i n g p e r m u t e d i n t h e r e c u r -

s i v e l y d e n e d t o u r ( 1 ; ? ) i n s u c h a w a y t h a t t h e v e r y s a m e p e r m u t a t i o n c a n b e c a r r i e d o u t

n o n r e c u r s i v e l y b y a d e t e r m i n i s t i c s i n g l e - t a p e T u r i n g m a c h i n e , b a s e d e n t i r e l y o n l o c a l c u e s .

I n S e c t i o n 6 w e o b s e r v e d t h a t t h e s a m e a n n o t a t i o n s p r o v i d e s u c i e n t c u e s f o r a d e q u a t e

o p p o r t u n i t i e s t o p e r f o r m t h e i n c r e m e n t s , d e c r e m e n t s , c a r r i e s , a n d b o r r o w s r e q u i r e d f o r o u r

r e a l - t i m e s i m u l a t i o n o f a c o u n t e r . I n t h i s s e c t i o n w e n a l l y r e l a t e a l l t h i s t o t h e f e w s i m p l e

r u l e s p r e v i e w e d i n S e c t i o n 2 .

F o r t r a n s p a r e n c y , w e w i l l s u m m a r i z e t h e r u l e s w e h a v e d e r i v e d i n t h r e e i n c r e a s i n g l y

f o r m a l s t a g e s . I n i n c r e a s i n g o r d e r o f d i c u l t y , t h e f o u r m a i n c a s e s a r e t h e r s t m o v e , t h e

c a s e w h e n a s i n g l e - p r i m e m e s s a g e i s r e c e i v e d , t h e c a s e w h e n n o m e s s a g e i s r e c e i v e d , a n d

t h e c a s e w h e n a d o u b l e - p r i m e m e s s a g e i s r e c e i v e d . T h e r s t m o v e i s a l w a y s t o u r ( 0 ; ? ) .

W h e n a s i n g l e - p r i m e m e s s a g e i s r e c e i v e d , t o u r ( 0 ; ? ) i s a g a i n t h e c o r r e c t m o v e . W h e n n o

m e s s a g e i s r e c e i v e d , t h e c o r r e c t m o v e i s e i t h e r t o u r

0

( 0 ; + ) o r t o u r

0 0

( 0 ; + ) , d e p e n d i n g o n

w h e t h e r p o s i t i o n 1 i s a d j a c e n t t o t h e h e a d o r b e y o n d p o s i t i o n 0 ; e i t h e r w a y , a c a r r y o r

b o r r o w c a n b e p r o p a g a t e d a s d e s c r i b e d a b o v e , a n d a n i n d i c a t i v e m e s s a g e s h o u l d b e l e f t

w i t h t h e t r a n s p o r t e d p o s i t i o n . W h e n a d o u b l e - p r i m e m e s s a g e i s r e c e i v e d , t h e c o r r e c t m o v e

i s a s i n g l y o r d o u b l y p r i m e d p u s h b a c k , d e p e n d i n g o n d i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n n e a r t h e h e a d

a s d e s c r i b e d a b o v e ; e i t h e r w a y , a c a r r y o r b o r r o w c a n b e p r o p a g a t e d a s d e s c r i b e d a b o v e ,

a n d a n i n d i c a t i v e m e s s a g e s h o u l d b e l e f t w i t h t h e p o s i t i o n t h a t i s p u s h e d b a c k .

I n t h e s e c o n d s t a g e , w e r e f o r m u l a t e o u r s u m m a r y v i a f o r m a l r u l e s i n t e r m s o f p o s i t i o n

n u m b e r s . F o r t h e m e s s a g e s c o r r e s p o n d i n g t o c o m p l e t i o n o f s i n g l y a n d d o u b l y p r i m e d p o s i t i v e

1 1

8/6/2019 10.1.1.51.5266


t o u r s , w e u s e s i n g l e a n d d o u b l e p r i m e s o n t h e p o s i t i o n n u m b e r s . E x c e p t i n t h e c a s e o f t h e

s p e c i a l r u l e f o r t h e v e r y r s t m o v e ( 0 ) 0 ) , t h e m i r r o r i m a g e o f e a c h r u l e i s a l s o a r u l e ;

s o w e w i l l l i s t o n l y r u l e s w i t h p o s i t i o n 0 i n i t i a l l y t o t h e l e f t o f t h e h e a d . O n l y o n t h e o t h e r

s i d e o f t h e h e a d d o w e s h o w p r i m e s e x p l i c i t l y , s i n c e t h e s e p r i m e s c o n s t i t u t e t h e m e s s a g e

b e i n g r e c e i v e d .

s i n g l e - p r i m e m e s s a g e : n e g a t i v e 0 - t o u r

0 i

0

) 0 i

n o m e s s a g e : p o s i t i v e 0 - t o u r

0 1 ) 1

0

0 , p r o p a g a t e i n t o 0 a n d t h e n f r o m 0 t o 1

1 0 j ) 1 j

0 0

0 , p r o p a g a t e i n t o 0 a n d t h e n f r o m 0 t o 1 ( j > 1 )

d o u b l e - p r i m e m e s s a g e : p u s h b a c k

0 ( i + 2 )

0 0

( i + 1 ) ) 0 ( i + 1 ) ( i + 2 )

0

, p r o p a g a t e f r o m i + 1 t o i + 2

0 j

0 0

( i + 1 ) ( i + 2 ) ) 0 ( i + 1 ) j

0 0

( i + 2 ) , p r o p a g a t e f r o m i + 1 t o i + 2 ( j > i + 2 )

I n o u r n a l , u n a v o i d a b l y o b s c u r e r e f o r m u l a t i o n , w e r e p l a c e t h e p o s i t i o n n u m b e r s w i t h

n o n n u m e r i c b a s e - s y m b o l v a r i a b l e s a n d t h e o v e r a r r o w s t h a t a r e a c t u a l l y p r e s e n t . F o r b a s e -

s y m b o l v a r i a b l e s w h o s e o v e r a r r o w s a r e i r r e l e v a n t a n d d o n o t c h a n g e , h o w e v e r , w e o m i t t h e

e x p l i c i t o v e r a r r o w s f r o m t h e r u l e s . T o a v o i d e x p l i c i t r e f e r e n c e t o n i t e - s t a t e c o n t r o l , w e

r e p l a c e t h e h e a d m a r k e r w i t h e i t h e r

?

o r

? !

t o i n d i c a t e w h e t h e r p o s i t i o n 0 i s j u s t t o

t h e l e f t o r j u s t t o t h e r i g h t . E x c e p t f o r t h e s t a r t r u l e (

? !

a ) a

?

) , e a c h r u l e a g a i n h a s a n

i m p l i c i t s y m m e t r i c r u l e .

b

?

c

0

)

? !

b c

? !

b

?

c ) c

0

? !

?

b , p r o p a g a t i n g i n t o b , a n d t h e n f r o m b t o c

a

?

b

?

c ) a c

0 0

? !

?

b , p r o p a g a t i n g i n t o b , a n d t h e n f r o m b t o a

b

?

c

0 0

?

d ) b

?

? !

d c

0

, p r o p a g a t i n g f r o m d t o c

b

?

c

0 0

? !

d e ) b

?

? !

d c

0 0

e , p r o p a g a t i n g f r o m d t o e

T h e s t a r t r u l e c l o s e l y r e s e m b l e s ( t h e m i r r o r i m a g e o f ) t h e r s t o f t h e v e m o r e g e n e r a l r u l e s .

I f w e i n i t i a l l y p r o v i d e a s i n g l y p r i m e d \ e n d m a r k e r " t o t h e l e f t o f t h e h e a d , t h e n t h e s e p a r a t e

s t a r t r u l e a c t u a l l y d o e s b e c o m e r e d u n d a n t ; t h e r e s u l t , a t l e a s t i f w e u s e r a d i x r = 4 , i s t h e

s i m u l a t i o n p r e v i e w e d i n S e c t i o n 2 .

8 . S p a c e A n a l y s i s

T h e s p a c e u s e d f o r t h e r s t n s t e p s o f t h e m o s t s p a c e - e c i e n t s i m u l a t i o n o f k c o u n t e r s

i s w i t h i n a n a d d i t i v e c o n s t a n t o f k l o g

2

n b i t s , i n t h e w o r s t c a s e . F o r k l a r g e , w e w i l l s e e n o w

t h a t a s t r a i g h t f o r w a r d i m p l e m e n t a t i o n o f o u r r e a l - t i m e , o b l i v i o u s s i m u l a t i o n r e q u i r e s o n l y

a b o u t 2 : 5 t i m e s t h i s m u c h s p a c e .

R e g a r d l e s s o f t h e p a r t i c u l a r ( l a r g e e n o u g h ) r a d i x u s e d , t h e n u m b e r o f d i s t i n c t p o s i t i o n s

i n v o l v e d b y s t e p n i n t h e p e r m u t a t i o n p r o c e s s i s w i t h i n a n a d d i t i v e c o n s t a n t o f l o g

3

n . T o

s e e t h i s , n o t e t h a t t h e p r o c e s s r s t r e a c h e s p o s i t i o n i + 1 a t t h e e n d o f t o u r ( i ; ? ) , a n d t h a t

t h e n u m b e r o f s t e p s i n a n e g a t i v e i - t o u r i s e x a c t l y ( 5 = 4 ) 3

i

? ( 1 = 2 ) i ? ( 1 = 4 ) . T h e l a t t e r , a l o n g

w i t h t h e f a c t t h a t t h e n u m b e r o f s t e p s i n a p o s i t i v e i - t o u r i s e x a c t l y ( 5 = 4 ) 3

i

+ ( 1 = 2 ) i ? ( 1 = 4 ) ,

c a n b e p r o v e d b y s t r a i g h t f o r w a r d s i m u l t a n e o u s i n d u c t i o n .

1 2

8/6/2019 10.1.1.51.5266


T o m i n i m i z e t h e s p a c e u s e d f o r e a c h p o s i t i o n , w e s h o u l d c h o o s e t h e s m a l l e s t r a d i x t h a t

w o r k s . T h e a n a l y s i s b e l o w s h o w s t h a t 4 w o r k s . F o r e a c h a d d i t i o n a l c o u n t e r , t h e r e f o r e , t h e

s p a c e n e e d e d f o r e a c h i n v o l v e d p o s i t i o n i s a t m o s t 4 = d l o g

2

( 7 2 ) e b i t s . ( E a c h o f t h e s e v e n

s i g n e d d i g i t s h a s t w o v e r s i o n s , o n e u n d e r l i n e d a n d o n e n o t u n d e r l i n e d . ) T h e a d d i t i o n a l ,

c o u n t e r - i n d e p e n d e n t s p a c e n e e d e d f o r e a c h p o s i t i o n i s a t m o s t 3 = d l o g

2

( 3 2 ) e b i t s . ( T h e

m e s s a g e c a n b e a b s e n t , a s i n g l e p r i m e , o r a d o u b l e p r i m e ; a n d t h e o v e r a r r o w c a n p o i n t t o t h e

l e f t o r t o t h e r i g h t . ) A l l t o g e t h e r , t h e r e f o r e , t h e s p a c e u s e d t h r o u g h s t e p n c a n b e b o u n d e d

b y ( 3 + 4 k ) l o g

3

n ( 1 : 8 9 + 2 : 5 2 k ) l o g

2

n b i t s .

I t r e m a i n s o n l y t o s h o w t h a t n o o v e r o w ( p a s t 3 ) o r u n d e r o w ( p a s t - 3 ) w i l l o c c u r i f w e

u s e 4 a s t h e r a d i x i n o u r s i m u l a t i o n . U n t i l a n o v e r o w o r u n d e r o w d o e s o c c u r , e a c h ( i + 1 ) -

o p p o r t u n i t y ( a n d a l s o t h e i m p l i c i t i n i t i a l i z a t i o n ) w i l l l e a v e e a c h s i g n e d d i g i t i n p o s i t i o n i i n

t h e r a n g e f r o m - 2 t o 2 . T h e r e f o r e , i t w i l l s u c e t o s h o w t h a t , w h i l e t h e r e m i g h t b e a s m a n y

a s f o u r i - o p p o r t u n i t i e s w i t h o u t a n i n t e r v e n i n g ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t y , a t m o s t o n e o f t h e s e c a n

a c t u a l l y r e s u l t i n a c a r r y ( o r , s y m m e t r i c a l l y , i n a b o r r o w ) .

L e m m a . F o r e a c h i 1 , a t m o s t o n e i - o p p o r t u n i t y i n f o u r c a n r e s u l t i n a c a r r y . F o r e a c h

i 0 , t h e r e f o r e , a n ( i + 1 ) - o p p o r t u n i t y i n t e r v e n e s b e t w e e n e v e r y p a i r o f i n c r e m e n t s t o t h e

s i g n e d d i g i t i n p o s i t i o n i . ( S i m i l a r l y f o r b o r r o w s a n d d e c r e m e n t s , b y s y m m e t r y . )

P r o o f : F o r e a c h i 1 , t h e s e c o n d a s s e r t i o n f o l l o w s f r o m t h e r s t b y t h e t h i r d p a r t o f t h e

c o r o l l a r y t o O b s e r v a t i o n 5 . F o r i = 0 , t h e s e c o n d a s s e r t i o n i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f

t h e s e c o n d p a r t o f t h e s a m e c o r o l l a r y .

T h e p r o o f o f t h e r s t a s s e r t i o n i s b y i n d u c t i o n o n i 1 , a n d t h e g e n e r a l i n d u c t i o n

s t e p i s i t s e l f a n i n d u c t i o n o n t i m e . C o n s i d e r t h e r s t o r n e x t i - o p p o r t u n i t y t h a t r e s u l t s i n

a c a r r y . T h i s c a r r y l e a v e s t h e s i g n e d d i g i t - 1 = 3 ? 4 i n p o s i t i o n i ? 1 . B y t h e ( s e c o n d )

a s s e r t i o n f o r i ? 1 , t h i s c a n i n c r e a s e t o a t m o s t 0 b y t h e n e x t i - o p p o r t u n i t y , t o a t m o s t 1 b y

t h e t h i r d i - o p p o r t u n i t y , a n d t o a t m o s t 2 b y t h e f o u r t h i - o p p o r t u n i t y , n o n e o f w h i c h r e q u i r e s

a c a r r y .

9 . F u r t h e r O p t i m i z a t i o n

O u r o v e r r i d i n g o b j e c t i v e s o f a r h a s b e e n t o k e e p t h e s i m u l a t i o n s i m p l e . A t t h e e x p e n s e

o f s o m e c l a r i t y , h o w e v e r , w e c a n m a k e t h e s i m u l a t i o n e v e n m o r e e c i e n t .

T h e r e i s o n e e a s y w a y t o s a v e s p a c e i n t h e s i m u l a t i o n a s p r e s e n t e d a b o v e . P o s i t i o n s

o f t h e s e p a r a t e r e p r e s e n t a t i o n s a n d p o s i t i o n s t h a t a r e a d j a c e n t i n t h e c u r r e n t p e r m u t a t i o n

n e e d n o t b e e n c o d e d s e p a r a t e l y . B y s u i t a b l e e n c o d i n g , t h e r e f o r e , t h e s p a c e u s e d c a n b e k e p t

a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e u n r o u n d e d l i m i t ( l o g

2

6 + k l o g

2

1 4 ) l o g

3

n ( 1 : 6 3 + 2 : 4 0 k ) l o g

2

n .

A m o r e s u b t l e o b s e r v a t i o n l e a d s t o s a v i n g e v e n m o r e s p a c e . B e c a u s e e a c h r a d i x - 4

s i g n e d d i g i t i s b o u n d e d b y 3 i n a b s o l u t e v a l u e , t h e n u m b e r o f s i g n i c a n t s i g n e d d i g i t s i n

e a c h c o u n t e r ' s r e p r e s e n t a t i o n s t a y s w i t h i n a n a d d i t i v e c o n s t a n t o f t h e b a s e - 4 l o g a r i t h m o f

t h e c o u n t e r ' s c o n t e n t s . W i t h c a r e , t h e r e f o r e , w e m i g h t h o p e t o l i m i t t h e n u m b e r o f p o s i t i o n s

i n v o l v e d i n o u r s i m u l a t i o n t o t h e b a s e - 4 l o g a r i t h m o f t h e l a r g e s t c o u n t e r c o n t e n t s s o f a r .

E v e n i n t h e w o r s t c a s e t h a t t h e l a r g e s t c o u n t e r c o n t e n t s a f t e r t h e r s t n s t e p s i s n , t h i s

w o u l d r e d u c e s p a c e u s a g e b y a f a c t o r o f l o g

4

n = l o g

3

n : 7 9 .

O n e w a y t o t a k e a d v a n t a g e o f t h i s p o t e n t i a l i s t o i n s e r t s o m e e x t r a p a i r s o f n e g a t i v e

i - t o u r s r i g h t b e f o r e t h e p o s i t i v e i - t o u r t h a t r s t t r a n s p o r t s a n d i n v o l v e s p o s i t i o n i + 1 . ( T h e

r s t h a l f o f e a c h s u c h p a i r p e r m u t e s f r o m i : : : 2 1 0 ( i + 1 ) ( i + 2 ) : : : b a c k t o t h e o r i g i n a l

c o n g u r a t i o n 0 1 2 : : : i ( i + 1 ) ( i + 2 ) : : : , a n d t h e s e c o n d h a l f p e r m u t e s u p t o i : : : 2 1 0

( i + 1 ) ( i + 2 ) : : : a g a i n . ) T o d o t h i s , w e n e e d o n l y d e c i d e a t t h e t i m e w e w o u l d n o r m a l l y

r s t i n v o l v e a n e w p o s i t i o n i + 1 ( w i t h a p o s i t i v e 0 - t o u r ) w h e t h e r t o s t a r t a n e g a t i v e i - t o u r

i n s t e a d ( w i t h a n e g a t i v e 0 - t o u r ) . W e w i l l w a n t t o i n v o l v e p o s i t i o n i + 1 i f a n d o n l y i f a

s i g n i c a n t s i g n e d d i g i t i s a l r e a d y w i t h i n a f e w p o s i t i o n s o f p o s i t i o n i + 1 .

1 3

8/6/2019 10.1.1.51.5266


F o r t h i s , w e n e e d a s e c o n d v e r s i o n o f e a c h u n i n v o l v e d p o s i t i o n , t o i n d i c a t e w h e t h e r t h e

p o s i t i o n i s \ r i p e " f o r i n v o l v e m e n t , a n d w e n e e d a p p r o p r i a t e o p p o r t u n i t i e s t o m a r k u n i n v o l v e d

p o s i t i o n s r i p e . I f i + 1 i s t h e r s t u n i n v o l v e d p o s i t i o n , t h e n s u c h a n o p p o r t u n i t y a r i s e s e a c h

t i m e w e r e a c h t h e c o n g u r a t i o n ( i ? 3 ) : : : 2 1 0 ( i ? 2 ) ( i ? 1 ) i ( i + 1 ) : : : , s a y . I t f o l l o w s

f r o m t h e e a s y - t o - c h e c k i n d u c t i v e o b s e r v a t i o n b e l o w t h a t d i r e c t i o n a l i n f o r m a t i o n w i l l s u c e

t o i d e n t i f y t h i s s i t u a t i o n u n a m b i g u o u s l y . I f s i g n i c a n c e h a s a l r e a d y r e a c h e d p o s i t i o n i ? 2 ,

s a y , t h e n p o s i t i o n i + 1 c a n b e m a r k e d n a l l y a s r i p e f o r i n v o l v e m e n t , a n d i t w i l l b e c o m e

i n v o l v e d i n t i m e t o r e c e i v e t h e r s t c a r r y f r o m p o s i t i o n i .

O b s e r v a t i o n 6 . A t a n y t i m e i n t h e p e r m u t a t i o n p r o c e s s , i f

? !

a b o c c u r s a n y w h e r e t o t h e

r i g h t o f t h e h e a d ( o r , s y m m e t r i c a l l y , i f b

?

a o c c u r s a n y w h e r e t o t h e l e f t o f t h e h e a d ) , w i t h a

p r i m e o r d o u b l e - p r i m e m e s s a g e a t t a c h e d t o n e i t h e r a n o r b , a n d i f t h e p o s i t i o n n u m b e r o f a

i s i , t h e n t h e p o s i t i o n n u m b e r o f b i s i + 1 .

A t t h e e x p e n s e o f o b l i v i o u s n e s s , t h i s y i e l d s a r e a l - t i m e m u l t i c o u n t e r s i m u l a t i o n t h a t u s e s

s p a c e o n l y l o g a r i t h m i c i n t h e m a x i m u m c o u n t e r c o n t e n t s . I t r e d u c e s t h e w o r s t - c a s e s p a c e f o r

a r e a l - t i m e s i m u l a t i o n o f k c o u n t e r s t o a b o u t ( l o g

2

6 + k l o g

2

1 5 ) l o g

4

n ( 1 : 2 9 + 1 : 9 5 k ) l o g

2

n .

A l t h o u g h , w i t h a s l i g h t l y d i e r e n t d e s i g n a t i o n o f i - o p p o r t u n i t i e s , w e c o u l d r e d u c e t h e

r a d i x f o r o u r s i m u l a t i o n ' s r a d i x n o t a t i o n d o w n t o 3 , i t t u r n s o u t t o b e m o r e s p a c e - e c i e n t

t o u s e a l a r g e r r a d i x . A t t h e m e r e e x p e n s e o f a d d i t i o n a l c o n t r o l s t a t e s , t h i s w i l l r e d u c e

t h e n u m b e r o f b i t s u s e d f o r u n d e r l i n e s , m e s s a g e s , a n d o v e r a r r o w s . R e p e a t i n g t h e a n a l y s i s

s k e t c h e d a b o v e , b u t n o w f o r a n a r b i t r a r y r a d i x r , w e g e t a s p a c e b o u n d o f

( l o g

2

6 + k l o g

2

( 2 ( 2 r ? 1 ) + 1 ) ) l o g

r

n ( k + ( l o g

2

6 + 2 k ) = l o g

2

r ) l o g

2

n :

F o r e a c h > 0 , t h e r e f o r e , w e c a n u s e a r a d i x r s o l a r g e t h a t ( k + ) l o g

2

n b i t s w i l l s u c e

f o r e v e r y k .

N o t e t h a t t h e a n a l y s e s a b o v e d o g i v e i m p r o v e d r e s u l t s e v e n f o r o b l i v i o u s s i m u l a t i o n .

S i n c e t h e c o u n t e r w i t h t h e l a r g e s t c o n t e n t s d e t e r m i n e s h e a d m o t i o n , t h e s i m u l a t o r w i l l b e

o b l i v i o u s i f i t s i m u l a t e s o n e e x t r a , d o m i n a n t c o u n t e r o f i t s o w n , i n c r e m e n t i n g i t a t e v e r y

s t e p . T h i s y i e l d s a s p a c e b o u n d o f ( k + 1 + ) l o g

2

n b i t s f o r o b l i v i o u s r e a l - t i m e s i m u l a t i o n

o f k c o u n t e r s .

A c k n o w l e d g m e n t s . W e t h a n k L a u r a S a n c h i s f o r c r i t i c i z i n g a n e a r l y d r a f t o f t h e p a p e r , a n d J a n i e

I r w i n f o r p r o v i d i n g r e f e r e n c e s 1 { 2 ] . P e t e r G a c s r s t s u g g e s t e d t h a t t h e s p a c e u s e d b y a n o n o b l i v i o u s

v e r s i o n o f t h e s i m u l a t i o n c o u l d b e k e p t p r o p o r t i o n a l t o t h e l o g a r i t h m o f t h e l a r g e s t c o u n t e r c o n t e n t s .

T h e r e s u l t o f t h e r s t 2 , 9 8 0 , 0 0 0 t r a n s i t i o n s w a s o b t a i n e d b y a n i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s i m u l a t i o n

i n P C S c h e m e , a n d l a t e r c h e c k e d i n d e p e n d e n t l y b y J o h n T r o m p ' s i m p l e m e n t a t i o n i n C .

R e f e r e n c e s

1 . D . E . A t k i n s , I n t r o d u c t i o n t o t h e r o l e o f r e d u n d a n c y i n c o m p u t e r a r i t h m e t i c , C o m -

p u t e r 8 , 6 ( J u n e 1 9 7 5 ) , 7 4 { 7 7 .

2 . A . A v i z i e n i s , S i g n e d - d i g i t n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n s f o r f a s t p a r a l l e l a r i t h m e t i c , I R E

T r a n s a c t i o n s o n E l e c t r o n i c C o m p u t e r s E C - 1 0 , 3 ( S e p t e m b e r 1 9 6 1 ) , 3 8 9 { 4 0 0 .

3 . P . C u l l a n d E . F . E c k l u n d , J r . , T o w e r s o f H a n o i a n d a n a l y s i s o f a l g o r i t h m s , T h e

A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y 9 2 , 6 ( J u n e { J u l y 1 9 8 5 ) , 4 0 7 { 4 2 0 .

1 4

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4 . M . J . F i s c h e r a n d A . L . R o s e n b e r g , R e a l - t i m e s o l u t i o n s o f t h e o r i g i n - c r o s s i n g p r o b l e m ,

M a t h e m a t i c a l S y s t e m s T h e o r y 2 , 3 ( S e p t e m b e r 1 9 6 8 ) , 2 5 7 { 2 6 3 .

5 . P . C . F i s c h e r , A . R . M e y e r , a n d A . L . R o s e n b e r g , C o u n t e r m a c h i n e s a n d c o u n t e r

l a n g u a g e s , M a t h e m a t i c a l S y s t e m s T h e o r y 2 , 3 ( S e p t e m b e r 1 9 6 8 ) , 2 6 5 { 2 8 3 .

6 . P . C . F i s c h e r , A . R . M e y e r , a n d A . L . R o s e n b e r g , T i m e - r e s t r i c t e d s e q u e n c e g e n e r a -

t i o n , J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m S c i e n c e s 4 , 1 ( F e b r u a r y 1 9 7 0 ) , 5 0 { 7 3 .

7 . M . F u r e r , D a t a s t r u c t u r e s f o r d i s t r i b u t e d c o u n t i n g , J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m

S c i e n c e s 2 8 , 2 ( A p r i l 1 9 8 4 ) , 2 3 1 { 2 4 3 .

8 . F . C . H e n n i e a n d R . E . S t e a r n s , T w o - t a p e s i m u l a t i o n o f m u l t i t a p e T u r i n g m a c h i n e s ,

J o u r n a l o f t h e A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g M a c h i n e r y 1 3 , 4 ( O c t o b e r 1 9 6 6 ) , 5 3 3 { 5 4 6 .

9 . N . P i p p e n g e r a n d M . J . F i s c h e r , R e l a t i o n s a m o n g c o m p l e x i t y m e a s u r e s , J o u r n a l o f

t h e A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g M a c h i n e r y 2 6 , 2 ( A p r i l 1 9 7 9 ) , 3 6 1 { 3 8 1 .

1 0 . P . M . B . V i t a n y i , A n o p t i m a l s i m u l a t i o n o f c o u n t e r m a c h i n e s , S I A M J o u r n a l o n

C o m p u t i n g 1 4 , 1 ( F e b r u a r y 1 9 8 5 ) , 1 { 3 3 .

1 1 . P . M . B . V i t a n y i , A n o p t i m a l s i m u l a t i o n o f c o u n t e r m a c h i n e s : t h e A C M c a s e ,

S I A M J o u r n a l o n C o m p u t i n g 1 4 , 1 ( F e b r u a r y 1 9 8 5 ) , 3 4 { 4 0 .

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