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8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
1/32
V o r o n o i D i a g r a m s o f P o l y g o n s :
A F r a m e w o r k f o r S h a p e R e p r e s e n t a t i o n .
N i r a n j a n M a y y a
1
V . T . R a j a n
2
U F - C I S - T R - 9 3 - 2 9
1
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r & I n f o r m a t i o n S c i e n c e s
U n i v e r s i t y o f F l o r i d a , G a i n e s v i l l e , F l 3 2 6 1 1
2
I B M T . J . W a t s o n R e s e a r c h C e n t e r
P . O B o x 2 1 8 , Y o r k t o w n H e i g h t s , N e w Y o r k , N Y 1 0 5 9 8 .
C o n d i t i o n a l l y a c c e p t e d b y
t h e J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I m a g i n g & V i s i o n
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
2/32
C o n d i t i o n a l l y a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n i n t h e
J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I m a g i n g & V i s i o n
V o r o n o i D i a g r a m s o f P o l y g o n s : A F r a m e w o r k f o r
S h a p e R e p r e s e n t a t i o n
N i r a n j a n M a y y a
1
a n d V . T . R a j a n
2
1
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r & I n f o r m a t i o n S c i e n c e s
U n i v e r s i t y o f F l o r i d a ,
G a i n e s v i l l e , F L 3 2 6 1 1
2
M a n u f a c t u r i n g R e s e a r c h D e p a r t m e n t ,
I B M T h o m a s J . W a t s o n R e s e a r c h C e n t e r ,
P . O . B o x 2 1 8 , Y o r k t o w n H e i g h t s , N e w Y o r k 1 0 5 9 8
A b s t r a c t
T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n e c i e n t s h a p e r e p r e s e n t a t i o n f r a m e w o r k f o r p l a n a r s h a p e s u s i n g
V o r o n o i s k e l e t o n s .
T h i s p a p e r m a k e s t h e f o l l o w i n g s i g n i c a n t c o n t r i b u t i o n s . F i r s t a n e w a l g o r i t h m f o r t h e
c o n s t r u c t i o n o f t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n w i t h h o l e s i s d e s c r i b e d . T h e m a i n f e a t u r e s
o f t h i s a l g o r i t h m a r e i t s r o b u s t n e s s i n h a n d l i n g t h e s t a n d a r d d e g e n e r a t e c a s e s ( c o l i n e a r i t y o f
m o r e t h a n t w o p o i n t s c o - c i r c u l a r i t y o f m o r e t h a n t h r e e p o i n t s . ) , a n d i t s e a s e o f i m p l e m e n t a -
t i o n . I t a l s o f e a t u r e s a r o b u s t n u m e r i c a l s c h e m e t o c o m p u t e n o n - l i n e a r p a r a b o l i c e d g e s t h a t
a v o i d s h a v i n g t o s o l v e e q u a t i o n s o f d e g r e e g r e a t e r t h a n t w o . T h e a l g o r i t h m h a s b e e n f u l l y
i m p l e m e n t e d a n d t e s t e d o n a v a r i e t y o f t e s t i n p u t s .
S e c o n d , t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n i s u s e d t o d e r i v e a c c u r a t e a n d r o b u s t s k e l e t o n s
f o r p l a n a r s h a p e s . T h e s h a p e r e p r e s e n t a t i o n s c h e m e u s i n g V o r o n o i s k e l e t o n s p o s s e s s e s t h e
i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f c o n n e c t i v i t y a s w e l l a s E u c l i d e a n m e t r i c s . R e d u n d a n t s k e l e t a l e d g e s
a r e d e l e t e d i n a p r u n i n g s t e p w h i c h g u a r a n t e e s t h a t c o n n e c t i v i t y o f t h e s k e l e t o n w i l l b e p r e -
s e r v e d . T h e r e s u l t a n t r e p r e s e n t a t i o n i s s t a b l e w i t h r e s p e c t t o b e i n g i n v a r i a n t t o p e r t u r b a t i o n s
a l o n g t h e b o u n d a r y o f t h e s h a p e . A n u m b e r o f e x a m p l e s o f s h a p e s w i t h a n d w i t h o u t h o l e s
a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e f e a t u r e s o f t h i s a p p r o a c h .
A l s o e x i s t s a s I B M R e s e a r c h R e p o r t R C 1 9 2 8 2 , 1 1 / 2 3 / 9 3
2
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P l e a s e a d d r e s s a l l c o r r e s p o n d e n c e t o :
N i r a n j a n M a y y a
C o m p u t e r a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e s D e p a r t m e n t
C S E B u i l d i n g , R o o m 3 0 1
U n i v e r s i t y o f F l o r i d a
G a i n e s v i l l e , F L 3 2 6 1 1 - 2 0 2 4
E - m a i l : n r m @ c i s . u . e d u
T e l : ( 9 0 4 ) 3 9 2 - 1 2 2 7
F a x : ( 9 0 4 ) 3 9 2 - 1 2 2 0
3
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K E Y W O R D S : V o r o n o i D i a g r a m s o f P o l y g o n s , S k e l e t o n s , M e d i a l A x i s T r a n s f o r m , S h a p e R e p r e -
s e n t a t i o n .
4
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1 I n t r o d u c t i o n
T h e r e p r e s e n t a t i o n a n d d e s c r i p t i o n o f p l a n a r s h a p e s o r r e g i o n s t h a t h a v e b e e n s e g m e n t e d o u t o f a n
i m a g e a r e e a r l y s t e p s i n t h e o p e r a t i o n o f m o s t C o m p u t e r V i s i o n s y s t e m s t h e y s e r v e a s a p r e c u r s o r
t o s e v e r a l p o s s i b l e h i g h e r l e v e l t a s k s s u c h a s o b j e c t / c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n .
T h e s y m m e t r i c o r m e d i a l a x i s t r a n s f o r m a t i o n ( S A T , M A T ) , a l s o k n o w n a s t h e s k e l e t o n i s a
w e l l k n o w n t o o l u s e d i n s h a p e m o d e l l i n g . P a v l i d i s 2 0 ] p r o v i d e s a f o r m a l d e n i t i o n : \ L e t R b e a
p l a n e s e t , B i t s b o u n d a r y , a n d P a p o i n t i n R . A n e a r e s t n e i g h b o r o f P o n B i s a p o i n t M i n
B s u c h t h a t t h e r e i s n o o t h e r p o i n t i n B w h o s e d i s t a n c e f r o m P i s l e s s t h a n t h e d i s t a n c e P M
I f P h a s m o r e t h a n o n e n e a r e s t n e i g h b o r , t h e n P i s s a i d t o b e a s k e l e t a l p o i n t o f R . T h e u n i o n
o f a l l s k e l e t a l p o i n t s i s c a l l e d t h e s k e l e t o n o r m e d i a l a x i s o f R . " A n a n a l o g o u s d e n i t i o n i s g i v e n
b y B l u m u s i n g t h e w e l l - k n o w n p r a i r i e r e a n a l o g y 2 ] i f o n e a p p l i e s r e t o a l l t h e s i d e s o f P , a n d
l e t t h e r e p r o p a g a t e a t c o n s t a n t s p e e d , t h e n t h e s k e l e t o n i s t h e l o c u s o f p o i n t s w h e r e r e w a v e
f r o n t s m e e t .
T h e s k e l e t o n o f a p l a n a r o b j e c t r e l a t e s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e o b j e c t t o s i g n i c a n t b o u n d -
a r y f e a t u r e s . I t i s a c o m p a c t d e s c r i p t o r o f t h e \ n a t u r a l " s h a p e o f a n o b j e c t , t h a t w e l l d e s c r i b e s
i t s g l o b a l t o p o l o g i c a l a n d g e o m e t r i c p r o p e r t i e s . S k e l e t o n s h a v e b e e n w i d e l y u s e d i n h i g h e r l e v e l
c o m p u t e r v i s i o n t a s k s s u c h a s o b j e c t / c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n , a s t h e y p r o v i d e a m o r e e x p l i c i t , c o m -
p a c t a n d s t a b l e r e p r e s e n t a t i o n a s c o m p a r e d t o t h e o r i g i n a l i n t e n s i t y m a p o f a n i m a g e . A n o t h e r
i m p o r t a n t f e a t u r e e x h i b i t e d b y s k e l e t o n s i s t h a t t h e c o m p a c t t h i n l i n e r e p r e s e n t a t i o n i s i n v a r i a n t
t o m i n o r d i s t o r t i o n s o n t h e c o n t o u r , w h i c h a l l o w s f o r s t a b l e r e p r e s e n t a t i o n s c h e m e s .
S k e l e t o n s h a v e b e e n w i d e l y u s e d t o s o l v e p r o b l e m s i n o b j e c t r e c o g n i t i o n 1 7 ] , t o m o d e l a n d
c h a r a c t e r i z e t h e g e o m e t r y o f n o n r i g i d b i o l o g i c a l f o r m s 5 , 1 1 ] , i n c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n 2 1 ] a m o n g
o t h e r s .
1 . 1 A l g o r i t h m s f o r S k e l e t o n i z a t i o n
M o s t i m p l e m e n t a t i o n s f o r c o m p u t i n g t h e s k e l e t o n t o d a t e u s e d i s c r e t e s p a c e c o n c e p t s t h a t o n l y
a p p r o x i m a t e B l u m ' s d e n i t i o n . I n p a r t i c u l a r , p r e s e r v i n g i m p o r t a n t p r o p e r t i e s s u c h a s c o n n e c t i v i t y
a n d E u c l i d e a n m e t r i c s h a v e b e e n d i c u l t t o a c h i e v e i n t h e d i s c r e t e w o r l d . T h e v a r i o u s a l g o r i t h m s
a n d i m p l e m e n t a t i o n s t h a t h a v e b e e n p u b l i s h e d t o d a t e c a n b e c l a s s i e d i n t o t h r e e d i e r e n t g r o u p s
1 1 , 1 7 ] .
5
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T o p o l o g i c a l t h i n n i n g .
M e d i a l A x i s e x t r a c t i o n f r o m a d i s t a n c e m a p .
A n a l y t i c c o m p u t a t i o n o f a s k e l e t o n b a s e d o n a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e o b j e c t c o n t o u r .
T h i n n i n g A l g o r i t h m s : A l a r g e c l a s s o f t h i n n i n g a l g o r i t h m s e x a m i n e t h e t o p o l o g i c a l r e l e v a n c e o f
o b j e c t p i x e l s r a t h e r t h a n t h e m e t r i c p r o p e r t i e s o f t h e s h a p e . T y p i c a l l y , o b j e c t p i x e l s a r e r e p e t i t i v e l y
t e s t e d a n d s u b s e q u e n t l y d e l e t e d , w h e n e v e r t h e i r r e m o v a l d o e s n o t a l t e r t h e t o p o l o g y o f t h e t h i n n e d
s h a p e . T h e a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h t o s k e l e t o n i z a t i o n i s t h a t t h e y e n s u r e c o n n e c t e d s k e l e t o n s
u s i n g f a s t a l g o r i t h m s . H o w e v e r t h e p r i m e d i s a d v a n t a g e i s t h a t t h e d i s c r e t e d o m a i n g i v e s r i s e t o
n o n - E u c l i d e a n m e t r i c s . D i e r e n t t h i n n i n g a l g o r i t h m s a p p l i e d o n t h e s a m e i m a g e c a n r e s u l t i n
s k e l e t o n s t h a t v a r y . T h e s e p r o b l e m s a r e i n p a r t d u e t o d i e r e n t p i x e l \ r e m o v a l c o n d i t i o n s " t h a t
a r e d e n e d i n t e r m s o f l o c a l c o n g u r a t i o n s .
M e d i a l A x i s e x t r a c t i o n f r o m a d i s t a n c e m a p : T h e s e c o n d m e t h o d o f s k e l e t o n e x t r a c t i o n
r e q u i r e s t h e c o m p u t a t i o n o f a d i s t a n c e m a p - t h a t i s t o d e t e r m i n e , f o r e a c h p o i n t i n s i d e t h e o b j e c t ,
t h e d i s t a n c e o f t h e c l o s e s t p o i n t f r o m i t s b o u n d a r y . D e p e n d i n g o n t h e m e t r i c u s e d f o r d i s t a n c e ,
a w i d e a r r a y o f p o s s i b l e d i s t a n c e m a p s c a n b e o b t a i n e d . U n f o r t u n a t e l y , t h e e a s i e s t a n d s i m p l e s t
a l g o r i t h m s a r e t h o s e b a s e d o n n o n - E u c l i d e a n m e t r i c s , w h i c h l e a d t o s k e l e t o n s t h a t a r e n o t v e r y
a c c u r a t e i n t e r m s o f t h e r e f r o n t p a r a d i g m . H o w e v e r , a l g o r i t h m s t o c o m p u t e c o r r e c t E u c l i d e a n
d i s t a n c e m a p s e x i s t 3 ] . S k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m s u s i n g q u a s i - E u c l i d e a n a n d E u c l i d e a n m a p s
f o l l o w r i d g e s i n t h e d i s t a n c e m a p t o o b t a i n t h e s k e l e t o n . T h e p r o b l e m w i t h t h i s m e t h o d i s t h a t
c o n n e c t i v i t y i s n o t g u a r a n t e e d 1 1 ] .
A n a l y t i c c o m p u t a t i o n o f t h e s y m m e t r i c a x e s : T h e t h i r d m e t h o d i n v o l v e s c o m p u t a t i o n o f t h e
s y m m e t r i c a x e s b y a d i r e c t a n a l y t i c a l m e t h o d b a s e d o n t h e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n o f a s h a p e .
E a r l y w o r k u s i n g t h i s a p p r o a c h w a s b y M o n t a n a r i 1 5 ] w h o s o l v e s s y s t e m s o f l i n e a r e q u a t i o n s t o
c o m p u t e l o c i o f e q u i d i s t a n t p o i n t s .
T h e V o r o n o i d i a g r a m i s a u s e f u l g e o m e t r i c s t r u c t u r e w h i c h c o n t a i n s t h e e n t i r e p l a n a r p r o x i m i t y
i n f o r m a t i o n o f a s e t o f p o i n t s 1 ] . T h i s a l l o w s f o r e a s y c o m p u t a t i o n o f t h e d i s t a n c e m a p f r o m
t h e V o r o n o i d i a g r a m . F u r t h e r , t h e V o r o n o i d i a g r a m o f t h e b o u n d a r y l i n e s e g m e n t s o f a p o l y g o n
i s c l o s e l y a s s o c i a t e d t o i t s m e d i a l a x i s . I n f a c t , t h e m e d i a l a x i s i s e x a c t l y c o n t a i n e d i n t h e s e t o f
V o r o n o i e d g e s o f t h e p o l y g o n , a n d i s o b t a i n e d b y d e l e t i n g t h e t w o V o r o n o i e d g e s i n c i d e n t w i t h e a c h
6
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c o n c a v e v e r t e x 1 0 ] . T h u s c o n s t r u c t i o n o f t h e V o r o n o i d i a g r a m i s o n e t e c h n i q u e f o r s k e l e t o n i z a t i o n
o f p o l y g o n a l s h a p e s .
1 . 2 S k e l e t o n s D e r i v e d f r o m V o r o n o i D i a g r a m s
U s i n g t h e V o r o n o i d i a g r a m t o c o m p u t e t h e s k e l e t o n o f a p o l y g o n a l s h a p e i s a t t r a c t i v e b e c a u s e
i t r e s u l t s i n s k e l e t o n s w h i c h a r e c o n n e c t e d w h i l e r e t a i n i n g E u c l i d e a n m e t r i c s . F u r t h e r m o r e , w e
o b t a i n a n e x a c t m e d i a l a x i s , c o m p a r e d t o a n a p p r o x i m a t i o n p r o v i d e d b y o t h e r m e t h o d s . T h u s w e
m a y r e c o n s t r u c t e x a c t l y a n o r i g i n a l p o l y g o n f r o m i t s s k e l e t o n , ( i n v e r t i b i l i t y , o n e - t o - o n e m a p p i n g ) .
F i n a l l y , a l g o r i t h m s t o c o m p u t e t h e V o r o n o i d i a g r a m ( a n d h e n c e t h e s k e l e t o n ) a r e m u c h f a s t e r t h a n
a p p r o a c h e s t h a t c o m p u t e a d i s t a n c e m a p .
H o w e v e r , w e o b s e r v e t h a t t h e r e a r e s o m e d i s a d v a n t a g e s o f u s i n g V o r o n o i d i a g r a m s t o d e r i v e
s k e l e t o n s . W e s u g g e s t t h a t a n y m e t h o d t h a t u t i l i z e s V o r o n o i d i a g r a m s o f p o l y g o n s t o c o m p u t e
s k e l e t o n s m u s t o v e r c o m e t h e d i s a d v a n t a g e s l i s t e d b e l o w , b e f o r e i t c a n b e o f p r a c t i c a l v a l u e .
N a t u r a l s h a p e s a r e n o n - p o l y g o n a l . T h u s , a c c u r a t e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n s o f s u c h s h a p e s
a r e r e q u i r e d i n o r d e r t o c o m p u t e s k e l e t o n s w i t h o u t l o s s o f a c c u r a c y .
T h e s k e l e t o n o f a m a n y s i d e d p o l y g o n ( o f v e r y s h o r t s i d e s ) w i l l h a v e a l a r g e n u m b e r o f
r e d u n d a n t e d g e s b e c a u s e o f t h e V o r o n o i e d g e s a t t h e s e v e r t i c e s . T h i s r e s u l t s i n a n i n c r e a s e
i n t h e c o m p l e x i t y o f t h e s k e l e t o n , w i t h o u t s i g n i c a n t a d d i t i o n o f a n y s h a p e i n f o r m a t i o n .
F i n a l l y , r o b u s t a n d p r a c t i c a l a l g o r i t h m s ( t h o s e a o r d i n g e a s e o f i m p l e m e n t a t i o n ) f o r V o r o n o i
d i a g r a m c o n s t r u c t i o n o f p o l y g o n s a r e n o t v e r y c o m m o n . M o s t e x i s t i n g a l g o r i t h m s m a k e
a s s u m p t i o n s a b o u t c o c i r c u l a r i t y o f n o m o r e t h a n t h r e e p o i n t s , a n d c o l i n e a r i t y o f n o m o r e
t h a n t w o . T h e s e c o n s t r a i n t s a r e d i c u l t t o s a t i s f y i n m o s t p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s .
1 . 3 V o r o n o i S k e l e t o n s f o r C h a r a c t e r R e c o g n i t i o n
I n t h i s p a p e r w e p r e s e n t a n e c i e n t s h a p e r e p r e s e n t a t i o n f r a m e w o r k b a s e d o n V o r o n o i s k e l e t o n s .
T h e b a s i s o f o u r a p p r o a c h i s a n e w a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n .
O u r s k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m r e t a i n s t h e a d v a n t a g e s o f V o r o n o i d i a g r a m s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s
s e c t i o n , ( c o n n e c t i v i t y , E u c l i d e a n m e t r i c s a n d h i g h a c c u r a c y ) . T h i s a p p r o a c h i s t h u s a m a r k e d
7
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i m p r o v e m e n t o v e r t r a d i t i o n a l s k e l e t o n i z a t i o n m e t h o d s . F u r t h e r m o r e w e a v o i d t h e p i t f a l l s o f V o r o n o i
s k e l e t o n s , b y o v e r c o m i n g t h e d i s a d v a n t a g e s i d e n t i e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n .
T h e o r i g i n a l c o n t r i b u t i o n s m a d e b y t h i s p a p e r m a y b e e n u m e r a t e d a s f o l l o w s :
1 A n e w a l g o r i t h m f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n w i t h h o l e s . T h i s
a l g o r i t h m i s p r a c t i c a l a n d r o b u s t . O u r V o r o n o i d i a g r a m a l g o r i t h m i s s i m p l e t o i m p l e m e n t .
A s s u m p t i o n s a b o u t p o i n t s b e i n g i n g e n e r a l p o s i t i o n a r e u n n e c e s s a r y . U n l i k e m o s t g e o m e t r i c
a l g o r i t h m s , s p e c i a l c a s e s s u c h a s c o c i r c u l a r i t y o f g r e a t e r t h a n t h r e e p o i n t s o r c o l i n e a r i t y o f
m o r e t h a n t w o p o i n t s a r e h a n d l e d e l e g a n t l y . I n a d d i t i o n , o u r a l g o r i t h m f e a t u r e s a r o b u s t n u -
m e r i c a l s c h e m e t o c o m p u t e n o n - l i n e a r p a r a b o l i c e d g e s t h a t a v o i d s h a v i n g t o s o l v e e q u a t i o n s
o f d e g r e e g r e a t e r t h a n t w o .
2 A n a c c u r a t e s c h e m e f o r s k e l e t o n i z a t i o n t h a t r e t a i n s t h e a d v a n t a g e s o f V o r o n o i s k e l e t o n s
w h i l e o v e r c o m i n g i t s u n a t t r a c t i v e f e a t u r e s . I n p a r t i c u l a r , t h e s c h e m e p r o v i d e s s k e l e t o n s t h a t
m a i n t a i n E u c l i d e a n m e t r i c s w i t h o u t s a c r i c i n g c o n n e c t i v i t y . T h e m e t h o d i s s t a b l e w i t h
r e s p e c t t o b e i n g i n v a r i a n t t o p e r t u r b a t i o n s a l o n g t h e b o u n d a r y . T h i s i s a c h i e v e d b y p r u n i n g
r e d u n d a n t o r s p u r i o u s e d g e s t h a t d o n o t s i g n i c a n t l y a d d t o s h a p e i n f o r m a t i o n . W e w i l l s e e
t h a t t h e p r u n i n g s t e p i s a s i m p l e c o n s e q u e n c e o f t h e V o r o n o i d i a g r a m a l g o r i t h m a n d d o e s
n o t r e q u i r e a n y p o s t p r o c e s s i n g . F u r t h e r , o u r a p p r o a c h h a n d l e s s h a p e s w i t h a n d w i t h o u t h o l e s
i n a s e a m l e s s m a n n e r , w i t h o u t r e s o r t i n g t o s p e c i a l i n i t i a l i z a t i o n .
T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e c t i o n s 2 a n d 3 w e p r e s e n t o u r a l g o r i t h m
f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n . a n d d i s c u s s i t s t i m e c o m p l e x i t y . I n
S e c t i o n 4 w e p r e s e n t t h e d e t a i l s o f t h e s k e l e t o n i z a t i o n s c h e m e a n d p r e s e n t v a r i o u s e x a m p l e s t o
d e m o n s t r a t e i t s f e a t u r e s . O u r c o n c l u s i o n s a n d f u t u r e r e s e a r c h d i r e c t i o n s a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n
5
2 T h e V o r o n o i D i a g r a m
T h e V o r o n o i d i a g r a m o f a s e t o f s i t e s i n t w o d i m e n s i o n s i s t h e p a r t i t i o n o f t h e p l a n e i n t o r e g i o n s
e a c h r e g i o n i c o n t a i n i n g t h e s e t o f p o i n t s i n t h e p l a n e c l o s e s t t o t h e s i t e i
I n t h e m o s t c o m m o n c a s e w h i c h h a s b e e n e x h a u s t i v e l y r e s e a r c h e d i n t h e p a s t d e c a d e , t h e s i t e s
u n d e r c o n s i d e r a t i o n a r e p o i n t s i n t h e p l a n e . I n t h i s c a s e , e d g e s o f t h e d i a g r a m a r e s t r a i g h t l i n e
8
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s e g m e n t s t h a t a r e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f p a i r s o f s i t e s . O p t i m a l a l g o r i t h m s a s w e l l a s r o b u s t
i m p l e m e n t a t i o n s h a v e b e e n d e v i s e d f o r t h i s v e r s i o n o f t h e p r o b l e m .
T h e n o t i o n o f a s i t e h a s b e e n g e n e r a l i z e d t o i n c l u d e a c o l l e c t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l o b j e c t s
s u c h a s l i n e s e g m e n t s a n d c i r c u l a r a r c s . I n t h e c a s e o f l i n e s e g m e n t s , t h e e d g e s o f t h e e n s u i n g
V o r o n o i d i a g r a m a r e n o t j u s t s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t s , b u t a l s o a r c s o f p a r a b o l a , s i n c e t h e y s e p a r a t e
t h e l o c i o f p r o x i m i t y o f o b j e c t p a i r s o f t h e t y p e s ( p o i n t p o i n t ) , ( l i n e l i n e ) , ( p o i n t l i n e ) t h e l a s t
o f t h e s e p a i r s g i v e r i s e t o a r c s o f p a r a b o l a . I n t h e c a s e o f c i r c u l a r a r c s , t h e V o r o n o i b i s e c t o r s
c a n b e g e n e r a l c o n i c s e c t i o n s . M u c h r e s e a r c h e o r t h a s a l s o b e e n e x p e n d e d i n t h i s d i r e c t i o n . I n
p a r t i c u l a r , L e e a n d D r y s d a l e 9 ] h a v e a O ( n l o g
2
n ) t i m e a l g o r i t h m f o r t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a
m i x e d c o l l e c t i o n o f n o b j e c t s ( i n c l u d i n g l i n e s e g m e n t s a n d c i r c l e s ) . K i r k p a t r i c k 8 ] p r e s e n t e d t h e
r s t o p t i m a l ( n l o g n ) s o l u t i o n F o r t u n e 6 ] a n d Y a p 2 2 ] a l s o h a v e o p t i m a l a l g o r i t h m s . F o r t u n e ` s
a l g o r i t h m c o m p u t e s V o r o n o i d i a g r a m s o f l i n e s e g m e n t s Y a p c o n s i d e r s s i m p l e c u r v e s e g m e n t s .
W h i l e s o m e o f t h e s e a l g o r i t h m s a r e o p t i m a l i n t e r m s o f t i m e c o m p l e x i t y , t h e y a r e n o t a m e n a b l e
t o s i m p l e i m p l e m e n t a t i o n . S o m e w o r k h a s b e e n p e r f o r m e d i n t h i s d i r e c t i o n a s w e l l n o t a b l y t h e
w o r k o f S r i n i v a s a n a n d N a c k m a n 1 8 ] a n d M e s h k a t a n d S a k k a s 1 4 ] , w h e r e t h e a u t h o r s p r e s e n t
a s i m p l e a l g o r i t h m f o r t h e V o r o n o i d i a g r a m o f m u l t i p l y c o n n e c t e d p o l y g o n a l d o m a i n s ( p o l y g o n s
w i t h h o l e s ) .
I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t a n a l g o r i t h m w h i c h s o l v e s a s l i g h t l y m o r e g e n e r a l v e r s i o n o f t h e
p r o b l e m t h a n t h a t o f S r i n i v a s a n a n d N a c k m a n . W h i l e t h e w o r k i n g e x a m p l e s s h o w n a r e t h o s e o f
p o l y g o n s w i t h h o l e s , t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d h e r e c a n c o m p u t e t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a P l a n a r
S t r a i g h t L i n e G r a p h . T h e a l g o r i t h m i s e a s y t o i m p l e m e n t , a n d h a s b e e n f u l l y i m p l e m e n t e d a n d
t e s t e d . A n o t h e r i m p o r t a n t f e a t u r e i s i t s r o b u s t n e s s t h e a l g o r i t h m h a n d l e s t h e s t a n d a r d d e g e n e r a t e
c a s e s i n h e r e n t i n m o s t C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y a l g o r i t h m s ( m o r e t h a n 2 c o l l i n e a r o r m o r e t h a n
3 c o - c i r c u l a r p o i n t s ) . T h i s f a c i l i t a t e s i t s u s e i n m o s t p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s .
2 . 1 P r e l i m i n a r i e s
I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l i n t r o d u c e s o m e d e n i t i o n s a n d n o t a t i o n . D e n i t i o n s 1 t h r o u g h 8 p e r t a i n
t o t h e d e n i t i o n o f p o l y g o n a l d o m a i n s a n d V o r o n o i d i a g r a m s a n d a r e t a k e n f r o m 1 8 ] .
D e n i t i o n 1 A c l o s e d l i n e s e g m e n t a b i s t h e u n i o n o f t w o e n d p o i n t s a a n d b a n d t h e o p e n l i n e
s e g m e n t ( a b )
9
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B(ei,ej)
ei
ej
( a ) 2 p o i n t s i t e s
ej
ei
B(ei,ej)
( b ) 1 p o i n t a n d 1 l i n e
s i t e
eiej
B(ei,ej)
( c ) t h e p o i n t s i t e i s a n
e n d p o i n t o f t h e l i n e
s i t e
F i g u r e 1 : B i s e c t o r s o f e
i
a n d e
j
D e n i t i o n 2 A m u l t i p l y - c o n n e c t e d p o l y g o n a l d o m a i n P i s t h e c l o s u r e o f a n o n e m p t y , b o u n d e d ,
c o n n e c t e d , o p e n ( i n t h e r e l a t i v e t o p o l o g y ) s u b s e t o f R
2
w h o s e b o u n d a r y i s t h e u n i o n o f a n i t e
n u m b e r o f c l o s e d l i n e s e g m e n t s .
T h e b o u n d a r y o f P , d e n o t e d b y P , c o n s i s t s o f o n e o r m o r e d i s j o i n t s u b s e t s . T h e o u t e r b o u n d a r y
o f t h e p o l y g o n a l d o m a i n i s d e n o t e d b y P
0
a n d c o n t a i n s P . T h e i n n e r b o u n d a r i e s r e p r e s e n t t h e
h o l e s o f t h e p o l y g o n a l r e g i o n a n d a r e d e n o t e d b y P
i
, 1 i H , w h e r e H d e n o t e s t h e n u m b e r o f
h o l e s .
D e n i t i o n 3 T h e v e r t i c e s o f P a r e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e c l o s e d l i n e s e g m e n t s w h i c h
c o n s t i t u t e P . T h e e d g e s o f P a r e t h e o p e n l i n e s e g m e n t s o b t a i n e d b y d e l e t i n g t h e e n d p o i n t s o f
t h e c l o s e d l i n e s e g m e n t s w h i c h c o n s t i t u t e P
D e n i t i o n 4 T h e p r o j e c t i o n p ( q a b ) o f a p o i n t q o n t o a c l o s e d s e g m e n t a b i s t h e i n t e r s e c t i o n
o f t h e l i n e t h r o u g h a a n d b a n d t h e l i n e p e r p e n d i c u l a r t o a b a n d p a s s i n g t h r o u g h q
D e n i t i o n 5 T h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
) o f t w o s i t e s e
i
, a n d e
j
, i s t h e l o c u s o f p o i n t s e q u i d i s t a n t f r o m
e
i
a n d e
j
D e n i t i o n 6 T h e h a l f - p l a n e h ( e
i
e
j
) i s t h e s e t o f p o i n t s c l o s e r t o s i t e e
i
t h a n t o s i t e e
j
. I t s
c o m p l e m e n t ,
h ( e
i
e
j
) , i s t h e s e t o f p o i n t s n o t c l o s e r t o s i t e e
i
t h a n t o e
j
1 0
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T h e n a t u r e o f t h e b i s e c t o r i s d e t e r m i n e d b y t h e n a t u r e o f t h e s i t e s ( p o i n t , l i n e ) . I n p a r t i c u l a r ,
w h e n b o t h e
i
a n d e
j
a r e p o i n t s i t e s , t h e b i s e c t o r i s a s t r a i g h t l i n e ( t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f
e
i
a n d e
j
. W h e n o n e o f t h e s i t e s i s a p o i n t , a n d t h e o t h e r i s a n o p e n l i n e s e g m e n t t h e b i s e c t o r
i s i n g e n e r a l a p a r a b o l i c a r c . F o r t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h e p o i n t i s o n e o f t h e e n d p o i n t s o f t h e
o p e n l i n e s e g m e n t , t h e b i s e c t o r i s a s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t a n d p e r p e n d i c u l a r t o
t h e o p e n l i n e s e g m e n t . S e e F i g u r e 1 .
D e n i t i o n 7 G i v e n a s e t o f s i t e s S , a n d a s i t e e
i
, e
i
= 2 S , t h e V o r o n o i r e g i o n o f e
i
w i t h r e s p e c t
t o S , d e n o t e d b y V ( e
i
S ) i s t h e s e t o f a l l p o i n t s c l o s e r t o e
i
t h a n t o a n y s i t e i n S
L e m m a 1 V ( e
i
S ) = \
e
j
2 S
h ( e
i
e
j
)
P r o o f : C o r o l l a r y 2 , L e m m a 1 o f 1 8 ]
D e n i t i o n 8 T h e V o r o n o i d i a g r a m , V O D ( S ) , o f a s e t o f e l e m e n t s , S = e
i
i s g i v e n b y
e 2 S
V ( e
i
S ;
e
i
)
2 . 2 P r i m i t i v e s u s e d i n t h e A l g o r i t h m
A s i t e e
i
c a n b e e i t h e r a p o i n t o r a n o p e n l i n e s e g m e n t . E a c h s u c h s i t e i s a s s o c i a t e d w i t h t h e
f o l l o w i n g i n f o r m a t i o n .
1 A c o n t a c t p o i n t x
p
i
. F o r a p o i n t s i t e , t h e c o n t a c t p o i n t i s t h e s i t e i t s e l f f o r a l i n e s i t e , t h e
c o n t a c t p o i n t i s o n e o f t h e e n d p o i n t s .
2 A d i s t a n c e f u n c t i o n d
i
( x
0
) r e t u r n i n g t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e o f a p o i n t x
0
f r o m s i t e e
i
F o r a l i n e s i t e , t h e d i s t a n c e o f a p o i n t t o t h e s i t e i s d e n e d a s t h e d i s t a n c e f r o m t h e p o i n t
x
0
t o i t s p r o j e c t i o n o n t h e l i n e s i t e e
i
. G i v e n t h i s d e n i t i o n , w e c a n d e n e t h e d i s t a n c e o f
a p o i n t t o a n y s i t e ( e i t h e r a p o i n t o r a l i n e ) a s f o l l o w s , G i v e n a l i n e s i t e , l e t ~ n
l
b e i t s u n i t
v e c t o r . I f I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x , a n d T d e n o t e s t h e t r a n s p o s e o f a m a t r i x , w e d e n e a 2 2
m a t r i x M a s
M = I f o r a p o i n t s i t e ,
= I ; ~ n
l
~ n
l
T
f o r a l i n e s i t e
1 1
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N o w w e d e n e t h e d i s t a n c e f u n c t i o n a s ,
d
i
( x
0
) = ( x
0
; x
p
i
)
T
M ( x
0
; x
p
i
)
3 A g r a d i e n t v e c t o r g ( x
0
) w h i c h i s d e n e d b y .
g
i
( x
0
) = 2 ( x
0
; x
p
i
)
T
M
4 t h e q u a d r a t i c p o l y n o m i a l f
i
( x
0
+ ~v ) g i v i n g t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e o f t h e p o i n t
( x
0
+ ~v ) f r o m t h e s i t e i . H e r e ~v i s a d i r e c t i o n v e c t o r , a n d i s a s c a l a r m u l t i p l e . W e h a v e
f
i
( x
0
+ ~v ) = ( x
0
; x
p
i
)
T
M ( x
0
; x
p
i
) + g
i
( x
0
) ~v + ~v
T
M ~ v
2
= d
i
( x
0
) + g
i
( x
0
) ~v + ~v
T
M ~ v
2
2 . 3 A l g o r i t h m
2 . 3 . 1 O v e r v i e w
T h e V o r o n o i d i a g r a m g i v e s u s a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e f u n c t i o n t ( x ) , t h a t r e t u r n s t h e d i s t a n c e
o f t h e p o i n t x t o t h e c l o s e s t s i t e i n t h e s e t S . I n p a r t i c u l a r ,
A V o r o n o i r e g i o n ( f a c e ) i s c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e s i t e e
i
t h e f u n c t i o n i s g i v e n b y t
i
( x )
A V o r o n o i e d g e i s c h a r a c t e r i z e d b y t w o s i t e s , e
i
a n d e
j
t h e e d g e c o m p r i s e s t h e s e t o f p o i n t s
w h e r e t
i
( x ) = t
j
( x )
A V o r o n o i v e r t e x i s c h a r a c t e r i z e d b y 3 o r m o r e s i t e s , i , j , k , . . . m t h e v e r t e x s a t i s e s t h e l o c u s
t
i
( x ) = t
j
( x ) = t
k
( x ) = : : : t
m
( x )
G i v e n a n i n i t i a l V o r o n o i v e r t e x a n d t h e i n i t i a l d i r e c t i o n o f t h e V o r o n o i e d g e e m a n a t i n g o u t o f
t h a t v e r t e x , w e f o l l o w t h e p a t h t r a c e d b y t h i s e d g e t o d e t e r m i n e t h e v e r t e x a t t h e o t h e r e n d . E v e r y
o t h e r s i t e i s e x a m i n e d t o n d t h e c l o s e s t s i t e t h a t d e t e r m i n e s t h e n e w v e r t e x . T h e n e w v e r t e x i s
e q u i d i s t a n t f r o m t h r e e o r m o r e s i t e s , e v e r y p a i r o f w h i c h g i v e s r i s e t o a p o s s i b l e n e w V o r o n o i e d g e .
T h e n e w V o r o n o i e d g e s a r e a d d e d t o a n u n e x a m i n e d E d g e L i s t . T h e p r o g r a m t e r m i n a t e s w h e n a l l
t h e e d g e s h a v e b e e n t r a c e d .
1 2
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13/32
2 . 3 . 2 I n i t i a l i z a t i o n
G i v e n a p a i r o f s u c c e s s i v e s e g m e n t s o f a n y p o l y g o n a l r e g i o n , t h i s g i v e s r i s e t o t h e f o l l o w i n g 3
V o r o n o i e d g e s . S e e F i g u r e 2 a . B A a n d A C a r e 2 s u c c e s s i v e s i d e s o f a p o l y g o n . T h e r e a r e 3 s i t e s
c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e 2 s i d e s t w o l i n e s i t e s e
1
a n d e
2
c o r r e s p o n d i n g t o t h e o p e n l i n e s e g m e n t s
B A a n d A C , a n d t h e p o i n t s i t e e
3
. T h e 3 V o r o n o i e d g e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e s i t e s a r e s h o w n b y
t h e d a s h e d l i n e s . l
1
i s t h e b i s e c t o r o f e
2
a n d e
3
, l
2
t h a t o f e
1
a n d e
3
, a n d l
3
t h e e
1
e
2
b i s e c t o r . I f
w e a r e c o n s i d e r i n g t h e V o r o n o i d i a g r a m o f t h e i n t e r i o r o f t h e p o l y g o n a l r e g i o n a l o n e , w e a r e o n l y
c o n c e r n e d w i t h t h o s e V o r o n o i e d g e s i n s i d e t h e r e g i o n . T h e s e a r e e a s i l y o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g o n l y
t h e ( l i n e , l i n e ) b i s e c t o r s ( t h e l
3
t y p e e d g e s ) o f e v e r y c o n v e x p a i r o f s u c c e s s i v e p o l y g o n s e g m e n t s . f o r
t h e o u t e r b o u n d a r y o f t h e p o l y g o n , a n d t h e ( p o i n t , l i n e ) e d g e s ( t h e l
1
a n d l
2
t y p e e d g e s ) f o r e v e r y
c o n c a v e p a i r o f s u c c e s s i v e p o l y g o n s e g m e n t s . F o r t h e i n n e r b o u n d a r i e s ( t h e h o l e s ) , w e p e r f o r m t h e
r e v e r s e . F i g u r e 2 b s h o w s t h e c o m p l e t e i n i t i a l i z a t i o n f o r a s i m p l e c a s e . T h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n
a r e a l s o V o r o n o i v e r t i c e s . E a c h o f t h e e d g e s d e t e r m i n e d i n t h i s s t e p a r e a d d e d t o t h e u n e x a m i n e d
E d g e L i s t .
A
C
B
l
l
1
2
l 3
e
e1
2
e3
( a ) V o r o n o i e d g e s o f 2
s i d e s o f a p o l y g o n
( b ) I n i t i a l i z a t i o n f o r a
p o l y g o n w i t h h o l e s
F i g u r e 2 : I n i t i a l i z a t i o n
T h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t h o l d s e d g e s w h i c h h a v e b e e n o n l y p a r t l y d e t e r m i n e d . S p e c i c a l l y ,
t h e i n f o r m a t i o n k n o w n i s t h e s t a r t i n g p o i n t , a n d t h e i n i t i a l d i r e c t i o n a l o n g w h i c h w e m u s t t r a v e r s e
t o d e t e r m i n e t h e o t h e r p o i n t s a l o n g t h e e d g e . A s h a s b e e n n o t e d e a r l i e r , i f t h e V o r o n o i e d g e i s a
( p o i n t p o i n t ) o r ( l i n e l i n e ) b i s e c t o r , i t w i l l b e a s t r a i g h t l i n e i n w h i c h c a s e t h e r e i s o n l y a s i n g l e
t e r m i n a t i n g V o r o n o i v e r t e x t o b e d e t e r m i n e d . I f w e h a v e a ( p o i n t l i n e ) b i s e c t o r , t h e V o r o n o i e d g e
i s a p a r a b o l i c c u r v e t h i s c u r v e h a s t o b e t r a c e d a n d i n t e r m e d i a t e p o i n t s a l o n g i t c o m p u t e d t o
f u l l y d e t e r m i n e t h e V o r o n o i e d g e . T h e c u r v e t r a c i n g s t e p i s t h e t o p i c o f t h e n e x t s e c t i o n .
1 3
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2 . 3 . 3 C u r v e T r a c i n g
C o n s i d e r a V o r o n o i e d g e E f r o m t h e E d g e L i s t . T h e i n i t i a l s t a r t i n g p o i n t i s x
0
, w h i c h i s a V o r o n o i
v e r t e x e q u i d i s t a n t f r o m 3 o r m o r e s i t e s , e
i
, e
j
, e
k
e
m
. A s s u m e , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t t h e
e d g e b e i n g t r a c e d i s a b i s e c t o r o f s i t e s e
i
a n d e
j
. T h e i n i t i a l d i r e c t i o n o f t h e b i s e c t o r i s d e t e r m i n e d
u p t o t h e l i n e a r o r d e r a n d i s g i v e n b y ~v = ( g
i
( x
0
) ; g
j
( x
0
) )
?
, w h e r e a
?
d e n o t e s a u n i t v e c t o r
p e r p e n d i c u l a r t o t h e v e c t o r a . F o r t h e l i n e a r c a s e , t h e b i s e c t o r i s a l o n g t h e d i r e c t i o n o f ~v . W h e n
t h e b i s e c t o r i s o f q u a d r a t i c o r d e r ( i n t h e ( p o i n t l i n e ) c a s e ) , ~v g i v e s t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e a t
t h e p o i n t x
0
. S e e F i g u r e 3 .
x0
ei
ek
B(ei,ej)
v
ej
( a ) B ( e
i
e
j
) i s a l o n g t h e
d i r e c t i o n o f ~v
x0
B(ei,ej)
ei
ek
ej
v
( b ) ~v i s t a n g e n t t o B ( e
i
e
j
)
a t x
0
F i g u r e 3 : I n i t i a l D i r e c t i o n f o r a V o r o n o i e d g e
N o w c o n s i d e r t h e f u n c t i o n f
l
( x
0
+ ~v ) p a r a m e t e r i z e s p o i n t s a l o n g t h e v e c t o r ~v . R e c a l l t h a t
f i s a q u a d r a t i c p o l y n o m i a l i n t h a t g i v e s t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e f r o m a s i t e e
l
t o t h e p o i n t
( x
0
+ ~v )
L e t f = m a x ( f
i
f
j
) . W h e n t h e b i s e c t o r i s a s t r a i g h t l i n e e d g e , i t i s a l o n g t h e d i r e c t i o n o f ~v ,
a n d h e n c e i n t h i s c a s e f
i
= f
j
. I n t h e n o n - l i n e a r c a s e , f
i
a n d f
j
w i l l n o t b e i d e n t i c a l b e y o n d t h e
l i n e a r t e r m a n d f r e p r e s e n t s t h e g r e a t e r o f t h e t w o .
A t x
0
, = 0 , a n d b y d e n i t i o n o f a V o r o n o i v e r t e x , w e h a v e
f
i
= f
j
= f
k
= : : : f
m
< f
l
8 l 2 ( S ; ( e
i
e
j
e
k
: : e
m
) )
W e n e e d t o t r a c e a p a t h s t a r t i n g a t x
0
, s u c h t h a t
f < f
k
: : f
m
f
l
8 l 2 ( S ; ( e
i
e
j
e
k
: : e
m
) )
1 4
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
15/32
x 0
ek
ei
B(ei,ej)
vt2
t1
ej
F i g u r e 4 : R e l e v a n t r e g i o n f o r e
j
: 2 ( t 1 t 2 )
A n e w v e r t e x i s f o u n d w h e n w e r e a c h a p o i n t w h e r e
f
i
= f
j
= f
l
f o r s o m e s i t e e
l
W i t h r e s p e c t t o e v e r y l i n e s i t e e
i
i s a s s o c i a t e d a r e l e v a n t r e g i o n o f a g i v e n b i s e c t o r ~v e x p r e s s e d
a s a n i n t e r v a l o f , d e t e r m i n e d b y t h e c o n t a c t p o i n t s f r o m t h e b i s e c t o r t o t h e e n d p o i n t s o f t h e
s i t e . S e e F i g u r e 4 .
W e n e e d t o e n s u r e t h a t t h e s e t o f c o n s t r a i n t s a d m i t t e d b y f < f
l
8 l i s m a i n t a i n e d a t e v e r y p o i n t
o n t h e b i s e c t o r o f i a n d j . T h i s i s a c h i e v e d a s f o l l o w s . W e r s t d e t e r m i n e t h e a d m i s s i b l e r a n g e o f
, f o r e a c h s i t e l . T h e a d m i s s i b l e r a n g e i s c o m p u t e d a s t h e c o m p l e m e n t o f t h e i n a d m i s s i b l e r a n g e
o f , w h i c h i s d e n e d a s t h e r e g i o n w h e r e f > f
l
i n t h e r e l e v a n t r e g i o n o f e
l
. T h u s
T
i
a d m i s s i b l e
= 0 1 ; T
i
i n a d m i s s i b l e
T
a d m i s s i b l e
i
i s c o m p u t e d f o r e v e r y s i t e e
i
a n d t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e r e g i o n s g i v e s u s T
f i n a l
T
f i n a l
= \
e 2 S
T
i
a d m i s s i b l e
N o t e t h a t T
f i n a l
c a n b e a s e t o f i n t e r v a l s , o n e o f w h i c h w i l l b e 0
v
] . T h i s i s t h e i n t e r v a l o f i n t e r e s t
0 c o r r e s p o n d s t o t h e i n i t i a l V o r o n o i v e r t e x , a n d
v
t h e v a l u e f o r t h e n e w v e r t e x . T h e n e w v e r t e x
i s g i v e n b y
x
t
= x
0
+ ~v
v
L e t e
l
b e t h e s i t e t h a t d e t e r m i n e d t h e v a l u e o f =
v
. T h e n a t x
t
, f = f
l
. W h e n t h e b i s e c t o r
o f e
i
a n d e
j
i s a l i n e , t h e n e w v e r t e x d e t e r m i n e d b y t h i s p r o c e d u r e i s i n f a c t a V o r o n o i v e r t e x
c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i t e s e
i
, e
j
a n d e
l
, s i n c e , f o r t h i s c a s e f
i
= f
j
a l o n g ~v a n d a t x
t
, w e h a v e
f
i
= f
j
= f
l
1 5
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
16/32
2 . 3 . 4 T h e N o n - l i n e a r C a s e : T r a c i n g P a r a b o l i c E d g e s
I n t h e n o n - l i n e a r c a s e , x
t
i s a p o i n t o n t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f t h e b i s e c t o r . I n t h i s c a s e , w e
e m p l o y a n i t e r a t i v e t e c h n i q u e t o c o n v e r g e o n t o t h e V o r o n o i v e r t e x a t t h e o t h e r e n d o f t h e c u r v e .
H a v i n g d e t e r m i n e d x
t
, a p o i n t o n t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f t h e b i s e c t o r , w e n e e d t o m o v e b a c k
t o a p o i n t o n t h e c u r v e i t s e l f . I t i s e a s y t o s e e t h a t w e w i l l i n t e r s e c t t h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
) i f w e
m o v e a l o n g t h e c o n t a c t v e c t o r ; g ( x
t
) t o w a r d s t h e t h e p o i n t s i t e . T h u s , i t i s e a s y t o d e t e r m i n e x
t 1
,
a n i n t e r m e d i a t e p o i n t a l o n g B ( e
i
e
j
) . S e e F i g u r e 5 . I n L e m m a 2 , w e p r o v e t h a t t h i s p r o c e d u r e i s
g u a r a n t e e d n o t t o o v e r s h o o t t h e V o r o n o i v e r t e x n a m e l y , t h e o p e n i n t e r v a l o f t h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
)
b e t w e e n t h e p o i n t s x
0
a n d x
t 1
c o n t a i n s n o V o r o n o i v e r t e x . H a v i n g d e t e r m i n e d a n i n t e r m e d i a t e
p o i n t o n t h e b i s e c t o r , t h e p r o c e d u r e i s r e p e a t e d u s i n g a n e w v a l u e f o r ~v t h a t i s g i v e n b y ~v =
( g
i
( x
t 1
) ; g
j
( x
t 1
) )
?
. T h e p r o c e d u r e t e r m i n a t e s w h e n w e a r r i v e a t a p o i n t x
t n
w h i c h c o r r e s p o n d s
t o a s i t e e
n
, s u c h t h a t f
i
= f
j
= f
n
x
t n
i s t h e n e w V o r o n o i v e r t e x .
W e n o t e t h a t t h e r a t e o f c o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i o n i s t h e s a m e a s t h a t o f N e w t o n ' s m e t h o d ,
s i n c e w e a r e a p p r o x i m a t i n g a n a r c b y a s t r a i g h t l i n e .
L e m m a 2 T h e o p e n i n t e r v a l o f t h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
) b e t w e e n t h e p o i n t s x
0
a n d x
t 1
c o n t a i n s n o
V o r o n o i v e r t e x . T h a t i s , f o r t h i s s e t o f p o i n t s f
i
= f
j
< f
k
k 6= i j
P r o o f : C o n s i d e r a n a r b i t r a r y p o i n t x i n t h e o p e n l i n e s e g m e n t ( x
0
x
t
) . ( S e e F i g u r e 6 . ) I f t h e
b i s e c t o r i s n o n - l i n e a r t h e n o n e o f t h e s i t e s e
i
e
j
w i l l b e c l o s e r a n d t h e o t h e r o n e f u r t h e r f r o m x
L e t e
j
b e t h e c l o s e r s i t e , s o t h a t f
j
( x ) < f
i
( x ) = f ( x ) < f
k
( x ) k 6= i j . D r a w a c i r c l e o f r a d i u s
p
f c e n t e r e d a t x . T h i s c i r c l e w i l l c o n t a i n p o r t i o n s o f s i t e e
j
i n i t s i n t e r i o r , a n d w i l l t o u c h s i t e e
i
a n d a l l o t h e r s i t e s e
k
w i l l l i e o u t s i d e t h i s c i r c l e . S h r i n k t h i s c i r c l e s u c h t h a t i t c o n t i n u e s t o t o u c h
s i t e e
i
a n d i t c e n t e r c o n t i n u e s t o l i e o n t h e l i n e c o n n e c t i n g t h e p o i n t x t o t h e c o n t a c t p o i n t o f t h e
c i r c l e w i t h e
i
u n t i l t h e c i r c l e j u s t t o u c h e s e
j
. T h e c e n t e r o f t h e c i r c l e w i l l m o v e i n t h e d i r e c t i o n
; g
i
( x ) a n d t h e n e w c e n t e r w i l l b e t h e p o i n t x
1
w h i c h l i e s o n t h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
) . T h e s h r u n k
c i r c l e l i e s i n t h e i n t e r i o r o f t h e o r i g i n a l c i r c l e a n d h e n c e a l l s i t e s e
k
k 6= i j w i l l c o n t i n u e t o l i e
o u t s i d e t h e c i r c l e . H e n c e a t t h e p o i n t x
1
, f
i
( x
1
) = f
j
( x
1
) < f
k
( x
1
) k 6= i j . H e n c e x
1
c a n n o t b e a
V o r o n o i v e r t e x . S i n c e b y c h o o s i n g a l l t h e p o i n t s i n t h e i n t e r v a l ( x
0
x
t
) i n t h e o p e n l i n e s e g m e n t
w e g e t e v e r y p o i n t o n t h e b i s e c t o r B ( e
i
e
j
) i n t h e i n t e r v a l ( x
0
x
t
1 ) t h i s r e s u l t h o l d s f o r t h e e n t i r e
i n t e r v a l .
1 6
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
17/32
x0
x0g( )- /2
ek
ej
v
ei
B(ei,ej)
xt
xt1
F i g u r e 5 : F i n d i n g a n i n t e r m e d i a t e p o i n t o n t h e c u r v e
x0g( )- /2
x0
x1
ei
B(ei,ej)
xt
ej
x
ek
F i g u r e 6 : P r o o f o f L e m m a 2
2 . 3 . 5 I n c r e a s i n g R o b u s t n e s s
W h i l e t h e a b o v e c u r v e t r a c i n g p r o c e d u r e i s g u a r a n t e e d t o c o n v e r g e t o a V o r o n o i v e r t e x . I n t h e
n o n - l i n e a r c a s e h o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t h a t a s w e c o m e c l o s e r a n d c l o s e r t o t h e v e r t e x , t h e v e r y s m a l l
d i s t a n c e s i n v o l v e d i n t h e n u m e r i c a l c o m p a r i s o n s g i v e r i s e t o n u m e r i c a l p r o b l e m s t h a t a d v e r s e l y
a e c t r o b u s t n e s s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e w h e n t w o V o r o n o i v e r t i c e s a r e e x t r e m e l y c l o s e t o e a c h
o t h e r .
T h e p r o c e d u r e o u t l i n e d b e l o w r e d u c e s t h e n u m b e r o f t i m e s w e n e e d t o e m p l o y t h e c u r v e t r a c i n g
p r o c e d u r e t o o b t a i n p a r a b o l i c V o r o n o i e d g e s . T h e b a s i c i d e a i s t o d e f e r t h e t r a c i n g o f p a r a b o l i c
V o r o n o i e d g e s u n t i l a l l ( o r m o s t ) o f t h e V o r o n o i v e r t i c e s h a v e b e e n d e t e r m i n e d . T h i s i m p l i e s t h a t
w h e n w e d e t e r m i n e t h e n e w e d g e s a r i s i n g o u t o f a n e w l y c o m p u t e d V o r o n o i V e r t e x , t h e n o n - l i n e a r
e d g e s a r e a d d e d t o t h e e n d o f t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t a n d t h e l i n e a r e d g e s a r e a d d e d t o t h e
f r o n t o f t h e L i s t . T h u s m o s t o f t h e l i n e a r e d g e s w i l l b e e x a m i n e d b e f o r e t h e n o n - l i n e a r o n e s ,
a n d c o n s e q u e n t l y m o s t o f t h e V o r o n o i v e r t i c e s w i l l b e d e t e r m i n e d b e f o r e t h e n o n - l i n e a r e d g e s a r e
t r a c e d . T h e t r u t h o f t h e l a s t s t a t e m e n t s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t t h e r e m u s t b e a t l e a s t o n e l i n e a r
1 7
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
18/32
e d g e a r i s i n g o u t o f a n y V o r o n o i v e r t e x .
R e c a l l t h a t t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t c o n t a i n s V o r o n o i e d g e s t h a t h a v e n o t b e e n c o m p l e t e l y
d e t e r m i n e d . I n p a r t i c u l a r , o n l y t h e s t a r t i n g v e r t e x a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e e d g e i s k n o w n . T h u s ,
i f t h e t w o e n d p o i n t s o f a g i v e n e d g e a r e d e t e r m i n e d a s a r e s u l t o f t r a c i n g t w o d i e r e n t e d g e s t h a t
t e r m i n a t e i n t h e r e s p e c t i v e e n d p o i n t s , w e w i l l h a v e t w o e n t r i e s i n t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t t h a t
r e p r e s e n t t h e s a m e V o r o n o i e d g e . T h e p r o c e d u r e c u r r e n t l y f o l l o w e d i s t o t r a c e a g i v e n e d g e , a n d
i f t h e n e w v e r t e x d e t e r m i n e d a t t h e o t h e r e n d o f t h e e d g e a l r e a d y e x i s t s , t h i s i m p l i e s t h a t t h e r e
m u s t b e a n o t h e r e n t r y i n t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t c o r r e s p o n d i n g t o t h e e d g e b e i n g t r a c e d .
I f t h e r e a r e t w o u n e x a m i n e d p a r a b o l i c e d g e s t h a t a r e b i s e c t o r s o f t h e s a m e p a i r o f s i t e s , e a c h
o f w h i c h s t a r t f r o m a d i e r e n t V o r o n o i v e r t e x , w e c a n a v o i d t h e c u r v e t r a c i n g p r o c e d u r e i f w e
c a n c o n r m t h a t t h e t w o v e r t i c e s a r e t h e t w o e n d p o i n t s o f a s i n g l e V o r o n o i e d g e . I n t e r m e d i a t e
p o i n t s o n t h e c u r v e a r e d e t e r m i n e d e a s i l y b y u s i n g t h e s a m e t e c h n i q u e u s e d i n t h e c u r v e t r a c i n g
p r o c e d u r e .
H o w o f t e n w i l l s u c h a c a s e o c c u r - n a m e l y , t h a t t h e t w o v e r t i c e s o f a p a r a b o l i c V o r o n o i e d g e
b e d e t e r m i n e d b e f o r e t h e p a r a b o l i c e d g e i s t r a c e d ? S i n c e t h e r e m u s t b e t h e r e m u s t b e a t l e a s t
o n e l i n e a r e d g e a r i s i n g o u t o f a n y V o r o n o i v e r t e x , m o s t o f t h e v e r t i c e s o f t h e V o r o n o i d i a g r a m c a n
b e d e t e r m i n e d b y t r a c i n g t h e s t r a i g h t l i n e e d g e s b e f o r e t h e p a r a b o l i c e d g e s . T r a c i n g a s t r a i g h t
l i n e e d g e i s a m u c h s i m p l e r ( a n d h e n c e m o r e r o b u s t ) n u m e r i c a l o p e r a t i o n t h a n t h a t f o r t r a c i n g
p a r a b o l i c e d g e s . W h a t r e m a i n s i s t o d e v i s e a s i m p l e p r o c e d u r e t o v e r i f y t h a t t w o v e r t i c e s t h a t a r e
t h e s t a r t i n g p o i n t s o f t w o u n e x a m i n e d p a r a b o l i c e d g e s a r e t h e e n d p o i n t s o f a s i n g l e V o r o n o i e d g e .
T h e f o l l o w i n g L e m m a g i v e s u s t h e b a s i s f o r s u c h a p r o c e d u r e .
L e m m a 3 L e t E
1
a n d E
2
b e t w o u n e x a m i n e d p a r a b o l i c e d g e s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e s a m e p a i r o f
s i t e s e
i
a n d e
j
s u c h t h a t E
1
s t a r t s f r o m V o r o n o i v e r t e x A a n d E
2
f r o m v e r t e x B . T h e n A B i s a
s i n g l e V o r o n o i ( p a r a b o l i c ) e d g e i f t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s f r o m A a n d B c r o s s e a c h o t h e r .
P r o o f : C o n s i d e r F i g u r e 7 . S u b g u r e s 7 a , 7 b a n d 7 c d e p i c t t h e v a r i o u s c a s e s t h a t c a n a r i s e
w h e n i t e r a t i n g f r o m A a n d B s i m u l t a n e o u s l y .
I n C a s e 1 ( 7 a ) , t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s A A
0
a n d B B
0
d o n o t c r o s s , b u t t h e l i n e d r a w n f r o m
t h e p o i n t s i t e e
i
t h r o u g h A
0
( r e s p e c t i v e l y B
0
) m e e t s t h e l i n e B B
0
( r e s p e c t i v e l y A A
0
) i n a p o i n t t h a t
b e l o n g s t o t h e o p e n i n t e r v a l B B
0
( r e s p e c t i v e l y A A
0
) . L e t t h e l i n e f r o m e
i
t h r o u g h A
0
m e e t B B
0
i n B
0 0
. T h e n a t B
0 0
f
j
< f
i
= f < f
k
, f o r a l l k 6= i j . F r o m L e m m a 2 , w e k n o w t h a t t h i s r e l a t i o n
1 8
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19/32
B(ei,ej)
A
B
A’
B’
B"
ei
ej
ek
( a ) C a s e 1
B(ei,ej)
A
B
A’
B’
C
ej
ek
ei
( b ) C a s e 2
B(ei,ej)
A
B
B’
A’
ei
ek
ej
( c ) C a s e 3
B(ei,ej)
A
B
A’
A" B’
A’"
C
ei
ej
ek
( d ) C a s e 3 a
A
B
A’
A" A’"
C
B’
B(ei,ej)
D
B"
B’"
ek
ej
ei
( e ) C a s e 3 b
F i g u r e 7 : F i g u r e f o r L e m m a 3
1 9
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
20/32
h o l d s a s w e m o v e t o w a r d s e
i
. H e n c e a t A
0
, w e m u s t h a v e f
j
f
i
= f < f
k
. B u t s i n c e A
0
i s t h e
l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f t h e V o r o n o i v e r t e x s t a r t i n g f r o m A , w e m u s t h a v e f
j
= f
k
a t A
0
f o r s o m e
s i t e k . T h u s t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n f r o m A c a n n o t t e r m i n a t e a t A
0
. H e n c e C a s e 1 i s i m p o s s i b l e ,
a n d w e m u s t h a v e e i t h e r C a s e 2 o r C a s e 3 .
I n C a s e 2 , t h e t w o l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s c r o s s . L e m m a 2 g u a r a n t e e s t h a t w e c a n n o t o v e r s h o o t
a V o r o n o i v e r t e x h e n c e t h e r e c a n b e n o V o r o n o i v e r t e x f r o m B B
0
o r A A
0
a l o n g t h e c u r v e . H e n c e
A B m u s t b e a s i n g l e p a r a b o l i c e d g e . I t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e i n t e r m e d i a t e p o i n t s o n t h e c u r v e
b y p r o j e c t i n g b a c k f r o m p o i n t s o n t h e l i n e s A C a n d B C t o t h e s i t e e
i
F i n a l l y , i t i s p o s s i b l e t o h a v e a s i t u a t i o n a s d e p i c t e d i n C a s e 3 . H e r e t h e t w o l i n e a r a p p r o x i -
m a t i o n s d o n o t i n t e r s e c t . I n s u c h a c a s e , w e n e e d t o r e p e a t t h e p r o c e d u r e s t a r t i n g a t o n e o f t h e
p o i n t s A
0
o r B
0
. I f t h e n e w e d g e s t a r t i n g f r o m A
0
c r o s s e s t h e o n e s t a r t i n g f r o m B , a s s h o w n i n
C a s e 3 a , w e h a v e v e r i e d t h a t A B i s a s i n g l e V o r o n o i e d g e , o r r e p e a t e d i t e r a t i o n s m a y c o n v e r g e
t o t w o n e w V o r o n o i v e r t i c e s C a n d D a s i n C a s e 3 b , a n d w e h a v e f o u n d t w o V o r o n o i e d g e s A C
a n d B D
2 . 3 . 6 A d d i n g N e w E d g e s
H a v i n g c o m p u t e d a n e w V o r o n o i v e r t e x x
t
, w e m u s t r s t p e r f o r m a c h e c k t o d e t e r m i n e i f t h i s
v e r t e x h a s b e e n f o u n d b e f o r e . I f t h i s v e r t e x h a s b e e n c o m p u t e d e a r l i e r , i t m e a n s t h a t t h e r e m u s t
e x i s t i n t h e E d g e L i s t , a n u n e x a m i n e d e d g e w i t h s t a r t i n g p o i n t x
t
. T h i s e d g e m u s t b e d e l e t e d f r o m
t h e E d g e L i s t , s i n c e i t h a s n o w b e e n f u l l y d e t e r m i n e d . I f t h e n e w v e r t e x h a s n o t b e e n c o m p u t e d
b e f o r e , w e p r o c e e d o n d e t e r m i n i n g a l l t h e e d g e s c o m i n g o u t o f t h i s v e r t e x .
W e r s t n e e d t o d e t e r m i n e a l l t h e o t h e r s i t e s e q u i d i s t a n t f r o m t h i s v e r t e x , a n d t h e n d e t e r m i n e
t h e n e w V o r o n o i e d g e s t h a t e m a n a t e o u t o f t h e n e w v e r t e x .
T h e r s t s t e p i s e a s y t o p e r f o r m a l l s i t e s e
l
, w h i c h s a t i s f y
d
l
( x
t
) = d
i
( x
t
) = d
j
( x
t
)
l i e o n t h e c i r c l e o f r a d i u s d
l
( x
t
) , c e n t e r e d a t t h e n e w V o r o n o i v e r t e x x
t
T h e s e c o n d s t e p i s t o d e t e r m i n e a l l t h e e d g e s c o m i n g o u t o f t h i s v e r t e x . I n g e n e r a l , i f w e h a v e k
s i t e s e q u i d i s t a n t f r o m a v e r t e x , t h e r e c a n b e
k
2
!
p a i r s o f p o s s i b l e e d g e s , b u t a l l o f t h e s e w i l l n o t
b e V o r o n o i e d g e s . F r o m t h e v e c t o r g ( x
t
) , f o r e a c h s i t e e
i
, w e c a n d e t e r m i n e t h e p o i n t o f c o n t a c t
2 0
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
21/32
gi /2-
g j /2-
g /2- k
xt
ei
ej
ek
( a ) 3 c o - c i r c u l a r p o i n t s i t e s
gi /2-
ei
ej
ek
el
xt
g j /2
gk /2gl /2
-
--
( b ) 4 c o - c i r c u l a r s i t e s w i t h 1 l i n e
s i t e
F i g u r e 8 : D e t e r m i n i n g e d g e s f r o m t h e c o n v e x h u l l o f p o i n t s o f c o n t a c t
o f ; g
i
= 2 w i t h e
i
. I f w e d e n o t e t h e p o i n t s o f c o n t a c t a s y
i
, t h e c o n v e x h u l l o f a l l t h e y
i
d e t e r m i n e s
w h i c h p a i r s o f s i t e s c o r r e s p o n d t o V o r o n o i e d g e . E v e r y c o n v e x h u l l e d g e , g i v e s a p a i r o f s i t e s t h a t
c o r r e s p o n d t o a V o r o n o i e d g e . T h u s i f w e h a v e k e q u i d i s t a n t s i t e s f r o m t h e v e r t e x x
t
, t h e r e a r e
e x a c t l y k V o r o n o i e d g e s . S e e F i g u r e 8 .
O n e o f t h e s e k e d g e s i s t h e e d g e w h i c h w a s j u s t t r a c e d . T h e o t h e r k ; 1 e d g e s a r e a p p e n d e d
t o t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t . T h e h e a d o f t h e E d g e L i s t i s t h e n e x a m i n e d a n d t h e p r o c e d u r e
r e p e a t s u n t i l t h e L i s t i s e m p t y .
D u e t o t h e i n c r e m e n t a l n a t u r e o f t h e e d g e t r a c i n g a l g o r i t h m , w e d o n o t n e e d t o m a k e a n y
a s s u m p t i o n s a b o u t p o i n t s i n g e n e r a l p o s i t i o n . H e n c e c o - c i r c u l a r i t y o f m o r e t h a n 3 s i t e s c a n b e
h a n d l e d e a s i l y .
2 . 4 T i m e C o m p l e x i t y
L e t t h e n u m b e r o f s i t e s i n t h e i n p u t b e n
p
, t h e n u m b e r o f V o r o n o i e d g e s b e n
e
a n d t h e n u m b e r o f
V o r o n o i v e r t i c e s b e n
v
T h e i n i t i a l i z a t i o n s t e p i s o f t h e o r d e r o f t h e n u m b e r o f s i t e s i n t h e i n p u t , s i n c e a s i n g l e p a s s
o v e r t h e i n p u t s u c e s t o c r e a t e t h e i n i t i a l e d g e s a n d a p p e n d t h e m t o t h e u n e x a m i n e d E d g e L i s t .
T h i s s t e p t a k e s O ( n
p
) t i m e .
2 1
8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
22/32
E a c h e d g e t h a t i s a d d e d t o t h e d i a g r a m i n t h e e d g e t r a c i n g s t e p r e q u i r e s u s t o e x a m i n e e a c h
s i t e t o d e t e r m i n e t h e c l o s e s t s i t e . A l s o , w e n e e d t o s e a r c h t h e l i s t o f c u r r e n t V o r o n o i v e r t i c e s t o
c h e c k f o r t h e e x i s t e n c e o f a n e w v e r t e x . H e n c e , w e n e e d O ( n
p
+ n
v
) t i m e f o r e a c h n e w e d g e f o u n d .
T h e t o t a l t i m e r e q u i r e d f o r t h e a l g o r i t h m i s t h e r e f o r e O ( n
p
n
e
+ n
v
n
e
) . B y E u l e r ' s f o r m u l a t h e
n u m b e r o f V o r o n o i e d g e s i s 2 n
p
; 3 a n d t h e n u m b e r o f V o r o n o i v e r t i c e s n
p
; 2 . H e n c e t h e t i m e
c o m p l e x i t y i s O ( n
2
p
)
3 S k e l e t o n i z a t i o n u s i n g V o r o n o i d i a g r a m s
I n t h i s s e c t i o n , w e d e s c r i b e o u r t e c h n i q u e f o r o b t a i n i n g s k e l e t o n s o f p l a n a r s h a p e s t h a t a r e d e r i v e d
f r o m V o r o n o i d i a g r a m s .
3 . 1 P r e p r o c e s s i n g : C o m p u t i n g a p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n
I n o r d e r t o c o m p u t e t h e V o r o n o i d i a g r a m o f a s h a p e , w e r s t s e g m e n t t h e s h a p e ' s b o u n d a r y a n d
d e r i v e a p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n o f i t s b o u n d i n g c o n t o u r . I n o u r i m p l e m e n t a t i o n , w e u s e d t h e
z e r o c r o s s i n g s o b t a i n e d f r o m a n i m a g e l t e r e d w i t h a L a p l a c i a n o f a G a u s s i a n 1 3 ] , t o o b t a i n a
b o u n d i n g c o n t o u r . T h e a d v a n t a g e o f t h i s t e c h n i q u e i s t h a t i t g u a r a n t e e s c l o s e d c o n t o u r s , w h i c h
e n s u r e s t h a t a c o n t o u r t r a c i n g a l g o r i t h m s u c h a s c h a i n c o d i n g w i l l c o n v e r g e q u i c k l y . F r o m t h e
c h a i n c o d e d b o u n d i n g c o n t o u r , c r i t i c a l p o i n t s ( t h o s e t h a t r e e c t s i g n i c a n t c h a n g e i n c u r v a t u r e ) a r e
r e t a i n e d t h e s e s e r v e a s t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n f o r e a c h ( p l a n a r ) s h a p e . T h e
i n p u t s h a p e s w e r e a p p r o x i m a t e d t o e n s u r e t h a t s i g n i c a n t c h a n g e s i n c u r v a t u r e w o u l d b e r e t a i n e d ,
w h i l e m i n o r d i s t o r t i o n s t h a t c o u l d r e s u l t i n n o i s e s p u r s i n t h e s k e l e t o n r e p r e s e n t a t i o n w o u l d b e
s m o o t h e d o v e r . T h u s , w e l i m i t e d t h e o c c u r r e n c e o f r e d u n d a n t e d g e s i n e a c h r e p r e s e n t a t i o n .
3 . 2 C o m p u t i n g t h e V o r o n o i D i a g r a m a n d e x t r a c t i n g S k e l e t o n s
G i v e n t h e v e r t i c e s f o r a p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n a s d e t e r m i n e d a b o v e , w e c o m p u t e d t h e V o r o n o i
d i a g r a m u s i n g t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . T h e m e d i a l a x i s 1 0 ] o f a p o l y g o n a l s h a p e
c a n b e d e r i v e d f r o m i t s V o r o n o i d i a g r a m b y d e l e t i n g t h o s e e d g e s t h a t a r i s e f r o m c o n c a v e v e r t i c e s
o f t h e p o l y g o n . ( S e e S e c t i o n 2 . ) T h e d a t a s t r u c t u r e w e e m p l o y f o r V o r o n o i e d g e s c o n t a i n e d t h e
i n f o r m a t i o n r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e s e e d g e s . H e n c e i t i s e a s y t o i d e n t i f y ( a n d d e l e t e ) e d g e s t h a t
e m e r g e f r o m c o n c a v e v e r t i c e s o f a p o l y g o n . H o w e v e r , t h e r e s u l t a n t m e d i a l a x i s i s c h a r a c t e r i z e d
2 2
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( a ) P l a n a r S h a p e ( b ) P o l y g o n a l A p p r o x i m a t i o n
( c ) V o r o n o i D i a g r a m ( d ) P r u n e d S k e l e t o n
F i g u r e 9 : V o r o n o i S k e l e t o n i z a t i o n o f P l a n a r S h a p e s
b y a v e r y l a r g e n u m b e r o f e d g e s , a s e v e r y v e r t e x o f t h e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n ( b o t h c o n c a v e
a n d c o n v e x ) g i v e s r i s e t o a V o r o n o i e d g e . M a n y o f t h e s e V o r o n o i e d g e s a r e r e d u n d a n t i . e . t h e y
d o n o t p r o v i d e a n y a d d i t i o n a l s t r u c t u r a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p l a n a r s h a p e . H e n c e w e i n c l u d e a
p r u n i n g t e c h n i q u e t o d e l e t e t h e s e r e d u n d a n t e d g e s .
3 . 3 T h e P r u n i n g o p e r a t o r
A s s h o w n i n F i g u r e 9 , t h e v e r t i c e s o f t h e i n i t i a l p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e s h a p e l e a d t o a
l a r g e n u m b e r o f e d g e s t h a t d o n o t c o n t r i b u t e t o o v e r a l l s h a p e i n f o r m a t i o n . I n a V o r o n o i d i a g r a m
e v e r y V o r o n o i e d g e i s a b i s e c t o r o f t w o s i t e s o n t h e b o u n d a r y o f a p o l y g o n i n p a r t i c u l a r t h e
V o r o n o i e d g e s a t t h e v e r t i c e s o f a p o l y g o n a r e b i s e c t o r s o f a d j a c e n t s i t e s . I f t h e s i d e s o f a p o l y g o n
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a r e n u m b e r e d i n c o u n t e r c l o c k w i s e o r d e r a l o n g t h e b o u n d a r y , w e c a n d e n e t h e a d j a c e n c y o f a
V o r o n o i e d g e a s f o l l o w s . L e t E b e a V o r o n o i e d g e t h a t i s a b i s e c t o r o f 2 s i t e s n u m b e r e d i a n d j
T h e n A d j a c e n c y ( E ) = i ; j . W e o b s e r v e ( t r i v i a l l y ) , t h a t V o r o n o i e d g e s t h a t l i e d e e p i n s i d e a n
o b j e c t h a v e h i g h e r a d j a c e n c y t h a n t h o s e o n t h e p e r i m e t e r . F u r t h e r m o r e s e g m e n t s t h a t d e s c r i b e
\ g l o b a l " t o p o l o g i c a l ( s y m m e t r y ) r e l a t i o n s a r e b i s e c t o r s o f h i g h a d j a c e n c y . T h i s f a c t g i v e s u s a
m e a n s o f l t e r i n g o u t u n i m p o r t a n t s e g m e n t s . W e s i m p l y d i s c a r d e d g e s t h a t a r e o f a d j a c e n c y l o w e r
t h a n s o m e p r e s e t t h r e s h o l d . S i n c e t h e a d j a c e n c y i n f o r m a t i o n i s i m p l i c i t l y c o n t a i n e d i n o u r E d g e
d a t a s t r u c t u r e ( s e e S e c t i o n 2 ) , n o a d d i t i o n a l p o s t - p r o c e s s i n g i s r e q u i r e d t o o b t a i n t h i s r e d u c e d s e t
o f e d g e s .
W e n o t e t h a t t h e a u t h o r s o f 1 7 ] u s e a s i m i l a r ( b u t n o t i d e n t i c a l ) t e c h n i q u e f o r p r u n i n g t h e
e d g e s o f V o r o n o i d i a g r a m s . T h e p r o b l e m i n t h e i r c a s e w a s m o r e c r i t i c a l , s i n c e t h e y s t a r t e d o u t
w i t h a s e t o f r a s t e r c r a c k e n d - p o i n t s a l o n g t h e b o u n d a r y o f a n o b j e c t a n d h e n c e h a d a n e x t r e m e l y
l a r g e n u m b e r o f V o r o n o i e d g e s t o p r o c e s s .
F i g u r e 9 s h o w s t h e r e s u l t o f t h e 3 s t e p p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e o n a p l a n a r s h a p e o f a n
a n i m a l - l i k e g u r e . F i g u r e 1 0 p r e s e n t s m o r e e x a m p l e s o f s k e l e t o n s d e r i v e d u s i n g o u r t e c h n i q u e f o r
s k e l e t o n i z a t i o n .
3 . 4 P r e s e r v i n g C o n n e c t i v i t y
A s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 1 , o n e o f t h e a d v a n t a g e s o f s k e l e t o n s d e r i v e d f r o m V o r o n o i d i a g r a m s i s
t h a t w e a r e g u a r a n t e e d c o n n e c t e d s k e l e t o n s . H o w e v e r , w h a t i s t h e e e c t o f t h e p r u n i n g s t e p
o n c o n n e c t i v i t y ? F u r t h e r m o r e , h o w d o e s o n e d e t e r m i n e a n o p t i m a l t h r e s h o l d f o r d e l e t i n g t h e
m a x i m u m n u m b e r o f r e d u n d a n t s k e l e t a l e d g e s w i t h o u t l o s i n g c o n n e c t i v i t y ? U n f o r t u n a t e l y , i t i s
n o t p o s s i b l e t o d e t e r m i n e a t h r e s h o l d v a l u e a p r i o r i a n d a p p l y i t t o a l a r g e c l a s s o f o b j e c t s . H o w e v e r ,
b y c o n s t r a i n i n g t h e t h r e s h o l d v a l u e t o 1 ( r e t a i n i n g o n l y t h o s e e d g e s t h a t a r e o f a d j a c e n c y g r e a t e r
t h a n 1 ) , w e c a n p r o v e t h a t t h e r e s u l t a n t s k e l e t o n r e m a i n s c o n n e c t e d .
L e m m a 4 P r u n i n g V o r o n o i e d g e s o f a d j a c e n c y 1 , i s g u a r a n t e e d n o t t o d e s t r o y c o n n e c t i v i t y .
P r o o f : T h e V o r o n o i d i a g r a m o f a p o l y g o n i s a P l a n a r S t r a i g h t L i n e G r a p h 1 8 ] , w h i c h b y
d e n i t i o n , i s c o n n e c t e d . F o r t h e r e m o v a l o f a n e d g e t o r e s u l t i n a d i s c o n n e c t e d g r a p h , t h e e d g e
m u s t b e a \ b r i d g e " , n a m e l y t h e e d g e m u s t b e p a r t o f e v e r y p a t h b e t w e e n a n y t w o v e r t i c e s o f
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( a ) ( b )
( c ) ( d )
F i g u r e 1 0 : ( a ) , ( c ) V o r o n o i D i a g r a m s , ( b ) , ( d ) p r u n e d s k e l e t o n s
t h e g r a p h . I t i s e a s y t o s e e t h a t n o e d g e o f a d j a c e n c y 1 c a n b e a b r i d g e , s i n c e ( b y d e n i t i o n o f
a d j a c e n c y ) e v e r y e d g e o f a d j a c e n c y 1 t e r m i n a t e s a t a v e r t e x o f a p o l y g o n . H e n c e r e m o v a l o f a l l
e d g e s o f a d j a c e n c y 1 i s g u a r a n t e e d t o p r e s e r v e c o n n e c t i v i t y o f t h e r e s u l t i n g s k e l e t o n .
3 . 5 S k e l e t o n i z i n g S h a p e s w i t h H o l e s
O n e o f t h e a t t r a c t i v e f e a t u r e s o f o u r m e t h o d i s t h a t i t h a n d l e s s h a p e s w i t h a n d w i t h o u t h o l e s i n
a u n i f o r m m a n n e r . F i g u r e 1 1 s h o w s a n e x a m p l e o f o u r a p p r o a c h a p p l i e d o n a h o l e d o b j e c t . N o
a d d i t i o n a l i n i t i a l i z a t i o n i s r e q u i r e d . N o t e t h a t w h e n c a r r y i n g o u t t h e p r u n i n g s t e p , c a r e m u s t b e
t a k e n t o d e n e t h e a d j a c e n c y i n f o r m a t i o n c o r r e c t l y , i n o r d e r t h a t t h e l a s t n u m b e r e d s i t e o n t h e
o u t e r b o u n d a r y a n d t h e r s t n u m b e r e d s i t e o n t h e n e x t h o l e a r e n o t c o n s i d e r e d a d j a c e n t . S h a p e s
w i t h m u l t i p l e h o l e s a r e h a n d l e d s i m i l a r l y .
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( a ) P l a n a r S h a p e ( b ) P o l y g o n a l A p p r o x i m a t i o n
( c ) V o r o n o i D i a g r a m ( d ) P r u n e d S k e l e t o n
( e ) S h a p e s w i t h m u l t i p l e h o l e s
( f ) S k e l e t o n o f a K e y
F i g u r e 1 1 : S k e l e t o n s o f S h a p e s w i t h h o l e s
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( a ) ( b )
( c ) ( d )
F i g u r e 1 2 : ( a , b ) : V e r y s m a l l e d g e s c a u s e n o i s e s p u r s . ( c , d ) : S m o o t h i n g c o n t o u r e l i m i n a t e s n o i s e
s p u r s .
3 . 6 P e r f o r m a n c e E v a l u a t i o n
I n t h i s s e c t i o n , w e b r i e y l o o k a t t h e t i m e c o m p l e x i t y o f t h e e n t i r e s k e l e t o n i z a t i o n p r o c e s s . I n t h e
d i s c u s s i o n t h a t f o l l o w s , l e t N d e n o t e t h e s i z e o f a s q u a r e i m a g e , ( N = M M ) , w h e r e M i s t h e
l e n g t h o f e a c h r o w a n d c o l u m n . L e t B r e p r e s e n t t h e a v e r a g e s i z e o f t h e b o u n d i n g c o n t o u r o f e a c h
p l a n a r s h a p e . I n S e c t i o n 2 , w e s a w t h a t t h e t i m e c o m p l e x i t y o f t h e V o r o n o i d i a g r a m a l g o r i t h m i s
O ( B
2
) , w h e r e B i s t h e n u m b e r o f s i t e s o n t h e b o u n d i n g c o n t o u r . O t h e r s k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m s
h a v e t i m e c o m p l e x i t i e s t h a t a r e a f u n c t i o n o f N , a n d h e n c e v a l i d c o m p a r i s o n s a r e d i c u l t t o m a k e .
I n p r a c t i c e , w e h a v e o b s e r v e d t h a t i n s p i t e o f t h e q u a d r a t i c c o m p l e x i t y , t h e a l g o r i t h m i s e c i e n t i n
p r a c t i c e , s i n c e t h e n u m b e r o f b o u n d a r y p o i n t s B , i s g e n e r a l l y a n o r d e r o f m a g n i t u d e l e s s t h a n N
H o w e v e r , i n c o m p u t i n g t h e t i m e f o r t h e s k e l e t o n i z a t i o n p r o c e s s , t h e p r e p r o c e s s i n g s t e p s m u s t a l s o
b e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e t a b l e b e l o w s u m m a r i z e s b o t h t h e t h e o r e t i c a l t i m e c o m p l e x i t y o f e a c h
s t a g e , a s w e l l a s t h e a c t u a l t i m e t a k e n o n a S p a r c 1 0 c o m p u t e r t o c o m p u t e t h e s k e l e t o n o f c h a r a c t e r
s h a p e s . T h e t i m i n g m e a s u r e m e n t s a r e r e p o r t e d f o r e a c h c h a r a c t e r o f s i z e 6 4 x 6 4 , a v e r a g e d o v e r a
t o t a l o f o v e r 1 3 5 0 c h a r a c t e r i m a g e s .
2 7
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T i m e C o m p l e x i t y A c t u a l R u n n i n g T i m e
S e g m e n t a t i o n O ( N l o g N ) 2 . 2 6 s e c
P o l y g o n i z a t i o n O ( B ) 0 . 1 0 s e c
V o r o n o i S k e l e t o n O ( B
2
) 0 . 8 1 s e c
T a b l e 1 : P e r f o r m a n c e E v a l u a t i o n : R u n n i n g t i m e s r e p o r t e d p e r 6 4 x 6 4 c h a r a c t e r i m a g e .
3 . 7 D i s c u s s i o n
I n t h i s s e c t i o n w e s h o w t h a t V o r o n o i s k e l e t o n s c o m p u t e d b y t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e , p r o v i d e
a r e p r e s e n t a t i o n s u p e r i o r t o e x i s t i n g s k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m s .
O u r a p p r o a c h e x p l o i t s t h e f a c t t h a t t h e m e d i a l - a x i s o f a p o l y g o n a l s h a p e i s i m p l i c i t l y c o n t a i n e d
i n i t s V o r o n o i d i a g r a m . T h i s f a c t i m m e d i a t e l y e n s u r e s ( a ) t h a t t h e c o m p u t e d s k e l e t o n l i e s i n
R
2
, ( E u c l i d e a n m e t r i c s ) a n d ( b ) c o n n e c t i v i t y i s g u a r a n t e e d . W e c o m p u t e t h e e x a c t m e d i a l a x i s
a s o p p o s e d t o a d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n . T h i s i s a m a j o r a d v a n t a g e o v e r o t h e r s k e l e t o n i z a t i o n
t e c h n i q u e s .
S k e l e t o n s c o m p u t e d b y t h i n n i n g a l g o r i t h m s a r e c o n s t r a i n e d b y t h e 4 o r 8 c o n n e c t i v i t y o f t h e
d i s c r e t e g r i d i n w h i c h t h e o b j e c t s h a p e s a r e e m b e d d e d 4 ] . T h e t y p i c a l d r a w b a c k o f s u c h a p p r o a c h e s
i s t h e r e f o r e t h e l o s s o f E u c l i d e a n m e t r i c s . F u r t h e r m o r e t h i n n i n g a l g o r i t h m s a l s o h a v e t o d e a l w i t h
r e d u n d a n t e d g e s a s a r e s u l t o f n o i s e a r t e f a c t s o n t h e b o u n d a r y o f o b j e c t s h a p e s .
A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o s k e l e t o n i z a t i o n i n v o l v e s r i d g e f o l l o w i n g t e c h n i q u e s b a s e d o n d i s t a n c e
m a p s c o m p u t e d f r o m o b j e c t s h a p e s . T h e q u a l i t y o f t h e r e s u l t i n g s k e l e t o n s i s c r i t i c a l l y d e p e n d e n t o n
t h e m e t r i c u s e d t o d e r i v e t h e d i s t a n c e m a p . N o n - E u c l i d e a n m e t r i c s ( c i t y - b l o c k d i s t a n c e , c h e s s b o a r d
d i s t a n c e a m o n g o t h e r s ) , l e a d t o s i m p l e s k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m s , b u t l e a d t o a n i n a c c u r a c y o f
u p t o 4 0 % w i t h r e s p e c t t o E u c l i d e a n d i s t a n c e s 1 1 ] . W h i l e m e t h o d s t o c o m p u t e E u c l i d e a n 3 ] o r
q u a s i - E u c l i d e a n 1 6 ] d i s t a n c e m a p s e x i s t , t h e s e m e t h o d s d o n o t g u a r a n t e e c o n n e c t i v i t y . G a p s o c c u r
d u e t o t h e d i s c r e t e d o m a i n i n w h i c h o b j e c t s a r e e m b e d d e d , a n d n e e d t o b e l l e d i n p o s t p r o c e s s i n g
s t e p s .
M o r e r e c e n t l y , n e w s k e l e t o n i z a t i o n a l g o r i t h m s 1 7 ] a n d 1 1 ] t h a t a r e i m p r o v e m e n t s o v e r t h e
t r a d i t i o n a l t e c h n i q u e s d e s c r i b e d a b o v e h a v e a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e . I n t h e s e q u e l , w e b r i e y
d e s c r i b e t h e i r m e t h o d s , a n d c o m p a r e t h e m w i t h o u r a p p r o a c h .
I n 1 7 ] , t h e a u t h o r s c o m p u t e t h e V o r o n o i d i a g r a m o f t h e s e t o f p o i n t s a l o n g t h e b o u n d a r y o f a n
o b j e c t s h a p e . T w o p o i n t s a r i s e w i t h r e s p e c t t o t h e g e n e r a l s c o p e o f t h i s t e c h n i q u e . ( a ) A v e r y l a r g e
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8/17/2019 10.1.1.464.3408_voronoi
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n u m b e r o f p o i n t s a r e r e q u i r e d t o c o r r e c t l y a p p r o x i m a t e o b j e c t s h a p e s t h i s i s n o t v e r y e c i e n t .
F u r t h e r t h e l a r g e n u m b e r o f p o i n t s l e a d t o a n e x t r e m e l y l a r g e n u m b e r o f r e d u n d a n t V o r o n o i e d g e s ,
n e c e s s i t a t i n g t h e u s e o f c o m p l e x p r u n i n g t e c h n i q u e s . ( b ) A m o r e c r i t i c a l d r a w b a c k o f t h i s a p p r o a c h
i s t h a t i t i s n o t e a s i l y a p p l i c a b l e t o o b j e c t s w i t h h o l e s . I n p a r t i c u l a r , i t i s n o t p o s s i b l e t o d e c i d e
a p r i o r i , t h e n u m b e r o f s a m p l e d p o i n t s o n a n o b j e c t , n e c e s s a r y t o e n s u r e t h a t t h e V o r o n o i e d g e s
b e t w e e n t h e i n n e r a n d o u t e r b o u n d a r i e s w i l l b e c o m p u t e d .
O u r a p p r o a c h o n t h e o t h e r h a n d , o v e r c o m e s b o t h t h e s e d e c i e n c i e s . T h e n u m b e r o f r e d u n d a n t
e d g e s a r e s m a l l a s c o m p a r e d t o 1 7 ] . T h u s a s i m p l e p r u n i n g s t e p , t h a t i n v o l v e s n o p o s t p r o c e s s i n g
s u c e s t o r i d u s o f a l m o s t a l l s p u r i o u s e d g e s . I n a d d i t i o n , b y c o n t r o l l i n g t h e p o l y g o n a l a p p r o x -
i m a t i o n p r o c e s s t o e l i m i n a t e e d g e s o f v e r y s m a l l l e n g t h o n t h e c o n t o u r , w e c a n e l i m i n a t e t h e
o c c u r r e n c e o f t h o s e r e d u n d a n t e d g e s t h a t m i g h t n o t b e d e l e t e d b y t h e p r u n i n g s t e p . F i g u r e s 8 a , b ,
s h o w e x a m p l e s w h e r e t h e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n s o f t h e c h a r a c t e r s h a p e s c o n t a i n v e r y s m a l l
l e n g t h e d g e s t h a t r e s u l t i n r e d u n d a n t e d g e s t h a t a r e n o t d e l e t e d b y t h e p r u n i n g s t e p . B y e n s u r i n g
t h a t t h e p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n w i l l n o t c o n t a i n v e r y s m a l l l e n g t h e d g e s t h e s e s p u r s c a n b e
e l i m i n a t e d . ( F i g u r e s 1 2 c a n d d ) .
F u r t h e r m o r e , p o l y g o n s w i t h a n d w i t h o u t h o l e s a r e h a n d l e d i n a u n i f o r m m a n n e r . P o l y g o n s a r e
d e n e d i n t e r m s o f l i n e s e g m e n t s , a n d a r e t h e r e f o r e w e l l d e n e d a t e v e r y p o i n t p ( x y ) 2 R
2
a l o n g
t h e b o u n d a r y . T h i s o v e r c o m e s t h e d r a w b a c k s o f d i s c r e t i z i n g t h e b o u n d i n g c o n t o u r a s i n 1 7 ] .
T h e a u t h o r s o f 1 1 ] e m p l o y t h e s n a k e m o d e l ( a n a c t i v e c o n t o u r m o d e l ) , t o c o m p u t e s k e l e t o n s . I n
t h e i r t e c h n i q u e , i n i t i a l c o n t r o l p o i n t s a r e d e n e d f o r t h e s n a k e a t c u r v a t u r e e x t r e m a o f a s h a p e ' s
b o u n d i n g c o n t o u r . T h e d y n a m i c g r a s s r e i s t h e n s i m u l a t e d b y t h e s n a k e p r o p o g a t i o n . T h i s
t e c h n i q u e m a i n t a i n s c o r r e c t E u c l i d e a n t e c h n i q u e s b y c o m p u t i n g t h e E u c
