Skye LøfvanderDet Springende Punkt

Omslagets illustration viser en kvinde der spiller kanun, 'det arabiske klaver', som kan spilles med plektre eller lette køller, den er fra en udgave af 1001 nats eventyr.Her er så en mandlig musiker med samme instrument fra W. M. Thomson: The Land and the Book, 1859.

I min gymnasietid gik jeg i klasse med en sød pige, som gik under kælenavnet 'Tusind'.Mange år senere stødte jeg på hendes ret sjældne efternavn i en artikel om historisk matematik. Den viste sig, at være skrevet af hendes far, som jeg ikke havde truffet, og som var professor på Københavns Universitet med speciale i klassisk filolog og antikkens matematik og kronologi.I artiklen gav han udtryk for, at den gode gamle 7-9-13-besværgelse, som kun findes i Norden, måske har rødder i en 'magisk' primtalsremse: 7-11-13.

Det skal forstås i lyset af, at 7 x 11 x 13 = 1001

Læs om 'hele den tyrkiske musik' i folkeviddet og på det Kongelige Bibliotek

Du kender sikkert rækken 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, .... ellers er det på høje tid!! Hvis du vil undersøge om et tal er et primtal, skal du finde ud af om det kan faktoriseres. Rent praktisk begynder du nedefra ved at tjekke om 2, 3, 5 osv. går op i tallet. Du kan slutte kontrollen, når du i primtalsrækken er nået op på en værdi større end det undersøgte tals kvadratrod. Eksempel: er 101 et primtal? 2 går ikke op, 3 går ikke op, 5 går ikke op, 7 går ikke op, og da næste primtal, 11, er større end kvadratroden af 101, er 101 et primtal!

Det Springende Punkts talnotation viser tydeligt tallenes væsen:Primtal er stjerner/hjul med netopén ring. Man kunne kalde dem tallenes 'grundstoffer'.Sammensatte tal består af flere ringe, én ring for hver faktor, her har vi med tallenes 'molekyler' at gøre.

Melchior Lorcks prægtige grafik fra hhv. 1583 og 1576. Jeg har for symmetriens skyld tilladt mig at spejlvende herren til højre.

Se også Den Store Danskes opslag og det engelske Wikipedias med mange smukke illustrationer

Hvorfor skal du bruge din tid og tanker på at faktorisere?- Det skal du, fordi de naturlige tal i bund og grund er MUSIKKENS SPROG!!Hvert primtal kan i lyset af naturtonerækken forstås som en ny kvalitet i musikken.Legen giver betydelig mere mening end den i numerologien så udbredte leg med tværsum.... og så skal vi bruge forståelsen af tallene til at påskønne Mellemøstens raffinerede musikmatematik!

Tre helt fundamentale felter i menneskets bevidsthed har samme udspring, som man kunne benævne klang. Al lyd er sammensat af flere toner: overtonerne svinger med i den dobbelte, tredobbelte, firdobbelte osv. frekvens. Sammensætningen mht. deltonernes styrke afgør klangen. Man kan fx med sin sangstemme fremhæve deltone nr. 4, 5 og 6, grundtone, stor terts og ren kvint, ved at intonere vokallyde, som ligger tæt på startvokalerne i hhv. Åse, Olga og Agnes. Musik, matematik og sprog er naturligt flettet sammen!

Når en tone klinger, svinger overtonerne med, her er de første 30 afbildet.Samtidig bliver vi opmærksomme på tonens Janus-natur, for den fletter tid (frekvens) sammen med rum (bølgelængde), så hvis man kun identificerer frekvensen, mangler man det halve billede:Til dobbelt frekvens hører halv bølgelængde;til tredobbelt frekvens hører tredjedel bølgelængde, ... osv.Frekvens og bølgelængde er altså omvendt proportionale!

Her ses den præsenterede talnotation i oktavspiralens ramme. For hver vinding har vi bevæget os en oktav: Kvaliteten gentages på et højere eller lavere niveau, svarende til at gange med 2^n (2 opløftet til en heltalspotens).

Alle toner på linje er oktaver af samme tone, således er 6 og 12 (hhv. 2x3 og 2x2x3) oktaver af primærtonen 3, og 10 (2x5) er en oktav af primærtonen 5. Tonen 9 er sammensat (3x3 ~ kvintens kvint)

Sammenhængen mellem talværdier og vokallyde må ikke udlægges for stift. Den fonetiske notation er vejledende, men hvilken vokalkvalitet, der fremhæver hvilken overtoner, er afhængigt af tonehøjde, klangkvalitet mm., men den generelle sammenhæng er målbar og utvetydigt!

Oktavspiralen viser imidlertid, hvordan naturen ordner musikken. Overfor dette står, hvordan mennesket som kulturvæsen alle dage har arrangeret tonerne i systemer, hvor der ikke er så mange forskellige intervalskridt inden for moderoktavens 1:2.De persiske, tyrkiske og arabiske musikkulturer har bestemt ikke stået tilbage for os mht. raffinement på dette område. De mikrotonale tonesystemer har oftest haft lutten (~ oud) som basis.... og vi glemmer ikke, at 7 x 11 x 13= 1001!

Illustration af toneteori med lut af Gioseffo Zarlino, 16. årh.

T.v.: Bayâd spiller lut for en frue og hendes tjenerinder i denne 1200-tals illustration fra fortællingen om Bayâd og Riyâd.

Har du tænkt over, hvor stor betydning den mellemøstlige musik har haft for vores kultur?

Hvad ville guitaren have været uden de landvindinger, man gjorde med lutten i det område?!

Kender du baggrunden for benævnelsen janitshar?

Illustrationen viser en maurisk og en kristen lutspiller ved Alfonso X af Kastiliens hof (Spanien var under muslimsk herredømme 711-1492)

2, 3 og 5 - vi åbner en dør på klem!De tre første primtal er 2, 3 og 5. Vi kender dem fra urskiven, og vi skal være glade for, at den ikke er blevet slået ud af den digitalt-lineære tidstanke, men at de stadig ikke blot hjælper os med at holde øje med tidens gang i tidens løb, men også hvordan man deler en helhed i to, i tre og i fem.Den 60-delte cirkel har vi arvet fra langt tilbage, den har rødder i mesopotamisk matematik, hvor guder, planeter, proportioner og musik var sider af samme sag for over 3.000 år siden.

2 er oktaven i kraft af længdens halveringer, proportionen 1:23 er den rene kvint i kraft af længdens tredelinger, prop. 2:35 er den store terts i kraft af længdens femdelinger, prop. 4:5

I oktaven mellem 30 og 60 længdeenheder (tommer, centimeter eller noget tredje) kan vi lave en durskala med hele tal, som alle kan reduceres til faktorerne 2, 3 og 5. Forkortede længdeværdier fra højre: 1- 9/10- 4/5- 3/4- 2/3- 3/5- 8/15- 1/2 svarer til frekvenserne:1- 10/9- 5/4- 4/3- 3/2- 5/3- 15/8- 2.

Naturtonerne 2, 3 og 5 - oktav, ren kvint og storterts - spiller organisk sammen, de kan ikke tvinges ind i snævre rammer. Med musikken fra vores moderne, ligedelte oktav påstår vi faktisk, at de gule punkter, kvinterne, præcist rammer de 12 akser, og at de violette, stortertserne, falder sammen med akserne kl. 12, kl. 4 og kl. 8!

At naturtonerne matematisk går skævt af hinanden bliver basis for temperering og alverdens sindrige opskrifter på tonesystemer.

Hug en hæl og kap en tå, som Askepots stedsøstre sagde for at få foden ned i glasskoen!

Tonesystemer opbygget af overtonerækkens nr. 2, 3 og 5 kalder vi 'ren stemning' (på engelsk: Just tuning/ just intonation). Man kan også sige at det er et [2-3-5]- rammesystem (eng.: 5-limit). Primtallet 5 er den højeste generator. Genus har med køn at gøre, så man behøver ikke at stivne i angst for endnu et begreb som oftest mødes ifm. motorer og teknik: tonekvaliteterne frembringes, 'avles'.Det er temmelig universelt at dele en oktav op i syv toner med hel- og halvtrin, men det er nok de færreste, der er klar over, hvor mange måder man kan gøre det på. Fortrængningen skyldes delvist, at man af praktiske grunde de seneste halvandet hundrede år (ikke siden Bachs tid, som mange fejlagtigt tror) har benyttet en matematisk ligedeling af oktaven, så afstanden mellem hver af de tolv nabohalvtoner er nøjagtigt ens. Det lyder forjættende, men ørets reference er primært naturtonernes renhed, så det er en trist kulturel tilvænning, når vi godtager tertser og sekster - en tredjedel af klaverets toner - som afviger betydeligt (en syvendedel halvtone) fra deres naturlige forlæg.Men naturtonerne kan og skal ikke bare uden videre gå op i en højere enhed: Det er simpel matematik, at potenser af 2, oktaver, noget lige, aldrig kan møde potenser af 3, kvinter, noget ulige.Derfor har der alle dage været mennesker som har puslet med måder at arrangere tonerne harmonisk, som var det en bordplan, hvor det ikke er helt ligegyldigt, hvordan de 12 gæster anbringes.

... og 7 og 11 og 13: Lyt til Scheherazades beretten!

... eller se blot disse tre opskrifter på tonesystemer udtænkt af de tre store skikkelser inden for mellemøstlig og arabisk toneteori:

7: Safi al-Din al-Urmawi (ca. 1216-1294) Musiker, komponist, musikteoretiker. Virksom i Baghdad (nu: Irak).

11: Abu Nasr al-Farabi (870-950) Virksom i Baghdad (nu: Irak). Væsentlige bidrag inden for logik, matematik, musik, filosofi, psykologi og pædagogik. Lutten på foregående dias er fra hans værk Kitab al-Musiqa.

13: Ibn Sina (Avicenna) (980-1037) var en persisk læge, filosof og politiker. Virksom i bl.a. Bukhara (nu: Uzbekistan), Konye-Urgench (nu: Turkmenistan) Hamadan og Isfahan (nu: Iran).

Frekvenstal (reference) for prim- sekund- terts- kvart- kvint- sekst- septim- oktav:

7: 1- 8/7- 9/7- 4/3- 32/21- 12/7- 16/9- 2 [2-3-7]-system, 7 genererer sekund, terts, kvint og sekst.

11: 1- 9/8- 27/22- 4/3- 3/2- 18/11- 16/9- 2[2-3-11]-system, 11 genererer terts og sekst.

13: 1- 9/8- 39/32- 4/3- 3/2- 13/8- 16/9- 2[2-3-13]-system, 13 genererer terts og sekst.

Scheherazade som Sergej Smirnov så hende

I sin afhandling al Sharafiyya undersøgte Safi al-Din meget grundigt intervalrelationer inden for forskellige rammer. Illustrationen øverst tv. er en afskrift fra 16. århundrede.Til venstre et eksempel på et [2-3-7-13]-tonesystem fra hans hånd med rene kvarter (4/3), kvint (3/2) og oktav (2/1) indtegnet.T

Ikke mindre imponerende var den meget tidligere al-Farabis inddeling af tetrachordet - kvartintervallet, som vi deler op i fem halvtoner - i ti mikrointervaller:

1- 256/243- 18/17- 162/149- 54/49- 9/8- 32/27- 81/68- 27/22- 81/64- 4/3

Man forstår måske på den baggrund bedre den arabiske rejsende Ibrahim Ibn Ahmed at-Tartuschi, som besøgte Hedeby i 900-tallet: "Aldrig hørte jeg hæsligere sang end slesvigernes, det er en brummen som kommer fra deres struber i lighed med hundegøen, blot endnu mere dyrisk."

Al-Farabi delte oktaven i 22 intervaller - som indernes shruti-system - og den allerede viste skala med primærtonen 11 som generator er blot et udsnit af en gennemført 17-deling af oktaven i et [2-3-11-17]-system - og så har vi jo næste primtal, 17, på banen. Hele systemet ser ud som følger:1- 18/17- 12/11- 9/8- 81/68- 27/22- 81/64- 4/3- 24/17- 16/11- 3/2- 27/17- 18/11- 27/16- 16/9- 32/17- 64/33- 2

I praksis brugte man så et udvalg som eksempelvis den viste heptatone delmængde.Den øvre halvdel af et strengeinstruments gribebræt kunne se sådan ud (i en fløjte ville der være huller i omtrent tilsvarende positioner):

... hvor der her fra den større mængde er fremhævet de mere velkendte elementer fra [2-3]-systemet, såkaldt pythagoræisk stemning.Og vi er slet ikke færdige med hverken det eller 17!

Vi har forstået, at alle naturtoner kan bruges som generatorer. Tonerne bliver altså - jf. genus - 'avlet', og de strukturer, de danner i tonesystemer, kan sammenlignes med planternes phyllotaxi.

Uanset hvor mange måder, man i praksis kan inddele oktaven, vil grundmønsteret dog være det, som opstår mellem musikkens to primære funktioner, 2 og 3, oktav og kvint. Da de som nævnt ikke kan mødes på kornet, gives basis for ekscitationer ('systemspring'), hvor det viser sig, at den tolvdelte oktav i sin rod er lige så diatonisk (består af små og store trin) som den femdelte og syvdelte, der kommer tidligere i udviklingen.

Klaviaturet ovenfor har øverst syv hvide og fem sort tangenter pr. oktav - det kender vi. Nedenunder er det klaviatur, som ville passe til tolvtonal musik: Tolv hvide og fem sorte, i alt 17 trin pr. oktav.

Al-Kindi (ca. 801–873), 'den arabiske filosofis fader', virksom i Baghdad, var den første som udenfor Kina beskrev den tolvdelte oktav på basis af kvintgenerering.

Her er Safi al-Dins 17-delte oktav, hvor delingerne er genereret af rene kvinter, 'pythagoræisk'.

Tonesystemets små trin har samme størrelse som det såkaldte pythagoræiske komma, som er den matematiske forskel mellem syv oktaver, 2^7 =128, og tolv rene kvinter, (3/2)^12 = 129,746.

Det kan ses illustreret øverst i dias 11 og udgør mindre end en fjerdedel af de halvtoner, vi kender. Det er disse mikrotoner som farver og krydrer den mellemøstlige musik.

Ekscitation

"Det er de samme intervaller der bruges i alle de traditionelle systemer. De forskellige opdelinger af oktaven skyldes kun, at nogle systemer har flere intervaller. Således indgår 5-toneskalaens fem toner i7-toneskalaen, som er en del af12-toneskalaen, som indgår i den arabiske opdeling i17-toneskalaen, der er en del af de indiske22 shrutis, som alle er med i53-toneskalaen.Denne skala kan yderligere udvides til 60 toner; hvad der er derudover rækker ud over musikkens område."

Slutningen på Alain Daniélou: Music and the Power of Sound - The Influence of Tuning and Interval on Consciousness, 1993.

Helios-grafik af Frede Schandorf, bearbejdet af DSP.

Lutroset