10-TS-obligCours

Cours de mathmatiques Terminale S Enseignement obligatoire

Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lyce Roland Garros

Table des matirespartie 1. Rcurrence et suites Chapitre 1. Raisonnement par rcurrence 1. Principe de rcurrence Chapitre 2. Gnralits sur les suites 1. Suites majores, minores, bornes 2. Sens de variation 3. Suites arithmtiques et suites gomtriques partie 2. Limites de suites et de fonctions Chapitre 3. Limites de suites 1. Dnitions et premires proprits 2. Suites de rfrence 3. Oprations sur les limites 4. Thormes importants 5. Exercices 6. Suites adjacentes Mthode Chapitre 4. Limites de fonctions 1. Limites dune fonction linni 2. Limites dune fonction en un rel a 3. Oprations sur les limites 4. Thormes de comparaison 5. Limite dune fonction compose 6. Asymptote oblique partie 3. Continuit et drivabilit Chapitre 5. Continuit 1. Exemple de rfrence : Fonction partie entire 2. Continuit Chapitre 6. Drivabilit 1. Drivabilit en a - Fonction drive 2. Notion de primitive 3. Mthode dE ULERiii

1 3 3 7 7 8 9 13 15 15 17 17 17 18 20 21 23 23 26 28 29 30 30 31 33 33 34 39 39 42 42

iv

TABLE DES MATIRES

partie 4. Fonction exponentielle - quations diffrentielles Chapitre 7. La fonction exponentielle 1. Introduction 2. Dnition de la fonction exponentielle 3. Proprits de la fonction exponentielle 4. Thorme (quation fonctionnelle caractristique) 5. Le nombre e - La notation ex 6. tude de la fonction exponentielle 7. Fonction compose x eu(x) Chapitre 8. quations diffrentielles 1. Activits 1 et 2 pages 40-41 2. quation diffrentielle y = k y 3. quation diffrentielle y = a y + b partie 5. Les nombres complexes Chapitre 9. Forme algbrique 1. Introduction 2. Points du plan et nombres complexes 3. Oprations sur les nombres complexes 4. Les afxes et la gomtrie 5. Nombres complexes conjugus Chapitre 10. Forme trigonomtrique 1. Module dun nombre complexe 2. Argument dun nombre complexe non nul 3. Arguments et oprations 4. Notation exponentielle Chapitre 11. Second degr dans C quations du second degr dans C coefcients rels Chapitre 12. Transformations 1. Translation 2. Homothtie 3. Rotation 4. Exercices partie 6. Fonction logarithme nprien Chapitre 13. La fonction logarithme nprien 1. Activits 2. Dnition et premires proprits 3. tude de la fonction logarithme nprien Chapitre 14. Fonctions associes - Croissances compares

45 47 47 48 48 49 50 51 53 55 55 55 56 59 61 61 62 64 65 66 69 69 70 73 82 83 83 85 85 85 86 86 91 93 93 93 94 97

TABLE DES MATIRES

v

1. Fonction exponentielle de base a, avec a R + 2. Fonctions racines n-imes 3. Croissances compares

97 98 99

Premire partie

Rcurrence et suites

CHAPITRE 1

Raisonnement par rcurrence1. Principe de rcurrence 1.1. Exemples de propositions dpendantes dun entier naturel n. 1.1.1. P (n) : 2n 100n . n(n + 1)(2n + 1) 1.1.2. P (n) : 12 + 22 + 32 + + n 2 = . 6 n 1.1.3. P (n) : 3 divise 4 + 1 . 1.1.4. Soit u la suite dnie par u 0 = 0 et n 0 , u n+1 = u n + 5. On considre les propositions : Toutes ces propositions ont un sens, mais sont-elles vraies pour toutes les valeurs de lentier naturel n ? seulement pour certaines valeurs ? pour aucune valeur ? 1.2. Intrt et ide du raisonnement par rcurrence. Exemple : Notons P n la proposition 1 : 13 +23 + +n 3 = (1+2+ +n)2 . P (n) : 0 < u n < 3 et Q(n) : u n u n+1

Nous pouvons dire que :

P 1 est vraie, puisque 13 = 12 ; P 2 est vraie, puisque 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2 ; P 3 est vraie, puisque 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2 .

Mais quen est-il de P n pour les autres valeurs de lentier naturel n ?

On ne peut pas faire une innit de vrications ! Peut-on trouver une mthode directe ?. . . On peut remarquer que 1 +2 + +n est la somme des n premiers entiers naturels non nuls : 1 1 + 2 + + n = n(n + 1) 2 Do : pour tout n N , la proposition P n quivaut : 1 13 + 23 + + n 3 = n 2 (n + 1)2 2 Mais ce stade, il semble difcile, voire impossible de poursuivre une mthode directe. Nous allons introduire une nouvelle mthode de dmonstration largement utilise par les mathmaticiens : le raisonnement par rcurrence.1. proposition : phrase ou nonc mathmatique qui est soit vrai, soit faux3

4

1. RAISONNEMENT PAR RCURRENCE

Un peu dhistoire 2 : Lesprit de ce raisonnement gure dj implicitement dans les lments dEuclide (vers 300), il est clairement formul par Blaise Pascal vers 1654 dans son trait du triangle arithmtique et, la n du XIXe sicle, Richard Dedekind et Giuseppe Peano dressent la liste, en nombre minimal, des axiomes partir desquels on dmontre toutes les proprits vraies dans N. La rcurrence fait partie de ces axiomes. Selon Henri Poincar, le raisonnement par rcurrence est un instrument qui permet de passer du ni linni , cest--dire quavec seulement deux tapes, il permet de dmontrer que P n est vraie pour une innit de valeurs de lentier n. Lide sappuie sur le principe des dominos. Les dominos sont disposs de telle faon que : chaque domino, sil est renvers, renverse le suivant (hrdit). Il suft de renverser le premier domino (initialisation) pour que tous les dominos soient renverss (cest une raction en chane).

1.3. Principe du raisonnement par rcurrence. Rdaction : Pour dmontrer par rcurrence quune proprit P (n) est vraie pour tout entier naturel n n 0 , on procde en trois tapes (initialisation, hrdit, conclusion) : on vrie que P (n 0 ) est vraie. (initialisation)

soit n un entier naturel, n n 0 . On suppose que P (n) est vraie (cest lhypothse de rcurrence) et on montre qualors P (n + 1) est vraie. (hrdit) conclusion : pour tout entier naturel n n 0 , P (n) est vraie.

1.4. Exemples et contre-exemples. Exemple 1 : exercice rsolu 1 page 203 Exemple 2 : exercice rsolu 2 page 203 Exemple 3 : exercice 3 page 217 P (n) : 12 +22 + +n 2 = 1. n(n + 1)(2n + 1) doit tre dmontre pour tout 6

entier naturel n Rdaction : tion)

on vrie que P (1) : 12 =

1 (1 + 1)(2 1 + 1) est vraie ! 6

(initialisa-

2. inspir de faits rels : les personnages cits ont rellement exist et les esprits curieux peuvent faire des recherches : CDI, encyclopdie, internet, . . .

1. PRINCIPE DE RCURRENCE

5

soit n un entier naturel, n 1, on suppose que lgalit P (n) est vraie. Alors, en ajoutant (n + 1)2 chacun de ses membres, on obtient : n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + + n 2 + (n + 1)2 = + (n + 1)2 6 On factorise par (n + 1) dans le second membre que lon rduit au mme dnominateur. Cela donne : (n + 1)(2n 2 + 7n + 6) 12 + 22 + + (n + 1)2 = 6 2 Or 2n + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3), alors on reconnat P (n + 1). (hrdit) conclusion : pour tout entier naturel n est vraie. 1, 12 +22 + +n 2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

Exemple 4 : exercice 5 page 217 - corrig page 459 Exemple 5 : exercice 10 page 218 1.5. Exercices. n 1, 2, 4 et 9 pages 217 et 218. La suite (u n ) est dnie par u 1 = 0 et pour tout n Quelle est la valeur exacte du 2009e terme de cette suite ? 1, u n+1 =

1 . 2 un

CHAPITRE 2

Gnralits sur les suites1. Suites majores, minores, bornes 1.1. Dnitions. (u n ) est majore, sil existe un rel M tel que pour tout entier n, u n M.

remarque : Tout rel M suprieur M est aussi un majorant de (u n ). (u n ) est minore, sil existe un rel m tel que pour tout entier n, un m.

remarque : Tout rel m infrieur m est aussi un minorant de (u n ). La suite (u n ) est borne, si elle est la fois majore et minore. 1.2. Remarques. Une suite croissante est minore par son premier terme. Une suite dcroissante est majore par son premier terme. 1.3. Mthodes. Dans le cas dune suite (u n ) donne par u n = f (n), o f est une fonction dnie sur [0, +[, le tableau de variation de f et la limite de f en + permettent de prciser si la suite est borne. 2n 2 + 1 exemple : u n = , pour n N. n2 + 4

Lorsquune suite est dnie par une relation de rcurrence, si on conjecture que la suite est majore (ou minore ou borne), on peut envisager de le dmontrer par rcurrence. 1.4. Exercices. Dmontrer selon le cas si la suite de terme gnral u n est minore ou majore : (1) u n = n 2 5n + 1 3 (2) u n = n + 1 n (3) u n = n n

7

8

2. GNRALITS SUR LES SUITES

Dans chacun des cas suivants, dmontrer que la suite (u n ) est borne : (1) Pour tout n N, u n = (1)n + sin n 5 (2) Pour tout n N , u n = cos n + n 3n 2 (3) Pour tout n N, u n = n +2 n 17 et 19 p 218-219 2. Sens de variation 2.1. Dnitions. Une suite (u n ) est croissante partir du rang n 0 si : pour tout entier n pour tout entier n pour tout entier n pour tout entier n n 0 , u n+1 un . Une suite (u n ) est strictement croissante partir du rang n 0 si : n 0 , u n+1 > u n . n 0 , u n+1 un . Une suite (u n ) est dcroissante partir du rang n 0 si : Une suite (u n ) est strictement dcroissante partir du rang n 0 si : n 0 , u n+1 < u n . Une suite (u n ) est constante (resp. stationnaire partir du rang n 0 ) si tous ses termes sont gaux (resp. gaux partir du rang n 0 ). 2.2. Mthodes et exemples. On peut appliquer directement les dnitions en tudiant le signe de exemple : u n = cos(n 2 ) 2n, pour tout n N. Lorsque la suite est termes strictement positifs, on peut calculer le u n+1 quotient et le comparer 1. un n! exemple : v n = n , pour tout n 1. 2 Pour une suite dnie par u n = f (n), o la fonction f est croissante (resp. dcroissante) sur [n 0 , +[, alors la suite (u n ) est croissante (resp. dcroissante) partir du rang n 0 . exemple : w n = n 2 + n 10, pour tout n N. ATTENTION : La rciproque est fausse ! par exemple, f (x) = x cos(2x). La suite (u n ) dnie par u n = f (n) est croissante, alors que f nest pas monotone sur [0, +[. u n+1 u n

3. SUITES ARITHMTIQUES ET SUITES GOMTRIQUES

9

Dans le cas des suites dnies par une relation de rcurrence u n+1 = f (u n ) Si f est croissante sur un intervalle I contenant tous les u n , alors on dmontre par rcurrence que, pour tout n, u n+1 u n ou u n+1 u n .

2.3. Exercices. n 15 page 218 Parmi les suites suivantes lesquelles sont croissantes ? dcroissantes ? ni lun ni lautre ? (1) u0 = 7 u n+1 = u n 4 2n n +1

(2) u n = (3)

u 0 = 10 u n+1 =

un 5

3. Suites arithmtiques et suites gomtriques 3.1. Suite arithmtique. 3.1.1. Dnition. Dire que la suite (u n ) est arithmtique signie quil existe un rel r tel que : Le rel r est appel raison de la suite. Il rsulte de cette dnition que pour dmontrer quune suite est arithmtique, il suft de montrer que la diffrence u n+1u n entre deux termes conscutifs quelconques est constante. Cette constante est la raison. exemple : (u n ) est dnie pour tout n par u n = 3n + 1. Soit un naturel n, u n+1 u n = 3(n + 1) + 1 (3n + 1) = 3. La suite (u n ) est arithmtique de raison 3. 3.1.2. Proprits. Une suite arithmtique de raison nulle est constante. Une suite arithmtique de raison non nulle est strictement monotone et non borne. Quels que soient les entiers naturels m et p, u m = u p + (m p)r . pour tout entier naturel n, u n+1 u n = r .

10

2. GNRALITS SUR LES SUITES

3.1.3. Somme de termes conscutifs. Si S = u m + + u p , avec m < p, est la somme de p m + 1 termes conscutifs dune suite arithmtique, alors S= (p m + 1)(u m + u p ) 2 = (nombre de termes) n(n + 1) . 2 (1er terme + dernier terme) 2

exemple : 1 + 2 + 3 + + n =

3.2. Suite gomtrique. 3.2.1. Dnition. Dire que la suite (v n ) est gomtrique signie quil existe un rel b tel que : Le rel b est appel raison de la suite. Il rsulte de cette dnition que pour dmontrer quune suite est gomtrique, il suft de montrer (si tous les termes sont non nuls) que le quov n+1 de deux termes conscutifs quelconques est constant, cette tient vn constante est la raison. exemple : (v n ) est dnie pour tout n par v n = Soit un naturel n, v n = 0 et 2 . 3n pour tout entier naturel n, v n+1 = bv n .

v n+1 2 3n 1 = n+1 = . vn 3 2 3 1 La suite (v n ) est gomtrique de raison . 3

3.2.2. Proprits. Une suite gomtrique de raison 1 est constante. Une suite gomtrique de raison strictement positive, diffrente de 1, est strictement monotone. Quels que soient les entiers naturels m et p, v m = v p b mp . 3.2.3. Somme de termes conscutifs. Si S = u m + + u p , avec m < p, est la somme de N = p m + 1 termes conscutifs dune suite gomtrique de raison b (b = 1), alors S = um 1 raisonnombre de termes 1 bN = (1er terme) 1b 1 raison 1 + z + z2 + + zn = 1 z n+1 . 1z

exemple : Lorsque z = 1,

3. SUITES ARITHMTIQUES ET SUITES GOMTRIQUES

11

3.3. Exercices. Parmi les suites proposes, lesquelles sont arithmtiques ? gomtriques ? ni lun ni lautre ? (1) u0 = 4 u n+1 = u n 3

(2) u n = 2n + 3 (3) u 0 = 6 u n+1 = 2u n

Deuxime partie

Limites de suites et de fonctions

CHAPITRE 3

Limites de suitesLa variable dune suite est son indice (entier naturel) : ltude de la limite ventuelle dune suite na de sens que lorsque n +. 1. Dnitions et premires proprits 1.1. Limite nie. Dnition. Dire que (u n ) a pour limite ou converge vers , R, signie que tout intervalle ouvert contenant contient aussi tous les u n partir dun certain rang. Notation.n+

lim u n =

On dit dune suite quelle est convergente lorsquelle a une limite nie ; sinon on dit quelle est divergente . Proprit. Si la limite existe alors elle est unique. Exemples. La suite de terme gnral u n = 1 , pour n n

1, converge vers 0.

La suite de terme gnral (1)n na pas de limite : elle diverge. Proprit. Si une suite est convergente, alors elle est borne. Preuve. Si (u n ) converge vers , alors (dnition) tout intervalle ouvert contenant , contient aussi tous les u n sauf un nombre ni dentre eux. En particulier, ] 1; + 1[ contient tous les u n partir dun certain rang n 0 . Puisquun ensemble ni de rels possde toujours un plus petit lment m et un plus grand lment M alors, pour tout entier naturel n, La suite (u n ) est borne. min(m; 1) un max(M; + 1)

ATTENTION. La rciproque est FAUSSE ! La suite de terme gnral (1)n est borne MAIS ne converge pas.15

16

3. LIMITES DE SUITES

Thorme (admis). (1) Toute suite croissante et majore converge . (2) Toute suite dcroissante et minore converge . Exemple important. Si (u n ) est une suite gomtrique de premier terme > 0 et de raison q telle que 0 q < 1, alors : (u n ) est dcroissante et minore par 0 donc converge. De plus :n+

lim u n = 0

1.2. Limite innie. Dnition. On dit quune suite (u n ) diverge vers + lorsque tout intervalle de la forme ]A, +[ contient tous les u n partir dun certain rang. Notation.n+

lim u n = +

Dmonstration (R.O.C.). Soit (u n ) une suite croissante et non majore : la suite nest pas majore, alors : A R, n 0 N tel que u n0 > A et la suite est croissante, alors : n n 0 , u n u n0 Alors pour tout rel A, il existe un entier n 0 tel que : n n0, un > A

Thorme. Toute suite croissante et non majore diverge vers + .

Pour tout rel A, ]A, +[ contient tous les u n partir dun certain rang. On dnit de manire analogue lim u n = et :n+

Toute suite dcroissante et non minore diverge vers . Exemple important. Soit (u n ) une suite arithmtique de raison non nulle r : Si r > 0 alors lim u n = + Si r < 0 alors lim u n = n+ n+

Pour dterminer la limite ventuelle dune suite, on peut utiliser les oprations sur les limites avec des suites de rfrence et/ou la comparaison avec des suites de rfrence :

4. THORMES IMPORTANTS

17

2. Suites de rfrence Les suites arithmtiques, les suites gomtriques, (n 2 ), (n 3 ), . . ., 3. Oprations sur les limites3.1. Limite dune somme u n + v n . Si u n a pour limite et si v n a pour limite alors u n + v n a pour limite + + + + + + + ???

1 1 , , ... n n2

3.2. Limite dun produit u n v n . Si u n a pour limite et si v n a pour limite alors u n v n a pour limite >0 + + >0 0 < 0 + + ou + ou ???

3.3.2. Cas o la limite de v n est nulle.Si u n a pour limite et si v n a pour limite alors un a pour limite vn

> 0 ou + 0 en restant positive +

> 0 ou + 0 en restant ngative

< 0 ou 0 en restant positive

< 0 ou 0 en restant ngative +

0 0 ???

4. Thormes importants Thorme dencadrement ou des gendarmes . Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles qu partir dun certain rang : unn+ n+

vn

wnn+

Si lim u n = lim w n = , alors lim v n = . Proprit.n+

lim u n = lim |u n | = 0n+

18


Une variante utile du thorme dencadrement. Si partir dun certain rang |u n | v n et si lim v n = 0, alorsn+ n+

lim u n =

Thorme de comparaison. Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles qu partir dun certain rang : unn+ n+

vn

Si lim u n = +, alors lim v n = +. Si lim v n = , alors lim u n = .n+ n+

Suite explicite. u n = f (n) et dsigne un rel ou + ou . Si lim f (x) = , alors lim u n = x+ n+

ATTENTION. La rciproque est FAUSSE ! Considrer par exemple : f : x x cos(2x) et u n = f (n). La suite tend vers +, mais la fonction na pas de limite en +. 5. Exercices EX1 : daprs sujet Amrique du nord, juin 2007 (p n ) est dnie par p 1 = 0, 2 et, pour tout n 1, On considre la suite (u n ) dnie pour tout entier naturel n non 1 nul par u n = p n . 19 a. Montrer que (u n ) est une suite gomtrique dont on prcisera la raison et le premier terme. b. En dduire, pour tout entier naturel n non nul, u n puis p n en fonction de n. c. Calculer la limite de p n quand n tend vers +. EX2 : daprs sujet Liban, juin 2007 (p n ) est dnie par p 1 = 1 et, pour tout n a. Calculer p 2 et p 3 . p n+1 = 0, 8p n + 0, 05 1, p n+1 = 0, 05p n + 0, 05

b. Dmontrer par rcurrence que, pour tout entier naturel n non nul, p n > 0, 25. c. Dmontrer que la suite (p n ) est dcroissante.

5. EXERCICES

19

d. En dduire que la suite p n est convergente vers un rel not . e. Justier que vrie lquation = 0, 8 + 0, 05. En dduire la valeur de . EX3 : Nouvelle Caldonie, novembre 2006 Soit la suite (u n ) dnie pour tout entier naturel n par : 1 2 1 u0 = et u n+1 = u n + 2 2 un 1. a. Soit f la fonction dnie sur ]0; +[ par : f (x) = 2 1 x+ 2 x

tudier le sens de variation de f , et tracer sa courbe reprsentative dans le plan muni dun repre orthonormal O ; i , j . (On prendra comme unit 2 cm). b. Utiliser le graphique pour construire les points A 0 , A 1 , A 2 et A 3 de laxe O ; i dabscisses respectives u 0 , u 1 , u 2 et u 3 . 2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un 2 2, f (x) x.

b. Montrer que pour tout x

c. En dduire que la suite (u n ) est dcroissante partir du rang 1. d. Prouver quelle converge. 3. Soit L la limite de la suite (u n ). Montrer que L est solution de lquation : 1 2 x+ 2 x En dduire sa valeur. x=

E XERCICES DU LIVRE H YPERBOLE : 1 ) Sujets guids 1 et 2 pages 214 et 215 2 ) Exercices 24 et 27 page 219 3 ) Exercices 33, 34 et 35 page 221 4 ) Exercices 46 et 47 page 224 5 ) Exercice 49 page 225

20


6. Suites adjacentes Dnition. Dire que deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes signie que l une est croissante , l autre droissante etn+

lim (u n v n ) = 0

Proprit. Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes. Si (u n ) est la suite croissante et (v n ) la suite dcroissante, alors Dmonstration (par labsurde). On suppose quil existe un entier n 0 tel que v n0 < u n0 . Puisque la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est dcroissante : Alors : n n n0, v n n0, un v n v n0 < u n0 un u n0 v n0 > 0 n N, un vn

En posant = u n0 v n0 , lintervalle ouvert ] ; [ contient 0 mais ne contient aucun des termes u n tels que n n 0 . ABSURDE ! Puisque par dnition de deux suites adjacentes :n+

lim (u n v n ) = 0n+ n+

Thorme des suites adjacentes. Si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes, alors elles sont toutes les deux convergentes et lim u n = lim v n . Dmonstration (R.O.C.). Si (u n ) est croissante, alors n N, u 0 u n et si (v n ) est dcroissante, alors n N, v n v 0 et puisque n N, u n v n On en dduit : n N, u 0 u n v n v 0 Ainsi : La suite (u n ) est croissante et majore par v 0 , alors elle converge vers 1 et la suite (v n ) est dcroissante et minore par u 0, alors elle converge vers 2 Par diffrence de ces deux suites convergentes on obtient :n+

lim (u n v n ) = 1 2 1 = 2

Or, par hypothse lim (u n v n ) = 0 et, par unicit de la limite on en conclut :n+

MTHODE

21

Exercice 1 France mtropolitaine, juin 2005 (4 points)

Cet exercice constitue une restitution organise de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les rsultats suivants : (1) deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : lune est croissante, lautre est dcroissante et u n v n tend vers 0 quand n tend vers + ; (2) si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) est dcroissante, alors pour tout n appartenant N, on a un v n ; (3) toute suite croissante et majore est convergente ; toute suite dcroissante et minore est convergente. Dmontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la mme limite .Partie B On considre une suite (u n ), dnie sur N dont aucun terme nest nul. On 2 dnit alors la suite (v n ) sur N par v n = . un Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dmonstration pour la rponse indique. Dans le cas dune proposition fausse, la dmonstration consistera fournir un contre exemple. Une rponse non dmontre ne rapporte aucun point. (1) Si (u n ) est convergente, alors (v n ) est convergente. (2) Si (u n ) est minore par 2, alors (v n ) est minore par 1. (3) Si (u n ) est dcroissante, alors (v n ) est croissante. (4) Si (u n ) est divergente, alors (v n ) converge vers zro.

Consquence du thorme. Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes. Sil existe un rel tel que, pour tout entier n, u nn+

v n , alors

lim u n = lim v n = n+

Mthode La convergence ventuelle dune suite se justie en gnral : soit laide de suites de rfrence (encadrement ou oprations) ; soit on montre que la suite est croissante et majore ; soit on montre que la suite est dcroissante et minore ; soit on montre que lon a deux suites adjacentes.

CHAPITRE 4

Limites de fonctions1. Limites dune fonction linni 1.1. Limite nie en + - Asymptote horizontale.'

1.1.1. Dnition. Soit R.

Dire que f (x) admet pour limite lorsque x tend vers + signie que tout intervalle ouvert de centre contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x assez grands , c--d pour tous les x dun certain intervalle ]A; +[. & % On notex+

$

lim f (x) =

A

x+

lim f (x) = lim

x+

f (x) = 0

1.1.2. Interprtation graphique (ou gomtrique). La droite dquation y = est asymptote horizontale C f en +.23

24

4. LIMITES DE FONCTIONS

1.1.3. On dnit de manire analogue lim f (x) = .x

1 1 1 ; x 2 ; x n x x x limite 0 en + et en . Les fonctions x 1.2. Limite innie en +.

1.1.4. Exemples.

(n N ) ; x

1 x

ont pour

1.2.1. Dnition.

Dire que f (x) admet pour limite + lorsque x tend vers + signie que tout intervalle ]M; +[ contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x assez grands .

On note

x+

lim f (x) = +

M

A

mites innies en .

1.2.2. On dnit de manire analogue lim f (x) = et aussi les lix+

1. LIMITES DUNE FONCTION LINFINI

25

1.2.3. Exemples. Les fonctions x x ; x x 2 ; x x n (n N ) ; x x ont pour limite + en +. Si n est pair, la fonction x x n (n N ) a pour limite + en . Si n est impair, la fonction x x n (n N ) a pour limite en .

1.3. Les fonctions sin et cos nont pas de limite en linni.

26


2. Limites dune fonction en un rel a 2.1. Limite innie en a - Asymptote verticale.'

2.1.1. Dnition.

Dire que f (x) admet pour limite + lorsque x tend vers a signie que tout intervalle ]A; +[ contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x assez proches de a , c--d pour tous les x dans D f et dans un certain intervalle ]a h; a + h[. & % On note lim f (x) = +xa

$

A

a

2.1.2. Interprtation graphique (ou gomtrique). La droite dquation x = a est asymptote verticale C f . 2.1.3. On dnit de manire analogue lim f (x) = .xa

Les fonctions x

1 1 ont pour limite + en 0. ; x 2 x x Si n est pair, la fonction x x n (n N ) a pour limite + en 0. Si n est impair, la fonction x x n (n N ) a pour limite + en 0+ et en 0 .

2.1.4. Exemples.

2. LIMITES DUNE FONCTION EN UN REL A

27

2.2. Limite nie en a.

2.2.1. Dnition.

Dire que f (x) admet pour limite lorsque x tend vers a signie que tout intervalle ouvert de centre contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x assez proches de a .

On note lim f (x) = xa

a

xa

lim f (x) = lim f (x) = 0xa

2.2.2. Exemples. sin(x) =1 ; x0 x lim cos(x) 1 =0 x0 x lim

28


3. Oprations sur les limites

3.1. Limite dune somme f + g . Si f a pour limite et si g a pour limite alors f + g a pour limite + + + + + + + ???

3.2. Limite dun produit f g . Si f a pour limite et si g a pour limite alors f g a pour limite >0 + + >0 0 < 0 + + ou + ou ???

3.3.2. Cas o la limite de g est nulle.Si f a pour limite et si g a pour limite alors f a pour limite g

> 0 ou + 0 en restant positive +

> 0 ou + 0 en restant ngative

< 0 ou 0 en restant positive

< 0 ou 0 en restant ngative +

0 0 ???

4. THORMES DE COMPARAISON

29

4. Thormes de comparaison9

4.1. Thorme dencadrement ou des gendarmes .

Soit f , g et h trois fonctions dnies sur un mme intervalle I et R, dsigne un rel de I ou une borne (ventuellement + ou ) de I . Si pour tout x I , g (x) alors f (x) h(x) etx x

6

lim g (x) = lim h(x) =

7

8

x

lim f (x) =

4.2. Dmonstration (R.O.C.) dans le cas o = +. f , g et h sont dnies sur un intervalle I dont une borne est +. Soit J un intervalle ouvert de centre . Par dnition de lim g (x) = , il existe A 1 I tel que, pour tout xx+

A1, A2,

Par dnition de lim h(x) = , il existe A 2 I tel que, pour tout xx+

g (x) J

On pose A = max {A 1 , A 2 }. Pour tout x A, g (x); h(x) J

h(x) J or g (x) f (x) h(x), alors

Ainsi, tout intervalle J ouvert de centre contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x assez grands , c--d. lim f (x) = .x+

f (x) J

9

4.3. Thorme de comparaison 2.

Soit f et g deux fonctions dnies sur un mme intervalle I et R, dsigne un rel de I ou une borne (ventuellement + ou ) de I . Si pour tout x I , f (x) g (x) et six

6

lim g (x) = 0, alors

7

8

x

lim f (x) =

9

4.4. Thorme de comparaison 3.

Soit f et g deux fonctions dnies sur un mme intervalle I , dsigne un rel de I ou une borne (ventuellement + ou ) de I . (1) Si pour tout x I , (2) Si pour tout x I , f (x)x

6

g (x) et si

x

lim g (x) = +, alors

lim f (x) = + g (x) et six

f (x)x

lim g (x) = , alors7

8

lim f (x) =

30


5. Limite dune fonction compose9

5.1. Thorme.

Soit f et u deux fonctions telles que u est dnie sur un intervalle I et f est dnie sur un intervalle J et, pour tout x I , u(x) J . dsigne un rel de I ou une borne (ventuellement + ou ) de I ; dsigne un rel de J ou une borne (ventuellement + ou ) de J ; dsigne un rel ou + ou .

6

8

Si

x

lim u(x) = et si

x

lim f (x) = alors

x

lim f ((u(x)) =

7

6. Asymptote oblique Dnition. C f dsigne la courbe reprsentative dune fonction f dans un repre donn. Dire que la droite dquation y = ax + b, (a = 0), est asymptote oblique C f au voisinage de + signie quex+

lim

f (x) (ax + b) = 0

On dnit pareillement une asymptote oblique au voisinage de .

Cf

Troisime partie

Continuit et drivabilit

CHAPITRE 5

Continuit1. Exemple de rfrence : Fonction partie entire Un rel est : soit un entier relatif ; soit strictement compris entre deux entiers relatifs conscutifs. Pour tout rel x, il existe un unique entier relatif n tel que n x < n + 1. Lentier n que lon associe ainsi au rel x est appel la partie entire de x. On note E (x) cet unique entier relatif tel que : E (x) et on dnit ainsi sur R une fonction : la fonction partie entire . Du dernier encadrement ci-dessus, on dduit (par comparaison) quex+

x < E (x) + 1 x 1 < E (x)

x

lim E (x) = +

et

x

lim E (x) =

Exemples : E () = 3 ; E ( 5) = 3 ; E (106 ) = 106 La fonction partie entire est constante sur tout intervalle de la forme [n ; n + 1[ o n Z. En particulier, pour tout x [0; 1[, E (x) = 0. Soit n Z, alorsx n x n

lim

E (x) = n , il y a une

33

34

5. CONTINUIT

2. Continuit 2.1. Continuit en un point, sur un intervalle. Dnitions Soit f une fonction dnie sur un intervalle I et a un rel de I . Dire que f est continue en a signie quexa

lim f (x) = f (a)

Dire que f est continue sur I signie que f est continue en tout rel de I Remarques Graphiquement, la continuit dune fonction f sur un intervalle I se traduit par le fait que la courbe reprsentative de f , restreinte I , est dun seul morceau , elle peut tre trace sans avoir lever le crayon . Ltude de la continuit na aucun sens en un point nappartenant pas lensemble de dnition de la fonction. Exemples et contre-exemple page 122 et exercices rsolus page 123

2.2. Proprits. La somme et le produit de fonctions continues sur un mme intervalle I sont des fonctions continues sur I . La compose de deux fonctions continues sur des intervalles compatibles est une fonction continue sur lintervalle de dpart. Le quotient de deux fonctions continues sur le mme intervalle I sur lequel le dnominateur ne sannule pas est une fonction continue sur I . Les fonctions polynmes , sin , cos et |.| sont continues sur R. La fonction . est continue sur [0; +[.

Les fonctions rationnelles sont des fonctions continues sur chacun des intervalles de leur ensemble de dnition. La fonction partie entire, dnie sur R, nest pas continue sur R .

2. CONTINUIT

35

2.3. Suites et fonctions continues. Si (u n ) est une suite convergente vers un rel et si f est une fonction continue en , alors :n+

Thorme :

lim f (u n ) = f (l )

Application : On pourra dmontrer que la suite (u n ) dnie par : est une suite dcroissante et minore par 0, par consquent : (u n ) converge vers un rel 0. Par ailleurs, la fonction f : x x + 1, dnie sur [1; +[, est la compose de fonctions continues, alors f est continue sur [1; +[ qui contient 0. Alors :n+

u 0 = 4 et, pour tout n N, u n+1 =

u n + 1,

lim f (u n ) = f ()n+

Or, u n+1 = f (u n ) et

lim u n+1 = lim u n = .n+

Finalement, puisque la limite est unique : = f ()

36

5. CONTINUIT

2.4. T HORME DES VALEURS INTERMDIAIRES . Reprsentation graphique dune fonction continue sur un intervalle [a; b]

G m entre f (a) et f (b), la droite dquation y = m coupe C au moins une fois sur lintervalle [a; b] y =m H

a

Intervalle [a; b]

b

noncpstandard Si f est continue sur lintervalle I = [a; b] et si le rel m est compris entre f (a) et f (b), alors lquation f (x) = m possde au moins une solution dans lintervalle I . Lintervalle I de dpart nest pas forcment ferm, ni born. On adapte alors lnonc du thorme la nature de I , par exemple : nonc adapt I = [a; +[ Si f est continue sur lintervalle I = [a; +[ et si le rel m est compris entre f (a) et lim f (x), alors lquation f (x) = m possde au moinsx+

une solution dans lintervalle I .

Le thorme des valeurs intermdiaires (T.V.I.) ne rsout pas les quations de la forme f (x) = m, mais il permet de justier lexistence de solutions dans un intervalle I . Attention ! lhypothse de continuit est essentielle. Considrons lquation : E (x) = 2, 5 sur lintervalle I = E 3 ; + . 2

3 3 = 1 et lim E (x) = +, alors 2, 5 E ; lim E (x) n+ 2 2 x+ 2, 5 est une valeur intermdiaire de la fonction partie entire sur lintervalle I mais lquation E (x) = 2, 5 na pas de solution dans I . La fonction partie entire nest pas continue sur I : on ne peut pas appliquer le T.V.I.

2. CONTINUIT

37

2.5. Corollaire : le thorme de la bijection. Si aux hypothses du T.V.I., assurant lexistence de solution(s) dans lintervalle I pour lquation f (x) = m, sajoute lhypothse de stricte monotonie de f sur I , alors on peut conclure lunicit dune telle solution dans I . Dmonstration : On considre comme prrequis le thorme des valeurs intermdiaires : Si f est continue sur lintervalle [a; b] et si m est compris entre f (a) et f (b), alors il existe un rel c [a; b] tel que f (c) = m. Si on suppose (par exemple) f strictement croissante sur [a; b] : x [a; c[ , f (x) < f (c), donc f (x) = m, et x ]c; b] , f (c) < f (x), donc f (x) = m. Alors : c est lunique solution dans [a; b] de lquation f (x) = m.

CHAPITRE 6

Drivabilit1. Drivabilit en a - Fonction drive Soit f une fonction dnie sur un intervalle I et a un rel de I . 1.1. Dnitions. (1) f est drivable en a si le quotient mite nie lorsque h tend vers 0. f (a + h) f (a) admet une lih

(2) Dans ce cas, cette limite est note f (a) et est appele nombre driv de f en a. f (x) f (a) f (a + h) f (a) = lim = f (a) xa h0 h x a Exemples : Exercice rsolu 1 page 93 Dmontrer que la fonction x x 3 est drivable en 2. Attention, il existe des fonctions non drivables en un point : la fonction valeur absolue et la fonction racine carre ne sont pas drivables en 0. lim (3) On dit que f est drivable sur lintervalle I , si f est drivable en tout x de I , et on appelle fonction drive ou drive de f la fonction, note f , qui chaque x de I associe f (x). Si la fonction f est elle-mme drivable sur I , la drive de f est appele la drive seconde de f et note f . En cinmatique, lorsque f (t ) est la distance parcourue par un mobile sur une ligne droite depuis linstant origine jusqu linstant t , les nombres f (t ) et f (t ) sont respectivement la vitesse instantane et lacclration instantane du mobile linstant t .Exemple : Soit n

On utilisera le rsultat suivant :

2, dmontrer que x x n est drivable sur R.

a n b n = (a b) a n1 + a n2 b + a n3 b 2 + + ab n2 + b n1n termes

1.2. Interprtation gomtrique. Si f est drivable en a, alors la courbe reprsentative de f admet, en son point dabscisse a, une tangente de coefcient directeur f (a).39

40

6. DRIVABILIT

On dit aussi que f (a) est le coefcient directeur de la tangente la courbe reprsentative de f au point de coordonnes a, f (a) .Exercice 3 page 109

Une quation de cette tangente est : y = f (a) (x a) + f (a)

Si f est drivable en a, alors f (a) = lim

f (a + h) f (a) . h0 h f (a + h) f (a) Pour tout h = 0 tel que (a+h) I , on pose : (h) = f (a), h alors : f (a + h) = f (a) + h. f (a) + h.(h) , avec lim (h) = 0h0

1.3. Approximation afne.

Pour h sufsamment proche de zro, h.(h) peut tre nglig. On obtient lapproximation de f (a + h) : f (a + h) f (a) + h. f (a) Le second membre est une expression afne en h, h f (a) h + f (a), appele approximation afne de f en a + h. Plus h est proche de zro, meilleure est lapproximation afne.Exemples Dterminer, sans calculatrice, une valeur approche de 1, 994 et de 2, 0014 .5 4 3 2 1

N A(a, f (a)) M(a + h, f (a + h))1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 (AM)

5

4

3

2

1 1

(T A )

Cf

1.4. Lien entre drivabilit et continuit. Si f est drivable en a, alors lim f (x) = lim f (a + h) = f (a).xa h0

1. DRIVABILIT EN a - FONCTION DRIVE

41

La drivabilit implique la continuit. La rciproque est fausse ! La fonction racine carre continue en 0, mais non drivable en 0. Mme chose pour la fonction valeur absolue. La drivabilit est une notion plus forte que la continuit.

1.5. Drives usuelles et oprations sur les drives. (page 94) 1.6. Signe de la drive - sens de variation de la fonction. Soit f une fonction drivable sur un intervalle I . si pour tout x I , f (x) 0, alors f est croissante sur I . si f ne sannule quen des valeurs isoles de I , la croissance est stricte. si pour tout x I , f (x) 0, alors f est dcroissante sur I . si f ne sannule quen des valeurs isoles de I , la dcroissance est stricte. si pour tout x I , f (x) = 0, alors f est constante sur I . Si f sannule en a I en changeant de signe, alors f admet sur I un extremum (relatif) en a.

1.7. Drive dune fonction compose. Soient u une fonction drivable sur un intervalle I valeurs dans un intervalle J et f une fonction drivable sur J . Pour tout x0 I et pour tout X 0 J , on a :xx0

lim

et si u nest pas constante au voisinage de x0 , alors, pour x assez proche de x0 , x = x0 on a : u(x) = u(x0 ), et f (u(x)) f (u(x0 )) f (u(x)) f (u(x0 )) u(x) u(x0 ) = x x0 u(x) u(x0 ) x x0tend vers f (u(x0 )) tend vers u (x0 )

En particulier, si X 0 = u(x0 ) et puisque lim u(x) = u(x0 )xx0

u(x) u(x0 ) = u (x0 ) et x x0

X X 0

lim

f (X ) f (X 0 ) = f (X 0 ) X X0 (drivabilit continuit)

42

6. DRIVABILIT

Finalement :xx0

lim

f (u(x)) f (u(x0 )) = u (x0 ) f (u(x0 )) x x0 f u (x) = u (x) f u(x) 2. Notion de primitive

Soit f une fonction dnie sur un intervalle I . On appelle primitive de f sur I toute fonction F drivable sur I telle que : x I , F (x) = f (x) Par exemple, F : x x 2 + x + 1 et G : x x 2 + x + 2009 sont deux primitives sur R de la mme fonction f : x 2x + 1. 3. Mthode dE ULER 3.1. Prsentation de la mthode. Cette mthode est utilise pour approcher la reprsentation graphique dune fonction f lorsquon connat sa valeur en un rel x0 et sa drive. Le principe est bas sur lapproximation afne : pour h voisin de 0 : f (x + h) f (x) + h f (x) En exploitant ce rsultat, on peut approcher la courbe C de f laide dune courbe constitue de segments de droites. On considre un rel h strictement positif. On pose x1 = x0 + h ; x2 = x1 + h ; x3 = x2 + h ; . . . ; xn+1 = xn + h On considre les points M0 , M1 , M2 , . . . de la courbe C , dabscisse respective x0 , x1 , x2 , . . . Chaque point Mn a donc pour coordonnes xn ; f (xn ) . On cherche construire, uniquement laide de la connaissance de f , une suite de points P 0 , P 1 , P 2 , . . ., qui approchent les points M0 , M1 , M2 , . . . de la courbe C . On part du point P 0 = M0 x0 ; f (x0 ) de la courbe C pour lequel f (x0 ) est non nul. On pose :

3. MTHODE DEULER

43

y 1 = f (x0 ) + h f (x0 ) et on construit le point P 1 (x1 ; y 1 ), alors y 1 f (x0 + h), cest--dire y 1 f (x1 ) donc le point P 1 est proche du point M1 . y 2 = y 1 + h f (x1 ) et on construit le point P 2 (x2 ; y 2 ), alors y 2 f (x1 ) + h f (x1 ) f (x1 + h) = f (x2 ), cest--dire y 2 f (x2 ) donc le point P 2 est proche du point M2 . On recommence ainsi de suite. On construit ainsi une suite de points P n (xn ; y n ) tels que En joignant les points P 0 , P 1 , P 2 , . . . on obtient une courbe afne par morceaux qui approche celle de f . y n+1 = y n + h f (xn )

3.2. tude dun exemple. On considre la fonction f dnie sur lintervalle [1; 4] par f (x) = 1 . x On souhaite observer la courbe obtenue par la mthode dE ULER, en comparaison avec la courbe de f .

1. Dterminer la fonction drive f de f . 2. On choisit ici x0 = 1. h tant un rel strictement positif x, la suite (xn ) est dnie par Dnir la suite (y n ) obtenue par la mthode dE ULER pour cette fonction f en donnant y 0 = f (x0 ) et en explicitant clairement la valeur de y n+1 en fonction de y n et xn . 3. Raliser une feuille de calcul laide dun tableur et utiliser lassistant graphique pour visualiser les courbes reprsentant f et son approximation par la mthode dE ULER. voir chier Euler-ex1.ods ou .xls 3.3. Approcher la courbe dune primitive laide de la mthode dE ULER. On admet le thorme (dexistence) suivant : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I La fonction inverse est continue sur ]0; +[ donc admet des primitives sur cet intervalle : x0 = 0 et xn+1 = xn + h.

44

6. DRIVABILIT

Soit F celle des primitives sur ]0; +[ de f : x

en 1, cest--dire F (1) = 0. On ne connat pas explicitement une telle primitive, mais en utilisant la mthode dE ULER, avec un pas gal 0,01, on peut visualiser la courbe approximative de F sur [1; 4]. voir chier Euler-ex2.ods ou .xls

1 qui prend la valeur 0 x

Quatrime partie

Fonction exponentielle - quations diffrentielles

CHAPITRE 7

La fonction exponentielle1. Introduction 1.1. Activits. Nous avons entrevu (TP Demi-vie et activit 2 pages 10-11) et nous verrons ( dsintgration radioctive ) que, dans la description de certains phnomnes dvolution, la vitesse de variation dune quantit est proportionnelle cette quantit. La modlisation mathmatique nous conduit chercher des fonctions drivables vriant une relation de la forme Il sagt donc de rsoudre une quation dont linconnue est une fonction et dans laquelle intervient la drive de cette fonction inconnue. Une telle quation, faisant intervenir une fonction inconnue et ses drives successives, sappelle une quation diffrentielle. On sintresse lquation diffrentielle y = k y dans le cas o k = 1 et la condition initiale f (0) = 1, alors avec lactivit 2 page 11 et la mthode dE ULER on conjecture : lexistence dune unique fonction f drivable sur R et vriant : pour tout x R, f (x) = f (x) et f (0) = 1 1.2. Proprit. Sil existe une fonction f drivable sur R telle que f = f et f (0) = 1, alors f ne sannule pas sur RDmonstration On considre une fonction auxilliaire dnie sur R par (x) = f (x) f (x). est drivable sur R et, pour tout x R, (x) = f (x) f (x) f (x) f (x). De f = f , on en dduit = 0, alors est constante sur R et comme (0) = 1, on en conclut que x R , f (x) f (x) = 1 La fonction f ne peut pas sannuler.47

f =kf

o k R

48

7. LA FONCTION EXPONENTIELLE

2. Dnition de la fonction exponentielle 2.1. Thorme et dnition. Il existe une, et une seule, fonction f vriant : f est drivable sur R pour tout x R, f (x) = f (x) f (0) = 1 Cette fonction sappelle la fonction exponentielle, elle est note exp.Dmonstration Lexistence dune solution est admise. (cf. conjecture de lactivit 2) Pour dmontrer lunicit, on suppose quil existe une autre fonction g drivable sur R telle que g = g et g (0) = 1. g Puisque f ne sannule pas sur R, on peut considrer la fonction auxilliaire et f montrer quelle est constante et gale 1, do g = f .

3. Proprits de la fonction exponentielle (1) La fonction exponentielle est drivable sur R et sa drive est gale elle-mme, pour tout rel x : exp (x) = exp(x) (2) La fonction exponentielle est continue sur R et, de plus, exp(0) = 1 . (3) Quels que soient les rels a et b, exp(a + b) = exp(a) exp(b) (4) Quels que soient les rels a et b et lentier n, (a) exp(2a) = exp(a) (b) exp(a) = 1 exp(a) exp(a) exp(b)n 2

(c) exp(a b) =

(5) Quel que soit le rel a,

(d) exp(na) = exp(a) exp(a) > 0

4. THORME (QUATION FONCTIONNELLE CARACTRISTIQUE)

49

Dmonstrations (1) Par dnition de exp. (2) Par dnition de exp. (3) On considre la fonction auxilliaire g dnie sur R par g (x) = exp(a + b x) exp(x) (4) (a) On applique la formule prcdente avec b = a. On dmontre que g est constante, donc : g (0) = g (b). (b) exp(0) = exp (a + (a)) = exp(a) exp(a), or exp(0) = 1 et exp(a) = 0, . . . (c) On applique 3. et 4. b..

(d) On dmontre cette proprit pour tout n N, laide dun raisonnement par rcurrence. Puis, laide de 4. b., on tend la proprit tout n Z. a 2 a a = exp et exp(a) = 0. + (5) Pour tout rel a, exp(a) = exp 2 2 2

4. Thorme (quation fonctionnelle caractristique) La fonction exponentielle est la seule fonction f , drivable sur R, non nulle, telle que : Quels que soient les rels a et b, f (a + b) = f (a) f (b) et f (0) = 1 Dmonstration La fonction exponentielle vrie les quatre conditions : Soit f une fonction vriant ces quatre conditions. Dmontrons, en exploitant les donnes, que f = exp. f est drivable sur R et, quels que soient les rels a et b, f (a + b) = f (a) f (b). Lide consiste xer un rel x quelconque, puis considrer la fonction auxilliaire , de la variable t , dnie sur R par (t ) = f (t + x) = f (t ) f (x). est drivable sur R. On calcule lexpression de sa drive de deux faons. f (0) = 1, alors daprs ce qui prcde, x tant quelconque, on a f = f Il reste prouver que f (0) = 1 et il reste une hypothse non utilise : f nest pas la fonction nulle, alors il existe un rel c tel que f (c) = 0. Or, f (c) = f (0 + c) = f (0) f (c) et f (c) = 0 impliquent f (0) = 1 Conclusion : f est solution de lquation diffrentielle f = f et f (0) = 1, par dnition, cest exp . En identiant les deux calculs, on obtient, lorsque t = 0 : f (x) = f (0) f (x) drivable sur R, non nulle, exp(a + b) = exp(a) exp(b) et exp (0) = 1.

50


5. Le nombre e - La notation ex Limage de 1 par la fonction exponentielle est note e, soit exp(1) = e . Une valeur approche au millime de e est 2,718. Des proprits prcdentes, on dduit que, pour tout entier relatif n, On convient dtendre cette notation pour tout rel x, alors lcriture ex dsigne limage de x par la fonction exponentielle. exp(x) = ex On rcrit donc toutes les proprits avec cette nouvelle notation : (1) La fonction x ex est drivable sur R et sa drive est ellemme. (2) e0 = 1 et quel que soit le rel x, ex > 0 . ea+b = ea eb ea = eab = 1 ea ea eb exp(n) = exp(n 1) = exp(1)n

= en

(3) Quels que soient les rels a et b et lentier n :

(ea )n = ena Exercices 11, 13 et 14 pages 30 et 31 Exercices 37 40 page 32 Exercices 42 et 43 page 32

6. TUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

51

6. tude de la fonction exponentielle 6.1. Sens de variation et limites. (1) Nous avons vu que pour tout rel x, ex > 0 et exp (x) = ex , alors exp est strictement croissante sur R (2) On dmontre que, pour tout x R, ex x. Pour cela on tudie la fonction dnie sur R par f (x) = ex x et on montre quelle admet un minimum positif. On conclut par comparaison :x+

lim ex = +

(3) On pose X = x, alorsx

lim ex = 0

(4) La fonction exp est drivable en 0 et e0 = 1, alors par dnition de la drivabilit en un point : eh 1 =1 h0 h lim (5) quation de la tangente au point dabscisse 0 : y = x +1 (6) quation de la tangente au point dabscisse 1 : y = e.x 6.2. Tableau de variation.

x exp (x) exp

0 + 1

+ +

0

52


6.3. Reprsentation graphique.

e

6.4. Autres limites-croissances compares. (1) tudier la fonction dnie sur R par f (x) = ex ex = + x+ x lim (2) En dduire par composition :x

x2 et en dduire : 2

lim xex = 0

6.5. quations et inquations (1) Pour tous rels a et b, (2) Pour tous rels a et b,

Hyperbole pages 16, 17 et 19.

ea < eb a < b ea = eb a = b

7. FONCTION COMPOSE x eu(x)

53

7. Fonction compose x eu(x) tant donne une fonction u dnie et drivable sur un intervalle I , alors (par composition) la fonction exp u est drivable sur I et, pour tout rel x de I , Puisque pour tout x I , eu(x) > 0 , le signe de exp u (x) est exactement celui de u (x), alors exp u et u ont les mmes variations sur I . exp u (x) = u (x) exp (u(x)) = u (x) eu(x)

CHAPITRE 8

quations diffrentielles1. Activits 1 et 2 pages 40-41 Thorme 9 2. quation diffrentielle y = k y6

Soit k un rel non nul. Lensemble des solutions de lquation diffrentielle (E 0 ) est lensemble des fonctions de la forme y = k y

7

8

x C ekx ,

o C est une constante relle quelconque.

Dmonstration : R.O.C. Soit C R une constante xe, on considre la fonction f dnie sur R par f est drivable sur R et, pour tout rel x, f est solution de (E 0 ). f (x) = C ek x

f (x) = kC ek x = k f (x)

On dsigne par g une solution quelconque de lquation (E 0 ). On souhaite dmontrer quelle est ncessairement de la forme g (x) = C ek x . Cest--dire que On tudie donc la fonction ainsi dnie : est drivable sur R et, pour tout rel x, : x (x) = g (x) ek x est constante sur R.

(x) = g (x) ek x k g (x) ek x = g (x) k g (x) ek x = 0g solution de (E 0 )

est la fonction nulle sur R, donc est constante sur R.

CQFD !

Exercices : n 1, 2 et 3 page 50. Thorme Soient x0 et y 0 deux rels donns, alors lquation diffrentielle (E 0 ) admet une unique solution f vriant la condition initiale f (x0 ) = y 0 .55

y = k y

56

8. QUATIONS DIFFRENTIELLES

Dmonstration : R.O.C.Il suft dappliquer la condition initiale lexpression gnrale dune solution de (E 0 ). Cela dtermine la constante C , do lunicit de la solution de (E 0 ) telle que f (x 0 ) = y 0

Exemples et exercices : n 1 rsolu page 43 ; n 4 9 page 50 ; TD 1 page 22

Thorme 9

3. quation diffrentielle y = a y + b

Soient a et b deux rels tel que a = 0. Lensemble des solutions de lquation diffrentielle (E ) est lensemble des fonctions de la forme b x C eax o C est une constante relle quelconque. a y = ay + b

6

8

Dmonstration : R.O.C.

Vrier que la fonction f dnie sur R par f (x) = C eax g (x) = C eax ce qui quivaut g (x) = f (x) o f = g + b a b a

b est solution de (E ). a Soit g une solution de (E ), on souhaite dmontrer qualors g est de la forme

7

b est solution de lquation (E 0 ) y = a y (cf. paragraphe prcdent). a b = a f (x) CQFD ! Soit x R, on calcule f (x) = g (x) = ag (x) + b = a g (x) + ag solution de (E)

Thorme Soient x0 et y 0 deux rels donns, alors lquation diffrentielle (E ) y = ay + b

admet une unique solution f vriant la condition initiale f (x0 ) = y 0 . Dmonstration : R.O.C.Appliquer la condition initiale lexpression gnrale dune solution de (E ). Cela dtermine la constante C , do lunique solution de (E ) vriant f (x 0 ) = y 0 .

Exemples : n 2 rsolu page 43 ; sujets guids 1 et 2 pages 47, 48 ; sujet corrig page 49. Exercices : n 13 21 page 51 ; n 30 page 53.

3. QUATION DIFFRENTIELLE y = a y + b

57

3.0.1. Travaux dirigs. Page 45 TD 3 3.0.2. faire pour le samedi 31 octobre 2009. Exercices Page 50 n 10 Page 51 n 12 et n 22 3.0.3. Devoir Maison n 5 : n 35 page 54 rdiger sur feuille et rendre samedi 7 novembre 2009. Exercices Page 37 n 74 Page 111 n 23 page 52 n 26 page 55 n 39 page 117 n 46

Cinquime partie

Les nombres complexes

CHAPITRE 9

Forme algbrique1. Introduction 1.1. Historique. Au XVIe sicle, les algbristes italiens apprennent rsoudre les quations du troisime degr. Ils les ramnent une autre quation plus simple du second degr dont la rsolution est connue depuis le IXe sicle grce aux mathmaticiens arabes. Jrme CARDAN (1501-1576) publie en 1541, dans Ars Magna, cette mthode de rsolution que lui avait transmise TARTAGLIA (1539), en lui demandant de ne pas la rvler ! On pose x = u + v, lquation se ramne (u + v)3 = 6(u + v) + 20, cest--dire : u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 +v 3 = 6(u + v) + 20, soit : u 3 + v 3 = (6 3uv)(u + v) + 20=3uv(u+v)

Exemple : Rsoudre x 3 = 6x + 20

On pose U = u 3 et V = v 3 , alors U et V sont les solutions de lquation X 2 20X + 8 = 0 U = 10+2 23 et V = 102 23, alors u = u+v =3 3

En cherchant u et v tels que uv = 2, on se ramne u 3 + v 3 = 20 et u 3 v 3 = 8.

10 + 2 23 et v =

3

10 2 23, donc :

10 + 2 23 +

3

10 2 23 est une solution de lquation x 3 = 6x + 20.

Cette mthode qui sapplique aux quations de la forme x 3 = p x + q conduit cependant, dans certains cas un paradoxe. Lexemple suivant fut propos par Raphal BOMBELLI (1526-1572) : Exemple : x 3 = 15x + 4. Activit 1 page 284 (Hyperbole)

Devant ce paradoxe, BOMBELLI dcide de faire comme si 121 tait le carr dun nombre imaginaire qui scrirait 11 1. Au XVIIe sicle, Ren DESCARTES (1595-1650) qualie ces nombres dimaginaires et au XVIIIe sicle, Lonhard EULER (1707-1783) adopte la notation i en remplacement de 1, symbole qui pose des problmes de calcul : 1 1 = 12

= 1 = 1 =

1=

(1)(1) =

1 1

On dsigne donc par i un nouveau nombre tel que i2 = 1. En dpit de leur absence apparente de signication, ces nouvelles entits symboliques seront adoptes par les mathmaticiens.61

62

9. FORME ALGBRIQUE

Nanmoins, les nombres complexes, dont la dnomination est due Karl Friedrich GAUSS (1777-1855), ne seront vritablement admis par tous qu partir du XIXe sicle, partir du jour o seront reconnues leur signication gomtrique (Louis ARGAND 1806) et leur utilisation pratique, tant pour rsoudre des problmes mathmatiques que physiques.

1.2. Activit 2 pages 284-285 2. Points du plan et nombres complexes

(Hyperbole).

Dans ce paragraphe a et b sont des nombres rels. Le plan est rapport un repre orthonormal direct (O ; u, v). 2.1. Dnitions. Soit A le point de coordonnes (1 ; 0) et B le point de coordonnes (0 ; 1). Au point A, on associe le nombre rel 1. Au point B, on associe le nombre complexe i tel que i2 = 1 2.1.1. Afxe dun point. tout point M de coordonnes (a ; b) du plan, on associe le nombre complexe unique, not z, qui scrit z = a + ib. z est appel afxe du point M.

M(a + ib) + B(i) v O u A(1)

Exercice rsolu 1 page 287 Exercice 1 page 309 2.1.2. Point image dun nombre complexe. tout nombre complexe z = a + ib, on associe un point M et un seul, de coordonnes a et b. M est appel point image de z. Exercice rsolu 2 page 287

2. POINTS DU PLAN ET NOMBRES COMPLEXES

63

2.1.3. Ensemble des nombres complexes. Lensemble des nombres complexes, not C, est constitu de tous les lments z qui scrivent sous la forme z = a + ib, o a et b rels. Le plan ainsi identi C et rapport au repre orthonormal direct (O ; u, v ) est appel plan complexe. Exercice rsolu 3 page 287 2.1.4. Afxe dun vecteur. tout vecteur = OM de coordonnes (a, b) du plan, on associe le nombre w complexe a + ib appel afxe de ce vecteur. Rciproquement, tout nombre complexe z = a + ib, on associe le vecteur de coordonnes (a, b) appel vecteur image de z.

M(z = a + ib) w OM = w

O Deux vecteurs sont gaux si, et seulement si, leurs afxes sont gales 2.2. Vocabulaire et proprits. Si z = a + ib, avec a et b rels, alors a est appel la partie relle de z, note Re(z) et b est appel la partie imaginaire de z, note Im(z). Cette criture de z est appele forme algbrique de z. Lcriture sous forme algbrique dun nombre complexe est unique, par consquent : Deux nombres complexes sont gaux si, et seulement si, ils ont la mme partie relle et la mme partie imaginaire. Exemple : z = 0 Re(z) = Im(z) = 0 Un nombre complexe imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie relle est nulle, par exemple z = 3i, Re(z) = 0 et Im(z) = 3. Les points images des complexes imaginaires purs sont les points de laxe des ordonnes, appel axe des imaginaires purs, parfois not iR.

64

9. FORME ALGBRIQUE

Le rel a peut scrire a + 0i, donc le point image est un point de laxe des abscisses qui est appel axe des rels. Tout nombre rel est un nombre complexe particulier : R C Lensemble C prolonge lensemble R. Exercices n 4 et 6 page 309 et n 7 page 310. 3. Oprations sur les nombres complexes C est muni dune addition et dune multiplication. On opre dans C en suivant les mmes rgles de calcul que pour le calcul algbrique dans R tout en tenant compte de la proprit i2 = 1 . Soient deux nombres complexes z et z crits sous forme algbrique : z = a + ib 3.1. Somme. z + z = (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ) z + z = 4 + 11i Traduction gomtrique de la somme Dun point de vue vectoriel, si z est lafxe du vecteur w et z celle du vecteur w , alors z + z est lafxe du vecteur w + w . Du point de vue afne (ponctuel), si M est le point dafxe z et M celui dafxe z , alors le point N dafxe z + z est tel que OM N M est un paralllogramme, car ON = OM + OM . N (z + z ) M (z ) et z = a + ib o a, b, a et b sont des rels

Exemple : z = 2 + 3i et z = 6 + 8i

w

w O

M(z)

4. LES AFFIXES ET LA GOMTRIE

65

Consquence Soient A et B deux points dafxes respectives z A et z B . z A et z B sont aussi les afxes respectives des vecteurs O A et OB et daprs la relation de Chasles : O A + AB = OB , alors z A + z = z B . AB Finalement z = z B z A AB 3.2. Produit. z z = (a + ib) (a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + a b) 3.3. Inverse. On dnit le nombre complexe conjugu de z = a + ib avec a et b rels, not z, par z = a ib Pour z = 0, on a 1 z a ib = = 2 z zz a + b 2

3.4. Quotient. Si z = 0,

z 1 z z (a + ib )(a ib) (aa + bb ) + i(ab a b) =z = = = z z zz a2 + b2 a2 + b2

Exercices rsolus 1, 2, 3 page 289 Exercices n 8 12, 14, 15 , 17, 19 23 page 310.

4. Les afxes et la gomtrie Une galit vectorielle se traduit mot pour mot par une galit entre les afxes des vecteurs. On dsigne par : k, , et des nombres rels ; z A , z B et zC les afxes des points A, B et C ; z I lafxe du milieu I de [AB] et zG lafxe de G, barycentre des points (A ; ), (B ; ) et (C ; ), o + + = 0 ; z lafxe du vecteur AB ; AB Z et Z les afxes des vecteurs w et w . w w z = z B z A AB Z+ = Z + Z w w w w Z k = k Z w w

66

9. FORME ALGBRIQUE

zI =

z A + zB 2

zG =

z A + z B + zC ++

5. Nombres complexes conjugus 5.1. Symtries et nombres complexes. Le point M a pour afxe z = a+ib, o a et b sont rels (forme algbrique). M(z)

b

a O

a

Q(z)

b

N (z)

Autrement dit,

Le point Q(a ; b) est le symtrique de M par rapport O, Q a pour afxe z, oppos de z. Le point N (a ; b) est le symtrique de M par rapport laxe des rels, N a pour afxe le nombre complexe appel conjugu de z et not z Pour z = a + ib, on a z = a ib o a et b sont rels. Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z) z=z On peut aussi remarquer que retenir :

Deux points M et N dont les afxes sont conjugues sont des points symtriques par rapport laxe des abscisses. 5.2. Proprits. Conjugu dune somme, dun produit, de linverse, dun quotient : z + z = z + z ; si z = 0, z z = z z ; 1 1 = ; ... z z

Produit dun complexe et de son conjugu : zz = a 2 + b 2 zz est ncessairement un rel positif ou nul !

5. NOMBRES COMPLEXES CONJUGUS

67

z est rel si, et seulement si, z = z z est imaginaire pur si, et seulement si, z = zExercices rsolus 1, 2 et 3 page 291 ; Exercices 25 28, 31 et 32 page 311.

Complment : quelques proprits remarquables du conjugu Soit z C. z scrit sous forme algbrique z = a + ib , avec a = Re(z) R et b = Im(z) R. Alors z + z = 2Re(z) est un rel et z z = i 2Im(z) est un imaginaire pur.

Exemple (Nelle -Caldonie, nov. 2005, Annabac 2010 page 245-246, question 5. a.) : On dduit des proprits prcdentes que : z +z z z 2Re(z) i 2Im(z) Re(z) 2Im(z) +i = +i = 6 3 6 3 3 3 est un rel (diffrence de deux rels).

CHAPITRE 10

Forme trigonomtrique1. Module dun nombre complexe Si M a pour coordonnes (x, y) dans un repre orthonormal (O ; u, v), alors OM = x 2 + y 2 x O y+ +

OM 2 = x 2 + y 2+ +

M(z)

Nous avons vu prcdemment que, si z scrit sous la forme algbrique z = x + iy, alors zz = x 2 + y 2 1.1. Dnition. Soit z C. On appelle module de z, not |z|, le rel positif ou nul tel que |z|2 = zz, o z est le conjugu de z. 1.2. Interprtation gomtrique. Soit M dafxe z. |z| = OM

Soit A et B les points dafxes z A et z B . Nous avons vu que z B z A est lafxe du vecteur AB, alors en considrant le point M, image du nombre complexe z B z A , nous obtenons AB = OM . Par consquent, AB = AB = |z B z A | 1.3. Proprit. Soit M dafxe z. Le point M dafxe z est le symtrique de M par rapport au point O, alors OM = OM. Le point M" dafxe z est le symtrique de M par rapport laxe des abscisses, alors OM" = OM. Par consquent69

70

10. FORME TRIGONOMTRIQUE

z C,

z = |z| = |z|

1.4. Ingalit triangulaire. Dun point de vue gomtrique, dans un triangle : un ct est toujours infrieur la somme des deux autres cts. tant donns A, B et P trois points du plan, AB AP + BP . Lgalit na lieu que si, et seulement si, P [AB] Ainsi, en considrant les points M, M et N dafxes respectives z, z et z +z , OM N M est un paralllogramme (voir chapitre 9, paragraphe 3.1.), alors ON OM + M N et M N = OM |z| + |z |

z C , z C , |z + z |

1.5. R.O.C. (Annabac 2009, AmNord, juin 2006, Partie B, question 2. a., p. 241) Module dun produit Pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , |z 1 z 2 |2 = (z 1 z 2 ) (z 1 z 2 ) = (z 1 z 2 ) z 1 z 2 = |z 1 |2 |z 2 |2 = z1 z1 z2 z2 = (|z 1 | |z 2 |)2 |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |

or, |z 1 z 2 | et |z 1 | |z 2 | sont positifs, alors

Module de linverse Pour tout nombre complexe z non nul, 1 2 1 1 1 1 1 1 1 = = 2= = = z z z z z zz |z| |z|

2

, do :

Le module dun quotient sobtient en utilisant le module dun produit et le module de linverse ( faire soi-mme pour sentraner).

1 1 = z |z|

2. Argument dun nombre complexe non nul Le plan complexe est muni dun repre (O ; u, v) orthonormal direct. On choisit un point M du plan complexe distinct de lorigine, donc dafxe z non nulle. 2.1. Dnition. Un argument du nombre complexe z, z = 0, est un rel , not arg(z), tel u que est une mesure en radians de langle orient , OM .

2. ARGUMENT DUN NOMBRE COMPLEXE NON NUL

71

M(z) r sin() OM = r = |z| = u, OM = arg(z) r cos() O u

Exemples : arg(3) = + k2 ; arg(1 + i) =

+ k2 o k Z. 4

2.2. Forme trigonomtrique. Dnition : Le point M, dafxe non nulle z = a+ib, a pour coordonnes polaire [r ; ] o r (rel positif) est le module de z et est un argument de z, donc : Cette criture de z, avec r > 0, est appele forme trigonomtrique de z. Proprit : Soit z = 0, z = a + ib (a et b rels), |z| = r et arg z = + k2. r = a2 + b2 a = r cos b a b = r sin cos = et sin = r r z = r (cos + i sin )

Exemples :

a) Soit le complexe z 1 de module 4 et dargument trigonomtrique : z 1 = 4 cos

2 , il scrit sous forme 3

2 1 2 3 = 4 +i + i sin = 2 + 2i 3 3 3 2 2

b) Soit le complexe z 2 = 1 i, son module ...

72


Mthodes : Le plan complexe est rapport un repre orthonormal direct (O ; u, v). On considre les points A, B, C , D, E , F dafxes respectives

2 , 2i , 2 , i , 1 i , 1 + i

Dterminer le module et un argument de lafxe de chacun de ces points.

(1) Placer les points dans le repre aide visualiser les rsultats.

(a) Tout rel strictement positif a un argument gal 0. (b) Tout rel strictement ngatif a un argument gal . (c) Tout imaginaire pur, de partie imaginaire strictement posi tive, a un argument gal . 2 (d) Tout imaginaire pur, de partie imaginaire strictement nga tive, a un argument gal . 2 (e) Dans le cas gnral, z = a + ib = 0 avec a et b rels, on factorise par |z| = a 2 + b 2 = r

z =r

b a +i r r

a cos = r On crit le systme b , sin = r on peut alors rpondre (sans se tromper !) dans les cas de rfrence que lon peut retrouver sur le cercle trigonomtrique.

3. ARGUMENTS ET OPRATIONS

73

2 3 3 4 5 6

2 3 2 2 2 1 2 3 4

+

6

()

3 22 2

1 2

0 0

1 2

2 2

3 2

(0)

5 6 3 4 2 3

1 2 2 2 3 2

6 4 3

2

3. Arguments et oprations 3.1. Argument dun produit. Soit z et z deux complexes non nuls, de modules respectifs r et r , darguments respectifs et . zz = r r (cos + i sin )(cos + i sin )

On en dduit

zz = r r (cos cos sin sin ) + i(si n cos + cos sin )cos(+ ) sin(+ )

3.2. Argument de linverse. Soit z un complexe non nul, dargument . arg z 1 = arg(1) = 0 [2] et z arg z

arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) , k2 prs, k Z

1 1 = arg(z) + arg z z

[2]

74


Par consquent,

3.3. Argument dun quotient. Daprs 3.1. et 3.2 on dduit

1 = arg(z) [2] arg z

ATTENTION

z = arg(z ) arg(z) arg z !

k2 prs, k Z

IMPORTANT ! !

Gomtriquement. Soit M et M les points images de z et z , complexes non nuls. M (z = r (cos() + i sin()))

M z = r cos( ) + i sin( ) O u6

9

8

Retenir que si z est lafxe dun vecteur w et z celle dun vecteur w , alors arg z = w, w z

z = arg(z ) arg(z) = u, OM u, OM = OM , u + u, OM z Finalement par la relation de Chasles sur les angles orients, on obtient z arg = OM , OM z arg

7

En particulier lorsque z = z B z A et z = zC z A , alors un argument du zC z A est une mesure de langle orient AB, AC . nombre complexe zB z A


75

3.4. Argument de loppos, du conjugu. Par des considrations gomtriques ou bien par le calcul en utilisant les proprits des arguments, on tablit que

3.5. Formule de De Moivre. Argument de z , o z = 0 et n Z Si z = r (cos() + i sin()) avec r > 0 et R, alors

arg(z) = arg(z) + [2] et arg(z) = arg(z) [2]n

pour tout n Z, z n = r n (cos(n) + i sin(n)) 1 3 +i 2 22010

Par exemple, calculer

3.6. Exercices. n 41 46 page 312 (hyperbole-Nathan) 3.6.1. n 41. Dans cet exercice on calcule les modules de nombres complexes laide de la forme algbrique : si z = x + iy o x et y sont rels, alors |z| = x 2 + y 2 En outre, on utilise aussi les rgles suivantes : le module dun produit est le produit des modules ; le module dun quotient est le quotient des modules ; les modules de deux nombres complexes conjugus sont gaux. |z 1 | = 6+i 3 =2

6 +3

2

3 =

2

=93

|z 2 | = |1 + 2i|3 = |z 3 | = |z 4 | = |z 5 | = |53 + i| =1 |53 i| 3i

12 + 22

5

=5 5 (conjugus)

6+i 5+i 3 =4

6 + 1 25 + 3 =4

7 28 =

72 22 = 14

|1 + i|

=

3+1 2

=

2

4

=4

76


3.6.2. n 42. Cet exercice illustre une interprtation gomtrique des nombres complexes (traduction du module en terme de distance). Dans un tel contexte gomtrique il ne faut pas hsiter faire une gure. B(b)+

A(a)

+

+

C (c)

On peut conjecturer que le triangle ABC est rectangle et isocle en A, c--d AB = AC et AB 2 + AC 2 = BC 2 (1) a) Calcul des modules au carr pour viter dcrire trop de radicaux . |a b|2 = |2 3i|2 = 4 + 9 = 13 |b c|2 = |1 + 5i|2 = 1 + 25 = 26 |c a|2 = |3 2i|2 = 9 + 4 = 13 |a b| = |c a| et do do do |a b| = |b c| = |c a| = (2) 13 26 13

b) Des calculs prcdents on peut dduire les galits : On ne peut manquer de remarquer la ressemblance entre la conjecture (1) et le rsultat (2). En fait a b est lafxe du vecteur B A et le module de a b sinterprte gomtriquement comme la norme de ce vecteur, c--d Finalement le triangle ABC est bien isocle (AB = AC ) et rectangle en A (thorme de Pythagore). |a b| = B A = AB , . . . |a b|2 + |c a|2 = |b c|2


77

3.6.3. n 43. (1) Comme dans lexercice prcdent, il sagt de traduire le module dun nombre complexe en terme de distance. a) On introduit les points A et B dafxes respectives 2 et 3i. Lensemble des point M dont lafxe z vrie |z 2| = |z + 3i| est lensemble des points quidistants de A et B, cest la mdiatrice du segment [AB]. b) On raisonne de manire semblable en nommant, par exemple, le point dafxe 4 + i, alors Lensemble des points M dont lafxe z vrie |z + 4 i| = 2 est lensemble des points M tels que M = 2, cest le cercle de centre et de rayon 2. (2) On pose z = x + iy avec x et y rels. a) |z 2| = |z + 3i| scrit (x 2) + iy = x + i(y + 3) cest quivalent (x 2)2 + y 2 = x 2 + (y + 3)2 On dveloppe, puis on simplie et nalement cela quivaut 2 5 y = x 3 6 Cest lquation dune droite. Ce doit tre la mdiatice du segment [AB] (cf. 1.a). b) |z + 4 i| = 2 scrit (x + 4) + i(y 1) = 2 c--d On retrouve lquation du cercle de centre (4; 1) et de rayon 2. (x + 4)2 + (y 1)2 = 22 |z 2| = |z + 3i| AM = B M

78


1 1 1 3.6.4. n 44. a) z + 1 + i = z + 1 + i = z + 1 i 4 4 4 1 Soit le point A dafxe 1 + i. 4 Par interprtation gomtrique du module, lensemble des points M dont 1 17 lafxe vrie z + 1 + i = est lensemble des points M tels que 4 4 AM = 17 4

+

A+

O

17 1 . Cest le cercle de centre A dafxe 1 + i et de rayon 4 4 Remarque : on peut vrier que ce cercle passe par O. b) Si on a lesprit que i est de module 1 et que le module dun produit est le produit des modules, on factorise par i, alors pour tout z C, |2 iz| = i z

2 = |i| |z + 2i| = |z + 2i| i En considrant les points B et C dafxes respectives 2i et 5, lensemble des points M dont lafxe z vrie |2 iz| = |z + 5| est donc le lieu des points M tels que B M = C M.+

C B

+

cest la mdiatrice du segment [BC ].


79

3.6.5. n 45. a) Par interprtation gomtrique des arguments dun nombre complexe arg(z) = u, OM [2]

6

O Lensemble des points M dafxe z vriant arg(z) = est la demi-droite 6 + i sin ouverte dorigine O et passant par le point dafxe cos 6 6

b) arg z =

arg (z) = . 3 3

O

3

Lensemble des points M dont lafxe z vrie arg z = droite ouverte dorigine O et passant par le point dafxe cos + i sin 3 3

est la demi3

c) z + i = z (i) est lafxe du vecteur AM , o A a pour afxe i. arg(z + i) sinterprte gomtriquement comme une mesure de langle orient u, AM . Lensemble des points M dont lafxe z vrie arg(z +i) = est le lieu des points M, M = A, tels que les vecteurs AM et u sont colinaires et de sens opposs.

80


A

Cest la demi-droite ouverte dorigine A, parallle laxe des abscisses, dirige dans le sens du vecteur u.

d) Daprs les proprits des arguments (inverse, produit) : 1 arg = arg(iz) = arg(i) + arg(z) = arg(z). Ainsi iz 2 1 3 arg = 2 = [2] = arg(z) = iz 2 2 2 Par interprtation gomtrique de arg(z), on en dduit que

2

O 3 2 lensemble des points M dont lafxe z vrie arg 1 = est le demi-axe iz ouvert des imaginaires purs dont la partie imaginaire est positive.


81

3.6.6. n 46. Pour crire un nombre complexe sous la forme trigonomtrique il est ncessaire de matriser les proprits du module et des arguments et surtout, le cas chant, de savoir reconnatre les nombres complexes remarquables crits sous la forme algbrique lorsque : la partie relle et la partie imaginaire sont gales ou opposes ; le rapport entre la partie relle et la partie imaginaire est gal 3 ou 3 (ou linverse) ; le nombre est un rel ou un imaginaire pur. Dans ces cas lcriture trigonomtrique (ou exponentielle, cf. section 9.) sobtient aisment. Par exemple dans cet exercice : 6i 2 = 2 3i 2(1 + i) = 2 2 2 2 +i 2 2 + i sin 4 4

3 1 i 2 2 = 2 2 cos + i sin 6 6 = 2 2 = 2 2 ei 6 On en dduit que z 1 = Par consquent,

= 2 2 cos = 2 2 ei 4

2 2 ei 6 2 2ei 4

= ei 6 4 = ei 12

5

Le module de z 1 est |z 1 | = 1 et un argument de z 1 est arg (z 1 ) =

5 . 12

Faire de mme avec z 2 =

5 (1 + i) 3+i

...

On doit trouver |z 2 | =

7 5 . 2 et arg (z 2 ) = 2 12

82


4. Notation exponentielle Soit la fonction f de la variable relle valeurs dans C dnie par On peut remarquer que f est une solution de lquation diffrentielle y = iy telle que y(0) = 1 Par analogie avec le cours sur les quations diffrentielles on notera Un nombre complexe de module 1 et dargument scrira : Soit r un rel positif et un rel. Le nombre complexe z de module r et dargument se note sous forme exponentiellei z =re Cette notation est compatible avec les proprits algbriques de la fonction exp et les proprits du module et des arguments des nombres complexes. La forme exponentielle se substitue avantageusement la forme trigonomtrique :

f () = cos() + i sin()

e = cos() + i sin() i

f () = ei

Soit z = r ei et z = r ei . Alors

Dans lgalit prcdente on peut lire que le module du produit est le produit des modules et quun argument du produit est la somme des arguments. 1 1 i = e z r On peut lire que le module de linverse est linverse du module et quun argument de linverse est loppos de largument. ... Formule de De Moivre

zz = r r ei(+ )

Formules dEuler

ei + ei ei ei et sin() = cos() = 2 2i

n in zn =r e

CHAPITRE 11

Second degr dans Cquations du second degr dans C coefcients rels Cours p. 298. Exercices rsolus 1, 2 et 3 page 299 (Hyperbole) tant donne une quation (E ) du second degr dinconnue complexe z coefcients rels a, b, c avec a = 0 (E ) son discriminant = b 2 4ac est un rel. Trois cas peuvent alors se prsenter : az 2 + bz + c = 0

(1) Si > 0, lquation possde alors deux racines relles selon les formules vues en premire. (2) Si = 0, lquation possde alors une racine relle ( double ) comme en 1re . (3) Si < 0, lquation na pas de solution relle, mais possde alors deux racines complexes conjugues : b i = z2 z1 = 2a

b + i = z1 et z 2 = 2a

Annabac 2010, Asie, juin 2005, partie A, page 232 (1) On remplace z par i dans le premier membre de lquation (E ) et on effectue le calcul : (i)3 + (8 + i)(i)2 + (17 8i)(i) + 17i = i (8 + i) (17 8i)i + 17i = i + 8 i 17i 8 + 17i = 0 i est bien solution de (E ) (2) Mthode : on dveloppe, on rduit et on ordonne le second membre ; puis on identie les coefcients des deux polynmes, ce qui nous ramne la rsolution dun systme de quatre quations trois inconnues a, b et c : (z+i)(az 2 +bz+c) = az 3 +bz 2 +cz+iaz 2 +ibz+ic = az 3 +(b+ia)z 2 +(c+ib)z+ic83

84

11. SECOND DEGR DANS C

(3) Lquation (E ) est quivalente : (z + i)(z 2 8z + 17) = 0. Les solutions de (E ) sont : i et les solutions de z 2 8z + 17 = 0 (E ) (E ) est une quation du second degr coefcients rels. Son discriminant = (8)2 4 17 = 4 = (2i)2 est strictement ngatif, alors (E ) admet deux racines complexes conjugues : z1 = 8 2i = 4 i et z 2 = z 1 = 4 + i 2

a =1 b + ia = 8 + i Par identication : c + ib = 17 8i ic = 17i a =1 b = 8 ce qui donne immdiatement : c = 17

Finalement, lensemble des solutions de (E ) est S = {i ; 4 i ; 4 + i}

Exercices 61 67 p. 313

CHAPITRE 12

Transformations1. Translation Une translation du plan est une transformation t du plan caractrise par son vecteur w . t : M t (M) = M tel que M M = w

Traduction complexe : On note b lafxe du vecteur ; z et z les afxes respectives des points w M et M . f : z f (z) = z tel que z z = b f est lexpression complexe de t . Cest une application de C dans C. Soit b C. Lapplication du plan dans lui-mme qui, tout point M dafxe z, fait correspondre le point M dafxe z tel que z = z + b, est la trans lation de vecteur , o est le vecteur image de b. w w

Dans le cas particulier o b = 0, cest la translation de vecteur nul (identit du plan, note I d P ). 2. Homothtie Une homothtie du plan est une transformation h du plan caractrise par son centre (point) et son rapport k (rel non nul). h : M h(M) = M tel que M = k M Traduction complexe : On note , z et z les afxes respectives des points , M et M . f : z f (z) = z tel que z = k(z )

f est lexpression complexe de h. Cest une application de C dans C. Soit k R , k = 1 et b C. Lapplication du plan dans lui-mme qui, tout point M dafxe z, fait correspondre le point M dafxe z tel que z = kz + b, est lhomothtie de rapport k et dont le centre est le point dafxe , o est lunique solution de lquation z = kz + b. Dans le cas particulier o k = 1, on retrouve lexpression dune translation.85

86

12. TRANSFORMATIONS

3. Rotation Une rotation du plan est une transformation r du plan caractrise par son centre (point) et son angle (angle orient ou lune de ses mesures en radians modulo 2). r : M r (M) = M tel que si M = , M = M et M , M = [2] r () =

Traduction complexe : On note , z et z les afxes respectives des points , M et M . f () = z f : z f (z) = z tel que si z = , z = |z | et arg = [2] z f est lexpression complexe de r . Cest une application de C dans C. Soit b C et R, = 0 [2]. Lapplication du plan dans lui-mme qui, tout point M dafxe z, fait correspondre le point M dafxe z tel que z = ei z + b, est la rotation dangle et dont le centre est le point dafxe , o est lunique solution de lquation z = ei z + b. Dans le cas particulier o b = 0, le centre de la rotation est lorigine O. Dans le cas particulier o = 0 [2], on retrouve lexpression dune translation. 4. Exercices n 71, 72, 74, 76, 77, 79 et 80 page 314 ; n 84 page 315 et n 100 page 319.

4. EXERCICES

87

Exercices dapplication sur les nombres complexes. 0.1. Dterminer Re(z) et Im(z). On considre les nombres complexes : 3+i ; 4i ; 2i2 ; 0 ; 2i2 + 3

Dterminer Re(z) et Im(z). 0.2. tablir un lien entre des points du plan et les complexes. Dans le repre (O ; u, v ), on considre les points A(2 ; 1) et B(0 ; 5), et la droite D dquation y = x + 3. (1) Dterminer les afxes des points A et B. (2) Dterminer lafxe dun point M appartenant D. 0.3. tablir un lien entre gomtrie et nombres complexes. 0.3.1. Placer les points A, B, C et D dafxes respectives : 4i ; 2 i2 ; 4i2 et 1 i2 3i

0.3.2. On considre le complexe : Z = x 2 + y 2 4 + i(2x + y + 1) , o x et y sont des nombres rels. (1) Dterminer lensemble E des nombres complexes z = x + iy tels que Z soit un rel, puis reprsenter E . (2) Dterminer lensemble F des nombres complexes z tels que Z soit un imaginaire pur, puis reprsenter F . 0.4. Utiliser des oprations sur les nombres complexes. Dterminer les formes algbriques des nombres complexes : z 1 = (26i)3(22i) ; z 2 = (26i)i(22i) ; z 3 = (2i)(12i) ; 1+i 2 et z 6 = z 4 = (1 + i)2 ; z 5 = 2i 1 3i Parmi les complexes prcdents, y a-t-il des rels ? Des imaginaires purs ? 0.5. Dterminer le conjugu dun nombre complexe. 0.5.1. Dterminer le conjugu des nombres complexes suivants : z 1 = 2i ; z 2 = i(3 + 3i) ; 1 3i 2 + 4i z 3 = (5 + 2i)7 ; 1 + 3i 2 4i z4 = i 4 + i 2 6 + 3i

0.5.2. Soit les complexes : z1 = et z2 =

Que peut-on dire, sans calcul, de : z 1 + z 2 et z 1 z 2 ?

88

12. TRANSFORMATIONS

0.6. Rsoudre une quation dans C. Rsoudre dans C les quations suivantes dinconnue complexe z : (1) iz 2i = (2 i)z + 1 1 + iz (2) = 1+i z +i (3) iz + 2z = 2i 3 0.7. Utiliser les afxes de points et de vecteurs. Le plan est rapport au repre orthonormal direct (O ; u, v). Soit les points A, B, C et D dafxes : 3 1 zC = 1 i et z D = 1 i 2 2 (1) Dterminer les afxes des vecteurs AB et DC . Que peut-on en dduire ? (2) Dterminer lafxe du milieu I de [AC ]. (3) Dterminer lafxe du point G, barycentre du systme pondr {(A, 2) ; (B, 1) ; (C , 2)} et montrer que G est lisobarycentre des points A, C et D. 0.8. Dterminer le module et un argument dun nombre complexe. (1) Dterminer graphiquement le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 4i ; z 2 = 2 ; z 3 = i et z4 = 3 3 zA = i , 2 1 zB = 2 + i , 2

(2) Dterminer par le calcul le module et un argument des nombres complexes : z5 = 1 i et z6 = 3+i

(3) En utilisant les rsultats prcdents, dterminer le module et un argument des nombres complexes : 1+i ; 1 + i ; 3i ; 3+i

0.9. Dterminer la forme trigonomtrique dun nombre complexe. Dterminer la forme trigonomtrique des nombres complexes : i et 1 + 3i

0.10. Utiliser les proprits sur les modules et les arguments. Donner le module et un argument du complexe : z = cos i sin , 6 6 et en dduire le module et un argument de z 1 = 3z.

4. EXERCICES

89

0.11. tudier la nature dune conguration. Le plan est rapport au repre orthonormal direct (O ; u, v). Soit les points A, B et C dafxes : Donner la forme trigonomtrique du complexe : z B zC , z A zC puis en dduire la nature du triangle ABC . 0.12. Mettre sous forme exponentielle. (1) crire sous forme exponentielle les nombres : z 1 = 2 + 2i et z 2 = 3 3i z A = 1 + i 3 , z B = 1 i 3 , zC = 2

(2) En dduire la forme exponentielle de z 1 z 2 . 0.13. Utiliser les diffrentes formes des complexes. On considre les complexes : et z 2 = 2 2i z1 (1) crire sous forme algbrique . z2 z1 (2) crire sous forme exponentielle z 1 , z 2 et . z2 (3) En dduire les valeurs exactes de : cos et sin . 12 12 z1 = 0.14. Utiliser les formules dEuler. Soit le complexe z = 1 + ei . Dterminer le module et un argument de z lorsque : (1) ]0 ; [ (2) ] ; 2[ 0.15. Rsoudre une quation du second degr. Rsoudre dans C les quations suivantes : (2) z 2 2 2z + 4 = 0 0.16. Utiliser les critures complexes des transformations. Le plan complexe est rapport au repre orthonormal direct (O ; u, v). Soit les points A et B dafxes : Dterminer lafxe : zA = 1 + i , z B = 2 i (1) z 2 + 4z + 20 = 0 6i 2

(1) du point C , image du point B par lhomothtie h de centre A et de rapport 3.

90

12. TRANSFORMATIONS

(2) du point D, image du point A par la rotation r de centre B et dangle . 2 0.17. Reconnatre une transformation. Le plan complexe est rapport au repre orthonorm direct (O ; u, v ). r est la rotation de centre dafxe i et dangle et t la translation de 2 vecteur w dafxe 1 3i. Dterminer lcriture complexe de r t . En dduire la nature de lapplication r t .

Sixime partie

Fonction logarithme nprien

CHAPITRE 13

La fonction logarithme nprien1. Activits pages 144-145

2. Dnition et premires proprits La fonction exp est continue et strictement croissante sur R = ]; +[, de plus lim ex = 0 et lim ex = +, alorsx x+

exp est une bijection de R vers ]0; +[. La fonction logarithme nprien, note ln, est la bijection rciproque de la fonction exponentielle. La fonction ln est dnie de ]0; +[ vers R. Par dnition de la bijection rciproque et x R, x R , + ln (ex ) = x eln(x) = x

On en dduit deux valeurs particulires : ln(1) = 0 et ln(e) = 1. Les coordonnes des points de la courbe reprsentative de la fonction ln sobtiennent en changeant labscisse et lordonne des points de la courbe reprsentant la fonction exp. Les deux courbes sont symtriques par rapport la droite dquation y = x. 3 2 1 1 1x0 x+

M

M 2 3 4 5

1

On conjecture graphiquement que la fonction ln est continue, drivable et strictement croissante sur ]0; +[ ; lim ln(x) = et lim ln(x) = +93

94

13. LA FONCTION LOGARITHME NPRIEN

3. tude de la fonction logarithme nprien 3.1. Proprits algbriques. a et b dsignent deux rels strictement positifs, n un entier naturel et p un entier relatif. 3.1.1. On crit a = eln(a) et b = eln(b) , alors On crit aussi ab = eln(ab) , alors Cest--dire

ab = eln(a) eln(b) = eln(a)+ln(b) eln(ab) = eln(a)+ln(b)

3.1.2. De la proprit prcdente on dduit que ln 1 1 + ln(a) a = ln a a=1 =0

a > 0, b > 0,

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Cest--dire

3.1.3. Il rsulte des deux rsultats prcdents a = ln(a) ln(b) a > 0, b > 0, ln b 3.1.4. Par rcurrence, on dmontre que n N, a > 0,

a > 0,

1 = ln(a) ln a

Et puisque a n =

1 , on obtient nalement an

ln (a n ) = n ln(a)

p Z, a > 0,

2

ln (a p ) = p ln(a)

3.1.5. Comme a =

a , alors ln(a) = 2 ln ln a =

a

a > 0,

1 ln(a) 2

3. TUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NPRIEN

95

3.2. Sens de variation. Soient a et b deux rels strictement positifs. a A pour tout x assez grand. Soit A R, si x > e A , alors (ln tant strictement croissante sur ]0; +[) :ln(x) > ln e A=A3.3.2. Limite en 0. On a :x+ lim ln(x) = + X +1 = + x et lim ( ln(X )) = x0+limAinsi, par composition et du fait que, pout tout x > 0, lnx0 lim ln(x) = 1 = ln(x) x 3.4. On admet la continuit et la drivabilit de la fonction ln. Moyennant cela, on drive, pour x > 0, chacun des membres de lgalit : eln(x) = x On obtient ln (x) eln(x) = 1 Finalement=x x > 0,1 ln (x) = x 9613. LA FONCTION LOGARITHME NPRIEN3.5. Tangentes aux points dabscisses 1 et e. Rappel : (T a ) : y = f (a) (x a) + f (a) donne, pour f drivable en a, une quation de la tangente C f au point dabscisse a. En loccurence, pour tout a > 0, (T a ) : y = lorsque a = 1 lorsque a = eEn particulier :1 (x a) + ln(a) a(T1 ) : y = x 13.6. Approximation afne.1 (Te ) : y = x e Une consquence de la drivabilit de la fonction ln en 1 est : ln(1 + h) lim =1 h0 h ln(1 + h) h.Pour h assez proche de 0, on a :3.7. Tableau de variation et courbe. x ln(x) 0 1 0 + +CHAPITRE 14Fonctions associes - Croissances compares1. Fonction exponentielle de base a, avec a R + 1. Dnition : Soit a un rel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction note expa dnie sur R par : expa (x) = a x = ex ln a 2. Exemples exp2 (x) = 2x = ex ln 2 ; exp0,5 (x) = 0, 5x = ex ln1 24. Thorme Pour tout rel a strictement positif, la fonction exponentielle de base a est drivable sur R. Si a = 0, alors pour tout rel x, exp (x) = a x ln a. a3. Remarques : expa est solution de lquation diffrentielle y = (ln a)y. Si a = 1, expa est la fonction constante gale 1. Si a = e, expa est la fonction exponentielle usuelle .= ex ln 25. Thorme La fonction exponentielle de base a est strictement monotone sur R. Plus prcisment, Si 0 < a < 1, alors la fonction exponentielle de base a est strictement dcroissante sur R. Si a > 1, alors la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur R. Si 0 < a < 1, alors lim a x = + et lim a x = 0x x+6. Limites : Si a > 1, alors lim a x = 0 et lim a x = +x x+7. Exercices : rsolus pages 175 et 177.979814. FONCTIONS ASSOCIES - CROISSANCES COMPARES2. Fonctions racines n-imes 1. Proprit : Si a est un rel positif et n un entier naturel non nul, lquation x n = a admet une unique solution dans [0, +[, cette solution est appele racine n-ime de a et on la note n a. Preuve : Si a = 0, la seule solution de lquation x n = 0 est x = 0. Si a > 0, alors x > 0 et ln x n = n ln x, do : 1 1 x n = a n ln x = ln a ln x = ln a x = e n ln a n 2. Remarque : Si on utilise la dnition de la puissance dun rel strictement positif, alors pour tout a > 0 on peut crire n a = e n ln a = a n . Attention : ces deux dernires notations ne stendent pas 0. 3. Dnition Si n N , on appelle fonction racine n-ime la fonction f dnie sur [0, +[ par f (x) = n x. x R , y R , + + 4. Thorme n N , f : x n 1 1Soient a [0; +[ et n N .y = x n x = y n1x est drivable sur ]0, +[ , et : x R , + f (x) = 1 1 1 xn np5. Gnralisation aux exposants rationnels x R , + p Z , q Z , xq = xqp 1r Q , f : x x r est drivable sur ]0, +[ , et : x R , f (x) = r x r 1 + 6. Primitives usuelles : Soit r Q, r = 1. Une primitive de (x x r ) sur ]0, +[ est la fonction x 1 r +1 x r +1Soit u une fonction drivable et strictement positive sur lintervalle I Une primitive de u u r sur I est la fonction 1 u r +1 r +17. Exercices : rsolus 1 4 page 181 et n 40, 42 et 44 page 192.3. CROISSANCES COMPARES993. Croissances comparesex lim = + x+ x n ln x =0 x+ x n limet etxlim x n ex = 0x0lim x n ln x = 0 +

Documents

10-TS-obligCours