10 -Geoestadística Multivariada

8/13/2019 10 -Geoestadstica Multivariada

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA

Ing. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consu ltor INTERCADE

Junio 2008


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2


Covarianza y variograma cruzados.

Modelos de correlacin multivariada.

El Co-krigeaje. El Co-Krigeaje.

Las componentes espaciales y el krigeaje de componentes.

GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA

El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable


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3


PORQUE UNA GEOESTADISTICA MULTIVARIABLE?

Evidencia las relaciones.

Mejora las estimaciones.

Garantiza la coherencia.




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4


Ejemplos de problemas multivariable

Espesor = Z2

Z1




5/45

5


Correlaciones

Pone en evidencia las relaciones.




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6


Ejemplos de correlaciones




7/45

7


Las Regresiones



Retta di regressione v2/v1 Curva di regressione v2/v1

(con n. di punti per classe)

8


8/45

8


El coeficiente de correlacin



1121

12

= C


9/45

10


10/45

10


El coeficiente de correlacin



11


11/45

11


Las regresiones lineales



1212


12/45

12


El anlisis multivariable.



El CoKrigeaje.

CoKrigeajes especificos.


12

13


13/45

13


Un espacio con mas de una FA



SSZ

i

(x0

)

Zj(x0+h)

( )[ ] ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )hxChxmhxZxmxZE

hxmhxZE

xmxZE

ijjjii

jj

ii

,00000

00

00

=++

+=+

=

14


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14



Si todas las FA son FASt

La covarianza cruzada.

Si i=j

( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( ) SxpjihChxmhxZxmxZE

piSxmxZE

ijjjii

ii

==++

==

;,1,

,1;

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )hChxmhxZxmxZEhCiZiiiiii

=++=

15


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Las Propiedads De La Covarianza Cruzada

No es Par

No es simtrica i , j


El Covarianza y Variograma CruzadosEl Covarianza y Variograma Cruzados

Covarianza incrociata

0

0,5

1

1,5

-12 -8 -4 0 4 8 12

passo h

Cij(h

)

r

( ) ( )( ) ( )hChC

hChC

jiij

ijij


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17


17/45


Variograma y covarianza cruzados


El Covarianza y Variograma CruzadosEl Covarianza y Variograma Cruzados

( ) ( ) ( ) ( )( )hChCCh ijijijij += 210

1818


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El CoKrigeaje.


1919


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GEOESTADISTICA MULTIVARIADA

Modelos de correlacin multivariada



El modelo de correlacin intrnseca

Todos los variogramas dependen de maneraproporcional de un mismo variograma.

Test: ( )( ) ( )

constbb

b

hh

h

jjii

ij

jjii

ij ==

2020


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Modelos de correlacin multivariadaLos modelos de correlacin

Lineal:


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2222


22/45






Los modelos de correlacin

Lineal: descomposicin en factores.

di variogramma:

2323


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El CoKrigeaje.


2424


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Estimacin de una variable a travs las otras

Un estimador lineal por dos variables.

0

2

2

1

10*1 +)(xZ+)(xZ=)(xZ

SS

2525


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Co-krigeaje

La imparcialidad.

[ ] ( ) 01 02

2

1

110

2

2

1

1

010

2

2

1

1010

*

1

=mm=m+m+m=E

)(xZ+)(xZ+)(xZ=)(xZ)(xZ=

SSSS

SS

++

001 021

=

SS

==

2626


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Co-krigeaje

El sistema de CoKrigeaje Ordinario (CK).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

=++

=++

0

1

2

1

21

21

20122

'

'2'12

101112

'

'1'

S

S

SS

SS

Shhh

Shhh

101201

2

21

++= SS

CK )(h)(h

2727


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Co-krigeaje en sintesis

( )

( )

0

1012

011

21

2

h

h

CK = ( )

( )

( )

0

0

2

1

210

xZ

xZ

xZCK =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0

1

0010

0001

1001

012

011

2

1

2221

1211

hh

hhhh

=

2828


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Cundo es necesrio el CK

Si una variable es ms numerosa que la otra.

29


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Cundo es necesrio el CK

Si hay vnculos fsicos.

%100

%100%100

==

i

KO

i

i

CK

i

i

i

(x)Z

(x)Z(x)Z

( ) ( )

)(xZ)(xZ

)(xZ)(xZxZxZ

KOKO

CKCK

0201

020121

>>

30


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Si las variables son independientes?

Si Z1es independiente de Z2,

entonces 12(h)=0EL CKcoincide con el KO.

101

22

21

0 ++== SS

KOCK )(h

( )( )

( )

0

1

0

0010

0001

100

010 01

2

1

2

1

h

h

h

=( ) ( )

101

1 01

1

1

hh=


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32

G O S S CGEOESTADISTICA MULTIVARIADA


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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Ejemplo de variable soma:

El KO no garantiza la coherencia al revs del CK

Por el KO :

Por el CK :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =====

xExExCwxCxTxT KOKO

n

KOKO

n

KOKO

0

,1

0

,1

0

( ) ( ) ( )000 xCxTxE KOKOKO

( ) ( ) ( )000 xCxTxE CKCKCK =

( ) ( ) ( ) .....,1,1

0 ==

+=nn

CK xCxTxT

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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

Ejemplo de variables soma: Ejercicio

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El Co-Krigeaje


El Co-Krigeaje

El CK en caso de correlacin intrnseca.

El sistema se convierte en krigeaje.

Por cualquier variable los pesos del vector solucin sonlos mismos.

Solo varia el parmetro de Lagrange

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0

1

0010

0001

10

01

012

011

2

1

2212

1211

ha

ha

haha

haha

=

( ) ( )101

1 0111

1

111

haha=


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36



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CoKrigeajes especificos



El CK co-localizado

Es un sistema de CK simple, simplificado cuando se conoce

la variable auxiliaria en todos lo puntos a estimarx0 El estimador utiliza solo la informacion auxiliaria localizada

en el punto a estimarZ2(x0)

( )120201

10

*

1 mm)(xZ)(xZ=)(xZS

++

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CoKrigeajes especificosCoKrigeaje co-localizado

La imparcialidad.

( ) ( )( ) ( )

[ ] ( ) ( ) 011

11122

1

1

011202

1

1010

*

1

=m=mmmm+m=E

xZm+mxZ+xZ=)(xZ)(xZ=

SS

S

++

1

1

=+

S

38



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CoKrigeajes especificosCoKrigeaje co-localizado

El sistema.

( ) ( ) ( )

( )

=+

=++

=++

1

00

1

1

1

1012

10111012

'

'11'

S

S

S

h

Shhh

101

2 01

++=S

CK )(h

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Las componentes espaciales

Cuando el variograma de una FASt Z(x)tiene estructurasanidadas:

se puede utilizar el modelo a componentes espaciales:

Cada Yjes una FASt [0,1], independiente de las demas FASt, ydetermina una estrutura espacial.

( ) ( ) ( ) mxYcmxYcxYc=xZj jj

+=+++ ...)( 2211

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( )hxYhxYExYxYExYE jjjjjj =+== 2'2

10'0

( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )==+= j jj hchxZhxZEmxZE 22

2

1

40



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( ) ( ) 000*0 == xYxYE jj





El Krigeaje de las componentes

Solo se conoce el variograma de las componentes

pero se pueden estimar con los datos a disposicin.

La condicion de imparcialidad es:

( ) ( ) xZ=xYj 0*

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CoKrigeajes especificosEl sistema de Krigeaje de las componentes

Es como un sistema de KO donde, en lugar de losvariogramas del vector de trminos conocidos, estan losde la componente a estimar.

( ) ( )

=

=+

0

0

hh j

=

)(hKOC 0j

2 1

42



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GEOESTADISTICA MULTIVARIADACoKrigeajes especificos

La filtracin de las componentes

Normalmente una variable regionalizada es la suma dediferentes factores y puede ser util evidenciar uno de susfactores.

El efecto pepita muchas veces es un rumor blanco que sepuede filtrar utilizando, en el vector de terminosconocidos, la funcin variograma total menos lacomponente que se quiere filtrar.

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Ejemplo de la decomposicin del estao

Variograma anidado: pepita (0) + esferico pequea escala

(1) + esferico grande escala (2).

0)

1) 2)

0+1+2)





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Ejemplos de filtracin por Krigeaje de componentes

Normalmente una variable regionalizada es la suma.

Sin filtracin KO Con filtracin de un error por linea

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El Krigeaje con Deriva Externa

Es un modelo mixto, entre Geoestadstica Multivariada y NoEstacionaria.

La variable regionalizada auxiliaria, z2(x), se considera comouna informacin deterministica.

EL modelo vendr desarrollado en la seccin deGeoestadstica no-estacionaria.

( ) ( ) ( )xYxzba=xZ 121 ++

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