1.0. DIBUJO TÉCNICO.pdf

Lunes 07 de Junio de 2004 - Usuarios activos: 30

Principal > Sala de estudios/Vocabulario Mapa del sitio

VOCABULARIO

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

Abatimiento: Rotacin efectuada sobre una figura plana para situarla sobre un plano de proyeccin o paralela al mismo. Este mecanismo geomtrico permite calcular dimensiones reales a partir de las proyecciones, o viceversa, situar verdaderas magnitudes en proyeccin.

Afinidad: Es la correspondencia biunvoca entre puntos de dos figuras F y F tal que:

a) Todo punto y su transformado se encuentran sobre una recta paralela a una direccin nica llamada "Direccin de Afinidad".b) Toda recta y su transformada se cortan en el "Eje.de Afinidad"

Agudo: Dcese del ngulo menor de 90

Alejamiento: Coordenada "y" que expresa la distancia de un punto al plano vertical de proyeccin.

ngulo: Es la porcin de plano limitado por dos semirrectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto llamado vrtice. En el espacio se define como: la porcin de espacio limitado por dos semiplanos, llamados caras, que parte de una recta comn, llamada arista.

Antiparalelas: Propiedad de dos rectas r y s cuando forman con otras dos m y n ngulos tales, que los que r forma con m y con n, son respectivamente iguales a los que s forma con n y con m.

Antipolo: Es el punto conjugado armnico del polo en una polaridad. Este se encuentra en el pi de la perpendicular trazada desde el polo a la recta polar.

Arco: Porcin de curva.

Arco capaz: Se define como "Arco capaz" de un ngulo a sobre un segmento AB como el lugar geomtrico de los puntos del plano que unidos con A y con B abrazan un ngulo a.

Axonomtrico: Sistema de representacin que utiliza como base de proyeccin un triedro trirrectngulo. Este sistema posee tres variantes: Isomtrico, Dimtrico y Trimtrico. (Vanse las correspondientes definiciones en este Vocabulario).

B

Bisector: Plano que divide en dos mitades iguales el ngulo entre dos planos.

Bisectriz: Es la recta que pasando por el vrtice de un ngulo, divide a este en dos partes iguales. Tambin se define como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de sus lados.

Biunvoca: Propiedad de las transformaciones geomtricas que asocian cada uno de los elementos de la figura primera con uno, y solo uno, de los elementos de la figura segunda, y cada elemento de esta ltima con uno, y solo uno, de los elementos de la primera.

C

Caballera: Perspectiva basada en la proyeccin cilndrica oblicua sobre un triedro trirrectngulo en el que el plano XZ queda frontal al observador.

Cambio de plano:

Es el mecanismo de proyectar sobre un plano diferente a un coordenado, con objeto de obtener una visin ms favorable del elemento representado.

Casquete esfrico:

Parte de la superficie esferica limitada por un plano que no pase por su centro.

Centro radical: Punto que tiene la misma potencia respecto de tres circunferencias. En este punto se cortan los ejes radicales definidos entre cada dos circunferencias de las tres dadas.

Charnela: Eje de rotacin en un Abatimiento.

Cicloide: Es la curva cclica que describe un punto de una circunferencia, llamada ruleta, cuando rueda sin deslizamiento sobre una recta.

Crculo: Es la porcin del plano limitada por una circunferencia.

Circunferencia: Es una lnea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro; a dicha distancia se llama radio. Se trata, por tanto de un lugar geomtrico.

Coaxial: Dcese del elemento geomtrico que tiene el mismo eje que otro.

Concntrico: Dcese del elemento geomtrico que tiene el mismo centro que otro.

Concurrente: Dcese del elemento que se junta o coincide con otro, en un mismo lugar. (los lados de un ngulo, son dos rectas concurrentes, que coinciden o se juntan en el vrtice de dicho ngulo).

Cono: Porcin de superficie cnica comprendida entre el vrtice y un plano cualquiera. (Vase superficie cnica).

a) Recto: el eje es perpendicular al plano de la base.b) Oblicuo: el eje no es perpendicular al plano de la base.c) Truncado: cuando es cortado por un plano, definiendo una segunda base.

Coplanario: Dcese del elemento geomtrico que est contenido en el mismo plano que otro.

Corona circular:

Porcin de plano comprendido entre dos circunferencias concntricas.

Cota: Cifra que indica una dimensin en general. "Cota de un punto": coordenada "z" que expresa la distancia de un punto al plano Horizontal de proyeccin.

Cubo: Vase Hexaedro.

Cuerda: Es un segmento rectilneo, que une dos puntos de una circunferencia, sin pasar por el centro.

D

Dimetro: Es un segmento rectilneo, que une dos puntos de una circunferencia pasando por su centro. Su longitud es igual a dos radios.

Diedro: Conjunto de dos planos no paralelos.

Dimtrico: Caso del Sistema Axonomtrico en el que los ejes forman entre s dos ngulos iguales y uno desigual.

Directriz: Lnea curva por la que pasan las generatrices de una superficie. Generalmente se refiere a la curva base de sta.

Dodecaedro: Poliedro formado por doce caras pentagonales. Cuando stas son pentgonos regulares, el dodecaedro es regular.

E

Eje radical: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Elipse: Curva cnica definida como "Lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante".

Elipsoide: Superficie engendrada por una elipse cuando gira alrededor de uno de sus ejes reales.

Epicicloide: Curva cclica que describe un punto de una circunferencia, llamada ruleta, cuando rueda por fuera de otra circunferencia, llamada directora. Esta curva tambin recibe los nombres de Epitrocoide o Pericicloide.

Epitrocoide: Vase Epicicloide.

Equiltera: Caso de hiprbola cuyas asntotas son perpendiculares entre s.

Equiltero: Dcese de los polgonos cuyos lados son iguales entre s.

Equidistancia: Propiedad de un objeto de encontrarse a igual distancia de otros.

Equivalente: Dcese de la figura plana de igual superficie que otra.

Escala: Relacin entre una dimensin dibujada y su correspondiente dimensin real.

Escaleno: Caso de tringulo de lados desiguales.

Excentricidad: Se denomina excentricidad "e" en una cnica a la relacin c / a, siendo "c" la distancia del centro a un foco y "a" la distancia del centro a un vrtice.Si e < 1 la cnica sera una elipse. (Particularmente sera una circunferencia si e = 0).Si e = 1 la cnica sera una parbola.Si e > 1 la cnica sera una hiprbola.

F

Foco: Punto real o impropio, donde concurren todas las semirectas de una radiacin. Punto fijo que se utiliza para la construccin de las curvas cnicas (elipse, parbola e hiprbola).

G

Generatriz: Lnea que, en su movimiento, engendra una superficie.

Geodsica: Lnea que representa la trayectoria ms corta para ir de un punto a otro a travs de una superficie.

Giro: Transformacin geomtrica equivalente a una rotacin, determinada por un centro, un ngulo y un sentido.

H

Hexaedro: Poliedro formado por seis cuadrilteros. Cuando stos son cuadrados, se trata de un hexaedro regular o cubo.

Hiprbola: Curva cnica definida como "Lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante".

Hipocicloide: Curva cclica que describe un punto de una circunferencia, llamada ruleta, cuando rueda por dentro de otra circunferencia, llamada directora. Esta curva tambin recibe el nombre de Hipotrocoide.

Hipotrocoide: Vase Hipocicloide.

Homologa: Es la correspondencia biunvoca entre puntos de dos figuras F y F tal que:

a) Todo punto y su transformado se encuentran alineados con un punto llamado "Centro o Vrtice".b) Toda recta y su transformada se cortan en el "Eje de Homologa".

Homotecia: Se llama Homotecia (o Semejanza) de centro O y razn k (distinto de cero) a la transformacin que hace corresponder a un punto A otro A, alineado con A y O, tal que: OA/OA = k. Si k>0 se llama homotecia directa. Si k

Horizontal: Condicin de una recta o plano, segn la cual, resulta paralela a la lnea del horizonte. En geometra descriptiva, hace referencia a la condicin de una recta o plano, de ser paralela al plano horizontal de proyeccin o geometral.

Huso esfrico: Porcin de superficie esfrica comprendida entre dos semicrculos mximos.

I

Icosaedro: Poliedro formado por veinte caras triangulares. Cuando stas son tringulos equilteros, el icosaedro es regular.

Intervalo: Se denomina as en el Sistema de Planos Acotados a la distancia existente, en proyeccin, entre dos lineas de nivel de diferencia de cota una unidad.

Involutiva: Caso de transformacin geomtrica en la que, aplicando el mismo proceso de transformacin a la figura segunda, se obtiene de nuevo la figura primera.

Inversin: Es la transformacin geomtrica en la que se cumple que:1) Todo punto A y su homlogo A estn alineados con un centro O.2) El producto de las distancias de los puntos homlogos al centro de inversin es un valor constante denominado potencia: OAOA=K

Isomtrico: Caso del Sistema Axonomtrico en el que los ejes forman entre s tres ngulos iguales de 120.

Issceles: Caso de tringulo, trapecio o trapezoide en el que existen dos lados iguales y simtricamente situados.

J

Jamba: Elemento vertical, de diversos materiales, situado a ambos lados de ventas y puertas, y que sostienen el dintel o arco de ellas.

K

L

Lnea: Lnea resultante de la sucesin de puntos; su concrecin grfica es el segmento.

Lnea de tierra:

Es la recta de interseccin entre los planos de proyeccin Vertical y Horizontal. Su notacin abreviada es "LT"

Lugar geomtrico:

Dcese del conjunto de puntos que cumplen una condicin geomtrica.

M

Mano alzada: Modo de dibujar sin la utilizacin y el apoyo de instrumentos de dibujo, como la regla, la escuadra, el comps, etc.

Mediatriz: Recta perpendicilar a un segmento por su punto medio.

N

Nefroide: Es un caso de Epicicloide en el que la ruleta tiene radio mitad que la circunferencia directora. Su nombre lo debe a la forma arrionada.

Normal: Recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia.

O

Oblicuo: Condicin de una recta o plano, que no es perpendicular, ni paralelo, a otra recta o plano.

Obstuso: Dcese del ngulo mayor de 90.

Octaedro: Poliedro formado por ocho caras triangulares. Cuando stas son tringulos equilteros, el octaedro es regular.

Ortoedro: Prisma recto de base rectangular.

Ortogonal: Que forma 90 (perpendicular). "Circunferencias ortogonales": aquellas que se cortan de forma que los dos radios de ambas que concurren en los puntos de interseccin son recprocamente perpendiculares.

valo: Curva cerrada y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia simtricos respecto de dos ejes perpendiculares entre s.

Ovoide: Caso de valo con un solo eje de simetra.

P

Parbola: Curva cnica definida como "Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta llamada directriz".

Paraboloide hiperblico:

Es una superficie alabeada generada por el movimiento contnuo de una recta (generatriz) que toca dos lneas oblicuas (directrices) y permanece paralela a un plano director.

Paralelo: Condicin de una recta o plano, segn la cual, todos los puntos del mismo, equidistan de otra recta o plano.

Parmetro: En una Parbola, es la distancia existente entre el foco y la directriz.

Pericicloide: Vase Epicicloide.

Perpendicular: Condicin de una recta o plano, segn la cual, forma ngulo recto, respecto a otra recta o plano.

Perspectiva: Tcnica de representar sobre un plano los objetos tridimensionales, tal como aparentan a simple vista.

Pirmide: Cuerpo que tiene por base un polgono cualquiera, de cuyos lados arrancan caras triangulares unidas en un vrtice comn.

a) Regular: la base es un polgono regular y las caras laterales son tringulos issceles.b) Oblicua: las caras laterales son tringulos diferentes.c) Truncada: cuando es cortada por un plano, definiendo una segunda base.

Polar: Es la recta que se corresponde con el Polo en una Polaridad.

Polaridad: Es la correlacin biunvoca e involutiva entre un punto (polo) y una recta (recta polar) respecto de una curva cnica.

Poliedro: Superficie formada por un conjunto de polgonos que encierran un volumen.

Polgono: Porcin de superficie plana limitada por segmentos.

Polo: Es el punto que se corresponde con la recta polar en una Polaridad.

Potencia: Es el valor de la constante en la transformacin de Inversin.

Prisma: Cuerpo terminado por dos bases poligonales, cuyos lados van unidos entre s por caras de aristas paralelas.

a) Recto: las aristas laterales son perpendiculares a los planos de sus bases.b) Oblicuo: las aristas laterales no son perpendiculares a sus bases.c) Truncado: las bases no son paralelas entre s.

Punto: Es el lugar donde se cortan dos rectas.

Punto doble: Cuando en una transformacin geomtrica coincide el punto transformado con el original, se dice que dicho punto es doble.

Punto impropio:

Punto situado en el infinito, por ejemplo, el punto de interseccin de dos rectas paralelas.

Q

Quebrada: Lnea compuesta de segmentos rectos, que tienen distinta direccin. (Vase lnea).

R

Radio: Es el segmento rectilneo, que une el centro de una circunferencia, con un punto de la misma.

Recta: Es una sucesin de puntos en una misma direccin.

Recta lmite: Es el lugar geomtrico de los puntos cuyos homlogos estn en el infinito.

Referencia: Coordenada "x" que expresa la distancia sobre la lnea de tierra (LT) de la posicin de un punto del espacio.

Reglada: Dcese de la superficie generada por el movimiento de una recta.

S

Secante: Cualidad de las lneas o planos, que cortan a otras lneas o planos.

Sector circular:

Porcin de circulo comprendido entre un arco y los dos radios que llegan a sus extremos.

Sector esfrico:

Porcin de esfera limitada por un casquete y la superficie cnica formada por los radios que llegan a su borde.

Segmento: Es la porcin de recta, comprendida entre dos puntos de la misma. Segmento circular, es la porcin de crculo limitado por un arco y la cuerda correspondiente.

Segmento ureo:

Segmento ureo de un segmento AB es la porcin de segmento AE tal que sea media y extrema razn con el dado: AB/AE = AE/EB

Semejanza: Vase Homotecia.

Simetra axial: Transformacin geomtrica en la que todo punto y su transformado se encuentran sobre una recta perpendicular a un Eje, por diferente lado de ste y a la misma distancia.

Simetra central:

Transformacin geomtrica en la que todo punto y su transformado estn alineados con un centro, por diferente lado de ste y a la misma distancia. Esta transformacin equivale a un giro de 180.

Superficie cnica:

Superficie engendrada por una recta que pasa por un punto fijo llamado vrtice y que se mueve siguiendo una curva llamada directriz.

T

Tangente: Condicin de una lnea, plano o cuerpo, segn la cual, tiene un solo punto o recta en comn, con otra lnea, plano o cuerpo.

Tetraedro: Poliedro formado por cuatro caras triangulares. Cuando stas son tringulos equilteros, se trata de un tetraedro regular.

Toro: Cuerpo engendrado por el giro de un crculo alrededor de un eje exterior al mismo y coplanario con l. Un ejemplo prctico sera la rosquilla o donuts.

Traslacin: Transformacin geomtrica equivalente a un desplazamiento rectilneo, determinado por una magnitud , una direccin y un sentido.

Triedro: Conjunto de tres planos no paralelos. El triedro se denomina trirrectngulo cuando los planos forman 90 entre s.

Trimtrico: Caso del Sistema Axonomtrico en el que los ejes forman entre s tres ngulos diferentes.

Trocoide: Curva cclica generada por un punto de una circunferencia llamada ruleta cuando rueda sobre otra circunferencia llamada directora. Si la rodadura es por el exterior de la directora, la curva se denomina Epitrocoide o Epicicloide. Si la rodadura es por el interior, la curva se denomina Hipotrocoide o Hipocicloide.

U

UNE: Anagrama de Una Norma Espaola. El 11 de Diciembre de 1945 el CSIC (Centro Superior de Investigaciones Cientficas), creo el Instituto de Racionalizacin y Normalizacin IRANOR, dependiente del patronato Juan de la Cierva con sede en Madrid. Este organismos comenz a editar las primeras normas espaolas bajo las siglas UNE.

V

Vertical: Condicin de una recta o plano, segn la cual, resulta perpendicular a la lnea del horizonte. En geometra descriptiva, hace referencia a la condicin de una recta o plano, de ser perpendicular al plano horizontal de proyeccin o geometral.

Vrtice: Punto en el que terminan dos o ms semirrectas.o segmentos.

Virola: Cada uno de los anillos cnicos o cilndricos elementales que componen un conducto.

W

X

Y

Z

Copyright 2000-04 Bartolom Lpez Lucas. Todos los derechos reservados.Depsito legal: MU-257-2004.

Cualquier comentario o sugerencia sobre este sitio puede ser enviado al webmaster.www.dibujotecnico.com

Esta pgina fue modificada por ltima vez el 22:39, 10 feb 2008.

Contenido disponible bajo los trminos de la Licencia de documentacin libre de GNU (vase Derechos de autor). Wikipedia es una marca registrada de la organizacin sin nimo de lucro Wikimedia Foundation, Inc.

Geometra plana De Wikipedia, la enciclopedia libre

La geometra plana es una parte de la geometra que considera las figuras cuyos puntos estn todos en un plano. La geometra plana est considerada dentro de la geometra euclideana, pues sta estudia las figuras a partir de dos dimensiones. Estudia todo lo que tiene que ver con figuras en un plano y nada con tres dimensiones. La geometria plana e incluso estudia lo que es el area de dicha figura ya que no puede sacar el perimetr ni el volumen.

Una parte importante de la geometra plana son las construcciones con regla y comps.

Vase tambin

Paralelogramo Crculo Recta Elipse Parbola Hiprbola punto plano

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_plana"

El contenido de esta pgina es un esbozo sobre geometra. Amplindolo (http://es.wikipedia.org/w/index.php?

title=Geometr%C3%ADa_plana&action=edit) ayudars a mejorar Wikipedia.

Puedes ayudarte con las wikipedias en otras lenguas.

Categora: Wikipedia:Esbozo geometra

Pgina 1 de 1Geometra plana - Wikipedia, la enciclopedia libre

11/02/2008http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_plana&printable=yes


Principal > Sala de estudios/Biografas Mapa del sitio

BIOGRAFAS

Si consideras que alguno de las biografas es incompleta o contiene algn error, no dudes en comunicrmelo,para corregirlo, recuerda que esta pgina la hacemos entre todos.

APOLONIO DE PERGA (262 a.C.-190 a.C.) EUCLIDES DE ALEJANDRA (fl. 300 a.C.)

Subir

APOLONIO DE PERGA (262 a.C. - 190 a.C.)

Naci alrededor del 262 a.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turqua). Estudi en Alejandra y luego visit Prgamo en donde han sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejandra.

Astrnomo y gemetra, fue discpulo de Arqumedes y de la escuela de Euclides. Su obra principal es un tratado de 8 libros sobre las curvas cnicas "Secciones Cnicas", tan completo que durante generaciones fue conocido como el gran gemetra. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades bsicas de cnicas que fueron conocidas por Eucldes , Aristteles y otros. Los libros del 5 al 7 son originales; en estos discute y muestra como muchas de las cnicas pueden ser dibujadas desde un punto. El da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuacin cartesiana del desarrollo de la evolucin. Muchos de sus otros libros estn perdidos, el libro nmero 8 de "Secciones Cnicas" est perdido, mientras que los libros del 5 al 7 slo existen en traduccin

Arbica; sin embargo nosotros conocemos algunos de sus otros trabajos a partir de los escritos de otros personajes.

Fue el primero en emplear los trminos ELIPSE e HIPRBOLA, y en demostrar que los tres tipos principales de cnicas pueden producirse en el mismo cono de revolucin. Anteriormente a el solo:se consideraba la interseccin del cono con un plano perpendicular a una generatriz, y la cnica resultante dependa de que el ngulo de esta respecto del eje fuese igual (parbola), menor (elipse) o mayor (hiprbola) de 45.

Defini los principales elementos y propiedades de las curvas, determin tangentes y normales (las lneas ms cortas que se pueden trazar desde un punto a una cnica), y formul gran cantidad de teoremas y demostraciones. Entre sus aportaciones perdidas haba un mtodo rpido para calcular la longitud de la circunferencia a partir del dimetro.

Teorema de Apolonio: La suma de los cuadrados de dos dimetros conjugados en una elipse (la diferencia, en el caso de la hiprbola) es constante e igual, por tanto, a la suma de los cuadrados de los ejes.

El fue tambin un importante fundador de la astronoma matemtica griega, la cual us modelos geomtricos para explicar la teora planetaria.

Falleci alrededor del 190 a.C. en Alejandra, Egipto.

Subir

EUCLIDES DE ALEJANDRA (fl. 300 a.C.)

Muy poco se sabe con certeza de su vida, slo sabemos dos cosas ciertas: que fue contemporneo de Tolomeo Ster (367-283 a.d.C), mayor que Arqumedes (nacido hacia el 287 a.d.C) y que dio clases de geometra en Alejandra donde fund una escuela de matemticas. Se cree que curs estudios en Atenas con discpulos de Platn.

Durante el reinado del faran helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometra existentes, encomend a Euclides escribir una compilacin o refundicin completa. El resultado fue los "Elementos Geomtricos", en trece volmenes, a los que posteriormente se aadieron dos ms, atribuidos a Hipsicles de Alejandra. Sin duda, la gran reputacin de Eucldes se debe a esta famosa obra, conocida simplemente por Los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado

como texto de estudios cerca de 2000 aos, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia, salvo pequeas modificaciones.

Esta obra de Eucldes es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los gemetras de Atenas, como as mismo de los anteriores. Eucldes no hace sino volver a tomar con ms perfeccin los ensayos anteriores; hace una seleccin de las proposiciones fundamentales y las coordina convenientemente desde el punto de vista lgico. La forma que emplea es la deductiva.

Euclides construye su argumentacin basndose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo dems) que Euclides llam postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides, son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma direccin.III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.IV.- Todos los ngulos rectos son iguales.V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ngulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos.

Adems, define los tringulos issceles, rectngulos, etc. y da otras definiciones de elementos que, como algunas de las anteriores, las seguimos usando.

Subir



Trazados Geomtricos

TRAZADOS GEOMTRICOS

1. Trazados geomtricos bsicos1. Conceptos fundamentales2. Lugares geomtricos

2. Proporcionalidad directa1. Teorema de Thales2. Aplicaciones3. Escalas

3. Construccin de polgonos1. Tringulos2. Cuadrilteros3. Polgonos regulares

4. Curvas cnicas1. Elipse2. parbola3. Hiprbola

5. Tangencias y enlaces1. Conceptos bsicos2. Casos3. Enlaces4. Curvas tcnicas

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/indice.htm23/03/2005 20:19:08

Trazados Bsicos

1. Trazados geomtricos bsicos1.1. Conceptos fundamentales

Los elementos bsicos del dibujo tcnico son el punto, la recta y el plano.

El punto no tiene dimensin, podemos considerarlo como una posicin del espacio. Se representa con los smbolos +, x o, que hacen referencia a la interseccin de dos rectas y al centro de una circunferencia, respectivamente. Se identifican con letras maysculas o nmeros. Existe una serie de puntos que cumplen una funcin u ocupan una posicin que los diferencia de los dems puntos. Los vrtices, centros, puntos medios etc., son ejemplos de estos puntos que se conocen como puntos notables.

La lnea se puede considerar como un punto en movimiento continuo. Si el movimiento es siempre en la misma direccin, la lnea es recta, curva si cambia continuamente de direccin y poligonal si cambia de direccin a intervalos. Tiene slo una dimensin, la longitud, que es el espacio recorrido por el punto. Se representan con trazos de diferentes grosores segn su funcin en el dibujo y se nombran con letras minsculas. Las rectas notables son las ms importantes de una figura. El movimiento de una recta en la misma direccin determina un plano.

El plano es ilimitado, si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras planas como los polgonos. Los ngulos son porciones de planos limitados por dos rectas. Las curvas cerradas son intervalos de planos limitados por lneas curvas cerradas. Los planos se nombran con letras maysculas y los intervalos de planos por sus puntos y rectas notables.

1.2. Lugares geomtricos

Un lugar geomtrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condicin que slo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geomtricos.

l La circunferencia la podemos definir como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un funto fijo.

l La mediatriz es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/traz_bas.htm (1 de 4)23/03/2005 20:19:11

Trazados Bsicos

l La bisectriz es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas.

Fig. 1

Fig. 2

El trazado de una circunferencia con el comps est basado en esta definicin, puesto que, uno de los extremos es un punto fijo y el otro se desplaza a la misma distancia de ste recorriendo el lugar geomtrico de los puntos que distan la magnitud del radio, del centro de la circunferencia.

El trazado de la mediatriz de un segmento (Fig. 1) tambin se basa en esta definicin.

Con centro en los extremos del segmento, trazamos dos arcos de circunferencias de radio arbitrario. Las interseccin de los arcos son los puntos


Trazados Bsicos

1 y 2 que determinan la mediatriz.

Con este mismo razonamiento prodramos hallar la bisectriz de un ngulo trazando dos paralelas equidistantes de los lados, puesto que el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta fija una distancia determinada, es una paralela trazada a esa distancia.

En la fig 2, se han unido dos puntos equidistantes de ambas rectas. El vrtice A, que pertenece a los lados, se encuentra a una distancia nula de ambos.

l El arco capaz de un ngulo a respecto a un segmento AB, es el lugar geomtrico de los puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo un ngulo a. (Fig. 4)

Para hallarlo, trazamos la madiatriz del segmento AB. En uno de los extremos dibujamos el ngulo complementario de a, es decir (90 - a). La interseccin del lado del ngulo con la mediatriz determina el centro O del arco capaz. (Fig. 3)

Fig. 3


Trazados Bsicos

Fig. 4

anterior Indice Siguiente


Proporcionalidad directa

2. Proporcionalidad2.1. Proporcionalidad directa

Las magnitudes que varan de forma que su razn permanece constante son directamente proporcionales.

Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales.

a/b =c/d = k

2.2. Teorema de thales

Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de rectas concurrentes son directamente proporcionales, y ricproco. (Fig. 5)

Basndonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales. Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partes iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el nmero de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con la ltima divisin de la recta y trazamos paralelas por las dems divisiones. (Fig. 6)

Fig. 5

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/prop_dir.htm (1 de 6)23/03/2005 20:19:14


Fig. 6

2.3. Aplicaciones

Tercero proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que:

a/b = b/c

Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendo los extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el extremo del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)



Fig. 7

Fig. 8

Cuarto proporcional

Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al segmento d que verifica que:

a/b = c/d

Para hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c. Uniendo los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b una paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)

Medio proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama medio porporcional el segmento c que verifica que:

a x b = c

Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero proporcional, puesto que la expresin anterior tambin se puede escribir como:

a/c = c/b

Para su construcin podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del cateto, cuyos enunciados son los siguientes:



Teorema de la altura.- En un tringulo rectngulo, la altura es media proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.

Teorema del cateto.- En un tringulo rectngulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre ella.

Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b consecutivamente. Por el extremo comn levantamos una perpendicular. Trazamos el arco capaz del ngulo de 90 para el segmento suma (a+b). La interseccin de la perpendicular con el arco capaz es el vrtice del tringulo rectngulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)

Fig. 9

Fig. 10

Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la misma



recta con un extremo comn. Por el extremo no comn del segmento menor levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz del ngulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyeccin es el segmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)

2.4. Escalas

La razn de proporcin entre las medidas de un dibujo y las magnitudes correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se representa por una fraccin cuyo numerador se corresponde con las medidas del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad.

E = Dibujo / Realidad

Escala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de la realidad. Se representa con la fraccin E = 1:1.

Escala de ampliacin es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2

Escala de disminucin es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000.

Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad por la escala, puesto que de la frmula de la escala se deduce que

Dibujo = E x Realidad

Tambin podemos utilizar los escalmetros que existen en el mercado, que son reglas graduadas segn las escalas de uso ms frecuentes. No obstante, podemos contruir cualquier escala grficamente.



Fig. 11

Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando el teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes obtenemos la contraescala para medir las dcimas.



Polgonos

3. Construccin de polgonosLos polgonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos.

Se clasifican en regulares, si sus lados y ngulos son iguales, e irregulares.

Los polgonos cncavos son aquellos que tienen alguno de sus ngulos interiores mayor de 180.

Las diagonales son las rectas que unen dos vrtices no consecutivos.

Fig. 12

3.1. Tringulos

Los Tringulos son polgonos de tres lados. La suma de sus ngulos es igual a 180.

Se clasifican, segn sus ngulos en:

l Equilateros. Si tienen tres lados igualesl Issceles. Si tienen dos lados iguales.l Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/poligon.htm (1 de 13)23/03/2005 20:19:20

Polgonos

Fig. 13

Fig. 14

Segn la magnitud relativa de sus lados en:

l Acutngulos. Si tienen todos sus ngulos agudos.l Rectngulos. Si tienen un ngulo recto.l Obstusngulos. Si tienen un ngulo obstuso.

La notacin del tringulo se realiza con letras maysculas para los vrtices y minsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vrtice con la del lado opuesto. Los ngulos se nombran con las letras griegas correspondientes. (Fig. 14)

Rectas y puntos notables.

Mediatrices


Polgonos

Las mediatrices del tringulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vrtices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 15)

Bisectrices

Las bisectrices del tringulo se cortan en un punto notable del tringulo llamado Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita. (Fig. 16)

Fig. 15

Fig. 16

Medianas

Las medianas son las rectas que unen los vrtices del tringulo con los puntos


Polgonos

medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centro geomtrico del tringulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vrtice y 1/3 del puntop medio del lado opuesto. (Fig. 17)

Alturas

Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vrtices opuestos. La interseccin de las alturas es el Ortocentro. (Fig. 15)

A efectos prcticos, como altura, se consideran las distancias de los vrtices a los lados opuetos. Como generalidad, es la mnima distancia entre un punto y una recta. Si la recta es fija, el vrtice opuesto se encuetra en el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela al lado a una distancia igual a la altura de ese lado.

Fig. 17

Fig. 18


Polgonos

Construccin de tringulos.

A raiz del ltimo comentario, vuelvo a hacer hincapi en la importancia que tiene el concepto de lugar geomtrico para la resolucin de la mayora de los problemas de trazado geomtrico.

En la mayora de los problemas de construccin de tringulos, uno de los datos ser alguno de los lados, el cual nos sevir para fijar dos puntos y la recta que definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a determinar la posicin del tercer vrtice. Ese vrtice se encontr en la interseccin de dos lugares geomtricos cuya condicin podemos deducir de los dems datos que nos den, como se puede observar en la tabla adjunta.

Tipos de datos Datos Lugar geomtrico

Lineales

Distancia entre puntos

Lados Medianas Alturas (vrtice fijo) Circunferencia

Distancia entre recta y punto Alturas (lado fijo) Paralelas

AngulosAdyacentes

Angulos Semingulos(vrtice fijo)

Recta de direccin determinada

Opuestos Angulo opuesto(lado fijo) Arco capaz

Supongamos que queremos construir un tringulo dados los lados a y b, y la altura ha.


Polgonos

Fig. 19

Fig. 20

Fijamos el lado a, obteniendo la posicin de los vrtices B y C. Nos queda pues, determinar la posicin del vrtice A. La distancia de A a C es el lado b, por lo que trazamos el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de C la distancia b (una circunferencia de centro C y r = b).

El otro dato es la altura del vrtice A. Trazamos el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC a una distancia ha). (Fig. 19)

Con el mismo razonamiento hemos construido un tringulo de que conocemos el lado a, el ngulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro soluciones, considerando la doble solucin del arco capaz, de las que se han representado dos. (Fig. 20)


Polgonos

3.2.Cuadrilateros

Los cuadrilteros son los polgonos de cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadriltero en dos tringulos, lo que nos permite construirlos por triangulacin.

Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ngulos opuestos son iguales.

Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si no tienen lados paralelos.

Construccin de cuadrilteros.

Como hemos visto anteriormente, los cuadrilteros pueden construirse por triangulacin, es decir, construyendo los dos tringulos en que quedan divididos por una de sus diagonales.

Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.

Cuadrado conociendo la diagonal.

Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de interseccin de la circunferencia y la mediatriz son los vrtices B y D del cuadrado. (Fig. 21)

El ngulo opuesto a la diagonal es recto y los vrtices B y D equidistan de A y C, razn por la cual trazamos el arco capaz del ngulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma.

Observa cmo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un tringulo rectngulo issceles del que conocemos la base.

Rectngulo conociendo la diagonal y un lado

Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los tringulos son escalenos. (Fig. 22)


Polgonos

Fig. 21

Fig. 22

Polgonos regulares

Mtodo general para la construccin de polgonos conociendo el lado.

Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polgono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de interseccin O.

Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexgono de lado AB.

Trazamos el dimetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis


Polgonos

partes iguales. Cada divisin es el centro de la circunferencia circunscrita de un polgono de lado AB y n nmero de lados. En la Fig. 23 se ha representado el enegono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.

Fig. 23

Fig. 24

Mtodo general para la construccin de polgonos conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.

A partir de un dimetro AB, dibujamos una circunferencia.

Dividimos el dimetro en un nmero n de partes iguales, siendo n el nmero de lados que ha de tener el polgono.

Haciendo centro en los extremos del dimetro, trazamos arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N.


Polgonos

Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vrtices del polgono. (Fig. 24)

Mtodos particulares

Tringulo, hexgono y dodecgono.

En el hexgono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado.

Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los extremos de un dimetro y con el mismo radio de la circunferencia. (Fig. 25)

Si se repite esta operacin en otro dimetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.

Tomando slo tres vertices no consecutivos del hexgono, se obtiene el tringulo equiltero.

Fig. 25


Polgonos

Fig. 26

Cuadrado y octgono.

Dos dimetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia. (Fig. 26)

Pentgono y decgono.

Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un arco de radio ME, que corta en F al dimero PQ. De esta manera obtenemos los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentgono y el decgono respectivamente. (Fig. 27)

Fig. 27


Polgonos

Fig. 28

Heptgono.

La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunstrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del heptgono. (Fig. 28)

Hexgono conociendo el lado.

Construimos el tringulo equiltero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexgono. El vrtice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 29)

Fig. 29


Polgonos

Fig. 30

Pentgono conociendo el lado.

Se sita el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 30)

Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M.

Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la prolongacin de AB determinando el punto F.

La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentgono.

Con las medidas del lado y la diagonal hallada contruimos el pentgono por triangulacin.



Curvas Cnicas

4. Curvas cnicasLas curvas cnicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cnica de revolucin. (Fig. 31)

Fig. 31

Una superficie cnica de revolucin es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.

Dependiendo del ngulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cnica, se pruducen las distintas curvas cnicas. (Fig. 32)

Fig. 32

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/curv_con.htm (1 de 6)23/03/2005 20:19:23

Curvas Cnicas

Si el ngulo es mayor, igual o menor que el semingulo del vrtice de la superficie cnica, se producen, respectivamente, una elipse, una parbola o una hiprbola.

4.1. Elipse

Elementos de la elipse.

Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)

Ejes de simetra. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje mayor AA' es 2a y el del eje menor BB' 2b. El punto de interseccin de los ejes es el centro de simetra.

Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simtricos respecto al eje menor. FF' es igual a 2c.

Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto es igual a 2a.

Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor.

Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a 2a.

Fig. 33


Curvas Cnicas

Fig. 34

La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distncias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor 2a.

Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:

PnF + PnF' = 2a

Para determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor a. La interseccin del arco con el eje mayor son los focos de la elipse. (Fig. 32)

Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:

BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetra, resulta que BF=BF'=a.

Trazado de la elipse.

Mtodo de los puntos.

Este mtodo se basa en la definicin de la elipse.

A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayor AA', en segmentos complementarios cuya suma es 2a.


Curvas Cnicas

A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a

Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto. Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A' del otro, y as, con los dems segmentos. (Fig. 35)

El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.

Fig. 35

Fig. 36

Mtodo de afinidad

Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los semiejes de la elipse. (Fig. 36)

Por los extremos de los dimetros de la circunferencia mayor trazamos


Curvas Cnicas

paralelas al eje menor y por los extremos de los dimetros de la menor, paralelas el eje mayor.

Los puntos de interseccin pertenecen a la elipse.

4.2. Parbola

La parbola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parbola, se cumple que:

PnF = Pnd

La parbola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por tanto, slo tiene un foco y un vrtice real. La circunferencia principal tiene su centro en el infinito y pasa por el vrtice, es pues, la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el vrtice. La circunferencia focal es una recta que coincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vrtice equidista del foco y de la directriz. (Fig. 37)

Fig. 37


Curvas Cnicas

Fig. 38

4.3. Hiprbola

La hiprbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto cualquiera de la hiprbola, se cumple que:

PnF - PnF' = AA' = 2a

La hiprbola tiene dos ejes de simetra, el eje real AA' = 2a y el eje imaginario BB' = 2b. Se cortan en el centro de simetra O. La circunferencia principal tiene su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y F' y r = 2a.

Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y r = AB. (Fig. 38)

La hiprbola y la parbola, al igual que la elipse, se construyen por el mtodo de los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.



Tangencias

5. Tangencias y enlaces5.1. Conceptos bsicos

Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando tienen un nico punto comn.

En una relacin de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple que:

l El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

l La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.

Fig. 39

Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:

l Sus centros estn alineados con el punto de tangencia.l La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es

igual a la distancia entre sus centros.

De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geomtrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la perpendicular a la recta en ese punto.

http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/tangen.htm (1 de 13)23/03/2005 20:19:28

Tangencias

Y que el lugar geomtrico de los centros de las circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto de tangencia.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia, el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos de interseccin de las rectas con la circunferencia.

La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40)

PA x PA' = PB x PB' = ... = PN x PN' = PT

Fig. 40

Fig. 41


Tangencias

Eje Radical es el lugar geomtrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias.

El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos de interseccin de ambas circunferencias.

El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente comn a ambas circunferencias en el punto de tangencia.

Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de las circunferencias exteriores. (Fig. 41)

Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias. Se encuentra en la interseccin de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.

5.2. Casos.

La mayora de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los conceptos de lugares geomtricos, por suma y diferencia de radios, y por potencia.

Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia. La combinacin de estas tres condiciones nos dan 10 casos, que se representan por combinacin de las iniciales P, R, y C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algn dato, como el radio o los puntos de tangencia.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig. 42)

Esto se explica, por que al ser recto el ngulo que forman el radio y la tangente en el punto de tangencia, ste debe encontrarse en el arco capaz del ngulo


Tangencias

recto respecto al segmento OP.

Fig. 42

Fig. 43

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.

Trazamos una circunferencia auxiliar, concntrica con la mayor, de radio igual a la diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremos de OO' y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Los radios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la misma recta, son paralelos. (Fig. 43)

Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienen las tangentes interiores. (Fig. 44)


Tangencias

Fig. 44

Fig. 45

Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una recta.

Si el dato es el radio r' de las circunferencias, los centros distarn r' de la recta, y r + r' r - r' del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los lugares geomtricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)

Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La interseccin del eje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, es decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig. 46)


Tangencias

Fig. 46

Fig. 47

Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en la perpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangente a una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la circunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos el radio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)

Caso PPP.

El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se encuentra en la interseccin de las mediatrices de los segmentos formados por los puntos. (Fig. 48)


Tangencias

Fig. 48

Fig. 49

Caso PPR.

La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres. Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia. Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2. De esta manera tenemos tres puntos de cada solucin. (Fig. 49)


Tangencias

Fig. 50

Fig. 51

Caso PRR.

Si se dibuja el simtrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se resuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.

Caso RRR.

Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de interseccin de las bisectrices de los ngulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)

Caso PPC.

Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados, corte a la circunferencia tambin dada. La recta que une los puntos de


Tangencias

interseccin de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje radical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las soluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todas las circunferencias.

Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia.

Como los puntos de tangencia estn alineados con los centros de las circunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de la circunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 . Evidentemente, los centros de las soluciones tambin se encuentran en la mediatriz de AB. (Fig. 51)

5.3. Enlaces

Enlaces son las uniones armnicas por medio de tangenias entre distintas figuras.

Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos propiedades fundamentales de las tangencias:

l El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

l Los centros de dos circunferencias tangentes estn alineados con el punto de tangencia.

Trazados de enlaces

Enlace de dos rectas.

Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia. Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia igual al radio, obteniendo el centro del arco en su interseccin. Los puntos de enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas tangentes.

Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de tangencia a la recta, y la bisectriz del ngulo que forman, se cortan en el centro del arco. (Fig. 52)


Tangencias

Fig. 52

Fig. 53

Enlace de dos arcos.

Dndonos el radio, las circunferencias concntricas de radios iguales a la suma y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los puntos de enlace estn alineados con los centros. (Fig. 53)

Enlace de arco y recta.

Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferencias concentricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54)


Tangencias

Fig. 54

Fig. 55

5.4. Curvas tcnicas

Construccin del valo conociendo los ejes.

El valo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre s.

Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la recta AC, el punto F. La interseccin de la mediatriz del segmento AF con los ejes del valo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se obtienen por simetra, y los puntos de tangencia por interseccin de las rectas que unen los centros con los arcos. (Fig. 56)


Tangencias

Fig. 56

Fig. 57

Construccin del ovoide del que se conoce el eje menor.

La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de dimetro la magnitud de dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcos del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig. 57)

Espiral de dos centros.

Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de tangencia.

La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del segundo arco. (Fig. 58)


Tangencias

Fig. 58

Fig. 59

Espiral de tres centros.

Prolongamos los lados de un tringulo equiltero cuyos vrtices son los centros de la espiral. Hacemos centro en el primer vrtice con radio igual al lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongacin del primer lado. (Fig. 59)



IR A LA PGINA PRINCIPAL DE GEOMETRIA MTRICA.

AEDITEC.

http://www.galeon.com/aeditec/triang1.htm (1 de 2) [11/02/2008 8:31:51]


IR A LA PGINA PRINCIPAL.

IR A LA PGINA PRINCIPAL DE GEOMETRA PLANA.



AEDITEC.




IR A LA PGINA PRINCIPAL DE GEOMETRA PLANA. PGINA ATRS.



AEDITEC.



Principal > Sala de estudios/Teora Mapa del sitio

TEORA GENERALIDADES SOBRE EL DIBUJO TCNICO

INTRODUCCIN HISTRICA CLASIFICACIN DE LOS TIPOS DE DIBUJOS TCNICOS

GEOMETRA PLANA

POLGONOS REGULARES Consideraciones generales. Construccin de polgonos regulares dada la circunferencia circunscrita. Construccin de polgonos regulares dado el lado del convexo, el lado del estrellado o la distancia entre caras.

GEOMETRA DESCRIPTIVA

SISTEMAS DE REPRESENTACIN

NORMALIZACIN

INTRODUCCIN Definicin y concepto. Objetivos y ventajas. Evolucin histrica, normas DIN e ISO. Normas UNE espaolas. Clasificacin de las normas.

FORMATOS NORMALIZADOS

LNEAS NORMALIZADAS

ESCALAS

REPRESENTACIN NORMALIZADA DE CUERPOS Obtencin de las vistas de un objeto. Eleccin de las vistas de un objeto, y vistas especiales. Cortes, secciones y roturas. Realizacin de un croquis.

ACOTACIN Generalidades, elementos y clasificacin de las cotas.




Principal > Sala de estudios/Teora > Introduccin histrica Mapa del sitio

INTRODUCCIN HISTRICA INTRODUCCIN

Desde sus orgenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino tambin sensaciones, como la alegra de las danzas, o la tensin de las caceras.

A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujo artstico y por otro al dibujo tcnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basndose en la sugerencia y estimulando la imaginacin del espectador, el dibujo tcnico, tiene como fin, la representacin de los objetos lo ms exactamente posible, en forma y dimensiones.

Hoy en da, se est produciendo una confluencia entre los objetivos del dibujo artstico y tcnico. Esto es consecuencia de la utilizacin de los ordenadores en el dibujo tcnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, tambin conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.

Imagen generada con 3DStudio 4 BLL

EL DIBUJO TCNICO EN LA ANTIGEDAD La primera manifestacin del dibujo tcnico, data del ao 2450 antes de Cristo, en un dibujo de construccin que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea, llamada El arquitecto, y que se encuentra en el museo del Louvre de Pars. En dicha escultura, de forma esquemtica, se representan los planos de un edificio.

Del ao 1650 a.C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redact, en un papiro de de 33 por 548 cm., una exposicin de contenido geomtrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmtica, la esteorotoma, la geometra y el clculo de pirmides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al numero pi.

En el ao 600 a.C., encontramos a Tales, filsofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofa griega, y est considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tena conocimientos en todas las ciencias, pero lleg a ser famoso por sus conocimientos de astronoma, despus de predecir el eclipse de sol que ocurri el 28 de mayo del 585 a.C.. Se dice de l que introdujo la geometra en Grecia, ciencia que aprendi en Egipto. Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geomtricas. Tales no dej escritos; el conocimiento que se tiene de l, procede de lo que se cuenta en la metafsica de Aristteles.

Del mismo siglo que Tales, es Pitgoras, filsofo griego, cuyas doctrinas influyeron en Platn. Nacido en la isla de Samos, Pitgoras fue instruido en las enseanzas de los primeros filsofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxmedes. Fund un movimiento con propsitos religiosos, polticos y filosficos, conocido como pitagorismo. A dicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro. Pero quizs su contribucin ms conocida en el campo de la geometra es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitgoras, que establece que "en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

En el ao 300 a.C., encontramos a Euclides, matemtico griego. Su obra principal "Elementos de geometra", es un extenso tratado de matemticas en 13 volmenes sobre materias tales como: geometra plana, magnitudes inconmensurables y geometra del espacio. Probablemente estudio en Atenas con discpulos de Platn. Ense geometra en Alejandra, y all fund una escuela de matemticas.

Arqumedes (287-212 a.C.), notable matemtico e inventor griego, que escribi importantes obras sobre geometra plana y del espacio, aritmtica y mecnica. Naci en Siracusa, Sicilia, y se educ en Alejandra, Egipto. Invent formas de medir el rea de figuras curvas, as como la superficie y el volumen de slidos limitados limitados por superficies curvas. Demostr que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. Tambin elabor un mtodo para calcular una aproximacin del valor de pi (pi), la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un circulo, y estableci que este nmero estaba en 3 10/70 y 3 10/71.

Apolonio de Perga, matemtico griego, llamado el "Gran Gemetra", que vivi durante los ltimos aos del siglo III y principios del siglo II a.C. Naci en Perga, Panfilia (hoy Turqua). Su mayor aportacin a la geometra fue el estudio de las curcas cnicas, que reflej en su Tratado de las cnicas, que en un principio estaba compuesto por ocho libros. EL DIBUJO TCNICO EN LA ERA MODERNA

Es durante el Renacimiento, cuando las representaciones tcnicas, adquieren una verdadera madurez, son el caso de los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones tcnicas.

Uno de los grandes avances, se debe al matemtico francs Gaspard Monge (1746-1818). Naci en Beaune y estudi en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mzires. A los 16 aos fue nombrado profesor de fsica en Lyon, cargo que ejerci hasta 1765. Tres aos ms tarde fue profesor de matemticas y en 1771 profesor de fsica en Mzires. Contribuy a fundar la Escuela Politcnica en 1794, en la que dio clases de geometra descriptiva durante ms de diez aos. Es considerado el inventor de la geometra descriptiva. La geometra descriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy en da existen diferentes sistemas de representacin, que sirven a este fin, como la perspectiva cnica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizs el ms importante es el sistema didrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicacin en el ao 1799.

Finalmente cave mencionar al francs Jean Victor Poncelet (1788-1867). A l se debe a introduccin en la geometra del concepto de infinito, que ya haba sido incluido en matemticas. En la geometra de Poncellet, dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortaran en el infinito. El desarrollo de esta nueva geometra, que l denomin proyectiva, lo plasm en su obra "Trait des propiets projectivas des figures" en 1822.

La ltima gran aportacin al dibujo tcnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sido la normalizacin. Podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseo y fabricacin de ciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricacin de ladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena Revolucin Industrial, cuando se empez a aplicar el concepto de norma, en la representacin de planos y la fabricacin de piezas. Pero fue durante la 1 Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejrcitos, y reparar los armamentos, cuando la normalizacin adquiere su impulso definitivo, con la creacin en Alemania en 1917, del Comit Alemn de Normalizacin.




Principal > Sala de estudios/Teora > Clasificacin de los tipos de dibujos tcnicos Mapa del sitio

CLASIFICACIN DE LOS TIPOS DE DIBUJOS TCNICOS

Veremos en este apartado la clasificacin de los distintos tipos de dibujos tcnicos segn la norma DIN 199. Aclaramos que la utilizacin de una norma extranjera se debe nicamente a la carencia de una norma espaola equivalente. La norma DIN 199 clasifica los dibujos tcnicos atendiendo a los siguientes criterios:

- Objetivo del dibujo - Forma de confeccin del dibujo. - Contenido. - Destino.

Clasificacin de los dibujos segn su objetivo:

- Croquis: Representacin a mano alzada respetando las proporciones de los objetos. - Dibujo: Representacin a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto. - Plano: Representacin de los objetos en relacin con su posicin o la funcin que cumplen. - Grficos, Diagramas y bacos: Representacin grfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc. Mediante lneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numricas, resultados de ensayos, procesos matemticos, fsicos, etc.

Clasificacin de los dibujos segn la forma de confeccin:

- Dibujo a lpiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a lpiz. - Dibujo a tinta: dem, pero ejecutado a tinta. - Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslcido. - Reproduccin: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento. Constituyen los dibujos utilizados en la prctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y archivados cuidadosamente, tomndose adems las medidas de seguridad convenientes.

Clasificacin de los dibujos segn su contenido:

- Dibujo general o de conjunto: Representacin de una mquina, instrumento, etc., en su totalidad. - Dibujo de despiece: Representacin detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no normalizadas que constituyen un conjunto. - Dibujo de grupo: Representacin de dos o ms piezas, formando un subconjunto o unidad de construccin. - Dibujo de taller o complementario: Representacin complementaria de un dibujo, con indicacin de detalles auxiliares para simplificar representaciones repetidas. - Dibujo esquemtico o esquema: Representacin simblica de los elementos de una mquina o instalacin.

Clasificacin de los dibujos segn su destino:

- Dibujo de taller o de fabricacin: Representacin destinada a la fabricacin de una pieza, conteniendo todos los datos necesarios para dicha fabricacin. - Dibujo de mecanizacin: Representacin de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas operaciones del proceso de fabricacin. Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores. - Dibujo de montaje: Representacin que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintos subconjuntos y conjuntos que constituyen una mquina, instrumento, dispositivo, etc. - Dibujo de clases: Representacin de objetos que slo se diferencian en las dimensiones. - Dibujo de ofertas, de pedido, de recepcin: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.

Gracias a Luis Antonio Rodrguez Romero




Principal > Sala de estudios/Teora > Geometra plana/Polgonos regulares I Mapa del sitio

Polgonos regulares II CONSIDERACIONES GENERALES

Un polgono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ngulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polgono, y equidista de los vrtices y lados del mismo. Se denomina ngulo central de un polgono regular el que tiene como vrtice el centro del polgono, y sus lados pasan por dos vrtices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360 entre el nmero de lados del polgono (ver figura).

Se denomina ngulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180, menos el valor del ngulo central correspondiente.

Si unimos todos los vrtices del polgono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polgono obtenido se denomina convexo. Si la unin de los vrtices se realiza, de forma que el polgono cierra despus de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polgonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ngulo, es el caso del falso estrellado del hexgono, compuesto por dos tringulos girados entre s 60.

Para averiguar si un polgono tiene construccin de estrellados, y como unir los vrtices, buscaremos los nmeros enteros, menores que la mitad del nmero de lados del polgono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho nmero de lados. Por ejemplo: para el octgono (8 lados), los nmeros menores que la mitad de sus lados son el 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos

respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octgono tiene un nico estrellado, que se obtendr uniendo los vrtices de 3 en 3 (ver figura).

En un polgono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del centro del polgono al punto medio de cada lado (ver figura).

En un polgono regular convexo, se denomina permetro a la suma de la longitud de todos sus lados.

El rea de un polgono regular convexo, es igual al producto del semipermetro por la apotema.




Principal > Sala de estudios/Teora > Geometra plana/Polgonos regulares II Mapa del sitio

Polgonos regulares I Polgonos regulares III CONSTRUCCIONES DE POLGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

La construccin de polgonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la divisin de dicha circunferencia en un nmero partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtencin de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polgono, y otras ocasiones pasa por la obtencin del ngulo central del polgono correspondiente.

Cuando en una construccin obtenemos el lado del polgono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vrtice se lleve la mitad de los lados en una direccin y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construccin, inherentes al instrumental o al procedimiento. TRINGULO, HEXGONO Y DODECGONO (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

A continuacin, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarn, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por ltimo con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinar el punto C sobre la circunferencia dada.

Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el tringulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexgono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecgono inscrito; para su total construccin solo tendramos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

De los tres polgonos, solo el dodecgono admite la construccin de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexgono admite la construccin de un falso estrellado, formado por dos tringulos girados entre s 60.

NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del comps, igual al radio de la circunferencia dada.

Subir CUADRADO Y OCTGONO (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

A continuacin, trazaremos las bisectrices de los cuatro ngulos de 90, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarn sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octgono inscrito.

El cuadrado no admite estrellados. El octgono s, concretamente el estrellado de 3. El octgono tambin admite la construccin de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre s 45.

NOTA: De esta construccin podemos deducir, la forma de construir un polgono de doble nmero de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ngulos centrales del polgono dado, y estas nos determinarn, sobre la circunferencia circunscrita, los vrtices necesarios para la construccin.

Subir

PENTGONO Y DECGONO (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares entre s, que nos determinarn sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-4 respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinar los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O

Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinar el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentgono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decgono inscrito.

Para la construccin del pentgono y el decgono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.

El pentgono tiene estrellado de 2. El decgono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentgonos estrellados girados entre s 36.

Subir HEPTGONO (construccin aproximada)

Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinar sobre ella puntos A y B.

A continuacin, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinar, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptgono inscrito.

Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptgono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construccin.

El heptgono tiene estrellado de 3 y de 2.

NOTA: Como puede apreciarse en la construccin, el lado del heptgono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del tringulo inscrito.

Subir ENEGONO (construccin aproximada)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.

Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinar, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinar el punto E, sobre la prolongacin de la diagonal 1-C. Por ltimo con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinar el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del enegono inscrito en la circunferencia.

Procediendo como en el caso del heptgono, llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptgono buscado.

El enegono tiene estrellado de 4 y de 2. Tambin presenta un falso estrellado, formado por 3 tringulos girados entre s 40.

Subir DECGONO (construccin exacta)

Comenzaremos trazando dos dimetros perpendiculares, que nos determinarn, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente.

Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arco que nos determinar los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O. A continuacin trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decgono inscrito.

Procediendo con en el caso del heptgono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decgono buscado.

El decgono como se indic anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentgonos estrellados, girados entre s 36.

Subir PENTADECGONO (construccin exacta)

Esta construccin se basa en la obtencin del ngulo de 24, correspondiente al ngulo interior del pentadecgono. Dicho ngulo lo obtendremos por diferencia del ngulo de 60, ngulo interior del hexgono inscrito, y el ngulo de 36, ngulo interior del decgono inscrito.

Comenzaremos con las construcciones necesarias para la obtencin del lado del decgono (las del ejercicio anterior), hasta la obtencin del punto H de la figura.

A continuacin, con centro en C trazaremos un arco de radio C-H, que nos determir sobre la circunferencia el punto 1. de nuevo con centro en C, trazaremos un arco de radio C-O, que nos determinar el punto 2 sobre la circunferencia.

Como puede apreciarse en la figura, el ngulo CO1 corresponde al ngulo interior del decgono, de 36, y el ngulo CO2 corresponde al ngulo interior del hexgono, de 60, luego de su diferencia obtendremos el ngulo 1O2 de 24, ngulo interior del pentadecgono buscado, siendo el segmento 1-2 el lado del polgono. Solo resta llevar, por el procedimiento ya explicado, dicho lado, 15 veces sobre la circunferencia dada.

El pentadecgono presenta estrellado de 7, 6, 4 y 2, as como tres falsos estrellados, compuesto por: tres pentgonos convexos, tres pentgonos estrellados y 5 tringulos, girados entre s, en todos los casos, 24.

Subir PROCEDIMIENTO GENERAL (construccin aproximada)

Este procedimiento se utilizar solo cuando el polgono buscado no tenga una construccin particular, ni pueda obtenerse como mltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisin.

Comenzaremos con el trazado del dimetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polgono que deseamos trazar, en nuestro caso 11.

Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarn en los puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas

del dimetro A-B, obtendremos sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R, .. etc., vrtices del polgono. Igualmentre se procedera con el punto D, uniendolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo as el resto de los vrtices del polgono.

Solo restara unir dichos puntos para obtener el polgono buscado.

Polgonos regulares I Polgonos regulares III




Principal > Sala de estudios/Teora > Geometra plana/Polgonos regulares III Mapa del sitio

Polgonos regulares II CONSTRUCCIONES DE POLGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL

Documents

1.0. DIBUJO TÉCNICO.pdf