10 BK1 Vitki Elementi

BETONSKE KONSTRUKCIJE I

Predmetni nastavnik:mr.sc. V. Herak Marovi, v.pred.

KATEDRA ZA BETONSKE KONSTRUKCIJE I MOSTOVESTRUNI STUDIJ GRAEVINARSTVA

Vitki elementi naprezani centrinom i ekscentrinom tlanom silom; stupovi

mr. sc. V. Herak-Marovi, 2007/08 2

TEORIJE PRORAUNA

- Uglavnom konstrukcije raunamo prema linearnoj teoriji (u izrazima za deformacije su samo linearni lanovi), a uvjeti ravnotee se postavljaju na nedeformiranom sustavu Teorija I reda.

- Ako je granino stanje nosivosti uzrokovano deformiranjem konstrukcije (izvijanje), uvjeti ravnotee se postavljaju na deformiranom sustavu, s tim da se u izrazima za deformacije mogu:

- zadrati samo linearni lanovi - Teorija II reda- zadrati i nelinearni lanovi Teorija III reda.


a a

(Presjek a-a)


ISPITIVANJE MOGUNOSTI OTKAZIVANJA NOSIVOSTI ARMIRANOBETONSKIHELEMENATA PRI INTERAKCIJI MSd i NSd


Podruje primjene teorije II reda

Proraun po teoriji II reda provodi se za vitke konstrukcije ili vitke elemente preteno naprezane uzdunom tlanom silom, kojima nosivost znatno ovisi o njihovoj deformabilnosti.

Tim proraunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju djelovanja u graninom stanju nosivosti nee doi do gubitka statike ravnotee pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline, prije otkazivanja nosivosti pojedinih presjeka naprezanih na ekscentrini tlak (dokaz stabilnosti).

Ponaanje se mora ispitati za svaki smjer u kojem moe doi do otkazivanja nosivosti zbog uinaka prema teoriji II reda.


PODJELA KONSTRUKCIJA I KONSTRUKCIJSKIH ELEMENATA

U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati:

1) Krute elemente i sustave i one koji to nisu

2) Horizontalno pomine i horizontalno nepomine sustave


1) Kruti elementi i konstrukcije

Kruti element je onaj koji ima veliku krutost na savijanje i/ili posmik, te je potpuno ili djelomino upet u temelj ili podrumsko zie (npr. ab. zid).

Treba imati dostatnu krutost za prihvaanje svih horizontalnih djelovanja na konstrukciju i prijenos optereenja do temelja, te osiguravati stabilnost konstrukcije.

Konstrukcija s jednim ili vie krutih elemenata u oba smjera koja ispunjava navedene zahtjeve smatra se krutom konstrukcijom.

Ukruene konstrukcije kod kojih se ukruenje postie krutim nosivim zidovima odnosno krutim jezgrama smatraju se nepominima. Sve horizontalne sile prihvaaju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stupovi) ovisno o vitkosti proraunavaju se prema teoriji I, odnosno II reda, ukljuujui imperfekciju i puzanje betona. esto se pri tom koriste pojednostavljene metode.


2) Horizontalno pomini i horizontalno nepomini sustavi

Konstrukcije za koje se utjecaj horizontalnih pomaka vorova na proraunske momente i sile moe zanemariti smatraju se horizontaolno nepominim sustavima, a u protivnom to su horizontalno pomini sustavi (raunaju se po teoriji II reda).

Horizontalno nepomini sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet:

- za n 3 htot (Fv/Ecm Ic) 0.2 + 0.1n- za n > 4 htot (Fv/Ecm Ic) 0.6

gdje je:

htot = ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruman = broj katovaFv = suma ukupnog vertikalnog optereenja u uporabi (F =1)EcmIc = suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata


VITKOST DULJINA IZVIJANJA

- Bitno je razliita duljina izvijanja tlano optereenih elemenata u horizontalno pominom sustavu u odnosu na elemente u horizontalno nepominom sustavu; (duljina izvijanja je znatno vea kod horizontalno pominih sustava pa je racionalnije projektirati horizontalno pridrane sustave pridrani su sa zidovima ili krutom jezgrom).

- U konstrukcijama visokogradnje za odreivanje duljine izvijanja koriste se Jackson-Morelandovi nomogrami.

Proraunska duljina izvijanja promatranog stupa moe se odrediti kao:

l0 = lcol


Proraun duljine izvijanja stupa prema Jackson - Morelandovim nomogramima:

Za koritenje nomograma treba proraunati koeficijente kA i kB koji opisuju stupanj upetosti na krajevima promatranog elementa.

Koeficijenti koji opisuju stupanj upetosti na krajevima:

- Za upete vorove A i B: kA = 0 i kB = 0

- Za slobodni vrh A (vrh konzole): kA =

- Za ostale sluajeve:


Proraun koeficijenata upetosti kA i kB prema izrazu:

gdje je:Ecm modul elastinosti betonaIcol moment tromosti presjeka stupaIb moment tromosti presjeka grede lcol duljina stupa izmeu vorovalb proraunski raspon grede koeficijent kojim se uzima u obzir oslanjanje suprotnog kraja grede:

= 1.0 suprotni kraj je elastino ili kruto upet = 0.5 suprotni kraj je zglobno oslonjen = 0.0 konzola


Jackson - Morelandovi nomogrami

U nomogramu se za proraunate kA i kB oita vrijednost te se prorauna duljina izvijanja stupa prema izrazu: l0 = lcol


POSTUPCI PRORAUNA TLANIH ELEMENATA

Provjera vitkosti tlanih elemenata:

1) Pojedinani tlani element smatra se vitkim ako je njegova vitkost:

= l0/i > lim = 25 ili > lim =

gdje je:

u = Nsd/(Ac fcd) bezdimenzijska uzduna sila vitkost l0 duljina izvijanja i polumjer tromosti u slabijem smjeru presjeka stupa (i = I/A)

u15


2) Pojedinane tlane elemente u horizontalno nepominim konstrukcijama (ak i kada su razvrstani kao vitki) nije potrebno proraunavati po teoriji II reda ako je zadovoljen uvjet:

= l0/i = l0/(I/A) crit = 25 (2 - e01/e02)gdje su e01 i e02 ekscentrinosti uzdune tlane sile na krajevima elementa, a uzima se da je e02 e01.

Proraunski model za odreivanje ukupne ekscentrinosti:

(a) jednake ekscentrinosti na oba kraja elementa(b) i (c) razliite ekscentrinosti na krajevima elementa(a) (b) (c)


U tom sluaju treba elemente dimenzionirati na unutarnje sile dobivene po teoriji I reda, ali ne manje od:

NRd = NSdMRd = NSd h/20

pri emu su: NRd i MRd proraunske nosivosti na uzdunu silu i moment savijanja.

- Tlane elemente koji ne zadovoljavaju navedeni kriterij treba proraunati po teoriji II reda, pri emu vitkost elementa ne smije prelaziti graninu vrijednost:

< lim = 140- U strunoj praksi se najee koristi pojednostavljeni postupak

prorauna koji vrijedi za elemente konstantnog presjeka i armature.


Pojednostavljeni postupak prorauna

- Po pojednostavljenom postupku prorauna, element se promatra kao pojedinani tlani element (izdvojen iz sustava) i pretpostavlja se pojednostavljeni oblik deformiranja elementa. Dodatna ekscentrinost se proraunava ovisno o vitkosti.

- Nosivost tlanog elementa u sustavu veinom e biti vea od nosivosti elementa izdvojenog iz sustava, pa je proraun ovakvim modelom na strani sigurnosti.


Ukupna ekscentrinost u kritinom presjeku za tlane elemente sa stalnim poprenim presjekom (beton i armatura):

(a) Ekscentrinosti prema teoriji I reda na oba kraja elementa jednake (sl. a):

etot = e0 + ea + e2

gdje je:

e0 ekscentrinost prema teoriji I reda

e0 = Msd1/Nsd

Msd1 proraunski moment savijanja prema teoriji I reda

Nsd proraunska uzduna sila

(a)


ea dodatna ekscentrinost

ea = l0/2l0 = lcol - duljina izvijanja = 1/(100 htot) min - kut nagiba konstrukcije prema vertikali

(u lunoj mjeri)

gdje je:

koeficijent izvijanja (iz nomograma)lcol stvarna duina stupahtot ukupna visina graevine (u metrima)

Za min treba uzeti:min = 1/400 - ako su uinci prema teoriji II reda zanemarivi

(nepomini sustavi)

min = 1/200 - ako uinci prema teoriji II reda nisu zanemarivi (pomini sustavi)


e2 ekscentrinost zbog deformiranja sustava (odgovara teoriji II reda)

e2 = 0.1 K1 l02 (1/r)

gdje je:l0 duljina izvijanja K1 korekcijski faktor

za 15 35 K1 = /20 0.75za > 35 K1 = 1

1/r zakrivljenost

1/r = 2 K2 yd/(0.9d)gdje je:

K2 koeficijent kojim se uzima u obzir smanjenje zakrivljenosti 1/r kod istodobnog poveanja uzdune sile K2 1 (uzmemo li K2 = 1, biti e to na strani sigurnosti)

yd = fyd/Es proraunska deformacija armature pri proraunskoj granici poputanja

d statika visina presjeka u oekivanom smjeru otkazivanja stabilnosti


(b) Ekscentrinosti prema teoriji I reda razliite na oba kraja elementa (sl. b i c):

etot = ee + ea + e2

gdje je:

ee zamjenjujua ekscentrinost, uzima se vea vrijednost od dobivenih prema izrazima:

ee = 0.6 e02 + 0.4 e01 ili ee = 0.4 e02

e01 i e02 ekscentrinosti uzdune sile dobivene prema teoriji I reda na oba kraja elementa, pri emu je e02 e01

ea dodatna ekscentrinost (kao za sluaj (a) str. 20)

e2 ekscentrinost zbog deformiranja sustava (kao za sluaj (a) str. 21)

(b) (c)


* Proraunske rezne sile NsdII i MsdII na deformiranom sustavu, (sile za dimenzioniranje elementa):

NsdII = NsdI

MsdII = NsdI etot + (MI)

MI dodatni moment savijanja zbog puzanja (puzanje betona poveava ekscentrinost) proraunava se prema izrazu:

MI = 0.1 F MIGgdje je:

MIG moment savijanja prema teoriji I redaF = 1.2 za statiki odreene sustave


Proraunske sile NsdII i MsdII za dimenzioniranje elementa dobivene prema pojednostavljenom priblinom postupku prorauna su:

NsdII = NsdI

MsdII = NsdI etot

Nadalje treba dimenzionirati element tj. proraunati potrebnu povrinu armature As1 i As2.


za proraunate Rd i Rd odabire se (mehaniki koeficijent armiranja):(a) Simetrina armatura (koristi se dijagram za =1.0), a povrina armature u

presjeku iznosi:

(b) Nesimetrina armatura (koristi se dijagram za 1.0), a povrina armature u presjeku iznosi:

Vlana armatura:

Tlana armatura:

h b ff

=A=Ayd

cds2s1

h b ff

=Ayd

cds1

1s2s AA =

Na primjer: dimenzioniranje s pomou dijagrama interakcije

cd

RdRd f h b

N=

cd2Rd

Rd f h bM

=

iz dijagrama interakcije uz pretpostavku: - kvalitete elika (B500B), - d1/h=d2/h=0.1; d=0.9h,- koeficijenta =As2/As1

Proraunaju se vrijednosti za: i

Documents

10 BK1 Vitki Elementi