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1
Zahlen
Herzlich willkommen zur Mathe in Tholey
Heute:
Von R nach C und darüber hinaus
2
Der ursprüngliche Hintergrund: Fraktale
3
Fraktal in C
Mit Hilfe von
komplexen Zahlen
4
Oder
5
Fraktal in H
Mit Hilfe von
„Quaternionen“,hyperkomplexenZahlen
6
Nichts geht ohne komplexe Zahlen
Also:
Komplexe Zahlen und weitere Zahlbereiche
7
Der Plan
• Eine Wiederholung: Von N nach R• Was ist eigentlich R? R ist perfekt, fast• Aber: x2+1 = 0 ist in R nicht lösbar• Imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen und ihr
Preis• Was leisten komplexe Zahlen?• Weitere Zahlen: H und O• Noch mehr Zahlen: Robinson und Conway
Ich weiß nicht, wie lange dies dauert.
8
Der Stil
Das Roossche Axiom:
Es gibt keine dummen Fragen, es gibt nur dummeAntworten.
Fragen, Kommentare sind immer erwünscht.
9
Zahlen
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}: Natürliche Zahlen
Subtraktion
Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..}: Ganze Zahlen
10
Zahlen
Z = {.., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..}: Ganze Zahlen
Division
Q = {Brüche}: Rationale Zahlen („Quotienten“)
11
Die rationale Welt des Pythagoras
569– 475 v.Chr.
Mathematiker, Philosoph,Zahlenmystiker.
12
Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind
2 ist kein Bruch;
Zerstörung des Welt
des Pythagoras!
13
2 lebt auf der Zahlengeraden!
14
Neue Zahlen müssen her: Reelle Zahlen, R
Bedarf:
Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind:
2, 3, Primzahl,
e,
Fast alle Za
π, fast alle
hlen sind ke
L
in
ogarithm
e Brüc
en.
he.
15
R aus Q, wie geht das?
Man muss die Löcher auf derZahlengeraden stopfen:„Vervollständigung“
Methoden: Cauchy-Folgen,Intervallschachtelungen,Dedekind-Schnitte.
16
Welche Eigenschaften bestimmen R?
• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K)
• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V)
• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)
17
K: Normales Rechnen, Regeln der Addition (G,+)
• a + b = b + a• (a + b) + c = a + (b + c)• a + 0 = a, 0 ist neutral• a + x = 0 eindeutig lösbar (x = -a)
Statt a + (-b) schreibt man a – b.
18
K: Normales Rechnen, Regeln der Multiplikation (G, ·)
• a · b = b · a• (a · b) · c = a · (b · c)• a · 1 = a, 1 ist neutral• a · x = 1 ist eindeutig lösbar
(a ≠0, x = a-1).
Statt a · (b)-1 schreibt man a /b.
19
K: Normales Rechnen, Regeln des Ausmultiplizierens (D)
• a ·(b + c) = a ·b + a ·c
20
Welche Eigenschaften bestimmen R?
• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok
• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V)
• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)
21
V: Die Zahlengerade wird erfasst
• Alle Punkte der Zahlengeraden sind Zahlen, es gibt keine Löcher.
• Technisch anspruchsvoll.• Es geht nicht ohne Grenzwerte.
22
Welche Eigenschaften bestimmen R?
• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok
• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok
• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A)
23
A: Die Zahlengerade ist angeordnet
• (A1): Für jede Zahl x gilt: Entweder x = 0 oder x >0 oder -x > 0.
• (A2) Aus a > 0 und b > 0 folgt:a + b > 0
• (A3) Aus a > 0 und b > 0 folgt:a ∙ b > 0
24
Welche Eigenschaften bestimmen R?
• In R kann man normal rechnen:R ist ein Körper (K): Ok
• Alle Zahlen der Zahlengeraden kommen vor, keine Löcher: R ist vollständig (V): Ok
• Man weiß, was links und rechts (des Nullpunkts) bedeuten: R ist angeordnet (A): Ok
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R ist einmalig
• Es gibt nur ein R:
• Jede Struktur, die K, V, A erfüllt, ist gleich R.
• Aber: R hat kleine Mängel:
26
Ein Mangel
Einfachste Gleichungen sind nichtlösbar:
• x2 – 1 = 0: Zwei Lösungen
• x2 + 1 = 0: Keine Lösung oder sind wir zu dumm?
27
Satz: x2 + 1 = 0 ist in R nicht lösbar.
Beweis:
x = 0 ist keine Lösung;
Für x≠0 gilt: x2 > 01 = 12 > 0Es folgt (A2): x2 + 1 > 0
In R gibt es keine √-1
28
Die hemdsärmelige Lösung:
2
Setze i = -1 und rechne normal!
Also auch: i = -1
Aber: Wo lebt i?
Sicher nicht auf der Zahlengeraden.
29
Schöne neue Welt:
Jede quadratische Gleichung istlösbar.
Ein Beispiel:
30
Ein Beispiel2
2
2
2
x 4x 13 0
(x 4x 4) 9 0
(x 2) 9
(x 2) 9 ( 1)
x 2 3i
x 2 3i,
C ist geboren
31
Ein kühner Täter: Cardano
1501 – 1576
Mathematiker, Arzt
Klaute Tartaglia die berühmte Formel
Rechnete mit Wurzeln aus negativen Zahlen
32
Auch er kühn: Bombelli
1526 – 1572
Lehrte als erster formalkorrektes Rechnen mit komplexen Zahlen
33
Ein Skeptiker: Descartes
1596 – 1650
Der große Philosophund Mathematiker.
Rechnete richtig mitkomplexen Zahlen, gabzu, dass man noch keine Vorstellung vondiesen Objekten habe.
34
Ganz skeptisch: Newton
1643 – 1727
Einer der Größten.
Deutete das Auftretenkomplexer Lösungen als Zeichen für Unlös-barkeit eines Problems
35
Genial: Euler
1707 - 1783
Größter Mathematiker seiner Zeit
Rechnet unbefangen, intuitiv richtig, souverän in C.
36
Eine von Eulers Großtaten
2 3 4 5 6 7 8x
2 4 6
3 5 7
Beweisidee: Was er wusste:
x x x x x x x xe 1
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
x x xcos(x) 1 ...
2! 4! 6!
x x xsin(x) x ...
3! 5! 7!
ixe = cos(x) + i sin(x)
37
Der Trick: Ersetze x durch ix
2 3 4 5 6 7 8ix
2 3 4 5 6 7 8ix
2 4 6 8 3ix
2 3 2 4 5Beachte : i
ix (ix) (ix) (ix) (ix) (ix) (ix) (ix)e 1
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
x x x x x x x xe 1 i i i i ..
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
x x x x x xe 1 i (
2! 4! 6! 8! 1! 3!
i 1, i i i, i 1, i i, ...
5 7
ix
x x..)
5! 7!
e cos(x) i sin(x)
38
Eulers berühmteste Formel
ix
i
i
Beweis :
Setze x= in e cos(x) i sin(x) :
e cos( ) i sin( )
e 1 i 0.
i e 1 0
39
Offen: Wo liegt C?
Wo lebt i? Sicher nicht auf der Zahlengeraden.
Wo leben die komplexen Zahlen?
Die Antwort von Gauss
40
Gauss
1777 – 1855
Der größte Mathematiker
41
Multiplikation mit -1
(-1)·1 = -1:Drehung um 180°
(-1)·1=i2 ·1 =i(i ·1)
Zweifache Multiplikation mit i
42
Multiplikation mit i
Multiplikation mit i:Drehung um 90°
1·i = i, also ist i die Einheit auf der y-Achse, der imaginären Achse
43
Die Zahl z = 3 + 2i
44
Die Gausssche Zahlenebene
C {z | z a b i, a,b R}
a heißt Realteil von z,
b heißt Imaginärteil von z.
45
Rechnen in C
Addition, Subtraktion, Multiplikation:Ohne Probleme.
Geometrisch interpretierbar
Beispiel: Addition
46
Geometrische Addition
47
Division in C
2
2
1 2i (1 2i) (3 i)
3 i (3 i) (3 i)
3 i 6i 2i
9 i1 1
(5 5i) (1 i)10 2
48
Eigenschaften von C
C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen.
C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher.
x2+1 = 0 ist in C lösbar.
C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt.
C ist dadurch einzigartig.
49
Beispiel:Polynome (normiert)
P1(x) = x + 3 = x1 + 3
P2(x) = x2 + 4x + 13
P3(x) = x3 + 4 x2 - 12x + 18
P4(x) = x4 - 4 x2 + 7x + 42
50
Formeln für Nullstellen:
Grad N:
N = 1: x1 + p = 0N = 2: x2 + px + q = 0N = 3: x3 + px2 + qx +r = 0N = 4: x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0
51
N = 2: x2 + px + q = 0
2
1,2
Lösungen :
p px q
2 2
52
(Zu 2.4)
Die Lösungen einer Gleichung dritten Grades
solve(x^3+p*x^2+q*x+r=0,x);
16
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
6
13q
19p2
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
13p ,
112
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
3
13q
19p2
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
13p
12I 3
16
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
6
13q
19p2
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
,
112
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
3
13q
19p2
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
13p
12I 3
16
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
6
13q
19p2
( ) 36 q p 108 r 8 p3 12 12 q3 3 q2 p2 54 q p r 81 r2 12 r p3( )/1 3
53
N = 4:
x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0
Formel bekannt (nach 1700), sehr groß!
N = 5?
54
Nils Abel
1802 – 1829,Norweger, lebte ein kurzes Leben in großer Armut,Mathematiker, genial.
1824: Für N=5 kann eskeine Formel geben
55
Evariste Galois
1811 – 1832
Ein kurzes, schwieriges Leben.
Genial: Seine Galois- Theorie
Man zeigt damit:Keine Formel für n≥5.
56
Aber: Fundamentalsatz der Algebra (FS)
Satz: (Gauss, Euler, Argand, …)
Ein Polynom n-ter Ordnung besitzt N Nullstellen in C .
Fürs Leben: Es gibt Dinge, die man niebekommen kann.
57
Trost für Praktiker
Näherungslösungen für Nullstellen:
Newton-Verfahren,Fixpunktmethoden, klappen auch bei komplexen Funktionen,
die „Regula Falsi“ klappt nicht!
58
Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1
3
3
z 1 0
z = 1.
Drei Lösungen:
z = 1
-1+i 3z =
2
-1-i 3z =
2
59
Als Appetizer:
Ein Fraktal, bei demdritte Wurzeln,und das Newtonverfahrenwichtig sind.
60
Für Bildungshungrige: Anwendungen von C• Mathematik:
– Funktionentheorie– Analytische Zahlentheorie (ζ-Funktion)
• Physik:– Relativitätstheorie (Minkowski-Raum)– Quantentheorie (Schrödinger-Gl.)– Strömungsmechanik
• Technik:– Wechselstrom (man schreibt j statt i)– MP3
61
Weitere Zahlen?
• Zahlen auf der Geraden: R• Zahlen in der Ebene: C• Zahlen im Raum?
Dreidimensionale Zahlen?• Was erwarten wir von Zahlen?
62
Erwartungen an Zahlen:
Die Grundrechnungsarten müssenklappen.
Es darf keine Löcher geben. (Vollständigkeit)
Zahlen haben eine Größe (Länge, Betrag)
Bremse: Division (vollst. Divisionsalgebren, sehr modern)
63
Heinz Hopf
1894 – 1971
Für mich einer derganz Großen.
Sein Ergebnis: Richtige Zahlen habendie Dimension 1, 2, 4oder 8.Also: Keine Zahlen im
Raum
64
William Rowan Hamilton
1805 – 1865, Ire
Mathematiker, Physiker
Arrogant, starrsinnig, ließ nur Gauß und Grassmann gelten
1843: Quaternionen, 4-dimensionale Zahlen
65
Quaternionen
u=-3 + 4i – 6j + 3k
v= 2 + 3i + 8j - 8k
u+v= -1 + 7i + 2j - 5k
Übliches Rechnen
i j ki -1 k -jj -k -1 ik j -i -1
Multiplikation
66
Quaternionen: H in der Math.:
H steht für „hyperkomplexe Systeme“
In H gilt nicht: ab = ba (Kommutativgesetz)
H ist eindeutig bestimmt
Fundamentalsatz der Algebra in H
Viele Funktionen möglich in H, z.B ez
67
Anwendungen
Dirac-Gleichung (alternativ: Paulimatrizen)
Beschreibung von Drehungen imRaum mittels H
Computergrafik (Spiele, Fraktale, Quat 3D)
Hamilton hat die Bedeutung von Htotal überschätzt (Prüfungsfach in Dublin!)
68
Cayley
1821 – 1895
Matrizenalgebra
Fand 1845 die Oktaven, 8-dim. Zahlen
(1843 schon von Graves beschrieben)
69
Oktaven: 8-dim. Zahlen (O)
Die Regeln
ab = ba (Kommutativgesetz)(ab)c = a(bc) (Assoziativgesetz)
gelten nicht.
O ist eindeutig bestimmt.
Keine wichtigen Anwendungen, just for fun!
70
Zahlen nach Dimension und ihr Preis:• 1-dimenional: Reelle Zahlen• 2-dimensional: Komplexe Zahlen,
Verlust der Anordnung• 4-dimensional: Quaternionen,
Verlust von ab = ba• 8-dimensional: Oktionen,
Verlust von (ab)c = a(bc)
Mehr gibt es nicht in dieser Art, wenn man dividieren will.
71
Ist dies wirklich alles?
• Natürlich nicht.
• Gegenmodelle:– Non-Standard-Analysis
• Schmieden, Laugwitz, Robinson– Spieltheoretische Modelle
• Conway-Spiele– p-adische Zahlen (Hensel)
• Aber: Man zahlt immer einen Preis!
72
Abraham Robinson
1918 – 1974Deutsch-jüdischer Mathematiker
Emigration 1933
Wichtige Beiträge zurangewandten Math.
73
Non-standard Analysis
Robinson 1961 nach Vorarbeitenvon Schmieden,Laugwitz
250 Jahre nachLeibniz
„Infinitesimale“
Technisch schwierig (Ultrafilter, spezielle Maße)
74
Conway
Geb. 1937 in Liverpool
Höchst kreativ:
Geometrie,Gruppentheorie
75
Conway: Zahlen und Spiele
Zwei Ideen (1976):
Neue Dedekindschnitte
Ordnung: Durch Spiele
Vorteile:Infinitesimale, geht schnell, aber:
Verdammt anspruchsvoll,vor allem technisch.
76
Wenn Sie mehr wissen wollen
www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen.
Zur Geschichte der Mathematik:
The MacTutor History of Mathematics archive
77
Literaturtipps:
• Ebbinghaus et al.: ZahlenSpringer 2000 39,95 €
• Conway/Guy: ZahlenzauberBirkhäuser 1997 vergriffen
• Berlekamp, Conway: Gewinnen..Vieweg 1985 vergriffen
78
Fragen? Ich bitte darum.
79
Wie geht’s weiter?
Fraktale: Der zweite Teil, Apfelmännchen und Co. Mit vielen Bildern, einfacher als heute.
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Was ist das?
Mathe in Tholey wird weiter gehen, wenn Sie dies wünschen!
80
Zwei kleine Bitten:
• Teilen Sie uns mit, wie Sie unsere Veranstaltungen erleben. Schicken Sie Frau Backes-Burr oder mir eine kleine Bewertung.
• Schicken Sie uns Verbesserungsvorschläge.
81
Mathe ist einfach prima
Vielen Dank!