Embed Size (px)
Citation preview
Clase 05.doc 1
1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia 1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia1
1.1. Planteo del Problema _____________________________________________________________ 2 1.2. Ecuación Diofantina______________________________________________________________ 7
1.2.1. Algoritmo de Euclides ___________________________________________________________________7 1.2.2. Solución ______________________________________________________________________________9 1.2.3. Matriz de Sylvester. ____________________________________________________________________10
1.3. Particularizaciones del Método ___________________________________________________ 11 1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros ____________________________________________________________11 1.1.1. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia___________________________13 1.1.2. Mejor Rechazo a Perturbaciones __________________________________________________________15
1.4. Sensibilidad a Errores de Modelo__________________________________________________ 24 1.4.1. Márgenes de Estabilidad ________________________________________________________________24 1.1.3. Otra Forma de Ver el Problema ___________________________________________________________25 1.1.4. Desempeño___________________________________________________________________________27
1.5. Procedimiento de Diseño _________________________________________________________ 27 1.5.1. Cálculo de la Ley de Control _____________________________________________________________30
1.6. Parametrización de Youla-Kucera _________________________________________________ 34 1.6.1. Aspectos Prácticos _____________________________________________________________________36
Clase 05.doc 2
1.1. Planteo del Problema Proceso
( ) ( )k kA q y B q u= [1.1]
grado de B menor que grado de A. A es mónico. Es un sistema continuo, muestreado, con bloqueador de
orden cero, actuador, filtro antialiasing. Las perturbaciones son impulsos espaciados que se pueden
estudiar como perturbaciones en el valor inicial. Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga
acción integral. Ley de control lineal
( ) ( ) ( )k k kR q u T q r S q y= − [1.2]
R es mónico. ur
( )S z
( )( )
B zA z( )
1R z( )T z
y
tiene una realimentación y un control en adelanto
Clase 05.doc 3
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ff
fb
T zH z R z
S zH z R z
=
= [1.3]
grado de S menor que grado de R. Para el cálculo se reemplaza el controlador en el modelo de
la planta
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k kA q R q B q S q y B q T q r+ = [1.4]
el denominador es
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lc mA A q R q B q S q A q= + = [1.5]
resultando una ecuación Diofantina Siempre tiene solución si A y B no tienen raíces comunes. El denominador en lazo cerrado se puede factorear
( ) ( )lc c oA A q A q= [1.6]
con
( ) ( )( ) ( )
det
detc
o
A z zI L
A z zI KC
= −Φ + Γ
= −Φ + [1.7]
es la separación del control y el observador Cálculo de T
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )c clc c o
B z T z B z T zY z R z R z
A z A z A z= = [1.8]
Clase 05.doc 4
los ceros se mantienen excepto que se cancelen con lcA
Se elige T para cancelar el observador
( ) ( )o oT z t A z= [1.9]
donde ot se elige para tener ganancia unitaria es decir
( ) ( )( ) ( )o
cc
t B zY z R z
A z= [1.10]
( )( )11
co
At
B= [1.11]
Clase 05.doc 5
Ejemplo 1.1. Doble Integrador
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
12
A z z
TB z z
= −
= + [1.12]
ecuación diofantina
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 1 12 lc
Tz z R z z S z A z− + + + = [1.13]
se busca el control más simple. El más simple de todos es ( ) 1R z = y ( ) 0S z s= que es un
control proporcional. en este caso resulta
( ) ( )2
2 02 1 12 lc
s Tz z z A z− + + + = [1.14]
no tiene solución general para un polinomio ( )lcA z de segundo orden
Con uno de primer orden ( ) 1R z z r= + y ( ) 0 1S z s z s= +
( ) ( ) ( )( ) ( )2
21 0 12 1 1
2 lcTz z z r z s z s A z− + + + + + = [1.15]
( ) ( )2 2 2
3 21 0 1 0 1 1 12 1 2
2 2 2 lcT T Tz r s z r s s z r s A z
+ + − + − + + + + =
[1.16]
Clase 05.doc 6
es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinomio ( )lcA z de tercer orden. Se elige
( ) 3 21 2 3lcA z z p z p z p= + + + [1.17]
resulta
1 2 31
1 2 30 2
1 2 31 2
34
5 32
3 32
p p pr
p p psT
p p psT
+ + −=
+ + −=
+ − −=
[1.18]
Se elige la raíz real como raíz del observador Generalmente resultan controladores de orden elevado. Se puede obtener un regulador con un integrador en forma
explícita haciendo
( ) ( )( )( )
1
20 1 2
1R z z r z
S z s z s z s
= + −
= + + [1.19]
Clase 05.doc 7
1.2. Ecuación Diofantina Ecuación polinomial
AX BY C+ = [1.20]
Ejemplo 1.2. Ecuación 3 2 5x y+ = [1.21]
si las variables son reales, tiene infinitas soluciones. Es una recta.
Si son enteras, una solución es [ ] [ ], 1,1x y = .
Las otras soluciones serán
0
0
23
x x ny y n= += −
[1.22]
algunas soluciones : 5 3 1 1 3 5 7: 10 7 4 1 2 5 8
xy
− − −− − −
[1.23]
Ejemplo 1.3. Ecuación sin solución 4 6 1x y+ = [1.24]
Las ecuaciones planteadas en el controlador son parecidas a estas.
1.2.1. Algoritmo de Euclides Encuentra el mayor divisor común G de dos polinomios A y
B. Es un algoritmo recursivo
Clase 05.doc 8
Si un polinomio es cero, G es directamente el otro polinomio
Se supone que el grado de A es mayor o igual al de B. Se inicia el algoritmo con 0A A= y 0B B=
Se itera haciendo
1
1 modn n
n n n
A BB A B
+
+
==
[1.25]
hasta que 1 0nB + = en este caso nG B=
Además se cumple que AX BY G+ = [1.26]
Teorema 1. Existencia de solución de una ecuación diofantina Sean A, B y C polinomios de coeficientes reales. la ecuación AX BY C+ = tiene solución si el mayor factor
común de A y B divide a C. Si existe una solución [ ]0 0,X Y entonces existen otras
soluciones [ ]0 0,X X QB Y Y QA= + = − con Q un polinomio arbitrario.
Surge del algoritmo anterior. Si A y B no tienen factores comunes, entonces 1G = .
La ecuación [1.26] multiplicada por C queda ACX BCY CG C+ = = [1.27]
Clase 05.doc 9
1.2.2. Solución Se considera la ecuación
AX BY G+ = [1.28]
y 0AU BV+ = [1.29]
objetivo: calcular X, Y, U y V. Se escribe
0X Y A GU V B
=
[1.30]
1 00 1 0
X Y A G X YU V B U V
=
[1.31]
---------------falta pag 173 y sgte ------------ Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen
que ser menores o iguales al de R . Normalmente se considera
( ) ( ) ( )grado R grado T grado S= = [1.32]
Normalmente resulta
( ) ( ) ( ) ( ) 1ogrado R grado T grado S grado A n= = = = − [1.33]
y
( )cgrado A n= [1.34]
Si se quiere acción integral se aumenta en uno el grado del regulador
Clase 05.doc 10
1.2.3. Matriz de Sylvester. la ecuación diofantina se puede resolver matricialmente
planteando un sistema de ecuaciones.
0 0 0
1 0 1 0 10
2 1 0 2 1 0
11 2 0 1 2 0
01 1 1 1
2 21
0 0 0 0 0 00 0 0 0
0 0
0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 0
nn n n n n n
n n n n
n nn
n n
a b ca a b b c
xa a a b b b c
xa a a a b b b b
ya a a b b b
a a b by
a b
−− − − −
− −
−
=
2
1
2
2 1
n
n
n
n
ccc
c
+
+
−
[1.35]
la matriz de la izquierda es invertible si los polinomios A y B no tienen factores comunes.
Clase 05.doc 11
1.3. Particularizaciones del Método
1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros Se pueden cancelar polos y ceros suficientemente alejados
del uno. Sean los polinomios
A A AB B B
+ −
+ −
=
= [1.36]
donde A+ y B+son los factores a cancelar, son mónicos y estables.
el controlador resultante será
R B RS A ST A T
+
+
+
=
=
=
[1.37]
el polinomio característico en lazo cerrado será
( )lc lcA AR BS A B A R B S A B A+ + − − + += + = + = [1.38]
los polinomios A+ y B+son factores del polinomio en lazo cerrado
Haciendo la factorización lc c oA A A= [1.39]
se toma
Clase 05.doc 12
c c
o o
A B A
A A A
+
+
=
= [1.40]
cancelando se obtiene
lc c oA A R B S A A− −= + = [1.41]
El mínimo regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el polinomio que cumple ( ) ( )grado S grado A−<
La ley de control se escribe
B Ru A Tr A Sy+ + += − [1.42]
o sea
A T Su r yB R R
+
+
= −
[1.43]
se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte como si no existieran.
La relación referencia-salida es
0 0 0
0c lc c c
y BT t B B A t Br A A A A
+ − −
= = = [1.44]
se deben cancelar solo los modos estables. Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros.
Clase 05.doc 13
1.1.1. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia
Se intentará hacer algo similar a variables de estado Sea la respuesta deseada
mm m
m
By H r rA
= = [1.45]
para tener un seguimiento perfecto, B− tiene que ser factor de mB ya que no se pueden cancelar esos ceros.
Por lo tanto
m mB B B−= [1.46]
Introduciendo
0
m
m
m c
R A B R
S A A S
T B A A A
+
+
+
=
=
=
[1.47]
La ley de control resulta
0m c
m
A B A A Su r yB A R R
+
+
= −
[1.48]
Además se cumple la ecuación
0 cA A A R B S− −= + [1.49]
y
Clase 05.doc 14
( )0 mm c m m m m
m m m m m m
B A R B SB A A B A B B S B A B SA R A R A A R A B A R
− − − − −
−
+= = + = +
[1.50]
con lo que la ley de control se rescribe
( )mm
m
B A A Su r y yA B B R
+
+= + − [1.51]
tiene dos componentes, una en adelanto con función de transferencia
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
m mff
m m
B z A z B z A zH z
A z B z A z B z+= = [1.52]
y una realimentación proporcional al error entre la salida del modelo y la salida real, con función de transferencia
( ) ( ) ( )( ) ( )fb
A z S zH z
B z R z
+
+= [1.53]
ur
1−
( )( )
B zA z
( )( )
S zR z
y
( )( )
A zB z
( )( )
m
m
B zA z
my
ffu
fbu
Clase 05.doc 15
1.1.2. Mejor Rechazo a Perturbaciones Ahora hay dos perturbaciones: v a la entrada e ruido de medición (salida) Se diseña un regulador quedando como la figura
ur( )( )
B zA z
( )( )
( )( )
T z S zu r y
R z R z= −
y
v
x
e
El sistema queda
( )Ax B u vy x e= +
= + [1.54]
resolviendo BT BR BSx r v e
AR BS AR BS AR BSBT BR ARy r v e
AR BS AR BS AR BSAT BS ASu r v e
AR BS AR BS AR BS
= + −+ + +
= + ++ + +
= + −+ + +
[1.55]
Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en 1. Si v es periódica, de período nT , B o R debe haber n raíces
en 1 tal que
Clase 05.doc 16
( )1 0nk n k kv v q v+ − = − = [1.56]
Si v es una senoide de frecuencia 0ω , B o R debe tener una dinámica tal que haga
( )0 1 22cos 0k k ky T y yω − −− + = [1.57]
El ruido de medición tiene, generalmente, alta frecuencia La frecuencia de Nyquist es la máxima frecuencia de
interés y corresponde a 1z = − . Una forma de eliminar esta frecuencia es hacer que S tenga un término 1z +
R es para perturbaciones a la entrada S es para perturbaciones a la salida.
Clase 05.doc 17
Ejemplo 1.4. Motor con Cancelación de Ceros el motor es
( ) ( )( )( )1
K z bH z
z z a−
=− −
[1.58]
con
( )
1
11
1
T
T
T
T
K e Ta e
T eb
e T
−
−
−
−
= − +
=
−= −
− +
[1.59]
el cero es real negativo el modelo a seguir es
( ) ( )( )
( )1 22
1 2
1mm
m
B q q p pH q
A q q p q p+ +
= =+ +
[1.60]
no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en
b . Se factoriza B como
B z bB K
+
−
= −
= [1.61]
1AA A
+
−
=
= [1.62]
por lo tanto
Clase 05.doc 18
1 21mm
B p pBK K
+ += = [1.63]
ufcr
B BA A
+ −
+ −
SR
yTS +
−
cr
Se hace
0
m
m
m c
R A B R
S A A S
T B A A A
+
+
+
=
=
=
[1.64]
ufcrB BA A
+ −
+ −
A SB R
+
+
y0m c
m
B A AA S +
−
cr
La función de transferencia en lazo cerrado resulta
1c
S By T TBR A
S Br S RA SBR A
= =++
[1.65]
( )0m o c m c
c m m m
y TB B A A A B B B B A Ar RA SB A B RA A A A SB B A RA SB
+ + − −
+ + − + + − − −= = =
+ + + [1.66]
La ley de control resulta
Clase 05.doc 19
0
0
c
m c mc
m m
m cc
m
Ru Tr Sy
B A A A A A Su r yA B R A B R
B A A A A Su r yA B R B R
+ +
+ +
+ +
+ +
= −
= −
= −
[1.67]
Además se cumple la ecuación
o cA A A R B S− −= + [1.68]
el observador se puede elegir como
( ) 1oA z = [1.69]
Los grados deR y S deben satisfacer
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0
1 1mgrad R grad A grad A grad A
grad S grad A
= + − =
= − = [1.70]
Se eligeR de orden cero y S de orden uno. 2
1 2c c cA z a z a= + + [1.71]
o cA A A R B S− −= + [1.72]
( )( ) ( ) 20 0 1 1 21 c cz z a r K s z s z a z a− − + + = + + [1.73]
de donde,
1 2
0 0 11
1 c ca a a ar s s
K K+ + −
= = = [1.74]
Además
Clase 05.doc 20
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 20 0
21 20 1 2
1
1
m
m c m c c c
z p pT z A z B z t z
Kp pT B A A A B A z a z aK
+
+ += = =
+ += = = + +
[1.75]
Si la referencia es constante se puede hacer
( )1 20 1 2
1 1 c cp pT t a aK
+ += = + + [1.76]
La ley de control es
m c m cc c
m m
m m c c m
S B A B A Su r y r yB R A S B RA B R
B RA u B A r SA y
+ + +
+
= − = −
= −
[1.77]
( )( ) ( )
( )
2 21 21 2 1 2
2 1 21 2
1
1
c c c
c c
p pq b q p q p u q a q a rK
a a a aq p q p q y
K K
+ +− + + = + +
+ + − − + + +
[1.78]
( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2 21 21 2 1 2 1 2
3 20 0 1 1 0 2 1 1 1 2
1c c c
p pq p b q p bp q bp u q a q a rK
s q s p s q s p s p q s p y
+ + + − + − − = + + −
− + + + + + [1.79]
Clase 05.doc 21
( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 2 1 2 2 3
1 21 1 2 2 3
0 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 3
1k k k k
c c c c ck k k
k k k k
u p b u p bp u bp up p r a r a rK
s y s p s y s p s p y s p y
− − −
− − −
− − −
= − − − − +
+ ++ + + −
− − + − + −
[1.80]
0 200 400 600 800 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 200 400 600 800 1000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 200 400 600 800 1000-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Las dos primeras figuras corresponden a igual modelo pero
diferente comportamiento en lazo cerrado. En la tercera se varía el modelo.
La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo.
Decrece aumentando el período de muestreo.
Clase 05.doc 22
Ejemplo 1.5. Motor sin Cancelación de Ceros el cero aparece en lazo cerrado
( ) 1 22
1 2
11mp p z bH z
b z p z p+ + −
=− + +
[1.81]
( )1B
B K z b
+
−
=
= − [1.82]
por lo tanto
( )1 21
1mp pB
K b+ +
=−
[1.83]
el observador debe cumplir
( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 1mgrad A grad A grad A grad B+≥ − − − = [1.84]
el observador se puede elegir como
( )oA z z= [1.85]
Los grados deR y S deben satisfacer
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 1
1 1mgrad R grad A grad A grad A
grad S grad A
= + − =
= − = [1.86]
Se eligeR de orden cero y S de orden uno.
( )( )( ) ( ) 3 21 0 1 1 21z z a z r K s z s z p z p z− − + + + = + + [1.87]
Se calcula la igualdad para z b= , 1z = y z a= obteniendo tres ecuaciones
Clase 05.doc 23
( )( )( )
( )( )( )( )
21 2
1
0 1 1 2
3 20 1 1 2
1
1 1
b b p b pr b
b b a
K b s s p p
K a b s a s a p a p a
+ += − +
− −
− + = + +
− + = + +
[1.88]
de donde se determinan los parámetros Además
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 01
1mp pT z A z B z z t z
K b+ +
= = =−
[1.89]
La ley de control es 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.90]
-----------------fig 55------------
Clase 05.doc 24
1.4. Sensibilidad a Errores de Modelo
1.4.1. Márgenes de Estabilidad Función de Sensibilidad
1
1 lc
AR ARBSAR BS AAR
= = =+ +
S , [1.91]
fbBSH H AR= =L
La inversa de ( )je ωS representa la distancia al punto crítico –1.
El máximo de ( )je ωS es el recíproco del punto más cercano al punto crítico.
Este valor no debe ser muy alto.
Un valor aceptable es ( ) 2je ω <S
Se ajusta R y S para determinadas frecuencias en donde ( )je ωS es alto
Clase 05.doc 25
1.1.3. Otra Forma de Ver el Problema
Se tiene un modelo B Ay un valor real 0
0B
A
El sistema en lazo cerrado será estable si se cumple
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 11fb fb fbH z H z H z H z H z H z
− ≤ + [1.92]
para 1z = , o
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )0 1fb ff
lc
H zH z H z H z z H z
H z − ≤ + = L [1.93]
dado que
( )
( )
( )
0mc
ff
fb
BH z tA
TH zRSH zR
=
=
=
[1.94]
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
0 ff
m fb m
H zH z H z T zH z H z
H z H z H z S z− ≤ = [1.95]
esto se cumple ya que [1.96]
La precisión relativa necesaria para la estabilidad es
Clase 05.doc 26
( ) ( )
( ) ( )( )( )
01 ff
fbm
H z H z H zH zH z H z
−≤ [1.97]
El lado derecho no depende de los valores reales La interpretación de esto se ve en la figura siguiente
Hay mucho margen a bajas frecuencias Si se quiere un mayor ancho de banda, se restringe la
posibilidad de error en el modelo.
Clase 05.doc 27
Desempeño cómo influyen los errores en la función de transferencia
( )( )0
11 11
lc m
lc
H HRB
A HH
=+ −
[1.98]
1.5. Procedimiento de Diseño
- Datos: Se necesita:
( )A z , ( )B z sin factores comunes
polinomio característico en lazo cerrado deseado ( )lcA z
términos deseados en el regulador, ( )dR z y ( )dS z
función de transferencia deseada ( )( )
m
m
B zA z
- Condición de Exceso de Polos ( ) ( ) ( ) ( )m mgrad A grad B grad A grad B− ≥ − [1.99]
- Condición de Seguimiento del Modelo
El factor B− no debe ser cancelado por lo que se debe cumplir
mB B B−= [1.100]
Clase 05.doc 28
- Condición de Grados de Polinomios se debe cumplir
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1lc m d dgrad A grad A grad A grad R grad S= + + + − [1.101]
- Paso 1 Factorizar A y B como
A A AB B B
+ −
+ −
=
= [1.102]
donde A+ y B+ son los factores a cancelar.
- Paso 2 Resolver la ecuación
d d lcA R R B S S A− −+ = [1.103]
para calcular R y S
- Paso 3 la ley de control es
Ru Tr Sy= − [1.104]
donde
Clase 05.doc 29
m d
m d
m lc
m m
R A B R R
S A A S S
T B A A
B B B
+
+
+
−
=
=
=
=
[1.105]
la característica en lazo cerrado es
lc m lcA A B A A+ += [1.106]
La condición de grado surge de [1.103] ya que el mínimo regulador se obtiene con
( ) ( ) ( ) 1dgrad S grad A grad R−= + − [1.107]
por lo que, de [1.105]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1m d d
m d d
grad S grad A grad A grad A grad R grad S
grad A grad A grad R grad S
− += + + + + −
= + + + − [1.108]
como ( ) ( )grad S grad R= , resulta [1.101]
Clase 05.doc 30
1.5.1. Cálculo de la Ley de Control Otra forma de calcular la ecuación diofantina es considerar
que se tiene una solución a la ecuación
0 0 0
lcAR BS A+ = [1.109]
y la solución de mínimo grado, U y V, 0AU BV+ = [1.110]
Se definen los polinomios R y S de modo que
0
0
R XR YUS XS YV= +
= + [1.111]
con X polinomio estable y mónico entonces
0
lcAR BS XA+ = [1.112]
Si se elige 0lcA y X tal que
0
lclcA XA= [1.113]
se cumple que los polinomios
0
0
R XR YUS XS YV= +
= + [1.114]
satisfacen
d d lcA R R B S S A− −+ = [1.115]
Además se debe cumplir que ( ) ( ) ( )d dgrad X grad R grad S= + [1.116]
Clase 05.doc 31
y el grado de Y ( ) ( ) ( ) 1d dgrad Y grad R grad S= + − [1.117]
Para calcular Y se supone que dR divide a R y dS divide a S.
Los coeficientes de Y se calculan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 00 0
i i i i d i
i i i i d i
X z R z Y z U z para R zX z S z Y z U z para S z
− = =− = =
[1.118]
Clase 05.doc 32
Ejemplo 1.6. Acción Integral Agregar acción integral implica ( )1 0R =
Se supone que se ha calculado el controlador con 0R y 0S y se desea agregar una acción integral.
La mínima solución a la ecuación [1.110] es
U BV A= −=
[1.119]
Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en 1x− por lo que X resulta 1X z x= + [1.120]
el polinomio Y es un escalar 0Y y= [1.121]
la ecuación [1.118] es de la forma
( ) ( ) ( )01 01 1 1 0x R y B+ − = [1.122]
de donde se despeja 0y
( ) ( )( )
0
0 111 1
Ry x B= + [1.123]
el nuevo controlador es
Clase 05.doc 33
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
010
1
010
1
1 11
1 11
x R B zR z z x R z
B
x R A zS z z x S z
B
+= + −
+= + −
[1.124]
Ejemplo 1.7. Acción Integral y Robustez se quiere, además, asegurar que la función de sensibilidad
valga 1 a la frecuencia de Nyquist. Esto se asegura haciendo
( )( )
1
1d
d
R z z
S z z
= −
= + [1.125]
Entonces, X es de segundo orden e Y de primero.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
00 1
00 1
1 1 1 0
1 1 1 0
X R y y B
X S y y B
− + =
− − − − + − = [1.126]
de lo que resulta
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0 0
0
0 0
1
1 1 1 112 1 1
1 1 1 112 1 1
X R X Sy
B B
X R X Sy
B B
− −= − −
− −= + −
[1.127]
Clase 05.doc 34
1.6. Parametrización de Youla-Kucera Teorema 2. Teorema de Youla-Kucera
Sea un sistema ( )( )
B zA z y ( )
( )0
0S z
R z un regulador
estable, entonces, todo regulador estable puede describirse como:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
S z S z Q z A zR z R z Q z B z
+=
− [1.128]
con ( )Q z estable
- Demostración Primero se debe demostrar que el regulador [1.128] es
estable, para lo que se introduce ( ) ( )( )
Y zQ z
X z= , con lo que se puede
escribir,
0
0
S XS YAR XR YB
+=
− [1.129]
en lazo cerrado queda
( ) ( ) ( )0 0 0 0AR BS A XR YB B XS YA X AR BS+ = − + + = + [1.130]
dado que X y 0 0AR BS+ son estables, el sistema lo será. Para probar de que todos los polinomios son estables, se
considera un regulador S R que estabiliza el sistema, dando una función característica
Clase 05.doc 35
AR BS C+ = [1.131]
de donde, la ecuación [1.128] queda
0 0SR QSB RS QRA− = + [1.132]
por lo tanto
0 0 0 0SR RS SR RSQAR BS C
− −= =
+ [1.133]
que es estable ya que C lo es. -------------------fig 57---------------
Clase 05.doc 36
1.7. Aspectos Prácticos El diseño es generalmente iterativos: se elige un modelo en
lazo cerrado, se calcula el regulador y se redefine el modelo, tantas veces como haga falta.
La ecuación característica se define, generalmente, en función de los parámetros continuos de un sistema de primer o segundo orden.
El sistema continuo, ( )A s s α= + [1.134]
tiene un equivalente discreto en
( )1TA z z a z e α−= − = − [1.135]
El sistema de segundo orden continuo,
( ) 2 20 02A s s sξω ω= + + [1.136]
tiene un equivalente discreto en
( ) ( )( )0 022 2 22 1 2 02 cos 1T TA z z a z a z e T z eξω ξωω ξ− −= + + = + − − +
[1.137]
En forma más general se puede hacer
( ) ( ) ( )1 2d
cA z z A z A z= [1.138]
Los polos del observador deben se más rápido que los del
controlador.
Clase 05.doc 37
Ejemplo 1.8. Influencia del Observador. Caso 1 Se el sistema
( ) 0,11
H zz
=−
[1.139]
Se desea que responda como
( ) 0,20,8mH z
z=
− [1.140]
o sea ( ) 0,8cA z z= − [1.141]
El observador se puede elegir como 0 1A =
el controlador resulta ( )2k k ku r y= − [1.142]
la salida del proceso es
( ) ( ) ( ) ( )0,2 0,1 0,20,8 0,8 0,8
X z R z V z E zz z z
= + −− − −
[1.143]
-------------------fig 5.8 El observador de orden cero lleva a un regulador
proporcional con alta sensibilidad a las perturbaciones
Clase 05.doc 38
Ejemplo 1.9. Influencia del Observador. Caso 2 se elige el observador
( )0A z z a= − [1.144]
Se debe resolver ( )( ) ( ) ( )( )1 0 11 0,1 0,8z z r s z s z a z− + + + = − − [1.145]
de donde resulta
1 0
1 1
1 0,1 0,80,1 0,8
r s ar s a
− + + = − −− + =
[1.146]
se elige 1 1r = − para tener efecto integral, esto da
0
1
12 108 10
s as a= −= −
[1.147]
La salida queda
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )0,1 1 1,2 1 0,80,20,8 0,8 0,8
c z a z aX z R z V z E z
z z a z z a z− − − +
= + −− − − − −
[1.148]
----------------fig 59------------ Se reduce la ganancia para perturbaciones a bajas
frecuencias Para 0a = se obtiene mejor rechazo a perturbaciones de
carga pero peor para ruido de medición.
Clase 05.doc 39
- Validación se debe analizar las siguientes funciones de transferencias
m d d
m lc lc
m d d
m lc lc
m d d
m lc lc
B BR R B S Sx r v eA A A A
B BR R A R Ry r v eA A A A
AB B S S AS Su r v eBA A A B A
−
+
−
+
−
+ +
= + −
= + +
= + +
[1.149]
por ejemplo, si no hay perturbación, la acción de control es
mHu r
H= [1.150]
Es parecida a la que aparece en el análisis de Robustez. Actuaciones altas implican mayor sensibilidad al modelo Bode de la función de transferencia en lazo cerrado que es
d
d
BS B S SAR A R R
−
−= =L [1.151]
lo mismo con la función de sensitividad:
1
1d
lc
AR A R RAR BS A
−
= = =+ +
SL
[1.152]
----------------- ejemplos 57 58 59
