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1
TEMA : VECTORES EN R2 y R3
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Laureate International Universities*
TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112MA112
EPE-SISTEMASEPE-SISTEMAS
UPC
UNIDAD 3
2
Habilidades:
1. Define un vector geométricamente.
2. Reconoce un vector en el plano y el espacio.
3. Realiza operaciones con vectores.
4. Descompone un vector en términos de sus componentes rectangulares.
3
V
V
Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.
Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.
P
Q
Definición 1: (Definición geométrica de un vector)
VECTORES
4
A
B
R = A+B
B
R = A+B
A
Método del triángulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectoresAdición de vectores
x
z
y
Método del
paralelogramo.
5
Definición 2:Definición 2: ( (Definición algebraica de un vectorDefinición algebraica de un vector))
Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b), donde a y b se llaman componentes del vector.
(a,b) v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)
y
x
VECTORES EN EL PLANO (R2)
6
Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semieje positivo de las X (abscisas).
22 bav
0a ,a
btan
Magnitud de un vector: Se denota por v
20
v= (a,b)con:
7
VECTOR EN R3
23
22
21 aaaa
p(a1,a2,a3)z
x
y
a
a1
a2
a3
módulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de R3
8
Vector Tridimensional Operaciones básicas
a
b
ba
a
at
),,( 321 tatataat
),,( 332211 babababa
Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido 332211 ,, babababa
9)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i
Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores vectores canónicoscanónicos y se representan por
aaaa
aa
ua ),,( 3211u
10
VECTORES UNITARIOS i, j, k
x
z
y
i
jk
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.
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Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:
vu // kba
ba
ba
3
3
2
2
1
1
vku
12
PRODUCTO ESCALAR
cosvuvu
u
v
Donde: ºº 1800 rad0 o
13
1. El producto escalar de dos vectores es
un número real.
OBSERVACIONES:
2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.
3. a . a = a 2
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Producto escalar en términos de componentes.
Se define:
• En R2, sean:)b;a(v)b;a(u 2211 ;
2121 bbaavu
Se define:
• En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111
212121 ccbbaavu
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Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo . El producto vectorial se define como un vector que tiene:
u
v
vu
Magnitud:
Dirección: Perpendicular al plano que forman
senvu
vyu
PRODUCTO VECTORIAL
NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3
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Regla de la mano derecha
u
vvu
uv
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PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.DE LAS COMPONENTES.
)baba,caca,cbcb(vu 122121121221
)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111
Se define al Producto Vectorialcomo:
vu
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OJO
Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante:
kji22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
cb
cbvu
222
111
cba
cba
kji Es decir puede desarrollarse como un determinante
Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales