1 Tema 9: Operaciones con polinomios de una variable Matemáticas III

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Tema 9: Operaciones con polinomios de una variable Matemáticas III

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EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una combinación de letras y números que se utilizan para representar números, tales como:

4x²

xy – 5x + 3

2x² + 1

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Término Algebraico

Es una expresión algebraica que sólo tiene productos y cocientes de números y letras. También se le llama MONOMIO.Ejemplos:

3y5a²

6xy1b

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Elementos de unTérmino Algebraico

- 5 x²y5

SignoCoeficien

teParte literal

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B i n o m i o

Expresión algebraica que consta de 2 términos separados por un signo de más (+) o de menos ( - ).Ejemplos:

a + b

2x³ - y4

Primer término

Segundo término

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Expresión algebraica de 3 términos.

T r i n o m i o

Ejemplos:

2x + 3y - 5z x² + 2x + 4

Primer término

Segundo término

Tercer término

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Expresión algebraica que tiene 2 términos o más. El Binomio y el Trinomio también son PPolinomiosolinomios.

P o l i n o m i o

- 6a + 2b - 3c5d

4 + x2 - 5 + 7x

y x²

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Cuando se utiliza el lenguaje algebraico, conviene utilizar paréntesis o un punto para indicar una multiplicación, así evitamos confusiones con la “ x " y el signo de multiplicar.

Por ejemplo, para indicar la multiplicación de 3x por 2y, se puede escribir:

( 3x ) ( 2y )

o bien

3x 2y

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Términos Semejantes

Son aquellos términos algebraicos que tienen exactamente exactamente igualigual su parte literalparte literal, aunque su coeficiente numérico sea distinto.

Por ejemplo:

-3a2a

igual parte literal

Son términos semejantes

1 a5

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2 x²- 6 x

diferente parte literal

No son términos semejantes

x³

Sólo los términos semejantes se pueden sumar o restar, es decir, solo los términos semejantes se reducen a expresiones más simples.

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Suma de Polinomios

Para sumar polinomios podemos seguir los pasos que se indican a continuación:

2. Se agrupan los términos semejantes (se pueden agrupar en columnas) para facilitar el proceso.

1.Se ordenan los polinomios en forma decreciente respecto a una misma variable, cuando sea necesario.

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4.En expresiones donde

aparecen paréntesis,

conviene eliminarlos;

primero los interiores,

y después ir

avanzando hacia

afuera teniendo

cuidado con los

signos.

3.Se reducen los términos semejantes.

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Conviene recordar que:Los números con signos iguales se suman y se coloca el mismo signo al resultado; y, números con signos diferentes se restan y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto al resultado.

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Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios.

(3x² + 2x - 6) + (5x + 9x²) + (8 - 3x + 4x²) =

1. Ordenamos en forma decreciente.

(3X² + 2X - 6) + (9x² + 5X) + (4X² - 3X +8) =

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2. Se agrupan en columnas los términos semejantes.

3 x² + 2 x - 6

9 x² + 5 x

4 x² - 3 x + 8+

23.Se

reducen los términos semejantes

16 x²+ 4 x +

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Sustracción de Polinomios

El inverso de un polinomio se obtiene al cambiar cada coeficiente numérico por su inverso aditivo.

Para efectuar esta operación la convertimos en una adición, sumando el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

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Ejemplo 1: Restar los siguientes polinomios.

( 2x – 8 ) - ( 3x – 6 ) =

1.Obtenemos el inverso aditivo del sustraendo.

Minuendo Sustraendo

( 2x – 8 ) + ( - 3x + 6 ) =

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2.Se agrupan en columnas los términos semejantes.

2 x - 8

- 3 x + 6

- 2

+

3.Se reducen los términos

semejantes

- x

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Ejemplo 2: Restar los siguientes polinomios.

( 3x² - 6x + 2 ) - ( -3x² - 2x + 3 ) = Minuendo Sustraendo

1.Obtenemos el inverso aditivo del sustraendo.

( 3x² - 6x + 2 ) + ( 3x² + 2x - 3 ) =

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3 x² - 6x + 2

3 x² + 2x - 3

- 1 3.Se reducen los términos semejantes

+

6x² - 4x

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Ejemplo 3: Restar los siguientes polinomios.- (7a5 + 3a² + 4a - 1) - (-2a5 + a² - 3a - 7) = Minuendo Sustraendo

1.En este caso obtenemos el inverso aditivo del minuendo y del sustraendo.

(-7a5 - 3a² - 4a + 1) + (2a5 - a² + 3a + 7) =

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-7a5 - 3a² - 4a + 1

+ 8

3.Se reducen los términos semejantes

+ 2a5 - a² + 3a + 7

-5a5 - 4a² - a

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Multiplicación de Polinomios1)Para multiplicar un Monomio por

un Polinomio, el producto se obtiene aplicando la propiedad distributiva, es decir, el monomio se multiplica por cada uno de los términos del polinomio.

6a ( 2a – 3 ) = 12a² - 18a

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2)Para multiplicar un Polinomio por otro Polinomio, cada uno de los términos de un polinomio se multiplican por todos los términos del otro; si quedan términos semejantes se reducen. El producto se puede realizar en forma horizontal o en forma vertical.

( x² + 4 ) ( x – 5 ) = x³ - 5 x² + 4 x - 20

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En forma vertical

x³ + 4 x

- 5 x² - 20

x³ - 5 x² + 4 x - 20

x² + 4

x - 5

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