1

STATISIK

LV Nr 0028

SS 2005

11Mai 2005

2

Streuungsmaszlige

bull Varianz

bull Standardabweichung

bull Variationskoeffizient

bull Mittlere absolute Abweichung

bull Spannweite

bull Quartilsabstand

bull Schiefe

bull Woumllbung

3

Varianz

bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)

bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)

n

1i

2i

2 )a(an

1σ

4

Varianz

bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179

bull Arithmetisches Mittel = 1706

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144

5

Varianz

bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt

bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

n

1ii 0)a(a

n

1i

2i M)(a

n

1MQ(M)

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

2

Streuungsmaszlige

bull Varianz

bull Standardabweichung

bull Variationskoeffizient

bull Mittlere absolute Abweichung

bull Spannweite

bull Quartilsabstand

bull Schiefe

bull Woumllbung

3

Varianz

bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)

bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)

n

1i

2i

2 )a(an

1σ

4

Varianz

bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179

bull Arithmetisches Mittel = 1706

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144

5

Varianz

bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt

bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

n

1ii 0)a(a

n

1i

2i M)(a

n

1MQ(M)

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

3

Varianz

bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)

bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)

n

1i

2i

2 )a(an

1σ

4

Varianz

bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179

bull Arithmetisches Mittel = 1706

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144

5

Varianz

bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt

bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

n

1ii 0)a(a

n

1i

2i M)(a

n

1MQ(M)

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

4

Varianz

bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179

bull Arithmetisches Mittel = 1706

bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144

5

Varianz

bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt

bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

n

1ii 0)a(a

n

1i

2i M)(a

n

1MQ(M)

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

5

Varianz

bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt

bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M

n

1ii 0)a(a

n

1i

2i M)(a

n

1MQ(M)

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

6

Varianz

bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)

bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels

22 M)a(σMQ(M)

)a(MM)(a)a(an

1i

n

1i

2i

2i

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

7

Varianz

bull Rechenvereinfachung

bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)

bull Varianz

n

1i

22i

n

1i

2i

2 aan

1)a(a

n

1σ

i

n

1i

2i

2 h)x(xn

1σ

i

n

1i

2i

2 f)x(xn

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

8

Varianz

bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung

bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet

i

n

1i

2i

2 h)xx(n

1σ

i

n

1i

2i

2 f)xx(n

1σ

n

1iii

n

1iii fxhx

n

1xmit

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

9

Varianz

bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird

bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur

σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz

12

x)(Δσσ

222

corr

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

10

Varianz

bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen

bull Eigenschaft Varianz immer 0

bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

11

Standardabweichung

bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz

n

1i

2i

2 )a(an

1σσ

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

12

Varianz amp Standardabweichung

Eigenschaften

bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)

bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ

bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai

σsup2 = σsup2 und σ = σ

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

13

Varianz amp Standardabweichung

bull Eigenschaften

bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht

mit

21

222

211

21

222

2112

nn

)aa(n)aa(n

nn

σnσnσ

21

2211

nn

anana

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

14

Standardisierung

bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte

Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird

bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1

σ

μaz i

i

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

15

Variationskoeffizient

bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen

bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ

μ

σVC

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

16

MAD Mittlere absolute Abw

bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)

bull Minimumeigenschaft des Medians

M beliebiger Wert

n

1ii |Ma|

n

1MAD

n

1ii

n

1ii |Ma|

n

1|Mea|

n

1

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

17

MAD

bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ

bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute

ersetzen

i

n

1ii h|μx|

n

1MAD

i

n

1ii f|μx|MAD

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

18

Spannweite (Range)

bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert

bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]

R = a[n] - a[1]

bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen

R = xk - x1

bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten

R = xko - x1

u

bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

19

Quartilsabstand

bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile

bull α-Quantil

a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)

aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα

bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte

QA = Q3 ndash Q1

bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

20

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1

und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers

bull Ausreiszliger

bull Krasse Ausreiszliger

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

21

38N =

GEWICHT

110

100

90

80

70

60

50

40

937

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

38N =

GROEszligE

210

200

190

180

170

160

150

140

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

22

Deskriptive Analyse Box-Plot

bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen

1820N =

SEX

mw

GR

OE

szligE

210

200

190

180

170

160

150

140

28

9

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

23

Schiefe

bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an

lt 0 linksschiefe

g1 = 0 symmetrisch

gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter

3n

1i

2i

n

1i

3i

1

)a(an1

)a(an1

g

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

24

Schiefe

bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)aa(n1

h)aa(n1

g

3k

1ii

2i

i

k

1i

3i

1

h)a(mn1

h)a(mn1

g

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

25

Schiefe

bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

26

Schiefe

bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung

Auspraumlgung

Hauml

ufi

gke

it

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

27

Schiefe

bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung

Auspraumlgung

Haumlu

fig

keit

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

28

Woumllbung

bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt

bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist

3

)a(an1

)a(an1

g 2n

1i

2i

n

1i

4i

2

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

29

Woumllbung

lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt

g2 = 0 Normalverteilung

gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt

bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten

3

h)aa(n1

h)aa(n1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

3

h)a(mn1

h)a(mn1

g 2n

1ii

2i

k

1ii

4i

2

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

30

Konzentrationsmaszlige

bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen

bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf

bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

31

Konzentrationsmaszlige

bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt

bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe

n

1iii

n

1jj hax

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

32

Konzentrationsmaszlige

bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte

bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-

auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert

ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach

aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen

q1ifuumlrfn

hk

i

1jj

i

1j

ji

q1ifuumlr hahalq

1jjj

i

1jjji

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

33

Konzentrationsmaszlige

bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt

ki

li

0 1

1

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

34

Konzentrationsmaszlige

bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen

bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

35

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe

mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw

ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

36

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige

Anzahl der

Betriebe

Flaumlcheng pro

Gruppe

der Betriebe

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

aufsumm Flaumlchen-anteile

bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

37

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

aufsummierte Anteile der Betriebe

au

fsu

mm

iert

e F

laumlc

he

na

nte

ile

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

38

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe

bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche

ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche

ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche

ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

39

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale

bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

40

Konzentrationsmaszlige

Extremfaumllle

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 02 04 06 08 1

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

41

Konzentrationsmaszlige

bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration

bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F

bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient

LKMnor = n(n-1) LKM

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

42

Konzentrationsmaszlige

bull Berechnung von F

ndash k hellip Werte auf Abszisse

ndash l hellip Werte auf Ordinate

ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen

q

1ii 05FF

q

1jjj

iii1-i1ii

i1ii

Ha

Ha

2

kk)l(l

2

kkF

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

43

Konzentrationsmaszlige

bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche

bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5

bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539

Flaumlchen-groumlszlige

Flaumlchen-anteile

aufsumm Betriebs-anteile

2 Fi

bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

44

Verhaumlltniszahlen

bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl

bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr

uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige

bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in

Verbindung stehender Maszligzahlen

bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

45

Gliederungszahlen

bull Gliederungszahlen

bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft

Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)

Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

46

Beziehungszahlen

bull Beziehungszahlen

bull Verursachungszahlen

Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen

bull Entsprechungszahlen

Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

47

Beziehungszahlen

bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer

Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)

Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)

G = (LE)1000

Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

48

Beziehungszahlen

bull Bsp Entsprechungszahlen

Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis

(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)

Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

49

Indexzahlen

bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt

bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine

realen Sachverhalt

bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen

fiktiven Zustand beschreibt

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

50

Indexzahlen

bull Einfache Indizes

bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will

x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0

Dann ist

I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2

eine Zeitreihe einfacher Indizes

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

51

Indexzahlen

bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert

bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87

Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden

Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor

bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90

Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

52

Indexzahlen

bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten

bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt

0k

0t

0k

0t

k

tkt I

I

xx

xx

x

xI

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

53

Indexzahlen

bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998

Jahr Umsatz xt x0 xt x4

1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

54

Indexzahlen

bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)

ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)

ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)

bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

55

Indexzahlen

bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)

bull Betrachte Warenkorb

n Waren zu einem Zeitpunkt t

Mengen qt1qtn

Preise pt1ptn

Wert des Warenkorbes in Periode t

n

1ititiqp

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

56

Indexzahlen

bull Wertindex

Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0

n

1i0i0i

n

1ititi

0t

qp

qpW

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

57

Indexzahlen

bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i

F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930

gesamt 7710 7505

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

58

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex n 7

ti ti 12i 12ii 1 i 1

0t n 7

0i 0i 0i 0ii 1 i 1

p q p q627505

W 10119620125p q p q

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463

gesamt 7710 7505 620125 627505

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

59

Indexzahlen

bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119

ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen

ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

60

Indexzahlen

bull Preisindizes

bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung

bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

61

Indexzahlen

bull Preisindex nach Paasche

bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

62

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i

F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918

gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

qp

qpP

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

63

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Paasche

bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen

65104559962

562750100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i12i0i

7

1i12i12i

n

1iti0i

n

1ititi

Pt0

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

64

Indexzahlen

bull Preisindex nach Laspeyres

bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

qp

qpP

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

65

Indexzahlen

bull Bsp Preisindex nach Laspeyres

bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben

68104562012

64916100

qp

qp100

qp

qpP100 7

1i0i0i

7

1i0i12i

n

1i0i0i

n

1i0iti

Lt0

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

66

Indexzahlen

bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres

bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)

bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)

bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden

bull Fishersche Idealindex LPF III

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

67

Indexzahlen

bull Mengenindizes

bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

68

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Paasche

bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

qp

qpQ

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

69

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Paasche

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken

669664916

562750100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i12i

7

1i12i12i

n

1i0iti

n

1ititi

Pt0

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

70

Indexzahlen

bull Mengenindex nach Laspeyres

bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

qp

qpQ

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71

71

Indexzahlen

bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres

bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken

6996562012

559962100

qp

qp100

qp

qpQ100 7

1i0i0i

7

1i12i0i

n

1i0i0i

n

1iti0i

Lt0

• STATISIK
• Streuungsmaszlige
• Varianz
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Standardabweichung
• Varianz amp Standardabweichung
• Slide 13
• Standardisierung
• Variationskoeffizient
• MAD Mittlere absolute Abw
• MAD
• Spannweite (Range)
• Quartilsabstand
• Deskriptive Analyse Box-Plot
• Slide 21
• Slide 22
• Schiefe
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Woumllbung
• Slide 29
• Konzentrationsmaszlige
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Verhaumlltniszahlen
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Slide 47
• Slide 48
• Indexzahlen
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66
• Slide 67
• Slide 68
• Slide 69
• Slide 70
• Slide 71