16/09/12  

1  

   

Prof.  Emanuele  Papo5o  

Il  sistema  di  numerazione  posizionale  decimale  

�  Il   sistema   di   numerazione   che   u>lizziamo   abitualmente   è   il  sistema  di  numerazione  decimale.  

�  Questo   sistema   u>lizza   la   numerazione   posizionale   dove   ogni  cifra  del  numero  assume  un  valore  in  funzione  della  “posizione”:  

�  La   posizione   di   ogni   singola   cifra   che   compone   un   numero   si  calcola   partendo   SEMPRE   DALL’ULTIMA   CIFRA   A   DESTRA  (posizione  0),  E  PROSEGUENDO  VERSO  SINISTRA    Ad  esempio  nel  numero  734  le  posizioni  di  ogni  singola  cifra  sono:                    Nel  numero  1456795094  quali  sono  le  posizioni?  

 

7   3   4  

2   1   0  

numero  

Posizione  di  ogni  singola  cifra  

2  

16/09/12  

2  

 Nel  numero  1456795094  quali  sono  le  posizioni?  

 

1456795094  

1   4   5   6   7   9   5   0   9   4  

9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  

numero  

posizione  

3  

Sistema  di  numerazione  posizionale  

�  Definizione:  Ogni  numero  si  esprime  come  la  somma  dei  prodotti  di  ciascuna  cifra  per  la  base  elevata  all’esponente  che  rappresenta  la  posizione  della  cifra:          

 22110  =  2  x  102  +  2  x  101  +  1  x  100                    200            +      20              +      1  

Ma  cos’è  la  base???    

 4  

16/09/12  

3  

Sistema  di  numerazione  posizionale  �  La  base  è  quel  numerino  che  si  pone  al  pedice  di  un  numero,  ad  esempio  :  

22110  (si  legge  221  in  base  10)  

La  base  specifica  il  sistema  numerico  a  cui  si  riferisce  il  numero.    Nell’esempio  (22110)  siamo  nel  sistema  numerico  decimale,  ovvero  

quello  che  utilizziamo  sempre  in  qualsiasi  circostanza    che  implica  l’utilizzo  di  un  numero.  

 Normalmente  non  scriviamo  mai   la  base  10  nei  numeri  che  utilizziamo  

nel   sistema   di   numerazione   decimale,   ma   adesso   vedremo   che   sarà  importante   specificarla   perché   utilizzeremo   sistemi   di   numerazione  differenti.  

5  

Sistema  di  numerazione  posizionale  �  Il   sistema   di   notazione   posizionale   può   essere   usato   con  qualunque   base   creando   così   differen>   sistemi   di  numerazione.    

�  In  informa>ca  si  u>lizza  prevalentemente  la  numerazione:  �  binaria,  �  o5ale,  �  Esadecimale  

� Ma  par>amo  dal  sistema  di  numerazione  decimale  per  capire  meglio  i  sistemi  di  numerazione  

6  

16/09/12  

4  

Sistema  di  numerazione  decimale  �  Definizione:   Il   sistema   di   numerazione   decimale   u>lizza   una  notazione  posizionale  basata   su  10  cifre   (ogni   singola   cifra  di  ogni   posizione   deve   essere   esclusivamente   un   numero   tra    0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)  e  sulle  potenze  di  10.  �  Il  numero  234  in  base  10  si  rappresenta  esplicitamente  come  ?  �  Come  la  somma  delle  sue  cifre  molSplicate  per  la  potenza  della  base  che  caraUerizza  la  sua  posizione  :  

23410  =  4  x  100+  3  x  101  +  2  x  102  

                                                                   4              +        30              +            200      7  

Sistema  di  numerazione  binario  �  Definizione:   Il   sistema   di   numerazione   binario   u>lizza   una   notazione   posizionale  

basata   su   2   cifre   (ogni   singola   cifra   di   ogni   posizione   deve   essere  esclusivamente  il  numero  0  oppure  1)  e  sulle  potenze  di  2.  

 �  Per  comporre  un  numero   in  base  2  è  quindi  necessaria   la  combinazione  SOLO  ED  

ESCLUSIVAMENTE  delle  cifre  0  e  1  

�  Ad  es.  il  numero  1001  in  base  2  si  rappresenta  esplicitamente  come  la  somma  delle  sue  cifre  molSplicate  per  la  potenza  della  base  che  caraUerizza  la  sua  posizione,  tale  rappresentazione  ci  permeUe  di  converSre  un  numero  dalla  base  2  alla  base  10  :  

10012  =  1  x  20  +  0  x  21  +  0  x  22  +  1  x  23                                                1          +          0            +        0          +          8        =    910  

8  

16/09/12  

5  

Sistema  di  numerazione  o5ale  �  Definizione   :Il   sistema   di   numerazione   o5ale   u>lizza   una   notazione   posizionale  

basata   su   8   cifre   (ogni   singola   cifra   di   ogni   posizione   deve   essere  esclusivamente  un  numero  tra  0,1,2,3,4,5,6,7)  e  sulle  potenze  di  8.  

�  Per  comporre  un  numero  in  base  8  è  quindi  necessaria  la  combinazione  SOLO  delle    cifre  0,1,2,3,4,5,6,7    

 �  Ad   es.   il   numero   534   in   base   8   si   rappresenta   esplicitamente   come   la  somma   delle   sue   cifre   molSplicate   per   la   potenza   della   base   che  caraUerizza   la   sua   posizione,   tale   rappresentazione   ci   permeUe   di  converSre  un  numero  dalla  base  8  alla  base  10  :  

   5348  =  4  x  80  +  3  x  81  +  5  x  82                                      4          +        24      +      320        =  34810  

9  

Sistema  di  numerazione  esadecimale  �  La  numerazione  esadecimale  u>lizza  una  notazione  posizionale  basata  su  16  

cifre   (ogni   singola   cifra   di   ogni   posizione   deve   essere   esclusivamente   un  numero  tra  0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  A(10),  B(11),  C(12),  D(13),  E(14),  F  (15))  e  sulle  potenze  di  16  

�  Per   comporre   un   numero   in   base   16   è   quindi   necessaria   la   combinazione  SOLO  di  cifre  da  0  a  9  e  dei  cara5eri  A,  B,  C,  D,  E,  F  

�  Ad  es.   il  numero  B7FC16   (in  base  16)  si  rappresenta  esplicitamente  come  la   somma   delle   sue   cifre   molSplicate   per   la   potenza   della   base   che  caraUerizza   la   sua   posizione,   tale   rappresentazione   ci   permeUe   di  converSre  un  numero  dalla  base  16  alla  base  10  

   C(12)  x  160  +  F(15)  x  161  +  7  x  162  +  B(11)  x  163  

                                                                       12        +              240            +      1792    +    45056      =  4710010  

10  

16/09/12  

6  

Conversione  da  base  n  a  base  10  

�  Definizione:   Per   converSre   un   numero   da   una  qualunque  base  alla  base  10  è  sufficiente  rappresentarlo  esplicitamente   in   forma   polinomiale,   come   la   somma  delle  sue  cifre  molSplicate  per  la  potenza  della  base  che  caraUerizza  la  sua  posizione  :  

11012  =  1  x  20  +  0  x  21  +  1  x  22  +  1  x  23  =  1310  7108  =  0  x  80  +  1  x  81  +  7  x  82  =  45610  

A5116  =  1  x  160  +  5  x  161  +  (10)  x  162  =  264110  11  

Conversione  da  base  10  a  base  n  �  Per  conver>re  un  numero  ad  una  base  n  qualsiasi  occorre  trovare   tua   i   res>  delle   successive  divisioni   del   numero  per  la  base  n.  

�  Come   esempio   si   vuole   trovare   il   valore   binario   del  numero  210  

   –  Basterà  dividere  210  per  la  base  2  vediamo  come…        

12  

16/09/12  

7  

Conversione  da  base  10  a  base  2  

L e g g e n d o   l a  sequenza   dei   res>  dal   basso   verso  l'alto,   si   oaene   il  numero:  21010  =  110100102  

210  ÷  2  =  105   Resto   0  105  ÷  2  =  52   Resto   1  52  ÷  2  =  26   Resto   0  26  ÷  2  =  13   Resto   0  13  ÷  2  =  6   Resto   1  6  ÷  2  =  3   Resto   0  3  ÷  2  =  1   Resto   1  1  ÷  2  =  0   Resto   1  

13  

Verifica  di  corre5ezza  �  Per   una   verifica   di   corre5ezza   basta   riconver>re   il  risultato  alla  base  10  rappresentandolo  esplicitamente  in  forma  polinomiale  :  

 110100102  =            0  x  20  +  1  x  21  +  0  x  22  +  

     0  x  23  +  1  x  24  +  0  x  25  +              1  x  26  +  1  x  27  =  21010  

14  

16/09/12  

8  

ESERCIZI  �  Conver>re:  �  1100010012  in  base  10  �  10015728  in  base  10  � A21F416  in  base  10  �  2110  in  base  2  �  13210  in  base  2  �  20610  in  base  2  

15  

16/09/12  

9  

Richiami  sul  sistema  binario  

…   …   128   64   32   16   8   4   2   1  …   …   27   26   25   24   23   22   21   20  

1   1   0   1  

11012  =  1  x  20  +  0  x  21  +  1  x  22  +  1  x  23  =  1310  

Richiami  sul  sistema  binario  

18  

…   …   128   64   32   16   8   4   2   1  …   …   27   26   25   24   23   22   21   20  

0   0   1   1   0   0   1   0  

Se  considero  il  numero  001100102  a  quanto  corrisponde  in  base  10  ??  

2+16+32=5010  001100102  =  5010  

16/09/12  

10  

Richiami  sul  sistema  binario  

19  

…   …   128   64   32   16   8   4   2   1  …   …   27   26   25   24   23   22   21   20  

1   0   1   1   1  

Alla   luce   di   quanto   abbiamo   de5o….   Il   2310   a   che   numero  binario  corrisponde  ???  

1+2+4+16=2310  101112  =  2310  

Addizione  �  L’  addizione   tra   numeri   binari   è   analoga   a   quella   che   si  esegue   nel   sistema   decimale,   le   possibili   combinazioni  che  possono  assumere  la  somma  di  numeri  binari  sono:    0+0  =  0;  0+1  =  1+0  =  1;  1+1  =  10  (scrivo  0  e  riporto  1)    1+1+1  =11  (scrivo  1  e  riporto  1)  

Esempio:    Da>  A  =  101112,  B  =  1012  o5eniamo            

20  

RIPORTO   1   1   1   decimale  

A   1   0   1   1   1            23  +  

B   1   0   1                5  =  

A+B   1   1   1   0   0            28  

16/09/12  

11  

Addizione  

21  

RIPORTO  

1   1   1   decimale  

A   0   1   0   1                5  +  

B   1   1   1   1            15  =  

A+B   1   0   1   0   0            20  

Mol>plicazione  �  La  molSplicazione   tra   numeri   binari   viene   eseguita   allo  stesso   modo   della   mol>plicazione   tra   numeri   decimali  ricordando  che:  

0·∙0=0;  0·∙1=  1·∙0    entrambi  =0  ;  1·∙1=1        1  1  0  1  x  

                 1  0  1  =                                                  1  1  0  1                                            0  0  0  0                                    1  1  0  1                                                1  0  0  0  0  0  1  

22  

16/09/12  

12  

Mol>plicazione        1  0  0  1  1  x                      1  1  0          0  0  0  0  0  

                                           1  0  0  1  1                                        1  0  0  1  1                                          1  1  1  0  0  1  0  

23  

So5razione  �  Regole  base:  �  0-­‐0=0;   1-­‐0=1;   1-­‐1=0;   0-­‐1=1   con   un   procedimento   che   di  seguito  spieghiamo:  bisogna  andare  verso  sinistra  e  trovare  il   primo   uno   che   diventerà   0.   A   loro   volta   gli   zero   che  precedono   (verso   destra)   questo   1   diventeranno   1   ad  eccezione  di  quello  che  riceve  il  pres>to  che  diventerà  2.       A  questo  punto   si   procede   con   la   so5razione.  Nel   caso   in  cui  si  incontri  di  nuovo  0-­‐1,  si  procederà  in  modo  analogo.  

 

24  

1  0  0  0  0  1  1  0    -­‐  1  0  1  1  0  1  1  1  =  

16/09/12  

13  

So5razione  

25  

     0  2                                0  2                                  0  2  

                                             0  2                pres%%        1  0  1  0  1  1  1  0  -­‐        0  1  0  0  0  1  1  1  =        0  1  1  0  0  1  1  1  

Divisione  

26  

16/09/12  

14  

Divisione  

27  

Conversioni  con  gli  esadecimali  �  La   numerazione   esadecimale   u>lizza   una   notazione  posizionale   basata   su   16   cifre   (ogni   singola   cifra   di   ogni  posizione  deve  essere  esclusivamente  un  numero  tra  0,  1,  2,   3,   4,   5,   6,   7,   8,   9,   A(10),   B(11),   C(12),  D(13),   E(14),   F  (15))  e  sulle  potenze  di  16  

�  Conversione  dalla  base  decimale  a  quella  esadecimale  �  Si   eseguono   le   divisioni   successive   per   la   base   16  fino   a  trovare  quoziente  zero:  

28  

16/09/12  

15  

Conversione  dalla  base  decimale  a  quella  esadecimale  

�  Trasformiamo  il  numero  1563210  in  base  16  

   1563210  =3C1016  

29  

15632  ÷  16  =  977   Resto   0  977÷  16  =  61   Resto   1  61÷  16    =  3   Resto   12  3  ÷  16    =  0   Resto   3  

Conversione  da  base  2  a  base  16  Binario   esadecimale  

0000   0  0001   1  0010   2  0011   3  0100   4  0101   5  0110   6  0111   7  1000   8  1001   9  1010   A  1011   B  1100   C  1101   D  1110   E  1111   F  

30  

Per   eseguire   la   conversione   basta  considerare   la   tabella   a   destra   che  esprime  i  rispeavi  numeri  esadecimali  in  binario  quindi:  1)  Raggruppare   il   numero   in   binario   a  

gruppi  di  4  cifre;  2)  Conver>re   ogni   gruppo   nel la  

corrispondente  cifra  esadecimale  

Esempio  10110110012  =  ?16    1)  10  1101  1001  2)     2          D              9  

   10110110012  =  2D916  

16/09/12  

16  

Conversione  da  base  16  a  base  2  Binario   esadecimale  

0000   0  0001   1  0010   2  0011   3  0100   4  0101   5  0110   6  0111   7  1000   8  1001   9  1010   A  1011   B  1100   C  1101   D  1110   E  1111   F  

31  

Per   eseguire   la   conversione   basta  considerare   la   tabella   a   destra   che  esprime  i  rispeavi  numeri  esadecimali  in  binario  quindi:  1)  Consideriamo   separatamente   ogni  

cifra  del  numero  esadecimale;  2)  Conver>re   ogni   cifra   esadecimale  

nella  corrispondente  sequenza  binaria  

Esempio  E4D16  =  ?2    1)       E              4          D  2)  1110          0100        1101    

     E4D16=1110010011012  

…E  CON  IL  SISTEMA  OTTALE?  �  Per  eseguire  la  conversione  da  base  2  

a  base  8  basta  considerare  la  tabella  a  destra  che  esprime  i  rispeavi  numeri  o5ali  in  binario  quindi:  

1)  Raggruppare   il   numero   in   binario   a  gruppi  di  3  cifre;  

2)  Conver>re   ogni   gruppo   nel la  corrispondente  cifra  o5ale  

10010011101012=?  8  1.  1  001  001  110  101  2.  1        1          1            6          5  

10010011101012=111658  32  

Binario   Ottale  000   0  001   1  010   2  011   3  100   4  101   5  110   6  111   7  

16/09/12  

17  

…E  CON  IL  SISTEMA  OTTALE?  �  Per  eseguire  la  conversione  da  base  8  

a  base  2  basta  considerare  la  tabella  a  destra  che  esprime  i  rispeavi  numeri  o5ali  in  binario  quindi:  

1)  Consideriamo   separatamente   ogni  cifra  del  numero  o5ale;  

2)  Conver>re   ogni   cifra   o5ale   nella  corrispondente  sequenza  binaria  

25418=?  2  1.       2              5              4              1  2.  010      101      100      001  

25418=0101011000012     33  

Binario   Ottale  000   0  001   1  010   2  011   3  100   4  101   5  110   6  111   7