1.- PUNTOS EN EL ESPACIO - iesaricel.orgiesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17/2 bach-mat2... · 2º bachillerato (lomce) – matemÁticas ii – tema 5.- puntos, rectas

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- PUNTOS EN EL ESPACIO

Sistema de referencia

Un sistema de referencia en el espacio es un conjunto formado por un punto de referencia O y la base

ortonormal canónica

=

→→→

kjiB ,, . Se representa así: .

En un sistema de referencia, a cada punto P del espacio se le asigna el vector OP =(x,y,z)��

, llamado vector

de posición del punto P. El vector OP��

se suele representar por p��

(con minúsculas).

Se definen las coordenadas del punto P como las componentes del vector p��

. Se representa así: P(x, y, z)

Por ejemplo, el vector de posición del punto P(3, –2, 1) es p =(3,-2,1)

��

Vector determinado por dos puntos

Sean dos puntos del espacio A(a1, a

2, a

3) y B(b

1, b

2, b

3)

Observa que : OA + AB = OB a + AB = b AB = b a→ ⇒ −��

Luego, para hallar AB��

restamos las coordenadas de B menos las de A

Por ejemplo, si A(5, –1, 3) y B(–2, 4, 1) entonces AB =(-2,4,1)-(5,-1,3)=(-7,5,-2)��

Ejercicio 1 Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(−1, 0, 3), B(2,−1, 1) y C(3, 2,−3). Calcula las coordenadas del vértice D.

Punto medio de un segmento.

Observa que ( )AB = 2AM b a = 2 m a = 2 m 2a . Despejando m se obtiene :⇒ − − −

��

a + bm =

2

� ��

Por ejemplo, si A(5, –1, 3) y B(–2, 4, 1) entonces

⇒

(-2,4,1)+(5,-1,3) 3 3 3 3m = = , ,2 , ,2

2 2 2 2 2

��M

Por un procedimiento similar se pueden obtener los puntos que dividen a un segmento en 3, 4, 5, …., n partes iguales.

Ejercicio 2 Halla los puntos que dividen al segmento A(7, –5, 1) , B(–1, 0, 4) en tres partes iguales


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Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de un punto A respecto de un punto M es el punto A´ que cumple AA´ 2 AM=

( )AA´ = 2AM a´ a = 2 m a = 2 m 2 a a´ = 2 m a⇒ − − − ⇒ −��

Despejando, se obtiene

Ejercicio 3 Calcula el simétrico del punto A(3, –9, 2) respecto del punto B(0, –1, 7)

Puntos alineados

Tres o más puntos del espacio están alineados si están contenidos en la misma recta.

A, B y C están alineados ↔ AB

�� // AC��

↔ AB��

= kAC��

, con k ∈ R (es decir, si AB y AC son proporcionales��

)

Ejercicio 4 Determina a y b para que los puntos A(–1, 3, 2), B(2, –1, –1) y C(a – 2, 7, b) estén alineados.

Puntos Coplanarios

Cuatro o más puntos del espacio son coplanarios si están contenidos en el mismo plano.

A, B, C y D son coplanarios ↔ AB , AC y AD son l.d.

�� ↔ ( )det AB , AC , AD = 0

��

Ejercicio 5 Halla m para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(–2, 1, 3) y D(m, m – 1, 2) sean coplanarios.

2.- ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

Ecuaciones de la recta

Sea r una recta del espacio de la que conocemos un punto A(a1, a

2, a

3) y un vector

��d = (d

1, d

2, d

3) en la misma

dirección que la recta (llamado vector director de la recta). La recta r se suele indicar así: ( ; )r A d��

Si P(x, y, z) es un punto cualquiera de la recta, entonces

��AP //

��d →

��AP = λ

��d , con λ ∈ R

− = λ → ≡ = + λ → ≡ = + λp a d p a d��

: 1 2 3 1 2 3r r (x, y, z) (a , a , a ) (d , d , d )Ecuación vectorial


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Igualando las componentes obtenemos las 1 1

2 2

3 3

:

.

.

.

x a d

r y a d

z a d

λ

λ

λ

= +≡ = + = +

Ecuaciones paramétricas

Observa: - Para obtener puntos de r se le dan valores a λ. - Para que un punto P pertenezca a r, debe existir λ (solución de las ecuaciones)

Si despejamos λ en las ecuaciones paramétricas e igualamos obtenemos la

31 2

1 2 3

:z ax a y a

rd d d

−− −≡ = =Ecuación continua

Operando en las igualdades anteriores resultan las :0

' ' ' ' 0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =≡

+ + + =Ecuaciones implícitas

Observa: - Si se resuelve el sistema de ecuaciones se obtienen las ecuaciones paramétricas. - Para que un punto P pertenezca a r, debe cumplir las ecuaciones del sistema

Ejercicio 6 Los puntos A(2, 0, 0) y B(−1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice C pertenece a

la recta r:4 3 33

0

x z

y

+ =

=

(a) Halla las ecuaciones de la recta s que contiene a los puntos A y B (b) Averigua si r contiene a alguno de los puntos, A ó B (c) Escribe las otras ecuaciones de r (d) Calcula las coordenadas del punto C sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por A y C.

Ecuaciones del plano Sea π un plano del espacio del que conocemos un punto A(a

1, a

2, a

3) y dos vectores l.i.

u��

= (u1, u

2, u

3) , v��

= (v1, v

2, v

3) contenidos en el plano (llamados vector directores del plano).

El plano π se suele indicar así: ( ; , )Aπ u v��

Si P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano, entonces como ��AP es c.l. de yu v

�� → ��AP = λ + µu v

�� , con λ, µ ∈ R

− = λ + µ → π ≡ = + λ + µ →π ≡ = + λ + µp a u v p a u v��

: 1 2 3 1 2 3 1 2 3(x, y, z) (a , a , a ) (u , u , u ) (v , v , v )Ecuación vectorial

Igualando las componentes obtenemos las 1 1 1

2 2 2

3 3 3

:

. .

. .

. .

x a u v

y a u v

z a u v

λ µ

π λ µ

λ µ

= + +

≡ = + + = + +

Ecuaciones paramétricas

Observa: - Para obtener puntos del plano se le dan valores a λ y a µ. - Para que un punto P pertenezca al plano, deben existir λ y µ (solución de las ecuaciones)

AP , u y v son l.d.��

Observa que los vectores Luego, ( )det AP , u , v = 0��

Desarrollando el determinante, se obtiene la : 0Ax By Cz Dπ ≡ + + + =Ecuación implícita o general

Observa: - Si se resuelve la ecuación anterior se obtienen las ecuaciones paramétricas. - Para que un punto P pertenezca al plano, debe cumplir la ecuación


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Ecuación normal de un plano

Sea π un plano del espacio del que conocemos un punto A(a1, a

2, a

3) y un vector n

��= (n

1, n

2, n

3)

perpendicular al plano ( n��

se llama vector normal del plano)

El plano π se suele indicar así: ( ; )Aπ n��

Si P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano, entonces n AP , luego n AP = 0⊥��

.

Observa que AP = − − −��

1 2 3(x a , y a , z a )

Desarrollando el producto escalar obtenemos: : 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0n x a n y a n z aπ ≡ − + − + − =Ecuaciónnormal

Efectuando las operaciones se obtiene la ecuación implícita o general del plano: 0Ax By Cz Dπ ≡ + + + =

Recíprocamente, si 0Ax By Cz Dπ ≡ + + + = es la ecuación general de un plano entonces n = (A, B, C)��

es un vector normal del plano

Observa que si u y v��

son vectores directores del plano, entonces el vector n = u x v��

es un vector

normal del plano pues el producto vectorial nos da un vector perpendicular a u y v��

Haz de planos paralelos

Es un conjunto de infinitos planos paralelos entre sí. Si 0Ax By Cz Dπ ≡ + + + = es uno de los planos,

entonces el haz de planos paralelos a π es 0,k Ax By Cz k con k Rπ ≡ + + + = ∈

(dando valores a k se obtienen infinitos planos paralelos a π) Ejercicio 7 Halla las ecuaciones del plano que pasando por el punto (3, 0, –2) tiene de vectores directores (1, 4, 0) y (2, 7, –3)

Rectas dadas como intersección de planos

Si una recta r viene dada como intersección de dos planos

1

2

: 0

: ' ' ' ' 0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

π

π

+ + + =≡

+ + + = (ecuaciones implícitas) y

1 2n = (A, B, C) y n = (A ,́ B ,́ C )́��

son vectores normales a los planos. Entonces, u = n x n��

1 2 es un vector director de la recta


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Ejercicio 8 Halla las ecuaciones del plano que pasa por el punto (1, 1, 2) y es paralelo a las rectas

2

1z =

1

y =

1

2-xr

+−

≡ y

=++−

−=+−≡

1z3yx

2zyx2

s

Haz de planos secantes

Es un conjunto de infinitos planos que se cortan todos en la misma recta. Si 1 20 ´ ´ ´ ´ 0Ax By Cz D y A x B y C z Dπ π≡ + + + = ≡ + + + = son dos planos secantes en la recta r

entonces el haz de planos de base la recta r es ( ) ( ´ ´ ´ )́ 0,k Ax By Cz D k A x B y C z D con k Rπ ≡ + + + + + + + = ∈

(dando valores a k se obtienen infinitos planos que contienen a la recta) Ejercicio 9 Sean los planos α: 2x – y + z = –2 β: –x + y + 3z = 1. a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r donde se cortan b) Calcula el plano que contiene a r y además pasa por el punto A(2, 1, 5)

Ecuación del plano que contiene tres puntos

Se calcula el plano que pasa por un punto cualquiera A, B ó C de vector normal n = AB x AC

��

Ejercicio 10 Halla la ecuación del plano que contiene al triángulo: A(−1, 0, 3), B(2,−1, 1) y C(3, 2,−3).

Ecuación del plano que pasa por un punto y contiene a una recta

- Tomamos de r un punto A y un vector director d

��

- Hallamos el plano π que pasa por P y tiene vectores directores d��

y AP��

Ejercicio 11 Halla la ecuación del plano que contiene a r:2 3

2 1

x y z

x y z

+ − =

− + = y pasa por el origen de coordenadas.


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3.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

Posiciones relativas de dos rectas

( ; ) ( ; )r sSean dos rectas r A y s Bd d��

( ) r sA Si d d�� AB r y s son⇒

��paralelas

( ) r sB Si AB r y s son⇒d d�� coincidentes

( ) rC Si d�� ( )det , , 0s r sy AB r y s son= ⇒d d d��

��

r sSi además r y s son⊥ ⇒d d��

��

En este caso, el punto de corte se obtiene resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas

( )( ) det , , 0r sD Si AB ≠ ⇒d d��

las rectas se cruzan

r sSi además las rectas⊥ ⇒d d��

se cruzan perpendicularmente

Ejercicio 12 Sean las rectas 13 1

x = tx 1 y z

r = = ; s y = 2 tm m 1

z = mt

−

≡ ≡ +−

a) Calcula m para que sean paralelas

b) Halla m para que sean perpendiculares c) Averigua si para m = 2 las rectas se cortan o se cruzan


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Posiciones relativas de dos planos

0 ( ) ´ ´ ´ ´ 0 ( )Ax By Cz D vector normal de A x B y C z D vector normal deα βα α β β≡ + + + = = ≡ + + + = =n n��

Planos coincidentes Planos paralelos

´ ´ ´ ´

n n

´ ´ ´ ´

( , )

A B C Dy además los planos son

A B C D

SiA B C D

y además los planos sonA B C D

en este caso el sistema formado por las ecuaciones de los planos es un SI

α β

= = =

⇒= = ≠

��

coincidentes

paralelos

nSi α

�� n ( tan )Los planos son se cor en una rectaβ ⇒��

��

n n ( , n . n 0)Si además o sea Los planos sonα β α β⊥ = ⇒��

�� !�"#��

Posiciones relativas de tres planos

Las distintas posiciones relativas dibujadas dependerán del carácter del sistema formado por las ecuaciones de los planos.

Ejercicio 13 Estudia la posición relativa en función de "a" de los planos:

=++≡

=++≡

=++≡

1

1

1

3

2

1

azyx

zayx

zyax

πππ


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Posiciones relativas de una recta y un plano

( ; ) 0 ( )Sean una recta r A y un plano Ax By Cz D vector normal aπ π≡ + + + = =d n��

Recta contenida en el plano Recta paralela al plano

,

n

,

y si A entonces la recta está contenida en el plano

Si d

y si A entonces la recta y el plano son paralelos

π

π

∈

⊥ ⇒

∉

��

Recta y plano secantes Recta perpendicular al plano

nSi ⊥��

sec . n ,d La recta y el plano son antes Si además d la recta es perpendicular al plano⇒��

� En este caso, el punto de corte se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano. Ejercicio 14 Estudia la posición relativa de las siguientes rectas con el plano 3x − y + 4z − 2 = 0

2 62 1 1 1

) b) 1= c) 4 22 2 2 1 1

8

x tx y z y z

a x y t

z t

= −− + − −

= = − = = +− − − − = −

4.- PROBLEMAS GEOMÉTRICOS VARIADOS

Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta

Hallamos el plano que pasa por P de vector normal d

��r

Ejercicio 15 Calcula la ecuación del plano que pasa por P(−3, 1, 6) y es ortogonal a la recta r: 2 5 0

2 0

x y

y z

− − =

− + =


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Simétrico de un punto respecto de una recta

Hallamos el punto de corte, M, entre la recta r y el plano que pasa por P y es perpendicular a r.

Después, calculamos P´ usando que M es el punto medio de PP´

Ejercicio 16 Calcula el simétrico del punto P(−3, 1, 6) respecto de la recta r:3 1 0

2

x y

x y z

+ − =

+ − =

Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano

Tomamos como vector director de r cualquier vector normal del plano

Ejercicio 17 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2, 1) y es perpendicular al plano que contiene a los puntos (1, 0, 3), (5,−1, 1) y (3, 2,−3).

Simétrico de un punto respecto de un plano

Hallamos el punto de corte, Q, entre el plano y la recta que pasa por P y es perpendicular al plano.

Después, calculamos P´ usando que Q es el punto medio de PP´ Ejercicio 18 Calcula el simétrico del punto P(2,−1, 5) respecto del plano π ≡ 2x + y − z + 8 = 0.

Recta que pasa por un punto y corta perpendicularmente a otra recta

- Calculamos la ecuación del plano π que pasa por A y es perpendicular a s - Hallamos el punto de corte del plano y la recta, B - La recta que buscamos, r, es la que pasa por A y B

Ejercicio 19 Halla la ecuaciones de la recta r, que contiene al punto P(3,−5, 4) y corta perpendicularmente

a la recta


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Plano que contiene a dos rectas secantes

Calculamos el plano que pasa por un punto cualquiera de r o s , de vector normal x=n d d

��

r s

Ejercicio 20 Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas

Plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano

Calculamos el plano que pasa por un punto cualquiera de r, de vector normal xd n

��

r

Ejercicio 21 Halla la ecuación del plano perpendicular a π: 2x + y − z + 2 = 0, y que contiene a la recta

Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan perpendicularmente

- Se calcula el plano α perpendicular a r y que contiene a s - Se calcula el plano β perpendicular a s y que contiene a r

La recta perpendicular común es t α β= ∩

(Si r y s no fuesen perpendiculares α =n d d��

xs t , β =n d d��

xr t siendo =d d d��

xt r s )

Ejercicio 22 Halla la perpendicular común a

VARIADOS

Ejercicio 23 Halla un plano que contenga a

1

2 0

x z

r

x y z

+ =

≡ + + =

y sea perpendicular a

4 1 0

2 0

x y z

s

x y z

+ + − =

≡ + + + =


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Ejercicio 24 Halla un plano paralelo a π: 2x + y − z + 2 = 0 que contenga a la recta

Ejercicio 25 Calcula la recta simétrica de la recta respecto del plano

π ≡ 2x + y − z + 8 = 0.

Ejercicio 26 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta de ecuaciones 1

2 2 1

x 1 y zr = =

− −≡ y es

paralelo a la recta que pasa por los puntos ( 2, 0, 0 ) y ( 0, 1, 0 )

Ejercicio 27 Halla la recta que corta a r ≡ x = y = z y a s ≡ x = 2 y = 1 y es paralela a

1 2

3

1

x

t y

z

λλ

λ

= +

≡ = = − +

Ejercicio 28 Considera los planos π1: 3x − y + z − 4 = 0; π2: x − 2y + z − 1 = 0 y π3: x + z − 4 = 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1, −1), es paralela al plano π1 y corta a la recta intersección de los planos π2 y π3.

Ejercicio 29 Halla la ecuación de la recta contenida en el plano y + z = 0, que es perpendicular a r: 1

0

x z

y z

+ =

+ =

y pasa por P(1, 1, −1) .

Ejercicio 30 Determina una recta que sea paralela al plano de ecuación x + y + z = 3, que corte a la recta de ecuaciones x = 0, z = 0, y que también corte a la recta de ecuaciones z = 1, y = 0.

Ejercicio 31 Dadas las rectas

Para a = 1, calcula la recta que pasa por (1, 1, 1) y se apoya en r y s.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.- PUNTOS EN EL ESPACIO

1 Dados los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 5, 7). Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB

en tres partes iguales. : P , Q1 13 1 17

Sol. , 3, , 4,3 3 3 3

−

2 Calcula el simétrico del punto P(2, –5, 1) respecto del punto Q(1, –3, 4) ( ): PSol. 0, 1, 7´ −

3 Halla m y n para que A(–1, 3, 2), B(2, –1, –1) y C(m – 2, 7, n) estén en la misma recta Sol.: m 2, n 5=− =

4 Calcula el valor de k para que los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(k, −2, 2) sean coplanarios Sol.: k 5=

2.- ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

5 Sean los puntos A(1, 3, 2), B(2, 5, 1) y C(3, 0, –4). Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto C y es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B. Sol.: (x,y,z) (3,0, 4) (1,2, 1)= − +λ −

6 Los puntos A(1, 1, 5) y B(1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo a

B, está en la recta . Determina los vértices C y D. 1 1Sol.: C( , 5, 0) ; D( , 5, 3)

2 2

7 Halla a y b para que el punto P(−2, a, b) pertenezca a la recta 3 1

32 3

x zr y

− −≡ = + =

− 11 17

Sol.: a , b2 2

−= =


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8 Calcula la ecuación de la recta que pasa por (0, 2, −1) y es paralela a la recta

1 2

: 3

5 7

x t

r y t

z t

= +

= = −

Sol.: (x,y,z) (0,2, 1) (2,3, 7)= − +λ −

9 Determina las ecuaciones del plano paralelo a los vectores (3, 1, −4) y (2, 0, −1) y que contiene al origen de coordenadas Sol.: x 5y 2z 0+ + = 10 Halla la ecuación del plano que es perpendicular al segmento que une los puntos P(1, 2, −1) y Q (3, 0, −3) y que pasa por su punto medio. Sol.: x y z 3 0− + + + =

11 Sean los planos α: x – y + 2z + 1 = 0 β: −x − y + z = 1. a) Halla las ecuaciones de la recta r donde se cortan Sol.: r (x,y,z) ( 1,0,0) ( 1,3,2)≡ = − +λ − b) Calcula el plano que contiene a r y además pasa por el punto A(5, −2, 0) Sol.: x 3y 4z 1 0+ − + =

12 Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 3, 1) y C(2, 1, 2). Sol.: x y 5z 9 0− + + − =

13 Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a la recta

Sol.: x 2y z 0− + + =

14 Calcula la ecuación del plano que pasa por A(8,−1, 3) y es perpendicular a r

Sol.: 2x y 3z 24 0+ + − =

15 Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB, siendo A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0) y que contiene al punto C(2, 1, 2). Sol.: 2x y z 5 0− + − = 16 Calcula la ecuación del plano que contiene al punto (4, 3, −5) y es paralelo a las rectas

2

3 4

x y z

x y z

− + =

− − = − Sol.: x y z 4 0− + + =

17 Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente a 2 3

2 1

x y zr

x y z

+ − =≡

− + =en el punto (1, 1, 0).

Sol.: x 3y 5z 2 0− + + − =

3.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

18 Estudia la posición relativa de las rectas r y s. En el caso de que sean secantes, calcula el punto de corte.

a) 2z2

y1xr −==−≡

−=−−

=+−≡

4zyx3

2zyx

s Sol.: paralelas

b)

Sol.: son secantes en el punto ( 1, 11, 4)−

19 Halla los valores de a para que sean ortogonales las rectas

Sol.: a 3=±

20 Sean r y s las rectas dadas por:

a) Halla el valor de m para que ambas rectas se corten. Sol.: m 1= b) Para m = 1, calcula la ecuación del plano que contiene a r y s. Sol.: 10x 7y 6z 23 0+ + − =


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21 Determina que condición deben cumplir a y b para que los planos

=++≡

=−−≡

=++≡

bzyax

2z2y2x

1z2y2x2

3

2

1

πππ

se corten en una

misma recta Sol.: 2a 2b 1− =

22 Considera el plano mx + 5y + 2z = 0 y la recta

a) Calcula m y n para que la recta sea perpendicular al plano. Sol.: m 3, n 5= = b) Halla m y n para que la recta esté contenida en el plano. Sol.: m 2, n 2= =−

23 Estudia la posición relativa del plano π: 2x + y − z + 2 = 0, y la recta r:

Sol.: Son paralelos

4.- PROBLEMAS GEOMÉTRICOS VARIADOS

24 Calcula el punto simétrico de A(8,−1, 3) respecto de la recta r:

( ): PSol. 4, 8, 8´ −

25 Halla el punto simétrico de P(2, 1, −5) respecto de la recta 0

2 0

x zr

x y

− =≡

+ + = ( ): PSol. 6, 1, 1´ − −

26 Calcula el punto simétrico del punto (1, 0, 4) respecto del plano x − y − 5z + 9 = 0. : P47 20 8

Sol. , ,27 27 27

´−

27 Dadas las rectas

−=−

=−≡

3zy

2zxr

α y z =

1y =

2

1-xs

β+

≡ , se pide :

a) Calcula α y α para que sean ortogonales y coplanarias. 1Sol.: , 2

2α= β=−

b) Para α = 1/2 y α = −2, halla la ecuación del plano que contiene a r y a s. Sol.: 2x y 2z 1 0+ − − = 28 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x = y = z y es perpendicular al plano x + y – z – 1 = 0

Sol.: x y 0− =

29 Calcula la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a 3 0

3 6 0

x y

x z

− − =

− + =.

Sol.: 6x 9y z 2 0− + + =

30 Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta 2 11 0

2 19 0

x yr

y z

− + =≡

+ − =

y contiene a la recta

1 5

: 2 3

2 2

x

s y

z

λλλ

= −

= − + = +

Sol.: 8x 6y 11z 18 0+ + − =

31 Sea r la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 0) y B(1, −1, 0), y sea s la recta que pasa por los puntos C(0, 1, 1) y D(1, 0, −1). Calcula la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. Sol.: 2x z 1 0+ − =

32 Considera los puntos A(1, 0, −1) ; B(2, 1, 0) y la recta 1

2

x yr

x z

+ =≡

+ =

a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. Sol.: x z 2 0− + + = b) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1, 2, 1) y Q(3, 4, 3) está contenida en dicho plano. Sol.: No

33 Calcula la ecuación de la recta que pasando por el origen es paralela al plano x − 2y + z = 1 y al plano que pasa por los puntos (2, 0, 1) ; (0, 2, 1) y (1, −1, 0). Sol.: (x,y,z) (1, 1, 1)=λ 34 Halla la ecuación de la recta, s, que pasa por P(2, 1, −1) , está contenida en el plano π: x − 3y − 3z = 2, y es

perpendicular a la recta2 3

4

x zr

y z

= −≡

= + Sol.: (x,y,z) (2, 1, 1) (0, 1, 1)= − +λ −


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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35 Dadas las rectas

a) Halla un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas.

( ) ( ): P , QSol. 5, 1, 6 r 2, 5, 6 s∈ − ∈

b) Calcula la ecuación de la recta que las corta perpendicularmente Sol.: (x,y,z) (5, 1, 6) (1, 2, 0)= +λ

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1 Determina la relación que debe existir entre a y b para que los puntos (1, 0, 0) ; (a, b, 0) ; (a, 0, b) y (0, a, b) sean coplanarios. 2 2Sol.: a b ab ab+ = 2 ¿Cuál es la ecuación del plano que pasa por el punto (2, 3, −5) y es paralelo al plano x + y − 4z = 1?

Sol.: x y 4z 25 0+ − − = 3 Halla la ecuación del plano que contiene a (3, 4, −5) y es paralelo a los vectores (3, 1, −1) y (1, −2, 1)

Sol.: x 4y 7z 16 0+ + + = 4 Se considera el triángulo de vértices A(1, 4, 2), B(3, 1, −1) y C(−2, 3, 5). Halla la ecuación del plano que contiene a dicho triángulo Sol.: 12x 3y 11z 22 0− + − =

5 Halla la ecuación del plano que contiene a 1

0

x zr

y z

+ =≡

+ = y pasa por P(1, 1, −1). Sol.: y z 0+ =

6 Estudia la posición relativa de las rectas 2 1

12 3

x zy

+ −= + =

− ;

3 0

3 6 0

x y

y z

− − =

− + = Sol.: Las rectas se cruzan

7 Determina a para que

=++

=+≡

0zyax

1zx

r y

=+++

=−++≡

02zyx

01zyax2

s sean perpendiculares. 1Sol.: a 2, a

2= =

8 Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones

x + y = 1 ; ay + z = 0 ; x + (1 + a)y + az = a + 1 a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? Sol.: a 1= b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos. Sol.: Se cor tan en una recta

9 Halla el punto de intersección del plano x + 2y − z = 0 y la recta 3 5

4 13

x y

x y z

− =

+ − = −. ( ): PSol. 2, 1, 4

10 Considera el plano π: 2x − y + nz = 0 y la recta 1 1

, 04 2

x y zr con m

m

− −≡ = = ≠

(a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. 1Sol.: m 8, n

2

−=− =

(b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. Sol.: m 4, n 2= =−

11 Determina b para que la recta 6

z =

b

2y =

3

1-xr

−≡ no corte al plano π: 2x − 4y +5z = 6 Sol.: b 9=

12 Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3). Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. Sol.: x y z 2 0+ − − =

13 Calcula la ecuación del plano que pasa por P(1, 0, 2) y es perpendicular a 2 4 0

2 8 0

x yr

y z

− − =≡

+ − =.

Sol.: x 2y z 1 0+ − + =

14 Halla el simétrico de A(−3, 1, −7) respecto de la recta 3 1

12 2

y zr x = =

− +≡ + ( ): ASol. 3, 3, 3´ − − −

15 Calcula el punto simétrico del punto P(1, −2, 3) respecto del plano π: x + 2y − z = 0. ( ): PSol. 3, 2, 1´


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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16 Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r: (1, −1, 5) + k(1, 1, −3) y s: x y z−

=+−

=−1

2

1

1

5

6

Sol.: x 4y z 0− + + =

17 Determina la ecuación del plano que contiene a

=−

=+≡

z2yx

4yxr y es perpendicular a π: x + y − z = 2

Sol.: y z 2 0+ − =

18 Halla la ecuación del plano que contiene a 1

2 2

x

y z

=

− = − y es paralelo a

1 13

3 2

x yz

− += = − + .

Sol.: 5x 6y 3z 11 0− + − =

19 Calcula la ecuación de la recta paralela al plano x + z = 2 y corta perpendicularmente a la recta 0

2

x y

y z

+ =

+ =

en el punto (−2, 2, 0). Sol.: (x,y,z) ( 2, 2, 0) (1, 0, 1)= − +λ −

20 Sean α el plano que pasa por los puntos (1, 1, 0) ; (1, 0, 1) y (0, 1, 1), y β: x + 2y + 3z = 0. a) Comprueba que el punto P(0, 1, 0) no pertenece a ninguno de los planos b) Halla la ecuación de la recta r paralela a los dos planos que pasa por P. Sol.: (x,y,z) (0, 1, 0) (1, 2, 1)= +λ −

21 Considera las rectas

a) Comprueba que r y s son secantes. b) Obtén la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. Sol.: (x,y,z) (2, 2, 1) (1, 1, 0)= − +λ

22 Sea r la recta que pasa por A(1, 1, 1) y B(1, 0, 0) y π el plano que pasa por C(0, 2, 1) y es perpendicular a r.

Calcula el punto P en el que se cortan r y π. : P3 3

Sol. 1, ,2 2

23 Sea π el plano determinado por los puntos P(1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, a), y sea la recta

a) Obtén la ecuación de π. Sol.: ax ay z a 0+ + − = b) Determina el valor de a para el que r y π son paralelos. Sol.: a 1=−

c) Halla el valor de a para el que r y π son perpendiculares. 1Sol.: a

2=

24 Considera las rectas

a) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Sol.: x 0= b) Calcula la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a s. Sol.: z 0= c) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. Sol.: (x,y,z) (1, 0, 0)=λ

25 Calcula el valor del parámetro k para que la recta 0

1

x y zr

x y z

+ + =≡

− − = sea paralela al plano

π: kx + y + kz = 1. Sol.: k 1=

26 Dados el punto A(3, 5, –1) y la recta 1 1

22 4

x zr y

− +≡ = + = , halla el punto B de r tal que el vector AB

�� sea

paralelo al plano π: 3x – 2y + z + 5 = 0. ( ): BSol. 1, 3, 5− − −

27 De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación x – y = 0, que (0,0,0) pertenece a r , y que el vector (0, 0, 1) es perpendicular a r. Determina la ecuación de la recta r. Sol.: (x,y,z) (1, 1, 0)=λ

28 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta

Sol.: (x,y,z) (2, 1, 1) (1, 1, 4)= +λ −

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1.- PUNTOS EN EL ESPACIO - iesaricel.orgiesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17/2 bach-mat2... · 2º bachillerato (lomce) – matemÁticas ii – tema 5.- puntos, rectas