Ratna Novitasari, S.Si., M.Si.Jurusan Matematika

Universitas Diponegoro

Program Dinamis (dynamic programming): metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

Apabila dalam riset operasional yang lain, memiliki formulasi standar untuk memecahkan masalah, maka dalam pemrograman dinamis ini tidak ada formulasi yang standar, artinya setiap masalah dalam pemrograman dinamis memerlukan pola pendekatan atau penyelesaian yang berbeda satu dengan lainnya.

Oleh karena itu perlu berlatih soal sebanyak mungkin untuk mendapatkan banyak bentuk penyelesaian kasus yang berbeda-beda.

Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini:

1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin,

2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya,

3. kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

1 3

2

4

5

6

7

8

9

10

7

2

4

3

1

3

4

5

3

3

3

6

4

14

6

4 3

2

4

Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas.

Prinsip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal.

Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap awal.

ongkos pada tahap k +1 = (ongkos yang dihasilkan pada tahap k ) +

(ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)

Dengan prinsip optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya.

Pada metode greedy hanya satu rangkaian keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip optimalitas yang akan dihasilkan.

1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.

2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

1

3

2

4

6

7

8

9

11

10

5

12

V 1 V 2 V 3 V 4 V 5

3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.

4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan.

5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

7. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju (forward atau up-down) dan mundur (backward atau bottom-up).

Misalkan x1, x2, …, xn menyatakan peubah (variable) keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2, …, n. Maka,

1. Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x1, x2, …, xn.

2. Program dinamis mundur.Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.

1. Karakteristikkan struktur solusi optimal.2. Definisikan secara rekursif nilai solusi

optimal.3. Hitung nilai solusi optimal secara maju

atau mundur.4. Konstruksi solusi optimal.

• Seorang pebisnis akan pergi dari Kota A ke Kota J dengan menggunakan kendaraan umum.

• Banyak kemungkinan jalan yang dapat digunakan dari A J

• Pebisnis diatas menginginkan perjalanan dari A J dengan biaya paling murah

• Besar biaya dan rute jalan dari A J disajikan dalam tayangan berikut.

Kita coba penyelesaian bahwa dalam setiap tahap/rute kita pilih yang biayanya termurah

• Jika hitungan diawali dari A , hasilnya:A B F I J dengan biaya2+4+3+4 = 13

• Jika hitungan diawali dari J, hasilnya:J H E C Adengan biaya3+1 +3+4 = 11

• Cara yang dapat ditempuh adalah trial & error

• Pilih variabel keputusan xn (n = 1,2,3,4) sebagai kota yang harus ditempuh pada tahap n, sehingga rute seluruhnya adalah x1 x2 x3 x4 dengan x1=A dan x4=J

• Pilih fn(s,xn) sebagai biaya total untuk kebijakan keseluruhan dari tahapan selanjutnya dengan pebisnis sampai pada kondisi s, siap berangkat ke tahap n, dengan memilih xn sebagai kota tujuan berikut

• Pada kondisi s dan tahap n, gunakan xn* sebagai sembarang nilai yang meminimumkan fn(s,xn), gunakan fn*(s) sebagai nilai minimum dari fn(s,xn)

• fn*(s) = min fn(s,xn) = fn(s,xn*) dengan fn(s,xn) adalah biaya sekarang (tahap n) + minimum biaya yad (tahap n+1 dan selanjutnya) atau fn(s,xn) = cs(xn) + fn+1*(xn)

Tahap 4

Tahap 2

Tahap 1

TUGAS!

1. Selesaikan permasalahan contoh di atas menggunakan program dinamis maju

2. Sebuah truk paket harus melakukan pengiriman barang dari tempat asal ke tujuan pengiriman terakhir dengan route yang bermacam-macam. Setiap route melalui tempat yang berbeda-beda. Gambar berikut menunjukkan route yang mungkin dilalui (tanda panah) dengan biaya-biayanya.

Tentukan route dengan biaya yang paling minimum menggunakan program dinamik maju dan mundur!

DAFTAR PUSTAKA

Hillier, Lieberman, 1980, Introduction to Operation Research, 3 rd edition, Holden Day