1 Números racionales 1 NÚMEROS RACIONALES · PDF fileproblemas relacionadas con el estudio de los distintos tipos de números. ... Operar con números decimales. 6. Resolver problemas

1 Números racionales

2Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

E l desarrollo del sentido numérico iniciado en cursos previos continúa en este con la ampliación de los conjuntos de números a utilizar y la consolidación de los ya estudiados. Esto se pone de manifiesto al establecer relaciones entre distintas formas de representación numérica, como es el caso de fracciones, decimales y porcentajes. Es especialmente importante una comprensión de las operaciones que permita el

uso razonado de las mismas, en paralelo con el desarrollo de la capacidad de estimación y cálculo mental que facilite ejercer un control sobre los resultados y posibles errores y no solo la consecución de los algoritmos de cálculo. Se incrementa en este curso, y en particular en esta unidad, el dominio del uso de la calculadora científica.

Será importante poner énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes. Se tratará de aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la resolución de cuestiones cotidianas del ámbito personal, social y laboral, en las que las matemáticas son fundamentales, puesto que habrá que traducir situaciones habituales al lenguaje matemático utilizando números, gráficos, tablas, etc., realizar operaciones y facilitar la información resultante de forma precisa y clara. Además, para lograr un aprendizaje significativo es preciso relacionar los conocimientos y experiencias previos del alumnado con los nuevos. Por ello, los contenidos de la unidad se presentan partiendo de problemas extraídos de situaciones co-tidianas, de otras ciencias y de contextos sociales.

En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) El lenguaje matemático está presente en los medios de comunicación a través de datos numéricos, tablas, gráficas, porcentajes, etc. A lo largo de la unidad se desarrollará la comprensión e interpretación de textos imbricados en la realidad social, científica y tecnológica.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)La competencia matemática requiere de conocimientos sobre números y medidas, así como de las operaciones y representaciones matemáti-cas, que se trabajan a lo largo de la unidad, contribuyendo al desarrollo del pensamiento científico.

Competencia digital (CD)A lo largo de la unidad se muestra la funcionalidad de la calculadora científica.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Para poder participar plenamente en la sociedad actual es fundamental adquirir los conocimientos que permitan comprender y analizar de manera crítica modelos y pautas comunes que se presentan en la publicidad y los medios que incitan al consumo. En esta unidad se trabaja dicha competencia en la sección de Matemáticas vivas.

Competencia aprender a aprender (CAA)De modo progresivo se plantean situaciones que obligan a trabajar contenidos diversos que contribuyen a integrar conocimientos vistos en otros cursos e incluso en otras materias, condición imprescindible para que el aprendizaje resulte significativo. A este respecto se propone el análisis de una factura telefónica.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)En la resolución de problemas confluyen la funcionalidad de los aprendizajes, las destrezas de razonamiento y las estrategias de resolución gestionando los propios conocimientos y habilidades para alcanzar el fin propuesto. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas acti-vidades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Emplear las fracciones y los números decimales, así como sus operaciones, en distintos contextos.❚❚ Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.❚❚ Clasificar números reales en los distintos conjuntos numéricos.

NÚMEROS RACIONALES1

3

1Números racionales

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

❚❚ Construir intervalos que describan conjuntos numéricos definidos por desigualdades.❚❚ Aproximar un número por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.❚❚ Estimar los errores absoluto y relativo cometidos al trabajar con números aproximados.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de números racionales.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando números racionales.

Atención a la diversidadEl profesor podrá diseñar itinerarios de aprendizaje diversificados en la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación que aborden los mismos conocimientos que se presentan en la unidad situando el objeto a estudiar con distintos niveles de dificultad.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los distintos tipos de números. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre números y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números enteros pueden acceder a la lección 1066 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

FraccionesComparación de fracciones

1. Simplificar y comparar fracciones. 1.1. Identifica fracciones equivalentes.1.2. Ordena y representa fracciones.

1, 2, 11, 55, 565-10, 35-37, 57, 58CM1, CM2

CMCTCDCAA

Operaciones con fracciones

2. Realizar operaciones con fracciones.

3. Resolver problemas extraídos de situaciones reales empleando las fracciones.

2.1. Resuelve operaciones combinadas con fracciones.

3.1. Soluciona problemas empleando una fracción como operador. 3.2. Aplica las fracciones a la resolución de problemas.

12-1420, 2159-623, 4, 1563, 66 16-19, 22, 64, 65, 67, 68, 75, 76

CLCMCTCSCCSIEE

Fracciones y números decimalesTipos de números decimalesFracciones generatrices

4. Ordenar números decimales.

5. Operar con números decimales.

6. Resolver problemas aritméticos empleando números decimales.

7. Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción y viceversa.

4.1. Compara números decimales e interpola un número decimal entre dos dados.

5.1. Realiza operaciones combinadas con números decimales.

6.1. Resuelve problemas en los que intervienen números decimales.

7.1. Transforma fracciones en números decimales. 7.2. Calcula la fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico.

29, 34

31-33, 73, 74

30, 82, 84 Matemáticas vivas 1-3 23-25, 28, 69-71 26, 2772

CLCMCTCDCAACSIEE

Números racionales e irracionalesIntervalos

8. Representar números racionales.

9. Identificar los distintos tipos de números reales.

10. Definir y expresar intervalos de números reales.

8.1. Emplea el teorema de Tales para representar números racionales.

9.1. Clasifica los números reales en los diversos conjuntos numéricos.

10.1. Identifica y representa intervalos en la recta real.10.2. Escribe en forma de intervalo conjuntos numéricos definidos por desigualdades y viceversa.

35-37

38-41, 4577, 78

4279, 8043, 44

CMCTCDCAA

AproximacionesError absoluto y error relativo

11. Hallar la aproximación por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.

12. Calcular el error absoluto y relativo cometido al aproximar números.

11.1. Aproxima números decimales a un orden determinado.

12.1. Estima resultados y errores en la solución de problemas.

46, 49, 81 Matemáticas vivas 3, Trabajo cooperativo47, 4850-5482-85

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Operaciones con fracciones • Fracción generatriz • Aproximaciones

AvanzaRepresentación gráfica de números

irracionales tipo n

Cálculo mentalEstrategia para comparar fracciones

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Tablas y reglas de cálculo

1. Fracciones • Comparación de fracciones

2. Operaciones con fraccionesVídeo. Operaciones con fracciones

3. Fracciones y números decimales • Tipos de números decimales • Fracciones generatrices

4. Números racionales e irracionales • Intervalos GeoGebra. Representación de números

racionales

5. Aproximaciones • Error absoluto y error relativo

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLección 1066 de la web www.mismates.es

Comprende y resuelve problemas


Matemáticas vivasInterpretación de facturas • Importancia de los números reales y

las operaciones aritméticas en la vida cotidiana

Trabajo cooperativo. Tarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Practica+

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO4

5



Sugerencias didácticas

La unidad se inicia proponiendo unos ejercicios de prospec-ción con los que se pretende recordar aquellos contenidos mínimos de aritmética que consideramos imprescindibles para comprender los conceptos que más tarde se presentan.

Es evidente que el nivel de los estudiantes al comenzar la exposición del tema no es el mismo para todos. Por ello es necesario homogeneizar los conocimientos relativos a con-ceptos y algoritmos de cálculo con números reales, pues los contenidos aquí tratados aparecerán a lo largo del curso en distintas ocasiones.

En todos los apartados hay gran profusión de ejemplos re-sueltos, casi todos relacionados con situaciones reales, de modo que podremos trabajar los contenidos de la unidad planteados en diversos contextos de la vida real.

Contenido WEB. GEROLAMO CARDANO

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explican los usos antiguos y actuales de las tablas y reglas de cálculo. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

5

1En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo, la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos las fracciones para identificar valores numéricos que no son enteros.

NÚMEROS RACIONALES

REPASA LO QUE SABES1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.

7 −3 −19 11 15

2. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5)

b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4)

c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5

d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)

3. Factoriza estos números como producto de números primos.

a) 180

b) 255

c) 330

4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?

5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.

En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo, la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos las fracciones para identificar valores numéricos que no son enteros.

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Números enteros.

❚ Operaciones con números

enteros.

❚ Divisibilidad.

❚ Máximo común divisor

y mínimo común

múltiplo.

Antes de las calculadoras electrónicas que podemos utilizar hoy en día, los matemáticos se servían de tablas y reglas de cálculo para agilizar la resolución de problemas.

Matemáticas en el día a día ][mac3e1

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.

7 −3 −19 11 15

−19 < − 3 < 7 < 11 < 15

2. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5) c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5

b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4) d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)

a) 3 ⋅ (−6) + 11 ⋅ (−2) = −18 − 22 = −40 c) −10 ⋅ (−8) − (−20) = 80 + 20 = 100

b) (−4) ⋅ 4 = −16 d) −5 + 8 + 2 − 7 + 15 = 13

3. Factoriza estos números como producto de números primos.

a) 180 b) 255 c) 330

a) 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 b) 255 = 3 ⋅ 5 ⋅ 17 c) 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?

A partir de la factorización de 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 obtenemos los divisores positivos de 330:

1 2 3 5 6 10 11 15

330 165 110 66 55 33 30 22

Tiene 16 divisores positivos.

5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.

1 155 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11

588 = 22 ⋅ 3 ⋅ 72

m.c.d. (1 155, 588) = 3 ⋅ 7 = 21

m.c.m. (1 155, 588) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 72 ⋅ 11 = 32 340



1. Fracciones

7

1Actividades1 Números racionales

6

Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.

a) c)

b) d)

Halla la fracción equivalente a 35

91 cuyo numerador

es 5.

1

2

¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de

gastar 2

7 de su dinero, le quedan aún 15 €?

¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar 5

7

de su contenido, quedan 34 litros?

3

4

La capacidad de un vaso es 2

5 de litro, y la de una

botella es 1

3 de litro. ¿Cuál de los dos recipientes

tiene más capacidad?

Ordena de menor a mayor estas fracciones.

1

4

5

12−

11

48

15

36−

7

9−

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.

a) 512

403

512

401

512

402

512

404

b) 9 762

9 123

9 762

9 121

9 762

9 124

9 762

9 119

Dados tres números naturales, a, b y c, tales que

b < c, ¿qué fracción es mayor: a

b

a

co ?

Ordena de menor a mayor estas fracciones, sin reducirlas a común denominador.

35

31−

23

18

7

11−

11

13

5

6

7

8

9

Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.

a) 23

5 b)

19

8 c)

8

9

10

1. FRACCIONES

En un partido de baloncesto, el base del equipo local ha anotado 64 de los 80

puntos marcados por su equipo. Es decir, ha conseguido 64

80 de la puntuación total.

Utilizamos una fracción para representar el número de aciertos con respecto al total.

Una fracción es un cociente a

b de dos números enteros, donde b ≠ 0.

Todos los números que se pueden escribir como fracción reciben el nombre de números racionales.

Las fracciones 64

80 y

80

100 representan

el mismo número, es decir, el base tiene un 80 % de acierto. Son fracciones equivalentes.

También la fracción 4

5 es una

fracción equivalente a ellas; además, es una fracción irreducible, porque no puede simplificarse.

Se dice que una fracción m

n es irreducible si m.c.d. (m, n) = 1.

Aprenderás a… ● Utilizar fracciones en diferentes contextos.

● Reconocer los números racionales.

Lenguaje matemáticoAl conjunto de los números racionales lo designamos por la letra .

Presta atención

Toda fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva.

Dos fracciones a

b y

c

d son

equivalentes si: a ⋅ d = b ⋅ c

Recuerda

} Determina la fracción irreducible equivalente a esta otra: 200

225Solución

Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador:

m.c.d. (200, 225) = 25

Dividimos el numerador y el denominador por 25: =200

225

8

9

EJERCICIO RESUELTO

} ¿Cuánto pesaba una pizza si, después de comernos cinco octavos de la misma, quedan 150 g?

Solución

Después de comernos 5

8 de pizza, quedan

3

8 de la

misma.

Entonces 3

8 de la pizza pesan 150 g, y

1

8 pesa:

150 : 3 = 50 g

La pizza completa, esto es, ocho octavos de pizza, pesa 50 ⋅ 8 = 400 g.

EJERCICIO RESUELTO

} Sitúa la fracción 29

12 entre dos números enteros

consecutivos.

Solución

Situamos el numerador, 29, entre dos múltiplos consecutivos del denominador: 24 < 29 < 36

Dividimos estas desigualdades por el denominador y obtenemos el siguiente resultado:

24

12

29

12

36

12< <

En conclusión: 229

123< <

EJERCICIO RESUELTO

Comparación de fraccionesEn el siguiente partido que disputó el equipo local, el base consiguió 78 de los 96 puntos que obtuvo su equipo. Para saber en qué partido fue más efectivo,

comparamos las siguientes fracciones: 64

80y

78

96

Las reducimos a común denominador: = =64

80

384

480y

78

96

390

480

Como 384 < 390, resulta que = =64

80

384

480

390

480

78

96< , esto es:

64

80

78

96<

De este modo, el base fue más efectivo en el segundo partido.

Para comparar dos fracciones, se reducen a común denominador, y es menor aquella cuyo numerador es menor.

DESAFÍO

Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones ++

a

b

a

by

1

1?11

m.c.m. (80, 96) = 480

Soluciones de las actividades1 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.

a) b) c) d)

a) 1

2 b)

7

9 c)

1

3 d)

2

3

2 Calcula la fracción equivalente a 35

91 cuyo numerador es 5.

35

91=

5

13

3 ¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de gastar 2

7 de su dinero, le quedan aún 15 €?

Como 15 € son 5

7 del dinero de Eva,

1

7 de ese dinero son 3 €. En consecuencia, Eva salió de casa con: 7 ⋅ 3 = 21 €


El alumno ya ha trabajado con fracciones en cursos previos, por lo que le resultará sencillo este epígrafe. En él se explica cuándo dos fracciones son equivalentes y cómo encontrar la fracción irreducible equivalente a una dada.

Es conveniente que al finalizar la sección el alumno sepa simplificar fracciones en un solo paso, esto es, dividiendo el

numerador y el denominador de la misma por el máximo común divisor de ambos.

También se repasa el procedimiento para comparar frac-ciones expresándolas con el mismo denominador positivo.

7



4 ¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar 5

7 de su contenido, quedan 34 litros?

Como 34 L son 2

7 de la capacidad de la vasija,

1

7 son 17 L. Así, la capacidad de la vasija es: 7 ⋅ 17 = 119 L

5 La capacidad de un vaso es 2

5 de litro, y la de una botella es

1

3 de litro. ¿Cuál de los dos recipientes tiene más capacidad?

2

5=

6

15

1

3=

6

15

5

15<

6

15→

1

3<

2

5→ La capacidad del vaso es mayor que la de la botella.

6 Ordena de menor a mayor estas fracciones.

1

4−

5

12

11

48−

15

36−

7

9

m.c.m. (4, 12, 48, 36, 9) = 144

1

4=

36

144−

5

12= −

60

144

11

48=

33

144−

15

36= −

60

144−

7

9= −

112

144

−112

144<−

60

144= −

60

144<

33

144<

36

144→ −

7

9<−

5

12= −

15

36<

11

48<

1

4

7 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.

a) 512

403

512

401

512

402

512

404 b)

9 762

9 123

9 762

9 121

9 762

9 124

9 762

9 119

a) 512

404<

512

403<

512

402<

512

401 b)

9 762

9 124<

9 762

9 123<

9 762

9 121<

9 762

9 119

8 Dados tres números naturales, a, b y c, tales que b < c, ¿qué fracción es mayor: a

boa

c?

Como los números b y c son positivos y b < c se cumple que: 1

c<

1

b9 Ordena de menor a mayor estas fracciones, y sin reducirlas a común denominador.

−35

31

23

18−

7

11

11

13

La fracción −35

31 es menor que −1, mientras que −

7

11 es negativa pero mayor que −1. En consecuencia, −

35

31<−

7

11.

Por otro lado, 0 <11

13<1<

23

18, así que: −

35

31<−

7

11<

11

13<

23

1810 Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.

a) 23

5 b)

19

8 c)

8

9

a) 4 =20

5<

23

5<

25

5= 5 b) 2 =

16

8<

19

8<

24

8= 3 c) 0 =

0

9<

8

9<

9

9= 1

Desafío

11 Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones a

bya + 1

b + 1?

Si las fracciones fuesen equivalentes se cumpliría la igualdad: a

b=

a + 1

b + 1Entonces: a(b + 1) = b(a + 1) → ab + a = ab + b → a = b, lo que es falso, pues a y b son distintos.

Por tanto, las fracciones no son equivalentes.



2. Operaciones con fracciones

9


8

María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?

Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen 9

10 de la superficie

cultivable; ¿cuál es la superficie total de la finca?

¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?

Calcula y simplifica.

a) 1 :2

5−

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

784⋅784

9 b) −

3

8+ 2 ⋅ 3−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

3:

1

6

Efectúa las siguientes operaciones.

a) +2

9

3

4

1

2

1

3

1

4⋅ − ⋅ c)

1

7+

2

3⋅

3

4+

1

5⋅

3

2−

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + 2

b) 1

2+

5

6⋅

3

10− 3−

4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d)

5

3⋅

2

4−

2

3−

5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

2

7

17

18

19

20

21

2. OPERACIONES CON FRACCIONES

Andrea ha plantado tomates, pimientos y patatas en su huerta. Si los tomates

ocupan 1

6 del total de la superficie de la huerta, y los pimientos,

7

10, podemos

hallar la fracción de la huerta que Andrea destinó a las patatas.

Calculamos la extensión dedicada a los tomates y a los pimientos sumando las

fracciones correspondientes: + = + = =1

6

7

10

5

30

21

30

26

30

13

15

Por tanto, la fracción de la superficie de huerta destinada a las patatas es la diferencia

del total menos la fracción calculada, es decir: = =113

15

15

15

13

15

2

15− −

Si después de una tormenta, solo 2

3 de la superficie dedicada a los pimientos se

mantiene practicable, entonces = =2

3

7

10

14

30

7

15⋅ es la fracción de la huerta de la

que Andrea podrá recoger pimientos.

El día de la cosecha, Andrea avisa a 5 amigos, de modo que cada uno se encargará

de recoger los pimientos de = =:7

156

7

15

1

6

7

90⋅ de la superfice de la huerta.

❚ La suma de fracciones es la fracción que se obtiene reduciendo a común denominador y sumando los numeradores.

❚ El producto de fracciones es la fracción que se obtiene multiplicando los numeradores y los denominadores.

❚ El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera por la fracción inversa de la segunda.

Aprenderás a… ● Realizar operaciones con fracciones.

Presta atención

El producto de una fracción por su fracción inversa es igual a la unidad.

3

4⋅

4

3=

12

12= 1

❚ Para sumar fracciones, debemos reducirlas a común denominador; para ello podemos utilizar el mínimo común múltiplo.

❚ Cuando restamos fracciones, sumamos a la primera la opuesta de la segunda.

Recuerda

} Calcula: 3

7−

6

7:

2

3⋅5

6+

6

4−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Solución

Si las operaciones con fracciones aparecen combinadas, aplicamos la misma jerarquía que en el caso de los números naturales y enteros.

EJERCICIO RESUELTO

Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.

a) +5

3

4

7 c) +

3

2

3

7

3

4− e)

3

4

8

5⋅ g) 2

4

7:

b) 7

9

2

3− d) +

7

4

1

6

4

3− f)

9

5

6

5: h) 3

7

9⋅

Realiza las operaciones y simplifica.

a) 1111

2222

1111

4 444+ c)

765908

10

5

765908⋅

b) 5

6

9

20− d)

100

77

10

11:

¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?

¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?

¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?

12

13

14

15

16

DESAFÍOUn depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda 4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?

22

mac3e2

En tu vida diaria

Cuando depositas en un banco una cantidad de dinero durante cierto tiempo, este devuelve al cliente la cantidad depositada más unos intereses. El interés I que produce un capital C depositado durante un tiempo t (expresado en años) a un interés del i % anual es:

I = C ⋅ i

100

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ t

Soluciones de las actividades12 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.

a) 5

3+

4

7 c)

3

2+

3

7−

3

4 e)

3

4⋅8

5 g) 2 :

4

7

b) 7

9−

2

3 d)

7

4+

1

6−

4

3 f)

9

5:

6

5 h) 3 ⋅

7

9

a) 35

21+

12

21=

47

21 c)

42

28+

12

28−

21

28=

33

28 e)

6

5 g)

7

2

b) 7

9−

6

9=

1

9 d)

21

12+

2

12−

16

12=

7

12 f)

3

2 h)

7

3


En estas páginas podemos enfatizar que la suma, el pro-ducto y la división de números racionales son operaciones internas.

Es conveniente indicar a los alumnos que cuando expresen varias fracciones con denominador común, para posterior-mente efectuar su suma, empleen como tal el mínimo co-mún múltiplo de los denominadores de las fracciones da-das, pues esto hace más sencillo el proceso de simplificar el resultado obtenido.

También se trabajan las operaciones combinadas con frac-ciones, donde es importante insistir en que la jerarquía que se aplica es la misma que la que ya se había trabajado con los números naturales y enteros en cursos anteriores.

Vídeo. OPERACIONES CON FRACCIONES

En el ejercicio resuelto se propone el cálculo de una operación combinada y en el vídeo puede verse la resolución del mismo ha-ciendo hincapié en la jerarquía de las operaciones y mostrando el paso a común denominador de las fracciones. Puede reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

9



13 Realiza las operaciones y simplifica.

a) 1 111

2 222+

1 111

4 444 b)

5

6−

9

20 c)

765 908

10⋅

5

765 908 d)

100

77:10

11

a) 3

4 b)

23

60 c)

1

2 d)

10

714 ¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?

Como 1

3 de las plazas están ocupadas, en el garaje hay: 531 ⋅

1

3 = 177 vehículos

15 ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?

Se necesitan 333 : 3

4 = 444 botellas.

16 ¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?

Se pueden llenar 5

2:

1

6 = 15 vasos.

17 María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?

El libro cuesta 12 : 3

4 = 16 €.

18 Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen 9

10 de la superficie cultivable; ¿cuál es la superficie total

de la finca?

La superficie total de la finca es 720 : 9

10 = 800 ha.

19 ¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?

30 = 3000 ⋅2

100

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ t → t =

1

2 Ha sido depositado medio año.

20 Calcula y simplifica.

a) 1:2

5−

1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

784⋅784

9 b) −

3

8+ 2 ⋅ 3−

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

3:

1

6

a) 1:3

10+

2

9=

10

3+

2

9=

32

9 b) −

3

8+ 2 ⋅

11

4+ 4 = −

3

8+

11

2+ 4 =

73

821 Efectúa las siguientes operaciones.

a) 2

9⋅

3

4−

1

2+

1

3⋅

1

4 b)

1

2+

5

6⋅

3

10− 3−

4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c)

1

7+

2

3⋅

3

4+

1

5⋅

3

2−

5

7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + 2 d)

5

3⋅

2

4−

2

3−

5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

2

7

a) 1

6−

1

2+

1

12= −

3

12= −

1

4 c)

1

7+

1

2+

1

5⋅11

14+ 2 =

196

70=

14

5

b) 1

2+

1

4−

11

5= −

29

20 d)

5

6− (−1) :

2

7=

5

6+ 1:

2

7=

5

6+

7

2=

26

6=

13

3

Desafío22 Un depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda

4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?

En una hora, el primer grifo llena 1

6 del depósito, mientras que entre los dos grifos llenan

1

4 del mismo.

Por tanto, en una hora, el segundo grifo llena 1

4−

1

6=

1

12 del depósito. Estos significa que si solo se abre el segundo

grifo, el depósito tardaría 12 h en llenarse.



3. Fracciones y números decimales

11


10

Halla la expresión decimal de estas fracciones.

a) 8

3 e)

15

12−

b) 56

21− f)

35

90

c) 28

70 g)

143

220

d) 7

9 h)

3086

495

Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.

a) 9

20 e)

15

90

b) 33

77− f)

908

100

c) 5

6 g)

45

15−

d) 2

9 h)

17

50

Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

a) 3,26 f) 3,578 312 831 283…

b) 54,060 060 060… g) 87,567 01

c)

2,36 h)

4,08

d) 53,68 i)

21,3

e) 28,5

j) 0,972

Halla la fracción generatriz de estos números.

a) 7,34 f) 7,53−

b) −2,55 g)

1,19−

c) 0,000 3 h) 1,241

d)

1,4 i)

2,009

e) 2,3 j) 0,38

Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a) −3,004 444… e) 4,121 212…

b) 0,013 333… f) 2,365 656…

c) 6,324 324… g) 25,84

d) 7,18 h) 13,555…

23

24

25

26

27

Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.

a) 3,27

b) 6,032 121 212…

c) 24

d) 5,370 371 372…

Ordena de menor a mayor estos números decimales.

0,34

0,3 0,330,34 0,34 0,3

¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?

28

29

30

Determina la expresión decimal del valor de 2a − b,

si =a 1,276 y

=b 0,473 .

Dados los números =p 3,412 y

=q 1,7, calcula:

a) p ⋅ qb) p : q

Expresa como fracción irreducible el resultado de

esta operación: �

�

0,8

0,361,4−

31

32

33

3. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Tipos de números decimalesPodemos expresar cualquier fracción como un número decimal si dividimos el numerador por el denominador.

❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición factorial solo los factores primos 2 o 5, el número decimal que resulta es exacto.

= =75

100

3

40,75

Es un número decimal exacto porque tiene un número limitado de cifras decimales.

4 = 22

❚ Si el denominador de la fracción irreducible no contiene en su descomposición los factores 2 y 5, el número decimal que resulta es un número decimal periódico puro.

10

15

2

30,666… 0,6= = =

Es un número decimal periódico puro porque el período comienza después de la coma.

❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición otros factores primos además del 2 o del 5, decimos que el resultado es un número decimal periódico mixto.

75

18

25

64,1666… 4,16= = =

Es un número decimal periódico mixto porque tiene anteperíodo.

6 = 2 ⋅ 3

Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.

Fracciones generatricesSi conocemos un número decimal exacto o periódico, podemos hallar la fracción cuya expresión decimal coincide con dicho número.

❚ Si el número decimal es exacto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión decimal y despejamos.

==

= =

a

a

a

0,35

100 35

35

100

7

20

❚ Si el número decimal es periódico puro, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el período y restamos las igualdades para despejar.

→

=

=

=

= =

b

b

b

b b

1,34

100 134,34

1,34

99 133133

99

−

❚ Si el número decimal es periódico mixto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el anteperíodo y el período. Volvemos a multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número decimal. Restamos las igualdades obtenidas y despejamos.

→

=

=

=

= = =

c

c

c

c c

0,385

1000 385,85

10 3,85

990 382382

990

191

495

−

Todo número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción. La fracción irreducible equivalente a ella se denomina fracción generatriz.

Aprenderás a… ● Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.

} Calcula la suma de los números decimales

0,176

y 0,437 .

Solución

Calculamos sus fracciones generatrices:

=

=

=

=

=

a

a

a

a

a

0,176

1000 176,6

100 17,6

900 159

159

900

−

=

=

=

=

=

b

b

b

b

b

0,437

1000 437,7

100 43,7

900 394

394

900

−

Sumamos las fracciones: + =159

900

394

900

553

900

Obtenemos, así, la expresión decimal del resultado:

553

9000,614=

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO¿Son iguales los números

5,9 y 6? ¿Y los números

7,59 y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fracciones generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?

34

Soluciones de las actividades23 Halla la expresión decimal de estas fracciones.

a) 8

3 b) −

56

21 c)

28

70 d)

7

9 e) −

15

12 f)

35

90 g)

143

220 h)

3 086

495a) 2,6

b) −2,6

c) 0,4 d) 0,7

e) −1,25 f) 0,38

g) 0,65 h) 6,234

24 Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.

a) 9

20 b) −

33

77 c)

5

6 d)

2

9 e)

15

90 f)

908

100 g) −

45

15 h)

17

50a) Exacta c) Periódica mixta e) Periódica mixta g) Exacta

b) Periódica pura d) Periódica pura f) Exacta h) Exacta


En este epígrafe se explica que al efectuar la división del numerador entre el denominador de una fracción se obtie-ne un número decimal que puede ser o bien exacto o bien periódico.

Es conveniente señalar que podemos averiguar si una frac-ción irreducible se puede expresar como un número deci-mal exacto, periódico puro o periódico mixto sin necesidad de realizar la división del numerador entre el denominador, estudiando los factores primos de este último.

De forma recíproca, todo número decimal, exacto o perió-dico, puede expresarse en forma de fracción. La fracción irreducible así obtenida se denomina fracción generatriz del número decimal dado.

Al terminar el estudio de esta sección los alumnos deben ser capaces de obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos puros o mixtos para realizar operaciones con ellos de forma exacta.

11



25 Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

a) 3,26 c) 2,36

e) 28,5

g) 87,567 01 i) 21,3

b) 54,060 060 060… d) 53,68 f) 3,578 312 831 283… h) 4,08

i) 0,972

a) Exacto c) Periódico mixto e) Periódico puro g) Exacto i) Periódico puro

b) Periódico puro d) Periódico puro f) Periódico mixto h) Periódico mixto i) Periódico mixto26 Halla la fracción generatriz de estos números.

a) 7,34 c) 0,0003 e) 2,3

g) −1,19

i) 2,009

b) −2,55 d) 1,4

f) −7,53 h) 1,241 j) 0,38

a) 367

50 b) −

51

20 c)

3

10 000 d)

13

9 e)

7

3 f) −

746

99 g) −

6

5 h)

1 229

990 i)

201

100 j)

7

1827 Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a) −3,004 444…. c) 6,324 324… e) 4,121 212… g) 25,84

b) 0,013 333… d) 7,18 f) 2,365 656… h) 13,555…

a) −676

225 b)

1

75 c)

234

37 d)

359

50 e)

136

33 f)

1171

495 g)

646

25 h)

122

928 Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.

a) 3,27 b) 6,032 121 212… c) 24 d) 5,370 371 372…

Los números 3,27 y 24 son decimales exactos, mientras que 6,032 121 212… es un número decimal periódico mixto; luego son racionales. Sin embargo 5,370 371 372… no es un número decimal exacto ni periódico, luego no es racional.

29 Ordena de menor a mayor estos números decimales.

0,34

0,3

0,33 0,34 0,34 0,3

0,3 < 0,33 < 0,3

< 0,34 < 0,34 < 0,34

30 ¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?

No es posible porque 178

3 no es un número decimal exacto.

31 Determina la expresión decimal del valor 2a − b, si a = 1,276 y b = 0,473

.

2a− b =1264

990−

492

900=

7 228

9 900=

1807

2 475= 0,7301

32 Dados los números p = 3,412 y q = 1,7

, calcula: a) p ⋅ q b) p : q

a) p ⋅q =3 378

990⋅16

9=

9 008

1485 b) p : q =

3 378

990:16

9=

1689

880

33 Expresa como fracción irreducible el resultado de esta operación: 0,8

0,36−1,4

8

1036

99

−13

9=

11

5−

13

9=

34

45

Desafío34 ¿Son iguales los números 5,9

y 6? ¿Y los números 7,59

y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fraccio-

nes generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?

Si a = 5,9

entonces 10a = 59,9

, por lo que restando las expresiones: 9a = 54 → a = 6

Si b = 7,59

entonces 100b = 759,9

y 10b = 75,9

. Así, restando las expresiones: 90b = 684 → b =684

90=

76

10= 7,6

Por tanto, los números son iguales y podemos concluir que los decimales periódicos cuyo período es 9 coinciden con el decimal exacto que resulta al aumentar en una unidad la cifra anterior al período.



4. Números racionales e irracionales

13


12

4. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Veamos cómo representar los números racionales sobre la recta numérica.

Los números 2 , 3 , 5 , no son racionales, es decir, no podemos expresarlos en forma de fracción y, por tanto, tampoco es posible escribir su expresión decimal como números decimales exactos o periódicos.

Otro número que no podemos expresar como número racional es el cociente entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro, es decir, el número π.

❚ Los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras sin ninguna periodicidad reciben el nombre de números irracionales.

❚ A los números que son racionales o irracionales se les llama números reales. Estos números se representan en la recta real.

IntervalosLos números 2,1;

2,5 ; 2,68697… y 2,999 están comprendidos entre 2 y 3. Decimos que estos números pertenecen al intervalo abierto (2, 3), es decir, al conjunto formado por los números reales mayores que 2 y menores que 3.

Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números denominados extremos.

Hay diferentes tipos de intervalos dependiendo de si los extremos están incluidos o no. También se pueden expresar mediante intervalos los conjuntos de valores mayores o menores que un número.

Intervalo cerrado Intervalos abiertos

[a, b]

a ≤ x ≤ b

(a, b)

a < x < b

(a, +∞)

x > a

(−∞, b)

x < b

–3 –2 –1 0 1 2 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 –1 0 1 2 3

[−2, 1]

−2 ≤ x ≤ 1

(3, 5)

3 < x < 5

(4, +∞)

x > 4

(−∞, 2)

x < 2

Intervalos semiabiertos o semicerrados

[a, b)

a ≤ x < b

(a, b]

a < x ≤ b

[a, +∞)

x ≥ a

(−∞, b]

x ≤ b

0 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 1 2 3 4 5

[1, 3)

1 ≤ x < 3

(−4, −2]

−4 < x ≤ −2

[0, +∞)

x ≥ 0

(−∞, 4]

x ≤ 4

Aprenderás a… ● Representar números racionales.

● Reconocer los distintos tipos de números reales.

● Definir y expresar intervalos de números reales.

Presta atención

Al realizar operaciones con números irracionales, podemos obtener números racionales.

2 − 2 = 0

2 ⋅ 2 = 2

Lenguaje matemático ❚ El conjunto de los números reales lo denotamos con la letra .

7

π4 15

0,51

1–8–

25–

❚ Para expresar que el conjunto de los números reales no tiene fin, utilizamos el símbolo del infinito: ∞

Representa en la recta real estos números racionales.

a) 4

9 b)

5

7 c)

3

4

35

Representa en la recta real estos números racionales.

a) 12

5 e) −

5

4

b) 25

4 f) −

13

5

c) 37

8 g)

3

7

d) −2

9 h) −

14

3

¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?

0 1

36

37

Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:

a) −2,3 e) 1,254

b) 7 f) π + 2

c) −4,32 g) 4 5

d) 900 h) 6 − 3

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

a) 4,131 311 131 111 111 3…

b) 1,234 567 892 435 678 9…

c) 2,010 010 001 000 010 0…

d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4…

e) 0,235 711 131 719…

f) 3,123 412 341 234…

¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?

Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

a) Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.

b) La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.

c) Todo número decimal periódico es un número racional.

Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.

a) [0, 2) e) [4, +∞)

b) (1, 3] f) (−∞, 3)

c) (−1, 2) g) (−∞, 1]

d) [2, 5] h) (−3, +∞)

Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:

a) 1 ≤ x < 4

b) 3 < x < 5

c) −4 < x ≤ 1d) 13 ≤ x ≤ 15

Describe mediante desigualdades los intervalos representados.

a) c) 0 1 0 1

b) d) 0 1 0 1

38

39

40

41

42

43

44

DESAFÍO

¿Es un número racional el resultado de la operación 1+ 6 + 5 + 16 ?45

} Representa 14

3 en la recta real.

Solución

Como 12 < 14 < 15, dividimos las desigualdades por el

denominador y resulta: 12

3<

14

3<

15

3

Así, 4 < 14

3 < 5; por tanto, podemos descomponer la

fracción en esta suma: 14

3= 4 +

2

3

3 4 5 6 714

3

EJERCICIO RESUELTOmac3e3

Soluciones de las actividades35 Representa en la recta real estos números racionales.

a) 4

9 b)

5

7 c)

3

4a) b) c)

•0 1–1 2 3 4 5

49

•0 1–1 2 3 4 5

57

•0 1–1 2 3 4 5

34


En este epígrafe el alumno podrá familiarizarse con la re-presentación gráfica de los números racionales y de los in-tervalos de números reales, además podrá reconocer los números irracionales como los números reales que no son racionales. Es conveniente insistir en que no admiten una expresión en forma de fracción y que su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

La introducción de los distintos tipos de intervalos de la rec-ta tomará importancia en unidades posteriores para para determinar el dominio y el recorrido de algunas funciones

reales de variable real o para agrupar los datos de las varia-bles estadísticas continuas.

GeoGebra. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

En el recurso puede verse la representación de un número racio-nal aplicando el teorema de Tales para dividir la unidad en partes iguales. Puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso dicha representación, o activando el botón Reproduce de modo que la construcción se realizará automática-mente sin necesidad de interacción con el archivo.

13



36 Representa en la recta real estos números racionales.

a) 12

5 b)

25

4 c)

37

8 d) −

2

9 e) −

5

4 f) −

13

5 g)

3

7 h) −

14

3a) e)

•2 310–1 4 5 6 7 8 9

125

•–1 0–2–3–4–5 1 2 3 4 5

54

–

b) f)

•6 7543 8 9 10 11 12 13

254

•–1 0–2–3–4–5–6 1 2 3 4

135

–

c) g)

•4 5321 6 7 8 9 10 11

378

•–1 0–2–3–4–5–6 1 2 3 4

135

–

d) h)

•–1 0–2–3–4 1 2 3 4 5 6

29

–

•–1 0 1–2–3–4–5–6–7–8–9

143

–

37 ¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?

0 10 1– 17

3– 5

437

133

38 Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:

a) −2,3

c) −4,32 e) 1,254 g) 4 5

b) 7 d) 900 f) π + 2 h) 6 − 3

a) Racional c) Racional e) Racional g) Irracional

b) Irracional d) Racional f) Irracional h) Irracional



39 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

a) 4,131 311 131 111 111 3… c) 2,010 010 001 000 010 0… e) 0,235 711 131 719…

b) 1,234 567 892 435 678 9… d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4… f) 3,123 412 341 234…

Son irracionales los números de los apartados a), b), c) y e), y racionales los de d) y f).40 ¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?

Si el radio mide 1 dm, el diámetro mide 2 dm y forma con dos lados consecutivos del cuadrado inscrito un triángulo rectángulo.

Si llamamos l a la longitud del lado del cuadrado, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que: l2 + l2 = 22

Entonces: l2 = 2 → l = 2 que no es un número racional.41 Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

a) Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.

b) La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.

c) Todo número decimal periódico es un número racional.

a) Esta afirmación es falsa. Por ejemplo, 2 es un número irracional pero 2( )2 = 2 es un número racional.

b) También esta afirmación es falsa. Por ejemplo, 2 y − 2 son números irracionales, pero su suma es 0, que es un número racional.

c) Esta afirmación es verdadera.42 Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.

a) [0, 2) c) (−1, 2) e) [4, +∞) g) (−∞, 1]

b) (1, 3] d) [2, 5] f) (−∞, 3) h) (−3, +∞)

a) e) –4 –3 –2 –1 10 2 3 4 5 –2 –1 10 2 3 4 5 6 7

Semicerrado Semicerrado

b) f) –2 –1 10 2 3 4 5 6 7 –2–3 –1 10 2 3 4 5 6

Semicerrado Abierto

c) g) –2 –1–4 –3 10 2 3 4 5 –2–3–4 –1 10 2 3 4 5

Semicerrado Semicerrado

d) h) –2 –1 10 2 3 4 5 6 7 –2–3–4–5 –1 10 2 3 4

Cerrado Abierto43 Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:

a) 1 ≤ x < 4 b) 3 < x < 5 c) −4 < x ≤ 1 d) 13 ≤ x ≤ 15

a) [1, 4) b) (3, 5) c) (−4, 1] d) [13, 15]44 Describe mediante desigualdades los intervalos representados.

a) b) c) d) 0 1 0 1 0 1 0 1

a) −4 ≤ x < 1 b) 0 ≤ x ≤ 5 c) x ≤ −1 d) 2 < x < 4

Desafío45 ¿Es un número racional el resultado de la operación 1+ 6 + 5 + 16 ?

Sí, es un número racional porque:

1+ 6 + 5+ 16 = 1+ 6 + 5+ 4 = 1+ 6 + 9 = 1+ 6 + 3 = 1+ 9 = 1+ 3 = 4 = 2

15



5. Aproximaciones

15


14

Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.

4,0725 7,34 12,78

Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es, respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?

La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si aproximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.

Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0,46. ¿Se trata de una aproximación por exceso o por defecto?

46

47

48

49

Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0,48 por su aproximación por redondeo a las décimas.

Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número 6

11. Calcula el error

absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos es mejor aproximación?

Escribe una aproximación del número 7,3

de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación sea menor que una centésima.

Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegurarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona tu respuesta.

50

51

52

53

5. APROXIMACIONES

Si observamos en un folleto publicitario que el precio de una piruleta es 0,90 €; el de un balón, 4,95 €; y el de un abrigo, 99,90 €; inmediatamente pensamos que cuesta la piruleta, 1 €, el balón, 5 € y el abrigo, 100 €. Damos un precio aproximado.

Habitualmente usamos dos métodos para aproximar: el truncamiento y el redondeo.

Truncar un número decimal a un determinado orden consiste en eliminar todas las cifras decimales de los órdenes inferiores a él.

Redondear un número decimal a un determinado orden consiste en:

❚ Si la cifra decimal del orden inferior es menor que 5, truncar el número a ese orden decimal.

❚ Si la cifra decimal del orden inferior es mayor o igual que 5, truncar el número a ese orden decimal y sumarle una unidad decimal del mismo orden.

Error absoluto y error relativoCuando decimos que los precios son 1 €, 5 € y 100 €, usamos aproximaciones que difieren de los precios reales en 0,10 €, en 0,05 € y en 0,10 €, respectivamente. Estos valores miden el error absoluto cometido en cada caso.

Si el valor a es una aproximación del número x, la diferencia en valor absoluto de ambos números se denomina error absoluto.

Error absoluto = | x − a |

Podemos observar que el error absoluto que cometemos al aproximar el precio de la piruleta y del abrigo coincide: 0,10 €. Para comparar el error cometido según el número que hemos aproximado en cada caso, calculamos el error relativo:

| 0,90−1|

| 0,90 |=

0,1

0,9= 0,11…→ 11%

| 99,90−100 |

| 99,90 |=

0,1

99,9= 0,001…→ 0,1%

Según los resultados que hemos obtenido, deducimos que el error cometido al aproximar el precio de la piruleta es relativamente mayor que el de la aproximación que hicimos para el abrigo.

El error relativo cometido al emplear una aproximación, a, de un número, x, es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número. Se expresa como porcentaje.

Error relativo = | x − a |

| x |

Aprenderás a… ● Hallar la aproximación por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.

● Calcular el error absoluto y relativo cometido al aproximar números.

Al número de cifras que se conocen con certeza más una de cuyo valor no se está seguro lo denominamos cifras significativas.

0,0305

Tiene 3 cifras significativas porque hay 3 cifras decimales contadas desde la primera no nula: 3, 0 y 5

Lenguaje matemático

Decimos que un número, a, obtenido al truncar o redondear otro número, b, es una aproximación por defecto si a < b, y que, es una aproximación por exceso cuando a > b.

Lenguaje matemático

El valor absoluto de un número real, x, lo denotamos por | x |, y es el mismo número, si es positivo, y el opuesto, si es negativo.

| 5 | = | −5 | = 5

Recuerda

} Halla las aproximaciones por truncamiento y por redondeo a las décimas y a las unidades de los precios del ejemplo anterior.

Solución

Truncamiento a las décimas

Redondeo a las décimas

Truncamiento a las unidades

Redondeo a las unidades

0,90 0,9 0,9 0 1

4,95 4,9 5 4 5

99,90 99,9 99,9 99 100

EJERCICIO RESUELTO

} Halla el error absoluto que se comete al sustituir el número 0,57 por el

número 0,6.

Solución

Calculamos la fracción generatriz de ambos números:

0,57 =57

99=

19

33 0,6=

6

9=

2

3

Hallamos el error absoluto cometido: x − a =19

33−

2

3=

19− 22

33=

3

33=

1

11

EJERCICIO RESUELTO

Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).

54

Investiga

Soluciones de las actividades46 Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.

4,0725 7,34 12,78

Truncamiento a las centésimas

Redondeo a las centésimas

4,0725 4,07 4,07

7,34 7,34 7,34

12,78

12,78 12,79


Se exponen dos modos de aproximar un número real dado: por redondeo y por truncamiento. En ambos casos, al susti-tuir el número por su aproximación se comete un error y es conveniente conocer una cota del error cometido.

Se introducen las nociones de error absoluto y error relativo de una medida. El primero nos informa de la desviación existente entre el valor real de la magnitud y el valor obte-nido en la medida. Ahora bien, es obvio que no es igual de

grave cometer un error de 1 cm al medir la longitud de una autopista que al medir el largo de una cama. Es por ello que resulta imprescindible introducir la noción de error relativo, que da cuenta de la precisión de la medida realizada inde-pendientemente del tamaño de la magnitud original.

Es conveniente incidir en que el error absoluto se indica en la misma unidad que el número, pero el error relativo debe expresarse como porcentaje.



47 Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es, respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?

La aproximación al peso del padre es más acertada porque, aunque en ambos casos el error absoluto es: 62,3− 62 = 74,7−75 = 0,3 kg, el error relativo cometido al aproximar el peso del padre es menor que el cometido

al aproximar el peso de la madre: 0,3

74,7= 0,00401<

0,3

62,3= 0,0048

48 La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si apro-ximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.

La suma de los pesos de Eduardo, María y las 14 cajas es: 75,45 + 50,4 + 14 ⋅ 24,95 = 475,15 kg

Luego no pueden subir a la vez en el ascensor.

Las aproximaciones a las unidades de los pesos de Eduardo, María y cada caja son 75 kg, 50 kg y 25 kg, respectivamente.

La correspondiente suma es: 75 + 50 + 14 ⋅ 25 = 475 kg.

Así que, si aproximamos los pesos, llegamos a la conclusión contraria.

Las cifras significativas en el peso de Eduardo y de las cajas son 2 y en el peso de María es 1.49 Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0,46 . ¿Se trata de una aproximación por exceso o por

defecto?

La aproximación por redondeo a las centésimas de 0,46 es 0,46.

Es una aproximación por defecto, pues: 0,46 < 0,46

50 Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0,48 por su aproximación por redondeo a las décimas.

La aproximación por redondeo a las décimas es 0,5. El error absoluto cometido es: 0,48 − 0,5 =16

33−

1

2=

1

66

51 Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número 6

11. Calcula el error absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos

es mejor aproximación?

6

11− 0,5 =

6

11−

1

2=

1

22= 0,045

6

11− 0,6 =

6

11−

3

5=

3

55= 0,054

Es mejor aproximación 0,5 porque el error absoluto cometido es menor.52 Escribe una aproximación del número 7,3

de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación

sea menor que una centésima.

Respuesta abierta, por ejemplo: 7,3+

1

300=

22

3+

1

300=

2 201

300= 7,336

53 Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegu-rarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona tu respuesta.

No se puede asegurar. Para probarlo basta observar que si 2 cm es el valor exacto del radio de la circunferencia y 1 cm es el valor aproximado, el error cometido al medir el radio es: 1 < 2

Pero el error cometido al medir el área es: π ⋅22 − π ⋅12 = 3π > 4

Investiga54 Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas

ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).

Al medir sobre el mapa obtenemos que la distancia entre Lugo y Ourense es de 16 mm.

Como la escala es 1:5 000 000, la distancia real entre ambas ciudades es de: 16 ⋅ 5 000 000 = 80 000 000 mm = 80 km

Como 1 mm sobre el mapa equivale a 5 000 000 mm = 5 km, el error que se comete tras equivocarnos 1 mm en la me-dición sobre el mapa es de 5 km.

17



¿Qué tienes que saber?

16 17

¿QUÉ1 tienes que saber?

Calcula: 1+3

5⋅2

7−

1

3:4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+3

5⋅

2

7−

1

3:4

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+

3

5⋅

2

7−

1

3⋅5

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+

3

5⋅2

7−

5

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= 1+3

5⋅

24

84−

35

84

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+

3

5⋅ −

11

84

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−

33

420=

420

420−

33

420=387

420=

129

140

= 1+3

5⋅

24

84−

35

84

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+

3

5⋅ −

11

84

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−

33

420=

420

420−

33

420=387

420=

129

140

Simplificamos el resultado.

Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 3−2

5:

1

5+

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

b) 5

6−

3

2+ 1 :

1

4−

4

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

c) 5

4:

2

3+

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

4

5−5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

d) 3

5+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5− 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

2

3+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

6

10+ 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

e) 6

9+

7

4−

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

6+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅

4

5− 2 +

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

f) 2

10+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

3

18−

1

5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

9

2−

9

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

12

8− 8

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Los 2

5 de los alumnos de un centro escolar hacen

uso del servicio de comedor.

Calcula el número de alumnos matriculados en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.

Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?

Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?

62

63

64

65

Fracciones

Halla la fracción equivalente a 2

89 cuyo numerador

es 100.

Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.

216

306

7

9

448

576

3

5

115

184 12

1784

140

5

8

Halla la expresión irreducible de tres números

racionales situados entre 4

7 y 5

7.

Ordena las fracciones de menor a mayor.

a) 800

241−

365

241−

214

241

41

241

7022

241

b) −103

200

103

789−

103

82

103

734

103

3668

c) −3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15 −

3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15 −

3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15 −

3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15 −

3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15

Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.

a) 3

8+

2

5⋅15

4 c)

46

51⋅

6

23−

4

17:

3

34

b) 15

40−

9

8:

1

5 d)

3

8⋅

4

27−

12

13:

1

26

Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.

a) 2

9+

5

12⋅16

27 c)

13

15−

3

25⋅

5

18

b) 2

9+

5

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

16

27 d)

13

15−

3

25

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

5

18

Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 5 +2

3⋅

4

9−

1

3:

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 1

2−

1

8⋅

5

6+

2

3:

4

7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 3

4−

1

5⋅

7

3−

1

3:

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

55

56

57

58

59

60

61

Para sumar, reducimos a común denominador.

Operaciones con fraccionesTen en cuentaPara realizar operaciones combinadas con fracciones:

1 Se resuelven los paréntesis.

2 Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen.

3 Se resuelven las sumas.

Para dividir, multiplicamos por la fracción inversa.

Determina las aproximaciones a las décimas por redondeo y por truncamiento de 1,6

. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en cada caso.

Aproximación Error absoluto Error relativo

Por redondeo 1,75

3−

17

10=

1

30

5

3−

17

10

5

3

=

1

305

3

=1

50= 0,02 = 2%

Por truncamiento 1,65

3−

16

10=

1

15

5

3−

16

10

5

3

=

1

155

3

=1

25= 0,04 = 4%

AproximacionesTen en cuentaSi a es una aproximación del número x:

❚ Error absoluto = | x − a |

❚ Error relativo = | x − a |

| x |

Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.

Halla la fracción generatriz de estos números racionales.

a) 1,234 b) 1,6

c) 2,36

a = 1,234

1000a = 1234

a =1234

1000=

617

500

b = 1,6

10b = 16,6

− b = 1,6

9b = 15

b =15

9=

5

3

c = 2,36

100c = 236,6

−10c = 23,6

90c = 213

c =213

90=

71

30

Fracción generatrizTen en cuenta ❚ Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.

❚ La fracción irreducible equivalente a un número decimal exacto o periódico se denomina fracción generatriz del número decimal.

a) b) c)

Actividades Finales 1

Actividades finalesSoluciones de las actividades

55 Halla la fracción equivalente a 2

89 cuyo numerador es 100.

Multiplicamos por 50 numerador y denominador: 100

4 450

56 Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.

216

306

448

576

115

184

84

140 7

9

3

5

12

17

5

8

Las parejas de fracciones equivalentes son: 216

306=

12

17,

448

576=

7

9,115

184=

5

8,

84

140=

3

5


En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Efectuar operaciones combinadas en las que aparecen fracciones.

❚❚ Obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos.

❚❚ Calcular aproximaciones de números reales por redondeo y por truncamiento.

❚❚ Emplear las nociones de error absoluto y relativo para estimar la aproximación más adecuada de una medida.



57 Halla la expresión irreducible de tres números racionales situados entre 4

7y

5

7.

Respuesta abierta, por ejemplo: Escribimos las fracciones equivalentes a las dadas con denominador 28; esto es: 16

28y

20

28

De modo que: 4

7=

16

28<

17

28<

18

28<

19

28<

20

28=

5

7

Así, los tres números racionales son: 17

28,

9

14,19

2858 Ordena las fracciones de menor a mayor.

a) 800

241−

365

241−

214

241

41

241

7 022

241

b) −103

200

103

789−

103

82

103

734

103

3 668

c) −3

29

4

5−

42

29

7

12

13

15

a) −365

241<−

214

241<

41

241<

800

241<

7 022

241

b) −103

82<−

103

200<

103

3 668<

103

789<

103

734

c) m.c.m. (5, 12) = 60

4

5=

48

60

7

12=

35

60

13

15=

52

60

35

60<

48

60<

52

60→ −

42

29<−

3

29<

7

12<

4

5<

13

1559 Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.

a) 3

8+

2

5⋅15

4 c)

46

51⋅

6

23−

4

17:

3

34

b) 15

40−

9

8:

1

5 d)

3

8⋅

4

27−

12

13:

1

26

a) 3

8+

3

2=

15

8 c)

4

17−

8

3= −

124

51

b) 3

8−

45

8= −

42

8= −

21

4 d)

3

8⋅

4

27−

12

13:

1

26=

1

18− 24 = −

431

1860 Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.

a) 2

9+

5

12⋅16

27 c)

13

15−

3

25⋅

5

18

b) 2

9+

5

12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

16

27 d)

13

15−

3

25

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

5

18

a) 2

9+

20

81=

38

81 c)

13

15−

1

30=

25

30=

5

6

b) 23

36⋅16

27=

92

243 d)

56

75⋅

5

18=

28

135

19



61 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 5 +2

3⋅

4

9−

1

3:

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

1

2−

1

8⋅

5

6+

2

3:

4

7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c)

3

4−

1

5⋅

7

3−

1

3:

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 5 +2

3⋅

4

9−

5

9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 5 +

2

3⋅ −

1

9

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 5−

2

27=

133

27

b) 1

2−

1

8⋅

5

6+

7

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

2−

1

8⋅2 =

1

2−

1

4=

1

4

c) 3

4−

1

5⋅

7

3−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

4−

1

5⋅5

3=

3

4−

1

3=

5

1262 Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) 3−2

5:

1

5+

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ d)

3

5+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5− 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

2

3+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

6

10+ 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

b) 5

6−

3

2+ 1 :

1

4−

4

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ e)

6

9+

7

4−

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

6+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅

4

5− 2 +

1

3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

c) 5

4:

2

3+

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

4

5−5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ f)

2

10+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

3

18−

1

5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

9

2−

9

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

12

8− 8

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

a) 3−2

5:

19

20+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 3−

8

19+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 3−

35

38=

79

38

b) 5

6−

3

2+ 1 : −

13

12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

5

6−

3

2−

12

13

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

5

6−

15

26=

20

78=

10

39

c) 5

4:

3

2⋅4

5−5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

5

4:

6

5−5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

5

4: −

19

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

25

76

d) 8

5⋅5− 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

5

3⋅3

5+ 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = (8− 2) : (1+ 3) =

6

4=

3

2

e) 11

12:

1

6+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅ −

13

15

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

11

2+

1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅ −

13

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 6 ⋅ −

13

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

26

15

f) 6

5:

1

6−

1

5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ :

3

2:

3

2− 8

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

36

5−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : (1− 8) = 7 : (−7) = −1

63 Los 2

5 de los alumnos de un centro escolar hacen uso del servicio de comedor. Calcula el número de alumnos matricula-

dos en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.

Como 324 alumnos son 2

5 del número de alumnos matriculados, el total es: 324 :

2

5 = 810 alumnos

64 Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?

La fracción que percibe el hermano pequeño es: 1−2

5−

1

3=

4

1565 Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min

a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?

Pilar dispone de: 600 ⋅ 1−3

4−

1

3⋅ 1−

3

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅

1

4−

1

3⋅

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅

1

4−

1

12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅

1

6 = 100 min



66 Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos restantes ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?

Fátima ha empleado: 1

3+

3

4⋅ 1−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3+

3

4⋅2

3=

1

3+

1

2=

5

6 de la cinta

Como le ha sobrado un trozo de 4 cm, la cinta medía: 4 :1

6= 24 cm

67 De los 305 m2 de una huerta, 2

3 se dedican al cultivo de lechugas;

2

5 de lo que queda se reserva para patatas, y en la

superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?

La fracción de huerto plantada con patatas es: 2

5⋅ 1−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

15

Luego la fracción destinada a las coles es: 1−2

3−

2

15=

1

5

Por tanto, el terreno dedicado a las coles mide: 305 ⋅ 1

5 = 61 m2

68 Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte los dos tercios de la misma entre sus com-pañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?

Juan ha regalado: 2

3+

1

4⋅ 1−

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

3+

1

4⋅1

3=

2

3+

1

12=

3

4 de los caramelos

Así que Juan salió de casa con: 15 : 1

4 = 60 caramelos

18


19

¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.

Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece

el número 5 .

a) [2, 3] c) 5 , 3⎡⎣⎢ )

b) 5 , 3( ) d) (2,3; 3]

Escribe dos intervalos abiertos a los que pertenezca

el número −2,5.

Aproximaciones y errores

Halla las aproximaciones por redondeo y por

truncamiento a las centésimas del número 0,71 . Razona si se trata de aproximaciones por exceso o por defecto.

Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.

Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?

Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?

Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estuche.

¿En cuál de los dos productos ha conseguido un descuento mejor? Razona tu respuesta.

78

79

80

81

82

83

84

85

El 0,4

de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron

la enfermedad 104

181 de la población. ¿Cuántos

habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?

En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde

se vende el 0,1

. ¿Cuántas revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?

Números racionales e irracionales

Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.

7,2

3

4

π 2 + 4

− 81 14

5 2,345

75

76

77

Fracciones y números decimales

Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.

a) −7

8 d)

37

100

b) 13

15 e)

8

9

c) 8

11 f)

1

60

¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se

obtiene al expresar en forma decimal 1583

37?

Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.

FracciónFracción

irreducibleFactorización

del denominadorTipo de decimal

528

3 150O 3 ⋅ 52 ⋅ 7 O

612

150O O Exacto

91

693

13

99O O

285

450O O O

Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.

a) 0,72 d) 8,45

b) 4,7

e) −3,36

c) −1,87 f) 2,965

Dados los números a = 3,412 y b = 1,7

, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.

a) a + b

b) a − b

c) a ⋅ b

d) b

a

Indica razonadamente si la expresión:

2,87+ 0,41

corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:

2,8+ 0,2

69

70

71

72

73

74

Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos del resto ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?

De los 305 m2 de una huerta, 2

3 se dedican al cultivo

de lechugas; 2

5 de lo que queda se reserva para

patatas, y en la superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?

Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?

66

67

68

} De un depósito lleno se ha extraído la mitad del agua que contenía y, posteriormente, las tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del depósito si después de las extracciones aún quedan 15 litros?

Solución

Tras la primera extracción, en el depósito ha quedado la mitad del agua.

En la segunda extracción se saca:

3

4 de

1

2=

3

8

Luego, en el depósito queda:

1

2−

3

8=

4− 3

8=

1

8

Si 1

8 de la capacidad del depósito son 15 L, entonces la

capacidad total es 15 ⋅ 8 = 120 L.

EJERCICIO RESUELTO

} En la clase de Omar pasó el examen de Biología

el 0,5

del total de alumnos, mientras que tres cuartas partes aprobaron el examen de inglés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase, sabiendo que son menos de 40?

Solución

La fracción generatriz correspondiente a 0,5

es 5

9.

Si N es el número de alumnos de clase, podemos decir

que los que aprobaron el examen de Biología son 5N

9,

y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de alumnos. Por tanto, N es múltiplo de 9.

Análogamente, también debe ser entero el número de

alumnos que pasó el examen de Inglés, que es 3N

4, lo

que implica que N es múltiplo de 4.

El único número menor que 40 que es múltiplo de 9 y de 4 es el 36.

En consecuencia, en la clase de Omar hay 36 alumnos.

EJERCICIO RESUELTO

Actividades Finales 1

21



69 Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.

a) −7

8 c)

8

11 e)

8

9

b) 13

15 d)

37

100 f)

1

60a) −0,875 → Número decimal exacto d) 0,37 → Número decimal exacto

b) 0,86

→ Número decimal periódico mixto e) 0,8

→ Número decimal periódico puro

c) 0,72 → Número decimal periódico puro f) 0,016

→ Número decimal periódico mixto

70 ¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se obtiene al expresar en forma decimal 1583

37?

1583

37= 42,783 → La trigésima cifra decimal es 3.

71 Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.

Fracción Fracción irreducible

Factorización del denominador

Tipo de decimal

528

3 15088

5253 ⋅ 52 ⋅ 7 Periódico mixto

612

150

102

2552 Exacto

91

693

13

9932 ⋅ 11 Periódico puro

285

450

19

302 ⋅ 3 ⋅ 5 Periódico mixto

72 Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.

a) 0,72 c) −1,87

e) − 3,36

b) 4,7

d) 8,45 f) 2,965

a) 18

25 c) −

169

90 e) −

84

25

b) 43

9 d)

93

11 f)

2 669

90073 Dados los números a = 3,412 y b = 1,7

, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.

a) a + b b) a − b c) a ⋅ b d) b

a

a) 563

165+

16

9=

2 569

495 c)

563

165⋅16

9=

9 008

1485

b) 563

165−

16

9=

809

495 d)

563

165:16

9=

880

1689

74 Indica razonadamente si la expresión: 2,87+ 0,41

corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:

2,8+ 0,2

2,87+ 0,41

=

259

90+

37

90=

296

90=

148

45= 3,28

→ Es un número decimal periódico mixto, no es un número entero.

2,8+ 0,2=

26

9+

2

9=

28

9= 3,1→ Es un número decimal periódico puro, no es un número entero.



75 El 0,4

de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron la enfermedad

104

181 de la población. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?


es 4

9. Si N es el número de habitantes de Villacastín, podemos decir que

los que se vacunaron son 4N

9, y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de personas. Por tanto, N

es múltiplo de 9.

Análogamente, también debe ser entero el número de enfermos, que es 104N

181, lo que implica que N es múltiplo de 181.

El único número menor que 3 000 que es múltiplo de 9 y de 181 es el 1 629. Por tanto, en Villacastín hay 1 629 habitantes.76 En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde se vende 0,1

. ¿Cuántas

revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?


es 1

9. Si N es el número de revistas, podemos decir que por la tarde se ven-

dieron N

9 revistas, y este ha de ser un número entero. Por tanto, N es múltiplo de 9.

Análogamente, también debe ser entero el número de revistas que se vende por la mañana: N

8, lo que implica que N es

múltiplo de 8.

El único número menor que 100 que es múltiplo de 9 y de 8 es el 72. En consecuencia, había 72 revistas.77 Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.

7,2

3

4 π 2 + 4

− 81 14 5 2,345

78 ¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.

Las semidiagonales del rombo miden 2 cm y 3 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del rombo mide: 22 + 32 = 13 cm, que no es un número racional.

79 Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el número 5 .

a) [2, 3] b) 5 , 3( ) c) 5 , 3⎡⎣⎢ ) d) (2,3; 3]

El número 5 solo pertenece a los intervalos [2, 3] y 5 , 3⎡⎣⎢ ) .

80 Escribe dos intervalos a los que pertenezca el número −2,5

.

Respuesta abierta, por ejemplo: El número −2,5

pertenece a los intervalos [−3, 0] y [−4, −1].

81 Halla las aproximaciones por redondeo y por truncamiento a las centésimas del número 0,71 . Razona si se trata de apro-ximaciones por exceso o por defecto.

La aproximación por truncamiento a las centésimas es 0,71, y la aproximación por redondeo a las centésimas es 0,72.

La primera es una aproximación por defecto, pues: 0,71 < 0,71 , y la segunda es por exceso, porque 0,72 > 0,71 .82 Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.

El error absoluto cometido al aproximar por truncamiento es:

0,71 − 0,71 =71

99−

72

100=

71

9900= 0,0071

Mientras que el error cometido al aproximar por redondeo es:

0,71 − 0,72 =71

99−

72

100=

28

9900= 0,0028

√—5

– √—81

14

3/4

2 + 4

2,345 7,2

N Z Q R

π

23



83 Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?

Si Elisa llenase la cesta con todos los productos de que dispone, su peso esta sería: 3 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 23,75 kg

Ahora bien, como la cesta solo puede alcanzar un peso de 19 kg, Elisa ha de retirar al menos: 23,75 − 19 = 4,75 kg

La mejor aproximación por exceso a 4,75 kg que podemos realizar es: 4 + 1,25 = 5,25 kg

Por tanto, la cesta debe estar formada por 2 botellas, 4 quesos y un jamón, y pesa: 2 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 4 = 18,5 kg84 Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras

que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?

Tanto Daniel como Joaquín cometieron el mismo error absoluto: 1 min

Pero mientras el error relativo cometido por Daniel es 1

89, el cometido por Joaquín es

1

46, que es mayor.

Por tanto, la información de Daniel es más precisa.85 Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estu-

che.

¿En cuál de los dos productos ha conseguido un mejor precio? Razona tu respuesta.

En el precio de la camiseta la rebaja relativa ha sido:

0,8

11,8=

4

59= 0,068

Mientras que en el estuche ha sido: 0,45

3,95=

9

79= 0,11

Como 0,068 < 0,11, concluimos que Pedro ha conseguido un mejor precio al comprar el estuche.



Interpretación de facturasSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática.

Se presenta una situación cotidiana, la interpretación de una factura de teléfono, en la que aparecen los números reales y sus operaciones.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Argumenta, Resuelve, Utiliza las TIC, Utiliza el lenguaje matemático o Piensa y razona.

Se pretende que los alumnos sean capaces de analizar, interpretar la factura y tomar decisiones para argumentar las cuestio-nes planteadas a lo largo de la sección.

En las actividades de comprensión deberán comunicar los conceptos a los que hace referencia la factura, argumentar decisio-nes, recordar cómo se obtiene el porcentaje de una cantidad, y utilizar las TIC para elaborar un diagrama de sectores.

En las actividades de relación los alumnos reconocerán que los ordenadores trabajan con números reales, habrán de clasificar-los y razonar porqué se hace necesario el redondeo.

Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno calcule la tarifa en €/seg que aplica la compañía tele-fónica en las líneas de móvil y en las líneas fijas, para lo que será necesario utilizar adecuadamente el redondeo y el sistema de medida horario.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos utilizarán Internet para investigar sobre las tarifas de compañías de telefonía. Con los datos obtenidos, realizarán una factura y representarán en diagramas de sectores los datos de la misma.

1 MATEMÁTICAS VIVAS

20 21

1Interpretación de facturas

REFLEXIONA

El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.

Móvil 1

Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)

02-11-2014 / 13:23 111111111 02 min 09 s 0,6372

05-11-2014 / 10:45 222222222 05 min 48 s 1,7190

….………………… …………… …...…….. …………

30-11-2014 / 17:56 999999999 04 min 22 s 1,2942

Total 9 llamadas 38 min 39 s 11,4545

Móvil 2


04-11-2014 / 22:38 111111111 04 min 12 s 1,2448

15-11-2014 / 12:41 222222222 06 min 14 s 1,8474

….………………… …………… …...…….. …………

27-11-2014 / 09:26 555555555 00 min 28 s 0,1383


Llamadas internacionales (desde telf. fijo)


02-11-2014 / 13:23 +33123456789 05 min 22 s 2,7188

05-11-2014 / 10:45 +39123456789 01 min 06 s 0,5573

30-11-2014 / 17:56 +33123456789 06 min 45 s 3,4150


a. Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.

b. ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?

3

RELACIONA

Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.

a. ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para clasificarlos.

b. ¿Por qué crees que es necesario redondearlas cantidades que aparecen en la factura?

2

RESUELVE

ARGUMENTA

COMPRENDE

Observa la factura del teléfono anterior.

a. ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?

b. ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.

c. ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?

¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?

RESUELVE

d. Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.

1

ARGUMENTA

UTILIZA LAS TIC

En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los servicios contratados y el consumo realizado durante el período de facturación. El importe total en euros de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.

TRABAJO

COOPERATIVO

¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?

COMUNICA

PIENSA Y RAZONA

¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

Matemáticas vivas

25



Soluciones de las actividades

En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los servicios contratados y el consumo realizado duran-te el período de facturación. El importe total en eu-ros de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.

Comprende1 Observa la factura del teléfono anterior.

a) ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?

b) ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.

c) ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?

d) Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.

a) Tiene contratada una línea ADSL (Internet) más las llamadas nacionales desde un teléfono fijo por el precio de una tarifa plana, y dos teléfonos móviles, que pagan una cuota mensual de conexión más el importe de las llamadas según el consumo.

b) La factura refleja todos los conceptos, pero es conveniente que se disponga de un anexo con el detalle de los consumos por si el cliente lo solicita. También se debería incluir un gráfico con el historial de los consumos anteriores durante un año.

c) El IVA se aplica sobre el total de los servicios facturados (base imponible), por tanto: 13,5083

64,3253= 0,21→ 21%

d) Tipo de servicio %

Internet + llamadas nacionales (telf. fijo) 25,6 %

Mantenimiento de línea 19,3 %

Línea móvil 1 18,7 %

Línea móvil 2 10,5 %

Llamadas internacionales (telf. fijo) 8,6 %

IVA 17,3 %

Total a pagar 100 %

Aproximadamente la cuarta parte del importe de la factura es lo que cobran por Internet + llamadas nacionales. El im-porte de mantenimiento de línea, la primera línea móvil y el IVA, componen en partes similares casi dos terceras partes de la factura. El resto, con importes menores, se dedica al pago de la segunda línea móvil y a las llamadas internacionales.

Relaciona2 Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.

a) ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para clasificarlos.

b) ¿Por qué crees que es necesario redondear las cantidades que aparecen en la factura?

a) Reales Racionales→ 19,95 14,99 14,45 8,2396{Irracionales→ 6,691069 100 6...{

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) Es necesario redondear para simplificar los cálculos.

25,6 %

19,3 %

18,7 %

10,5 %

8,6 %

17,3 %Internet + llamadas nacionales (telf. fijo)Mantenimiento de líneaLínea móvil 1Línea móvil 2Llamadas internacionales (telf. fijo)IVA



Reflexiona3 El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden

los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.

Móvil 1


02-11-2014 / 13:23 111111111 02 min 09 s 0,6372

05-11-2014 / 10:45 222222222 05 min 48 s 1,7190

….………………… …………… …...…….. …………

30-11-2014/ 17:56 999999999 04 min 22 s 1,2942


Móvil 2


04-11-2014 / 22:38 111111111 04 min 12 s 1,2448

15-11-2014 / 12:41 222222222 06 min 14 s 1,8474

….………………… …………… …...…….. …………

27-11-2014 / 09:26 555555555 00 min 28 s 0,1383


Llamadas internacionales (telf. fijo)


02-11-2014 / 13:23 +33123456789 05 min 22 s 2,7188

05-11-2014 / 10:45 +39123456789 01 min 06 s 0,5573

30-11-2014 / 17:56 +33123456789 06 min 45 s 3,4150


a) Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.

b) ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?

a) Móvil 1: 38 m 39 s = 38 ⋅ 60 + 39 = 2 319 s Tarifa: 11,4545

2 319 = 0,0049 €/s

Móvil 2: 17 m 41 s = 17 ⋅ 60 + 41 = 1 061 s Tarifa: 5,2397

1061 = 0,0049 €/s

Teléfono fijo: 13 m 13 s = 13 ⋅ 60 + 13 = 793 s Tarifa: 6,6911

793= 0,0084 €/s

b) Las tarifas en los móviles es idéntica, la tarifa de las llamadas desde teléfono fijo es más cara porque así lo fijan las compañías telefónicas.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

27



22


La espiral que aparece en la fi gura se denomina espiral de Teodoro de Cirene

y proporciona un modo de representar los números 2 , 3 , 4 , 5 …

Partiendo de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad,

obtenemos, por el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa mide 2 .

Construyendo un nuevo triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 ,

deducimos que la hipotenusa mide 3 .

Repitiendo este proceso, generamos la espiral y podemos obtener geométricamente la medida exacta de segmentos cuya expresión decimal tiene infi nitas cifras decimales no periódicas.

También es posible reproducir este proceso sobre la recta real para representar gráfi camente números irracionales

del tipo n .

Sobre el intervalo [0, 1] dibujamos un segmento perpendicular de longitud 1 para formar un triángulo rectángulo

isósceles. Así, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide 2 .

Trasladamos con un compás la longitud de la hipotenusa sobre la recta real

y repetimos el proceso para formar un triángulo rectángulo cuyos catetos

midan 2 y 1 y cuya hipotenusa, por tanto, mida 3 . Reiterando el proceso,

podemos representar cualquier número irracional de la forma n .

AVANZA

A1. Representa los números 5 y 17 sobre la recta real.


Representación gráfica de números irracionales tipo n

Para comparar fracciones sin reducirlas a denominador común, se pueden obtener sus expresiones decimales (o una aproximación de las mismas) y compararlas.

Por ejemplo, si queremos comparar 17

36 y

9

10, procedemos del siguiente modo:

17

36<

18

36=

1

2= 0,5 y

9

10= 0,9

��

��

→ 0,5 < 0,9 →17

36<

9

10

Otra estrategia para ordenar dos fracciones consiste en efectuar el cociente de ambas y compararlo con la unidad.

Por ejemplo, para ordenar 13

24 y

26

27, hay que proceder así:

13

2426

27

=13 ⋅27

24 ⋅26=

9

16< 1→ El numerador es menor que el denominador →

13

24<

26

27

CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones.

a) 1

4 y

3

10 b)

99

200 y

51

90 c)

11

20 y

30

99

CM2. Utiliza la técnica explicada para comparar estas fracciones.

a) 36

77 y

18

49 b) 25

21 y

15

14 c)

54

65 y

45

52

1 2

1

1

0

3

3

2

2

10

1 1

2

3

3

2

2

CÁLCULO MENTAL Estrategia para COMPARAR FRACCIONES

17

36<

18

36=

1

2= 0,5 y

9

10= 0,9

��

��

→ 0,5 < 0,9 →17

36<

9

10


En esta sección se señala que la raíz cuadrada de un entero positivo que no es el cuadrado de otro número entero es un número irracional. También se explica cómo representar con exactitud estos números reales empleando el teorema de Pitágoras tantas veces como sea necesario.



5 = 22 + 12

–2–3 –1 10 2 3 4 5 6

√—5

√—5

1

17 = 42 + 12

–2 –1 1

1

0 2 3 4 5 6 7

√—17

√—17


27 = 52 + 2( )2

2 = 12 + 12

38 = 62 + 2( )2

2 = 12 + 12

Cálculo mental. Estrategia para comparar fraccionesSugerencias didácticas

Es probable que el alumno ya haya aplicado la estrategia que consiste en comparar los números decimales que se obtienen al efectuar la división del numerador entre el denominador de la fracción. La segunda se basa en el hecho de que para comparar dos números positivos a y b realizamos su cociente, de modo que si este es menor que 1 concluiremos que a > b, mientras que si es mayor que 1 entonces a < b.


CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a) 1

4 y

3

10 b)

99

200 y

51

90 c)

11

20 y

30

99

a) 0,25 < 0,3 →1

4<

3

10 b) 0,495 < 0,56

→

99

200<

51

90 c) 0,55 < 0,30 →

11

20>

30

99

CM2. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a) 36

77 y

18

49 b)

25

21 y

15

14 c)

54

65 y

45

52

a) 14

11>1→

36

77>

18

49 b)

10

9>1→

25

21>

15

14 c)

312

325<1→

54

65<

45

52

Avanza. Representación gráfica de números irracionales tipo n

–2–3–4–5 –1 1

1

5

0 2 3 4 5 6 7

√—27

√—27

√—2√—

2

–2–3 –1–5–6 –4–7 1

1

6

0 2 3 4 5 6 7 8

√—38√—

2√—2



1. Intercala un número racional entre cada una de las siguientes parejas de números.

a) 3

5y

4

5 b) 1,12 y 1,121 c) −0,2

y − 0,18

d) 3,14 y π

a) 3

5=

6

10<

7

10<

8

10=

4

5 c) −0,2

<−0,19 <−0,18

b) 1,12 < 1,1201 < 1,121 d) 3,14 < 3,141 < π

2. Calcula el resultado de la siguiente operación y exprésalo en forma de fracción irreducible.

1

2+

2

3⋅ 1−

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

4+

3

5⋅15

4

1

2+

2

3⋅3

5

3

4+

9

4

=

1

2+

2

5

3=

5

10+

4

10

3=

9

10

3=

3

10

3. Santiago está realizando un circuito en bicicleta. Si ya lleva recorridos 33 km y aún le queda por recorrer 2

5 del circuito,

¿de cuántos kilómetros consta el circuito?

Lleva recorridos 2

5 del circuito, lo que supone 33 km.

Por lo que, 1

5 del circuito son 11 km.

Entonces el circuito completo tiene 55 km.

4. ¿Cuántos números enteros hay comprendidos entre 630 y 10π ?

Como 252 = 625 y 262 = 676 entonces: 25 < 630 < 26

Por otra parte, 3,1 < π < 3,2 luego: 31 < 10π < 32

Así pues, entre 630 y 10π hay 6 números enteros ya que:

25 < 630 < 26 < 27 < 28 < 29 < 30 < 31 < 10π < 32

5. Calcula el error relativo que se comete al aproximar 1,4− 0,87 por 0,5.

Calculamos el valor exacto: 1,4− 0,87 =

13

9−

87

99=

56

99

❚❚ Error absoluto: 56

99− 0,5 =

56

99−

1

2=

13

198

❚❚ Error relativo:

13

19856

99

=13

112= 0,12 → 12%

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

29



1. Completa el siguiente cuadrado mágico.

O O1

5

1

10

1

6O

2

15O O

Recuerda que un cuadrado mágico es aquel en el que sus filas, sus columnas y sus dos diagonales suman lo mismo.

4

15

1

30

1

5

1

10

1

6

7

30

2

15

3

10

1

15

2. Calcula el siguiente número respetando la jerarquía de las operaciones.

3,2⋅1,5− 6,3

:1,2

29

9⋅3

2−

57

9:11

9=

29

6−

57

11= −

23

66

3. ¿Cuál es la vigésimo tercera cifra decimal del número 23

111 cuando lo expresamos en forma de número decimal?

23

111= 0,207

La vigésimo tercera cifra decimal de 0,207 coincide con la que ocupa la segunda posición, porque el período es de tres cifras y 23 = 7 ⋅ 3 + 2. En consecuencia, la vigésimo tercera cifra decimal es 0.

4. Si n es un número entero tal que 1 ≤ n ≤ 9, ¿cuál es el valor de 0,n

0,n ?

0,n

0,n =

n

10

n

9

=9

10= 0,9

5. Indica cuál es el intervalo de extremos los puntos A y B que se ha representado en la figura.

El intervalo representado es: 2, 4⎡⎣⎢ )

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

10

1

A B

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