1. Medida Exterior - ocw.unican.es · Medida de Lebesgue en Rn Medida Exterior Medida de Lebesgue JJ II J I m∗ es una funci´on de conjunto, deﬁnida en P(Rn), la familia de todos

Medida deLebesgue en Rn

Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

1. Medida Exterior

La integral de Lebesgue surge del desarrollo de la integral de Riemann, ante las dificultadesencontradas en las propiedades de paso al lımite para calcular la integral de una funcion definidacomo lımite puntual de una sucesion de funciones.

La teorıa de Lebesgue se basa en un concepto mas general de lo que es la medida de unconjunto que la definicion euclıdea de volumen, y lleva a la definicion de una familia de conjuntos”medibles” que incluye a los conjuntos medibles – Jordan, y a la construccion de una integral quepuede aplicarse en contextos mas variados que la de Riemann (funciones no acotadas, dominiosde integracion no acotados, ...) y que tiene mejor comportamiento frente a las operaciones delımite de funciones. La integral de Lebesgue frente a la de Riemann supone un paso comparablea la construccion de los numeros reales frente a los racionales.

Vamos a empezar el estudio por la construccion de la medida de Lebesgue, y luego desarrol-laremos su concepto de integral.

Definicion (Medida Exterior de Lebesgue).Sea A un subconjunto cualquiera de Rn. Se define la medida exterior de Lebesgue de A como

m∗(A) = inf∞∑

n=1

v(Qn), A ⊆∞⋃

n=1

Qn, Qn rectangulos cerrados

donde el ınfimo se toma entre todas las familias numerables de rectangulos que recubren a A


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

m∗ es una funcion de conjunto, definida en P(Rn), la familia de todos los subconjuntos deRn, y con valores en [0,∞]. Quiza convenga recordar algunas de propiedades de las operacionesen [0,∞] que nos pueden surgir:

• Si a es un numero real, a +∞ = ∞ y a−∞ = ∞

• Si a es un numero real, a > 0, entonces a · ∞ = ∞

• Si a es un numero real, a < 0, entonces a · ∞ = −∞

• En general 0 · ∞, ∞−∞ son indeterminaciones

Observaciones:

1. La definicion puede hacerse indistintamente con rectangulos abiertos, cerrados, o semia-biertos.

En efecto, si llamamos

n(A) = inf∞∑

n=1

v(Sn), A ⊆∞⋃

n=1

Sn, Sn rectangulos abiertos


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es evidente que n(A) ≥ m∗(A), ya que si Snn es una familia de rectangulos abiertos querecubre a A, la familia de sus adherencias Qn = Sn es una familia de rectangulos cerradosque tambien recubre a A y la serie de los volumenes de los Qn es la misma que la de losSn

∞∑

n=1

v(Sn), A ⊆∞⋃

n=1

Sn, Sn rectangulos abiertos ⊆

⊆ ∞∑

n=1

v(Qn), A ⊆∞⋃

n=1

Qn, Qn rectangulos cerrados

Recıprocamente, sea ε > 0, y sea Qnn una familia de rectangulos que recubre a A tal

que∞∑

n=1

v(Qn) ≤ m∗(A) + ε/2. Para cada n ∈ N podemos escoger un rectangulo abierto

Sn que contenga ea Qn, y tal que v(Sn) ≤ v(Qn) + ε/2n+1. Entonces A ⊆∞⋃

n=1

Sn, y la

serie∞∑

n=1

v(Sn) ≤∞∑

n=1

v(Qn) +ε

2n+1≤ m∗(A) + ε


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Tomando ınfimos entre todas las posibles familias de rectangulos abiertos que recubren aA, tenemos

n(A) ≤ m∗(A) + ε

y como esto es cierto para todo ε > 0, tiene que ser n(A) ≤ m∗(A). Con la desigualdadde antes se tiene el resultado.

2. Los conjuntos A ∈ Rn con m∗(A) = 0 son los conjuntos de medida cero definidos en elestudio de la integral de Riemann.

3. Ademas, la medida exterior generaliza el concepto de volumen de un rectangulo: si R esun rectangulo en Rn, m∗(R) = v(R)

En efecto, una desigualdad es trivial, ya que si R es un rectangulo, y definimos Q1 = R, y

Qn = ∅ si n ≥ 2, entonces R ⊆⋃∞

n=1 Qn y m∗(R) ≤∞∑

n=1

v(Qn) = v(R)

Por otro lado, sea Qnn una familia numerable de rectangulos abiertos que recubra aR. Como R es compacto, esta familia tiene que admitir un subrecubrimiento finito, de

modo que R ⊆k⋃

j=1

Qnj. Pero entonces sabemos que v(R) ≤

k∑j=1

v(Qnj) ≤

∞∑n=1

v(Qn).

Tomando ınfimos entre todas las familias de rectangulos abiertos que recubren a R, setiene v(R) ≤ m∗(R)


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Medida de Lebesgue

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El siguiente teorema recoge las propiedades mas importantes de la medida exterior de Lebesgue:

En la Teorıa de la Medida abstracta se pretende construir un procedimiento para medir conjuntos

y para integrar funciones definidas en los subconjuntos de un espacio Ω. Dado un espacio Ω, una

medida exterior es una funcion de conjunto µ definida en el conjunto de todos los subconjuntos

de Ω que sea no negativa y verifique las tres primeras propiedades del teorema que viene a

continuacion. Las otras dos propiedades son propias de la medida de Lebesgue, y de algunas

otras medidas en espacios topologicos o espacios metricos, que dotan a la estructura formada

por el espacio y la medida de mejores propiedades de tipo topologico y geometrico, pero no son

imprescindibles para la coherencia de la teorıa y la construccion de una integral.


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Teorema (Propiedades de la medida exterior).

1. m∗(∅) = 0

2. Si A ⊆ B, m∗(A) ≤ m∗(B) (monotonıa)

3. Sea Ann una familia numerable de conjuntos; entonces

m∗(

∞⋃n=1

An) ≤∞∑

n=1

m∗(An) (subaditividad)

4. m∗(A) = infm∗(G), G abierto, A ⊆ G (regularidad)

5. Para todo conjunto A y todo x ∈ Rn, m∗(x + A) = m∗(A)

(invariancia por traslaciones)

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)


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1) y 2) son triviales. Para demostrar 3), sea ε > 0, y consideremos para cada An una familianumerable de rectangulos Qn

mm∈N tal que

An ⊆∞⋃

m=1

Qnm y

∞∑m=1

v(Qnm) < m∗(An) +

ε

2n

Entonces la familia de todos los rectangulos Qnm, m ∈ N, n ∈ N verifica

∞⋃n=1

An ⊆∞⋃

n=1

(∞⋃

m=1

Qnm

)

y se tiene

m∗(∞⋃

n=1

An) ≤∞∑

n=1

(∞∑

m=1

v(Qnm)

)≤

∞∑n=1

(m∗(An) +

ε

2n

)= ε +

∞∑n=1

m∗(An)

Como esto es cierto para todo ε > 0, se deduce que

m∗(∞⋃

n=1

An) ≤∞∑

n=1

m∗(An)


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Para demostrar 4), una desigualdad es trivial, ya que si A ⊆ G entonces por 2) la medidaexterior de A es menor que la de G, ası que

m∗(A) ≤ infm∗(G), G abierto, A ⊆ G

Para la otra desigualdad, consideramos la definicion de la medida exterior con rectangulosabiertos: dado ε > 0, sea Qnn una familia de rectangulos abiertos tales que

A ⊆∞⋃

n=1

Qn y∞∑

n=1

v(Qn) ≤ m∗(A) + ε

Basta definir Gε =∞⋃

n=1

Qn, que es un abierto que contiene a A, y

m∗(Gε) ≤∞∑

n=1

v(Qn) ≤ m∗(A) + ε

Entonces

infm∗(G), G abierto, A ⊆ G ≤ m∗(Gε) ≤ m∗(A) + ε

para cualquier ε > 0 de donde se deduce que


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

infm∗(G), G abierto, A ⊆ G ≤ m∗(A)

Por ultimo, para demostrar 5) sean A ⊆ Rn, y x ∈ Rn. Si Qnn es una familia de rectangulosque recubre a A, entonces x + Qnn es una familia de rectangulos que recubre a x + A, demodo que

m∗(x + A) ≤∞∑

n=1

v(x + Qn) =∞∑

n=1

v(Qn)

luego m∗(x + A) ≤ m∗(A)Analogamente m∗(A) = m∗(−x + x + A) ≤ m∗(x + A), por lo que se tiene la igualdad.J(Volver al enunciado)

Sin embargo la medida exterior falla en cambio en una propiedad fundamental respecto alvolumen: no es cierto en general que si A y B son conjuntos disjuntos, se tenga m∗(A ∪ B) =m∗(A)+m∗(B), aunque hay que reconocer que tampoco es facil encontrar ejemplos de conjuntosconcretos para demostrar que la igualdad es falsa.

Si queremos conseguir que esta propiedad se verifique, debemos prescindir de algunos con-juntos. Esto da lugar a la definicion de una familia de subconjuntos de Rn, para los cuales sise verifica la propiedad, que llamaremos conjuntos medibles - Lebesgue. La definicion original


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de esta familia de conjuntos no es la que damos aquı, que se debe a Caratheodory, pero estaresulta mucho mas comoda que la definicion de Lebesgue. La comprobacion de que ahora sıse verifica esta propiedad la haremos despues, junto con el estudio del resto de las propiedadesfundamentales de esta clase de conjuntos.


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2. Medida de Lebesgue

Definicion (Conjuntos Medibles – Lebesgue).Un conjunto A se dice medible –Lebesgue (en adelante conjunto medible) si verifica la siguientepropiedad:

Para todo conjunto E se verifica la igualdad

m∗(E) = m∗(E ∩ A) + m∗(E \ A)

AE ∩A

E \A

E

Llamamos M a la familia de los conjuntos de Rn que son medibles.Se llama medida de Lebesgue en Rn a la restriccion de la medida exterior m∗ a M: m : M →

[0,∞], m(A) = m∗(A).

En el capıtulo siguiente veremos como se puede construir un conjunto no medible en la rectareal. Y una vez encontrado uno, es facil imaginar infinitos conjuntos distintos no medibles, en larecta o en el cualquier espacio Rn

Algunas de las propiedades de los conjuntos medibles, y de sus medidas se recogen en elsiguiente teorema:


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Teorema (Propiedades de los conjuntos medibles - Lebesgue).

1. Si A ∈ M, entonces Ac ∈ M

2. Si A y B son medibles, entonces A ∩B ∈ M; y por tanto A \B ∈ M

3. Si A y B son medibles, entonces A ∪ B ∈ M; y si ademas A ∩ B tiene medida finita,m(A ∪B) = m(A) + m(B)−m(A ∩B)

4. Si A1, . . . , Ak es una familia finita de conjuntos medibles, entoncesk⋃

i=1

Ai ∈ M yk⋂

i=1

Ai ∈ M

5. Si Aii es una familia numerable de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, entonces∞⋃i=1

Ai ∈ M. Ademas m(∞⋃i=1

Ai) =∞∑i=1

m(Ai)

6. Si Aii es una familia numerable de conjuntos medibles, entonces∞⋃i=1

Ai ∈ M y∞⋂i=1

Ai ∈ M

7. Todo conjunto A con m∗(A) = 0 es medible

8. Si A ∈ M, para todo x ∈ Rn, x + A ∈ M y m(x + A) = m(A)


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J I

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)(1) Supongamos que A es medible, y sea E un conjunto cualquiera de Rn. Entonces E∩Ac =

E \ A y E \ Ac = E ∩ A, luego

m ∗ (E ∩ Ac) + m∗(E \ Ac) = m∗(E \ A) + m∗(E ∩ Ac) = m∗(E)

ası que Ac es medible tambien.

(2) Sean ahora A y B medibles, y sea E un conjunto cualquiera de Rn. Por ser A medible

m∗(E) = m∗(E ∩ A) + m∗(E \ A) (1)

Y por ser ahora B medible,

m∗(E ∩ A) = m∗(E ∩ A ∩B) + m∗(E ∩ A \B) (2)

de donde sustituyendo en la ecuacion (1) queda

m∗(E) = m∗(E ∩ A ∩B) + m∗(E ∩ A \B) + m∗(E \ A) ≥≥ m∗(E ∩ A ∩B) + m∗(E \ (A ∩B))


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

A

B

E∩A

\B

E \A

A ∩B

puesto que

(E ∩ A \B) ∪ (E \ A) = E \ (A ∩B)

ası que A ∩B es medible.Y como A \B = A ∩ (Bc), tambien es medible.

(3) Sean ahora A y B dos conjuntos medibles. Por (1), sus complementarios Ac y Bc sonmedibles; por (2), la interseccion de los complementarios Ac ∩Bc es medible; y otra vez por (1)el complementario de este conjunto A ∪B = (Ac ∩Bc)c es medible.

En cuanto a la formula para la medida de una union de conjuntos, utilizando que A es mediblecon el conjunto E = A ∪B tenemos


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Medida de Lebesgue

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J I

m(A ∪B) = m((A ∪B) ∩ A) + m((A ∪B) \ A) = m(A) + m(B \ A)

y utilizando ahora que A es medible, con E = B

m(B) = m(B ∩ A) + m(B \ A)

si m(A ∩ B) es finita, podemos despejar en la segunda ecuacion la medida de B \ A y sustituiren la primera ecuacion, y queda

m(A ∪B) = m(A) + m(B)−m(A ∩B)

(4) Sea ahora A1, . . . , Ak una familia finita de conjuntos medibles. Para cada N entre 2 y kpodemos poner

N⋃i=1

Ai =

(N−1⋃i=1

Ai

)∪ AN

Razonando por induccion, para N = 1, A1 es medible. Si ∪N−1i=1 Ai es medible, entonces

aplicando la propiedad (3), ∪Ni=1Ai es tambien medible. Repitiendo el proceso hasta N = k − 1

se obtiene que la union ∪ki=1Ai es medible.


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Medida de Lebesgue

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J I

Y poniendo

k⋂i=1

Ai =

(k⋃

i=1

Aci

)c

y aplicando las propiedades (1) y (3), tambien la interseccion ∩ki=1Ai es medible.

(5) Sea Ann una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos dos a dos (es decir,An ∩ Am = ∅ si n 6= m). Y sea A = ∪∞n=1An

La idea es estudiar las uniones finitas de conjuntos An, e intentar ver lo que ocurre si n tiendea ∞

Consideramos la familia de conjuntos Bk = ∪kn=1An. Por la propiedad (4), los conjuntos Bk

son medibles. Ademas verifican para cada k ∈ N

Bk = Bk−1 ∪ Ak y Bk−1 ∩ Ak = ∅

luego

Bk ∩ Ak = Ak y Bk \ Ak = Bk−1

Sea E un conjunto cualquiera de Rn.Sabemos que

m∗(E) = m∗(E ∩Bk) + m∗(E \Bk) (3)


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Utilizando ahora que Ak es medible

m∗(E ∩Bk) = m∗(E ∩Bk ∩ Ak) + m∗(E ∩Bk \ Ak) = m∗(E ∩ Ak) + m∗(E ∩Bk−1)

Repitiendo el proceso con Bk−1

m(E ∩Bk−1) = m∗(E ∩ Ak−1) + m∗(E ∩Bk−2)

Y sustituyendo arriba

m∗(E ∩Bk) = m∗(E ∩ Ak) + m(E ∩ Ak−1) + m∗(E ∩Bk−2)

Y si lo repetimos k veces,

m∗(E ∩Bk) =k∑

n=1

m∗(E ∩ An)

Sustituyendo en la ecuacion (3)

m∗(E) =k∑

n=1

m∗(E ∩ An) + m∗(E \Bk) ≥k∑

n=1

m∗(E ∩ Ak) + m∗(E \ A)


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Medida de Lebesgue

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J I

puesto que Bk ⊆ A, y entonces (E \ A) ⊆ (E \Bk)Como esta desigualdad es cierta para todo k, tiene que ser cierta tambien para la serie, y

m∗(E) ≥∞∑

n=1

m∗(E ∩ An) + m∗(E \ A) ≥

≥ m∗

(∞⋃

n=1

E ∩ An

)+ m∗(E \ A) =

= m∗

(E ∩

( ∞⋃n=1

An

))+ m∗(E \ A) =

= m∗(E ∩ A) + m∗(E \ A)

Por tanto A es medible.Ademas si en esta ultima cadena de desigualdades ponemos en particular E = A, tenemos

m(A) ≥∞∑

n=1

m(A ∩ An) + m(A \ A) =∞∑

n=1

m(An) ≥ m(A)

Luego efectivamente

m

(∞⋃

n=1

An

)=

∞∑n=1

m(An)


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Medida de Lebesgue

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J I

(6) Sea ahora Ann una familia numerable de conjuntos medibles (no necesariamente dis-juntos dos a dos), y sea A = ∪∞n=1An

La idea para demostrar que A es medible es escribirlo como union de conjuntos disjuntos dosa dos, para lo cual basta definir

B1 = A1, B2 = A2 \ A1, . . . , Bn = An \ (∪n−1i=1 Ai)

B1 = A1

B2 = A2 \A1

B3 = A3 \ (A1 ∪A2)

A1

A2

A3

Ahora los conjuntos Bn son conjuntos medibles disjuntos dos a dos, y su union es medible,ası que A = ∪∞n=1Bn = ∪∞n=1An es medible

Por otro lado aplicando la propiedad (1) el conjunto ∩∞n=1An = (∪∞n=1Acn)c tambien es medible.

(7) Sea A un conjunto de Rn de medida cero. Si E es un conjunto cualquiera de Rn, entonces


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

• como E ∩ A ⊆ A, m∗(E ∩ A) ≤ m∗(A) = 0, luego m∗(E ∩ A) = 0 tambien

• y como E \ A ⊆ E, m∗(E \ A) ≤ m∗(E)

Sumando las dos ecuaciones

m∗(E ∩ A) + m∗(E \ A) ≤ 0 + m∗(E)

Por tanto A es medible.

(8)Para terminar, sea A medible, y sea x un punto fijo de Rn. Sabemos que la medidaexterior es invariante por traslaciones, luego para cualquier conjunto E ⊆ Rn se tiene

m∗(E) = m∗(−x + E) = m∗((−x + E) ∩ A) + m∗((−x + E) \ A) =

= m∗(−x + (E ∩ (x + A))) + m∗(−x + (E \ (x + A))) =

= m∗(E ∩ (x + A)) + m∗(E \ (x + A))

Ası que x + A es tambien medible. Y ya sabemos que m(A) = m∗(A) = m∗(x + A) =m(x + A)

J(Volver al enunciado)


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Medida de Lebesgue

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J I

Ademas se tiene el siguiente resultado para sucesiones monotonas de conjuntos:

Proposicion (Sucesiones monotonas).

9. Sea Ann una sucesion no decreciente de conjuntos medibles (An ⊆ An+1 para todo n).Entonces

m(∞⋃

n=1

An) = limn

m(An)

10. Sea Ann una sucesion no creciente de conjuntos medibles (An ⊇ An+1 para todo n), ytal que existe algun n0 con m(An0) < ∞. Entonces

m(∞⋂

n=1

An) = limn

m(An)

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Observemos primero que como consecuencia de las propiedades de los conjuntos medibles, si

A y B son dos conjuntos medibles, con B ⊆ A, entonces m(A) = m(B) + m(A \ B), y si Btiene medida finita, entonces m(A \B) = m(A)−m(B)


Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

(9) Supongamos primero que existe k0 ∈ N tal que m(Ak0) = ∞. Como para todo k ≥ k0

Ak0 ⊆ Ak, entonces m(Ak) = ∞ y por tanto limn→∞m(An) = ∞Por otro lado, como Ak0 ⊆

⋃∞n=1 An, tambien m(

⋃∞n=1 An) = ∞, y se tiene la igualdad.

Supongamos entonces al contrario que todos los conjuntos An tienen medida finita.

Poniendo A0 = ∅, podemos escribir∞⋃

n=1

An =∞⋃

n=1

(An \ An−1)

Los conjuntos An \ An−1 son medibles, disjuntos dos a dos, y m(An \ An−1) = m(An) −m(An−1). Aplicando la aditividad de la medida de Lebesgue,

m(∞⋃

n=1

An) = m(∞⋃

n=1

(An \ An−1)) =∞∑

n=1

m(An \ An−1) = limN→∞

N∑n=1

m(An \ An−1) =

= limN→∞

∞∑n=1

m(An)−m(An−1) = limN→∞

m(AN)

(10) Sea ahora Ann∈N decreciente, y sea n0 tal que m(An0) < ∞. Entonces para todo k

mayor que n0 se tiene m(Ak) ≤ m(An0) < ∞. Ademas∞⋂

n=1

An =∞⋂

n=n0

An por ser la sucesion

decreciente. Podemos suponer entonces para mayor comodidad que n0 = 1.


Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Utilizando que∞⋂

n=1

An es medible, y que esta contenido en A1, se tiene

m(A1) = m(A1 ∩ (∞⋂

n=1

An)) + m(A1 \∞⋂

n=1

An) =

= m(∞⋂

n=1

An) + m(∞⋃

n=1

(A1 \ An))

Ahora la sucesion A1 \ Ann es creciente, con lo que aplicando el apartado (1)

m(A1) = m(∞⋂

n=1

An) + limn→∞

m(A1 \ An) =

= m(∞⋂

n=1

An) + limn→∞

(m(A1)−m(An)) =

= m(∞⋂

n=1

An) + m(A1)− limn→∞

m(An)

luego

m(∞⋂

n=1

An) = limn→∞

m(An)


Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

J(Volver al enunciado)

Observaciones:

La propiedad (10) no es cierta si para todo n ∈ N, m(An) = ∞. Como ejemplo, senAn = [n,∞) en R:

An+1 ⊆ An para todo n, luego es una sucesion decreciente.m(An) = ∞ para todo n, luego limn m(An) = ∞

Y sin embargo∞⋂

n=1

An = ∅ luego su medida es 0.

Solo falta ver que los conjuntos An ası definidos son medibles.

Para ver esto ultimo, vamos a utilizar los resultados anteriores para conocer en lo posiblecuales son los conjuntos medibles de Rn (hasta el momento solo tenemos como ejemplo losconjuntos que ya conocemos de medida cero).

Los resultados fundamentales son los dos siguientes:

Proposicion.Todo rectangulo R ⊆ Rn es medible.

Demostracion:


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Sean R un rectangulo y E un subconjunto cualquiera de Rn. Por la definicion de la medidaexterior de E, dado un ε > 0, existe una familia numerable de rectangulos Qn tales que

E ⊆8⋃

n=1

Qn y∞∑

n=1

v(Qn) < m∗(E) + ε

Entonces

m∗(E) ≤ m∗(E ∩R) + m∗(E \R) ≤

≤ m∗

(( ∞⋃n=1

Qn

)∩R

)+ m∗

(( ∞⋃n=1

Qn

)\R

)

≤∞∑

n=1

(m∗(Qn ∩R) + m∗(Qn \R))

El conjunto Qn∩R es un rectangulo, y por tanto su medida exterior coincide con su volumen,m∗(Qn ∩R) = v(Qn ∩R)


Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Qn

R

Qn ∩R

Sn1

Sn2

Y el conjunto Qn\R se puede descomponer como una union finita de rectangulos Sn1 , . . . , Sn

kn

que no se solapan, de modo que

m∗(Qn \R) = m∗(kn⋃i=1

Sni ) ≤

kn∑i=1

v(Sni )

Sustituyendo en la serie

m∗(E) ≤ m∗(E ∩R) + m∗(E \R) ≤

≤∞∑

n=1

[v(Qn ∩R) +

kn∑i=1

v(Sni )

]=

=∞∑

n=1

v(Qn) ≤ m∗(E) + ε


Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Como esta desigualdad se verifica para cualquier ε > 0, tiene que ser

m∗(E) = m∗(E ∩R) + m∗(E \R)

ası que R es medible.

Teorema.Todo conjunto abierto de Rn puede ponerse como union numerable de rectangulos.

Demostracion:

Si G es un conjunto abierto de Rn, para cada punto x ∈ G existira una bola centrada en xcontenida en G. Podemos construir un rectangulo Qx que contenga a x y este contenido en labola, y tal que los vertices de Qx tengan todas sus coordenadas racionales.

Si llamamos Q a la familia de todos los rectangulos posibles en Rn que tiene todos sus verticescon todas sus coordenadas racionales, Q es numerable, y podemos poner

G =⋃Q ∈ Q, Q ⊆ G

que sera como mucho una union numerable de rectangulos.

Como consecuencia de ambos teoremas:


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Medida de Lebesgue

JJ II

J I

Corolario 1.

1. Todo conjunto abierto de Rn es medible.

2. Todo conjunto cerrado es medible.

3. Cualquier conjunto que se pueda obtener mediante una cantidad numerable de operacionesconjuntistas de union, interseccion o diferencia de conjuntos abiertos o cerrados, es medible.(Esta familia de conjuntos recibe el nombre de σ-algebra de Borel de Rn)

4. Todo conjunto medible Jordan es tambien medible Lebesgue. (El recıproco no es cierto)

Demostracion:Los tres primeros apartados se deducen directamente de los dos ultimos teoremas, utilizando laspropiedades de los conjuntos medibles.

Para el ultimo apartado, si A es un conjunto medible Jordan, basta poner el conjunto A comounion de su interior y la parte de la frontera que este en A:

A = A0 ∪ (Fr(A) ∩ A)

Aquı A0 es medible por ser un conjunto abierto, y Fr(A) ∩ A es un subconjunto de la fronterade A. Como A es medible Jordan su frontera es un conjunto de medida cero, luego Fr(A) ∩ Atambien tiene medida cero, y por tanto es medible - Lebesgue. Ası que A es medible - Lebesgue.

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