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L1 STE
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• Variables aléatoires discrètes
Loi de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Variance
• Variables aléatoires continues
Fonction de répartition
Fonction de densité
Espérance
Variance
Plan
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Variable aléatoire discrète
Un petit jeu de dés
P(X = 1) = 1/6
P(X = -10) = 5/6
pas très favorable à vue de nez…
Variables aléatoires discrètes
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Loi de probabilité
La loi de probabilité (ou distribution ou fonction de densité) décrit les répartitions des fréquences d’apparition des résultats d’une expérience aléatoire.
Fonction de répartition
La fonction de répartition correspond à la distribution cumulée que nous avions dans le cours sur les représentation graphique des données.
Variables aléatoires discrètes
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Variables aléatoires discrètes
Espérance
L’espérance, notée E(x) correspond à une moyenne pondérée:
Variance, V(X)
Il s’agit de rappels. Si cela n’est pas clair, les TD vont préciser les choses.
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Variables aléatoires continues
Fonction de répartition
C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R cette fois.
Propriétés intéressantes…
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Variables aléatoires continues
Fonction de densité
C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R. Il s’agit de f(x) dans la formule précédente.
Propriétés intéressantes…
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Variables aléatoires continues
Espérance
En suivant exactement la même construction que pour les variables aléatoires discrètes, on définit l’espérance:
Variance, V(X):
Idem pour la variance
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Une fonction de répartition d’une variable aléatoire x est une fonction F(x) qui, pour tout x, indique la probabilité pour que x soit inférieur ou égal à x1.
Variable continue (sigmoïde pour La loi normale)
Variable discrète (escalier)
En résumé
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L1 STE
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• Lois discrètes
Loi binomiale
Loi de Poisson
• Loi continue
Loi normale
Plan
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La loi binomiale:C’est une distribution discontinue qui donne les probabilités de voir apparaître un événement de probabilité p respectivement 0,1,2,3,…n fois au cours de n épreuves.
Seulement deux évènements peuvent apparaître.
B(n,p) : n est le nombre d’épreuves, p est la probabilité d’un des deux évènements (p.e. succès), q est la probabilité complémentaire (p.e. échec).
La loi binomiale: B(n,p)
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La probabilité de voir apparaître x fois le même événement de probabilité p au cours de n épreuves indépendantes peut s’écrire:
xxnxxnxn pq
xxn
npqCxP
!)!(
!)(
La loi binomiale: B(n,p)
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Exemple:Une famille de n enfants, quelle est la probabilité d’avoir x garçons?
B(2,0.5)?
B(7,0.5)?
La loi binomiale: B(n,p)
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x P(x)0 0.251 0.52 0.25
Avec n=2: B(2,0.5)
La loi binomiale: B(n,p)
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Symétrique!!
La loi binomiale: B(n,p)
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Des rats sont conditionnés. Un passage a 25% d’être emprunté. 5 essais...
B(5,0.25)???
La loi binomiale: B(n,p)
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Dissymétrique!!!!
La loi binomiale: B(n,p)
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Espérance mathématique
n
iii xxPxE
1
)()(
Pour la loi binomiale:npxE )(
Exemple:Quelle est l’espérance mathématique du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?
5.35.07)( npxE
La loi binomiale: B(n,p)
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npq2
Pour une distribution binomiale:
Exemple:Quelle est la variance du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?
75.15.05.072
La loi binomiale: B(n,p)
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La loi de Poisson: distribution théorique discontinue qui dérive de la loi binomiale.
Une des éventualités a une probabilité très faible.
Surtout utilisé lorsqu’on compte des individus ou des évènements distribués au hasard dans le temps ou dans l’espace.
Loi binomiale tend vers Poisson si p diminue et n augmente. En pratique un événement est rare si p<0.05. L’approximation est satisfaisante si n>50.
La loi de Poisson: P()
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Poisson démontre que :
xxn pqxxn
nxP
!)!(
!)(
Tend vers:
ex
xPex
npxP
xnp
x
!)( ou
!)(
Avantage: un seul paramètre ()
La loi de Poisson: P()
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Un exemple…
Recherche de monnaies au détecteur de métaux. 48 monnaies sont trouvées sur 89 jours.
Nbre de monnaies trouvées Nombres de joursxi fi0 561 222 93 14 05 16 0
La loi de Poisson: P()
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Nombre moyen de monnaies trouvées par jour : 48/89 = 0.539.
Probabilité pour qu’une trouvaille se produise le jour J :p= 1/89 = 0.011.
Nombre d’épreuves = 89
Nbre de monnaies trouvées P(xi)xi0 0,5831 0,3142 0,0843 0,0154 0,0025 0,00016 ~0
314.0)1(!1
539.0)1(
!)(
539.01
P
eP
ex
xPx
2= = 0.539
La loi de Poisson: P()
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Nbre de monnaies trouvées Freq Freq theoxi fi0 0,629 0,5831 0,247 0,3142 0,101 0,0843 0,011 0,0154 0,000 0,0025 0,011 0,00016 0,000 0
Observée0,000
0,500
1,000
monnaies trouvées / J
Comparaison Théo - ObsObservée
Théorique
La loi de Poisson: P()
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Espérance mathématique: = np
La variance : 2 = npq; en fait 2 ->
La loi de Poisson: P()
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Précurseurs : de Moivre (1733), forme actuelle : Laplace (1712), Gauss (1809)
La loi normale: N()
2
2
2
)(
22
1)(
x
exf
La variable x peut être continue, sans borne inf ou sup.
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La loi normale: N()
Symétrique par rapport à
Espérance : E(x) =
Variance : Var(x) = 2
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Loi normale centrée réduite: moyenne = 0, écart type = 1.
1ere transformation : X = x -
2eme transformation : Z=X/
Z
La loi normale: N()
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La loi normale: N()
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La loi normale: N()
On retire la moyenne (on centre sur 0)
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La loi normale: N()
On divise par l’écart type (Nouvel écart type = 1)
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L’aire totale comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.
12
1 2
2
dZeZ
La loi normale: N()
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La loi normale: N()
35
La loi normale: N()
Fonction de densité et fonction de répartition
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La loi normale: N()
37
La loi normale: N()
38
La loi normale: N()
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La loi normale: N()
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Exemple: N(5,0.5), P(4 < x < 6.5)?
25.0
541 Z 3
5.0
55.62 Z
P (-2 < Z < 3)?
Réponse : calcul de P(0 < Z < 3) et de P(-2 < Z < 0) et addition des deux termes.
P(0 < Z < 3) = (3) - (0) = 0.999 - 0.5 = 0.499P(-2 < Z < 0) = (2) - (0) = 0.977 - 0.5 = 0.477P(-2 < Z < 3) = 0.499 + 0.477 = 0.976
La loi normale: N()
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La loi normale: N()
Caractéristiques de la courbe normaleCaractéristiques de la courbe normale
• f(Z) devient de + en + faible quand Z croit en valeur absolue.
• f(Z) toujours > 0.
• Courbe symétrique : f(Z) = f(-Z)
• Asymptote sur l’axe des x: exp(-z2/2) ->0 quand Z -> infini
• La dérivée s’annule pour Z=0. Maximum à Z=
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La loi normale: N()
Symétrique par rapport à
Espérance : E(x) =
Variance : Var(x) = 2
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Pour une variable continue, la probabilité de tomber exactement sur une valeur est nulle. Qui mesure exactement 1,758942563 m?
On considère la toujours la probabilité pour que x soit contenue dans un intervalle (P(x1 x x2))
La loi normale: N()
