INEGALITATI

In cele ce urmeaz vom prezenta cteva metode uzuale pentru demonstrarea unor clase de inegaliti algebrice.

Observatie: O (in)egalitate se numete simetric dac este ivariant la o permutare arbitrat a variabilelor. O mare parte din inegalitile prezentate de exemplu inegalitatea lui Nesbitt sunt simetrice. O (in)egalitate este ciclic dac nu se modific la permutarea ciclic a variabilelor. De exemplu, dac avem trei variabile (a, b, c) schimbarea ciclic este . Orice inegalitate simetric este i ciclic, iar de exemplu inegalitatea

(

)

este ciclic dar nu este simetric.

Metoda calculului Aceast metod presupune efectuarea calculelor elementare (eliminarea numitorilor, desfacerea parantezelor, gruparea termenilor, scrierea sub form de ptrate, etc.)

Problema 1.

Dac a, b, c sunt numere reale strict pozitive s se demonstreze c este adevrat inegalitatea:

(

)

Cnd este adevrat inegalitatea? Soluie. Inegalitatea este echivalent cu

( )

( )

( )

Egalitatea pentru .

Teorema rearanjrii.

Fie ( ) un ir finit monoton cresctor.

Dac ( ) este un ir oarecare,

Atunci:

,

Unde ( ) i ( )

sunt irurile monoton descresctoare, respectiv monoton cresctoare, obinute

prin permutarea termenilio irului ( )

Demonstraie. Fie

i fie ( )

irul obinut din ( )

prin permutarea termenilor .

Atunci

( )( )

Deci valoarea sumei scade dac erau ordonate cresctor, respectiv crete, dac erau ordonate descresctor. Aplicnd procedeul n mod repetat, obinem inegalitatea din enun. Interpretarea acestui rezultat este natural. Dac ( )

este privit ca un set de coeficieni ce trebuie asociat irului dat ( )

Atunci suma

este maxim atunci cnd coeficienii mari sunt asociai termenilor mari ,

respectiv minim cnd coeficienii mari sunt asociai termenilor mici. Indicm acum un numr de aplicaii ale acestui rezultat.

Problema 1.

Dac , , , atunci . Soluie. Inegalitatea fiind simetric n variabilele,a, b, c putem presupune c . Atunci i , de unde, conform teoremei rearanjrii, De asemenea, , de unde: . Combinnd cele dou inegaliti de mai sus rezult concluzia.

Problema 1.

Dac , , , atunci:

.

Soluie. Urmrim mai nti s prelucrm numitorii. Aplicnd teorema rearanjrii obinem c i analoagele.

Atunci:

( )

( )

( ).

Inegalitatea lui Cebev

Dac i sau i , atunci: ( )( ) ( )

Dac i sau i , atunci: ( )( ) ( )

Demonstraie: 1. Avem:

( )( ) ceea ce este adevrat, deoarece i

2. Analog.

Problema 1.

Demonstrai c dac x, y, z sunt numere strict pozitive atunci

Soluie. Avem

Deoarece inegalitatea este simetric avem voie s presupunem fr restrngerea generalitii c

, adic i

.

Atunci, din inegalitatea lui Cebev obinem:

( ) (

,

,

)

Cum (

,

,

) (

,

,

) obinem inegalitatea cerut.

Numrtorul este preferabil n unele inegaliti unde avem fracii putem nota numitorii cu alte litere i vom substitui expresiile de la numrtor n funcie de literele noi introduse. Exemplificm prin dou probleme.

Problema 1. (Inegegalitatea lui Nesbitt). Dac a, b, c sunt strict pozitive demonstrai inegalitatea.

Problema 2.

Demonstrai c dac a, b, c sunt strict pozitive, atunci

n ce caz avem egalitate?

Soluie. Folosim substituiile Rezolvnd sistemul de necunoscute x, y, z obinem

( ) ( )

Adic

( )

Analog se obin i relaiile:

( )

( )

nlocuind i simplificnd prin 6 inegalitatea iniial devine

6

Ceea ce este echivalent cu

Adic

(

) (

) (

) (

)

Adevrat pentru toate numerele strict pozitive pentru c

dac u i v sunt numere reale strict

pozitive i

(

)

Adevrat pentru orice x, y,z strict pozitive (ineg mediilor). Inegalitaea devine egalitate pentru

Inegalitatea lui Cauchy Buniakovski Schwatz Pentru orice , , , avem:

( ) ( )( ) innd seama de egalitatea Lagrange avem:

( )( ) ( ) ( ) (Relaia se demonstreaz prin calcul direct). Renunnd la ultimul termen pozitiv din membrul drept se obine inegalitatea lui Cauchy Buniakovski Schwatz Problema 1.

Dac a,b,c sunt numere reale pozitive atunci:

Soluie: Aplicm inegalitatea Cauchy Buniakovski Schwatz sub forma:

(

)

(

)

Inegalitatea lui Minkowski

Dac , , , atunci

( ) ( )

Inegalitatea este echivalent cu cea obinut prin ridicarea la ptrat. Avem:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ).

Ridicm din nou la ptrat i obinem: ( )( ) ( ) , ceea ce este adevrat. Inegalitatea lui Cauchy-Schwarz:

Daca x1, x2,.,xn R si a1, a2,.,an>0 atunci

n21

2

n21

n

n

n

2

2

2

1

2

1

a....aa

x....xx

a

x......

a

x

a

x

Egalitatea are loc dac i numai dac n

n

2

2

1

1

a

x......

a

x

a

x

Problema 1.

Fie a, b, c numere reale strict pozitive cu suma . S se arate c

( )

Soluie:

Scriem

( )

Iar inegalitatea revine la ( )( ) ( ) Echivalent cu ( )