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1. Equação linear1. Equação linearEquação linear é toda equação da forma:
aa1111xx11 + a + a1212xx22+ a+ a1313xx33 + ... + a + ... + a1n1nxxnn = b = b11
em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientescoeficientes das das incógnitasincógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as incógnitasincógnitas; e b1 é um número real chamado termo termo independenteindependente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).Exemplos:Exemplos:
5543) 4321 xxxxa
02) 321 xxxb
4000) 321 xxxc
00000) 4321 xxxxd
3, 4, -5 e -1 são os coeficientes
x1, x2, x3 e x4 são as incógnitas
5 é o termo independente
1. Equação linear1. Equação linearUma equação linear não apresenta incógnitas em expoentes diferente de 1, isto é, não temos incógnitas na forma, x2, xy, x, 1/x, etc.
As equações 3x + 2x2 = -3 e -4xy + z = 2, por exemplo, não são lineares.
Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é chamada chamada equação linear homogêneaequação linear homogênea..
2. Solução de uma Equação linear2. Solução de uma Equação linearUma sequência de números reais (1, 2, 3,..., n) é solução da equação linear
aa1111xx11 + a + a1212xx22+ a+ a
1313xx33 + ... + a + ... + a1n1nxxnn = b = b
11
se trocarmos cada xi por i na equação e este fato implicar que
o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é, se a igualdade for verdadeira:
aa111111 + a + a121222+ a+ a
131333 + ... + a + ... + a1n1nnn = b = b
11Exemplos:Exemplos:a) Verifique se a sequência (1, 2, 3, -2) é solução da equação 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3.Resolução:
2.1 + 3.2 – 3 + (-2) = 3 2 + 6 – 3 – 2 = 3 3 = 33 = 3 SIMSIM
2. Solução de uma Equação linear2. Solução de uma Equação linearb) A equação 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0, admiteadmite como solução a sequência ordenada (1, 2, 3,..., n), n N.Resolução:
0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0
0 = 00 = 0
c) A equação 0x + 0y + 0z + 0t = 2, não admitenão admite como solução a quádrupla ordenada (1, 2, 3,..., n), n N.Resolução:
0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 2
0 = 20 = 2Se duas equações têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo, estas são ditas EQUAÇÕES EQUIVALENTESEQUAÇÕES EQUIVALENTES.
Se uma equação linear é homogênea (b = 0) esta sempre admite a solução {0, 0, 0...}, que é dita SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL ou IMPRÓPRIAIMPRÓPRIA.
3. Sistema de Equações lineares3. Sistema de Equações linearesÉ um conjunto de m (m 1) equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn. Assim o sistema abaixo é linearo sistema abaixo é linear::
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
.........................................................
Lembrando a definição de produto de matrizes, podemos representar o sistema na FORMA MATRICIALFORMA MATRICIAL.
nnmn
n
n
mmm b
b
b
x
x
x
a
a
a
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
2
1
321
232221
131211
3. Sistema de Equações lineares3. Sistema de Equações linearesEQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTEEQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTE
A. X = B Matriz dos coeficientes
Matriz das variáveis ou incógnitasMatriz dos termos independentes
322
43
82
zyx
zyx
zyx
122
113
121
z
y
x
.
3
4
8
Equação matricialEquação matricial
Exemplos:Exemplos:a) O sistema linear:
2
432
yx
yx
pode ser escrito na forma:
2
4
11
32
y
x
4. Solução de um Sistema Linear4. Solução de um Sistema LinearSe o conjunto ordenado de números reais (1, 2, ..., n) for solução de todas as equações do sistema, então será denominado solução do sistema linearsolução do sistema linear..
Exemplos:Exemplos:a) Verifique se a terna ordenada (1, 2, 3) é solução do sistema linear:
6321
43
12
6
zyx
zyx
zyx
(V) 13212 (V) 43213 (V)
SIM, SIM, é solução do sistemaé solução do sistema
Se fizermos a mesma verificação para a terna ordenada (-5, 11, 0), perceberemos que apesar de ela ser solução das duas primeiras equações, na terceira a sentença se torna falsa.Logo, não é solução do sistemaLogo, não é solução do sistema.
4. Solução de um Sistema Linear4. Solução de um Sistema Lineara) O sistema linear:
6000
14
532
zyx
zyx
zyx
não admite soluçãonão admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla ordenada.
5. Classificação de um Sistema Linear5. Classificação de um Sistema LinearOs sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções, da seguinte forma:
SISTEMA LINEARSISTEMA LINEAR
POSSÍVELPOSSÍVELQuando admite soluçãoQuando admite solução
IMPOSSÍVELIMPOSSÍVELQuando não admite soluçãoQuando não admite solução
DETERMINADO (SPD)DETERMINADO (SPD)Quando admite uma Quando admite uma
única soluçãoúnica solução
INDETERMINADO (SPI)INDETERMINADO (SPI)Quando admite mais de Quando admite mais de uma solução (infinitas uma solução (infinitas
soluções)soluções)
5. Classificação de um Sistema Linear5. Classificação de um Sistema Linear
S = {3, 1} Somente esta solução, portanto SPDSPD.
S1 = {1, 2}, S2 = {2, 4}, etc., são várias soluções, portanto SPISPI.
S = ; não existe solução, portanto SISI.
Exemplos:Exemplos:
5y4x3
7yx2
6y6x4
8y3x2
1034
2068
yx
yx
6. Sistema Linear Homogêneo6. Sistema Linear HomogêneoChamamos de sistema linear homogêneo todo sistema em que o termo independente de todastodas as equações é igual a zero.Exemplos:Exemplos:
02
0
zyx
zyx
É fácil notar que um sistema homogêneo admite sempre como solução a sequência (0, 0, 0, ..., 0), esta solução chama-se solução trivialsolução trivial.Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivialsolução não trivial.
04
032
033
043
tzx
tzyx
zyx
tzyx
7. Matrizes associadas a um sistema7. Matrizes associadas a um sistemaMatriz Incompleta:Matriz Incompleta: matriz A formada pelo coeficientes das incógnitas do sistema.
42
74
032
zyx
zyx
zyx
112
114
132
A
Matriz Completa:Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta, uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
42
74
032
zyx
zyx
zyx
4
7
0
112
114
132
B
8. Sistema Normal8. Sistema NormalUm sistema é dito normal quando:• O número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n).• O determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
112
114
132
det
A
Verifique se o sistema linear é normal:Exemplos:Exemplos:
Resolução:
O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas.
Vamos calcular o determinante da matriz incompleta:
1
1
3
2
4
2
462 1222 24
CONCLUSÃO: o sistema é CONCLUSÃO: o sistema é normalnormal
42
74
032
zyx
zyx
zyx
9. Teorema de Cramer9. Teorema de CramerSeja S um sistema linear normal (m = n e detA 0), então S possui solução única, e portanto, será Possível e Determinado (SPD).Esta solução será da forma:
D
Dx ixi ni ,,3,2,1,
Onde, DD é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e DDxxii
é o determinante obtido pela substituição, na
matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Resolver o sistema usando a regra de cramer:
12
4
6
zyx
zyx
zyxExemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de D:
112
111
111
D
1
1
1
2
1
1
121 112 4
9. Teorema de Cramer9. Teorema de Cramer
Resolver o sistema usando a regra de cramer:
12
4
6
zyx
zyx
zyxExemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de DX:
111
114
116
xD
1
1
1
1
4
6
416 461
4
Cálculo de Dy:
112
141
161
yD1
4
6
2
1
1
1124 618 12
Cálculo de Dz:
112
411
611
zD
1
1
1
2
1
1
681 1412
8
9. Teorema de Cramer9. Teorema de Cramer
Resolver o sistema usando a regra de cramer:
12
4
6
zyx
zyx
zyxExemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de x:D
Dx x
4
4
1x
Cálculo de y:D
Dy y
4
12
3y
Cálculo de z:D
Dz z
4
8
2z
Logo, o conjunto solução do sistema é:
2,3,1S
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
Se:
Vamos lembrar que um sistema é classificado de acordo com o número de soluções que ele apresenta.A partir do Teorema de Cramer, podemos classificar um sistema, seguindo o seguinte princípio:
0D SPDúnicaSolução
Se: ,0,0,0,0 zyx DDDD SPISoluçõesInfinitas
Se: 00 zyxzyx DDDDDDeD
SISoluçãopossuiNão
A explicação para esse raciocínio é bem simples, pois, por exemplo, se D = 0 e todos os Dx = Dy = Dz ... = 0, no cálculo de x, y e z teríamos:
D
Dx x
0
0
D
Dy y
0
0 SPI
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
623
02
3
zyx
zyx
zyxDiscutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer:
Exemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de D:
213
112
111
D 232 413 3
1
1
1
3
2
1
Perceba que D 0, e nesse caso, mesmo sem resolver o sistema já sabemos que ele tem uma única soluçãoúnica solução.Portanto: SPD.Portanto: SPD.
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
134
22
123
zyx
zyx
zyxDiscutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer:
Exemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de D:
341
112
231
D 1633 1842 0
4
1
3
1
2
1
Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema.
341
112
231
xD 0
311
122
211
yD 0
141
212
131
zD 0
Com base nos valores encontrados, concluímos que SPISPI.
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
0233
432
12
zyx
zyx
zyxDiscutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer:
Exemplos:Exemplos:
Resolução:
Cálculo de D:
233
312
121
D 6182 893 0
3
1
2
3
2
1
Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema.
230
314
121
xD 23
Nesse caso, já não é mais necessário o cálculo de Dy e Dz, pois sendo Dx 0 e D = 0, concluímos que SISI.