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Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 1
1. El papel de este curso en el programa curricular de ingeniería
electrónica
Quienes toman este curso (en la Universidad Distrital) inician su sexto semestre de ingeniería
electrónica, por lo que merecen una gran felicitación pues acaban de superar la primera mitad de su
carrera (en la Universidad Distrital la Ingeniería Electrónica toma 10 semestres). Sin embargo, suele
ocurrir que, cuando se les pregunta ¿qué es la ingeniería electrónica?, casi nadie ofrece una
definición precisa y clara de la profesión que escogió estudiar, a pesar de estar en un estado tan
avanzado de sus estudios. Aun así, si se recogen varios de los elementos que los estudiantes aportan
tentativa y tímidamente, se puede ir construyendo una aproximación a la definición de la ingeniería
electrónica que, al final, suele ser parecida a la siguiente:
La ingeniería electrónica es una profesión (esto es, un conjunto de conocimientos,
habilidades y formas de enfrentar un tipo particular de problemas con el propósito de
facilitar la vida de las personas) que aplica los principios físicos del electromagnetismo
y la mecánica cuántica para el diseño, construcción, operación y mantenimiento de
estructuras, máquinas, aparatos y procesos, de manera que se conozca su
comportamiento bajo condiciones de operación específicas, con niveles de seguridad
específicos y con costos mínimos. Hasta aquí, no se diferencia de la ingeniería eléctrica.
Sin embargo, mientras la ingeniería eléctrica utiliza estos principios con el propósito de
generar, convertir, distribuir y controlar energía, el ingeniero electrónico los utiliza con
el propósito de capturar, almacenar, transmitir y procesar información.
Una pregunta que los estudiantes sí responden con mayor entusiasmo y claridad es ¿Cuál es el área
de la ingeniería electrónica que les interesa y que los motivó a estudiar esta carrera profesional?
Con las respuestas de los estudiantes se puede construir una lista:
Telecomunicaciones, ingeniería de computadores, sistemas de control, instrumentación,
componentes y microelectrónica, bio-ingeniería, telemática, conmutación, redes de comunicaciones,
tecnología para música, video (cine, televisión, multimedios), etc.
Es fácil reconocer que todas esas áreas de actuación de la ingeniería electrónica obedecen a la
definición dada y que en todas ellas la información es el objeto principal, la cual se representa
mediante señales electromagnéticas (corrientes, voltajes, campos), aunque sean transducciones de
otros tipos de señales (presión, temperatura, intensidad de luz, etc.). Lo interesante es que apenas
ahora, después de tres años de estudio, los estudiantes empiezan a estudiar esos temas que eran la
motivación original para decidirse por esta carrera. Entonces, ¿qué han estado estudiando hasta
ahora? Nuevamente es posible hacer una lista con las respuestas de los estudiantes:
Algunos cursos de circuitos y electrónica, bastantes cursos de física, algo de programación, inglés,
humanidades y… muchos cursos de matemáticas! Algebra lineal, cálculo diferencial, cálculo
integral, cálculo vectorial, variable compleja, ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier,
probabilidades y estadística. Ante semejante formación que han tenido, se espera que les quede fácil
resolver un problema sencillo (por ejemplo, de regla de tres inversa y compuesta). Pero suele
suceder que muy pocos estudiantes logran resolverlo en un tiempo razonable. ¿A qué se debe? ¿De
qué sirvió estudiar tanta matemática que los volvió muy buenos en calcular integrales muy
complejas y en resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de orden superior y
condiciones de frontera, pero los hizo olvidar cómo plantear un problema de regla de tres, lo cual ya
sabían hacer en tercero de primaria? ¿Cuán útil ha sido, entonces, lo que han aprendido en los
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 2
primeros cinco semestres? ¿Han aprendido a pensar como ingenieros? ¿Qué implicaciones tendrá en
su actitud como estudiantes de ingeniería electrónica el descubrir que, después de cinco semestres,
no sabían qué es la ingeniería electrónica y que los muchos cursos de matemáticas avanzadas para
ingeniería sólo les han servido para olvidar cómo formular problemas de regla de tres? Notar que si
el mismo problema se les propone en términos de resistencias y corrientes, todos lo hubieran
resuelto correctamente en muy breve tiempo. ¿Será que nos han formado demasiado tiempo en la
solución de ejercicios matemáticos y no en la formulación matemática de problemas de ingeniería
(¡o de la vida cotidiana!)?
Pues bien, este curso conecta todo lo que hemos visto hasta ahora en una teoría básica que se
constituye en el fundamento de todas las áreas de especialidad de la ingeniería electrónica, para
darle sentido a todo lo que hemos estudiado, no como maquinitas de resolver ecuaciones
diferenciales, de calcular integrales o de invertir matrices, sino como ingenieros, con pensamiento
crítico, capaces de relacionar nuestro conocimiento previo con cualquier nuevo conocimiento,
mediante procesos lógicos de deducción, inferencia o inducción, y con capacidad argumentativa
para describir nuestros procesos lógicos.
Figura 1. El análisis de señales es la cintura del gran reloj de arena en la formación de un ingeniero electrónico
Si bien en los cursos de matemáticas que hasta ahora hemos tomado se nos ha ejercitado en técnicas
de solución de ecuaciones (derivación, integración, ecuaciones diferenciales, etc.), ahora debemos
entrenarnos en formular los problemas de la ingeniería en lenguaje matemático mediante la
construcción de modelos matemáticos que podamos analizar con las técnicas aprendidas para
trasladar la solución del modelo al sistema real que se pretendía analizar o diseñar, como muestra la
siguiente figura:
Comunica-ciones
Control
Bioinge-niería
Computa-dores
TelemáticaInstrumen-
taciónCompo-nentes
Algeabralineal
Fourier
Cálculo diferencial
Cálculo integralCálculo
vectorial Ecuaciones diferenciales
Variable compleja
Análisis de señales
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3
Figura 2. Proceso de la conceptualización matemática en ingeniería
Para terminar esta clase, se ha de leer, analizar y discutir el syllabus del curso, que se encuentra en
http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate, indicando que allí se dispondrá de las tareas y de otros
recursos (como este documento).
Sistema Físico real
Modelamiento matemático de
señales y sistemas
Técnicas de solución de
modelos matemáticos
Conceptualización,Abstracción
Comunica-ciones
Control
Bioinge-niería
Computa-dores
TelemáticaInstrumen-
taciónCompo-nentes
Algeabralineal
Fourier
Cálculo diferencial
Cálculo integralCálculo
vectorial Ecuaciones diferenciales
Variable compleja
Análisis de señales
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2. Definición de señal
En esta clase presentamos algunas señales para considerar qué es lo que vamos a estudiar durante el
curso (Las señales están en http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate).
La primera de ellas (Figura 3) corresponde al número de manchas en el sol, promediadas cada mes
desde enero de 1749 hasta julio de 2012. Una mancha es una región del Sol con una temperatura
más baja que sus alrededores debido a una intensa actividad magnética. En cada mancha, que puede
alcanzar una extensión de hasta 12000 kilómetros, la temperatura es de cerca de 4000K, bastante
frío comparado con sus alrededores, donde la corona del sol alcanza cerca de 6000K. En la figura se
puede observar cierto tipo de periodicidad, pues aproximadamente cada 11 años se presenta un pico
en la actividad de las tormentas magnéticas del sol.
Figura 3. Manchas en el sol desde enero de 1749 hasta julio de 2012
(http://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch/spot_num.txt)
La segunda señal (Figura 4) representa el pulso de eco-localización emitido por un murciélago
(eptesicus fuscus). Los murciélagos usan un sonar biológico mediante el cual emiten un pulso de
ultrasonido y escuchan los ecos devueltos por los objetos en su medio ambiente, logrando ubicar e
identificar estos objetos en completa oscuridad. De esta manera, miles de murciélagos son capaces
de navegar en cuevas oscuras sin chocar entre ellos ni con las paredes e, incluso, logran capturar
insectos en el aire a partir de los ecos de sus propios pulsos. Nótese cómo la frecuencia de la señal
emitida se va reduciendo desde cerca de 40 kHz hasta cerca de 20 KHz, en sólo 2.5 ms.
La tercera señal (Figura 5) representa el sonido producido por un grupo de grillos en un atardecer.
Este sonido lo producen los machos frotando los bordes de sus alas (no es cierto que sea frotando
sus patas traseras), para llamar la atención de las hembras. Los grillos vecinos sincronizan sus
sonidos para hacer un sonido más atractivo para las hembras, lo cual es muy sorprendente si se tiene
en cuenta que, sin un director de orquesta, un grupo de seres humanos no se sincroniza fácilmente, a
pesar del inmenso cerebro que posee cada individuo.
1750 1800 1850 1900 1950 20000
50
100
150
200
250
Manchas en el sol, cada mes, desde enero de 1749 hasta julio de 2012
Núm
ero
de m
anchas
año
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5
Figura 4. Señal de ecolocalización de un murciélago (http://spib.rice.edu/spib/data/signals/bio/batecho.html)
Figura 5. Sonido de grillos (http://spib.ece.rice.edu/spib/data/signals/bio/crickets.wav)
La cuarta señal (Figura 6) muestra las amplitudes de los componentes en fase (I) y en cuadratura
(Q) de la señal 16QAM recibida por un modem V.29. En el transmisor se usan 16 combinaciones
lineales de dos portadoras, I(t)=Acos(ct) y Q(t)=Asen(ct), donde la segunda está en cuadratura
de fase respecto a la primera (un desfase de /2 radianes). Cada combinación representa cuatro bits
de información. Al graficar el coeficiente de I(t) en el eje horizontal y el coeficiente de Q(t) en el
eje vertical, se tiene el diagrama de constelación de la técnica de modulación 16QAM. Sin embargo,
al pasar por el canal, estas señales sufren distorsiones y se contaminan con ruido, de manera que en
el modem receptor se obtiene un diagrama semejante al de la señal mostrada. A partir de ella, el
modem receptor es capaz de inferir la secuencia de unos y ceros en el transmisor que dieron origen
a dicha señal.
La quinta señal (Figura 7) muestra un segmento de una señal electrocardiográfica. El latido cardíaco
se debe a una actividad bio-eléctrica que permite la sucesión periódica y ordenada de contracciones
para bombear la sangre. Esta actividad se puede capturar mediante sensores apropiados para
determinar si el corazón funciona normalmente o sufre de alguna anomalía. Por ejemplo, en la señal
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10-3
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Señal de ecolocalización de un murciélago
tiempo en segundos
Am
plit
ud
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Sonido de grillos
tiempo en segundos
Am
plit
ud
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6
mostrada, se nota algunos latidos adicionales que contrastan con algunos latidos suprimidos, lo cual
constituye una arritmia cardiaca. Muchos otros diagnósticos adicionales se pueden conseguir a
partir de la misma forma de onda de los impulsos.
Figura 6. Diagrama IQ de una señal V.29
Figura 7. Electrocardiograma de un adulto (Erik Traasdahl, Institute of Medical Biology, University of Tromso, Norway)
La sexta señal (Figura 8) es un fragmento de voz humana capturada desde un micrófono. La señal
de voz es una variación presión en el aire que viaja como una onda longitudinal desde la boca del
hablante hasta el oído de quien lo escucha. Lo más fascinante de esta señal de voz es que empieza
con una idea o un pensamiento que el hablante quiere comunicar a alguien, para lo cual la convierte
en una forma lingüística con estructuras gramaticales, sintácticas, semánticas y prosódicas
específicas, a partir de las cuales el cerebro genera comandos motores a los diferentes músculos que
intervienen en la generación de la onda de presión deseada (diafragma, cuerdas vocales, velo del
paladar, quijada, lengua, labios…). La onda de presión hace vibrar el tímpano de quien escucha,
vibración que es filtrada por los huesecillos (yunque, estribo y martillo) para hacer vibrar el caracol,
donde más de diez mil células ciliares ejecutan un análisis espectral con más de diez mil bandas
para producir impulsos eléctricos en el nervio auditivo. De esta secuencia de impulsos el cerebro
extrae no sólo la idea que el hablante quiso extraer (tal vez conceptos tan importantes como
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Señal recibida por un modem V.29 a 9600 bps
Parte real
Part
e im
agin
aria
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Electrocardiograma de un adulto
Tiempo, en segundos
Am
plit
ud
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 7
amistad, felicidad, amor o, simplemente, triángulo), sino mucha información adicional (sexo, edad,
estado de ánimo, etc.).
Figura 8. Voz femenina
La séptima señal (Figura 9) representa la longitud en bytes de los archivos del disco duro de un
computador personal. El rango dinámico de esta señal sugiere presentarla en escala logarítmica,
pues va desde las unidades hasta los miles de millones. Nótense dos características interesantes: Si
vemos con detalle una porción de la señal (por ejemplo, los archivos 110.000 a 140.000) veremos
una figura similar a la señal completa, excepto por las escalas en los ejes. Las señales que tienen
esta propiedad se conocen como señales auto-similares. En particular, es fácil notar que, aunque la
mayoría de archivos son pequeños, la mayor cantidad de espacio en el disco duro está ocupada por
los poquitos archivos gigantescos y no por los muchos archivos pequeños. A este comportamiento
de las señales auto-similares se le denomina Ley de Potencia.
Figura 9. Longitud de los archivos en un disco duro
La octava señal (Figura 10) es una imagen. Está compuesta por un arreglo de 512512 elementos
(pixels –picture elements), cada uno de los cuales tiene un valor entero entre 0 y 255. Si el valor de
cada pixel se asocia con un tono de gris, donde 0 significa negro y 255 significa blanco, se obtiene
la representación mostrada. Se trata de una fotografía de Lena Söderberg, la playmate de noviembre
de 1972, foto que se ha convertido en una imagen estándar para comparar algoritmos de
procesamiento digital de imágenes. En efecto, la imagen contiene una mezcla interesante de detalles
como texturas, sombras, contrastes, regiones planas de baja frecuencia, regiones de alta frecuencia
como las plumas del sombrero, reflexiones especulares de porciones de la imagen, etc. Estas
propiedades se pueden apreciar con claridad si graficamos el valor de cada pixel en un tercer eje
tridimensional, como muestra la Figura 11. Dos datos curiosos: (1) Lena fue invitada de honor a la
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Voz femenina
tiempo en segundos
Am
plit
ud
0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 108 Longitud de archivos en mi disco duro
Número de archivo
Tam
año e
n b
yte
s
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 105
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9Logaritmo de la longitud de los archivos en mi disco duro
Número de archivo
logaritm
o d
el T
am
año e
n b
yte
s
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 8
quincuagésima conferencia anual de la Sociedad de Ciencia de las Imágenes en 1997 y (2) Playboy
renuncio a reclamar sus derechos de copyright porque el número de noviembre de 1972 ha sido el
número más vendido en toda su historia, superando a los números donde aparecen grandes
celebridades.
Figura 10. Imagen de Lena
Figura 11. Otra forma de ver la imagen de Lena
La novena señal (Figura 12) muestra los intervalos entre disparos sucesivos de una neurona del
nervio auditivo de un gato cuando escucha un tono de 1000 Hz. Como mencionamos al hablar de la
señal de voz, las señales sensoriales llegan al cerebro como secuencias de disparos neuronales para
su interpretación. Al igual que la longitud de los archivos en un disco duro de un PC (Figura 9), las
señales econométricas como la que se representa en la Figura 13, o la longitud en bytes del buffer
de un enrutador en internet, representada en la Figura 14, los disparos neuronales forman un señal
auto-similar con leyes de potencia características.
Lena
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 9
Figura 12. Descargas neuronales (Teich, Johnson, Kumar, and Turcott, "Fractional power law behavior of single units
in the lower auditory system", Hearing Res., 46: 41-52, May 1990)
Figura 13. Indicador económico
Habiendo visto las anteriores once señales como ejemplos del tipo de objetos que estudiaremos en
este curso, se puede notar que todas ellas corresponden a la gráfica de una magnitud con respecto a
otra: Número de manchas en el sol graficada con respecto a cada uno de los meses de un período de
263 años, o la intensidad lumínica de un pixel con respecto a su posición en coordenadas (x,y), o el
intervalo entre disparos de una neurona auditiva con respecto al número de disparo. ¿Cómo
podremos asociar con semejante disparidad de señales un único modelo matemático que nos sirva
para construir una teoría unificada de señales y sistemas?
2 4 6 8 10 12
x 104
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo
Descarga
Inte
rvalo
, en s
egundos
50 100 150 200 250
1050
1100
1150
1200
1250
Indice S&P durante los días no feriados de 2010
día
Valo
r de c
ierr
e
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 10
Figura 14. Número de bytes en la cola de un multiplexor en Internet
A partir de estas señales de ejemplo, es posible poner a los estudiantes a discutir ¿qué es una señal?
de manera que, con las propuestas que se escuchan, se puede construir una definición como la
siguiente:
Una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto
a cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones
hay codificada una información.
Esta definición se ajusta bien a cada una de las señales vistas anteriormente, lo cual habla del
altísimo grado de abstracción que se logra con esta definición. Pero aún nos deja perplejos porque
no imaginamos cómo estudiar una teoría que resulte común para un voltaje en un circuito, o para
unos intervalos entre disparos sucesivos de una neurona auditiva, o para las variaciones de los
precios en la bolsa de valores. Para ello necesitamos, por supuesto, como quedó claro en la primera
clase, un modelo matemático que se ajuste igualmente bien a todas las señales anteriores:
Una señal se representa mediante una función con un dominio y un rango
específicos, x:DR.
El dominio se refiere al conjunto de valores que puede tomar la magnitud independiente. Dicho
dominio puede corresponder a la variable escalar tiempo, como en la señal de las manchas del sol o
la señal de eco-localización del murciélago, aunque también puede tomar otros significados como el
número de descarga neuronal o la posición horizontal y vertical de un pixel en una imagen. Las
siguientes pueden ser algunas representaciones válidas de las señales vistas (ℤ es el conjunto de los
enteros, ℝ es el conjunto de los reales):
a. Número de manchas en el sol, longitud de archivos, indicador económico S&P, x: ℤ ℤ
500 1000 1500 2000 2500 30000
1
2
3
4
5
x 106 Longitud de la cola en bytes
Tiempo en segundos
Num
ero
de b
yte
s e
n c
ola
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 11
b. Señal de eco-localización de un murciélago, sonido de grillos, señal recibida por un módem
V.29 a 9600 bps, electrocardiograma de un adulto, voz femenina, x: ℝ ℝ
c. Imagen de Lena, x: ℤ ℤ ℤ d. Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo, x: ℤ ℝ
f. Número de paquetes en el buffer de un enrutador en cada instante de tiempo:
x: ℝ ℤ
Las señales tendrán unidades de amplitud y el dominio podrá ser cualquier conjunto al que
llamaremos “tiempo”, a pesar de que pueda representar cualquier otra cantidad (como en la imagen
de Lena o en la señal de los impulsos neuronales).
De otro lado, sólo consideraremos dominios continuos (contenidos en ℝ) o discretos (contenidos en
ℤ) y rangos continuos (contenidos en ℝ o ℂ, donde ℂ es el conjunto de los números complejos) o
discretos (contenidos en ℤ). En cada caso, las señales toman nombres particulares, como muestra la
Tabla 1. Por ejemplo, la voz femenina es una señal análoga, el índice económico S&P es una señal
muestreada, el número de manchas en el sol es una señal digital, y el número de paquetes en el
buffer de un enrutador en una red de computadores es una señal cuantizada. El único tipo de señales
que podemos procesar con un computador es el de las señales digitales: Son de tiempo discreto
porque en cada posición de memoria podemos guardar una muestra de la señal, y son de amplitud
discreta porque en cada posición de memoria sólo podemos guardar un número finito de posibles
valores debido al tamaño en bits de la palabra almacenada. Cuando la amplitud se representa con 8
ó 16 bits, el fenómeno de la cuantización se hace apreciable. Pero cuando tenemos longitud de
palabras de 64 bits, podríamos representar números tan pequeños como 2-63 (del orden del tamaño
de las partículas fundamentales) y tan grandes como 263 (del orden de las distancias entre grupos de
galaxias), dependiendo de cómo dividamos los bits para signo, mantisa y exponente, por lo que
podemos imaginar que se trata de señales muestreadas o “señales en tiempo discreto”. Por eso la
teoría que desarrollaremos en este curso se refiere, principalmente, a los dos tipos de señales con
amplitud continua, a las que llamaremos “señales en tiempo continuo” (las señales análogas) y
“señales de tiempo discreto” (las señales muestreadas).
Hay un aspecto de notación que se puede volver importante para nosotros. Una señal la podemos
describir como una función que a cada elemento del conjunto dominio le asigna un elemento (y sólo
uno) del conjunto rango:
x:DR
Esto quiere decir, por ejemplo, que si tD, existe un elemento x(t)R asociado con t, lo cual se
suele representar así:
: ( )x t x t
Así pues, cuando hablamos de x(t) deberíamos tener claro que no nos referimos a la señal en general
sino al valor que la señal toma para un elemento específico tD (decimos que x(t) es el valor de la
señal en el "instante" t cuando consideramos que D es el conjunto tiempo). Desafortunadamente, en
la literatura se suele usar la misma notación x(t) para referirse tanto a la función x:DR (en cuyo
caso t se interpreta como cualquier elemento genérico de D) como al valor instantáneo x(t)R para
un valor específico tD. Aunque seguramente cometeremos el mismo "error" en nuestras clases,
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 12
cuando el contexto pueda generar confusiones intentaremos distinguir los dos conceptos mediante la
siguiente notación:
x(t) Valor específico de la señal x en el instante t
{x(t), tD} Señal completa
De hecho, cuando necesitemos ser específicos pero no sea necesario determinar el conjunto
dominio, nos referiremos a la señal completa mediante la notación simplificada {x(t)}t para un
dominio continuo y {x[n]}n para un dominio discreto.
Tabla 1. Clasificación de señales según su dominio y su rango
Tiempo continuo Tiempo discreto
Amplitud
continua
Señal análoga
Señal muestreada
Amplitud
discreta
Señal cuantizada
Señal digital
Por ejemplo, considere la siguiente señal análoga:
11 si ( ) ,
10 si a
ttx t t
t
Podemos cuantizarla haciendo ( ) / 5 ( ) [2 1,2 1) /10,qx t k si x t k k k . También
podemos muestrearla haciendo [ ] ( /10 0.05),sx n x n n . Por último, podemos
digitalizarla si la muestreamos y la cuantizamos, [ ] ( /10 0.05)d qx n x n . Los resultados se
muestran en la siguiente figura.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 13
Tiempo continuo Tiempo discreto
Amplitud
continua
Señal análoga, xa(t)
Señal muestreada, xs[n]
Amplitud
discreta
Señal cuantizada, xq(t)
Señal digital, xd[n]
Figura 15. Procesos de muestreo y cuantización
Nótese que las señales en tiempo discreto las hemos graficado con respecto a tn = n/10 – 0.05 y no
con respecto a n. Aunque normalmente se grafican con respecto al número de la muestra, n, hemos
preferido este cambio en el eje del tiempo para poder superponer las cuatro señales y compararlas
con mayor claridad:
Figura 16. Una señal análoga, cuantizada, muestreada y digitalizada
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xa(t)
xq(t)
xs[n]
xd[n]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 14
3. Definición de sistema
Veíamos que una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a
cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones hay codificada una
información. También vimos que, como abstracción matemática de ese concepto, una señal se
representa mediante una función con un dominio y un rango específicos, x:D R. Por simplicidad,
a la variable que toma valores en el conjunto dominio le llamaremos “tiempo” y a la variable que
toma valores en el conjunto rango le llamaremos “amplitud”. La primera clasificación de señales
que vimos fue de acuerdo con la naturaleza continua o discreta del tiempo y la amplitud: Señales
análogas, señales cuantizadas, señales muestreadas o señales digitales.
Pero las señales, como cantidades físicas medibles, existen en un ambiente particular en el que se
generan, se propagan, se almacenan, se transforman, etc. Ese ambiente que ejerce un proceso
transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto, probablemente se trata de un
conjunto de elementos que interactúan entre ellos para formar un todo, como una resistencia y un
condensador que forman un filtro, o un resorte y una masa que forman un oscilador, etc.
En el primer sistema, las señales son el voltaje de la fuente, la corriente en la malla, el voltaje en
cada componente, la potencia disipada en la resistencia, etc. En el segundo sistema, las señales son
la posición, la velocidad y la aceleración de la masa, la fuerza ejercida por el resorte, la fuerza de
fricción, etc. En cada caso, el sistema se expresa mediante unas leyes físicas, que constituyen unas
relaciones matemáticas entre unas señales y otras. De hecho, conociendo algunas de esas señales,
podemos especificar otras señales. Diríamos que el sistema lo podemos representar (y éste es otro
modelo matemático) como una relación entre una señal de entrada y una señal de salida, que es otro
tipo de función que en matemáticas se llama funcional, ya que su entrada es una señal (función) de
un conjunto de posibles señales (funciones) de entrada, y su salida es otra señal de un conjunto de
posibles señales de salida. Así como una función convierte un elemento del dominio en un elemento
del rango, un funcional convierte una función de entrada en una función de salida.
Figura 17. Dos sistemas que procesan señales naturalmente
En este curso diremos que un sistema es una forma de representar un proceso físico que acepta una
señal de entrada (o varias) y la procesa para generar una señal de salida (o varias).
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Figura 18. Representación de un sistema como un funcional
Pero ¿Cómo es que podemos construir un modelo matemático válido para representar señales de
presión y temperatura en sistemas como calderas que podamos utilizar para señales de radiación en
sistemas como colisionadores de partículas? Consideremos los siguientes dos ejemplos:
Figura 19. Dos sistemas diferentes que conducen a una misma forma de abstracción matemática
En cada caso conocemos leyes de la naturaleza formuladas matemáticamente que nos permiten
expresar unas señales en términos de otras. Por ejemplo, sabemos que el voltaje de entrada es la
suma del voltaje de salida más el voltaje en la resistencia, el cual es R veces la corriente, la cual es
C veces la variación del voltaje de salida. Igualmente, sabemos que la fuerza total sobre el carro es
igual a su masa por la aceleración (suponemos que el consumo de gasolina produce un cambio
despreciable en la masa del carro). Ahora consideremos el siguiente modelo abstracto:
Figura 20. Abstracción matemática para los dos sistemas anteriores
Nótese que si usamos vi(t) en vez de x(t), vo(t) en vez de y(t) y RC en vez de , el modelo abstracto
podría ser una representación del circuito RC. Pero si usamos F(t)/ en vez de x(t), v(t) en vez de
y(t) y M/ en vez de , el modelo abstracto podría ser una representación del sistema mecánico. De
hecho, estas relaciones fueron las que motivaron el desarrollo del computador análogo a comienzos
de los 80’s. En lo que a este curso respecta, entonces, {x(t)}t será simplemente una señal de entrada
a un sistema que la procesa para obtener una señal de salida {y(t)}t, independientemente de que se
trate de voltajes, corrientes, fuerzas o velocidades: Modelos matemáticos (funciones para las señales
y funcionales para los sistemas), como un concepto abstracto que podría representar cualquier
sistema físico apropiado.
{x(t)Rangox, tDominiox} {y(t)Rangoy, tDominioy}
i(t)vi(t)
vo(t)
+
-
+
-
F(t)
v(t)
v(t)
M
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i R
i
i o
v t v t v t
v t v t R i t
dv t v t RC v t
dt
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
dF t v t M v t
dt
M dF t v t v t
dt
1/
x(t) y(t)+
_
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dx t y t y t
dt
dx t y t y t
dt
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La clasificación de señales según su dominio sea continuo o discreto y según su rango sea continuo
o discreto también se aplicará a los sistemas según el tipo de señales que procesen. El primero de
los siguientes dos sistemas es un sistema en tiempo continuo, mientras el segundo es un sistema en
tiempo discreto:
Figura 21. Sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto
Aunque un sistema podría tener entradas en tiempo continuo y salidas en tiempo discreto (en cuyo
caso dentro del sistema existirá al menos un “muestreador”) o viceversa (en cuyo caso dentro del
sistema existirá al menos un “interpolador”).
Como un ejemplo inicial, considérese el sistema anterior en tiempo continuo, el cual representa un
sistema lineal de primer orden como el circuito RC o el automóvil:
( ) ( ) ( )d
x t y t y tdt
Si consideramos un incremento de tiempo t en vez del diferencial dt, y consideramos sólo
instantes de tiempo múltiplos de t, podríamos aproximar el anterior sistema mediante
( ) (( 1) )( ) ( )
y n t y n tx n t y n t
t
Que podemos interpretar como un sistema en tiempo discreto:
[ ] [ ] 1 [ 1], donde x n y n y nt
Figura 22. Aproximación en tiempo discreto a los sistemas de la Figura 19
Como un ejemplo de sistemas ampliamente estudiados, consideremos un sistema de
comunicaciones en el que una fuente de información genera un mensaje que debe ser representado
en forma de señales físicas para poder transmitirlo a través de un canal, donde la señal transmitida
puede sufrir distorsiones, interferencias y ruido. La intención es recuperar el mensaje original de la
manera más oportuna y fidedigna posible. Si no el sistema entero, es claro que el transmisor, el
canal y el receptor corresponden al modelo matemático que hemos estado considerando: Entra una
señal de un conjunto de posibles señales de entrada, la cual se transforma en una señal de un
{x(t)ℝ, tℝ} {y(t)ℝ, tℝ}
{x[n]ℝ, nℤ} {y[n]ℝ, nℤ}
x[n] y[n]
Retardoy[n-1]
1
1
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conjunto de posibles señales de salida. Como las señales correspondientes se pueden modelar como
funciones del tiempo, cada subsistema resulta ser un funcional.
Figura 23. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de comunicaciones
Otro ejemplo es un sistema de control realimentado, en el que se desea que un proceso particular (o
“planta”) produzca una respuesta satisfactoria de manera robusta, esto es, a pesar de cambios en el
ambiente. Para esto, se considera que la planta obedece a señales de control para producir la señal
de salida, esto es, el proceso a controlar es un sistema de procesamiento de señales. Entonces es
posible tomar la señal de salida para producir una señal realimentada que se compara con una señal
de referencia. Si son iguales, la planta está operando satisfactoriamente. Si no, un sistema adicional
usará la señal de diferencia como entrada para producir como salida los cambios necesarios en la
señal de control.
Figura 24. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de control
Por último, es IMPORTANTE notar que cuando decidimos utilizar modelos matemáticos para
representar de manera simplificada alguna realidad compleja, estamos construyendo una
idealización que será válida sólo en la medida en que el modelo capture los aspectos más relevantes
de la realidad, y en la medida en que la realidad se ajuste con suficiente precisión a las suposiciones
del modelo. Esto implica, por ejemplo, que los valores de las señales se mantengan dentro de las
escalas de validez del modelo, o que los parámetros que describen a los componentes se encuentren
suficientemente cerca de los valores usados en el modelo. En general, una característica
fundamental del ingeniero es su capacidad de determinar el alcance de la validez de los modelos
que utiliza, asegurándose que en el proceso de análisis o diseño que adelanta siempre se cumplan
las condiciones y suposiciones en las que se basó el desarrollo de su modelo matemático.
Fuen-te
Trans-ductor
Trans-misor
Canal ReceptorTrans-ductor
Desti-no
Ruido, interferencia y distorsión
MensajeSeñal de entrada
Señal transmitida
Señal recibida
Señal de salida Mensaje
Elementode control
Proceso a controlar
Lazo de realimentación
Señal de referencia
Compa-ración
Señal de diferencia
Señal de control Señal de
salida
Señal re-alimentada
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4. Potencia y energía. Transformaciones afines del tiempo. Señales
periódicas. Señales simétricas
Como en nuestro modelo conceptual abstracto las señales tienen unidades de amplitud arbitrarias,
podemos definir otras cantidades de interés asociadas con una señal. Por ejemplo, la potencia
instantánea en una resistencia de R ohmios a la que se aplica una señal de v(t) voltios es |v(t)|2/R
watios, proporcional al cuadrado del valor absoluto de la señal. Como las unidades no son de interés
para nuestro modelo teórico, definiremos la potencia de una señal x(t) como |x(t)|2. En el caso de
una señal de tiempo discreto, x[n], la potencia instantánea de la señal se definirá como |x[n]|2. A
partir de esta definición, podemos definir también la energía en un intervalo de tiempo, la potencia
promedio en un intervalo, la energía total y la potencia promedio total:
Tabla 2. Definiciones abstractas de potencia y energía
Tiempo continuo Tiempo discreto
Potencia instantánea 2( ) ( )xP t x t
2[ ]xP n x n
Energía en un intervalo 2( , ) ( )
t
xt
E t t x s ds
2[ , ] [ ]
n
x
k n N
E n N n x k
Potencia promedio en un
intervalo 21
( , ) ( )t
xt
P t t x s ds
21
[ , ] [ ]1
n
x
k n N
P n N n x kN
Energía total 2( )xE x t dt
2
[ ]x
n
E x n
Potencia promedio total 21lim ( )
2
T
xTT
P x t dtT
21
lim [ ]2 1
N
xN
n N
P x nN
Con estas definiciones podemos considerar una nueva clasificación de señales: Una señal x(t) o x[n]
se conoce como “señal de energía” si su energía total es finita: 0 < Ex < . Una señal x(t) o x[n] se
conoce como “señal de potencia” si su potencia promedio total es finita: 0 < Px < . En otro caso, la
señal no es ni una ni otra. Por supuesto, dadas las relaciones entre energía total y potencia promedio
total, la condición Ex < implica Px = 0, mientras que la condición Px > 0 implica Ex = . Es decir,
la clasificación como señal de energía o señal de potencia es excluyente.
Estas definiciones, aunque inspiradas en los conceptos físicos de potencia y energía, parecen
arbitrarias para nuestro modelo abstracto, adimensional y puramente matemático. Sin embargo,
notaremos cómo se van convirtiendo en definiciones fundamentales para especificar los tipos de
procesos que podemos aplicar a cada tipo de señal. Para dar una indicación inicial, nótese que una
señal periódica es una señal de potencia, mientras que una señal de soporte compacto, esto es,
idénticamente igual a cero por fuera de un intervalo finito, es una señal de energía (siempre y
cuando ambas sean diferentes de la señal idénticamente cero y acotadas). A la primera le
aplicaremos la serie de Fourier y a la segunda le aplicaremos la transformada de Fourier.
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A manera de ejemplo, nótese que la señal x[n] = 4 nZ no es una señal de energía porque
2[ ] 16x
n n
E x n
, pero sí es una señal de potencia porque, como todas las muestras
tienen una potencia instantánea 16, la potencia promedio por muestra en cualquier intervalo de
tiempo es 16:
21 1 2 1lim [ ] lim 16 lim16 16
2 1 2 1 2 1
N N
xN N N
n N n N
NP x n
N N N
La señal x(t) = t tℝ no es de potencia ni de energía pues es fácil ver que ambas cantidades son
infinitas:
2 2 2 3 2
00
1 1 1 1 1lim ( ) lim lim lim lim
2 2 3 3
TT T T
xT TT T T T T
P x t dt t dt t dt t TT T T T
Claro, si Px es infinita, con mayor razón lo será Ex. Por último, consideremos la señal x(t) = exp(-|t|):
2 2 2 2 2
00 0
1( ) 2 2 0 ( 1) 1
2
t t t t
xE x t dt e dt e dt e e
Por lo que se trata de una señal de energía. Claro, su potencia promedio es cero a pesar de que la
señal toma un valor mayor que cero para cualquier instante de tiempo.
De otro lado, una clase importante de transformaciones que puede sufrir una señal es la de aquellas
en que se modifica la variable independiente (a la que hemos llamado, de manera genérica,
“tiempo”). En efecto, por un lado este tipo de transformaciones nos permitirá definir propiedades de
las señales como la periodicidad o la simetría y, por otro lado, nos permitirán definir bloques
fundamentales de procesamiento como los retardadores o los sub-muestreadores.
Considere por ejemplo la señal x(t) mostrada en la Figura 25 junto con algunas transformaciones
afines de su variable tiempo. Las primeras dos transformaciones, de x(t) a x(t+s), representan
desplazamientos en el tiempo. Si s es una cantidad positiva, la señal se adelanta s segundos pero, si
s es una cantidad negativa, la señal se atrasa s segundos. Si observamos, por ejemplo, la señal de
eco-localización del murciélago, notamos que el oído del murciélago percibe la superposición de la
señal transmitida con una copia retardada de la misma, la cual le indica la distancia y la dirección
del objeto que provocó la reflexión de la señal.
La tercera transformación muestra una inversión en el tiempo, en la que la señal se refleja con
respecto al eje t=0. Un ejemplo ilustrador sería la reproducción de una cinta de audio al revés (en la
dirección opuesta a aquella con la que se grabó). Las siguientes dos transformaciones se refieren a
un cambio de la escala de tiempo, de x(t) a x(at). Si a es mayor que uno la señal se contrae, mientras
que si a es menor que uno la señal se estira en el tiempo. Este efecto se consigue, en el ejemplo
anterior, reproduciendo la cinta de audio a una velocidad diferente a aquella con la que se grabó
(más rápidamente si a>1 y más lentamente si a<1). Estas transformaciones se pueden combinar,
como en las últimas tres transformaciones de la Figura 25.
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Figura 25. Transformaciones del tiempo continuo
Por supuesto, este tipo de transformaciones sobre la variable independiente se puede realizar
también en señales de tiempo discreto, aunque en este caso las operaciones de escalamiento se
deben considerar con más cuidado. Como acabamos de ver, cuando se cambia de escala en el
tiempo continuo, la forma de la señal permanece intacta y completa, sólo que se estira o se
comprime según el cambio de escala. Pero, cuando trabajamos en tiempo discreto, las cosas son
diferentes. En efecto, al calcular x[2n] estamos eliminando una de cada dos muestras, cuando cada
una de ellas puede llevar información muy importante. Y al calcular x[n/2], aunque no estamos
perdiendo información, sí debemos “inventar” nuevas muestras que correspondan a los puntos
intermedios entre las muestras originales de x[n]. En efecto, al hacer x2[n] = x[2n] sólo estamos
adquiriendo las muestras pares de x[n]. Y al hacer x2[n] = x[n/2], estamos colocando las muestras
originales de x[n] en las muestras pares de x2[n], por lo que debemos rellenar las muestras impares
con algún otro valor (lo acostumbrado es rellenar con ceros para interpolar después mediante un
proceso de filtrado).
Figura 26. Transformaciones del tiempo discreto
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(t)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(t+3)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(t-3)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(-t)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(2t)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(t/2)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(3-t)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(-3-t)
-10 -5 0 5 100
0.5
1
x(6-2t)
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[n]
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[n+10]
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[n-10]
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[-n]
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[2n]
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.5
1x[n/2]
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Como ejercicio en clase, pedirles a los estudiantes que encuentren x(2–3t/2) y x[3–2n] cuando x(t) y
x[n] son como se muestra en la siguiente figura.
Figura 27. Ejercicio en clase
Las transformaciones que hemos hecho de la variable tiempo nos permiten hacer dos tipos de
clasificación de señales que serán de gran importancia en el tratamiento que hagamos de las señales
más adelante: Señales periódicas o aperiódicas, por un lado, y señales pares, impares o asimétricas,
por otro.
Una señal en tiempo continuo, x(t), es periódica con período Tℝ+ si x(t) = x(t+T) tℝ.
Similarmente, una señal en tiempo discreto, x[n], es periódica con período Nℕ si x[n] = x[n+N]
nℤ. Nótese que, si aplicamos recursivamente la definición, también se cumple que x(t) = x(tkT)
tℝ, kℕ y que x[n] = x[nkN] nℤ, kℕ. Por eso, se le llama período fundamental de la señal
al mínimo valor de T>0 ó de N>0 que satisface la definición.
Figura 28. Señales periódicas en tiempo continuo y en tiempo discreto
Una señal en tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría par si x(t) = x(–t) tℝ. Una señal en
tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría impar si x(t) = –x(–t) tℝ. En otro caso, la señal
es asimétrica. Aunque las anteriores definiciones de simetría se consideran con respecto al origen
del tiempo, también se pueden considerar señales simétricas a aquellas que tienen simetría con
respecto a otros instantes de tiempo (x(t0+t) = x(t0–t) tℝ en el caso par, o x(t0+t) = –x(t0–t) tℝ
en el caso impar). En el tiempo discreto aplican idénticas definiciones: Una señal en tiempo
discreto, x[n], es simétrica con simetría par si x[n] = x[–n] nℤ. Una señal en tiempo discreto,
x[n], es simétrica con simetría impar si x[n] = –x[–n] nℤ. En otro caso, la señal es asimétrica. La
simetría en tiempo discreto también se puede considerar con respecto a algún instante de tiempo
diferente al origen (x[n0+n] = x[n0–n] nℤ en el caso par, o x[n0+n] = –x[n0–n] nℤ en el caso
impar). Ver Tabla 3. Nótese que para cualquier señal simétrica con simetría impar es necesario que
-2 -1 0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Señal periódica en tiempo continuo con período 1/3
-20 -10 0 10 20-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Señal periódica en tiempo discreto con período 5
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x(0) = 0 (o que x[0] = 0 en el caso de tiempo discreto). En efecto, por definición, x(0) = –x(0), lo
cual sólo se puede cumplir si x(0)=0.
En el caso de señales complejas se hace necesario redefinir la simetría ligeramente: Una señal
{x[n]}n tiene simetría par si x[n]=x[-n]* nℤ, donde el asterisco indica el complejo conjugado.
Una señal {x[n]}n tiene simetría impar si x[n]=-x[-n]* nℤ. La simetría de señales complejas en
tiempo continuo se define análogamente.
Tabla 3. Señales simétricas y asimétricas en tiempo continuo y discreto
Asimétrica en tiempo continuo Simétrica con simetría par en
tiempo continuo
Simétrica con simetría impar en
tiempo continuo
Asimétrica en tiempo discreto Simétrica con simetría par en
tiempo discreto
Simétrica con simetría impar en
tiempo discreto
Hay un hecho muy útil con respecto a la simetría: cualquier señal se puede representar como la
suma de una señal par y una señal impar. En efecto, a cualquier señal en tiempo continuo x(t), le
podemos asociar una señal par xe(t) =(x(t) + x(–t))/2 y una señal impar xo(t) =(x(t) – x(–t))/2.
Claramente, x(t) = xe(t) + xo(t). La misma descomposición aplica para señales en tiempo discreto,
como muestra la siguiente tabla.
Tabla 4. Descomposición de una señal en sus partes par e impar
Señal asimétrica x[n] Componente par, xe[n] Componente impar, xo[n]
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 23
Como ejercicio en clase, pedirles que encuentren las componentes par e impar de las señales usadas
en el anterior ejercicio en clase (Figura 27).
Antes de pasar a ver algunas señales particulares de importancia, sería interesante notar lo siguiente:
Suponga una señal real en tiempo discreto de duración finita, con 2N–1 muestras para algún Nℕ,
{x[n], n=1–N, 2–N,…, –1, 0, 1,…, N–2, N–1} (para cualquier otro valor de n con ∣n∣N, x[n]=0).
Por ser de duración finita, si sus amplitudes son acotadas, se trata de una señal de energía.
Expresando la señal en términos de sus componentes par e impar, la energía total de {x[n]} es
1 1 1 1 1
22 2 2
1 1 1 1 1
[ ] [ ] [ ] [ ] 2 [ ] [ ] [ ]N N N N N
x e o e e o o
n N n N n N n N n N
E x n x n x n x n x n x n x n
El producto xe[n]xo[n] es una señal impar puesto que xe[–n]xo[–n] = (xe[n])(–xo[n]) = –xe[n]xo[n], por
lo que la suma de sus muestras es cero, como verificamos enseguida: 1 1
1 1
[ ] [ ] [ ] [ ] [0] [0]N
e o e o e o
n N n N
x n x n x n x n x x
1
1
1 1
1 1
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
0
N
e o
n
N N
e o e o e o e o
n n
x n x n
x n x n x n x n x n x n x n x n
En consecuencia, la energía total de la señal es la suma de las energías de su componente par y su
componente impar: 1 1 1
2 2 2
1 1 1
[ ] [ ] [ ]N N N
x e o xe xo
n N n N n N
E x n x n x n E E
Este resultado, aparentemente trivial, tendrá un significado fundamental para nosotros. Si pensamos
que cada una de las señales x[n], xe[n] y xo[n] son vectores de un espacio vectorial (2N–1)-
dimensional, donde cada muestra es un componente perpendicular, el cuadrado de la norma del
vector sería la energía de la señal, lo cual se asocia perfectamente bien con el producto interno entre
vectores. Por ejemplo, en el caso N=2, la señal tiene tres componentes {…, 0, x[-1], x[0], x[1], 0,
…}, lo que se puede interpretar como la suma de tres señales perpendiculares {…, 0, x[-1], 0, 0, 0,
…}, {…, 0, 0, x[0], 0, 0, …} y {…, 0, 0, 0, x[1], 0, …} (el producto interno entre dos de ellas es
cero). De esta manera, la definición de energía sería sólo una expresión del teorema de Pitágoras,
como muestra la siguiente figura, pues la norma euclidiana del vector es la raíz cuadrada de su
energía.
Figura 29. Interpretación de las señales de energía como vectores en un espacio vectorial abstracto
x[0]
x[-1]
x[1]
n = 0
n = -1
n = 1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 24
De acuerdo con esta interpretación, las señales de energía forman un espacio vectorial en el que
cada vector (cada señal) se puede expresar como la combinación de dos vectores (señales) que
pertenecen a sub-espacios ortogonales entre ellos: el de las señales pares y el de las señales impares.
Estos dos sub-espacios son complementarios en el sentido en que su suma forma el espacio total de
las señales de energía. Más adelante enfatizaremos esta interpretación, de manera que podremos
notar, por ejemplo, que la transformada de Fourier es solamente un cambio de base para expresar el
espacio vectorial de las señales de energía, o que la aproximación de una señal mediante otra
tratando de minimizar el error cuadrado promedio, es solamente una proyección perpendicular de
un vector sobre un sub-espacio vectorial.
Figura 30. Las señales pares e impares de energía forman sub-espacios complementarios ortogonales del espacio
vectorial de las señales de energía
Por lo pronto, resultará interesante notar cómo el ambiente de programación Matlab, que se ha
constituido en el estándar de computación científica para ingeniería, considera las señales desde esta
perspectiva vectorial.
Espacio vectorial de las señales
de energía con simetría par
Espacio vectorial de las señales
de energía con simetría impar
Espacio vectorial de todas
las señales de energía
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5. Introducción a Matlab
Matlab es un programa de computación científica especialmente dirigido a aplicaciones de
ingeniería. Los principales objetos con que se interactúa en matlab son las sentencias, las variables,
las gráficas y los “scripts”. Como introducción a matlab, en esta clase veremos estos cuatro objetos
rápidamente, reconociendo que, como todo, matlab sólo se llega a conocer después de trabajar
intensamente con él.
Al ejecutar matlab (por ejemplo, si se usa Windows de microsoft, haciendo doble “click” en el
ícono correspondiente), aparece un ambiente de programación y ejecución con algunos menús
descolgantes e íconos que también puede incluir una ventana con la lista del contenido del
directorio de trabajo, una ventana con la lista de las variables en la memoria (o workspace -espacio
de trabajo-), una ventana con la lista de los comandos recientes, etc. Pero la parte principal de la
pantalla es una ventana donde se introducirán comandos interactivos, inmediatamente después del
“prompt” >>.
Figura 31. Ambiente de interacción con Matlab®
Por ejemplo, una sentencia típica es la asignación de una matriz 2x2 a una variable de Matlab:
>> A = [3 2; 1 7]
A =
3 2
1 7
La matriz A que se acaba de crear aparece automáticamente después de oprimir ENTER, con lo que
reporta el resultado de la operación. Si la sentencia se hubiera terminado con un punto-y-coma, (;),
el despliegue de A se hubiera eliminado. Los nombres de las variables empiezan con una letra y
pueden contener números, mayúsculas y minúsculas, y el símbolo “_”. Tenga en cuenta que Matlab
Directorio actual
Contenido del directorio indicado
Información de las variables en memoria
Información del archivo seleccionado
Listado de los comandos introducidos en la ventana de comandos
Ventana de comandos para interacción con Matlab
Botón de inicio
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distingue entre mayúsculas y minúsculas, de manera que las variables “a” y “A”, por ejemplo, son
variables diferentes:
>> A = [3 2; 1 7];
>> a = 3;
>> B = a*A
B =
9 6
3 21
En sentencias como las anteriores se pueden utilizar los operadores matemáticos usuales (+, -, *, /),
funciones ya predefinidas (por ejemplo sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(),
abs(), sqrt(), imag(), real(), conj(), log(), log2(), log10(), exp(), etc),
y algunos nombres de variables predefinidos como pi (= ), inf (= ), y j (= (-1) ):
>> t = 0.125; f = 1000; phi = pi/8;
>> angulo = 2*pi*f*t + phi;
>> a = cos(angulo) + j*sin(angulo)
a =
0.9239 + 0.3827i
Aunque hay una ventana que muestra las variables en el workspace, esta información también se
puede obtener con la instrucción whos:
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
A 2x2 32 double
B 2x2 32 double
a 1x1 16 double complex
angulo 1x1 8 double
f 1x1 8 double
phi 1x1 8 double
t 1x1 8 double
La instrucción clear borra todas las variables de la memoria:
>> clear
>> whos
Una variable importante es ans (answer), que se refiere al último resultado obtenido:
>> 2*pi
ans =
6.2832
>> sqrt(ans)
ans =
2.5066
La precisión con que se muestran los resultados es diferente a la precisión con que se almacenan,
pues cada escalar se almacena con 64 bits:
>> format long
>> 2*pi
ans =
6.283185307179586
>> sqrt(ans)
ans =
2.506628274631000
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Por supuesto, el formato de salida no afecta los cálculos, que siempre se hacen con precisión
double.
El nombre de Matlab es una contracción de Matrix Laboratory pues, en efecto, la unidad
computacional básica es la matriz. Nótese, por ejemplo, que en el anterior listado de variables en
memoria, a, angulo, f, phi y t son matrices de 11 en vez de escalares. Como se mostró en el
primer ejemplo, una matriz se introduce entre paréntesis cuadrados [], separando las filas mediante
punto-y-coma (;) y separando los elementos de cada fila mediante coma (,) o espacio. Por
ejemplo, una manera de introducir la matriz
0.8
log( 1) sin( / 4) cos( / 6)
2 3
arcsin(0.2) (1,1) 1
A j e
Podría ser mediante la siguiente instrucción:
>> A = [log(-1) sin(pi/4) cos(pi/6);
-2j sqrt(3) exp(0.8); asin(0.2), beta(1,1), 1]
A =
0 + 3.1416i 0.7071 0.8660
0 - 2.0000i 1.7321 2.2255
0.2014 1.0000 1.0000
Nótese que podemos usar múltiples líneas o no, y que podemos separar los elementos de una misma
fila mediante coma o mediante espacio. Cuando operamos con matrices podemos sumarlas,
restarlas, multiplicarlas, invertirlas, transponerlas, elevarlas a una potencia, etc. Claro, en estos
casos necesitamos que las dimensiones de las matrices sean compatibles. En el siguiente ejemplo, A
es 23 y B es 32, por lo que no se pueden sumar, pero la transpuesta de B sí se puede sumar con A
(el apóstrofe se refiere a la transpuesta conjugada que, en este caso en que Bℝ32, resulta la misma
transpuesta).
>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> B = [1 2; 3 4; 5 6];
>> A+B
??? Error using ==> plus
Matrix dimensions must agree.
>> A+B'
ans =
2 5 8
6 9 12
Claro, A y B sí se pueden multiplicar:
>> C=A*B
C =
22 28
49 64
Resultando una matriz cuadrada que se puede elevar al cuadrado:
>> C^2
ans =
1856 2408
4214 5468
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Pero si queremos construir una matriz en donde cada uno de los elementos de C esté elevado al
cuadrado, precedemos el operador con un punto indicando la naturaleza elemento a elemento de la
operación:
>> C.^2
ans =
484 784
2401 4096
Obsérvese cuán fácil es calcular el producto interno o el producto externo entre dos vectores:
>> x = [1; 2; 3];
>> y = [4; 5; 6];
>> interno = x'*y
interno =
32
>> externo = x*y'
externo =
4 5 6
8 10 12
12 15 18
Claro, el producto interno x'*y es la suma de los productos de los componentes de cada vector:
>> sum(x.*y)
ans =
32
Aprovechemos para verificar que el producto de dos matrices es la transpuesta del producto de las
transpuestas:
>> y*x'
ans =
4 8 12
5 10 15
6 12 18
Si tenemos un sistema lineal de ecuaciones,
3x + 2y + z = 1 2x – y + 3z = 2 -x + 4y – 2z = 3
Se puede encontrar su solución de manera muy simple:
>> inv([3 2 1; 2 -1 3; -1 4 -2])*[1; 2; 3]
ans =
-1.2857
1.4286
2.0000
donde inv(A) se refiere a la inversa de la matriz A. El resultado se puede verificar fácilmente:
>> [3 2 1; 2 -1 3; -1 4 -2]*[-1.2857143; 1.4285714; 2]
ans =
1.0000
2.0000
3.0000
Los componentes individuales de un vector, una matriz o cualquier otro arreglo, se referencian con
el nombre del arreglo sub-indicado con la posición del componente que nos interesa, teniendo en
cuenta que el índice del primer elemento es 1 (no cero como en muchos lenguajes de
programación):
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>> A = [3 2 1; 6 5 4]
A =
3 2 1
6 5 4
>> A(2,1)
ans =
6
>> A(1,3)
ans =
1
De hecho, podemos extraer toda una fila o una columna usando dos-puntos (:) para referirnos a
todos los índices correspondientes:
>> A(2,:)
ans =
6 5 4
>> A(:,2)
ans =
2
5
Más aún, la notación dos-puntos (:) nos permite describir rangos de subíndices:
>> A=[1 4 3 5 1; 2 5 1 2 6; 0 2 7 1 8; 3 1 4 2 9]
A =
1 4 3 5 1
2 5 1 2 6
0 2 7 1 8
3 1 4 2 9
>> A(2:3,2:4)
ans =
5 1 2
2 7 1
En estos casos, el subíndice end puede ser de gran utilidad, pues se refiere al último subíndice en
la dimensión correspondiente:
>> A(3:end,4:end)
ans =
1 8
2 9
Una forma sencilla de introducir un vector fila es a través de esta misma notación basada en dos-
puntos (:)
>> x = 0:0.5:3
x =
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
En general x = xi : dx : xf define un vector fila que empieza con x(1)=xi, y para el cual el
elemento n+1 es igual al elemento n incrementado en dx, x(n+1) = x(n)+dx, para n=1,2,...,
de manera que x(end) xf y x(end)+dx > xf. Se leería como “desde xi hasta xf en
incrementos de dx”. Si se omite el incremento, se asume que vale uno:
>> n=-3:5
n =
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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A manera de ejemplo, suponga que queremos evaluar una señal en tiempo continuo,
3( ) sin(8 ) , 0,1tx t t e t
Claro, el intervalo unitario es imposible de almacenar en un computador con memoria finita (aún en
un computador con memoria infinita!), por lo que conviene tomar un vector de muestras
suficientemente densas en el tiempo:
>> t=0:0.005:1;
>> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t);
Con lo que hemos evaluado x(t) en 201 puntos del intervalo unitario. Nótese que, en la memoria de
trabajo de matlab, x es una señal muestreada, no una señal en tiempo continuo. Sin embargo, como
está densamente muestreada, podemos graficarla interpolando mediante líneas rectas entre las
muestras, para lo cual usamos la instrucción plot, dándonos la sensación de continuidad:
>> plot(t,x)
Figura 32. Resultado de las instrucciones de matlab t=0:0.005:1; x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t); plot(t,x)
En el menú de íconos de la ventana de la gráfica hay una pequeña lupa con la que podemos ver con
mayor detalle una porción de la figura para notar el tipo de interpolación que hace la instrucción
plot:
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Figura 33. Zoom de la Figura 32, donde se nota la interpolación hecha por la instrucción plot
Por supuesto tratándose de señales muestreadas, es mejor utilizar una representación gráfica que
facilite esta interpretación. Esto se consigue con la instrucción stem. Por ejemplo, ahora tomaremos
41 muestras de la señal anterior:
>> n = 0:40;
>> y=sin(8*pi*(n/40)).*exp(-3*(n/40));
>> stem(n,y)
Figura 34. Gráfica de señales en tiempo discreto mediante stem
Es posible comparar ambas gráficas ya que la instrucción hold on permite graficar sobre las
figuras previamente creadas. Claro, la señal muestreada no se debe graficar con respecto al número
de muestra sino con respecto al instante correspondiente de cada muestra:
>> t=0:0.005:1;
>> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t);
>> plot(t,x,’r’)
>> hold on
>> n = 0:40;
>> y=sin(8*pi*(n/40)).*exp(-3*(n/40));
>> stem(n/40,y)
Nótese que, por claridad, trazamos la señal continua en color rojo mediante el parámetro adicional
‘r’ del comando plot.
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Figura 35. Despliegue simultáneo de la señal en tiempo continuo y en tiempo discreto
Claramente, una de las principales características de Matlab es su excelente capacidad gráfica y la
facilidad con que se utiliza dicha capacidad. Como para darnos una breve idea de las muchas
posibilidades, podemos usar el comando help, que despliega información de ayuda sobre otros
comandos de matlab. Ejecute los siguientes comandos y disfrute viendo las instrucciones que
matlab tiene para presentar gráficas de muchos tipos diferentes:
>> help matlab\graph2d
>> help matlab\graph3d
>> help matlab\specgraph
Hasta ahora toda la interacción que hemos tenido con matlab ha sido a través de la ventana de
comandos, pero este modo de interacción sólo permite sesiones cortas y no repetitivas.
Afortunadamente, matlab permite editar, almacenar e invocar archivos de comandos donde se puede
agrupar un gran número de sentencias relacionadas para ser utilizadas como una única sentencia en
la ventana de comandos. Estos archivos son “archivos tipo .m” ya que su nombre tiene esta
extensión. Existen dos tipos de archivos .m : Los archivos script (guión o libreto) son, simplemente,
una secuencia de comandos que se almacenan desde un editor de texto para que matlab los ejecute
como si fueran introducidos desde la ventana de comandos. Estos archivos pueden incluir llamadas
a otros scripts, pero debe tenerse cuidado porque trabajan con las variables del workspace, lo cual
puede ser muy conveniente para interactuar con ellos desde la ventana de comandos, pero también
puede producir interacciones no intencionales a través de estas variables. El otro tipo de archivos .m
son los archivos function (función), los cuales pueden aceptar variables de entrada y pueden
producir variables de salida, aunque sus variables internas no hacen parte del workspace. Para
terminar este tutorial utilizaremos solamente archivos script, y dejaremos al lector la consideración
de los archivos function (use >> help function en la línea de comandos).
Por ejemplo, si queremos hacer un archivo que grafique un segundo de una señal seno con
frecuencia dada, podemos usar el editor de matlab así:
>> edit FiguraSeno
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Con lo que creamos el archivo FiguraSeno.m en el directorio de trabajo y entramos al editor de
texto para digitarlo. En el editor simplemente escribimos los comandos a ejecutar (aunque no los va
a ejecutar inmediatamente, pues no estamos en la ventana de comandos):
Figura 36. Edición de un archivo script
Después de guardar el archivo (usando el ícono del diskette o las opciones de menú File/Save, o la
tecla rápida CTRL-S), podemos regresar a la ventana de comandos:
>> help FiguraSeno
FiguraSeno.m
Script para dibujar la señal x(t) = sin(2*pi*f*t) en el intervalo
unitario [0, 1]. El valor de f debe existir en el espacio de trabajo
antes de invocar este script.
Como se puede apreciar, los comentarios iniciales de un script aparecen cuando se pide ayuda sobre
el “nuevo comando”. En este caso, la ayuda es implacable: Habrá problemas si no definimos
primero la variable f:
>> FiguraSeno
??? Undefined function or variable 'f'.
Error in ==> FiguraSeno at 7
x = sin(2*pi*f*t);
Mejor seguir las instrucciones:
>> f = 10; FiguraSeno
Nótese las etiquetas en la gráfica (xlabel, ylabel, title). Con ellas aprovechamos para
ilustrar pasos básicos del manejo de cadenas de caracteres cómo, por ejemplo, la inclusión de un
valor numérico dentro del arreglo de caracteres que conforman el título (mediante la función
num2str que convierte un dato numérico en una cadena de caracteres).
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Figura 37. Resultado del script FiguraSeno fon f=10
Por último, veamos cómo sería un script para ayudar a resolver la primera tarea
% Tarea1.m % Resuelve el primer punto de la primera tarea % dt debe estar definida en el workspace antes de invocar este script
% dt es el tiempo de muestreo para el sistema en tiempo discreto % % Toma suficientes muestras en el tiempo continuo de x(t) y de y(t) t = -0.01:0.00002:0.08; % Toma muestras cada 20 us xt = (t>=0).*(t<=0.03); % Señal de entrada yt = xt.*(1-exp(-100*t)) + (1-exp(-3))*(t>0.03).*exp(-(100*t-3)); % Señal de salida plot(t,xt,'b-',t,yt,'r-') % Grafica la salida en tiempo continuo % Ahora toma las muestras para el sistema en tiempo discreto n = floor(-0.01/dt):floor(0.08/dt); % tiempo discreto a = 0.01; % parámetro alpha b = a/dt; % parámetro beta r = b/(b+1); % parámetro ro n0 = floor(0.03/dt); % instante en el que x[n] cambia de uno a cero yd = (n>=0).*(n<=n0).*(1-r.^(n+1)) + (n>n0).*(r.^(n-n0) - r.^(n+1)); hold on stem(n*dt,yd,'k.')
xlabel('tiempo en segundos')
ylabel('Amplitud')
title(['Señales relacionadas con la tarea 1 cuando dt = ' num2str(dt)])
% Breve extensión para calcular el error en el intervalo [0 0.08]
t = n*dt; yi = (t>=0).*(t<=0.03).*(1-exp(-100*t)) + (1-exp(-3))*(t>0.03).*exp(-(100*t-3)); I = find(n>=0); N = length(I); MSE = sum((yi(I) - yd(I)).^2)/N
Nótese el uso de relaciones lógicas para definir rangos de validez de las expresiones. Por ejemplo,
cuando hacemos xt = (t>=0).*(t<=0.03), estamos multiplicando punto a punto una señal que
vale uno sólo cuando t es no negativa con otra señal que vale uno sólo cuando t es menor o igual a
30 ms. El producto es uno sólo cuando 0 t 0.03, que era exactamente la definición de x(t) en la
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo en segundos
Am
plit
ud
x(t) = sin(2*pi*f*t), f=10
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 35
tarea. También nótese el uso de las funciones floor, find y sum (use help para ver sus
descripciones).
Figura 38. Resultado del script Tarea1.m con dt = 1 ms
El siguiente script, que invoca al anterior, nos permitiría calcular el error cuadrado medio en el
intervalo [0, 0.08] para diferentes valores de dt:
for i=1:20 dt = (49*i - 30)/190000; % de 0.1 ms hasta 5 ms en 20 pasos Tarea1 mse(i) = MSE; d(i) = dt; clear I MSE N a b dt n n0 r t x yd yi yt end close all semilogy(d,mse) xlabel('Intervalo de muestreo en segundos')
ylabel('Error cuadrado medio')
title('MSE de la aproximación en el intervalo [0, 0.08]')
Figura 39. Error al aproximar el sistema en tiempo continuo por el sistema en tiempo discreto de la tarea 1
Nótese el uso de la instrucción clear para borrar algunas o todas las variables (algo que conviene
hacer al iniciar un nuevo proceso en el workspace para evitar las interacciones insospechadas de las
que hablamos anteriormente), la instrucción close para cerrar las ventanas gráficas que estén
abiertas, y la instrucción semilogy para usar una escala logarítmica en el eje vertical (use help
para conocer más sobre estas instrucciones).
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tiempo en segundos
Am
plit
ud
Señales relacionadas con la tarea 1 cuando dt = 0.001
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10-3
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
Intervalo de muestreo en segundos
Err
or
cuadra
do m
edio
MSE de la aproximación en el intervalo [0, 0.08]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 36
Antes de terminar esta clase, es interesante hacer notar que el éxito de Matlab como herramienta de
computación científica para ingeniería se debe, fundamentalmente, a su capacidad de trabajar
fácilmente con matrices y vectores, que es el lenguaje natural de la ingeniería. Efectivamente, por
un lado éste es el tipo de cálculos más comunes en ingeniería; pero, por otro lado, y más importante
aún, los principales modelos matemáticos en ingeniería hacen referencia a vectores abstractos en
espacios vectoriales abstractos, como tendremos oportunidad de ver más adelante en el caso de las
señales y los sistemas. Esto implica un cambio de mentalidad respecto a la programación típica de
computadores con otros lenguajes de propósito general, en los que se necesitan extensos lazos for-
next para hacer operaciones sencillas entre vectores, por ejemplo. Como ilustración, nótese que
para calcular la energía de una señal de duración finita en tiempo discreto basta con encontrar el
producto interno de la señal con ella misma:
>> x = randn(100,1);
>> E = x'*x;
pero un estudiante con mentalidad escalar no dudaría en cambiar la segunda línea por una iteración
for/next :
>> E = 0;
>> for i=1:length(x)
E = E + x(i)*x(i);
end
lo cual implica una gran ineficiencia en comparación con la primera propuesta. Pero, como dijimos,
no es sólo un asunto de eficiencia computacional sino, principalmente, un asunto de mentalidad
vectorial. Por ejemplo, cuando ve una ecuación como la siguiente: 10
0
[ ] [ ], 0,...,10k
k
y n a x n k n
un estudiante con mentalidad escalar pensará en la siguiente implementación:
for n=0:10 y(n+1)=0; for k=0:10 if ((n-k>=0) && (n-k<=10)) y(n+1) = y(n+1) + a(k+1)*x(n-k+1); end end end
con lo cual demuestra que interpreta la ecuación anterior como una definición para cada una de las
11 muestras de la señal y[], lo cual no está mal. Sin embargo, un estudiante con mentalidad
vectorial sabe que la ecuación anterior también se puede interpretar como si la señal completa {y[n],
n=0,…,10} fuera una combinación lineal de las once señales {x[n-k], n=0,…,10}k=0,…,10,
10
0
[ ], 0,...,10 [ ], 0,...,10k
k
y n n a x n k n
por lo que su implementación sería así:
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 37
y = zeros(11,1); for k=0:10 y = y + a(k+1)*x; x = [0; x(1:10)]; end
Otro estudiante ligeramente más brillante notará que la ecuación anterior es una sola ecuación
matricial
11 1 11 11 11 1
y X a
donde [y] es un vector columna con las muestras de la señal y[], [a] es un vector columna con los
coeficientes {ak}, y [X] es una matriz 1111 obtenida de la señal x[]. Tal vez este estudiante
preferiría la siguiente implementación, aunque ocupe más memoria:
X = zeros(11,11); X(:,1) = x; for k=1:10 X(:,k+1) = [0; X(1:10,k)]; end y = X*a;
Es importante notar que las tres expresiones anteriores son fundamentalmente equivalentes:
10
0
[ ] [ ], 0,...,10k
k
y n a x n k n
10
0
[ ], 0,...,10 [ ], 0,...,10k
k
y n n a x n k n
11 1 11 11 11 1
y X a
Sin embargo, la primera enfatiza una forma de calcular cada uno de los componentes de la señal
y[], la segunda enfatiza una relación vectorial en la que el vector de correspondiente a la señal y[]
es una combinación lineal de los vectores correspondientes a los desplazamientos de la señal x[], y
la tercera es una representación matricial de la transformación lineal que implica dicha
combinación. La naturaleza matricial de Matlab enfatiza las dos últimas interpretaciones, lo cual
ofrece muchas ventajas con respecto a la comprensión misma de la teoría de señales. Con la
práctica, el estudiante alcanzará rápidamente la mentalidad vectorial y matricial que se requiere para
sacar el máximo provecho de Matlab y el máximo provecho de este curso.
Como conclusión de esta clase, nos hemos empezado a familiarizar con el programa de
computación científica y visualización de datos más utilizado en docencia e investigación en
ingeniería. La interactividad de Matlab y el muy alto nivel de sus instrucciones le permiten al
usuario probar y depurar los programas enfocándose en los principios científicos que su programa
evalúa y no en los detalles particulares de la programación misma (no se deben declarar los tipos de
las variables ni los tamaños de los arreglos, se pueden construir complejas gráficas con unas pocas
instrucciones, etc.). Por último, su orientación matricial no sólo simplifica la programación, sino
que facilita un adecuado modelamiento matemático del problema que se trata.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 38
6. Señales exponenciales. Periodicidad en tiempo continuo y en tiempo
discreto
En la naturaleza son comunes los sistemas caracterizados por señales cuyas tasas de crecimiento son
proporcionales a las señales mismas. Por ejemplo, en ausencia de predadores y abundancia de
recursos, la tasa de crecimiento de la población de una especie es proporcional al número de
individuos,
( ) ( )d
x t x tdt
Considerando =1, estamos ante una función que es idéntica a su derivada… ¿Cuál es esa función?
Si aplicamos el método de la serie de potencias, 0
( ) n
n
n
x t a t
, obtenemos
1 0 0 0 01 1 2 3
1 0
1 , , ,...,1 1 2 1 2 3 !
n n
n n n n n
n n
a a a ana t a t n a a a a a a
n
Como queremos conservar la misma tasa de crecimiento en t=0, necesitamos x(0)=a0=1, de donde
obtenemos la función que es idéntica a su derivada (única, excepto por un factor constante):
0
( ) ( ) ( )!
n
n
d tx t x t x t
dt n
Por otro lado, nótese que
0 0
1lim lim
t tt td r r r
r rdt
de manera que, si 0
1lim 1
r
, rt es idéntica a su derivada, esto es,
0 !
nt
n
tr
n
. Evaluando en t=1,
obtenemos el valor de r que satisface dicha relación. A ese número le llamamos e:
0
12,71828182845904523536028747135266249775724709369995...
!n
en
El valor particular de e no es tan importante como la definición misma de la función et, pues gracias
a ella podemos calcular exponenciales donde el exponente es un número complejo, o donde el
exponente es una matriz:
0 0
1,
! !
a bn
c dj
n n
na bj
e ec dn n
Esta última observación nos trae a otro número interesante, j, que se define mediante la relación
j2=-1 de manera que, por ejemplo, (-25) = [(25)(-1)]=(25)(-1)=5j. A los números que tienen a j
como factor les decimos imaginarios, pero ¿no es "uno" tan imaginario como j? Después de todo, el
concepto mismo de número es una abstracción teórica de algo más real: la cardinalidad de los
conjuntos. Podemos saber qué son tres vacas o qué son cinco asientos, pero ¿qué es el "tres" ó qué
es el "cinco"? Sin embargo, como el proceso de contar se refiere a establecer una relación biunívoca
entre los elementos de un conjunto y los números naturales, ℕ, no parece apropiado decir que los
números naturales sean imaginarios, pero lo cierto es que son el resultado de la imaginación del ser
humano. De hecho, cuando se introdujo el número cero fue necesario hacer una mayor abstracción,
un mayor esfuerzo de la imaginación. Y mayor esfuerzo aún se requirió al introducir los números
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 39
negativos. En efecto, dentro del sistema de los naturales no es posible encontrar un número que
sumado a cinco dé tres, pero se puede extender el sistema a los números enteros para "darle
existencia" a tal número, al cual llamamos "menos dos", aunque ya no quede fácil hablar de menos
dos vacas o de menos dos asientos. De igual manera podemos ir extendiendo los sistemas
numéricos: ¿Cuál es el número que, al multiplicarlo por dos, da tres? Ese número no existe entre los
naturales y tampoco existe entre los enteros, pero podemos inventar (imaginar) un sistema
extendido que lo incluya: los números racionales. ¿Y cuál es el número que multiplicado por si
mismo da dos? Ese número no existe entre los naturales, ni entre los enteros, ni entre los racionales,
pero podemos inventar (imaginar) un sistema extendido que lo incluya: los números reales. De los
naturales a los enteros, de los enteros a los racionales, de los racionales a los reales, sólo hemos
extendido la imaginación: Todos ellos son números "imaginarios" cuyas propiedades se asocian con
el concepto primigenio de "contar". Ahora preguntamos ¿Cuál es el número que multiplicado por sí
mismo da "menos uno"? Ese número no existe en los naturales, ni en los enteros, ni en los
racionales, ni en los reales, por lo que inventamos otro sistema numérico: Los imaginarios… que
son tan reales como los demás! O, mejor dicho, que son tan imaginarios como los demás. Por
último, si nos preguntamos cuáles son las soluciones de la ecuación x2 + x + 1 = 0, notaremos que
esos números no están en los naturales, los enteros, los racionales, los reales o los imaginarios: Por
eso imaginamos el sistema numérico de los complejos. Como de costumbre, de la misma manera
que la abstracción teórica de las señales como funciones matemáticas nos permite modelar el
concepto de señal (magnitud física medible que cambia con el tiempo), la abstracción teórica de los
sistemas numéricos representa conceptos muy reales y muy concretos. En particular, el número
irracional e y el número imaginario j juegan un papel fundamental en el modelamiento de las
señales, como mencionaremos en breve.
Con esta introducción a los números e y j, y habiendo definido señales, sistemas, potencia, energía,
simetría y periodicidad, ahora revisaremos varias señales básicas en tiempo continuo y en tiempo
discreto que nos servirán para construir muchas otras señales.
La primera de ellas es la señal exponencial, ( ) ,tx t Ae t , donde A y pueden ser, en general,
números complejos. Consideremos primero el caso en que ambos parámetros son reales. En el
origen la señal toma el valor x(0) = A. En otros instantes de tiempo, el comportamiento de la señal
depende del signo del parámetro : ∣x(t)∣ crece con t si es positiva y decrece con t si es
negativa, como se muestra en la siguiente figura. Por supuesto, si es igual a cero, la señal es una
constante x(t)=A tℝ.
Un caso más interesante para estudiar en este curso es cuando es un número puramente
imaginario, =j, esto es, cuando ( ) ,j tx t Ae t , donde A sigue siendo real. Una forma
tradicional de representar está señal es como un punto sobre el círculo de radio ∣A∣ en el plano
complejo, que gira a una velocidad de radianes por segundo. Esta interpretación cobra sentido
cuando consideramos la relación de Euler:
2 2 1
0 0 0
1 1! (2 )! (2 1)!
n n nn nj
n n n
je j
n n n
cos( ) sin( )je j
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 40
Figura 40. Señales exponenciales reales en tiempo continuo
Figura 41. Convergencia de la serie de la secuencia (-1)n2n/(2n)!
donde la convergencia de las series se aprecia en la Figura 41. Esto es, si interpretamos ej como un
punto en el plano complejo sobre el círculo unitario que forma un ángulo con el eje horizontal,
notamos que su componente real es la proyección del punto sobre el eje horizontal, cos(), y su
componente imaginaria es la proyección del punto sobre el eje vertical, sin(), como muestra la
Figura 42. Esta representación, conocida como el diagrama de Argand, explica la conversión entre
las formas polar y rectangular de los números complejos:
2 2 1, tan
cos , sin
j bMe a jb M a b
a
a M b M
Ahora podemos evaluar la exponencial compleja en un ángulo que se incrementa linealmente con el
tiempo, de acuerdo con una constante adecuadamente llamada velocidad angular. Nótese en la
Figura 43 cuán fácil es interpretar una frecuencia negativa: simplemente ocurre cuando el punto en
el plano complejo da vueltas en el sentido de las manecillas del reloj, pues las frecuencias positivas
lo hacen girar en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
x(t)=Aet, A>0, >0
A
t
x(t)=Aet, A>0, <0
A
t
x(t)=Aet, A<0, >0
A
t
x(t)=Aet, A<0, <0
A
t
0 5 10 15 18.85-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
N=0
N=23
N=24
N=25
2
0
Convergencia de la suma 1 hacia cos( ) cuando (2 )!
nNn
n
Nn
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 41
Figura 42. Diagrama de Argand para la exponencial compleja
Figura 43. Partes real e imaginaria de la señal exponencial compleja
De aquí la simetría par de la función coseno y la simetría impar de la función seno. En efecto,
descomponiendo la exponencial compleja en sus partes par e impar,
ejt = cos(t) + j sin(t) e-jt = cos(t) – j sin(t)
1 1
cos( ) sin( )2 2
j t j t j t j tt e e t e ej
Estas expresiones se pueden interpretar como la suma (y diferencia) de dos puntos sobre el círculo
unitario que se mueven en direcciones opuestas.
Figura 44. La suma de dos puntos del plano complejo que se mueven en direcciones opuestas sobre el círculo unitario
siempre cae sobre el eje real. La diferencia siempre cae sobre el eje imaginario
je
cos( )
sin( )
Re je
Im je
t1 t2
t3
t1
t2
t3
cos( ) sin( )j tAe A t jA t
j te
j te
j te
sin( )2
j t j te ej t
cos( )2
j t j te et
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 42
Para los matemáticos, las anteriores expresiones de seno y coseno son las definiciones mismas de
dichas funciones, donde ej es sólo una serie de potencias: nada de catetos ni de hipotenusas!
La relación de Euler, ej = cos() + j sin(), es una de las relaciones más celebradas en las
matemáticas. Richard Feynman (1918-1988), uno de los más grandes físicos del siglo XX, le decía
a esta relación “la joya de las matemáticas” (The Feynman Lectures on Physics, vol. I, 1977). De
hecho, evaluándola en = se obtiene una relación muy simple entre los cinco números más
importantes de las matemáticas:
Figura 45. Relación simple entre los cinco números más importantes de las matemáticas
Esta simple relación evoca un concepto estético: belleza. Si, como vimos, los sistemas de
numeración son un producto de la creatividad humana, toda la matemática lo es, tanto como la
música, la poesía o la pintura, donde es más fácil experimentar la belleza: Esa sensación de
profundo placer que surge de una experiencia sensorial, en la que un maravilloso misterio por
descubrir se revela en algo tan simple como una imagen o un sonido. Siendo así, la relación ej+1=0
no es más que un hermoso poema.
Volviendo a nuestra señal ( ) j tx t e , la principal propiedad de la exponencial compleja es su
periodicidad. En efecto, recordando la definición de periodicidad ( ( ) ( )x t T x t t ),
21, lo cual ocurre si para cualquier
j t Tj t j t j T j T ke e e e t e T k
, en cuyo
caso ej(t+T) ocupa la misma posición de ejt en el círculo unitario, pero le ha dado k vueltas más. En
consecuencia, el período fundamental de la exponencial compleja con frecuencia angular es T0 =
2/. Obsérvese que para cualquier ℝ, 0, existe un T0 (=2/)ℝ y, si =0, cualquier valor
real de T es un período válido de la señal. Entonces, aunque parezca extraño hacer notar lo
siguiente, la exponencial compleja en tiempo continuo siempre es periódica. Cuando veamos en un
momento la exponencial compleja en tiempo discreto, se notará la relevancia de esta extraña
observación.
Si la variable t se refiere al tiempo medido en segundos, es la velocidad angular en radianes por
segundos. Como cada 2 radianes se completa un ciclo, se puede expresar como 2F, donde F es
la frecuencia en ciclos por segundo. El período, entonces, T = 2/ = 1/F, es el tiempo que toma un
ciclo de la señal, en segundos.
Nótese que, tratándose de una señal periódica, la energía de la exponencial compleja debe ser
infinita. Pero es fácil ver que se trata de una señal de potencia:
21 1 2lim lim 1 lim 1
2 2 2
j t
xP e dt dt
Finalmente, consideremos el caso en que es una cantidad compleja, = + j, mientras A sigue
siendo un número real:
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 43
( )( ) t j t t j tx t Ae Ae Ae e
Se puede notar que se trata del producto entre los dos casos anteriores: El primer término crece o
decrece exponencialmente de acuerdo con el signo de , y el segundo término oscila a una
velocidad de radianes por segundo. En consecuencia, de acuerdo con la relación de Euler, las
partes real e imaginaria de x(t) se comportan como en la siguiente figura:
Figura 46. Caso más general de la exponencial compleja
Habiendo estudiado las señales exponenciales en tiempo continuo, se debe decir que con las
exponenciales complejas en tiempo discreto todo es muy parecido, aunque existen dos diferencias
fundamentales.
Sea x[n]=Ae
n. Nuevamente, cuando A y son reales, tenemos los mismos casos que en el tiempo
continuo:
Figura 47. Señales exponenciales reales en tiempo discreto
Re ( ) , 0x t Re ( ) , 0x t
t t
x[n]=Aen, A>0, >0
A
t
x[n]=Aen, A>0, <0
A
t
x[n]=Aen, A<0, >0
A
t
x[n]=Aen, A<0, <0
A
t
x[n]=Arn, A>0, r<-1
A
t
x[n]=Arn, A>0, -1< r < 0
A
t
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 44
La figura anterior incluye una posible generalización que usa un escalar cualquiera r en vez de e,
de manera que la señal tendría la forma x[n]=Ar
n. En este caso, cuando r < 0, tendríamos las dos
formas adicionales mostradas en la parte inferior de dicha figura.
Podemos ahora verificar la periodicidad de la exponencial en tiempo discreto cuando es un
número puramente imaginario, =j, esto es, cuando [ ] ,j nx n Ae n . Por conveniencia, y sin
perder generalidad, le asignaremos a la amplitud A el valor 1. Notemos que x[n] sigue siendo un
punto del plano complejo que da vueltas al círculo unitario. La gran diferencia es que ahora lo hace
en pasos discretos de radianes por muestra (la velocidad angular ya no está dada en radianes por
segundo sino en radianes por muestra), lo cual hace válido preguntarnos si volverá a repetir los
pasos por donde ya había pasado en la vuelta anterior, o en un número finito de vueltas. Para ver
bajo qué condiciones ocurrirá algo así, revisemos nuevamente la definición de periodicidad:
21, lo cual ocurre si para cualquier
j n Nj n j n j N j N ke e e e n e N k
Evidentemente, para que la exponencial compleja en tiempo discreto sea periódica se hace
necesario que la velocidad angular sea un múltiplo racional de 2:
2 , ,k
k NN
Esta es una de las grandes diferencias con el caso del tiempo continuo, donde las exponenciales
complejas son siempre periódicas con período bien definido para cualquier valor real de la
velocidad angular (T=2/, ℝ). En el caso discreto, es necesario que la velocidad angular
tenga un forma muy particular: debe ser un múltiplo racional de 2, =2k/N, en cuyo caso (si k/N
es una fracción simplificada, esto es, si k y N son primos relativos –no tienen factores en común-) el
período es N, que se cumple cuando el punto le ha dado k vueltas al círculo unitario. La explicación
es simple: Como el punto en tiempo continuo pasa por todos los puntos del círculo unitario, siempre
volverá al mismo punto, de manera indefectible y en una sola vuelta. Pero como el punto en tiempo
discreto no necesariamente pasa por todos los puntos, es posible que deba dar varias vueltas antes
de volver al punto original o, más aún, puede que nunca vuelva al punto original. La siguiente
figura muestra las posiciones del punto en un período de 5 muestras para diferentes valores de k:
Figura 48. La frecuencia digital es un número racional: El denominador N es el período y el numerador k es el número
de vueltas al círculo unitario en un período. En todos los casos el número de ciclos por muestra es 1/N
La figura anterior nos lleva a identificar la segunda gran diferencia con la exponencial compleja en
tiempo continuo. Mientras en el tiempo continuo todas las frecuencias eran distinguibles pues entre
mayor era la velocidad angular mayor era el número de ciclos por segundo, en el caso del tiempo
n=0,5
n=1
n=2
n=3
n=4
1[ ] exp 2
5x n j n
El período 5 se cumple al darle
una vuelta al círculo unitario
n=0,5
n=3
n=1
n=4
n=2
2[ ] exp 2
5x n j n
El período 5 se cumple al darle
dos vueltas al círculo unitario
n=0,5
n=2
n=4
n=1
n=3
3[ ] exp 2
5x n j n
El período 5 se cumple al darle
tres vueltas al círculo unitario
n=0,5
n=4
n=3
n=2
n=1
4[ ] exp 2
5x n j n
El período 5 se cumple al darle
cuatro vueltas al círculo unitario
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 45
discreto hay frecuencias que no se pueden distinguir entre ellas. Por ejemplo, nótese que la
frecuencia -1/5, en donde incrementamos 2/5 radianes por muestra en el sentido de las manecillas
del reloj, resulta idéntica a la frecuencia 4/5, en la que aumentamos 8/5 en el sentido contrario a
las manecillas del reloj con cada muestra. Más aún, después de 4/5, la siguiente frecuencia válida
para que el período siga siendo 5 es 6/5, pero al observar el orden de los puntos que traza la señal,
notamos que son los mismo y en el mismo orden que los puntos que traza cuando la frecuencia es
1/5. Esto es fácil de apreciar si consideramos que las velocidades angulares separadas por un
número entero de 2 son indistinguibles: 2 2 ,
j k n j n j kn j ne e e e k n
La Figura 49 muestra cómo las velocidades angulares -4/5 y +6/5 radianes por segundo son
perfectamente distinguibles en tiempo continuo, pero las velocidades angulares -4/5 y +6/5
radianes por muestra no se pueden distinguir en tiempo discreto.
Figura 49. La frecuencia f0 = -2/5 ciclos por muestra no se puede distinguir de la frecuenia f1 = +3/5 ciclos por muestra
Para ver con mayor claridad las diferencias fundamentales en la periodicidad de las señales en
tiempo continuo y en tiempo discreto, veamos 11 muestras de las señales mostradas en la Figura 48
Figura 50. Diferentes exponenciales complejas en tiempo discreto (parte real en rojo, parte imaginaria en azul)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
0.5
-0.5
2 32 2
5 5
1 2[ ] [ ]j n j n
x n e x n e
0 5 10-1
0
1f = -7/5
0 5 10-1
0
1f = -6/5
0 5 100
0.5
1f = -5/5
0 5 10-1
0
1f = -4/5
0 5 10-1
0
1f = -3/5
0 5 10-1
0
1f = -2/5
0 5 10-1
0
1f = -1/5
0 5 100
0.5
1f = 0/5
0 5 10-1
0
1f = 1/5
0 5 10-1
0
1f = 2/5
0 5 10-1
0
1f = 3/5
0 5 10-1
0
1f = 4/5
0 5 10-0.5
0
0.5
1f = 5/5
0 5 10-1
0
1f = 6/5
0 5 10-1
0
1f = 7/5
0 5 10-1
0
1f = 8/5
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 46
Nótese que, en la figura anterior, cualquier frecuencia fuera del rango {-2/5, -1/5, 0, 1/5, 2/5}se
puede confundir con una de las que se encuentran en este rango: -7/5, 3/5 y 8/5 se confunden con -
2/5; -6/5 y 4/5 se confunden con -1/5; -5/5 y 5/5 se confunden con 0/5; -4/5 y 6/5 se confunden con
1/5; y -3/5 y 7/5 se confunden con 2/5. Esta indistinguibilidad entre diferentes frecuencias en
tiempo discreto es lo que se conoce con el nombre de Alias: Cualquier frecuencia f’ con ∣f’∣>1/2 se
puede confundir con alguna otra frecuencia f con ∣f∣1/2. Más aún, nótese que la velocidad de las
oscilaciones crece mientras f va de cero hasta ½ ciclo/muestra pero, una vez f supera ese valor, la
velocidad de las oscilaciones empieza a decaer hasta que f llega a 1 ciclo por muestra, cuando la
señal vuelve a corresponder a un nivel dc, como cuando f valía cero. La oscilación más rápida
posible se consigue con f = ½ (=), cuando x[n] = ejn = (-1)n, como se muestra en la siguiente
figura. Cualquier otra frecuencia produce una oscilación más lenta:
Figura 51. ej2fn para diferentes valores de f (parte real en rojo, parte imaginaria en azul)
Resumiendo: Mientras en tiempo continuo las exponenciales complejas son siempre periódicas, en
tiempo discreto se necesita que la velocidad angular sea un múltiplo racional de 2. Mientras en
tiempo continuo todas las posibles frecuencias en los reales son distinguibles, en tiempo discreto
diferentes frecuencias pueden generar las mismas señales en el tiempo (alias). Como la frecuencia
más alta en tiempo discreto es medio período por muestra, se suele limitar el rango de frecuencias
válidas en el intervalo [-½, ½] o, lo que es lo mismo, la velocidad angular se suele limitar al
intervalo [-, ].
-10 -5 0 5 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1f = 4/10
-10 -5 0 5 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1f = 5/10
-10 -5 0 5 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1f = 6/10
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 47
7. Exponenciales complejas armónicas, impulsos, escalones
Veíamos algunas propiedades interesantes de las exponenciales complejas en tiempo continuo y en
tiempo discreto. Si quedó claro, los estudiantes podrán resolver algunos problemas:
quiz: Sea x(t) la exponencial compleja en tiempo continuo, ej2t/T. Considere la señal en tiempo
discreto que se obtiene al tomar valores de x(t) cada t segundos, esto es, x[n] = x(nt). Encuentre
la condición más general que debe satisfacer t para que x[n] sea una señal periódica.
x[n] = ej2nt/T = ejn, con = 2t/T . Como debe ser múltiplo racional de 2 para que x[n] sea
periódica, = 2t/T = 2(k/m), k y m ℕ. Así pues, para que x[n] sea una señal periódica, es
necesario que existan dos números enteros no negativos, k y m, primos relativos entre sí, tales que
mt = kT, esto es, t debe ser un múltiplo racional de T para que la señal muestreada sea periódica.
Si éste es el caso, el período de x[n] es m porque después de m muestras la señal x[n] le habrá dado
k vueltas al círculo unitario y habrá regresado a (0+1j).
quiz: ¿Cuál es el período de 1 2( )j t j t
x t e e
? Nótese que, en t=0, ambos términos de la suma se
encuentran en 1, de manera que x(0)=2. ¿Cuándo volverá la señal a ese punto? Claramente, cada
término de la suma deberá haber dado un número entero de vueltas al círculo unitario, esto es, en el
tiempo que el primer término da k1 vueltas, el segundo término deberá haber dado k2 vueltas. Esto
sólo es posible si 1 y 2 son múltiplos racionales entre sí. En efecto, el período de x(t) será T si
1 2 1 1 2 2( ) ( )j t T j t T j t j T j t j T
x t x t T e e e e e e t
lo cual ocurrirá solamente si se satisfacen simultáneamente las siguientes dos condiciones:
1T=2k1 y 2T=2k2. De esta manera, en T segundos el primer término da k1 vueltas y el segundo
término da k2 vueltas para volverse a encontrar en x(T) = x(0), como habíamos considerado
originalmente. Dividiendo la primera condición por 2T obtenemos la condición de periodicidad
para x(t): 1/2=k1/k2. Esto es, x(t) sólo será periódica si 1 y 2 son múltiplos racionales entre sí,
en cuyo caso T=2k1/1 = 2k2/2.
Por ejemplo, si 1=2(1/3) y 2=2(2/5), 1/2=5/6 y T = 6/(2/5) = 15. En efecto, después de 15
segundos, el primer término ha dado 5 vueltas al círculo unitario y el segundo término ha dado 6
vueltas, de manera que se vuelven a encontrar en x(0) = x(15) = 2. Pero si 1=2(1/4) y 2=2(2),
mientras el primer término da una vuelta cada cuatro segundos, el segundo término nunca
completará una vuelta en un número entero de segundos y, por consiguiente, nunca se volverán a
encontrar en el punto de origen.
quiz: ¿A qué horas se encuentran el minutero y el horario? El minutero da una vuelta cada hora
mientras el horario da una vuelta cada 12 horas. En el instante 0 ambos se encuentra en (0+1j).
Entonces la posición del minutero es m(t)=e-j2(t + ¾) y la del horario es h(t)=e-j2(t/12 + ¾), donde el
tiempo se da en horas. Se encontrarán cada vez que el minutero haya recorrido un número entero de
vueltas más la fracción de vueltas que ya ha recorrido el horario:
Tk + ¾ = Tk/12 + ¾ + k Tk = 12k/11, k=0,1,2,…,10
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 48
Entonces se encuentran cada 12/11 de hora, a las 12:00:000/11, 01:05:273/11, 02:10:546/11,
03:16:219/11, 04:21:491/11, 05:27:164/11, 06:32:437/11, 07:38:1010/11, 08:43:382/11, 09:49:055/11 y a las
10:54:328/11.
quiz: ¿Cuál es el período de 1 2( )j t j t
x t e e
, 2 1? En el primer quiz de hoy notamos que
la suma dentro de las barras de valor absoluto puede no ser periódica si las velocidades angulares 1
y 2 no son múltiplos racionales entre sí. Aquí las cosas son distintas, ya que no nos interesa cuándo
los dos términos de la suma se volverán a encontrar en el punto 1+j0 del círculo unitario sino
cuándo volverán a estar alineados para que la magnitud de la suma vuelva a ser dos.
Independientemente de que alguna vez los dos sumandos vuelvan a pasar por el punto de origen o
no, siempre volverán a pasar uno encima de otro, por lo que estamos hablando de una señal real que
siempre será periódica. En efecto,
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 12 2 2 2( ) 2cos 2 cos2 2
j t j t j t j t
x t e e e e t t
Como el período de cos(t) es 2/, el período de |cos(t)| se reduce a / que, en nuestro caso,
corresponde a 2/(2 - 1): Los dos términos de la suma se encontrarán (2 - 1)/2 veces por
segundo, cuando x(t) alcanza el valor 2.
Claro, este problema ya lo habíamos resuelto en el quiz anterior: Los dos términos se encontrarán
cada vez que el más rápido haya alcanzado al más lento después de dar una vuelta más. Si decimos,
sin perder generalidad, que 2 > 1, el período entre encuentros T debe satisfacer 2T = 1T + 2,
de manera que T = 2/(2 - 1).
En el caso del reloj, como las velocidades angulares del horario y el minutero son h = 2/12
radianes/hora y m = 2 radianes/hora, respectivamente, la suma vectorial de las manecillas del
reloj se repite cada 2/(m - h) = 12/11 horas.
El siguiente programa en Matlab® les permitirá experimentar con los conceptos de periodicidad
repasados en esta clase.
% Marca las horas a las que el minutero y el horario se encuentran
s = 12*(0:11)/11; % Horas a las que se encuentran
H = exp(-(1j*pi/6)*(s + 9)); % Ubicación de esas horas en el círculo unitario
t=0:(1/900):12; % Toma muestras cada cuatro segundos
h = exp(-(1j*pi/6)*( t + 9)); % Posición del horario
m = exp(-(1j*pi/2)*(4*t + 3)); % Posición del minutero
for i=1:length(t)
clf
plot(h,'k') % Traza el círculo unitario
hold on
plot(H,'ro') % Dibuja los puntos de encuentro
plot(2*[0 real(h(i))]/3,2*[0 imag(h(i))]/3,'b') % Horario
plot([0 real(m(i))],[0 imag(m(i))],'r') % Minutero
drawnow
axis tight
axis equal
end
A la luz de las discusiones planteadas por los cuatro quices anteriores, podemos estudiar las familias
de exponenciales complejas armónicamente relacionadas:
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 49
22
0,1,..., 1
( ) , [ ] ,kk
j nj tNT
k k
k k N
t e t n e n
En el caso del tiempo continuo, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k(t), es T/k.
Claro, como una señal que se repite cada segundos también se repite cada k segundos para
cualquier kℕ, todas las señales de la familia comparten el período común T. Igualmente, nótese
que para dos valores diferentes k1 y k2, los períodos de las señales correspondientes son diferentes,
T/k1 y T/k2 y, por lo tanto, cada una de las señales de la familia es perfectamente distinguible de
todas las demás.
Figura 52. Cinco elementos de la familia exponencial en tiempo continuo con período 5
En el caso del tiempo discreto, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k[n], es
N/gcd(k,N), de manera que las funciones k[n] y kmN[n] son indistinguibles. Por lo tanto, para
evitar fenómenos de alias, en el caso de tiempo discreto la familia de exponenciales complejas
armónicamente relacionadas se reduce a N señales básicas, típicamente correspondiente al rango de
k entre 0 y N-1. De todas maneras, si N/gcd(k,N) es el período fundamental, N es otro período de la
k-ésima señal y, por lo tanto, todas las señales en ese rango comparten un período en común N.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.5
0
0.5
1
tiempo
Am
plit
ud
Im[phik(t)] = sin(2 pi k t / 5)
k=-2
k=-1
k=0
k=1
k=2
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 50
Figura 53. Nueve elementos de la familia exponencial en tiempo discreto con período 5. Nótese que k=-2 no se
distingue de k=3, k=-1 no se distingue de k=4, k=0 no se distingue de k=5 y k=1 no se distingue de k=6. Por eso, para
N=5, sólo se usa el rango k{0,1,2,3,4}
Ahora bien, si todas las señales de una familia de exponenciales complejas armónicamente
relacionadas tienen un período en común, cualquier combinación lineal de las mismas será una
señal periódica con el mismo período: 1 22
0
( ) , [ ] ,
Señal periódica en tiempo Señal periódica en tiempo
continuo con período discreto con período
kk N j nj tNT
T k N k
k k
x t a e t x n b e n
T N
Una pregunta interesante por hacerse es si todas las señales periódicas tienen una representación
semejante. La respuesta la estudiaremos con cuidado más adelante, pero podemos decir que, bajo
condiciones muy generales y aceptando diferentes formas de convergencia de señales, todas las
señales periódicas se pueden representar como una combinación lineal de exponenciales complejas
armónicamente relacionadas. También más adelante veremos que lo que hemos conseguido es
expandir el subespacio vectorial de las señales periódicas de período dado en una base ortonormal
particular, la base de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta es una
interpretación fundamental de las señales que iremos introduciendo lentamente en este curso. Por
ejemplo, consideremos un período de la señal en tiempo discreto: 1 2
0
[ ] , 0,1,2,.., 1kN j nN
N k
k
x n b e n N
y escribámoslo como una ecuación matricial,
xN = Wb
donde xN es un vector columna N-dimensional dado por las N muestras de un período de la señal
{xN[n], n{0,1,…,N-1}}, b es un vector columna N-dimensional dado por los coeficientes de la
combinación lineal, y W es la matriz NN con entradas Wnk=ej2kn/N. Esto muestra que la señal en el
tiempo es una combinación de las columnas de W, las cuales forman una base que expande el
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=-2
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=-1
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=0
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=1
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=2
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=3
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=4
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=5
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=6
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 51
espacio vectorial de las señales periódicas de período N. Más aún, estas exponenciales complejas
armónicamente relacionadas forman una base ortogonal, como se puede verificar fácilmente
calculando las proyecciones de unas sobre otras: (1/N)WWH = INN (la matriz identidad). Por
ejemplo, todas las señales periódicas en tiempo discreto con período 4 se pueden expresar como
combinaciones lineales de las columnas de la matriz
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
j jW
j j
pues, para cualquier secuencia de números reales {x[0], x[1], x[2], x[3]} existe la correspondiente
secuencia de números complejos b=W-1xN = [b0=(x[0]+x[1]+x[2]+x[3])/4, b1=(x[0]-x[2]-j(x[1]-
x[3]))/4, b2=(x[0]-x[1]+x[2]-x[3])/4, b3=(x[0]-x[2]+j(x[1]-x[3]))/4]T, tal que xN = Wb. Más aún,
nótese que la inversa de W es su transpuesta conjugada, W-1 = WH/4, de manera que (1/4)WWH =
I44. Esto demuestra que los vectores k[n] y m[n] son perpendiculares, pues el producto punto entre
ellos es cero si km y es 4 si k=m (la energía en un período es 4, indicando que la potencia
promedio es 1).
Existe una gran cantidad de bases (ortonormales o no) sobre las cuales podemos expandir sub-
espacios de señales más generales. A continuación veremos algunas de ellas.
Tal vez la señal más simple en tiempo discreto es el impulso unitario:
Figura 54. Definición del impulso unitario en tiempo discreto
Otra señal básica en tiempo discreto es el escalón unitario,
Figura 55. Definición del escalón unitario en tiempo discreto
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo, n
Am
pli
tud
[n]
1 0
0 0
nn
n
-5 0 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo, n
Am
pli
tud
u[n]
1 0
0 0
nu n
n
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Entre estas dos señales existe una relación muy interesante:
[n] = u[n] – u[n-1], nℤ
Figura 56. El impulso unitario es la primera diferencia del escalón unitario
Despejando u[n] e iterando sobre n,
0
[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ 2] [ ],k
u n n u n n n u n n k n
Esta última relación nos da, para cada valor particular de n, el valor correspondiente de u[n]. Pero se
puede interpretar también como una expresión de la señal entera {u[n], nℤ} en términos de la
suma de un número infinito de señales {[n-k], nℤ}, k=0,1,2,…, como muestra la siguiente figura.
0
[ ], [ ],k
u n n n k n
Figura 57. El escalón unitario es la suma de impulsos unitarios desplazados k unidades de tiempo, para k=0,1,2,…
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
u[n]
-u[n-1]
[n] = u[n]-u[n-1]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
[n]
[n-1]
[n-2]
[n-3]
[n-4]
u[n]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 53
Podemos expresar la anterior relación entre el escalón y el impulso unitarios de la siguiente manera:
[ ] [ ] [ ],k
u n u k n k n
pues, efectivamente, para valores negativos de k, u[k] es cero y, para valores no negativos de k, u[k]
es uno. Es importante notar nuevamente que, aunque la anterior ecuación se puede referir a la forma
de calcular la n-ésima muestra de u[n], en realidad la variable n recorre todo el rango del tiempo
discreto mientras que la variable k es simplemente un índice que recorre las señales que estamos
combinando y el respectivo coeficiente escalar. Preferiríamos escribirla de la siguiente manera
[ ], [ ] [ ],k
u n n u k n k n
para dejar bien explícito que la señal escalón unitario es una combinación lineal de las señales
impulsos unitarios desplazados (véase la última parte de la clase 5). Es ésta la interpretación que
queremos darle a la suma anterior, que ahora extenderems a cualquier señal en tiempo discreto.
Considérese cualquier señal {x[n], nℤ} y su producto con el impulso unitario, {[n], nℤ}.
Cuando n0, [n] es cero y, por consiguiente, x[n][n] también es cero. Pero, para n=0, [n] es uno
y, por consiguiente, x[n][n] es x[0]. En consecuencia, la señal {x[n][n], nℤ} es idéntica a x[0]
veces la señal {[n], nℤ}:
[ ] [ ], [0] [ ],x n n n x n n
o, en términos escalares,
[ ] [ ] [0] [ ],x n n x n n
De la misma manera podemos extraer cualquier muestra de la señal x[n] si la multiplicamos por un
impulso desplazado, x[n][n-k]: Cuando nk, [n-k] es cero y, por consiguiente, x[n][n-k] también
es cero. Pero, para n=k, [n-k] es uno y, por consiguiente, x[n][n-k] es x[k]. En consecuencia, la
señal {x[n][n-k], nℕ} es idéntica a x[k] veces la señal {[n-k], nℕ}:
[ ] [ ], [ ] [ ],x n n k n x k n k n
La siguiente figura muestra la combinación lineal de todos estos impulsos desplazados,
[ ], [ ] [ ],k
x n n x k n k n
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 54
Figura 58. Cualquier señal x[n] se puede representar como combinación lineal de impulsos unitarios desplazados
Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de
textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular la señal x[] en cada instante particular
n:
[ ] [ ] [ ],k
x n x k n k n
Claro, una expansión semejante se puede hacer con base en el escalón unitario:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ 1] [ ],k k k k
x n x k n k x k u n k u n k x k u n k x k u n k n
[ ] [ ] [ 1] [ ],k
x n x k x k u n k n
pues, en efecto, para un n dado la suma sólo considera valores de k menores o iguales a n, de
manera que la expansión resulta
[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ 1] [ 2] [ 2] ... [ ]n
k
x n x k x k x n x n x n x n x n x n
Si bien el impulso unitario en tiempo discreto cumple una función teórica fundamental como base
ortogonal para la expansión del espacio vectorial de las señales en tiempo discreto, es importante
notar que también es una señal muy concreta que podemos generar y utilizar fácilmente en el
laboratorio. La contraparte en tiempo continuo, en cambio, tiene aplicaciones puramente teóricas,
pues resulta imposible generarlo en el laboratorio. A continuación definimos el escalón y el impulso
unitarios en tiempo continuo y mencionamos sus propiedades.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x[0][n]
x[1] [n-1]
x[2] [n-2]
x[3] [n-3]
x[4] [n-4]
x[n]
x[-1][n+1]
x[-2][n+2]
x[-3][n+3]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 55
Partiendo del resultado que obtuvimos para el tiempo discreto,
0 0[ ] [ ] [ ] [ 1]
1 0
nu n n u n u n n
n
parece razonable definir sus contrapartes en tiempo continuo así:
0 0( ) ( ) ( )
1 0
t du t t u t t
t dt
aunque dicha definición no está exenta de dificultades. Dado que u(t), el escalón unitario en tiempo
continuo, es constante en todas partes excepto en su punto de discontinuidad t=0, el impulso
unitario en tiempo continuo es cero en todas partes excepto en el punto de discontinuidad.
Formalmente, en ese punto el escalón no es derivable, así que tenemos un problema en la definición
misma. Sin embargo, como de costumbre, lo que queremos hacer es una abstracción matemática
simplificada de alguna realidad compleja: Sabemos que la inercia de los sistemas reales nunca
permite respuestas con cambios que ocurren en instantes infinitesimales (períodos de tiempo de
longitud cero). Por ejemplo, el escalón unitario es una idealización del efecto de un interruptor
como el de la siguiente figura:
Figura 59. Respuestas ideal y real de un interruptor mecánico
Si el interruptor es ideal y la impedancia de entrada del circuito es infinita, el voltaje de entrada se
comportará exactamente como hemos definido el escalón unitario en tiempo continuo y como
aparece en la línea roja punteada de la Figura 59. Pero si el interruptor rebota al accionarse y existen
impedancias considerables a la salida de la fuente y a la entrada del circuito, la situación es más
parecida a la línea azul continua de la Figura 59. Tal vez podamos cambiar el interruptor mecánico
por un sofisticado mecanismo electrónico que produzca el siguiente voltaje a la entrada del circuito
lineal:
Figura 60. Forma ligeramente menos ideal del escalón unitario u(t) y de su derivada, el impulso unitario (t)
En cuyo caso el escalón y el impulso unitarios ideales se podrían definir como
Circuitolineal
+
-
+
u(t)
-
t=0
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
tiempo en ms
u(t
)
real
ideal
u(t
)
Tiempo en s
u(t)
tt = 0 t =
0
1
tt = 0 t =
0
1/
( ) ( )d
t u tdt
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 56
0 0( ) lim ( ) ( ) lim ( )u t u t t t
El límite de u(t) es muy claro: La duración del período de transición, , se va estrechando,
haciendo que, en el límite, la transición se vuelva instantánea. El límite de (t), en cambio, necesita
un poco más de reflexión. La siguiente figura muestra diferentes (t) para diferentes valores de .
Figura 61. Algunas aproximaciones al impulso unitario en tiempo continuo
Dos propiedades evidentes de la aproximación (t) son las siguientes:
( ) 0, 0, ( ) 1t t t dt
las cuales conducen, en el límite cuando 0, a la definición formal del impulso unitario en tiempo
continuo:
0 0
1
tt
t dt
El intervalo de tiempo en el que el impulso unitario es diferente de cero, {tℝ : (t) 0}, es el
conjunto unitario {0}; Sin embargo, el área debajo de la curva es uno. Claro, esto supone una
amplitud infinita de (0), por lo que el impulso unitario en tiempo continuo se suele representar
como una flecha hacia el infinito, etiquetada con el área debajo de ella, como muestra la siguiente
figura. Si el área debajo de (t) es uno, el área debajo de a(t) es a, tal como ocurre con a(t).
Figura 62. Representación gráfica del impulso unitario en tiempo continuo
0 1/8 1/4 1/2 10
8
4
2
1
t
(t)
1(t)
1/2(t)
1/4(t)
1/8(t)
t=0
(t)
t
1
t=t0
a(t-t0)
t
a
t=0
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 57
A semejanza del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo continuo resulta
muy útil como abstracción teórica para desarrollar modelos muy interesantes de señales. Sin
embargo, a diferencia del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo
continuo no se puede construir en la realidad. Mientras el primero es una señal muy concreta que
podemos generar y manipular en el laboratorio (esto es, en el computador digital), el segundo es
solamente una idealización teórica de la que no se puede disponer en el laboratorio. Pero,
considerando (t) como el límite de (t), podemos encontrar muchas de sus propiedades. Por
ejemplo, ¿cómo es la señal x(t)(t)? La siguiente figura, basada en aproximaciones (t), nos sugiere
la respuesta: Se trata de un impulso para el cual el área debajo de la curva es x(0):
{x(t)(t), tℝ} = x(0){(t), tℝ}
Figura 63. Construcción para notar que x(t)(t) es igual a x(0)(t)
Claro, la figura anterior también nos permite imaginar el efecto de un desplazamiento en el tiempo:
{x(t)(t-t0), tℝ} = x(t0){(t-t0), tℝ}
que es la misma propiedad de selección que habíamos encontrado para el impulso unitario en
tiempo discreto,
[ ] [ ], [ ] [ ],x n n k n x k n k n
Esta propiedad sugiere la posibilidad de combinar linealmente (en el tiempo continuo) una
secuencia de impulsos unitarios. En efecto, volviendo a la versión no idealizada, nótese que
( ), ( ) ( ),k
x t t x k t k t
como muestra la siguiente figura.
0 1/8 1/4 1/2 1t
x(t)(t)
1(t)
1/2(t)
1/4(t)
1/8(t)
x(t)1
x(t)2
x(t)4
x(t)8
0
8
4
2
1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 58
Figura 64. Construcción para notar que x(t) es una combinación lineal (continua) de impulsos unitarios
A medida que se vaya haciendo más pequeña, la aproximación se va haciendo más exacta hasta
que, en el límite, obtenemos la igualdad:
( ), ( ) ( ),x t t x t t d
en analogía con la representación que habíamos encontrado para las señales en tiempo discreto,
[ ], [ ] [ ],k
x n n x k n k n
Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de
textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular las señales x() ó x[] en cada instante
particular de tiempo:
( ) ( ) ( ) ,x t x t d t
[ ] [ ] [ ],k
x n x k n k n
La transición infinitamente rápida del escalón unitario en tiempo continuo y la duración
infinitesimal del impulso unitario en tiempo continuo son fenómenos que en matemáticas se llaman
"singularidades": Puntos en los que hay discontinuidades, falta de diferenciabilidad o valores
infinitos, los cuales motivan toda un área de las matemáticas denominada "Teoría de la
singularidad". Aunque parecen abstracciones teóricas para nuestra experiencia cotidiana, en el
universo existen puntos de singularidad gravitacional (agujeros negros) o posibles instantes de
singularidad (como el big-bang). Para nuestro propósito "terrenal" del análisis de señales, una
manera pragmática de tratar las singularidades es considerando la aproximación de intervalos de
longitud que se van haciendo cada vez más pequeños. Por ejemplo, considérese la siguiente señal
y su derivada:
t
( )
( ) ( )k
x t
x k t k
( ) ( )x k t k
( )t k
( )t k
1/
x(k)
1
k (k+1)
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 59
Figura 65. Señal con discontinuidades y su derivada
En los intervalos en los que x(t) permanece constante la derivada es cero. Igualmente, en los
intervalos en que x(t) crece o decrece a una tasa constante, la derivada toma el valor de la tasa de
crecimiento. Pero lo más interesante es ver qué pasa en los puntos de discontinuidad. Como x(t) está
acumulando el área debajo de la curva de su derivada, dicha derivada debe tener instantes con área
apropiada para justificar el cambio instantáneo del área acumulada. Esto sólo se puede explicar
mediante los impulsos (t-1), -3(t-3) y 2(t-5), que se ubican en los puntos de discontinuidad de
x(t).
Para terminar, y volviendo al tema de la expresión de una señal en bases ortogonales, nótese cómo
se ve una señal periódica de período N en la base ortogonal canónica de los impulsos unitarios y en
la base ortogonal de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas: 1
0
12 ( / )
0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,
[ ] ,
N
k k m
Nj k N n
k
k
x n x k n k x k n k mN n
x n b e n
Más adelante llamaremos "análisis de Fourier" al proceso simple de cambiar entre estas dos bases
para expresar un mismo vector.
t
0 1 2 3 4
0
1
2
-1
-2
-3
x(t)
65
t
0 1 2 3 4
0
1
2
-1
-2
-3
x’(t)
65
1
2
-3
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 60
8. Sistemas de procesamiento de señales
Como mencionamos en la tercera clase, las señales son cantidades físicas medibles que existen en
un ambiente particular en el que se generan, se propagan, se almacenan y se transforman. Ese
ambiente que ejerce un proceso transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto,
seguramente se trata de un conjunto de dispositivos o un conjunto de procesos que interactúan entre
ellos para formar un todo (un sistema). En esa clase veíamos, a manera de ejemplo, un circuito
formado por una resistencia y un condensador que constituyen un filtro pasabajos de primer orden,
un sistema mecánico formado por un resorte y una masa que forman un oscilador y un automóvil
que se acelera bajo la acción de la fuerza producida por el motor. También mencionamos
brevemente las estructuras generales de un sistema de comunicaciones y de un sistema de control.
Todos ellos son sistemas en los que se puede identificar señales de entrada, señales de salida, y
procesos para generar las segundas a partir de las primeras.
La representación matemática del sistema, entonces, es la de un funcional que acepta como entrada
una de un conjunto de posibles señales de entrada y genera una de un conjunto de posibles señales
de salida:
T:XY
Donde X es el conjunto de las posibles señales de entrada y Y es el conjunto de posibles señales de
salida. Esto es, un sistema es un subconjunto del producto cartesiano XY. Es importante distinguir
entre la función (el modelo matemático de la señal) y el funcional (el modelo matemático del
sistema). Por ejemplo, en tiempo continuo, se podría representar la señal x(t) como una función que
a cada valor de la variable independiente tℝ le asigna un valor de la variable dependiente xℝ.
De la misma manera, un sistema en tiempo continuo se puede representar como un funcional que
asigna una señal de salida {y(t), tℝ} a cada señal de entrada {x(t), tℝ}, como muestra la Figura
66:
Figura 66. Concepto de Señal como función y sistema como funcional
Desafortunadamente, la notación gráfica que se usa típicamente en la literatura para los sistemas es
la que se muestra en la Figura 67, la cual podría conducir a confusiones: No se trata de que, para
cada instante de tiempo t, el valor específico y(t) dependa del valor específico x(t); se trata de que la
señal entera {y(t), tℝ} depende de la señal entera {x(t), tℝ}, de manera que el valor específico
y(t) puede depender de muchos valores {x(), Tℝ}. Como veremos, las posibilidades incluyen
que, para un valor de t0 dado, el valor específico y(t0) sólo dependa de x(t0), en cuyo caso se dice
que el sistema no tiene memoria y la Figura 67 cobraría sentido; o puede ser que y(t0) dependa de
{x(t)ℝ, tℝ}X {y(t)ℝ, tℝ}Y
tℝ xℝ
Señal : Función que
asigna a cada valor de
entrada tℝ un
correspondiente valor de
salida x(t)
Sistema : Funcional que
asigna a cada señal de
entrada {x(t)ℝ, tℝ}
una correspondiente señal
de salida {y(t)ℝ, tℝ}
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 61
todos los valores de x en instantes no superiores a t0, {x(t), tt0}, en cuyo caso se dice que el sistema
es causal. Como en la mayoría de la literatura, en el resto de este curso el contexto dirá si la
expresión x(t) se refiere al valor particular de la señal {x(), ℝ} en el instante t, o si se refiere de
manera genérica a toda la señal {x(t), tℝ}. Cuando, por alguna razón, en el segundo caso
necesitemos ser específicos, nos referiremos a la señal completa como {x(t), tℝ} o como {x(t)}t, y
al valor particular como x(t). Y para referirnos a la transformación que hace un sistema en la señal
de entrada {x(t)}t X, para producir una señal de salida {y(t)}t Y, hablaremos de la
transformación {y(t)}t = T({x(t)}t) o, a veces, hablaremos del par entrada/salida ({x(t)}t, {y(t)}t).
Figura 67. Notación típica para un sistema en tiempo continuo. Tiende a hacer perder de vista que se trata de un
funcional y no de una función
Como habíamos clasificado las señales en cuatro tipos según el dominio (el tiempo) fuera continuo
o discreto y según el rango (la amplitud) fuera continuo o discreto, existirían 16 tipos de sistemas
según la clase de señales de entrada que acepte y la clase de señales de salida que genere. Sin
embargo, excepto por el tipo de sistemas que incluyan conversores AD y DA, en este curso
consideraremos sólo dos tipos de sistemas: Sistemas en tiempo continuo (aceptan, procesan y
generan señales en tiempo continuo) y sistemas en tiempo discreto (aceptan, procesan y generan
señales en tiempo discreto), como se muestra en la Figura 68.
Figura 68. Los dos tipos de sistemas que se consideran en este curso
(a excepción de los sistemas con conversores AD y DA)
Nótese que hemos descrito los sistemas mediante la relación que existe entre la señal de entrada y la
señal de salida, con lo cual ignoramos los detalles internos del sistema. En otros contextos puede ser
posible conocer algunos aspectos de la construcción interna del sistema y reconocer que existen
otras señales que describen el estado del sistema en cada instante, de manera que la descripción del
sistema incluye la relación que existe entre la señal de entrada y el estado interno del sistema
(ecuaciones de estado) y la relación que existe entre la señal de salida y las señales de estado interno
y de entrada (ecuaciones de salida). La diferencia entre la descripción de los sistemas en el espacio
de estados y la descripción como relación entrada/salida es una diferencia conceptual: En el primer
caso conocemos la estructura interna del sistema (modelo de "caja blanca") y en el segundo caso la
desconocemos o decidimos ignorarla (modelo de "caja negra"). En este curso enfatizaremos el
modelo de caja negra, aunque en el momento en que hagamos diseño de sistemas de procesamiento
x(t) y(t)
{x(t)ℝ, tℝ}X {y(t)ℝ, tℝ}Y
{x[n]ℝ, nℤ}X {y[n]ℝ, nℤ}Y
Sistema en tiempo
continuo
Sistema en tiempo discreto
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 62
de señales deberemos conocer perfectamente bien su estructura interna (¡es nuestro diseño!) y
usaremos modelos de caja blanca (aunque tal vez no seremos explícitos en mencionarlo).
Ahora veremos 6 propiedades particulares de los sistemas en general que nos permitirán
clasificarlos y escoger algunos tipos de sistemas de mayor interés para su análisis detallado:
(1) sistemas con y sin memoria (o dinámicos y estáticos),
(2) sistemas invertibles y no invertibles,
(3) sistemas causales y no causales,
(4) sistemas bibo-estables y bibo-inestables,
(5) sistemas invariantes y variantes en el tiempo y
(6) sistemas lineales y no lineales.
Como las seis propiedades resultan completamente análogas entre sistemas en tiempo discreto y
sistemas en tiempo continuo, usaremos indistintamente uno u otro tipo de señales para la definición
y para los ejemplos. Si usamos el tiempo continuo, el estudiante podrá redefinir los conceptos en el
tiempo discreto y viceversa.
(1) Un sistema carece de memoria (o es un sistema estático) si el valor de la señal de salida en cada
instante sólo depende del valor de la señal de entrada en ese mismo instante. Por ejemplo, en una
resistencia ideal de R ohmios en la que la señal de entrada es el voltaje que se aplica a sus
terminales, x(t), y la señal de salida es la corriente que circula a través de la resistencia, y(t),
tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de entrada:
Figura 69. Ejemplo de un sistema sin memoria
Como el valor instantáneo de la corriente sólo depende del valor del voltaje en ese mismo instante y
no depende de valores pasados (ni futuros) del voltaje, el sistema no tiene memoria (es estático).
Los sistemas sin memoria se pueden modelar como una función y=f(x), no necesariamente como un
funcional {y(t), tℝ}=T({x(t), tℝ}). Claro, como la entrada es una señal, la salida es una función
del tiempo, y(t) = (f x)(t) = f(x(t)), por lo que en realidad se trata de un funcional "degenerado".
En un sistema con memoria, o dinámico, la señal de salida en un instante particular de tiempo
depende de los valores de la entrada (o de salida) en diferentes instantes de tiempo. Es decir, el
sistema debe "recordar" algunos valores anteriores (o futuros!) de la señal de entrada y/o de la señal
de salida. Por ejemplo, en una bobina ideal de L henrios en la que la señal de entrada es el voltaje
que se aplica a sus terminales, {x(t), tℝ}, y la señal de salida es la corriente que circula a través de
la resistencia, {x(t), tℝ}, tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de
entrada:
R
x(t)
y(t)+
-
y(t)=x(t)/R
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Figura 70. Ejemplo de un sistema con memoria
Como el valor instantáneo de la corriente no sólo depende del valor del voltaje en ese mismo
instante sino de todos los valores anteriores del voltaje, se dice que el sistema tiene memoria. En un
sistema con memoria se requiere de un dispositivo que almacene información anterior. Por ejemplo,
un condensador recuerda el voltaje infinitesimalmente anterior, una bobina recuerda la corriente
infinitesimalmente anterior y un flip-flop tipo D recuerda el bit de entrada que había en el pulso de
reloj inmediatamente anterior. En efecto, una versión de tiempo discreto de la bobina anterior sería
el de un sistema acumulador:
0
[ ] [ ]k
y n x n k
que parece necesitar una memoria infinita pues para calcular y[n] se necesitan todas las muestras
anteriores de la señal de entrada desde x[-] hasta x[n]. Pero ¿en realidad la bobina almacena toda
la señal de voltaje de entrada en su memoria? No. No hace falta. Por ejemplo, el acumulador sólo
debe almacenar el último acumulado:
0 1 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [( 1) ] [ ] [ 1]k k k
y n x n k x n x n k x n x n k x n y n
Figura 71. Acumulador: Otro ejemplo de un sistema con memoria
De la misma manera que el acumulador sólo debe recordar la salida inmediatamente anterior, x[n] =
y[n] – y[n-1], la bobina sólo debe recordar la corriente inmediatamente anterior
( ) ( )d
x t L y tdt
A veces un sistema con memoria debe "recordar" el futuro. Por ejemplo, en procesamiento de
imágenes existen procesos en los que el nuevo valor de un pixel particular se determina al
compararlo con los valores de los pixeles vecinos, donde la selección del vecindario (elemento
estructurante) determina el efecto final de la operación. Por ejemplo, la operación
y(i,j) = máx{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)} - mín{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}
no sólo usa el presente (x(i,j)) sino que tiene memoria del "pasado" (x(i-1,j), x(i,j-1)) y también del
"futuro" (x(i+1,j), x(i,j+1)). Los efectos de dicha operación son muy interesantes: El operador
máximo aplicado al elemento estructurante dilata los círculos blancos; el operador mínimo los
erosiona; la diferencia entre los dos, en consecuencia, detecta los bordes de los círculos (Figura 72).
L
x(t)
y(t)+
-
0
1( ) ( )y t x t d
L
x[n] y[n]
Retardoy[n-1]
+
+
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 64
Figura 72. Resultado de un proceso con memoria del pasado y del futuro
La presencia o ausencia de memoria se puede determinar por inspección: Ver si en la expresión que
relaciona la señal de salida en un instante t con la señal de entrada o salida en instantes anteriores.
Por ejemplo, y[n] = x[n] + (n-1) es un sistema sin memoria a pesar del término (n-1), pues dicho
término no implica la necesidad de conocer ningún dato anterior. Otra cosa ocurre con el sistema
y[n] = x[n-1] + (n), pues ahora el término (n-1) sí está indicando la necesidad de recordar el valor de
la señal de entrada en el instante inmediatamente anterior.
(2) Un sistema es invertible si para cada señal de salida se puede identificar unívocamente la señal
de entrada que la generó. Siendo así, podríamos construir (al menos en principio) un sistema
inverso que recupere la señal de entrada a partir de la señal de salida: Si {y(t)}t = T({x(t)}t) es un
sistema invertible, existe un sistema T-1 tal que {x(t)}t = T-1({y(t)}t). Por ejemplo, como acabamos
de ver, el acumulador es invertible y su sistema inverso, el diferenciador, es muy fácil de construir:
Figura 73. El diferenciador es el sistema inverso del acumulador
Efectivamente, si ponemos el acumulador de la figura 61 en serie con el diferenciador de la figura
62, el resultado final será el sistema identidad: La entrada es idéntica a la salida. En cambio, el
sistema de la siguiente figura no es invertible pues diferentes señales de entrada pueden producir la
misma señal de salida.
Figura 74. Sistema no invertible: Diferentes señales de entrada producen la misma señal de salida
Determinar la invertibilidad de un sistema consiste en encontrar el sistema inverso (si el sistema es
invertible) o en demostrar que no existe un sistema inverso (por ejemplo, encontrando dos señales
de entrada que produzcan la misma salida). Por ejemplo, consideremos los siguientes dos sistemas:
{y(t)}tℝ = {x(2t)}tℝ y {y[n]}nℤ = {x[2n]}nℤ. En el primero, el sistema inverso es fácil de
encontrar: x(t) = y(t/2), lo cual nos da exactamente la señal de entrada que originó y(t). En el
Señal de entrada
x:{1,2,…,500} {1,2,…,600} {0,1}
Señal de salida
y(i,j) = máx{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}
- mín{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}
y[n]x[n]
Retardox[n-1]
+
-
+
x(t)
+
y(t)
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segundo sistema, alguien podría sugerir que el sistema inverso se puede definir similarmente, x[n] =
y[n/2], pero en este caso queda la ambigüedad de qué poner en las muestras impares de x[], pues la
relación es válida sólo para valores pares de n. De hecho, las siguientes dos señales de entrada
producen la misma señal de salida:
Figura 75. El sub-muestreador no es un sistema invertible
(3) Como vimos antes, un sistema con memoria puede "recordar" el futuro, esto es, puede que la
señal de salida en el instante t dependa de valores de las señales de entrada o salida posteriores al
instante t. En ese caso, se trata de un sistema no causal. Pero si, para calcular el valor de la señal de
salida en cualquier instante, sólo hace falta conocer el valor actual y, posiblemente, valores pasados
de las señales de entrada o de salida, entonces se trata de un sistema causal.
Más formalmente, sea ({x1(t), tℝ}, {y1(t), tℝ}) XY cualquier par de señales entrada/salida
de un sistema dado, y sea ({x2(t), tℝ}, {y2(t), tℝ}) XY otro par diferente de señales
entrada/salida del mismo sistema, con la propiedad de que existe un t0 para el cual x1(t) = x2(t)
tt0. El sistema es causal cuando esta condición implica que y1(t) = y2(t) tt0.
Los sistemas en que la variable independiente es realmente el tiempo y que deben trabajar en
tiempo real DEBEN ser causales. La no causalidad es para sistemas en los que la variable
independiente no es el tiempo (como el sistema de procesamiento de imágenes de la Figura 72) o
para los que el procesamiento no se hace en tiempo real. Considere, por ejemplo, el procesamiento
que se hace para mejorar la calidad de audio durante la transferencia de música desde cintas de
audio analógicas hacia formatos digitales: en estas condiciones no habría razón para limitarnos a
usar sistemas causales. Por ejemplo el siguiente sistema causal calcula el promedio de las 11
últimas muestras de la entrada: 10
0
1[ ] [ ],
11 k
y n x n k n
Pero, si pudiésemos usar un sistema no causal, tal vez sería preferible usar el siguiente sistema: 5
5
1'[ ] [ ],
11 k
y n x n k n
Nótese que, en este caso, la única diferencia entre las señales de salida y[n] y y'[n] es que la primera
está retardada 5 unidades de tiempo con respecto a la segunda.
Para determinar la causalidad debemos verificar si la variable de salida en cualquier instante es
independiente de valores futuros de la señal de entrada (o de salida). Por ejemplo, la señal
{y(t) = x(-t), tℝ} podría parecer causal porque, para cualquier t 0, la salida sólo depende de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
x1[n]
n
x2[n]
0 1 2 3 4n
y1[n]
0 1 2 3 4n
y2[n]
y[n]=x[2n]
y[n]=x[2n]
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muestras anteriores de la entrada. Pero, por la misma razón, para t < 0 la salida depende de valores
futuros de la entrada. En consecuencia, {y(t) = x(-t), tℝ} es una señal no causal.
(4) La estabilidad es un concepto relativamente elaborado en el estudio de sistemas dinámicos. En
particular, si usamos un modelo de espacio de estados para describir el sistema, podemos definir
muchas formas de estabilidad dependiendo de cómo responde el sistema a estados internos iniciales
cuando la entrada es cero (estabilidad uniforme, estabilidad exponencial, estabilidad asintótica,
etc.). En este curso usamos modelo de entrada/salida para describir los sistemas, lo cuales no
consideran explícitamente posibles estados internos del sistema, por lo que dichos conceptos no
aplican directamente. Por eso el caso de estabilidad que consideraremos es el más general posible:
Estabilidad BIBO (Bounded-Input, Bounded-Otuput): Si la señal de entrada es acotada, la señal de
salida también es acotada:
par entrada/salida ( ( ), ( )), tal que , x yx t y t t x M y M
(El término x quiere decir max ( )t
x t
, como se describe en una próxima clase).
El hecho de que no consideremos estados internos del sistema implica que la condición BIBO será
suficiente criterio de estabilidad para nosotros… aunque por dentro algo huela a quemado!
Determinar la estabilidad BIBO de un sistema consiste en encontrar una cota en el valor máximo de
{y(t)}t dada una cota en el valor máximo de {x(t)}t, o demostrar que dicha cota no existe. Por
ejemplo, el acumulador y[n] = x[n] + y[n-1] no es estable porque basta con notar que para x[n]=u[n],
acotada con x 1, la salida es y[n] = n+1, que crece sin límite. Pero si el sistema incluye una
ponderación de las muestras, y[n] = x[n] + (1-)y[n-1], con 0<<1, entonces
0
[ ] (1 ) [ ]k
k
y n x n k
de manera que, si 0 0
, [ ] (1 ) [ ] (1 )k k
k k
x M y n x n k M M
.
(5) Un sistema es invariante en el tiempo si para cualquier par de señales de entrada/salida (x(t),
y(t)) y para cualquier desplazamiento de tiempo t0, las señales (x(t-t0), y(t-t0)) también forman un par
entrada/salida del sistema. Esto es, un desplazamiento en el tiempo de la señal de entrada origina el
mismo desplazamiento en el tiempo de la señal de salida. Fundamentalmente, esta propiedad se
refiere a que los parámetros del sistema no cambian con el tiempo. Si llegamos al laboratorio a las
3:00 pm a hacer un experimento con el regulador zener de la Figura 74, obtendremos los mismos
resultados que obtendríamos si tenemos un retraso y llegamos a las 3:20 pm. Esto se debe a que ni
las características de la resistencia ni las características del diodo cambiarán significativamente en
ese lapso de 20 minutos.
Para determinar si un sistema es invariante en el tiempo, partimos de un par genérico de señales
entrada/salida ({x(t), tℝ}, {y(t), tℝ}) y miramos el respectivo par para la misma entrada
desplazada ({xto(t) = x(t-t0), tℝ}, {yto(t), tℝ}). Si, al comparar las dos salidas, notamos que yto(t)
= y(t-t0) para todo tℝ, sabremos que el sistema es invariante. De otra manera, sabremos que el
sistema es variante. Por ejemplo, en el circuito RC de la Figura 19, supongamos que ({x(t), tℝ},
{y(t), tℝ}) es un par de señales que satisfacen la relación x(t) = y(t) + RC dy(t)/dt tℝ. Si ahora
introducimos {xto(t) = x(t-t0), tℝ}, la salida {yto(t), tℝ} debe satisfacer x(t-t0) = yto(t) + RC
dyto(t)/dt tℝ. Si remplazamos y(t-t0) en vez de yto(t) y hacemos el cambio de variable s = t-t0,
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 67
obtenemos la ecuación x(s) = y(s) + RC dy(s)/ds sℝ, ya que dy(t-t0)/dt = dy(s)/ds en s=t-t0. Y,
como ya sabíamos que {y(s), tℝ} satisface esta ecuación, se demuestra que el sistema es
invariante. Sin embargo, si ahora la resistencia cambia con el tiempo de manera que en el instante t
vale R(t) ohmios, la relación original x(t-t0) = yto(t) + R(t)C dyto(t)/dt tℝ} queda x(s) = y(s) +
R(s+t0)C dy(s)/ds al remplazar y(t-t0) en vez de yto(t) y s en vez de t-t0, que no es la relación
satisfecha originalmente por {y(s), tℝ}, pues en ese caso se debía usar el valor de resistencia en el
instante s. El hecho de que los parámetros del sistema cambien con el tiempo hace que el sistema
sea variante.
Como ejemplo adicional, considere nuevamente el sistema {y(t) = x(2t), tℝ}. Si introducimos la
señal {xto(t)=x(t-t0), tℝ} obtenemos {yto(t) = xto(2t) = x(2t – t0), tℝ}. Pero, tℝ,
y(t-t0) = x(2(t-t0)) yto(t), por lo que el sistema no es invariante en el tiempo. La siguiente figura
ilustra este efecto con un ejemplo:
Figura 76. La invarianza en el tiempo no es una propiedad de la escalización en el tiempo
(6) Un sistema lineal satisface la propiedad de superposición según la cual, para cualquier par de
entradas/salidas {y1(t)}t = T({x1(t)}t) y {y2(t)}t = T({x2(t)}t) y cualquier par de escalares y , se
satisface que {y1(t) + y2(t)}t = T({x1(t) + x2(t)}t). A veces esta propiedad se divide en dos:
aditividad (T({x1(t) + x2(t)}t) = T({x1(t)}t) + T({x2(t)}t)), y homogeneidad (T({x1(t)}t) =
T({x1(t)}t)). Aplicando estas propiedades inductivamente, si {xi(t)}tℝ es una secuencia de señales
de entrada y si ai es una secuencia de escalares, el principio de superposición se extiende así:
1 1
( ) ( )i i i i ti it
T a x t a T x t
Esta propiedad tiene importantes consecuencias para los sistemas lineales, las cuales los hacen muy
fáciles de analizar y diseñar. Por ejemplo, nótese que si la entrada es x(t)0 tℝ, la salida tiene
que ser igualmente y(t)0 tℝ. En efecto, para cualquier otra señal diferente de cero, por ejemplo
(t), se tiene que si la multiplicamos por el escalar 0, x(t) = 0(t), la salida también debe ser cero:
{y(t)}t = T(0{(t)}t))= 0T({(t)}t) 0 tℝ.
Para determinar si un sistema es lineal o no, se aplica directamente la definición verificando si se
satisface el principio de superposición. Por ejemplo, el sistema sin memoria {y(t) = x(t) + 1, tℝ}
es, obviamente, no lineal porque cuando la entrada es idénticamente cero la salida no es
idénticamente cero. Pero podemos hacer la verificación desde la definición: si introducimos
0 1 20
1
0 1 20
1
3
3
x(t)
t
x’(t)=x(t-1)
t
y(t)=x(2t)
y(t)=x(2t)
0 1 20
1
3
y(t), y(t-1)
t
0 1 20
1
3
y’(t), y(t-1)
t
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{ax1(t) + bx2(t), tℝ} a la entrada, obtenemos a la salida {y(t) = ax1(t) + bx2(t) + 1, tℝ}. Sin
embargo, la combinación lineal de las salidas individuales es {a(x1(t) + 1) + b(x2(t) + 1) = y(t) + a +
b – 1, tℝ}.
Una clase muy importante de sistemas son los lineales e invariantes en el tiempo. Aunque no son
muy comunes en la naturaleza, se facilita tanto su análisis y es tan extensa su teoría que resulta de
suma importancia estudiarlos con gran cuidado. Por un lado, si el sistema ya está dado, podrían
llegar a encontrarse aproximaciones lineales, válidas al menos en contextos restringidos de
operación del sistema. Pero si el sistema debe ser diseñado y construido por nosotros mismos, las
enormes ventajas que traen la linealidad y la invarianza hacen que valga la pena intentar dotar al
sistema de estas características cuando sea posible. En efecto, existen poderosas herramientas
teóricas para el análisis y la síntesis de este tipo de sistemas, ya que las dos propiedades hacen que
estos sistemas se caractericen por una única señal: su respuesta al impulso. De alguna manera, el
análisis y la síntesis de sistemas lineales e invariantes se reducen al análisis y el diseño de la señal
de respuesta al impulso.
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9. Respuesta al impulso y convolución
Hemos visto que, dado un conjunto de señales linealmente independientes en tiempo discreto
{k[n], nℤ}, sus combinaciones lineales forman un sub-espacio vectorial de señales en tiempo
discreto, : tales que [ ] [ ],k k
k K
V x x n a n n
, por lo que decimos que {k[n],
nℤ} forman una base para el sub-espacio vectorial V. En tiempo continuo podemos tener bases
con un número contable de vectores, : tales que ( ) ( ),k k
k K
V x x t a t t
, o bases
con un número incontable de vectores, : tales que ( ) ( ) ( ) ,V x x t a t d t
.
Algunas bases pueden expandir el espacio de todas las señales en tiempo discreto o todas las señales
en tiempo continuo. Por ejemplo, los escalones unitarios:
[ ], [ ],[ ] [ 1]
k
k k
x n n a u n k na x k x k
( ), ( ) ( ),( ) '( )
x t t a u t t da x
La base canónica para estos espacios vectoriales es la de los impulsos desplazados, pues los
coeficientes de las combinaciones lineales de las bases resultan ser las mismas muestras de la señal,
[ ], [ ] [ ],k
x n n x k n k n
( ), ( ) ( ),x t t x t t d
Nótese que la notación anterior enfatiza la naturaleza vectorial de la operación pues, si escribimos
las señales como vectores en un espacio de Hilbert, obtenemos k k
k
x a
, que es la misma
expresión anterior. Sin embargo, desde un punto de vista escalar, la misma expresión puede ser
usada para extraer el valor particular de la señal en cualquier instante de tiempo:
[ ] [ ] [ ],k
x n x k n k n
( ) ( ) ( ) ,x t x t d t
Posteriormente, en la clase 8 vimos un tipo particular de sistemas de procesamiento de señales: Los
sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La primera propiedad, la linealidad, implica que la
respuesta a una combinación lineal de señales es la respectiva combinación lineal de las respuestas
a las señales individuales. Así pues, si T{} es una transformación lineal que a la entrada x responde
con la salida y, tendríamos que
[ ], [ ], [ ] [ ],
( ), ( ), ( ) ( ),
k
y n n T x n n x k T n k n
y t t T x t t x T t t d
Llamemos {hk[n], nℤ} a la respuesta del sistema en tiempo discreto cuando a su entrada se aplica
un impulso unitario ubicado en el instante n=k (ó llamemos {h(t), tℝ} a la respuesta del sistema
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en tiempo continuo cuando a su entrada se aplica un impulso unitario ubicado en el instante t=),
como muestra la siguiente figura:
Figura 77. Respuesta al impulso desplazado
De acuerdo con esto, las anteriores expresiones toman las siguientes formas desde las perspectivas
vectorial (izquierda) y escalar (derecha):
[ ], [ ] [ ],
( ), ( ) ( ),
k
k
y n n x k h n n
y t t x h t t d
[ ] [ ] [ ] ,
( ) ( ) ( ) ,
k
k
y n x k h n n
y t x h t d t
Esto es, la señal de salida es la respectiva combinación lineal de las respuestas a los impulsos
desplazados que generan la señal de entrada. Considérese, por ejemplo, el caso en tiempo discreto
de la siguiente figura. En las primeras tres líneas se muestra la respuesta a los impulsos unitarios en
los instantes n=0, n=1 y n=2, que son h0[n], h1[n] y h2[n], respectivamente. La última línea muestra
una entrada expresada como combinación lineal de estos impulsos, de manera que la salida es la
misma combinación lineal de las respectivas respuestas a los impulsos.
Figura 78. En un sistema lineal, la salida es la combinación lineal de las respuestas a los impulsos que forman la señal
de entrada
{(t-), tℝ} {h(t), tℝ}
{[n-k], nℤ} {hk[n], nℤ}
Sistema en tiempo
continuo
Sistema en tiempo discreto
t=
(t-)
t
1
t=0 t=
h(t)
tt=0
kn
[n-k]
kn
hk[n]
0n
[n] h0[n]
1
0n
1
1 2
1n
[n-1] h1[n]
1
n
1
2n
[n-2] h2[n]
1
0n
1
n
x[n] = 2[n] + [n-1] - [n-2]
2
0n
3
1 2
y[n] = 2h0[n] + h1[n] – h2[n]
1/2
-1/40
1/2
-1/4
1
-10
21
3 4
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Estas expresiones toman una forma especial cuando el sistema, además de lineal, es invariante en el
tiempo. En efecto, en este caso la respuesta al impulso desplazado es la respuesta desplazada al
impulso. Esto es, si {h[n], nℤ} (ó {h(t), tℝ} en tiempo continuo) es la respuesta al impulso
{[n], nℤ} (ó al impulso {(t), tℝ} en tiempo continuo), entonces la respuesta al impulso
desplazado {[n-k], nℤ} (ó {(t-), tℝ}) es, simplemente, {h[n-k], nℤ} (ó {h(t-), tℝ}). De
acuerdo con esta propiedad, las expresiones anteriores toman una forma que será fundamental en
este curso:
[ ], [ ] [ ],
( ), ( ) ( ),
k
y n n x k h n k n
y t t x h t t d
[ ] [ ] [ ] ,
( ) ( ) ( ) ,
k
y n x k h n k n
y t x h t d t
Las anteriores expresiones, que relacionan la señal de salida de un sistema lineal e invariante en el
tiempo (sistema LTI –Linear Time-Invariant–) con su respuesta al impulso y con la señal de
entrada, se conocen como "suma de convolución" en el caso de tiempo discreto o "integral de
convolución" en el caso del tiempo continuo. Nuevamente, las expresiones de la izquierda enfatizan
la interpretación vectorial de la convolución, mientras las expresiones de la derecha se refieren a la
manera de calcular una muestra particular (escalar) de la señal de salida. La convolución implica
que, para conocer cómo responde un sistema LTI a cualquier señal de entrada, es suficiente con
conocer cómo responde al impulso unitario. Esto es, para caracterizar por completo a un sistema
LTI (en nuestros modelos Entrada/Salida), es suficiente con conocer su respuesta al impulso. La
siguiente figura reproduce la figura anterior en el caso en que el sistema lineal también sea
invariante en el tiempo, esto es, en el caso en que hk[n]=h0[n-k].
Figura 79. En un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), la salida es la combinación lineal de los
desplazamientos de la respuesta al impulso, de acuerdo con una interpretacióon vectorial
0n
[n] h0[n]=h[n]
1
0n
1
1 2
1n
[n-1] h1[n]=h[n-1]
1
n
2n
[n-2] h2[n]=h[n-2]
1
n
n
x[n] = 2[n] + [n-1] - [n-2]
2
0n
3
1 2
y[n] = 2h[n] + h[n-1] – h[n-2]
1
-10
2
-13
1 2 3
2 43
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Nótese que las dos figuras anteriores se refieren al concepto vectorial: la salida es la combinación
lineal de las respuestas a los impulsos desplazados, para lo cual graficamos todas las funciones
involucradas como función del tiempo n. Si consideramos el concepto escalar, deberíamos mirar
cada instante particular de tiempo, n=n0, para lo cual graficaríamos x[k] y h[n0-k] como funciones de
k, generaríamos el producto g[k]=x[k]h[n0-k] (muestra por muestra como función de k), y
sumaríamos para todos los valores de k, con lo que habríamos calculado la señal de salida en el
instante n0, y[n0]. Este proceso lo repetimos para cada instante n0 en que nos interese evaluar la
señal de salida, como muestra la Figura 80. En ella se considera una señal de entrada
{x[n]=(3-|n|)(u[n+3]-u[n-3]), nℤ} y una respuesta al impulso {h[n]=(3-n)(u[n]-u[n-3]), nℤ}.
Estas señales se grafican, como función de k, en la primera fila de la figura. En las siguientes nueve
filas graficamos cada paso del proceso mencionado anteriormente para valores específicos de n=-3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
Figura 80. Otra interpretación algorítmica de la suma de convolución, de acuerdo con una interpretación escalar
Para comparar las dos interpretaciones, en la Figura 81 se repite el mismo cálculo de la Figura 80,
pero de acuerdo con la interpretación vectorial: Primero se descompone la señal de entrada
{x[n]=(3-|n|)(u[n+3]-u[n-3]), nℤ} en cinco impulsos unitarios, x[k]{[n-k], nℤ}, k=-2,-1,0,1,2.
Luego, para cada impulso, se construye la respectiva señal de salida x[k]{h[n-k], nℤ}, k=-2,-
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[-3-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[-3-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[-2-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[-2-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[-1-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[-1-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[0-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[0-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[1-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[1-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[2-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[2-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[3-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[3-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[4-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[4-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[k]
h[5-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[k].*h[5-k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
1
2
3
x[k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
1
2
3
h[k]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
15
y[n]
y[n]=0, n<-2
y[n]=0, n>4
y[-2]=1*3=3
y[-1]=1*2 + 2*3 = 8
y[0]=1*1 + 2*2 + 3*3 = 14
y[1]=2*1 + 3*2 + 2*3 = 14
y[2]=3*1 + 2*2 + 1*3 = 10
y[3]=2*1 + 1*2 = 4
y[4]=1*1 = 1
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1,0,1,2. Finalmente, se superponen todas estas respuestas parciales para formar así la señal de
salida, 2
2
[ ], [ ] [ ],k
y n n x k h n k n
. Una diferencia fundamental entre la Figura 80 y la
Figura 81 es que en la primera el eje horizontal corresponde a la variable k, que recorre los
coeficientes de la combinación lineal, y en la segunda el eje horizontal es la verdadera variable
tiempo, n.
Figura 81. Determinación de la señal de salida en el ejemplo de la Figura 80 mediante la interpretación vectorial de la
convolución
La interpretación vectorial es imposible de considerar en el tiempo continuo, pues la combinación
lineal se hace sobre desplazamientos infinitesimales del impulso unitario a la entrada o de la
respuesta al impulso unitario a la salida. Sin embargo, la interpretación escalar facilita la
comprensión de la integral de convolución. Sea, por ejemplo, un sistema lineal e invariante en el
tiempo cuya respuesta al impulso es un escalón de amplitud uno y duración uno, h(t) = u(t) – u(t–1),
tℝ. ¿Cómo es la señal de salida si introducimos el mismo escalón a la entrada, x(t) = h(t), tℝ? La
respuesta es simple: la salida está dada por la integral de convolución,
( ) ( ) ( ) ,y t x h t d t
. Para calcular el valor de y(t) en un instante particular t0, hacemos
exactamente lo que la integral de convolución propone: consideramos x() y h(t0-) como funciones
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[-3]*d[n+3]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[-3]*h[n+3]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[-2]*d[n+2]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[-2]*h[n+2]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[-1]*d[n+1]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[-1]*h[n+1]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[0]*d[n]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[0]*h[n]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[1]*d[n-1]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[1]*h[n-1]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[2]*d[n-2]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[2]*h[n-2]
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
x[3]*d[n-3]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
x[3]*h[n-3]
-6 -4 -2 0 2 4 60
5
10
y[n]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 74
de , multiplicamos las dos señales en cada valor de , e integramos el producto a lo largo de , para
obtener el valor de la señal de salida en ese instante, y(t0). Repitiendo para cada valor de t0,
calculamos y(t) en todo el rango de interés, como muestra la Figura 82. La salida del sistema es la
siguiente señal:
0 0
0 1( ) ,
2 1 2
0 2
t
t ty t t
t t
t
Figura 82. Interpretación algorítmica de la integral de convolución
Quiz 1. Calcule la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h(t)=u(t) cuando a la entrada se
aplica la señal x(t) = e-tu(t). Para calcular la respectiva integral de convolución en un instante
particular t0, consideramos las dos señales x() y h(t0-), multiplicamos las dos señales en cada valor
de , e integramos a lo largo de , para obtener el valor de la señal de salida en el instante t0, y(t0),
como muestra la Figura 83. Para valores de t inferiores o iguales a cero, las curvas no se
superponen, por los que la integral da cero. Para otros valores de t, la integral se limita al intervalo
(0,t].
Figura 83. Solución del primer quiz de esta clase
x()h(t-)
10tt-1
( ) ( ) ( ) 0 0 si 0y t x h t d d t
x()h(t-)
10 tt-1
0( ) ( ) ( ) si 0 1
t
y t x h t d d t t
x() h(t-)
10 tt-11
1( ) ( ) ( ) 2 si 1 2
ty t x h t d d t t
x() h(t-)
10 tt-1
( ) ( ) ( ) 0 0 si 2y t x h t d d t
y(t)
t0 1 2
h(t)
t0 1
x(t)
t0 1
0
x()
h(t-)
0
0 0
( ) 11 0
tt
t
y te d e t
t
0t
0
1
0
1/
y(t)
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Quiz 2. Hallar la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h[n]=u[n] cuando x[n]=anu[n] con
0<a<1.
Quiz 3. Hallar la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h(t)=t[u(t)-u(t-2T)] cuando
x(t)=u(t)-u(t-T).
Quiz 4. Hallar la salida de un sistema LTI al escalón unitario.
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10. Propiedades de la convolución. Clases de sistemas LTI
Es muy fácil verificar ciertas propiedades claves de la suma (o la integral) de convolución, a la que
denotaremos mediante la operación binaria *, donde los dos elementos en que opera son señales: la
señal de entrada al sistema y la respuesta al impulso del sistema.
1. La convolución es conmutativa:
[ ] [ ] [ ] [ ]
* *
( ) ( ) ( ) ( )
k m m n k
s t
x k h n k h m x n m
x h h x
x h t d h s x t s ds
Figura 84. La convolución es conmutativa
2. La convolución es distributiva
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*( ) * *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k
x k h n k h n k x k h n k x k h n kx h h x h x h
x h t h t d x h t d x h t d
Figura 85. La convolución es distributiva
3. La convolución es asociativa
2 1 2 1
1 2 1 2
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( * )* *( * )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m k k m
h x h t d d x h h t d d
x h h x h h
h m x k h n m k x k h m h n m k
Figura 86. La convolución es asociativa
Estás tres propiedades surgen, simplemente, porque los sistemas lineales e invariantes en el tiempo
constituyen una transformación lineal en el espacio vectorial de las señales. Por ejemplo, considere
el sistema LTI en tiempo discreto representado en la Figura 80 y en la Figura 81, 2
2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ], 2, 4k k
y n x k h n k x k h n k n
Si escribimos la anterior expresión para cada valor individual de n, obtenemos el siguiente sistema
de ecuaciones lineales:
x h y h x y
x h1+h2 y x
h1
h2
y+
x h1 x h1*h2 yh2 y
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[ 2] [0] 0 0 0 0
[ 1] [1] [0] 0 0 0 [ 2]
[0] [2] [1] [0] 0 0 [ 1]
[1] 0 [2] [1] [0] 0 [0]
[2] 0 0 [2] [1] [0] [1]
[3] 0 0 0 [2] [1] [2]
[4] 0 0 0 0 [2]
y h
y h h x
y h h h x
y h h h x
y h h h x
y h h x
y h
Se trata exactamente de una transformación lineal representada por una matriz. En la base canónica
de los impulsos unitarios desplazados, las columnas de la matriz corresponden a los
desplazamientos de la respuesta al impulso. En general, aunque la respuesta al impulso sea una
señal de duración infinita y aunque la señal de entrada sea una señal de duración infinita, la
representación matricial sigue siendo válida:
[ ], [ ] [ ],k
y n n x k h n k n y Hx
Con un esfuerzo de la imaginación, esta visión de los sistemas LTI como transformaciones lineales
se puede extender a los sistemas en tiempo continuo.
Esta observación trae consigo muchas consecuencias interesantes. Por lo pronto, notemos
simplemente que no cualquier señal se puede obtener de un sistema LTI sino solamente aquellas
señales que sean combinaciones lineales de los desplazamientos de su respuesta al impulso. Esto es,
cada sistema LTI genera un subespacio vectorial particular, VH. Un problema típico en
procesamiento digital de señales es el de determinar cuál sería la señal de entrada que haría que un
sistema lineal genere una señal particular. Si la señal que se quiere generar pertenece al subespacio
vectorial expandido por la respuesta al impulso del sistema, el problema tendrá al menos una
solución. De otra manera, el problema no tiene solución y deberemos buscar la mejor aproximación
de acuerdo con algún criterio particular. Por ejemplo, para minimizar el error cuadrado promedio
entre la señal deseada y la señal generada por el sistema LTI, deberemos proyectar la señal deseada
perpendicularmente sobre el espacio VH para encontrar la señal de entrada que mejor la aproxima.
En estos casos, el principio de ortogonalidad que veremos más adelante
, 0 Ny Hx Hz z conduce al planteamiento de las ecuaciones normales:
0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
, , , ,[0]
, , , ,[1]
, , , ,[ 1]
N
N
N N N N N
h h h h h h y hx
h h h h h h y hx
h h h h h h y hx N
donde 1 1
0 0
, [ ] [ ], , [ ] [ ]N N
i j j
n n
h h h n i h n j y h y n h n j
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 78
De otro lado, cuando decimos que conociendo la respuesta al impulso de un sistema LTI conocemos
su respuesta a cualquier otra entrada gracias a la convolución, queremos decir que la respuesta al
impulso nos dice todo lo que necesitamos saber de un sistema LTI. En efecto, todas las propiedades
que vimos para los sistemas en general, dependen exclusivamente de la respuesta al impulso cuando
se trata de sistemas LTI, como se muestra a continuación.
Sistema estático o dinámico: Un sistema LTI en tiempo discreto es estático si y sólo si h[n]=0
n0. En efecto, en ese caso {y[n] = h[0]x[n], nℤ}, que es la única manera en que un sistema LTI
en tiempo discreto pueda exhibir falta de memoria pues, si algún valor h[k] es diferente de cero para
k diferente de cero, la salida en el instante n dependerá de la entrada en el instante n-k mediante el
término aditivo h[k]x[n-k]. En tiempo continuo, la respuesta al impulso de un sistema LTI estático
debe ser otro impulso en el mismo instante, {h(t) = h0(t), tℝ}, pues ésta es la única manera de
que la salida en el instante t sólo dependa de la entrada en el mismo instante,
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d h x t
.
Sistema causal o no-causal: Si queremos que en la expresión [ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
no
participen valores futuros de x[], es necesario y suficiente tener h[n]=0 n<0. En efecto, en este
caso la suma de convolución, 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n
k k
y n h k x n k h n k x k
, sólo incluye valores
pasados y presentes de la señal de entrada. De la misma manera, para que un sistema LTI en tiempo
continuo sea causal es necesario y suficiente tener h(t)=0 t<0, pues entonces la integral de
convolución ( ) ( ) ( )t
y t x h t d
. sólo incluye valores pasados y presentes de la señal de
entrada. Por extensión, a las señales que cumplen esta propiedad se les denomina "señales
causales", aunque la causalidad sea una propiedad de los sistemas, no de las señales.
Sistema BIBO-estable o BIBO-inestable: Si la entrada es acotada, [ ] xx n M n , la salida
acotada requiere [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]x
k k k k
y n x k h n k x k h n k M h k h k n
, de
manera que si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, se puede garantizar la estabilidad
BIBO del sistema LTI. Sin embargo, esta condición no sólo es suficiente sino también necesaria:
Sea x[n]=signo(h[-n]), acotada mediante |x[n]|1. Entonces y[0] = k|h(-k)|, lo cual hace que la
condición propuesta sea también necesaria. De igual manera, un sistema LTI en tiempo continuo es
BIBO-estable si y sólo si ( )h t dt
.
Sistema invertible o no-invertible: Un sistema LTI con respuesta al impulso h es invertible si
existe otro sistema h-1 tal que h*h-1 = . En este caso, de acuerdo con la asociatividad de la
convolución, si y=x*h, x=y*h-1. Evidentemente, la existencia de un h-1 tal que h*h-1 = es una
propiedad de la respuesta al impulso h.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 79
Quiz: Considérese el siguiente sistema no lineal: 2 2[ ] [ ] [ 1]y n x n x n . ¿Cuál es la respuesta al
impulso? ¿Cómo responde a una señal de entrada que vale 2 cuando n=0, vale 1 cuando n=1 y vale
0 para cualquier otro instante n? ¿Cuál sería la correspondiente respuesta de un sistema LTI con la
misma respuesta al impulso? Concluya sobre cuánta información ofrece la respuesta al impulso para
sistemas lineales y no lineales.
Nótese que la respuesta al impulso de un sistema LTI causal en tiempo discreto puede durar un
tiempo finito o infinito. Si la respuesta al impulso es finita (FIR –Finite Impulse Response-), esto
es, si Mℕ: h[n]0 nM, la suma de convolución ofrece una forma directa de implementación
del sistema:
Figura 87. La suma de convolución es una manera directa de implementar un sistema FIR
En esta estructura, los términos de la respuesta al impulso se usan como coeficientes para ponderar
M muestras de la señal de entrada, por lo que a los sistemas así implementados se les denomina de
"promedios móviles" (MA –Moving Average-).
Sin embargo, en sistemas con respuesta infinita al impulso (IIR –Infinite Impulse Response-), la
suma de convolución no podría ser un algoritmo de implementación válido porque se necesitaría un
número infinito de términos en la "escalera" de la figura anterior. Por esta razón, no es posible
implementar cualquier respuesta IIR arbitraria, aunque muchas respuestas al impulso se pueden
implementar indirectamente mediante estructuras recursivas. En estas estructuras recursivas la
respuesta al impulso no está explícitamente definida, pero sí se representa de manera implícita a
través de los coeficientes de la recursión. Por ejemplo, el acumulador
0
[ ] [ ] [ ]n
k k
y n x k x n k
tiene una respuesta al impulso infinita, h[n]=u[n], lo cual imposibilita su implementación
directamente mediante la suma de convolución, esto es, mediante una estructura MA. Sin embargo,
no es necesario considerar una memoria infinita, pues el mismo sistema se puede expresar
recursivamente:
0 1 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [( 1) ] [ ] [ 1]k k k
y n x n k x n x n k x n x n k x n y n
1
0
[ ] [ ] [ ]M
k
y n h k x n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]x n
[ 2]x n
[ 1]x n M
[0]h
[1]h
[2]h
[ 1]h M
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 80
Figura 88. Algunos sistemas IIR, como el acumulador, se pueden implementar recursivamente
Generalizando el ejemplo anterior, un sistema recursivo puede ponderar de diferentes maneras cada
uno de los términos de la recursión, 1
0
[ ] [ ]N
k
k
a y n k x n
Bajo la suposición de que a0=1, con la cual no se pierde generalidad, dicho sistema recursivo se
puede implementar así:
Figura 89. Forma general de un sistema puramente recursivo
En este caso, como la salida se calcula a través de muestras anteriores de la misma salida que se
realimentan a la entrada, esta estructura se conoce como Auto-Regresiva (AR –autoregressive-).
Aunque la respuesta al impulso no está explícitamente descrita, como en el caso de los sistemas MA
donde la respuesta FIR está en los coeficientes, es fácil calcularla mediante la relación 1
0
[ ] [ ]N
k
k
a h n k n
La forma más general que toma un sistema LTI causal en tiempo discreto que se pueda implementar
es la de una Ecuación Lineal de Diferencias con Coeficientes Constantes: 1 1
0 0
[ ] [ ]N M
k k
k k
a y n k b x n k
Suponiendo, sin perder generalidad, que a0=1, la forma anterior sugiere una forma directa de
implementación:
[ ] [ ] [ 1]y n x n y n [ ]x n
Retardo
[ 1]y n
+
1
1
[ ] [ ] [ ]N
k
k
y n x n a y n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]y n
[ 2]y n
[ 1]y n M
1a
2a
1Na
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 81
Figura 90. Forma general de un sistema IIR
En el sistema anterior simplemente pusimos en serie un sistema AR después de un sistema MA, por
lo que este tipo de sistemas se conoce como sistema ARMA (Auto-Regressive, Moving-Average).
En este caso, los coeficientes de la parte MA ya no son la respuesta al impulso, pues ahora se trata
de un sistema IIR.
Nótese que, en tiempo discreto, la suma de convolución es un algoritmo directo de implementación
de los sistemas FIR. Esto no ocurre con sistemas en tiempo continuo, pues en ellos la misma
respuesta al impulso casi nunca se describe de manera explícita. De hecho, generalmente se
expresan las tasas de cambio de algunas variables en términos de los valores actuales de las mismas
variables. Por ejemplo, recordemos el circuito RC y la masa sometida a fuerzas de empuje y de
fricción que se mostraron en la Figura 19, los cuales se modelaban mediante el mismo sistema
lineal de primer orden mostrado en la Figura 20. Ese tipo de expresiones son típicos al describir
sistemas naturales en tiempo continuo. Por ejemplo, si una población de individuos de alguna
especie, y(t), crece según una tasa de natalidad por individuo, a>0, y decrece según una tasa de
mortalidad por individuo, b>0, podríamos escribir
( ) ( ) ( ) ( )a b
dy t ay t by t y t
dt
Si, además, hay un flujo neto de inmigración o emigración con respecto al ecosistema que se esté
considerando, x(t), el sistema se modificaría así:
( ) ( ) ( )d
y t y t x tdt
que es, fundamentalmente, el mismo sistema lineal de primer orden:
Figura 91. Modelo simple de crecimiento poblacional. Es un sistema LTI, pero la respuesta al impulso, h(t)=et, no
aparece explícitamente en la descripción del sistema
Nótese que otro diagrama de bloques para el mismo sistema, que implementa más directamente el
anterior modelo, incluiría la evaluación de la derivada, como se muestra en la siguiente figura. Sin
embargo, se suele preferir utilizar integradores para hacer los sistemas más inmunes al ruido, como
se muestra a continuación.
1 1
0 1
[ ] [ ] [ ]M N
k k
k k
y n b x n k a y n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]x n
[ 2]x n
[ 1]x n M
0b
1b
2b
1Mb
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]y n
[ 2]y n
[ 1]y n N
1a
2a
1Na
x(t) y(t)
+
+
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 82
Figura 92. El mismo modelo de crecimiento poblacional, pero usando un diferenciados. Esta implementación no es
común por su sensibilidad al ruido
Figura 93. Derivar es una operación mucho más sensible al ruido que integrar
En general, una forma típica en que se representan los sistemas en tiempo continuo es mediante
relaciones puramente autoregresivas, ( )1
( )0
( ) ( )kN
k kk
dx t a y t
dt
, que se pueden implementar mediante
diferenciadores así,
Figura 94. Sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo
aunque se prefiera el uso de integradores, así:
x(t) y(t)
d/dt
1/-
+
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6
-0.5
0
0.5
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-5
0
5
d
dt
d
dt
-1
( )x t+
+
+
1 0/a a
2 0/a a
1 0/Na a
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
( )d
y tdt
2
2( )
dy t
dt
1
1( )
N
N
dy t
dt
( )y t01/ a
Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 83
Figura 95. El mismo sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo de la figura anterior
Generalizando, una clase importante de sistemas LTI en tiempo continuo obedecen a una Ecuación
Lineal Diferencial con Coeficientes Constantes,
( ) ( )1 1
( ) ( )0 0
( ) ( )k kN M
k kk kk k
d da y t b x t
dt dt
Que se podría implementar, al menos teóricamente, como se muestra a continuación:
Figura 96. Forma general de un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo descrito mediante
una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes
x(t) y(t)+
+
+++
11/ Na
0 1/ Na a 1 1/ Na a 3 1/N Na a 2 1/N Na a
1 1
0 1
( ) ( ) ( )k kM N
k kk kk k
d dy t b x t a y t
dt dt
( )x t
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
+
+
+
( )d
x tdt
0b
1b
2b
1Mb
+
+
+
1a
2a
1Na
2
2( )
dx t
dt
1
1( )
M
M
dx t
dt
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
( )d
y tdt
2
2( )
dy t
dt
1
1( )
N
N
dy t
dt