1

Computergestützte Verifikation

28.6.2002

2

Beispiel für Shape-Analysis

Insert in Liste:

x : nichtleere Liste x

malloc(y) xy

y -> n = x xy

x = y xy

Coarsening xy

3

Beispiel statisch

1 read(n);2 i := 1;3 sum := 0;4 product := 1;5 while i <= n do6 sum := sum + 1;7 product := product * i;8 i := i + 1; end9 write(sum);10 write(product);

(product,10)

1 read(n);2 i := 1;

4 product := 1;5 while i <= n do

7 product := product * i;8 i := i + 1; end

10 write(product);

4

9. Sonstiges

Ziel: In einigen weiteren Domains Tragfähigkeit dergelernten Konzepte testen

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9.1 Hybride Systeme

hybrid = kontinuierliche + diskrete Variablen

Hybrider Automat:

Einlaufen Auslaufen

h>= max

h <= minh’ [ -0.5,0.7]h’ [ -0.8,0.9]

(Der hier ist ein linearer Automat: x’ [c1,c2])

6

Verifikation linearer hybrider Automaten

geometrische Abstraktionen, z.B. Polyeder – analog Zonen

mehrere andere geometrische Formen, u.a. Ellipsen

Tool:HyTech (Berkeley)

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Verifikation allg. hybrider Automaten

numerische Verfahren Fehlerbetrachtung notwendig

Tool: CheckMate (CMU)

“Flowpipe”1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4 3,6,7

8

9.2 Kompositionale Verifikation

System in Komponenten zerlegen

Komponenten verifizieren

Eigenschaft des Gesamtsystems schlußfolgern

Assume-Guarantee-Reasoning

9

Komponierte Systeme

Interessant vor allem: parallele Komposition

Komponente = Transitionssystem (mit benannten Aktionen)

Parallele Komposition S1 || S2:

S = S1 x S2

Übergänge: synchronisiert, wenn Aktion in A1 A2, sonst allein

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Assume-Guarantee

{} S {}

, z.B. aus LTL-X

heißt: Jeder Pfad, der erfüllt und in S möglich ist,erfüllt .

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Eine Kompositionsregel

unglaublich, aber wahr:

{} S1 {}{} S2 {}____________{} S1 || S2 {}

Grund: Jeder Pfad in S1 || S2 ist auch in S1 möglich

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Problem: Zyklen

Mit || kann man keine ringförmige Argumentation aufbauen,und Assume-Guarantee in Ringen taugt nix

Aus {i} Si {(i+1) mod k}

folgt nichts für Gesamtsystem

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Invarianten in Systemen mit Zyklen

Wenigstens geht Verifikation von Invarianten (G ) auch in ringförmigen Systemen

{i} Familie von Formeln mit Halbordnung

Zeigen für alle j,k in Komponenten:Ausi gilt bis Schritt k, falls i i

- i gilt bis Schritt k-1, sonstfolgt - j gilt in Schritt k

Dann gilt G (1... n ) im Gesamtsystem

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9.3 Parametrisierte Systeme

Unendliche Familie gleich strukturierter Komponenten(z.B. Ring mit beliebig vielen Komponenten)

Wollen Resultat, das für jede Instanz gilt

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Induktion

A) gilt für System mit 0 oder 1 Komponente Model Checking

I) Wenn für System mit max. k Komponenten, so auch mit k+1 Komponenten

kompliziert. Meist manuell.z.B.:Versuche, 2 oder mehr Komponenten derart zu abstrahieren,daß sich Resultat wie 1 Komponente verhält

.... .....

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Small Model Properties

Viele Logiken, auch temporale, haben Eigenschaftender Form

Wenn in irgendeinem Modellgilt, so gibt es auch ein Modell der Größe k, wo gilt.

k z.B. Anzahl der freien Variablen in

Parametrisiertes Problem kann auf endlich viele Model Checking Probleme reduziert werden

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9.4 Security-Protokolle

Betrachten nicht: Verschlüsselung/Entschlüsselung,

sondern vor allem: Verbindungsaufbau, Authentifizierung,...

“Perfekte Verschlüsselung”= Inhalt einer verschlüsselten Nachricht ist ohne Schlüssel nicht verfügbar

“Begrenzter Zufall”= Wenn eine Zufallszahl (“Nonce”) Bestandteil einer verschlüsselten Nachricht ist, gibt es keine Möglichkeit, den Wert dieser Zahl zu ermitteln, als die Nachricht zu entschlüsseln.

Beide Annahmen falsch, aber sinnvoll.

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Beispiel 1

Austausch geheimer Information NA, NB (z.B. Session Key)

A B

{A,NA}PKB

{NA,NB}PKA

{NB}PKB

Attacke:

A B

{A,NA}PKB

{NA,NC}PKA

{NC}PKB

C

{A,NA}PKC

{NA,NC}PKA

{NC}PKC

C glaubt, mit Azu kommunizieren,anstatt mit B

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Beispiel 2

A B: AB A: NB

A B: {NB}KAS

B S: {A,{NB}KAS}KBS

S B {NB}KBS

Attacke:

C B : A C B: CB A(C): NB

B C: NB’C B: {NB}KCS

C B: {NB}KCS

B S:{A,{NB}KCS}KBS

B S: {C,{NB}KCS}KBS

S B:{NB}KBS

S B: error

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Elemente von Security-Protokollen

Teilnehmer (A,B, Server, Intruder,....)Kanäle (unsicher, d.h. Intruder kann abfangen, selbst senden usw.)Inhalte (Daten, Nonces, Timestamps)Schlüssel (symmetrisch oder asymmetrisch)Verschlüsselte Nachrichten { ... }K

Ableitbares Wissen:1. Jede gesendete Nachricht2. { bla }K + K bla3. bla + K { bla }K

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Model Checking

Zustand: -ehrliche Teilnehmer + Abarbeitungszustand-Intruder, evt. personifiziert als ehrlicher Teilnehmer + abgeleitetes Wissen-1 oder mehrere Protokollinstanzen

Übergänge:ehrliche Agenten: laut ProtokollIntruder: beliebiger Nichtdeterminismus, außerAnnahmen nach perfekter Verschlüsselung, nach jedemSchritt Abschluss bzgl. ableitbarem Wissen

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Alternative: Modale Logik

“A glaubt ”

“Wenn A glaubt, Nachricht M kommt von B, dannkommt Nachricht M von B”

Beweissysteme, “SPI-Calculus”,spezifische Model Checker für solche modalen Logiken

Andere Typen von Attacken brauchen andereVerifikationstechniken, z.B. Denial-of-Service

E-Commerce: “A glaubt ” reicht nicht, stattdessen: “A kann Dritten gegenüber nachweisen”

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9.5 Worst-Case-Execution-Time-Analyse

geg: Programm, Prozessor, Taktfrequenz

ges: max. Abarbeitungszeit T: jede Ausführung braucht garantiert nicht länger als T T möglichst klein

Probleme im Low-Level und im High-Level-Bereich

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Low-Level Probleme

-Pipelining-Pre-Fetch, Branch-Prediction-Instruction Cache, Datencache

nicht unbedingt unser Problem, aber es gibt z.B.zur Cache-Analyse Ansätze, die auf Abstract Interpretationberuhen

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High-Level Probleme

Wie oft werden Schleifen durchlaufen?

if B1 then {7 ms} else {5 ms} end; if B2 then {8 ms} else {3 ms} end;

Max. 15? Nur wenn B1 B2 erfüllbar

Model Checking könnte helfen, High Level-Probleme zu lösen.

(in etablierten Tools werden max. Durchlaufzahlen vomNutzer vorgegeben)

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Model Checking für HL-WCET

geg.: WCET für Basic Blocks (verzweigungsfreie Teile) aus LL-WCET Analyse

Programm annotieren:

wcet := 0...if B then wcet += k1; ... else wcet += k2; ... end...while B do wcet += k3; ... end...

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...

while-Schleifen k Iterationen abwickeln, k+1-te Iteration mitLabel L markieren.Programm zu SAT-Checker schicken:

- falls EF L erfüllbar, k vergrößern

- Per Binärschachtelung kleinstes T finden, wo AG wcet < T gilt

Ausgabe T