1 Finansal Matematik

1. BASİT

FAİZ

1. Faiz Hesapları

1.1 Basit Faiz

1.1.1 İki tarih arasındaki zaman

1.1.2 Paranın Zaman Değeri

1.2 Denk ödemeler için odak noktası

1.2.1 Taksitli Ödemeler

1.3 Basit İskonto

1.3.1 İskonto oranına denk faiz oranı

1.4 Senetler (Tahvil ve Bono)

2 Finansal Matematik

1. Faiz Hesapları Kapital olarak bir ana paranın belli bir süre ile başkası tarafından kullanılması karşılığı, kapital sahibine ödenen kira

gibi düşünülebilir.

Faizi etkileyen faktörler;

C : Kapital veya anapara miktarı (Capital)

C0 : Anaparanın şimdiki değeri

Cn : Anaparanın n dönem sonraki veya birikmis deg eri (n. devre sonu)

I : Anaparadan elde edilen faiz miktarır (Interest)

r : Yıllık faiz yüzdesi (interest rate)

t : Ana paranın faiz için kullanılma süresi (time)

Kapitalin tüm devreler boyunca sabit tutulup tutulmaması bakımından iki metod vardır,

Basit faiz

Bileşik faiz

Diğer taraftan, faiz miktarının devre başında veya devre sonunda kapital sahibinin eline geçmesi bakımından da iki

metod vardır,

Devre başı ele geçen faiz, (difere faiz)

Devre sonu ele geçen faiz, (antisipe faiz)

Bu iki sınıflama göz önüne alınırsa, faiz hesaplamalarında 4 farklı metod olduğu görülür.

Bunların dışında, basit faiz hesaplamasında yılın 360 veya 365 gün olarak ele alınması bakımından, normal (pratik)

pratik yıl veya tam (gerçek) yıl faiz olmak üzere iki çeşit faiz süresi kullanılır.

Teorik faiz : Basit faiz hesaplamalarında, kapitalin süre sonunda, ancak faiz tutarının devre sonlarında ödenmesi

halidir.

1 2 … n-2 n-1 n Süre sonu zaman/devre

C0 C0+I C0+I C0+I C0+I C0+I

C0 : devre başı kapital

Cn : n. devre sonu kapital

C0 anaparasının belli bir zaman sonra Cn toplamına erismis ise

elde edilen faiz

I = Cn –C0 formülü ile hesaplanır.

3 Finansal Matematik

1.1. Basit Faiz

Bir C0 anaparasından bir yıl sonra I faiz elde edilmiş ise, bu işlemde geçerli olan

yıllık basıi faiz oranı r = I/C0 dır.

bir yıllık basit faiz tutarı I = C0 . r olur.

Faiz isleyen zaman yıl yerine, yıllar, aylar veya günler oldug unda basit faiz hesabında,

t yıl cinsinden zamanı göstermek üzere, bir C0 anaparası üzerinden yıllık r basit faiz oranından t yılda elde edilecek

basit faiz

I = C0.r.t (t = yıl sayısı) t= 1,2,… veya t=ay sayısı/12 veya t=gün/360(veya365)

formülleri kullanılır. Cn = C0 + I = C0 + C0.r.t = C0.(1 + r.t)

(1 + r.t) çarpanına basit faizde birikme çarpanıdır.

C0 = Cn.(1 + r.t)−1

(1 + r.t)−1 çarpanına basit faizde iskonto (=indirim) çarpanı denir.

Bu durumda C0 deg erine, Cn’nin r oranından t yıl için iskontolu veya simdiki deg eri denir.

NOT : t zamanı daima yıl cinsinden olmalıdır.

Eg er zaman ay olarak verilmisse

t = ay sayısı/12 ti = i/12

olarak belirlenir. Eg er zaman gün olarak verilmisse tam ve basit olmak üzere iki basit faiz hesabı yapılır:

1) Tam yıl Basit Faiz t = gün sayısı /365 alınır

2) Normal yıl Basit Faiz: t = gün sayısı / 360 alınır Uygulamada, Mevduat faizi 365 gün kredi faizi 360 gün üzerinden hesaplanır. Ayrıca kredide çekilen tutara aynı gün yatan tutara bir sonraki iş günü valör verilir. Bunun mantığı da paranın kullanımı ile ilgilidir, yani paranın kullanıma bir gün sonra hazır olması ile ilgilidir.

Örnek 2000 TL için % 5 ten 50 günlük tam yıl ve normal yıl basit faizi bulunuz.

C0 = 2000 TL r = 0,05

Tam yıl basit faiz : t= 50/365 I = C0 r t = 2000.(0,05). 50/365 = 13,70 TL

Normal yıl basit faiz : t= 50/360 I = C0 r t = 2000.(0,05).50/360 = 13,89 TL

4 Finansal Matematik

1.1.1. İki Tarih Arasındaki Zaman

Verilen belirli iki tarih arasında tam ve yaklasık olmak üzere iki zaman hesabı yapılır:

1) Tam Zaman: Bir takvim yardımıyla günlerin sayısı tam olarak sayılır.

(Uyarı: Verilen baslangıç ve bitis tarihlerinden yalnızca biri toplama dahil edilir, ikisi birden dahil edilmez)

2) Yaklasık Zaman: Her bir ayın 30 gün oldug u kabul edilir. Örnek . 20 Haziran 2017 ile 24 Ag ustos 2017 arasındaki tam ve yaklas ık zamanı bulunuz.

tam zaman: 10 gün Hazirandan + 31 gün Temmuzdan + 24 gün Ag ustostan. Toplam: 10+31+24=65 gün

2017 : 8 : 24

yaklasık zaman= - 2017 : 6 : 20 ⇒ 2 ay 4 gün= 2.30+4=64 gün.

0 : 2 : 4

Örnek . 20 Nisan 2017’de bankaya % 6 faiz oranıyla yatırılan 2000 TL nin 1 Temmuz 2017 tarihinde getirdig i tam ve normal

faizi

a) tam zaman

b) yaklas ık zaman kullanarak hesaplayınız.

tam zaman= 10 gün Nisandan + 31 Mayıstan + 30 Hazirandan + 1 Temmuzdan= 72 gün

2012 : 7 : 1

yaklasık zaman= - 2012 : 4 : 20 ⇒ 2 ay 21 gün= 2(30)+21=71 gün. 0 : 2 : 11

a) Tam Zaman ve Tam Faiz I = 2000.(0,06).(72/365) = 23,67 TL

Tam Zaman ve Normal Faiz I = 2000.(0,06).(72/360) = 24,00 TL

b) Yaklasık Zaman ve Tam Faiz I = 2000.(0,06).(71/365) = 23,34 TL

Yaklasık Zaman ve Normal Faiz I = 2000.(0,06).(71/360) = 23,67 TL

Uyarı: Aksi belirtilmedilçe Tam zaman ve normal faiz (Banker Kuralı) ile hesap yapılacaktır.

5 Finansal Matematik

1.1.2. Basit Faizde Paranın Zaman Deg eri I

C0(1+rt)-1 C0 Cn(1+rt)

geçmiş zaman şimdiki zaman

gelecek zaman

t yıl t yıl

Örnek t=9 ayda r=% 6 basit faiz ile Cn = 1500 TL olacak bir birikimin s imdiki deg eri (C0) nedir?

t9 = 9/12 C0 = Cn.(1 + rt)−1=1500./[1+0,06.(9/12)]-1 =1435,41 TL

6 Finansal Matematik

1.2. Denk Ödemeler için Odak Noktası Paranın deg erinin hesaplanacag ı zamana, zaman semasında odak noktası denir. Örnek . Bir tüketicinin aldıg ı borcu ödemesi için iki seçeneg i var olsun.

Birinci seçenek: 5 ay sonra 2000 TL ve 10 ay sonra 3000 TL ödemek,

I kinci seçenek: 3 ay sonra C3 = X TL ve 6 ay sonra C6 = 2X TL ödemek.

Her iki seçenek de birbirine denk ve paranın deg eri (enflasyon, faiz vs.) % 12 ise X deg erini odak noktalarını 6.ay ve 3.ay alarak bulup, sonuçları kars ılas tırınız.

Odak noktası 3.ay olarak alınırsa:

C3 = X C5=2000 C6 = 2X C10=3000

C5(1+rt5-3)-1 + C10(1+rt10-3)

-1 = X + 2X(1+rt6-3)-1

2000.[1 + 0, 12.(5-3)/12]−1 + 3000[1 + 0, 12.(10-3)/12]−1 = X + 2X[1 + 0, 12.(3/12)]−1

1960, 78 + 2803, 74 = X + 1, 9417476.X =⇒ 4764, 52 = 2, 9417476.X =⇒ X = 1619, 62 TL Odak noktası 6. ay olarak alınırsa :

C5(1+rt6-5) + C10(1+rt10-6)-1 = X(1+rt6-3) + 2X 2000[1 + 0, 12.(6-5)/12] + 3000(1 + 0, 12.(10-6)/12]-1 = X[1 + 0, 12.(3/12)] + 2X

2020 + 2884, 62 = 1, 03X + 2X ⇒ X = 1618, 69 TL Dikkat edilirse, odak noktası 3.ay oldug unda X = 1619, 62 TL, 6.ay oldug unda X = 1618, 69 TL bulunmustur.

Yani farklı deg erler bulunmustur. S u halde basit faizde odak noktası deg isince hesaplanan deg erler farkılılık gösterebilir,

ancak ileride göreceg imiz gibi bilesik faizde odak noktasının önemi yoktur. Bu nedenle basit faiz ile yapılan finansal

islemlerde odak noktası önceden bellidir.

7 Finansal Matematik

1.2.1. Taksitli Ödemeler

1) Tüccar Kuralı: Tüm taksitler ve ana borç, borcun bitim tarihine faizlenir (odaklanır).

2) Banka (Amerikan) Kuralı: Her taksitten sonra ödenmemis geriye kalan kısım bir sonraki taksit zamanına

faizlenir. Eg er o taksidin bedeli hesaplanan faizden çok ise ödeme yapılır ve geriye kalan kısım bir sonraki taksit

zamanına faizlenir, eg er o taksidin bedeli hesaplanan faizden az ise o taksit ödenmez ve o ödeme bir sonraki taksit

ile birlikte hesaba katılır.

Örnek Bir tüketici 15.1.2011’de % 16 dan 1000 TL borç aldı. 12.4.2011’de 350 TL, 10.8.2011’de 20 TL ve

3.10.2011’de 400 TL ödedi. 1.12.2011’de borcu kapatmak için ödeyeceg i bedeli

a) Tüccar Kuralı

b) Banka ( Amerikan) Kuralı ile hesaplayınız.

a) Tüccar Kuralı:

X + 400.[1 + 0, 16.(59/360)] + 20.[1 + 0, 16.(113/360 )] + 350.[1 + 0, 16.(233/360)] = 1000.[1+0.16.(320/360 )]

⇒ 1142, 22 = X + 410, 49 + 21, 00 + 386, 24 ⇒ X = 324, 49 TL.

b) Banka (Amerikan) Kuralı:

1000 TL için 87 günlük faiz: 1000. 0, 16. (87/360) = 38, 67 TL

12.4.2011’deki toplam borç: 1000 + 38, 67 = 1038, 67 TL

12.4.2011’de 350 TL’lik ilk taksit ödenince kalan borç: 688, 67 TL

688, 674 TL için 120 günlük faiz: 688, 67.(0, 16). (120/360) = 36, 73 TL, taksit ise 20 TL, 20 < 36.73 oldug undan 20 TL’lik taksit ödenmez, sonraki taksite katılır.

688,67 TL için 174 günlük faiz: 688, 67.(0, 16). (174/360) = 53, 26 TL

3.10.2011’deki toplam borç: 688, 67 + 53, 26 = 741, 93 TL, 400 + 20 = 420 TL ödenince geriye kalan borç: 321, 93 TL 1.12.2011’deki borç X = 321, 93.[1 + 0, 16 (59/360 )] = 330, 37 TL.

• 1.3. Basit I skonto

Borçlanma islemelerinin çog u paranın simdiki deg erinden çok gelecekteki deg eri dikkate alınarak yapılır. Gelecekteki

bir Cn deg eri üzerinde t yılda d iskonto oranından yapılan D basit iskontosu (ya da banka iskantosu)

D = Cn.d.t

formülü ile hesaplanır. D : Basit iskonto deg eri,(Discount) Cn : Birikmis deg er veya gelecekteki deg er veya vade deg eri, d : Basit iskonto oranı, (discount rate) t : Zaman. Alınan borcun simdiki C0 deg eri, borcun gelecekteki Cn deg eri ile yapılan iskonto olan D deg eri arasındaki fark oldug

una göre borcun simdiki deg eri ya da dig er bir deyisle Cn’nin iskontolu deg eri asag ıdaki formül ile hesaplanır:

C0 = Cn − D = Cn − (C n d t) = C n(1 − dt) ⇒ C0 = C n(1 − dt) .

Dikkat edilirse Cn – C0 farkına hem I faizi hem de D iskontosu olarak bakmak mümkündür. Bu durumun

karısıklık yaratmaması için faizin simdiki C0 deg eri üzerinden hesaplandıg ını, iskontonun ise gelecekteki Cn deg

eri üzerinden hesaplandıg ını unutmamak gerekir.

1.3.1. I skonto Oranına Denk Faiz Oranı

Örnek . Bir yıl sonra ödenecek 1000 TL’nin s imdiki deg erini

a) % 12,5 basit faiz oranından

b) % 12,5 basit iskonto oranından heaplayınız.

a) r = %12, 5, Cn = 1000 TL, t = 1 ⇒ C0 = C n(1 + rt)−1 = 1000(1 + 0, 125.1)−1 = 888, 89 TL

b) d = %12, 5, Cn = 1000 TL, t = 1 ⇒ C 0 = C n (1 − dt) = 1000(1 − 0, 125.1) = 875 TL

Açıklama : 0 n

r = %12,5 C0 = 87,5 Cn=C0 (1 + rt)=C0+rtC0 r değeri C0 ‘ın %si

d = %12,5 C0= Cn (1 - dt) = Cn-dtCn =888,89 d değeri Cn ‘in %si

Bir malın kdv siz değerinden kdv li değerini hesaplamaktaki oran ile kdv li değerinden kdv

siz değerini hesaplamaktaki oran farkı gibi.

Yukarıdaki örnekten anlasılacag ı üzere aynı oranlardan hesaplanan simdiki deg erler arasında fark vardır, iskonto

oranı ile hesaplanan deg er faiz oranı ile hesaplanan deg erden daha azdır. Bu durumda basit iskonto oranına denk

olan basit faiz oranının bulunması karsılastırma yapmak açısından faydalı olacaktır.

Elimizdeki Cn = C0 (1 − dt)−1 ve Cn = C0 (1 + rt) formüllerinden yararlanarak, basit faizin oranının r oldug u bir

durumda t yıl için buna karsılık gelen d basit iskonto oranı:

1

1 − dt

= 1 + rt ⇒ d =

r

1+ rt

bulunur, benzer biçimde basit iskonto oranının d oldug u bir durumda t yıl için buna karsılık gelen r basit faiz oranı:

bulunur.

1

1 − dt

= 1 + rt ⇒ r =

d

1 − dt

Örnek . 5 ay sonra ödenecek 1000 TL’nin % 12 basit faiz oranından bugünkü deg erini, basit iskontoyu ve basit iskonto

oranını bulunuz.

Cn = 1000 TL , r = 0, 12 , t = 5/12

C 0 = Cn.(1 + rt)−1 = 1000.[1+0,12(5/12)]-1 = 952,38

D = Cn – C0 = 1000 − 952, 38 = 47, 62 TL

D = Cn d t ⇒ d = D/(Cnt)=47,62/[1000.(5/12)] = 0, 114288 ≈ %11, 43

ya da d =

r

1 + rt

0, 12 = 1 + 0, 12.( 5/12)

= 0,114285 ≈ %11, 43

360

Örnek . Bir banka kısa süreli borçlanmalarda d = 0, 11 basit iskonto oranından borç vermektedir. Buna göre

a.) 90 gün için 900 TL,

b.) 3.5.2012’den 15.10.2012’ye kadar 1500 TL isteyen bir müsteriye banka ne kadarlık ödeme yapar?

a) Cn = 900 TL, d = 0, 11, t = 90 ⇒ C0 = Cn(1 − dt) = 900.(1 − 0, 11. 90 ) = 875, 25 TL

b) Verilen iki tarih arasındaki günlerin sayısı

May Haz Tem Ag u Eyl Ekim

28 +30 +31 +31 +30 +15 =165 gün

Cn = 1500 TL, d = 0, 11, t = 165 ⇒ C0 = Cn(1 − dt) = 1500(1 − 0, 11. 165 ) = 1424, 38 TL 360 360

C0.t

1.3. Senetler (Tahvil ve Bono)

Borçlu tarafından belli bir miktar paranın faizli ya da faizsiz belirli bir tarihte (=vade tarihi) borç veren kisiye ya da

belli birinin emrine ödenmek üzere hazırlanmıs ve borçlu tarafından imzalanmıs kıymetli evraklara senet ya da bono

denilir.

Örnek. A, B’den 1500 TL borç alsın ve bunun karsılıg ında B’ye bu parayı 90 gün sonra %8 basit faizden

ödeyeceg ine dair 11.5.2017’de bir senet imzalasın.

a) Bu senedin üzerinde yazılı olan vade deg eri nedir? b) B, 2.7.2017’de (vadesinden önce) bu senedi bir bankaya %9 banka iskontosu ile satsa (kırdırsa) ne kadar para alır?

B’nın bu islemler sonucunda yaptıg ı yatırımdan elde ettig i faiz oranı nedir? Eg er banka senedi, vade sonuna kadar elinde

tutarsa yaptıg ı yatırımın faiz oranı ne olur?

a) C0 = 1500 TL, t = 90 , r = 0, 08 ⇒ Cn= C0 (1 + rt) = 1500.(1 + 0.08. 90 ) =1530 TL 360

b) C0 = Cn(1 − dt) = 1530.(1 − 0.09.(38/360) ) = 1515, 46 TL

I = 1515, 46 − 1500 = 15, 46 TL, I = C0 r t ⇒r = I = 15,46

11500(52/360)

≈ %7, 14

Banka senedi 1515,46 TL’ye aldı, yani banka için C0 = 1515, 46 TL ve senedin vade deg eri Cn = 1530 TL olur. Bu durumda I = Cn – C0 = 1530 − 1515, 46 = 14, 54 TL olup ilgili faiz oranı

r=I/C0t = 14,54/[1515,46/(38/360)] ≈ %9.09 olarak bulunur.

Tahviller ve Bonolar Devlet veya özel sektör (anonim sirket) tarafından ödünç para bulmak amacıyla, vadesi bir yıldan kısa olarak çıkarılan ve

iskontolu olarak islem gören borçlanma senetlerine Hazine Bonosu veya Özel Sektör Bonosu denilmektedir. Eg

er vade 1 yıl veya daha uzun olursa bu durumda bu senetler Devlet Tahvili veya Özel Sektör Tahvili olarak

adlandırılırlar. Tahviller, vadeleri en az 1 yıl olmak kosulu ile serbestçe belirlenebilir ve sabit ya da deg isken faizli

olarak ihraç edilebilirler. Genellikle bir veya birkaç aracı kurulustan olusan bir konsorsiyum aracılıg ıyla satısa

sunulurlar. Borçlu olan devlet ya da özel sektör senet sahiplerine kupon ödeme tarihlerinde ve vade sonunda borçlu

olduğu tutarı öder. Bu senetler vadeleri süresince ikincil piyasalarda alınıp satılabilirler.

Örnek . Bir banka ihraç ettig i 1.000.000 TL’lik bir bonoya 91 gün için 968,230 TL teklif vermektedir. Eg er verilen

fiyat teklifi kabul edilirse bankanın uyguladıg ı

c) Basit iskonto oranını,

d) Basit faiz oranını bulunuz. a) Cn = 1000000 TL, t =91/360 , C0 = 968,230 TL ⇒ D = Cn – C0 = 1,000,000 – 968,230 = 31,770 TL

D=Cn.d t d = D/(Cn t)=31770/(1.000.000(91/360))=0, 125683516 ≈ %12, 57

b) r = d/(1-dt)=0,125683516/[1- 0,125683516x(91/360)]=0,12981≈ %12, 98

ya da I = Cn – C0 = 31770 TL r = I/(C0 t) = 31770/(968230(91/360))=0,129807501≈ %12, 98

Özet

Basit Faiz I = C0.r.t

I = Cn –C0

Cn = C0 + I

Cn= C0 + C0.r.t

Cn = C0.(1 + r.t)

C0 = Cn.(1 + r.t)−1

Biriktirme çarpanı (1 + r.t)

Basit İskonto D = Cn.d.t

İskonto oranına denk faiz oranı 1/(1-dt) = (1 + rt)

d= r/(1+rt)

r=d/(1-dt)

Alıstırmalar

• %10 basit iskonto oranından 3 ay sonra ödenecek olan 1500 TL’lik borcun iskonto- sunu ve simdiki deg erini

hesaplayınız.

• %10,5 iskonto oranından 120 gün için 568,30 TL üzerindeki iskontoyu ve simdiki deg eri bulunuz.

• Bir kisi borç verdig i 6 ay için %12 oranında faiz elde etmek istiyor, bu kisi borç verirken hangi iskonto

oranını kullanmalıdır?

• 15 Kasım 1992 tarihinde Epsilon Yazılım S irketi’nin elinde 1200 TL’lik bir senet vardır. Senedin vade

tarihi 15 Mayıs 1993 ve geçerli faiz oranı %16 olsun. Eg er Epsilon Yazılım S irketi bu senedi 30 Ocak 1993

tarihinde bir bankaya %15 iskonto ile satarsa, bankadan alacag ı para ne kadar olur?

• Bir kisi ya %12,25 faiz oranından ya da %12 iskonto oranından borç almak zo- runda ise hangisini tercih

etmelidir?

• 72 günlük 10000 TL’lik bir senet 12 gün sonra %9 iskonto ile yine 10000 TL’ye satılmıs ise senetin

islem gördüg ü faiz oranı nedir?

• 2000 yılında 6700 TL’yi % 8’den bankaya yatıran bir kisi, 2057 yılında parasını çekerse bu yatırımdan elde edeceg i faiz mikatını ve parasının birikmis değerini bulunuz.

• Cep telefonu almak isteyen bir alıcıya, satıcı ya pesin 1000 TL ya da 6 ay sonra 1050 TL ödeme seçeneg i

sunmus olsun, paranın deg erinin % 6 oldug u biliniyorsa, alıcı hangi seçeneg i tercih etmelidir, neden?

• % 12,5’den aldıg ınız 100 TL borcun 200 TL deg erine erismesi ne kadar zaman alır?

• Paranın deg erinin % 10 oldug u bir zaman diliminde, 6 ay sonra 25000 TL ve 1 yıl sonra 20000 TL gelir getirecek olan 40000 TL’ye satın alınmıs simdiki deg eri nedir?

bir yatırımın

• Ahmet Bey 9 ay sonra ödenmek üzere Osman Bey’den % 15 oranından 2000 TL’lik senet almıs

ancak 3 ay sonra bu senedi Murat Bey’e satmıs

olsun. Murat Bey

bu alısveristen % 18 oranından gelir elde etmeyi bekledig ine göre, Ahmet Bey bu senedi Murat Bey’e

kaça satmıstır?

• A sirketinin 15 Ocak 1997 tarihinde B sirketine 3000 TL borcu var olsun. A sirketi 15 Nisan

1997’de 1000 TL ve 15 Ekim 1997’de 1500 TL borç ödemesi yapmıs ise 15 Ocak 1998 tarihinde

B sirketine ne kadarlık bir ödeme yaparsa borcunu ka- patmıs olur? Sonucu a) Tüccar Kuralı, b)

Amerikan Kuralı kullanarak ve geçerli faiz oranını % 16 alarak hesaplayınız.

•