1

トランスバーサル等化器

デジタルマイクロ波通信方式において、伝送路で発生する波形ひずみは、非常に大きな

課題である、この伝送路における波形ひずの線形等化の手段として、トランスバーサル等

化器は有効である。ここでは、その基本原理を等価ベースバンド系により説明し、さらに

実現方法をベースバンド等化器と Passband（中間周波数帯）等化器について説明する[1]。

（[1]本資料の説明の基本的事項は、NECが COMSAT研究所へ提出した Proposalに記載

された渡辺孝次郎氏による解析を参照している。但し、本資料の文責は、野口にある。）

１．等価ベースバンド系による説明

取り扱う伝送路モデルを図１に示した。図１において、伝送路の出力信号は、式(1)で

表すことができる。

AnX − n

∞

n=−∞

・・・・・(1)

また、k番目の１サンプル出力は、式(2)で表すことができる。

Bk = AnXk, −n

∞

n=−∞

・・・・・(2)

ここで、

{An} = 伝送路への入力データ列（複素定数列）

X(t) = 伝送路の等価ベースバンドのインパルスレスポンス（複素信号）

X-n ≜ X(t-nT)

Xk,-n ≜ X(t0+kT-nT)

CX

(Channel) (TransversalFilter )

G

B

Y{An}

図１ 等価ベースバンドモデル

もし、図１において伝送路(X)とトランスバーサルフィルター(C)の合成等価ベースバンド

モデル(G)のインパルスレスポンスを G(t)とすると、G(t)は式(3)で与えられる。

2

Gn = CmX − n − m

M

m=−M

・・・・・ 3

ここで、

{Cm}=トランスバーサルフィルターのタップ係数（複素数）m=-M～M

Gn ≜ G(t-nT) ・・・・(4)

トランスバーサルフィルターの出力は、次のように与えられる。

Yk = AnGk, n

∞

n=−∞

・・・・・ 5

= AnCm

M

m=−M

Xk, −n − m

∞

n=−∞

・・・・・ 6

= Cm

M

m=−M

( An

∞

n=−∞

Xk, −n − m ) ・・・・・ 7

= Cm

M

m=−M

Bk, −m ・・・・・ 8

次に、式(9)で評価関数を定義する。

E≜ ・・・・・(9)

ここで、< >は、データ列にわたる期待値である。

Eを Cの関数、Ciを i番目の Cとして、次の不等式を満たしている。

aE(C1)+(1-a)E(C2) ≥ E(aC1 + (1-a)C2 ) : 0 ≤ a ≤ 1 ・・・・・(10)

（この不等式は、=0、=0 であることから、

左辺―右辺=a(1-a)［{ Cm1M

m=−M Bk, −m }2+{ Cm

2Mm=−M Bk, −m }

２］≧0

として、導かれる。）

したがって、この不等式(10)は、EがＣの凸関数であることを意味しており、式(11)の手

順により、Cの最適点を得る事ができる（これは、最小２乗誤差形アルゴリズム（ MSE 法）

と呼ばれる）。

Cmi+1 =Cm

i - α δE

δCm ・・・・・(11)

ここで、

3

δE

δCm ≜

δE

δRe(Cm) + j

δE

δIm(Cm) ・・・・・(12)

=2 ・・・・・(13)

α=定数 、 i=繰り返し手順番号 、 *= 複素共役

かくして、式(14)を得る。

Cmi+1 =Cm

i - 2α ・・・・・(14)

なお、式(12)から式(13)の導出に関しての補足説明は、次の通り。

Q=Yk-Ak

ここで、

Re(Cm)=c, Im(Cm)=d, Re(B)=x, Im(B)=y

として、Qは、次のような形式で書くことができる。

Q=a+jb+(x+jy)(c+jd)

したがって、

|Q|2=Re(Q)2+Im(Q)2 , Re(Q) = a + cx – dy, Im(Q) = b + dx + cy

したがって、

δ|Q|2

δc=2(Re(Q)

δRe (Q)

δc + Im(Q)

δIm (Q)

δc)

=2(Re(Q)x + Im(Q)y)

δ|Q|2

δd=2(-Re(Q)y + Im(Q)x)

よって、

δE

δCm=

δ|Q|2

δc + j

δ|Q|2

δd

=2((x-jy)Re(Q)+(y+jx)Im(Q))

=2(Re(Q)+Im(Q))(x-jy)

=aQB* QED

4

2. Passband Transversal Equalizer（中間周波数帯トランスバーサル等化器）

次に中間周波数帯トランスバーサル等化器について検討します。始めに中心タップに

限定して検討します。中心以外のタップについては、４項で取り扱います。

まず、

B(t)=R (t)exp(-jωct) ・・・・・(15)

ここで、R (t)は R(t)の解析信号(analytic signal)です。

即ち、R (t)= R(t)+jR(t) , x =xのヒルベルト変換。

したがって、Bt,-m=R t,-mexp[-jωc(t-mT)] ・・・・・(16)

また、式(8)より、

Yk = Cm

M

m=−M

Bt − m ・・・・・ 17

式(16)により、

Yk = Cm exp(jmωcT)R t,−m

M

m=−M

exp(−jωct) ・・・・・ 18

= C m R t, −m

M

m=−M

exp(−jωct) ・・・・・ 19

ここで、

C m =Cm exp(jmωcT) ・・・・・ 20

また、 Re(C m)=c, Im(C m)=d ・・・・・(21)

Re(R )=r, Im(R )=r ・・・・・(22)

とすると、

C R =cr - dr + j(dr + cr ) ・・・・・(23)

=cr – (dr) + j( dr + (cr) ) ・・・・・(24)

=cr – dr + j(cr − dr ) ・・・・・(25)

=cr – (dr) +j(cr − (dr) ) ・・・・・(26)

となります。

最適点への制御は、次式で与えられます。

C mi+1 =C m

i - 2α ・・・・・・(27)

5

3. 回路構成

3.1 ベースバンド型トランスバーサル等化器

ベースバンド型トランスバーサル等化器の回路構成は、式(8)と式(14)から導くことがで

き、図２に示されます。式(14)において Akは受信器における未知信号であるので、Ykの再

生出力信号 Yk を Akの推定値として用いなければなりません（これをゼロフォーシング（Ｚ

Ｆ）アルゴリズムと呼びます）。また、Bkは復調信号であり、Bk の実数部は復調信号の同

相チャンネルデータであり、Bkの虚数部は、復調信号の直交チャンネルデータです。 M=2

の場合の詳細な回路構成を図 3-1と図 3-2に示した。

Im(Yi)

Im(C)Re(C)

cos

sin

複素掛け算

複素共役

累算器

-2α∫( )

Re(B)

Im(B)

Re(B)

複素掛け算

-Im(B)

Re(Yi)

Re(Yi- )

Im(Yi- )

Re( ) ≒ Re(Ai)

≒ Im(Ai)

＋

＋-

-Im( )

図２ 直交振幅変調信号に対するトランスバーサル等化器のベースバンド構成

Ts

+

Ts

d

w-2

d-2

c-2 d-2

c-2

w-2

v-2

v-2

++

+-

+

++

Ts

+

Ts

d

w-1

d-1

c-1 d-1

c-1

w-1

v-1

v-1

++

+-

+

++

Ts

+

Ts

d

w-0

d-0

c-0 d-0

c-0

w-0

v-0

v-0

++

+-

+

++

Ts

+

Ts

d

w+1

d+1

c+1 d+1

c+1

w+1

v+1

v+1

++

+-

+

++

+d

w+2

d+2

c+2 d+2

c+2

w+2

v+2

v+2

++

+-

+

++

I channel

Q channel

Re( )≒Re(Ai)

Re(Yi)

Im(Yi)

Im( )≒Im(Ai)

図 3-1ベースバンド型トランスバーサル等化器の詳細構成（信号部）

6

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

I channel

Q channel

Re( )

≒Re(Ai)

Re(Yi)

Im(Yi)

Im( )

≒Im(Ai)

+-

+-

+-

+-

+-

+-

++

++

++

++

++

+-

(1/T)∫T

-2α

W-2

(1/T)∫T

-2α

W-1

(1/T)∫T

-2α

W0

(1/T)∫T

-2α

W+1

(1/T)∫T

-2α

W+2

(1/T)∫T

-2α

V-2

(1/T)∫T

-2α

V-1

(1/T)∫T

-2α

V0

(1/T)∫T

-2α

V+1

(1/T)∫T

-2α

V+2

図 3-2 ベースバンド型トランスバーサル等化器の詳細構成（制御信号発生部）

3.2 中間周波数帯トランスバーサル等化器

中間周波数帯トランスバーサル等化器の回路構成は、式(19)と式(23)と式(26)から導く

ことができます。式(22)において、rは、受信中間周波数帯信号を示しています。したがっ

て、式(23)～式(26)に対応して４種類の回路構成を作ることができます。これを図 4に示

した。

+

-+

+

+-

-

-

+

+

++

r

r

r

r

r

r

cr

c

c

d

c

cd

d

d

d

cr

cr

crcr

dr

dr

dr

exp(-jωct)

exp(-jωct)

exp(-jωct)

exp(-jωct)

d

Hilbert transform

tapped delay

Complexmultiplication

a) Eq(23)

b) Eq(24)

c) Eq(25)

d) Eq(26)

図４ 中間周波数帯トランスバーサル等化器の回路構成

7

図 4に示された基本的な構成に対して、より実用的な構成を導くことができます。まず、

中間周波数帯信号 Xのヒルベルト変換は、９０度移相器によって実現できます。これを、

図 5(a)に示します。

図 4(c)と図 4(d)に示されたヒルベルト変換と複素掛け算器の従属接続は、復調操作と同

じです。

なぜなら、もし、Yが、次式で表され、

Y=(x + j x ) exp(-jωct)

また、 X=a cosωct – b sinωct であれば、 Y= a + j b となります。

即ち、Yは、Xを復調することによって得られます。この結果による回路構成を図 5(b)に

示した。

rr

exp(-jωct)

a)ヒルベルト変換の実現

b)復調操作の実現

rr

rr

rr

ba

cosωct

sinωct

rabLPF

LPF

+90°-90°

図５ 実用的な回路構成

図 4(d)と図 5から、図 6に示される非常に実用的な回路構成を導くことができる。

cosωct

sinωct

r

a

bLPF

LPF

+90°

++

d

c

図 6中間周波数帯トランスバーサル等化器の実用的構成

8

図 6に基づき、M=2の場合における、中間周波数帯トランスバーサル等化器の詳細回路構

成を図 7-1と図 7-2に示した（補足説明を下記した）。

Re(Yi)c+2

Ts

c-2

v-2

Ts

c-1

v-1

+

Ts

c-0

v-0

Ts

c+1

v+1 v+2

w-2

d-2

w-1

d-1

++

w-0

d-0

w+1

d+1

w+2

d+2 Im(Yi)

++

++

++

++

++ ++

++

cosωct

sinωct

LPF

++

LPF

r

図 7-1中間周波数帯トランスバーサル等化器の詳細回路構成（信号部）

Ts Ts Ts Ts

Re(Yi)

Im(Yi)

++

(1/T)∫T

-2α

V-2

(1/T)∫T

-2α

V-1

(1/T)∫T

-2α

V0

(1/T)∫T

-2α

V+1

(1/T)∫T

-2α

V+2

(1/T)∫T

-2α

W-2

(1/T)∫T

-2α

W-1

(1/T)∫T

-2α

W0

(1/T)∫T

-2α

W+1

(1/T)∫T

-2α

W+2

90°90° 90° 90° 90°

LPF LPF LPF LPF LPF LPF LPF LPF LPF LPF

cosωct

-sinωct

r

+

-+

-

（ 90°移相器は、信号側でなくローカル側に挿入しても良い）

図 7-2中間周波数帯トランスバーサル等化器の詳細回路構成（制御信号発生部）

9

図３と図７を比較することにより、ベースバンド型より中間周波数帯型の方が、回路構成

が大幅に簡素化されることがわかる。

ここで、図 7-2に関する補足説明をします。

Y − A = a + jb B = c + jd

とすると

(Y - A)B*=ac + bd + j( ad – bc )

次に、

M = acosωct − bsinωct

R = ccosωct − dsinωct

とすると、

Yk-Ak=(Mk + jMk )e-jωct

Bk,-m=(Rk,-m + jRk, −m )e-jωc(t-mT)

よって、

(Y - A)B*ejωcmT=(Mk + Mk ) (Rk,-m - jRk, −m )

= MkRk,-m + (MkRk, −m) + j(-MkRk, −m +Mk Rk,-m)

={MkRk,-m + (MkRk, −m) }+ j{Mk(-Rk, −m )+(Mk(−Rk, −m) ) }

ここで、

次図の等価変換を利用する。

M

M

R

R

+

+

LPF

かくして、図 7-2を得る事ができる。

10

4. 中間周波数帯トランスバーサル等化器の初期調整と安定操作領域に関する検討

実は、中間周波数帯トランスバーサル等化器においてＺＦアルゴリズムを用いる場合

には、タップ間の位相差を考慮する必要がある。すなわち、主タップに対する各タップと

の遅延線による位相差を考慮する必要がある。このθは、

θ＝ωcT+θ0 ・・・・・(28)

ここで、ωc= 搬送波周波数、T=遅延量、θ0=定数

で与えられる。

まず、ＭＳＥアルゴリズムの場合について、検討します。

式(9)で与えられた評価関数は、各タップに対して、次のように修正されます。

E≜ ・・・・・(29)

同様に、

δE

δC m ≜

δE

δRe(C m ) + j

δE

δIm(C m ) ・・・・・(30)

=2 ・・・・・(31)

となります。

そして、最適点への制御は、次式で与えられます。

C mi+1 =C m

i - 2α ・・・・・・(32)

ここで、ゼロ・フォーシング（ＺＦ）アルゴリズムの場合、基本的には式(32)と同等に制

御となるが、Akの代わりに用いる Ykの再生出力信号 Yk が、中心タップの出力であるため、

他のタップでは位相θ分のずれを考慮した制御となる。

これは、右図のように示される。今Ｐ点よ

りＱ点まで到達する場合、本来なら最短距

離で到達すべであるのに対して、Ｐ点より

その方向に対してーθずれた方向に進むこ

とになる。 Re(C)

Im(C)

P

Q

-θ

11

このようなθの影響をうけても、最終的にＱ点に到達する条件は、明らかにＰ点からＱ

点に向かう成分が必要なことであるので、

|θ|< π/2・・・・・・(33)

として与えられる。

この様子は、残留誤差Ｅが、右図のように

Ｐ点から螺旋を描きながら下がって行って、

Ｑ点の安定点に到達することを意味してい

る。

Im(C)

Re(C)

|E|2

Q

P

ここで、位相差の変動要因とその影響について検討します。必要条件は、

|θ|< π/2

ですが、式(28)より、

θ＝ωcT+θ0

であり、安定条件は、

|ωcT+θ0|< π/2 ・・・・・・(34)

となります。

今、ωcとＴの変動分を、それぞれ⊿ω、⊿Ｔとすると、安定条件は、

|ωc⊿Ｔ+⊿ωT＋⊿ω⊿Ｔ＋θ１|< π/2 ・・・・・・(35)

と書きなおせます。

ここで、⊿ωは、入力搬送波周波数の変動であるので、実用上では搬送波のキャプチャー

周波数範囲ωpに相当する変動を想定すれば良い。この場合ロック周波数範囲も等しくなる

（初期位相誤差が偏っているとしても、少なくともマージンが大きい片側に関しては言え

る）。なお、搬送波のキャプチャー周波数範囲ωpは、方式によりますが、デジタルマイクロ

波システムでは、500KHz程度を想定すれば良い。

一方、⊿Ｔは、遅延線の変動分である。遅延を実現する手段として、ケーブル、SAW、

遅延素子などがある。ケーブル、SAWのように、時間変動要因が極めて小さいものと、遅

延素子としてコアを利用した回路素子を用いた場合には、経時変化要因などにより数％程

度の変動があるものなどがり、それぞれに即した調整が必要です。

式(35)を書きなおして、

12

|(⊿Ｔ/T)+(ωp/ωc)＋(ωp⊿Ｔ/Tωc)＋(θ１/Tωc) |< (π/2)(1/Tωc) ・・・・・(36)

で考える。第３項は、無視できるので、

|(⊿Ｔ/T)+(ωp/ωc)＋(θ１/Tωc) |< (π/2)(1/Tωc)=(1/4)(fs/fc) ・・・・・(37)

となります。

θ１は、初期値合わせの項であり、遅延時間 Tによる位相ωcTのmod(2π)分の位相誤差

による影響も含めて考える。

ωp/ωcは、今 fc=70MHz、fp=50kHzとして、7.14*10-3

程度になる（これは、位相で評価して、７°程度である）。

これを最悪評価して書き直すと、

|(⊿Ｔ/T)+(θ１/Tωc) |

13

表１より、初期位相と遅延時間の変動には、数％～１０％程度の余裕となることがわか

る。もし、遅延を実現する手段として、ケーブル、SAWのように、時間変動要因が極めて

小さい場合には、θ１に対してωp/ωcよりかなり大きな調整余裕が許される。しかし、遅延

素子としてコアを利用した回路素子を用いた場合には、経時変化要因などにより、数％程

度の変動があり、なるべくθ１を詳細にあわせ、できればωp/ωc程度に合わせることが必要

となる。特に、50MB/70MHzや 90MB/70MHzのシステムでは、なるべく安定な遅延素子

を用いてθ１に大きな余裕を持たせることが実用上必要である。

θ１の調整には、まず９０°単位での調整が現実的です。すなわち、まず｛θ１、θ１±π/2、

－θ１｝の何れかを選択して、系が安定に動作することを確認します。実際には、これは復

調器における信号に組み合わせにより容易に実現できます。次にループを閉じた状態で、

搬送波周波数を変化させ、ロック周波数範囲のバランスを調べる方法が有効です。片側に

極端に少ない範囲とならないように調整することにより、より適切な調整とすることがで

きる。

以上