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Anhang A: Binährzahlen

A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit

A.2 Basiszahlensysteme

A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere

A.4 Negative Binärzahlen

In dieser Vorlesung nur angedeutet:

A.5 Binärarithmetik

3. Oktober 2007

B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik

B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik

Anhang B: Gleitkommazahlen

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A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit

• Computer benutzen andere Arithmetik als Menschen• Die Physiker sagen: Es gibt 10 hoch 78 Elektronen im Universum…• Die Chemiker sagen: …• Die Philosophen sagen: …• Die Mathematiker sagen: …• Die Sportreporter sagen: …• Die Computer sagen (mindestens die heutige hardware…): ich benötige Zahlen

mit endlicher Genauigkeit (32 bit, 64 bit oder was auch immer)

• Beispiel: Menge der positiven drei Dezimalziffern• Die Menge hat genau 100 Mitgliedern: 000, 001, …, 999• Bestimmte Zahlenarten können nicht ausgedrückt werden:

Zahlen, die grösser sind als 999 Negative Zahlen …

• Die Arithmetik ist nicht geschlossen: 600 + 600 = 1200 (zu gross) 003 - 005 = -2 (negativ) …

• Auch die Algebra ist anders: a + (b - c) = (a + b) - c (mit a=700, b=400, c=300 ist a+b zu gross, nicht aber a+(b-c))

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A.2 Basiszahlensysteme (1/3)

• Natürliche Basiszahl führ viele Menschen: 10• Natürliche Basiszahl führ heutige Computer: 2, 8, 16, …:

01012345670123456789ABCDEF…

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A.2 Basiszahlensysteme (2/3)

5

A.2 Basiszahlensysteme (3/3)

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A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (1/2)

7

A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (2/2)

8

A.4 Negative Binährzahlen (1/5)

1. Grössendarstellung mit Vorzeichen (Signed Magnitude)• Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)

2. Einerkomplement (one’s complement)• Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)• Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 »

3. Zweierkomplement (two’s complement)• Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)• Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1• Anschliessend wird 1 zum Ergebniss addiert

4. 2m-1 Ueberschuss (excess 2m-1)• Die Zahl wird als « sich selbst + 2m-1 » gespeichert

Bemerkungen• (1) und (2) haben zwei Darstellungen für das 0 !• (3) und (4) haben nicht gleichviele positive wie negative Zahlen !• (3) und (4) sind identisch, bis zum Vorzeichenbit das umgedreht ist !• Bei allen Darstellungen ist das 1. Bit das Vorzeichen

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A.4 Negative Binährzahlen (2/5)

Grössendarstellung mit Vorzeichen

0 1 2 3

000 100001 101 110 111010 011

-0 -1 -2 -3

Einerkomplement

0 1 2 3

000 100001 101 110 111010 011

-3 -2 -1 -0

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A.4 Negative Binährzahlen (3/5)

0

1

2

3

Zweierkomplement

000

100

001

101

110

111

010

011-4

-1

-2

-3

11

A.4 Negative Binährzahlen (4/5)

-4

-3

-2

-1

2m-1 Ueberschuss

000

100

001

101

110

111

010

0110

3

2

1

12

A.4 Negative Binährzahlen (5/5)

15

B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik (1/3)

16

B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik (1/3)

n = f * 10e mit 0.1 ≤ |f| < 1